2.4平板应力分析解析
压力容器应力分析_平板应力分析
2.3.1 概述（1）板与壳板与壳具有相同的特征：某一方向的尺寸(厚度)较其它两个方向的尺寸小的多。
但是，板和壳的不同点在于，其初始形状分别为平板和曲面。
显然，板壳结构是工程上常用到的结构之一。
（2）板的分类①按形状分②按受力形式分③按板的厚度分薄膜板－薄板－厚板－1100 11001515t bt bt b≤<<≥（对于圆平板b = D ）（3）本章节所讨论的对象石油化工设备上的平板结构，多数属于薄板。
其承受载荷后引起的变形，多属于小挠度变形。
在承受的载荷特性方面，绝大多数情形为轴对称载荷。
此外，板的形状多为圆形板。
因此，本章节讨论的问题是：圆形薄板在轴对称载荷下的弹性小挠度问题。
（4）基本假设中性面假设－板的中间面变形后，只弯曲不伸长，即中间面同时也是中性面。
（这样，可以只考虑弯曲的作用，而忽略拉压力的作用。
对于微元体分析，各面上只考虑弯矩的作用，）直法线假设－原垂直于中间面的各直法线，变形后仍保持直法线，且垂直于变形后的中性面。
（这样，可以认为板的变形为轴对称变形。
在考虑微元体受力时，部分面上的剪力可认为是零。
）互不挤压假设－薄板的各层纵向纤维变形前后均互不挤压。
（这样，在分析过程中可忽却薄板内的法向应力ϭz ）上述假设，又称为Kirchoff假设,是下面对圆薄板进行力学分析的基础。
2.3.2圆平板对称弯曲微分方程通过弹性力学的位移法，导出平衡方程、几何方程和物理方程，从而得到以挠度位移为自变量的微分方程。
（1）平衡方程微元体的取出：一对相距dr 的圆柱面；一对相差d θ的经向截面；一对圆板的上下表面（厚度为t ）。
微元体的受力分析：微元体所受内力中，只有弯矩和剪力；根据轴对称性，只有剪力Q r 存在；此外，微元表面有外力p z 。
上述内力均为单位长度上的内力：N·M / M ；N / M（2）几何方程在板内z处，取径向微段AB，微段长度为dr。
板的中性面仅弯曲变形，而AB被纵向拉伸为A’B‘。
压力容器应力分析
本章重点：
1. 了解薄膜理论的基本原理和意义，掌握利用无力 矩理论求解轴对称问题的基本方程，计算常用壳 体的薄膜应力；
2. 掌握对几种典型回转壳体第一和第二曲率半径的 计算；
3. 理解无力矩理论应用的条件；
4. 掌握容器不连续效应的基本概念和特征；
5. 了解拉美公式的的推导过程，掌握厚壁圆筒在内 外压作用下应力的基本特征；
2.1 回转薄壳应力分析
经向内力 Q d2l 周向内力 Q d1l
根据小单元体在法线方向的力平衡条件可得：
p d1ld2 l2 Q sid 2 n 2 Q sid 2 n
sind d sind d
22
22
pd1ld d2ld
又
R1
dl1
d
R2
dl 2 d
p R1 R2
微元平衡方程
2.1 回转薄壳应力分析
弹性应力
• 压力载荷引起的弹性应力
应
• 温度变化引起的弹性应力
力 分
弹塑性应力
析
屈服压力和爆破压力
提高厚壁圆筒承载能力的措施
2.2 厚壁圆筒应力分析
一、弹性应力
1.压力载荷引起的弹性应力
（1）轴向（经向）应力
根据轴向力平衡得到：
z
piRi2 p0R02 R02 Ri2
2.2 厚壁圆筒应力分析
（2）周向和径向应力
爆破压力Pb
爆破过程：
弹性变形阶段 弹塑性变形阶段 初始屈服压力Ps 塑性垮塌压力Ps
利用材料的实际应力应变关系。
屈服压力Ps
初始屈服压力Ps 全面屈服压力Ps0
假设材料为理想弹塑性。
爆破阶段 爆破压力Pb
板裂缝及挠度计算
板裂缝及挠度计算1.平板的应力分析平板的应力分析可以基于弹性力学的理论进行。
假设平板是均匀的、各向同性的，那么在不受外力作用时，平板内部的应力是各向均匀分布的。
根据弹性力学理论，在弹性范围内，平板内部的应力满足以下关系：σx=Ex*εx+νy*εyσy=νx*εx+Ey*εyτxy = Gxy * γxy其中，σx和σy为平板沿x和y方向的正应力，τxy为平板剪应力，εx和εy为平板的应变，Ex和Ey分别为平板沿x和y方向的杨氏模量，νx和νy为平板沿x和y方向的泊松比，Gxy为平板剪切模量，γxy为平板剪切应变。
2.材料性能参数材料性能参数是计算板裂缝及挠度的重要输入参数。
