3.1.2两条直线的平行与垂直的判定(教学设计)
3.1.2直线的平行和垂直的判定 优秀教案
3．1 直线的倾斜角和斜率【课题】：3.1.2 两条直线平行和垂直的判定【教学目标】：（1）知识与技能：掌握斜率存在的两条直线的平行和垂直的充要条件。
（2）过程与方法：能根据斜率的关系判断平面内两条直线的平行和垂直关系。
（3）情感态度与价值观：渗透解析几何的思想方法，同时，注意思考的严密性，表达的规范性，培养学生的探究、概括能力【教学重点】：两条直线的平行和垂直的充要条件。
【教学难点】：两条直线的平行和垂直的充要条件的理解和应用。
【教学突破点】：在研究两条直线的平行和垂直关系时离不开倾斜角这个环节，启发学生利用平面几何中平行线与同位角关系的结论以及倾斜角和斜率的关系，让学生参与到问题的研究中来，通过类比归纳和推理，由学生自己得出两条直线的平行和垂直的充要条件。
这里的关键是把初中平面几何中所学的两条直线平行的结论转化成坐标系中的语言，用倾斜角、斜率来刻画有关条件。
【教法、学法设计】：在具体教学过程中，教师可在教材的基础上适当拓展，使得内容更为丰富．教师可以运用和学生共同探究式的教学方法，学生可以采取自主探讨式的学习方法．【课前准备】：课件21k=-21k=-y21k=-外，一个不存在）ABC 是直角三角形今天我学了什么？（学生自己回忆）21k =-一. 判断题:(判断下列各对直线平行还是垂直)1. 经过两点A(2, 3), B(-1,0) 的直线1l , 与经过点P(1, 0)且斜率为1的直线2l2. 经过两点A( 3,1), B(-2,0) 的直线1l , 与经过点M(1,-4)且斜率为-5的直线2l3. 1l 经过点P(3,3),Q(-5,3), 2l 平行于x 轴,但不经过P,Q 两点4. 1l 经过点M(-1,0), N(-5,-2), 2l 经过点 R(-4,3), S(0,5)5. 1l 经过点M(1,0), N(4,-5), 2l 经过点 R(-6,0), S(-1,3)6. 1l 的倾斜角为045, 2l 经过点 R(-2,-1), S(3,-6)二. 解答题7. 试确定m 的值,使过点A(m,1), B(-1,m)的直线与过点P(1,2), Q(-5,0)的直线(1)平行 (2)垂直 8 已知A(1,-1), B(2, 2), C(3, 0)三点,求点D 的坐标, 使直线,//CD AB CB AD ^且 答案:1. 平行2.垂直3.平行4.平行5.垂直6.垂直7.解: 直线AB 的斜率11AB m k m -=--, 直线PQ 的斜率2011(5)3PQ k -==--(1)若AB//PQ,则AB k =PQ k ,即11m m ---=13,解得:12m =(2)若AB PQ ^,则ABk PQ k =-1,即11m m ---·13=-1,解得:m=-28.解:设(,)D x y ，因为A(1,-1), B(2, 2), C(3, 0) 则1,3,2,31CD AB CB AD y y k k k k x x +===-=-- 使直线,//CD AB CB AD ^且,只需1,CD AB CB AD k k k k ?-=即131,231yy x x +?-=---,解得:0,1x y == 所以点D(0,1)。
两条直线平行与垂直教案
课题 3.1.2两条直线平行与垂直的判定教师年级高一课标要求能根据斜率判定两直线平行或垂直教学目标1.知识与技能：探究两直线平行与垂直的判定，理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，能根据斜率判定两条直线平行或垂直2.过程与方法：体验、经历用斜率研究两条直线的位置关系的过程与方法，体会解析几何用图形直观感知，再用代数严格证明的方法方法。
3、态度情感与价值观：感受坐标法对沟通代数与几何、数与形之间联系的重要作用。
