圆板的应力分析

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2.平衡方程
设圆板承受轴对称横向分布载荷 q(r )。通常薄板弯曲的
平衡方程以内力表示，因此可沿坐标(r，θ)截取中面上的微
小面积作为微元体，其受力如图2-26所示。图中弯矩以双箭
头表示，方向遵循右手螺旋法则。
M q Qr
d
Mr r
0 z
dr M
Mr dMr Qr dQr
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§3.1 基本概念与假设
变形特点：双向弯曲，变形后中面常被弯成不可展曲面，存
在翘曲，且其周长也有所改变。因此，一般板中的内力除弯矩、扭矩和剪力外还有薄膜力(沿中面的拉压力)。
挠度：中面各点沿中面法线方向的位移，常用w表示。
当中面的wmax远小于板厚 t 时，通常称为板的小挠度问题，此时板内的薄膜力很小，可略去不计，认为中面无伸缩；当wmax与 t 为同一量级时，则为板的大挠度问题，此时板内的薄膜力较大，因而不能忽略。
c
r
M d 2
0
图2-26 圆板的微体受力
M
M r
c 0：
dMr r
drd
M r rd
2M
dr
d
2
Qr
r
dr 2
ddr
0
Mrdrd dMrrd Mdrd Qrrdrd 0
r dM r dr
Mr
M
Qrr 或
drMLeabharlann drrMQrr
(2-56)
式(2-55、56)即为圆板轴对称弯曲问题的平衡方程，含
t
(a)受纵向载荷的板
(b)受横向载荷的板
第一种载荷情况为弹性力学平面应力问题，第二种载荷情况为板的弯曲问题，本节将讨论第二种情况。当两种外载同时作用时，可通过叠加求解。
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§3.1 基本概念与假设 §3.2 圆板轴对称弯曲基本方程 §3.3 圆板与环板的计算 §3.4 带有平盖圆筒的边缘分析 §3.5 平盖的工程设计
②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同
一法线上，且法线上各点间的距离不变。
类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。
③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。
本章主要讨论圆形薄板(简称圆板)在轴对称横向载荷作
图2-26 圆板的微体受力
Fz 0： Qr dQr r drd Qrrd qrddr 0
Qr
r dQr dr
qr 或
dQrr qr
dr
(2-55)
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cM q Qr
d
Mr r
Mr dMr
dr
M
c
Qr dQr
0 z
Mr dMr
d 2
c M
M r d
t 2
t2
t 2
(e)
Qr rzdz
M
t 2
以上各内力的正向如图2-28(b)所示，且它们都只是r的函数，而与z无关。
Mr Qr
另外，由于弯曲应力不引起厚度的
Qr d
Mr
rz
M dr
(b)
改变，因而中面同一法线上各点的挠度相等，位移 w也就是中面的挠度。
图2-28 各应力沿板厚的分布与合成
基本假设：对于小挠度薄板，除假设材料是均匀连续和各向
同性的外，还采用了以下与梁弯曲理论类似的假设
5
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弹性薄板的小挠度理论建立基本假设---克希霍夫Kirchhoff ① 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切
变形，只有沿中面法线 w 的挠度。只有横向力载荷
且其它位移、应变和应力分量均与无关，因而不存在扭矩。
根据中性面假设：uz0 0， r z0 z0 0 ；
直法线假设表明 rz很小，相应的变形可不计，即： rz 0 ；
互不挤压假设认为： z 0 。
因此，圆板在轴对称小挠度弯曲情况下，只有三个应力
分量 r , , rz。 r , 为弯曲应力，沿板厚线性分布， rz 与
现考察距离中面为z的微小线段AB。 w
ab
AB
a1
b1 z B1
r
－dw
变形前AB=ab=dr；变形后ab→a1b1， A1
AB→A1B1，且位于变形后的法线上。 z r z
直法线假设
又根据中性面假设，a1b1=ab=AB，则A点处的两向应变为
r
A1B1 AB z d (a)
AB
dr
2πr z 2πr
用下的小挠度弯曲问题。
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§3.2 圆板轴对称弯曲基本方程
对于圆板，常取柱坐标 r,, z ，原点位于中面圆心。
1.圆板的变形与内力
在轴对称载荷作用下，圆板中的
0
t2 t 2x
变形和内力也一定轴对称。因此
r
z
v 0， r z 0， r z 0 图2-25 圆形薄板
2πr
z
r
(b)
将(c)代入得
r
z
d2w dr 2
，
z r
dw dr
(2-57)
11
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梁中的剪应力一样为抛物线分布，如下图所示。
7
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于是，可将各应力分量沿板厚合成
为相应的内力。 r , 可分别合成为弯
矩 M r , M ， rz可合成为横向剪力Qr，
它们之间的关系为
t2
t2
rz
M r r zdz，M zdz
r
d
t2 r z
t2
dr
(a)
一般在工程要求的精度范围内，当 wmax t 1 5 时，按
小挠度问题计；当1 5 wmax t 5时，按大挠度问题考虑。
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薄板与厚板：一般认为当板厚t小于其它最小尺寸的1/5时，
属于薄板；否则为厚板。对于薄板，在作出一些假设后，其分析可以简化且能给出满意的结果。至于厚板，则须按三维问题来分析，其求解过程较为复杂。
有 M r , M ,Qr 3个未知量，须考虑圆板弯曲后的变形关系。
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3.几何方程
图2-27 圆板的变形
圆板在轴对称载荷作用下，中面
将弯曲成以0z为轴的旋转面，如图所示。设中面上任意一点a 变形后的挠
d
r dr
z
+d
度为w，转角为。由图可知
tan dw dr (c) 0 z
引子
工程应用平封头：常压容器、高压容器；贮槽底板：可以是各种形状；换热器管板：薄管板、厚管板；板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；反应器触媒床支承板等。
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什么是板？？
板：厚度远小于其它两个方向尺寸(圆板为其直径)且中面
为平面的物体。
板类结构是工程中最常见的部件之一，通常承受两种不同作用方式的外载，如图所示。

