薄平板应力理论汇总
压力容器应力分析_平板应力分析
2.3.1 概述（1）板与壳板与壳具有相同的特征：某一方向的尺寸(厚度)较其它两个方向的尺寸小的多。
但是，板和壳的不同点在于，其初始形状分别为平板和曲面。
显然，板壳结构是工程上常用到的结构之一。
（2）板的分类①按形状分②按受力形式分③按板的厚度分薄膜板－薄板－厚板－1100 11001515t bt bt b≤<<≥（对于圆平板b = D ）（3）本章节所讨论的对象石油化工设备上的平板结构，多数属于薄板。
其承受载荷后引起的变形，多属于小挠度变形。
在承受的载荷特性方面，绝大多数情形为轴对称载荷。
此外，板的形状多为圆形板。
因此，本章节讨论的问题是：圆形薄板在轴对称载荷下的弹性小挠度问题。
（4）基本假设中性面假设－板的中间面变形后，只弯曲不伸长，即中间面同时也是中性面。
（这样，可以只考虑弯曲的作用，而忽略拉压力的作用。
对于微元体分析，各面上只考虑弯矩的作用，）直法线假设－原垂直于中间面的各直法线，变形后仍保持直法线，且垂直于变形后的中性面。
（这样，可以认为板的变形为轴对称变形。
在考虑微元体受力时，部分面上的剪力可认为是零。
）互不挤压假设－薄板的各层纵向纤维变形前后均互不挤压。
（这样，在分析过程中可忽却薄板内的法向应力ϭz ）上述假设，又称为Kirchoff假设,是下面对圆薄板进行力学分析的基础。
2.3.2圆平板对称弯曲微分方程通过弹性力学的位移法，导出平衡方程、几何方程和物理方程，从而得到以挠度位移为自变量的微分方程。
（1）平衡方程微元体的取出：一对相距dr 的圆柱面；一对相差d θ的经向截面；一对圆板的上下表面（厚度为t ）。
微元体的受力分析：微元体所受内力中，只有弯矩和剪力；根据轴对称性，只有剪力Q r 存在；此外，微元表面有外力p z 。
上述内力均为单位长度上的内力：N·M / M ；N / M（2）几何方程在板内z处，取径向微段AB，微段长度为dr。
板的中性面仅弯曲变形，而AB被纵向拉伸为A’B‘。
应力强度因子
第二章应力强度因子的计算K --应力、位移场的度量⇒K 的计算很重要 , 计算 K 值的几种方法 : 1. 数学分析法 :复变函数法、积分变换; 2. 近似计算法:边界配置法、有限元法; 3. 实验标定法:柔度标定法; 4. 实验应力分析法:光弹性法 .§2-1 三种基本裂纹应力强度因子的计算一、无限大板Ⅰ型裂纹应力强度因子的计算K Z ξ→=→ⅠⅠ计算 K 的基本公式,适用于Ⅱ、Ⅲ型裂纹 .1. 在“无限大” 平板中具有长度为 2a 的穿透板厚的裂纹表面上, 距离 x b =±处各作用一对集中力 p .Re Im x Z y Z σ'=-ⅠⅠRe Im y Z y Z σ'=+ⅠⅠ Re xy y Z τ'=-Ⅰ选取复变解析函数:222(Z z b π=-边界条件:a. , 0x y xy z σστ→∞===.b. , z a <出去 z b =±处裂纹为自由表面上0, 0y xy στ==。
c. 如切出 xy 坐标系内的第一象限的薄平板,在 x 轴所在截面上内力总和为 p 。
y '以新坐标表示:Z =⇒(K Z ξ→==Ⅰ2. 在无限大平板中 , 具有长度为 2a 的穿透板厚的裂纹表面上, 在距离1 x a =±的范围内受均布载荷 q 作用 .利用叠加原理 :微段→集中力 qdx→dK =Ⅰ⇒K =⎰Ⅰ令 cos cosx a aθθ==, cosdx a dθθ=⇒111 sin ( 1 cos 22( cos aaaK d aθθθ--==Ⅰ当整个表面受均布载荷时 ,1a a→.⇒12( aK -==Ⅰ3. 受二向均布拉力作用的无限大平板 , 在 x 轴上有一系列长度为 2a , 间距为 2b 的裂纹 .边界条件是周期的: a. , y x z σσσ→∞==.b. 在所有裂纹内部应力为零 . 0, , 22y a x a a b x a b =-<<-±<<±在区间内0, 0y x y στ==c. 