教学重点根据斜率判定两条直线平行和垂直教学难点根据斜率关系判定两条垂直的推导过程教学手段多媒体课件课题类型新授课教学过程师生主要活动设计意图知识储备1，直线倾斜角的定义2．直线倾斜角的取值范围3．直线斜率4.过两点P1 (x1 , y1 )，P2 (x2 , y2 )的直线的斜率：复习所学知识，为新课做准备教学探究一：在给出的直角坐标系中画出两条平行直线12l l，，标出的倾斜角，猜想它们之间斜率的关系？并说明为什么？由1l∥2l⇒21αα=⇒21tantanαα=⇒21kk=反之21kk=⇒21tantanαα=⇒21αα=⇒1l∥2l注意：21kk=⇔1l∥2l或1l与2l重合练习1：已知A(2,3),B(-4,0),C(-3,1),D(-1,2)，试判断直线AB与CD的位置关系，并证明你的结论.探究二：在给出的直角坐标系中画出两条垂直直线12l l，，标出倾斜角，观察倾斜角的关系，猜测它们斜率有什么关系？(1)若直线且的倾斜角为300，的倾斜角为1200，k1与k2的关系12k k1=-(2) 若直线AB的倾斜角为450直线CD的倾斜角为1350，k1与学生动手作图，体验探究两条直线斜率与直线的位置关系的过程。
巩固两直线平行与斜率间的关系符合学生的认知规律：从具体到抽象，从特殊到一般。
验证猜想的可靠性2l1l1α2αYO XyXyX005ααα.sin(90+)= cos(90+)=tan(90+)=过程教学过程k2的关系.(3)若值线且的倾斜角为600，的倾斜角为1500，k1与k2的关系猜想：若两条直线垂直则，利用几何画板直观演示证明：121212=-1l l k k k k⊥⇔或者，中一个为零一个不存在练习2：①已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三点，试判断△ABC的形状②已知A（-1，1），B（5，1）,C(a，0), 且AB BC⊥，求a的值例题：判断以A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D(4,6)为顶点的四边形的形状，并给出证明能力提升：已知A（-1，－2）、B（4，1）、在x轴上求一点C 使得①A,B,C三点共线②△ABC为直角三角形应用新知解决数学问题的思路，同时规范答题过程培养学生逆向思维，以及思维的发散性三、课堂小结：1、两不重合的直线：1l∥2l⇔1212k k k k=或者、都不存在注意：21kk=⇔1l∥2l或1l与2l重合2、121212=-1l l k k k k⊥⇔或者，中一个为零一个不存在小测验：1、若A（-1，2），B（0，-1），且直线AB//l,则直线l的斜率是2、已知A（2，3）、B（-1，1）、在y轴上求一点C 使得①△ABC为直角三角形且角A为直角②△ABC为直角三角形（①②选作一问）作业：习题3.1A组5,6,7,8对所学知识形成全面的认识，养成总结归纳的学习习惯课前知识检测板书设计两条直线平行与垂直的判定平行垂直例题教学反思2190oαα=+()2111tan tan90tanoααα∴=+=-121k k∴=-2l1l1α2αYO X。
教案高一数学人教版必修二 3.1.2两条直线平行与垂直的判定最新修正版
双峰一中高一数学必修二教案
科目：数学
课题
§3.1.2两条直线平行与垂直的判定课型新课Fra bibliotek教学目标
(1)理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
(2)通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力. (3)通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.
教学过程
教学内容
备注
一、
自主学习
二、
质疑提问
三、
问题探究
四、
课堂检测
五、
小结评价
3.1.2两条直线平行与垂直的判定(教案)
例６.已知
A(5,1) ，B(1,1) ， C (2,3)
1 2
三点，试判断 ABC 的形状．
AB 边所在直线的斜率 k AB 解：
所以 即 故
BC 边所在直线的斜率 k BC 2
k AB k BC 1
AB BC
另解:向量法
ABC
是直角三角形．
三、课时小结
l 1 l2
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
一、知识回顾
1.如图，判断哪一个是倾斜角？ 2.斜率是如何定义的？ 设直线的倾斜角为
1
0 tan（ 90 ） k 0 不存在（ 90 ）
，则有
3.斜率的求法？ 已知倾斜角
y2 y1 y1 y2 (x1 x2) 已知直线上的两点 k x2 x1 x1 x2
二、新知探究
探究1.