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《过程设备设计》第二版(郑津洋,董其伍,桑芝富) 课后习题答案化学工业出版社

思考题参考答案第1章压力容器导言思考题1.1我国《压力容器安全技术监察规程》根据整体危害水平对压力容器进行分类。

压力容器破裂爆炸时产生的危害愈大，对压力容器的设计、制造、检验、使用和管理的要求也愈高。

设计压力容器时，依据化学介质的最高容许浓度，我国将化学介质分为极度危害（Ⅰ级）、高度危害（Ⅱ级）、中度危害（Ⅲ级）、轻度危害（Ⅳ级）等四个级别。

介质毒性程度愈高，压力容器爆炸或泄漏所造成的危害愈严重。

压力容器盛装的易燃介质主要指易燃气体或液化气体，盛装易燃介质的压力容器发生泄漏或爆炸时，往往会引起火灾或二次爆炸，造成更为严重的财产损失和人员伤亡。

因此，品种相同、压力与乘积大小相等的压力容器，其盛装介质的易燃特性和毒性程度愈高，则其潜在的危害也愈大，相应地，对其设计、制造、使用和管理也提出了更加严格的要求。

例如，Q235-B钢板不得用于制造毒性程度为极度或高度危害介质的压力容器；盛装毒性程度为极度或高度危害介质的压力容器制造时，碳素钢和低合金板应逐张进行超声检测，整体必须进行焊后热处理，容器上的A、B类焊接接头还应进行100％射线或超声检测，且液压试验合格后还应进行气密性试验。

而制造毒性程度为中度或轻度的容器，其要求要低得多。

又如，易燃介质压力容器的所有焊缝均应采用全熔透结构思考题1.2筒体：压力容器用以储存物料或完成化学反应所需要的主要压力空间，是压力容器的最主要的受压元件之一；封头：有效保证密封，节省材料和减少加工制造的工作量；密封装置：密封装置的可靠性很大程度上决定了压力容器能否正常、安全地运行；开孔与接管：在压力容器的筒体或者封头上开设各种大小的孔或者安装接管，以及安装压力表、液面计、安全阀、测温仪等接管开孔，是为了工艺要求和检修的需要。

支座：压力容器靠支座支承并固定在基础上。

安全附件：保证压力容器的安全使用和工艺过程的正常进行。

思考题1.3《压力容器安全技术监察规程》依据整体危害水平对压力容器进行分类，若压力容器发生事故时的危害性越高，则需要进行安全技术监督和管理的力度越大，对容器的设计、制造、检验、使用和管理的要求也越高。