所有裂纹前端y σσ> 单个裂纹时Z =又 Z 应为 2b 的周期函数⇒sinzZ πσ=采用新坐标:z a ξ=-⇒sin(a Z πσξ+=当0ξ→时 , sin,cos1222bbbπππξξξ==⇒sin( sincoscossin22222a a a b bbbbπππππξξξ+=+σcossin222a a b bbπππξ=+2222[sin(](cos 2cos sin(sin2222222a a a a a b bbbbb bπππππππξξξ+=++22[sin(](sin 2cos sin 22222a a a a b bbbbπππππξξ⇒+-=sinaπσ→⇒=sinaK πσσ→⇒===Ⅰ=取 w M =修正系数 , 大于 1, 表示其他裂纹存在对 K Ⅰ的影响 . 若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多 (2125a b ≤ 可不考虑相互作用 , 按单个裂纹计算 .二、无限大平板Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题应力强度因子的计算 1. Ⅱ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式 (无限大板:(K Z ξ→=Ⅱ 2. 无限大平板中的周期性的裂纹 , 且在无限远的边界上处于平板面内的纯剪切力作用 .τsin( zZ z πτ=sin(( a Z πτξξ+=( K ξ→⇒==Ⅱ 3. Ⅲ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式 (无限大板 :( K ξξ→=Ⅲ4. 周期性裂纹:K =§2-2 深埋裂纹的应力强度因子的计算1950年,格林和斯内登分析了弹性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的应力和应变,得到椭圆表面上任意点 , 沿 y 方向的张开位移为 :1222022(1 x z y y a c=--其中 :202(1 ay E μσ-=Γ.Γ为第二类椭圆积分 . 有φϕ= (于仁东书 22220[sin( cos ]a d cπϕϕϕ=+⎰ (王铎书 1962年 ,Irwin 利用上述结果计算在这种情况下的应力强度因子σ原裂纹面11cos , sin z x ρϕρϕ==又222222221111221x z c x a z a c a c+=⇒+=⇒ρ=假设 :椭圆形裂纹扩展时 , 其失径ρ的增值 r 与ρ成正比 . r f ρ= (f 远小于1rf ρ⇒==边缘上任一点 (, p x z ''', 有 :1(sin (1 sin (1 x r f f x ρϕρϕ'=+=+=+1(cos (1 z r f z ρϕ'=+=+11(, , (, p x z p x z '''⇒均在 0y =的平面内 . 222242222(1 c x a z f a c a c ''''''⇒+=+= ⇒新的裂纹面仍为椭圆 . 长轴 (1 c f c '=+, 短轴 (1 a f a '=+. ⇒y 向位移22002(1 2(1 (1 (1 a f a y f y E E μσμσϕϕ'--+'===+原有裂纹面 :222220( 1x z ya c y ++=扩展后裂纹面 :222220( 1x z y a c y '''++='''以 1x x '=, 1z z '=, 代入⇒原有裂纹面的边缘 y 向位移 y ', 有22222011(1 (1 x z x z y y a c f a f c'=-+=--'''++222222----=--++2f =2222200022(1 2y fy f f y fy ''⇒==+又 f =⇒2y '=设各边缘的法向平面为平面应变 , 有:31sin sin ]22v k θθ=+- 其中34k