弹性力学第二章 应力理论
弹性力学_第二章 应力
P / A0 cos2 ( P / A0 ) cos sin
§2-4 平面应力状态
平面应力状态应力关系
边界只存在正应力情况 平面应力状态如图所示，假设z=0。 x－1 ，y－2 ，任意截面上BC：(, ) 设截面BC的面积A， AC面积为Acos，
= 0。
§2-4 平面应力状态
边界同时存在正应力、剪应力情况
如图所示， x－x、 ；y－y、 任意截面上BC：( ，) 设截面BC的面积A， AC的面积为Acos ， AB的面积为Asin 。
边界同时存在正应力、剪应 力时斜截面受力图
§2-4 平面应力状态
沿BC面的法线方向力的平衡方程为：
弹性力学
第二章 应力
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 外力 应力与应力张量 平衡微分方程 平面应力状态 空间应力状态
§2-6 主平面、应力主方向与主应力 §2-7 空间应力状态几何表示
§2-8 纯剪切状态
§2-9 应力球张量和应力偏张量 §2-10 八面体应力
§2-1 外力
物体外力
1 1 2 2 1 2 1 2 2 4
应力圆：任一截面正应力与剪应力关系图 确定任一截面上的和 。 坐标系： － 圆 应力圆
（或莫尔圆，由德国工 程师：Otto Mohr引入）
2
心： 轴上点 径： 1 ( ) 1 2
当 d x , d y 0 时，得切应力互等定理:
xy yx
§2-3 平衡微分方程
推广到三维应力状态
x yx zx Fx 0 x y z xy y zy Fy 0 x y z xz yz z Fz 0 x y z
弹性力学 第二章 应力分析
ν
∫∫ ∫∫∫ eijkr j T k dS + eijk rj Fkdv = 0
S
V
ν
因为Tk = σ rkν r ，所以由 Gauss 公式有
∫∫ ∫∫∫( ) eijkr jσ rkν r dS =
eijk rjσ rk ,r dv
S
V
又因为
rj ,r
= δ jr
=
∂x j ∂xr
故使上式成为
方程(2.5.3)式有根，应有三个根，即σ1 ,σ 2 ,σ 3 ，称为主应力，(2.5.3) 和 (2.5.4)式可重写成
(σ − σ1 )(σ − σ 2 )(σ − σ 3 ) = 0
J1 = σ1 + σ 2 +σ 3
J 2 = σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1
J 3 = σ1σ 2σ 3
消去公因子得 (2.3.1a) 式的第二式，同理由另两个方向的平衡得到其余的两式，
∂σ xx ∂x
+
∂σ yx ∂y
+
∂σ zx ∂z
+
X
=
0
∂σ xy ∂x
+
∂σ yy ∂y
+
∂σ zy ∂z
+Y
=0
∂σ xz ∂x
+
∂σ yz ∂y
+
∂σ zz ∂z
+
Z
=0
或
(2.3.1a)
2
对应σ 2 , 可求出 ν j = a j − ib j ，因此 (4) 式中的因子
( )( ) 1 2
② 积分方程法 上述的平衡方程也可用积分方程的方法得到。作用在被分割出物体上的合力为零的矢量 方程为
2 第二章 应力和应变
第二章应力和应变地震波传播的任何定量的描述，都要求其能表述固体介质的内力和变形的特征。
现在我们对后面几章所需要的应力、应变理论的有关部分作简要的复习。
虽然我们把这章作为独立的分析，但不对许多方程进行推导，读者想进一步了解其细节，可查阅连续介质力学的教科书。
三维介质的变形称为应变，介质不同部分之间的内力称为应力。
应力和应变不是独立存在的，它们通过描述弹性固体性质的本构关系相联系。
2.1 应力的表述——应力张量2.1.1应力表示考虑一个在静力平衡状态下，均匀弹性介质里一个任意取向的无限小平面。
平面的取向可以用这个平面的单位法向矢量nˆ来规定。
在nˆ方向的一侧施加在此面单位面积上的力叫做牵引力，用矢量),,()ˆ(zyxtttnt=表示。
在nˆ相反方向的另一侧施加在此面上的力与其大小相等，方向相反，即)ˆ()ˆ(ntnt-=-。
t在垂直于平面方向的分量叫做法应力，平行于平面方向的分量叫做剪应力。
在流体的情况下，没有剪应力，nptˆ-=，这里P 是压强。