常用的材料性能参数有杨氏模量（Ex、Ey）、泊松比（νx、νy）和剪切模量（Gxy）等。
这些参数可以通过材料试验或文献资料获得。
3.荷载和边界条件的确定对于板裂缝及挠度计算，需要确定荷载情况和边界条件。
荷载包括集中力、均布力、分布力等。
边界条件包括固支、自由支座、边界固定、边界自由等。
荷载和边界条件的确定需根据具体问题进行分析。
4.板裂缝计算板裂缝的计算可以采用弹性力学理论或断裂力学理论。
在弹性力学理论中，采用裂纹模型，假设裂缝是一个分开的两个平行板，然后应用应力分析，计算得到裂缝的应力集中因子，再根据应力集中因子和材料断裂力学参数计算得到裂缝的长度和深度。
在断裂力学理论中，采用线弹性断裂力学理论，根据材料断裂力学参数和荷载情况计算得到裂缝的长度和深度。
5.板挠度计算板挠度的计算也可以基于弹性力学理论。
通常，挠度可以通过解析方法、数值方法或实验方法计算得到。
解析方法包括弯曲弹性平板理论和细长板理论等。
数值方法主要利用有限元法进行计算。
实验方法包括挠度量测和拟静力试验等。
综上所述，板裂缝及挠度计算是一个较为复杂的问题，需要采取适当的理论和方法进行分析。
在实际工程中，需要根据具体问题的要求和具体材料的性能参数来选择合适的计算方法。
平板封头与椭圆形封头应力测定及分析
平板封头与椭圆形封头应力测定及分析摘要压力容器是内部或外部承受气体或液体压力、并对安全性有较高要求的密封容器。
椭圆形封头和平板封头容器的应力分布情况先从理论上分析了并采用电测法测量其应力，结合ANSYS有限元分析方法进行比较讨论。
应力分析的目的就是求出结构在承受载荷以后，结构内应力分布情况，找出最大应力点或求出当量应力值，然后对此进行评定，以把应力控制在许用范围以内。
经过此次实验并将实验数据与ANSYS有限元法分析所得到的数据进行了对比，得到了以下的分析结果：在实际测得数值与理论数值有些不一样，一些点的误差比较大，实验测得数据与ANSYS所得到的数据相接近。
关键词：压力容器；平板封头；椭圆形封头；应力分析；ANSYS有限元法ABSTRACTPressure vessel is internal or external to gas or liquid pressure, and the security requirements of a sealed container.Analyses the stress distribution in the ellipse head and Flat head containers theoretically,and measures the stress by electrical measurement method,then carries on compare and discuss by combining ANSYS finite element analysis method.The purpose of stress analysis is to find out the structure load, the structure, the stress distribution of the greatest stress or equivalent to stress the value,then this assessment, to put the stress in a control within. after the experiment and experimental data and ansys the finite-element method analysis of data in contrast, the following analysis results：experimental and theoretical values measured there are some differences，the error of some points are relatively large the experimental measured results obtained in good agreement with ANSYS.Keywords:Pressure vessel；Flat head；Ellipse