μ=-当θπ=时24(1 v K E μ-=222216(1 2I r K E μπ-⇒=2221E ( 41I K y acπμ⇒=-又202(1 ay E μσϕ-=122222 (sin cos I a K c a c ϕϕφ⇒=+在椭圆的短轴方向上,即 2πϕ=,有 I ImaxK K ==危险部位→椭圆片状深埋裂纹的应力强度因子当 a c =时→圆片状裂纹, 2πφ=2I K π⇒=§2-3 半椭圆表面裂纹的应力强度因子计算一、表面浅裂纹的应力强度因子当 a B (板厚→线裂纹⇒可以忽略后自由表面对 A 点应力强度的影响欧文假设:半椭圆片状表面线裂纹 I K 与深埋椭圆裂纹的 I K 之比等于边裂纹平板与中心裂纹平板的 I K 值之比。
薄壁结构中的应力分析和薄板理论
薄壁结构中的应力分析和薄板理论薄壁结构是指在某一方向上尺寸远远小于其他两个方向的结构。
它们在工程领域中广泛应用，如飞机机身、汽车车身、船舶外壳等。
在设计和分析这些结构时，应力分析和薄板理论是必不可少的工具。
首先，我们来了解一下应力分析。
应力是物体内部的力分布，它是由外部施加的力和物体内部的几何形状共同决定的。
在薄壁结构中，由于其尺寸的特殊性，应力分布具有一些特殊的规律。
例如，在一根薄壁柱上施加一个压力，应力分布呈现出一个圆环状。
这是因为薄壁结构的几何形状限制了应力的传递路径，使得应力集中在壁的边缘处。
这种应力分布的特点对于薄壁结构的设计和分析具有重要意义。
接下来，我们来介绍薄板理论。
薄板理论是一种基于假设的理论，它假设薄板在受力时可以看作一个平面。
根据这个假设，可以得出一些重要的结论。
首先，薄板的应力只有两个分量，即法向应力和切应力。
这是因为薄板的厚度相比于其宽度和长度来说非常小，所以沿厚度方向的应力可以忽略不计。
其次，薄板的应力分布可以通过一些简化的方法进行计算。
例如，可以使用平衡方程和边界条件来求解薄板的应力分布。
在实际的工程应用中，薄壁结构的设计和分析需要考虑到多种因素。
首先，材料的选择非常重要。
不同的材料具有不同的力学性质，如弹性模量、屈服强度等。
这些性质直接影响到薄壁结构的应力分布和变形情况。
其次，结构的几何形状也是一个关键因素。
不同的几何形状会导致不同的应力分布和应力集中情况。
因此，在设计薄壁结构时，需要考虑到材料和几何形状之间的相互影响。
此外，薄壁结构的应力分析和薄板理论还可以应用于其他领域。
例如，在医学领域中，可以使用薄板理论来分析和设计人体骨骼的结构。
在航天领域中，可以使用应力分析来评估航天器的结构强度。
在建筑领域中，可以使用薄板理论来设计建筑物的外墙结构。
薄壁结构的应力分析和薄板理论在不同领域中都具有广泛的应用前景。
综上所述，薄壁结构的应力分析和薄板理论是设计和分析薄壁结构的重要工具。
薄平板应力理论
《化工设备设计基础》——第九章 薄平板应力理论
周边固支的圆平板
3p r 2 [(1 ) R 2 (3 )r 2 ] 8 3p t 2 [(1 ) R 2 (1 3 )r 2 ] 8
rR
r 0
r max
t max
3 pR 2 4 2 3(1 ) pR 2 r 2 8
9
2.受轴对称载荷的圆环板
⑴承受均布载荷的圆环板
应力 r 9 15 挠度 9 - 17
9 16
⑵内边缘承受均布剪力的圆环板
应力 挠度
r 9 18 9 19 9 20
《化工设备设计基础》——第九章 薄平板应力理论
2
max
k 1 pR 2
或 max
k 1P
十种典型结构图见182页图9-7
《化工设备设计基础》——第九章 薄平板应力理论
12
《化工设备设计基础》——第九章 薄平板应力理论
13
例题;图示结构的最大应力
解;件号1的受力图为
件号2的受力图为
《化工设备设计基础》——第九章 薄平板应力理论
14
《化工设备设计基础》——第九章 薄平板应力理论
6
周边简支的圆平板
3p r 2 (3 )( R 2 r 2 ) 8 3p t 2 [(3 ) R 2 (1 3 )r 2 ] 8
