2.4_平板应力分析

dθ dθ 又 sin = 2 2
dMr Mr + r − Mθ + Qr r = 0 dr
（2-54） ）
13
圆平板在轴对称载荷下的平衡方程 圆平板在轴对称载荷下的平衡方程
2.4 平板应力分析
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 圆平板对称弯曲微分方程（ W~ε
r m dr m1
过程设备设计
过程设备设计
（2）载荷与内力 ） 作用于板中面内的载荷） 平面载荷 （作用于板中面内的载荷） 载荷 垂直于板中面的载荷） 横向载荷 （垂直于板中面的载荷） 复合载荷
中面内的拉、压力和面内剪力， 薄 膜 力—— 中面内的拉、压力和面内剪力， 并产生面内变形 内力 弯矩、扭矩和横向剪力， 弯曲内力—— 弯矩、扭矩和横向剪力， 弯曲内力 且产生弯扭变形
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 圆平板对称弯曲微分方程（
过程设备设计
挠度微分方程的建立：基于平衡、 挠度微分方程的建立：基于平衡、几何和物理方程 径向： 径向：Mr、Mr+（dMr/dr）dr 微元体内力 周向： 周向：Mθ、 Mθ 横向剪力：Qr、Qr+（dQr/dr）dr 横向剪力：
Qr+
过程设备设计
（4）圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程（续） 圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程（ 通过圆板截面上弯矩与应力的关系， 通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩M r 和 M θ 表示成
σ 的形式。由式（ ）可见， ω 的形式。由式（2-57）可见， r
σ 沿着厚度（ 和 θ 沿着厚度（即z方
微元体外力
P
上表面 P=prdθdr
dθ
Mθ Mr
dQr dr dr dMr Mr+ dr dr
r
Mθ
t
Qr o
z
dr
(c) c. 图2-29 圆平板对称弯曲时的 12 y 内力分量及微元体受力
P dQ
2.4 sin 平板应力分析
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 圆平板对称弯曲微分方程（ z
8
2.4 平板应力分析
过程设备设计
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
Qr+
分析模型
P pz Mθ t/2 r Mr t/2 z dθ Qr o
dQr dr dr dMr Mr+ dr dr r
Mθ
t
a.
dr
c.
z
y P Qr+ Mθ dθ Mr Mr+ Mθ dQr dr dr r dMr dr dr
2.4.1 概述（续） 概述（
过程设备设计
弹性薄板的小挠度理论建立基本假设---克希霍夫 弹性薄板的小挠度理论建立基本假设 克希霍夫Kirchhoff 克希霍夫 板弯曲时其中面保持中性， 板中面内各点无伸缩和剪切 ① 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切 变形，只有沿中面法线ω的挠度 。 变形，只有沿中面法线 w 的挠度 只有横向力载荷
E (ε r + µε θ ) σr = 2 1− µ E (ε θ + µε r ) σθ = 2 1− µ
（2-56） ）
16
2.4 平板应力分析
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 圆平板对称弯曲微分方程（
过程设备设计
（4）圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程 2-55代入 代入2-56式： 代入 式
微元体： 微元体： 用半径为r和 用半径为 和r+dr的 的
R
两个圆柱面和夹角为 dθ的两个径向截面截 的两个径向截面截 出板上一微元体如图2 出板上一微元体如图 ）、（b） －29（a）、（ ） （ ）、（
dθrBiblioteka (b) 图2-29 圆平板对称弯曲时的 11 内力分量及微元体受力
dr r+
2.4 平板应力分析
19
2.4 平板应力分析
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 圆平板对称弯曲微分方程（
12 M r σr = 3 z t 12 M σθ = 3 θ z t
过程设备设计
2-58代入 代入2-57， 代入 ， 得弯矩和应力的关系式为： 得弯矩和应力的关系式为：
（2-59） ）
2-58代入平衡方程 代入平衡方程2-54，得： 代入平衡方程 ， d 3 w 1 d 2 w 1 dw Qr + − 2 = 3 2 r dr dr r dr D ′
6
2.4 平板应力分析
2.4.1 概述（续） 概述（
过程设备设计
当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力， ◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲 载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度 载荷也会产生面内力，所以， 分析复杂的多
◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论
7
2.4 平板应力分析
Ez d 2w µ dw 2+ σr = − 2 1− µ dr r dr Ez 1 dw d w σθ = − +µ 2 2 dr 1− µ r dr
2
（2-57） ）
17
2.4 平板应力分析
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 圆平板对称弯曲微分方程（
ϕ =−
dw dr
带入以上两式， ，带入以上两式，
应变与挠度关系 的几何方程
d w ε r = −z 2 dr z dw εθ = − r dr
2
（2-55） ）
15
2.4 平板应力分析
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 圆平板对称弯曲微分方程（
过程设备设计
（3）物理方程 根据第3个假设，圆平板弯曲后， 根据第 个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力 个假设 状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为 状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为 物理方程
（2）几何方程 取 AB = dr 径向截面上与
z A z n
r B n1
a.