head；Stress analysis；Using the ANSYS finite element metho目录摘要 (I)ABSTRACT (II)第一章绪论 (1)1.1压力容器的结构 (1)1.1.1压力容器典型组成 (1)1.2压力容器主要分类 (3)1.2.1 按介质危害性分类 (3)1.2.2 压力容器分类 (4)1.3世界压力容器规范标准 (6)1.3.1 国外主要规范标准简介 (7)1.3.2 国内主要规范标准简介 (9)第二章椭圆形封头与平板封头的应力分析并计算 (12)2.1载荷分析 (12)2.1.1载荷 (12)2.1.2载荷工况 (14)2.2椭圆形封头的应力分析并计算 (14)2.2.1 回转薄壳的不连续分析 (15)2.2.2 无力矩理论的基本方程 (16)2.2.3薄壁圆筒理论计算公式推导 (19)2.2.4 椭圆形封头理论计算公式推导 (20)2.2.5理论计算并分析已知椭圆形封头的应力 (22)2.3平板封头应力分析 (23)2.3.1 概述 (23)2.3.2 圆平板对称弯曲微分方程 (24)2.3.3 圆平板中的应力 (29)2.3.4理论计算并分析已知圆平板封头的应力 (32)第三章实验法进行封头的应力测定及分析 (34)3.1电测法测定封头应力 (34)3.1.1 电测法的目的、原理及要求 (34)3.1.2实验前装置及仪器准备 (36)3.1.3 实验步骤 (36)3.1.4 电测法实验结果 (36)3.1.5 理论计算与实验结果对比并分析 (38)第四章有限元法对封头进行应力分析 (42)4.1 ANSYS有限元分析简介 (42)4.1.1 ANSYS软件提供的分析类型 (42)4.2 ANSYS对已知平板封头应力分析 (43)4.2.1 ANSYS对已知平板封头应力分析步骤 (43)4.3 ANSYS对已知椭圆形封头应力分析结果 (52)第五章数据处理及误差分析 (56)5.1对椭圆形封头和平板封头的数据处理 (56)5.2将计算法、实验法、有限元法的结果进行对比并进行误差分析 (57)第六章结论 (58)参考文献 (59)致谢.......................................................................................................................... 错误！未定义书签。
带孔平板的应力分布及应力集中系数的计算
带孔平板的应力分布及应力集中系数的计算一、问题重述计算带孔平板的应力分布及应力集中系数。
二、模型的建立与计算在ANSYS中建立模型，材料的设置属性如下分析类型为结构（structural），材料为线弹性（Linear Elastic），各向同性（Isotropic）。
弹性模量、泊松比的设定均按照题目要求设定，以N、cm为标准单位，实常数设置中设板厚为1。
采用solid 4 node 42板单元，Element Behavior设置为Plane strs w/thk。
建立模型时先建立完整模型，分别用单元尺度为5cm左右的粗网格和单元尺度为2cm左右的细网格计算。
然后取四分之一模型计算比较精度，为了使粗细网格单元数与完整模型接近，四分之一模型分别用单元尺度为2.5cm左右的粗网格和单元尺度为1cm左右的细网格计算。
(1) 完整模型的计算①粗网格单元网格的划分及约束荷载的施加如图（单元尺度为5cm）约束施加时在模型左侧边界所有节点上只施加x方向的约束，即令UX=0，在左下角节点上施加x、y两个方向的约束，即UX =0、UY=0。
荷载施加在右侧边界上，大小为100。
对模型进行分析求解得到：节点应力云图（最大值222.112）单元应力云图（最大值256.408）可看出在孔周围有应力集中现象，其余地方应力分布较为均匀，孔上部出现最大应力。
②细网格单元网格的划分及约束荷载的施加如图（单元尺度为2cm）约束及荷载的施加方法如前，对模型进行分析求解得到：节点应力云图（最大值272.484）单元应力云图（最大值285.695）(2) 取1/4模型的计算①粗网格单元网格的划分及约束荷载的施加如图（单元尺度为2.5cm）=0，在下约束施加时在模型左侧边界所有节点上只施加x方向的约束，即UX侧边界所有节点上只施加y方向的约束，即U=0。