上面的表示这是一个平面上的应力状况，为表示固体内部任意平面上的应力状态，应力张量τ在笛卡尔坐标系（图 2.1）里可以用作用于xyxzyz,,平面的牵引力来定义(：ˆˆˆ()()()ˆˆˆ()()()ˆˆˆ()()()xx xy xzx x xy y y yx yy yzz z z zx zy zzt x t y t zt x t y t zt x t y t zττττττττττ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2.1）在右式的表示中，第一个下角标表示面的法线方向，第二个下角标表示该面上应力在该坐标轴上的投影。
图2.1 在笛卡尔坐标系里描述作用在无限小立方体面上的力的牵引力矢量)ˆ(),ˆ(),ˆ(z t y t xt 。
应力分量的符号规定如下：对于正应力，我们规定拉应力为正，压应力为负。
对于剪应力，如果截面的外法线方向与坐标轴一致，则沿着坐标轴的正方向为正，反之为负；如果截面方向与外法线方向相反，则沿着坐标轴反方向为正。
弹性力学第二章 应力理论
主应力 & 应力不变量
应力1、第二主应力2和第三主应力3 ，且
1 2 3
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
主应力的性质
3I12I2I30
➢ 不变性 由于特征方程的三个系数是不变量，所以作为特征 根的主应力及相应主方向都是不变量。
1, 2, 3
1, 2 , 3
➢ 实数性 即特征方程的根永远是实数。
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
➢ 极值性
主应力1和3是一点正应力的最大值和最小值。
在主坐标系中，任意斜截面上正应力的表达式：
n==ijij =11 222 233 2
= 1 (1 2 )2 2 (2 3 )3 2 1 = (1 3 )1 2 (2 3 )2 2 3 3
Chapter 3.3
e3
11
e1
32
31
23
13
22
12 21
x2 e2
x1
Chapter 3.1
外力、内力与应力
把作用在正面dSi上的应力矢量沿坐标轴正向分解得：
(1) 11e1 12e2 13e3 1jej
(2) 21e1 22e2 23e3 2jej
(3) 31e1 32e2 33e3 Nhomakorabea 3jej x3 33
主应力 & 应力不变量
x l xym xzn 0
xyl y m yzn 0
xzl yzm z n 0
由于l2m2n21，所以要有非零解，则上述三
个方程必须是线性相关的，亦即系数行列式为零：
x xy xz
xy y
yz
xz yz 0 z
弹性力学第2章应力分析
N l p x m p y n p z N T p N N T T N
将上式展开，并应用切应力互等定理可得
（2-6a）
N l 2 x m 2 y n 2 z 2lm xy 2mn yz 2nl zx
应力分析
第 2 章
应力分析
本章用静力学观点研究物体在外力作用下的平衡状态，介绍应力的概念及其性质，包 括斜截面的应力、坐标变换公式、主应力状态、应力张量不变量及其在塑性力学中的应用， 八面体上的应力及其应力张量分解为球形应力张量和偏斜应力张量，最后导出应力应满足 的平衡微分方程。本章不涉及材料的力学性质，所得结论对各种连续介质均普遍适用。
或缩写成矩阵形式
（2-4）
p N T N N
其中， 为应力矩阵的转置矩阵。且 ，
T T
（2-5a）
(l , m, n)
N
T
称为斜截面的方向
余弦列阵。 或按下标记法与求和约定写为
pi ij n j
p2 2 2
应力的因次是[力]·[长度]
-2
（2-1）
§2.2 一点的应力状态
一般来说，物体内同一截面上不同点的应力是不同的，过同一点不同方向截面上应力
11
应力分析
的总体称为该点应力状态，研究一点的应力状态，就是确定过该点不同方向截面上应力的 大小和方向，建立它们之间的关系，这对于解决物体在弹性或塑性阶段的强度问题，尤其 是建立复杂应力状态下的强度理论，是很重要的。 为研究外力作用下物体内任意点 M ( x, y, z ) 的应力状态，可围绕 M 点用平行坐标面的 三 对 平 行 面 切 出 一 微 分 六 面 体 ， 简 称 单 元 体 或 微 分 体 （ 图 2-3 ） 。当单元体各边长
弹性力学第二章应力状态理论(2015)
内力：由于外力作用，在构件内各部分之间引起的 “附加”的相互作用力。 内力的特点： 1. 随外力的变化而变化，是“附加内力”。 2. 内力是分布力系，常用其主矢量和主矩表示。 内力的求法：截面法。
F5
F1 F2
m
F4
F5 F3
F4
m
F1 F2
F3
2-2 应力和一点的应力状态