《圆板的应力分析》课件

总结
1 圆板的应力分析的
意义
能够为科学研究和技术设计提供支持和保障，也对行业的发展起到推动作用。
2 圆板的应力分析的
技术
通过运用多种方法，包括静平衡、应变、基本方程的推导等，确定圆板的应力分析技术。
3 圆板的应用前景
圆板的应用领域非常广泛，包括航天工程、汽车工程、机械工程、化工工程等。
通过弹性基本原理得出圆板承受极限载荷时，各部位直接构成的应力值，并进行分析。
应用实例
1
圆管的应力分析
采用圆板理论，对圆管的应力和变形
圆形容器的应力分析
2
等行为进行分析。
通过分析圆形容器不同位置受到的压
力大小，并结合材料特性，得出容器
在不同力下的应力行为。
3
圆形车轮的应力分析
利用多孔板的圆板焊接代码，揭示了带扁铧和焊接水平法兰两种圆形车轮的应力分析技术并对其进行了优化。
分析圆板在极坐标系下的应力分量，求解圆板构成的所有力学问题。
圆板中的拉伸与压缩
1
圆板中的切向剪应力
2
圆板上层与下层之间的切向剪应力相
等，沿圆周方向分布均匀。
3
圆板中的轴向拉伸与压缩
圆板沿圆周方向两侧所受拉伸应力相等，且沿厚度方向分布均匀。
圆板中的横向应力
圆板沿厚度方向所受应力在圆周方向和竖直方向分布均匀。
圆板沿厚度方向所受应力在圆周方向和竖直方向分布均匀。
圆板中的横向应力
圆板沿厚度方向所受应力在圆周方向和竖直方向分布均匀。
圆板的极限载荷分析
圆板的稳定性分析
对于圆板的稳定性问题，采用了本构模型的广义圆板理论。
圆板的临界载荷分析
通过计算圆板的临界载荷，可以对圆板在不同载荷下的应力行为进行分析。

受圆锥分布载荷圆板应力分析

维普资讯
《机械设计）０２年５月№５２０
文章编号：Ｏｌ２５（０２００５ｌＯ３４２０）５０５一Ｏ３
应用技术与实例分析
零部件设计５５
受圆锥分布载荷圆板应力分析
乔国章
ｔ吉林省舒兰市通用机械厂．林舒兰吉１２￣）３６
１９９６
［］林文焕，５陈本通机床吏具设计［Ｍ】北京：国防工业出版社．
１８９７
［］李贤藕压传动与控制：６蘖Ｍ］威远县：重庆太学出版杜，９３１９
［特品切削系统公司产品宣传书：７】Ｒ】济南井公司：９９１９
滤过程中，生压力降 △ ＝Ｐ。一Ｐ。滤材料下部产Ｐ过
的圆板是关键受力元件，圆板下面中心有一支撑杆与其刚性连接，于压力降，由圆板上面所受流体压强分布，简化为图２所示，下部为圆柱，部为圆锥。可其上关
囤ｌ圉２
于在Ｐ作用下圆板应力及挠度计算方法，可在本文参
考文献或机械设计手册中查出，在Ａ作用下此圆而Ｐ板的应力及挠度计算方法无处可查，文则运用平板本理论，析并导出在 △Ｐ作用下此圆板的应力及挠度分计算公式。
３东北重型机械学院．阳工学院、春汽车广工＾太学机床央且：洛长设计手册Ｌ］上海：海科学拄术出版杜．９０Ｍ上１８

平板应力分析

第四节平板应力分析3.4平板应力分析3.4.1概述3.4.2圆平板对称弯曲微分方程3.4.3圆平板中的应力3.4.4承受对称载荷时环板中的应力3.4.1概述1、应用：平封头：常压容器、高压容器；贮槽底板：可以是各种形状；换热器管板：薄管板、厚管板；板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；反应器触媒床支承板等。

2、平板的几何特征及平板分类w/t≤1/5时（小挠度）按小挠度薄板计算3、载荷与内力载荷：①平面载荷：作用于板中面内的载荷②横向载荷垂直于板中面的载荷③复合载荷内力：①薄膜力——中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形②弯曲内力——弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。

◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论。

4、弹性薄板的小挠度理论基本假设---克希霍夫K i r c h h o f f① 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法线w 的挠度。