r 0
r max t max
3(3 ) pR 2 8 2
第九章 薄平板应力理论
薄平板
0.01<δ/b<0.2
δ—— 板厚 b —— 平板最小尺寸，圆平板为直径
理论力学中的平面应力和三维应力如何区分？
理论力学中的平面应力和三维应力如何区分？在理论力学中，平面应力和三维应力是两个重要的概念。
理解它们之间的区别对于解决力学问题和分析物体的受力状态至关重要。
首先，让我们来看看什么是平面应力。
平面应力是指物体在某一平面内受力，而在与该平面垂直的方向上不受力或受力可以忽略不计。
想象一个很薄的平板，例如一块金属薄板，它在自身所在的平面内承受各种力的作用，而在厚度方向上，由于其厚度很小，所以可以认为没有应力或者应力非常小。
平面应力状态下，应力只有三个分量：在平面内的两个正应力（通常称为σx 和σy）和一个剪应力（τxy）。
这三个应力分量就完全描述了平面内的受力情况。
比如说，一个承受拉伸或压缩的薄板，或者一个受到剪切作用的薄板，都可以用平面应力来分析。
为了更直观地理解平面应力，我们可以通过一些简单的例子。
假设我们有一个长方形的薄板，在水平方向受到一个均匀的拉力，而在垂直方向不受力。
在这种情况下，水平方向会产生正应力，而垂直方向的正应力为零，同时在这两个方向之间存在剪应力。
通过计算这些应力分量，我们可以评估薄板是否会发生破坏或者变形。
接下来，再说说三维应力。
三维应力则是物体在空间三个方向上都受到力的作用，并且这些力的大小和方向都可能不同。
这就像是一个实心的立方体或者球体，在各个方向上都有可能受到力的挤压、拉伸或者剪切。
在三维应力状态下，应力有六个独立的分量：三个正应力（σx、σy、σz）和三个剪应力（τxy、τyz、τzx）。
这六个应力分量共同描述了物体在空间中的受力情况。
举个例子，假如我们有一个实心的圆柱体，一端固定，另一端受到一个斜向的力。
那么在圆柱体内部，各个点的应力状态就是三维的，不仅在轴向、径向有正应力和剪应力，在圆周方向也存在应力。
那么，平面应力和三维应力到底如何区分呢？一个关键的区别在于受力的方向和维度。
平面应力只涉及到物体在一个平面内的受力，而三维应力则涵盖了物体在空间三个方向上的受力。
从数学表达式上看，平面应力的应力分量少，只有三个；而三维应力的应力分量有六个。
薄壁容器内压应力测定(平板封头、锥形封头)
薄壁容器内压应力测定（平板封头、锥形封头）一、实验目的1.测定薄壁容器承受内压作用时，筒体及封头（平板封头、锥形封头）上的应力分布。
2.比较实测应力与理论计算应力，分析它们产生差异的原因。
3.了解“应变电测法”测定容器应力的基本原理和掌握实验操作技能。
二、原理说明由中低容器设计的薄壳理论分析可知，薄壁回转容器在承受内压作用时，圆筒壁上任一点将产生两个方向的应力，经向应力m 和环向应力。
在实际工程中，不少结构由于形状与受力较复杂，进行理论分析时，困难较大；或是对于一些重要结构在进行理论分析的同时，还需对模型或实际结构进行应力测定，以验证理论分析的可靠性和设计的精确性；所以，实验应力分析在压力容器的应力分析和强度设计中有十分重要的作用。
现在实验应力分析方法已有十几种，而应用较广泛的有电测法和光弹法，其中前者在压力容器应力分析中广泛采用。
可用于测量实物与模型的表面应变，具有很高的灵敏度和精度；由于它在测量时输出的是电信号，因此易于实现测量数字化和自动化，并可进行无线电遥测；既可用于静态应力测量，也可用于动态应力测量，而且高温、高压、高速旋转等特殊条件下可进行测量。
电测法是通过测定受压容器在指定部位的应变状态，然后根椐弹性理论的虎克定律可得：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=-=E E E Em mm σμσεσμσεθθθ （1）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+-=+-=)(1)(122m m m E E μεεμσμεεμσθθθ（2）通过“应变电测法”测定容器中某结构部位的应变，然后根椐以上应力和应变的关系，就可确定这些部位的应力。