荷载施加在右侧边界上，大小Y为100。
对模型进行分析求解得到：节点应力云图（最大值251.333）单元应力云图（最大值268.888）②细网格单元网格的划分及约束荷载的施加如图（单元尺度为1cm）约束及荷载的施加方法如前，对模型进行分析求解得到：节点应力云图（最大值290.478）单元应力云图（最大值297.137）(3) 计算结果比较下面按照弹性力学理论求解带孔平板的应力集中系数。
《平板应力分析》课件
电子工程
用于封装和电路板等电 子产品的强度和稳定性
分析。
平板应力分析的基
02
本原理
弹性力学基础
01
弹性力学是研究物体在外力作用下的变形和内力的学科。
02
弹性力学的基本假设是物体是线弹性的、变形是微小的，且满
足胡克定律。
弹性力学的基本方程包括平衡方程、几何方程和物理方程，用
03
于描述物体的位移、应变和应力。
人工智能和机器学习等先进技术的应用将有助于提高平板应力分析的自动化程度和 智能化水平。
对实际工程应用的指导意义
平板应力分析的应用范围不断扩大，不仅局限于传统 的机械、建筑等领域，还涉及到新能源、生物医学等
新兴领域。
通过平板应力分析的应用，可以优化平板结构的性能 ，提高产品的质量和可靠性，降低制造成本和风险。
VS
实例演示
以一个简单的平板为例，演示如何使用有 限元分析软件进行建模、加载和求解，并 展示结果的可视化效果。
结论与展望
06
平板应力分析的结论总结
平板应力分析是一种有效的数值分析方法，能 够模拟平板在不同工况下的应力分布和变形情 况。
通过平板应力分析，可以得出平板在不同方向 和不同位置的应力大小和分布规律，为优化平 板设计和改进制造工艺提供依据。
假设平板的材料是均匀、连续和 各向同性的，满足线弹性假设。
平板应力分析的步
03
骤和方法
建立数学模型
确定问题类型
根据实际需求，确定是平面应力问题还是平 面应变问题。
确定材料属性
获取平板材料的弹性模量、泊松比等物理参 数。
建立坐标系
选择合适的笛卡尔坐标系，以便于描述和计 算。
建立控制方程
压力容器应力分析-典型圆平板分析
（1）承受均布载荷时圆平板中的应力板内剪力求解：如图，选取任意位置r 处的圆平板进行受力分析，建立轴向平衡式，可求得Q r22()2r r r r Q p rpr Q Q r ππ⋅=⋅==()r r Q Q r =注意：根据图2-29(c)来确定右图中剪力的符号。
将上述边界条件代入（2－63）式中，求得)µ+最大周向弯矩出现在板的中央处，而最大径向弯矩出现在板的边缘处。
此外，弯矩为负的含义表明其方向与当初规定的方向相反（见图2-29）。
类似于上述方法，可得到挠度方程板的上(负号)、下(正号)表面的应力分布如下()()()222222338(269)33(13)8r p R r t p R r t θσµσµµ⎧=+−⎪⎪−⎨⎪⎡⎤=+−+⎣⎦⎪⎩∓∓可见，板内最大拉应力在板的下表面中央部位处。
薄圆平板应力特点①板内为两向纯弯曲应力，忽略z 方向的应力σz 和剪力Q r 引起的剪应力τ。
②板内的弯曲应力沿径向的分布形式与周边支承形式有关，工程实际中的支承形式介于固支和简支之间。
③在同等条件下，板内的最大应力要远大于薄壳内的应力，故板的厚度要比薄壳厚度大。
（2）承受集中载荷时圆平板中的应力板内剪力求解：如图，选取任意位置r 处的圆平板进行受力分析，建立轴向平衡式，可求得Q r2()2r r r r Q PP Q Q r rππ⋅===()r r Q Q r =中心开有圆形孔的圆平板称为“环板”。
以周边简支，内周边承受均布力矩的环板分析为例。
122123()0102ln 4r r Q Q r d d dw r dr r dr dr C C dw r dr r C r w r C C R ϕ==⎡⎤⎛⎞=⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎧=−=+⎪⎪⎨⎪=−−+⎪⎩2.3.4 承受轴对称载荷时环板中的应力如图所示环板，须注意与上述例子的不同在于，只是边界条件有所不同。
11,,00r r r R M M r R M and w ==−===Boundary Conditions:这样，我们就可以对许多类似的问题进行求解。