只有横向力载荷 ②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上各点间的距离不变。

类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。

③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。

◆研究: 弹性,薄板 / 受横向载荷 / 小挠度理论 / 近似双向弯曲问题3.4.2 圆平板对称弯曲微分方程分析模型分析模型：半径R ，厚度t 的圆平板受轴对称载荷P z ，在r 、θ、z 圆柱坐标系中，内力M r 、M θ、Q r 三个内力分量轴对称性：几何对称，载荷对称，约束对称，在r 、θ、z 圆柱坐标系中，挠度w 只是 r 的函数，而与θ无关。

求解思路：经一系列推导（基于平衡、几何、物理方程）→弯曲挠度微分方程（z p w ）→求w 求→内力r M M θ、→求应力r θσσ、微元体内力：径向：M r 、M r +（d M r /d r ）d r 周向：M θ、 M θ横向剪力：Q r 、Q r +（d Q r /d r ）d r 微元体外力：上表面z P p rd dr θ=2、几何协调方程(W ~ε)取AB dr =，径向截面上与中面相距为z ，半径为r 与r dr +两点A 与B 构成的微段板变形后：微段的径向应变为 ()r z d z d z dr dr ϕϕϕϕε+-==（第2假设）过A 点的周向应变为()222r z r z r rθπϕπϕεπ+-==（第1假设）作为小挠度dwdrϕ=-，带入以上两式，得应变与挠度关系的几何方程：22r d wz dr z dw r drθεε=-=-（2-55） 3、物理方程根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。

圆板式橡胶支座抗压试验及应力分析

圆板式橡胶支座是桥梁支座的一种类型。是桥梁上下部结构的传力构件，其在满足桥梁竖向力作用的同时还能满足桥梁上结构的变形和转动，在结构的传力和耐久性上起着重要作用。圆板式橡胶支座具有构造简单、加工制造容易、用钢量少、成本低廉、安装方便等优点。橡胶本身是一种柔性材料，在
（ｅａｍｎＥｇｅｒｇＭｅｈｎｃ，ａａｎｖｒｉｆｅｈｏｏ，ａａ１０３ＣｉａＤｐｒｅｔｆｎｉｅｎｃａｉｓＤｌｎＵｉｓｙｏＴｃｎｌｇＤｌｎ１６２，ｈ）ｔｏｎｉｉｅｔｙｉｎ
ＡｂｔａｔＴｒｕｈｔｅｏｒｓｉｎｔｓｓｏｉｕａｌｔｙｅｄａ￣ｍｅｃａｅｒｇｎｒｉｉｅｔｈｓｒｃ：ｈｏｇｈｃｍｐｅｓｏｅｔｆｃｒｌｒｐａｅｔｐｓｃｉｒｐｄｂａｎｓａｄｉｄｔｔｓｓｏｔｅｉｇｙｆ
和支座内部应力分布规律证明该ＦＡ模型基本正确，由计算结果可以看出在支座内部存在着应力分布不均匀Ｅ的现象，同时还可看出圆板式橡胶支座圆周橡胶保护层具有减小支座内部剪应力的作用。
关键字：圆板式橡胶支座；抗压试验；ＥＦＡ模型：力分析应中图分类号：４６Ｕ４１文献标识码：Ａ文章编号：６２９８（０）５０３ — ４１７ — ８９２７０ —０６００
ＣｏｐｒｓｉｎｓｆＰｌｔｐａｔｍｅｉｍｅｓｏＴｅｔｏａｅＴｙｅＥｌｓｏｒｃＰａｄＢｅｉｓＡｎｄＳｔｅｓＡｎｌｓｓａｒｎｇｒｓａｙｉ

材料力学第18讲 Chapter7-2第七章应力状态(应力圆)

x
y
2
R cos[180o
(2
20 )]
xy
x
2
y
R cos(2
20 )
O
xy
x
y
2
R(cos 2
cos 20
sin 2
sin 20 )
x
y
2
x
2
y
cos 2
xy
sin
2
D
A ( x , xy )
y R 2 20
E
C
x
B ( y , xy )
13
单元体与应力圆的对应关系
y y
y
10
a
64103 110103 3.206107 1012
219.6MPa
200
b
64103 100103 3.206107 1012
199.6MPa
10
c
64103 0 3.206107 1012
0.0MPa
120
10
c z
b a y
30
(Fs 160kN; M 64kN m)
xy
（3）以C 为圆心，AC为半径画圆
—应力圆或莫尔圆
O
xy
y
y
xy x
Ox
A ( x , xy )
y C
B ( y , xy )
x
10
3、单元体公式与应力圆的关系
以上由单元体公式
应力圆（原变换）
下面寻求由应力圆
单元体公式（逆变换）
只有这样，应力圆才能与公式等价换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
x
x
x
0
y 1