而应变m ε、θε的测量是通过粘贴在结构上的电阻应变片来实现的；电阻应变片与结构一起发生变形，并把变形转变成电阻的变化，再通过电阻应变仪直接可测得应变值m ε、θε，然后根椐(2)式可算出容器上测量位置的应力值，利用电阻应仪和预调平衡箱可同时测出容器上多个部位的应力，从而可以了解容器受压时的应力分布情况。
《平板应力分析》课件
电子工程
用于封装和电路板等电 子产品的强度和稳定性
分析。
平板应力分析的基
02
本原理
弹性力学基础
01
弹性力学是研究物体在外力作用下的变形和内力的学科。
02
弹性力学的基本假设是物体是线弹性的、变形是微小的，且满
足胡克定律。
弹性力学的基本方程包括平衡方程、几何方程和物理方程，用
03
于描述物体的位移、应变和应力。
人工智能和机器学习等先进技术的应用将有助于提高平板应力分析的自动化程度和 智能化水平。
对实际工程应用的指导意义
平板应力分析的应用范围不断扩大，不仅局限于传统 的机械、建筑等领域，还涉及到新能源、生物医学等
新兴领域。
通过平板应力分析的应用，可以优化平板结构的性能 ，提高产品的质量和可靠性，降低制造成本和风险。
VS
实例演示
以一个简单的平板为例，演示如何使用有 限元分析软件进行建模、加载和求解，并 展示结果的可视化效果。
结论与展望
06
平板应力分析的结论总结
平板应力分析是一种有效的数值分析方法，能 够模拟平板在不同工况下的应力分布和变形情 况。
通过平板应力分析，可以得出平板在不同方向 和不同位置的应力大小和分布规律，为优化平 板设计和改进制造工艺提供依据。
假设平板的材料是均匀、连续和 各向同性的，满足线弹性假设。
平板应力分析的步
03
骤和方法
建立数学模型
确定问题类型
根据实际需求，确定是平面应力问题还是平 面应变问题。
确定材料属性
获取平板材料的弹性模量、泊松比等物理参 数。
建立坐标系
选择合适的笛卡尔坐标系，以便于描述和计 算。
建立控制方程
弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程
－α４Ｗ ＝０
（４）
式中：α４＝ω２ ρh D
Ｗ （ｘ，ｙ）为 ｘ，ｙ 的函数，具体表达式和边界条件有关，根据各种不同的
边界条件写出 Ｗ （ｘ，ｙ）的形式，带入方程（４）和其相应的边界条件，可求出
Ｗ （ｘ，ｙ）的表达式。
三、总结
本文介绍了基于泊松—克希霍夫（Ｐａｓｓｉｏｎ－Ｋ ｉｒｃｈｈｏｆｆ）平板理论的小
由滑动），其边缘上各点挠度为零并且沿该边垂直方向的挠度斜率为
零，即：
鄣 鄣 （ｗ ）ｙ＝ｙ０ ＝０，
鄣ｗ 鄣ｙ
＝０
ｙ＝ｙ０
（２ａ）
（２）简支边 若平板边界是铰接支承（无论水平方向可以或不可以
滑动），其边缘上各点挠度以及弯矩为零，即：
鄣 鄣 （ｗ ）ｙ＝ｙ０ ＝０，
鄣２ｗ 鄣ｙ２
＝０
ｙ＝ｙ０
（２ｂ）
（３）自由边 若平板边界完全不受力，应该有边缘上各点弯矩、扭矩、
515518弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程乐山职业技术学院机电系要薄板振动属于弹性体振动本文主要介绍弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程介绍薄板小挠度理论给出弹性薄板横向振动的振动方程和不同边界条件的数学模型
科技信息
高校理科研究
弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程
乐山职业技术学院机电系 杨丽媛
挠度平板理论。建立了弹性薄板振动的基本方程，并列出各种边界条件
的数学模型，介绍了求解弹性薄板振动方程的求解思路，为不同边界条
件，不同尺寸的弹性薄板振动方程的求解提供了理论支持和思路指导。