压力容器应力分析平板应力分析
C1
pR2 8D
,
C3
pR 4 64 D
代入式（2-63）
得周边固支平板的 斜率和挠度方程
dw pr R 2 r 2
dr 16D
w p R 2 r 2 2 64 D
（2-64）
压力容器应力分析平板应力分析
25
2.4 .3 圆平板中的应力
过程设备设计
将挠度ω对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-58）， 便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式：
（2-66）
26
2.4 .3 圆平板中的应力
过程设备设计
周边固支圆平板下表面的应力分布，如图2-34(a)所示。
最大应力在板边缘上下表面，即 rmax34ptR22
图2-34a周边固支圆平压板力容的器弯应力曲分析应平力板应分力分布析 （板下表面） 27
2.4 .3 圆平板中的应力
2. 周边简p支圆平板
28
2.4 .3 圆平板中的应力
过程设备设计
弯矩表达式：
Mr
p 3 R2
16
r2
M
p R23r213
16
（2-68）
应力表达式：
r
3 p3R2
8t2
r2
（2-69）
3 p 8t2
R23r213
压力容器应力分析平板应力分析
29
2.4 .3 圆平板中的应力
过程设备设计
不难发现，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心 r 0 处，
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
过程设备设计
分析模型
半径R，厚度t的圆平板 受轴对称载荷Pz
在r、θ、z 圆柱坐标系中 内力：Mr、Mθ、Qr 三个内力分量
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2.4.1 概述（续）
过程设备设计
（2）载荷与内力 平面载荷 （作用于板中面内的载荷） 载荷 横向载荷 （垂直于板中面的载荷） 复合载荷
内力
薄 膜 力—— 中面内的拉、压力和面内剪力， 并产生面内变形
弯曲内力—— 弯矩、扭矩和横向剪力，
且产生弯扭变形
6
2.4 平板应力分析
2.4.1 概述（续）
过程设备设计
过程设备设计
板变形后：
微段的径向应变为
z d z d r z dr dr
过A点的周向应变为 2 r z 2r z 2r r
作为小挠度
dw dr
，带入以上两式，
应变与挠度关系 的几何方程
d w r z 2 dr z dw r dr
第二章
压力容器应力分析
CHAPTER Ⅱ STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS
第四节
平板应力分析
1
2.4 平板应力分析
过程设备设计
主要内容
2.4.1 概述
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程 2.4.3 圆平板中的应力 2.4.4 承受对称载荷时环板中的应力
2
2.4 平板应力分析
◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲
载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度 分析复杂的多
◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论
7
2.4 平板应力分析
2.4.1 概述（续）
过程设备设计
弹性薄板的小挠度理论建立基本假设---克希霍夫Kirchhoff ① 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切
8
2.4 平板应力分析
过程设备设计
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
分析模型
pz M t/2 t/2 r Mr M t d Qr o
z
Qr + P
dQr dr dr dMr Mr+ dr dr
r
a.
y
z
dr
c.