设两直线 l1与
l 2 的斜率分别为 k1 和 k2
① 当 l1 // l2 时，k1与 l2
α1
O
α2
x
根据两直线平行同位角 相等，有 1 2
即
y
l1
l2
tan1 tan 2
所以 即： ②当
k1 k 2
O
α1
α2
x
l1 / /l2
l1 与 l 2 的斜率分别为
k 1 和 k2
当 l1
l2 时，k1 与 k2 满足
什么关系？
设两直线
l1 与 l 2 的斜率分别为
且
k 1 和 k2
即有
l1 l2
0
2 90 1
所以 所以
1 tan2 tan( 90 1 ) tan1
高二数学最新教案-两条直线的平行与垂直的判定 精品
课题：§3.1.2两直线平行与垂直的判定一．教学任务分析:（1）通过对两直线平行或垂直的条件的探究，使学生体会通过代数关系得到几何结论，用代数方法研究几何问题的思想。
培养学生运用已有知识解决新问题以及数形结合能力。
（2）理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直．二．教学重点与难点：教学重点：两条直线平行和垂直的条件和应用。
教学难点：两条直线平行和垂直条件的探究过程。
↓↓1．创设情景，揭示课题上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式.现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．2，探究两直线平行或垂直的条件它们互相平行（2）两条直线中有一条直线没有斜率,（3）两条直线的斜率都存在时设直线 L 1和L 2的斜率分别为k 1和k 2.我们研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系? ① 研究两条直线互相平行(不重合)的情形． 如果L 1∥L 2，那么它们的倾斜角相等： α1=α2．∴tan α1=tan α2． 即 k 1=k 2．反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k 1=k 2， 那么tan α1=tan α2，由于0°≤α1＜180°， 0°≤α2＜180°，∴α1=α2．（通过信息技术方法验证） 又∵两条直线不重合，∴L 1∥L 2．结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即说明: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有L 1∥L 2; 反之则不一定. ② 研究两条直线垂直的情形．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知k 1, k 2的关系, 并使L 1(或L 2)转动起来, 但仍保持L 1⊥L 2, 观察k 1, k 2的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α1为锐角,钝角等).如果L 1⊥L 2，这时α1≠α2，否则两直线平行．不妨设α2＜α1，甲图的特征是L 1与L 2的交点在x 轴上方；乙图的特征是L 1与L 2的交点在x 轴下方；丙图的特征是L 1与L 2的交点在x 轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为L 1、L 2的斜率分别是k 1、k 2，即α1≠90°，所以α2≠0°．利用三角公式ααtan 1)90tan(-=+（在学习三角函数时证明） 221tan 1)90tan(tan ααα-=+=∴， )90tan(tan 1tan 221ααα+=-=可以推出 : α1=90°+α2． L 1⊥L 2． 结论: 两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即注意: 结论成立的条件. 即如果k 1·k 2 = -1, 那么一定有L 1⊥L 2; 反之则不一定. 3．两直线平行，两直线垂直条件的应用例1：已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA 与PQ 的位置关系, 并证明你的结论.解: 直线BA 的斜率k BA =(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直线PQ 的斜率k PQ =(2-1)/(-1-(-3))=0.5,因为 k BA =k PQ =0.5, 所以 直线BA ∥PQ.例2：已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.例3：已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.解: 直线AB的斜率k AB= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ的斜率k PQ= (6-3)(-2-0)=-3/2,因为k AB·k PQ = -1 所以AB⊥PQ.例4：已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.4．课堂练习P98 练习 1. 2.5．课后小结(1)两条直线平行或垂直的等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.6．布置作业：《随堂导练》P47-48。
3、1、2两条直线平行与垂直的判定学案
3.1.2两条直线平行与垂直的判定学案【教学目标】1、掌握两条直线平行、垂直的充要条件，会判断两条直线是否平行、垂直；2、培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力；3、通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的透析，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.【教学重难点】重点：掌握两条直线平行、垂直的充要条件，会判断两条直线是否平行、垂直. 难点：斜率不存在时两直线垂直情况的讨论（公式适用前提条件）.【教学过程】回忆：直线倾斜角定义及范围？直线斜率定义？已知两点的直线斜率计算公式？【自学内容】学生阅读教材86—88页知识，然后小组讨论并回答下列问题： 设两条直线1l 、2l 的斜率分别为1k 、2k ，倾斜角分别为βα、.1、平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？2、两条直线的倾斜角相等，这两条直线平行吗？反过来成立吗？3、若090≠=βα，则21tan tan k k ===βα成立吗？为什么？4、由<2>、<3>你能得到什么结论？并证明你所得到的结论。
5、若直线1l 和2l 可能重合时，能得到什么结论？(这是用斜率证明三点共线时的依据）；6、若两条直线21l l 时，1k 与2k 应满足什么关系呢？试证明之。