参考文献 ［1］黄炎.弹性薄板理论［M］.北京：国防科学技术大学出版社，1992 ［2］曹志远.板壳振动理论［M］.北京：中国铁道出版社，1989 ［3］张英世，刘宗德.矩形薄板的横向振动［J］.工程力学，1997 增刊: 515- 518
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化工容器中使用的平板
平板封头
人孔、手孔盖 反应器触媒床的支承板 板式塔的塔盘
《化工设备设计基础》——第九章 薄平板应力理论
3
圆平板的受力
《化工设备设计基础》——第九章 薄平板应力理论
4
圆平板的变形
《化工设备设计基础》——第九章 薄平板应力理论
5
1.受轴对称载荷的圆平板
圆平板中的应力
2
max
k 1 pR 2
或 max
k 1P
十种典型结构图见182页图9-7
《化工设备设计基础》——第九章 薄平板应力理论
12
《化工设备设计基础》——第九章 薄平板应力理论
13
例题;图示结构的最大应力
解;件号1的受力图为
件号2的受力图为
《化工设备设计基础》——第九章 薄平板应力理论
14
第九章 薄平板应力理论
薄平板
0.01<δ/b<0.2
δ—— 板厚 b —— 平板最小尺寸，圆平板为直径
《化工设备设计基础》——第九章 薄平板应力理论
1
化工容器中使用的平板
平板封头
人孔、手孔盖 反应器触媒床的支承板 板式塔的塔盘
《化工设备设计基础》——第九章 薄平板应力理论
2
pR 4 3 max k 2 k 2 E 分别为图 查表9 7 式中; k 2 , k 2 1和图2的挠度计算系数
《化工设备设计基础》——第九章 薄平板应力理论
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《化工设备设计基础》——第九章 薄平板应力理论
周边固支的圆平板
3p r 2 [(1 ) R 2 (3 )r 2 ] 8 3p t 2 [(1 ) R 2 (1 3 )r 2 ] 8
rR
r 0
r max
t max
3 pR 2 4 2 3(1 ) pR 2 r 2 8
9
2.受轴对称载荷的圆环板
⑴承受均布载荷的圆环板
应力 r 9 15 挠度 9 - 17
9 16
⑵内边缘承受均布剪力的圆环板
应力 挠度
r 9 18 9 19 9 20
《化工设备设计基础》——第九章 薄平板应力理论
《化工设备设计基础》——第九章 薄平板应力理论
6
周边简支的圆平板
3p r 2 (3 )( R 2 r 2 ) 8 3p t 2 [(3 ) R 2
r max t max
3(3 ) 2 pR 8 2
r max t max
《化工设备设计基础》——第九章 薄平板应力理论
8
相同条件下，简支平板的最大应力较固支平板大
相同载荷下，薄板所需厚度比薄壳大
平板
R /
2
壳
R /
R / 1
R / R /
2
《化工设备设计基础》——第九章 薄平板应力理论
最大应力和最大挠度
件号1 max 9 6
max 9 8 位置r 0处即圆平板的中心
pR 2
k1 件号2 max k 1
2 , k1 分别为图 查表9 7 式中; k 1 1和图2的应力计算系数 R 1.48 如 图1结构,由 2和典型图 1的坐标点可知k 1 R1 R 1.44 图2结构由 2和典型图7的坐标点可知k 1 R1
10
计算式的应用
可导出不同条件的计算式. 如; 当R1=0时, 变为在M作用下的计算 当R1=0时, 变为Q作用于中心的集中载荷.
《化工设备设计基础》——第九章 薄平板应力理论
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.圆平板十种典型结构的最大应力,最大挠度计算
最大应力
2 k 2 pR 4 k 2 P R2 最大挠度 max 或 max 3 E E 3 式中; p 均布载荷. MP a P－集中载荷 . N E－弹性模量 . MP a k 1 , k 2－系数.见表9 1