P Qr + dQr dr dr
R
d
r
r+ dr
M d Mr
r
Mr+ M
dMr dr dr
过程设备设计
（2）几何方程 取 AB dr 径向截面上与 中面相距为z，
m1 B n1 r
a.
d
半径为 r 与 r dr
两点A与B构成的微段
w
m
m1 dw
r
z
B A n n1
图2－30 b. 圆平板对称弯曲的变形关系
z
+d
14
2.4 平板应力分析
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续）
2
（2-55）
15
2.4 平板应力分析
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续）
过程设备设计
（3）物理方程
根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力 状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为
E r r 2 1 E r 2 1
r
微体内力与外力对圆柱面 切线T的力矩代数和为零， 即Σ MT=0 b.
dr
o
dMr dr dr
dM r d dr M dr r dr d M rd 2 M dr sin Q rd dr p rd dr 0 r r r z dr 2 2
z
dQr dr dr dMr Mr+ dr dr t
r
M
dr
y
(c) c. 图2-29 圆平板对称弯曲时的 12 内力分量及微元体受力
2.4 sin 平板应力分析
y 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） z M d
c.
P
过程设备设计
（1）平衡方程 d
R
Qr +
dQr dr dr
r
Mr Mr+ M
过程设备设计
2.4 平板应力分析
教学重点：
承受均布载荷时圆平板中的应力。
教学难点：
圆平板对称弯曲微分方程的推导。
3
2.4 平板应力分析
过程设备设计
2.4.1 概述 应用
平封头：常压容器、高压容器；
储槽底板：可以是各种形状；
换热器管板：薄管板、厚管板；
板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；
反应器触媒床支承板等。
w 变形，只有沿中面法线ω 的挠度 。
只有横向力载荷
②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同
一法线上，且法线上各点间的距离不变。 类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍 保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。 ③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应
力较小，可忽略不计。
dMr Mr r M Qr r 0 dr
r+
T (d) d. 图2-29 圆平板对称弯曲时的 内力分量及微元体受力 Qr
d d 又 sin 2 2
（2-54）
13
圆平板在轴对称载荷下的平衡方程
2.4 平板应力分析
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） W~ε
r m z A z n dr
4
2.4 平板应力分析
2.4.1 概述（续） 厚板与薄板 分类
过程设备设计
（1）平板的几何特征及平板分类 中面是一平面 几何特征 厚度小于其它
方向的尺寸
大挠度板和小挠度板
o
图2-27 平板载荷和扰度关系曲线 t/b≤1/5时， w/t≤1/5时， 按小挠度薄板计算
x
y
z
5
图2-28 薄板
2.4 平板应力分析
o
Qr
T
b.
d.
9
图2-29 圆平板对称弯曲时的内力分量及微元体受力
2.4 平板应力分析
过程设备设计
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 分析模型 半径R，厚度t的圆平板
受轴对称载荷Pz
在r、θ 、z圆柱坐标系中
内力：Mr、Mθ 、Qr 三个内力分量
轴对称性 几何对称，载荷对称，约束对称， 在r、θ 、z圆柱坐标系中 挠度 w 只是 r 的函数，而与θ 无关。
b.
2.4 平板应力分析
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续）
过程设备设计
挠度微分方程的建立：基于平衡、几何和物理方程 径向：Mr、Mr+（dMr/dr）dr 微元体内力 周向：Mθ、 Mθ 横向剪力：Qr、Qr+（dQr/dr）dr
微元体外力 上表面 P=prdθdr r
d Qr o
z
Qr + P2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 挠度微分方程的建立：基于平衡、几何、物理方程 微元体： 用半径为r和r+dr的
a.
过程设备设计
R
d
r
r+ dr
两个圆柱面和夹角为
dθ的两个径向截面截 出板上一微元体如图2 －29（a）、（b）
(b) 图2-29 圆平板对称弯曲时的 11 内力分量及微元体受力