1.定义：物体承受外力作用，物体内部各截面 之间产生附加内力。为了求出这些内力，我们 用一截面截开物体，并取出其中一部分，其中 一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们 是分布在截面上分布力系。单位面积上的分布 力即为应力。 2.性质：在物体内的某一点，不同截面上的应 力是不同的。
y
体力： Fx，Fy，Fz 均匀分布 应力分量： 位置坐标的函数
应力状态理论
z C
由
xy b
a
y
yx yz P zy
x xz
zx z
B
o x
A
dy ( yz yz dy )dxdz y 2 zy dz ( zy zy dz )dxdy 0 y 2 同理： zx xz , xy yx
x
zy
z面和x面上 的应力分量 的表示如图 2-9所示。
y
图2-9
z
z
正负规定:
zy yz
yx
zx
正面:截面的外 法线方向和坐标 轴正向一致,反 y 之为负面。
y
x
图2-10
正面上的应力沿坐标 正向或负面上的应力 沿坐标负向为正。
口诀：正面正向或负面负向的应力为正。
注意：
弹性力学
材料力学 图2-11
清华大学_弹性力学_第二章_应力理论_习题答案
第二章知识点： （1）应力矢量()0limS FSνσ∆→∆∆其中，ν是S ∆的法向量（2）应力张量()()()111121321222323132333σσσσσσσσσσσσσ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中，()()()123,,σσσ 分别是123,,e e e方向的应力矢量，且()()()111122133121122223323113223333e e e e e e e e e σσσσσσσσσσσσ=++=++=++上式可以写为张量形式ij i j e e σσ=或者用正应力剪应力将应力张量写为x xy xz yx y yz zx zy z σττστστττσ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）柯西公式（应力矢量和应力张量的关系）()νσνσ=⋅其中，ν是斜面的法向量，对于表面来说，就是外法向量。
可以将柯西公式写成如下形式()i i mj m j i mj i m j i mj im j i ij j e e e e e e e e νσνσνσνσνσδνσ=⋅=⋅=⋅== 即()i ij j νσνσ=这其实是三个式子，分量形式为()()()111122133112112222332231132233333++++i i i i i i νννσνσνσνσνσσνσνσνσνσσνσνσνσνσ==++====在表面上，所求出的()νσ就是外载荷。
（4）应力张量的转轴公式''''m n ij m i n j σσββ=证明如下：'''''''''''''''''''',ij i j m n m n i m i m j n j n ij m i n j m n m n m n m n ij m i n je e e e e e e e e e e e σσσββσββσσσββ====∴=∴=也可以将转轴公式写为矩阵形式[][][][]'Tσβσβ=其中，[]σ、[]'σ是坐标系变换前后的应力张量的分量，[]()'m i ββ=，'m i β是i e 在'm e上的分量，可以用如下公式计算()''cos ,m ii m e e β=（5）剪应力互等定理根据微元体的力矩平衡，可以得到 ,,yz zy xz zx xy yx ττττττ===也就是说ij ji σσ=应力张量是一个二阶对称的张量 （6）主应力由于应力张量是二阶对称的，所以可以将其对角化[][][]123Tσσβσβσ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦并且123,,σσσ从大到小排列，他们称为主应力，[]β是三个主应力的方向。
弹性力学-第二章
(a)
(b)
y
o
z
a
b
x
(c) 刚性槽
2.平面问题的应力边界条件 设在S 部分边界上给定了面力分量 f x ( s) 和 f y ( s) ， 则可由边界上任一点微分体的平衡条件，导出应力 与面力之间的关系式。
0 o y P y
tyx txy
x
B
y
fx
A
x
P
x
fy
fx
n
fy
f
斜面上的应力
由式 (2-3)
x=-b为负x 面
l cos n, x cos180 1
m cos n, y cos 90 0