北美地区GB150和JIS标准主要参照ASME规范EN13445系统

设计参数和有关的问题（5）
安全系数
Ⅷ-1 nT=3.5 ny=1.5 焊管的许用应力中已引入系数0.85 Ⅷ-2 nT=2.4 ny=1.5 GB 150 nb=3.0 ns=1.6 ( 将改为 nb=2.7 ns=1.5 ) JB 4732 nb=2.6 ns=1.5 ( 将改为 nb=2.4 ns=1.5)
从对各处应力分析原理的理解asme和en13445其逻辑性较为严密都采用均布载荷时圆平板的应力分析但对管板的具体结构计及各种不同的影响结构类型各类结构对管板计算影响的分析uhx121计算思路受均布载荷的开孔圆平板支承条件随结构而异开孔的影响uhx1151uhx1152管壳程压力以及布管和不布管区相互协调的影响引入附加力矩uhx1252和管板整体相连的壳体或管箱的约束影响uhx1254兼作法兰时对管板构成的附加弯矩uhx1256管板最大弯矩uhx1257ts用迭代法计算管板最大弯曲应力布管区外周边的剪切应力uhx1258uhx12592s08suhx124b09a已删去计算和管板整体相连壳体或管箱的薄膜弯曲和总应力uhx12510uhx12511计算实例4个uhx201和gb1512计及了和管板固定相连的管箱或壳体一定长度范围内附加的弯曲和薄膜应力3除计算管板弯曲应力外还要计算管板剪切应力固定管板式结构类型各类结构对管板管束壳体计算的影响分析uhx131计算思路受轴对称不均布载荷的开孔圆平板弹性基开孔的影响uhx1151uhx1152有效压力p的计算uhx1356布管区和不布管区协调所引起prim和管壳结构u管壳程压力p固定管板式10固定管板式11固定管板式和螺栓力w两侧受压面大小管壳结构u有关uhx1355cuhx1354壳体在压力作用下变形的支承pjuhx1352壳程压力p有关管束在压力作用下变形的支承pjuhx1352管程压力p有关12固定管板式管壳轴向膨胀差的支承p和温度差管束刚度k有关uhx1355uhx1352假设管板厚度h由p并计及弹性基础板即非均布载荷时的影响f按迭代进行15s3suhx135713固定管板式布管区外周边剪切应力08suhx1358管子轴向应力tbuhx135908a壳体上轴向应力并视其正负而用强度或稳定性条件限制uhx1351008a邻近管板处壳体上轴向薄膜弯曲应力uhx13511邻近管板处管箱上轴向薄膜弯曲应力uhx1351114固定管板式如不予满足管子设计应重新考虑管板壳体或管箱或增加厚度或在必要时作弹塑性计算uhx13512uhx137另一种结构邻近管板处加厚的壳体uhx136当管板和管箱或壳体整体连接时计及邻近管板处径向热膨胀差的影响上述各有关内容另行计算uhx13815固定管板式说明

2.2.1 圆平板中的应力-I 均布载荷下的应力

2
2-65
22- 89 64
3 pr M r D 2 1 C 2 16 D 1 3 pr 2 M D 2 1 C 2 16 D pr Qr以自由转动，因而不存在弯矩，即：
当r R时，w 0 M r 0
3＋ pR 2 C2＝－ 1 32 D 4 5＋ pR C4＝－ 1 64 D
2 - 92
2.2.1 圆平板中的应力-I 均布载荷下的应力
2 - 90 2-66
2.2.1 圆平板中的应力-I 均布载荷下的应力
20
第二节圆平板中的应力
三、受均布载荷的圆平板中的应力
(二)周边固支的圆板：在板中心(r=0),弯矩为：
M r M 1 pR 2 16
第二节圆平板中的应力
三、受均布载荷的圆平板中的应力
(二)周边固支的圆板：圆板的挠度： 2 p w R2 r 2 64 D 最大挠度：在板中心，r=0处，有：
wmax wr 0
pR 4 3 1 2 4 pR 64 D 16 Et 3