ϕ
中面相距为z， 中面相距为 ， 半径为 r 与 r + dr 两点A与 构成的微段 两点 与B构成的微段
r w
z
dϕ
m
m1 dw
B A n n1
图2－30 － b. 圆平板对称弯曲的变形关系
z
ϕ
ϕ +dϕ
14
2.4 平板应力分析
应用
储槽底板：可以是各种形状； 储槽底板：可以是各种形状； 换热器管板：薄管板、厚管板； 换热器管板：薄管板、厚管板； 板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板； 板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板； 反应器触媒床支承板等。 反应器触媒床支承板等。
4
2.4 平板应力分析
2.4.1 概述（续） 概述（
第二章
压力容器应力分析
CHAPTER Ⅱ STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS
第四节
平板应力分析
1
2.4 平板应力分析
过程设备设计
主要内容
2.4.1 概述 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程 2.4.3 圆平板中的应力 2.4.4 承受对称载荷时环板中的应力
2
2.4 平板应力分析
过程设备设计
σ r 、 θ 的线性分布力系便组成弯矩 M r 、M θ 。 σ
单位长度上的径向弯矩为： 单位长度上的径向弯矩为：
M r = ∫ σ r zdz = − ∫
t 2 t − 2
t 2 t − 2
E 1− µ 2
d 2 w µ dw 2 2 + z dz dr r dr
一、承受均布载荷时圆平板中的应力 简支
固支 二、承受集中载荷时圆平板中的应力
21
2.4 平板应力分析
2.4.3 圆平板中的应力（续） 圆平板中的应力（
过程设备设计
一、承受均布载荷时圆平板中的应力 据图2-32，可确定作用在半径为 据图 ，可确定作用在半径为r 的圆柱截面上的剪力， 的圆柱截面上的剪力，即： πr 2 p pr Qr = = 2πr 2
Mr
r O r
Mr Qr Qr
代入2-60式中 式中 代入
图2-32 均布载荷作用时圆板内Qr的确定 均布载荷作用时圆板内Q
均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为
d 1 d dw pr r = dr r dr dr 2 D ′
对r连续两次积 连续两次积 分
对r连续三次积分 连续三次积分 得到中面在弯曲后的挠度） （得到中面在弯曲后的挠度）
②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同 变形前位于中面法线上的各点， 一法线上，且法线上各点间的距离不变。 一法线上，且法线上各点间的距离不变。 类同于梁的平面假设: 类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍 保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。 保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。 ③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应 平行于中面的各层材料互不挤压， 力较小，可忽略不计。 力较小，可忽略不计。
R
r
dθ
b.
图2-29 圆平板对称弯曲时的内力分量及微元体受力
dr r+
o
Qr
T
d.
9
2.4 平板应力分析
过程设备设计
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 圆平板对称弯曲微分方程（
分析模型
半径R，厚度 的圆平板 半径 ，厚度t的圆平板 受轴对称载荷P 受轴对称载荷 z 圆柱坐标系中 在r、θ、z圆柱坐标系中 内力： 内力：Mr、Mθ、Qr 三个内力分量
2-58a） （2-58a）
同理
d 2 w µ dw M r = − D 2 + dr r dr