(σ x ) xb f x , (t xy ) x b f y
n
b a x
fx fy
σx
σx
fx fy
t xy
y
t xy
应力边界条件的两种表达式： （1）公式写法 公式写法通常只用于 边界为非坐标面时
x=a为正x 面
l cos n, x cos 0 1
m cos n, y cos 90 0
(σ x ) xa f x , (t xy ) xa f y
b a x
n
fx fy
σx
σx
fx fy
t xy
y
t xy
当边界面为坐标面时
(l x mt xy ) s f x ( s) (m y lt xy ) s f y ( s)
( 2) 斜边 y x tan
l cos n, x cos 90 sin
m cos n, y cos
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X x l xy m zx n Y yx l y m zy n Z xz l yz m z n
写成指标符号
p j i ij
其中pj是面力p沿坐标轴方向的分量，通常记为X , Y , Z
Chapter 3.2
应力理论
外力、内力与应力 柯西公式
主应力与应力不变量
最大剪应力，八面体剪应力
平衡微分方程
主应力 & 应力不变量
x3
11
1 12 23
13
31 33
x1
32
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
概 念
• 切应力为零的微分面称为主微分平面，简称主平面。 • 主平面的法线称为应力主轴，或者称为应力主方向。 • 主平面上的正应力称为主应力。
弹性力学 Theory of Elasticity
陶嗣巍 北京吉利大学汽车学院
应力理论
外力、内力与应力
柯西公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程
Chapter 3
外力、内力与应力
外 力
Chapter 3.1
外力、内力与应力
外 力
体 力
即分布在物体体积内部各个质点上的力，又称为 质量力。例如物体的重力、运转零件的惯性力等。
主应力 & 应力不变量
对斜面BCD运用柯西公式，可得：
p n x x l yx m zx n p n y xy l y m zy n p n z xz l yz m z n
由剪应力互等定理可得：
p n x x l xy m xz n p n y xy l y m yz n p n z xz l yz m z n
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
p nx x l xy m xz n p ny xy l y m yz n p nz xz l yz m z n
(1 )
p nx l p ny m p nz n
外力、内力与应力
应力矢量和 面力矢量的数 学定义和物理量纲都相同。
i ( ) lim
X i lim
Fi S
S 0
Pi S
S 0
区别在于：应力是作用在物体内界面上的未知内力，
而面力是作用在物体外表面的已知外力。当内截面无 限趋近于外表面时，应力也趋近于外加面力之值。
柯西公式
柯西公式应用－计算斜截面上的应力
斜面上应力的方向
n
即
co s ( ) , e 1 co s ( ) , e 3
( )
; co s ( ) , e 2
( )1 ( ) 3
( ) 2
( ij e i e j )
根据商判则，知 ij e i e j 必是一个二阶张量，于是定义 应力张量
ij e i e j
Chapter 3.2
柯西公式
( ) ( ij e i e j )
这就是著名的柯西公式，又称斜面应力公式。
Chapter 3.2
共出现九个应力分量：
11 ( ij ) 2 1 31
12 22 32
23
33
13
Chapter 3.1
外力、内力与应力
11 ( ij ) 2 1 31
12 22 32
23
面 力
即作用在物体表面上的力，例如作用在飞机机翼
上的空气动力、水坝所受的水压力等。
Chapter 3.1
外力、内力与应力
定 义 式
体力： f lim
F V
V 0
V
f 1 lim f 2 lim f 3 lim
F
F1 V F2 V F3 V
Chapter 3.1
( ) ( e 1 ) (1) ( e 2 ) ( 2 ) ( e 3 ) ( 3 )
( e 1 (1) e 2 ( 2 ) e 3 ( 3 ) )
Chapter 3.2