(2-75) 2 - 99
A点和B点分别转过和+d
2 - 83
2.2.1 圆平板中的应力-I 均布载荷下的应力图2-28 圆板对称弯曲的变形关系
2 - 84
7
第二节圆平板中的应力
二、基本方程
(3)几何方程：
对于小挠度：
z d z d z dr dr 2r z 2r z 2r r r
改变材料并不能获得有利的应力状态。
5 pR 4 3 1 5 4 wmax wr 0 pR 3 1 64 D 16 Et

3-1-4 应力分析_应力莫尔圆及应力平衡微分方程

10 3 10
l1=
10 1
m2= 10
最大切应力τmax=500MPa
金属塑性成形原理
解析法验证：
2 3 0
三个不变量： J1 x y z 4
J2
(x y
yz
zx )
2 xy
2 yz
2 zx
21
ij 3
0
6 0(100MPa) 0 0
J3
x
y z
2 xy
yz zx
( x
金属塑性成形原理
练习题1：应用莫尔圆分析单向拉伸时的各横截面上的应力变化状态。
y B（ σy＝40 τyx＝0 ） θ
τ C (0,20)
2θ
A
A
（ σx＝0 τxy＝0 ）
Bσ
(40,0)
x
当2θ＝90°（θ＝45°）时，截面的剪切力达到最大值20MPa
金属塑性成形原理
练习题2：物体中某点为平面应力状态，应力张量为：
试利用莫尔圆图解主应力,主方向和最大切应力
τ
τmax (0,5)
2 3 0
ij 3 6 0(100MPa)
0 0 0
2α2
B(6,3)
σ2 (-3,0) 2β2
A(-2,-3) σ2＝－3
2α1 σ1(7,0)
O(2,0) D
σ
2β1 σ1＝7
OD的长度＝1/2（6+2）＝4；R＝5；
y
B
以应力主轴为坐标轴，作一斜微分面，其方向
余弦为l，m，n，则有 :
金属塑性成形原理
l2 m2 n2 1
S1 1 l S2 2 m S3 3 n S 2 S12 S22 S32 12l 2 22m2 32n2

压力容器应力分析-典型圆平板分析

（1）承受均布载荷时圆平板中的应力板内剪力求解：如图，选取任意位置r 处的圆平板进行受力分析，建立轴向平衡式，可求得Q r22()2r r r r Q p rpr Q Q r ππ⋅=⋅==()r r Q Q r =注意：根据图2-29(c)来确定右图中剪力的符号。

将上述边界条件代入（2－63）式中，求得)µ+最大周向弯矩出现在板的中央处，而最大径向弯矩出现在板的边缘处。

此外，弯矩为负的含义表明其方向与当初规定的方向相反（见图2-29）。

类似于上述方法，可得到挠度方程板的上(负号)、下(正号)表面的应力分布如下()()()222222338(269)33(13)8r p R r t p R r t θσµσµµ⎧=+−⎪⎪−⎨⎪⎡⎤=+−+⎣⎦⎪⎩∓∓可见，板内最大拉应力在板的下表面中央部位处。

薄圆平板应力特点①板内为两向纯弯曲应力，忽略z 方向的应力σz 和剪力Q r 引起的剪应力τ。

②板内的弯曲应力沿径向的分布形式与周边支承形式有关，工程实际中的支承形式介于固支和简支之间。

③在同等条件下，板内的最大应力要远大于薄壳内的应力，故板的厚度要比薄壳厚度大。

（2）承受集中载荷时圆平板中的应力板内剪力求解：如图，选取任意位置r 处的圆平板进行受力分析，建立轴向平衡式，可求得Q r2()2r r r r Q PP Q Q r rππ⋅===()r r Q Q r =中心开有圆形孔的圆平板称为“环板”。

以周边简支，内周边承受均布力矩的环板分析为例。

122123()0102ln 4r r Q Q r d d dw r dr r dr dr C C dw r dr r C r w r C C R ϕ==⎡⎤⎛⎞=⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎧=−=+⎪⎪⎨⎪=−−+⎪⎩2.3.4 承受轴对称载荷时环板中的应力如图所示环板，须注意与上述例子的不同在于，只是边界条件有所不同。

11,,00r r r R M M r R M and w ==−===Boundary Conditions:这样，我们就可以对许多类似的问题进行求解。

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