柯西公式
( ) ( e 1 1 j e j e 2 2 j e j e 3 3 j e j )
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
主应力和应力不变量
假设存在主平面BCD，其法线方向为n(l,m,n)，截面
上的总应力 pn＝ ，亦即n方向截面上剪应力为零。
则截面上总应力pn在坐标轴方向的分量可以表示为
p nx l p ny m p nz n
Chapter 3.3
Chapter 3
柯西公式
斜截面上的应力
四面体OABC，由三个负
x3
面和一个法向矢量为
1 e1 2 e 2 3 e 3 i e i
的斜截面组成，其中
i cos( , e i ) e i
x2 x1
为方向的方向余弦。
Chapter 3.2
柯西公式
Chapter 3.1
外力、内力与应力
应 力
应力矢量
S
Chapter 3.1
外力、内力与应力
应力矢量：
S
( ) lim
F S
S 0
若取 S 为变形前面元的初始面积，则上式给出工程 应力，亦称名义应力，常用于小变形情况。 对于大变形问题，应取 S 为变形后面元的实际面积， 称真实应力，简称真应力, 也称柯西应力。
f i lim
Fi V
V 0
V 0
V 0
V 0
外力、内力与应力
定 义 式
面力：
P
X lim
P S
S
S 0
X i lim
Pi S
S 0
Chapter 3.1
外力、内力与应力
内 力
物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一 部分与相邻部分之间的作用力，称为内力。 内力也是分布力，它起着平衡外力和传递外力的作用， 是变形体力学研究的重要对象之一。应力的概念正是 为了精确描述内力而引进的。
yy
xx
o
y
x
应力分量的个数
Chapter 3.1
外力、内力与应力
x3
33
32
31
e3
23 22
13 11 12
e2
21
x2
e1 x1
Chapter 3.1
外力、内力与应力
把作用在正面dSi上的应力矢量沿坐标轴正向分解得：
(1) 1 1 e 1 1 2 e 2 1 3 e 3 1 j e j ( 2 ) 2 1 e1 2 2 e 2 2 3 e 3 2 j e j ( 3 ) 3 1 e1 3 2 e 2 3 3 e 3 3 j e j
Chapter 3.1
外力、内力与应力
正六面体微元: 外法线与 坐标轴同向的三个面称 为正面，记为dSi，它们 的单位法向矢量为i＝ei，
z
ei是沿坐标轴的单位矢量；
o
y
另三个外法线与坐标轴 反向的面元称为负面。
x
Chapter 3.1
外力、内力与应力
( )
yz
z
yy
yx
o
Chapter 3.1
外力、内力与应力
应力的定义
Chapter 3.1
外力、内力与应力
应力矢量的大小和方向不仅和 M 点的位置有关，而 且和面元法线方向 有关。
Chapter 3.1
外力、内力与应力
作用在同一点不同法向面元上的应力矢量各不相同， 反之，不同曲面上的面元，只要通过同一点且法线方 向相同，则应力矢量也相同。
Chapter 3.2
柯西公式
柯西公式应用－计算斜截面上的应力
斜面正应力
n ( ) = = ij i
斜面剪应力
j
( ) n
n
2 2
Chapter 3.2
柯西公式
柯西公式应用－给定应力边界条件
若斜面是物体的边界面，则柯西公式可用作未知应 力场的力边界条件：
柯西公式
( )
把斜面应力沿坐标轴方向分解：
( ) ( )1 e1 ( ) 2 e 2 ( ) 3 e 3 ( ) j e j
则柯西公式的分量表达式为
( )1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 ( ) 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 ( ) 3 1 1 3 2 2 3 3 3 3
斜截面上的应力
x3
11
( ) ?
x2
22
2 1 12 23
13
31 33
x1
32
Chapter 3.2
柯西公式
A B C 的面积为dS,
则三个负面的面积分别为
d S 1 O B C 1 d S ( e 1 ) d S d S 2 O C A 2 d S ( e 2 ) d S d S 3 O A B 3 d S ( e 3 ) d S
斜截面的面元矢量为：
d S d S 1 e1 d S 2 e 2 d S 3 e 3