7、上述结论反过来成立吗？由此我们可以得到什么结论？约定：若没有特别的说明，说“两条直线1l 和2l ”时，一般是指两条不重合的直线. 特例：当两条直线的倾斜角都是直角时，也即两条直线斜率不存在时，两直线平行.当一条直线的斜率不存在，一条直线斜率为0时，两直线垂直.三、【应用示例】：例1、判断直线AB 与PQ 的位置关系？（1）、已知A （2，3）、B （-4，0）、P （-3，1）、Q （-1，2）（2）、已知A （-6，0）、B （3，6）、P （0，3）、Q （6，-6）（3）、已知A （2，-1）、B （3，-1）、P （3，0）、Q （3，6）例2、已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A （0，0）、B （2，-1）、C （4，2）、D （2，3），试判断四边形ABCD的形状，并给出证明。
高中数学3.1.2两条直线平行与垂直的判定教案(新人教A版必修5)
3.1.2 两条直线的平行与垂直的判定教学目标(一)知识教学理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.(二)能力训练通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．(三)学科渗透通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．教学重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．教学难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．注意按斜率存在与否分类讨论。
教学方法：引导探究，师生互动.教学用具：多媒体课件教学过程：一、复习引入：上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．二、探究新知：(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直：讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率,(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直设直线L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?1、首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．∴tgα1=tgα2．即k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°，0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴L1∥L2．结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.2、下面我们研究两条直线垂直的情形．如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．，可以推出: α1=90°+α 2 1⊥L2．结论: 两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.三、典例示范：例1已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,因为k1=k2=0.5, 所以直线BA∥PQ.例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.例3 已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ的斜率k2= (6-3) (-2-0)=－3/2,因为k1·k2 = －1 所以AB⊥PQ.例4已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.四、课堂练习：P89 练习 1. 2.拓展1：已知A(2, 3), B(-4, 0), Ｃ(0, 2), 证明A、B、C三点共线。
教学设计3：3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定三维目标1．知识与技能(1)让学生掌握直线与直线的位置关系．(2)让学生掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法．2．过程与方法(1)利用“两直线平行，倾斜角相等”这一性质，推出两直线平行的判定方法．(2)利用两直线垂直时倾斜角的关系，得到两直线垂直的判定方法．3．情感、态度与价值观(1)通过本节课的学习让学生感受几何与代数有着密切的联系，对解析几何有了感性的认识．(2)通过这节课的学习，培养学生用“联系”的观点看问题，提高学习数学的兴趣．(3)通过课堂上的启发教学，培养学生勇于探索、创新的精神．重点难点重点：根据直线的斜率判定两条直线平行与垂直．难点：两条直线垂直判定条件的探究与证明．重难点突破：以初中学习的平面内两直线平行和垂直关系为切入点，利用数形结合的思想，导出直线倾斜角间的关系，再通过直线的倾斜角同斜率的关系，猜想得出两条直线平行和垂直判定的方式．为了更好的理解两直线垂直的条件，老师可利用几何画板直观演示，验证当两条直线的斜率之积为－1时，它们是相互垂直的即可．教学建议本节课是在学习直线的倾斜角、斜率概念和斜率公式等知识的基础上，进一步探究如何用直线的斜率判定两条直线平行与垂直的位置关系．核心内容是两条直线平行与垂直的判定．结合本节知识的特点，建议采用引导发现法，先从学生已有的知识经验出发，采用数形结合的思想，把两条直线平行与垂直的几何关系代数化，由于学生面对的是一种全新的思维方法，首次接触会感到不习惯，故教学过程中，教师应采取循序渐进的原则，注意到直线的倾斜角同斜率的关系，在几何关系代数化的过程中，注意向学生渗透分类讨论思想．课标解读1．理解两条直线平行或垂直的判断条件．(重点)2．会利用斜率判断两条直线平行或垂直．(难点)3．利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．(易错点)知识1两条直线平行与斜率之间的关系【问题导思】1．若两条直线平行，其倾斜角什么关系？反之呢？【提示】两条直线平行其倾斜角相等；反之不成立．2．有人说：两条直线平行，斜率一定相等．这种说法对吗？【提示】不对，若两直线平行，只有在它们都存在斜率时，斜率相等，若两直线都垂直于x轴，虽然它们平行，但斜率都不存在．两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图示知识2两条直线垂直与斜率之间的关系【问题导思】1．如图，直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，若l1⊥l2，则α1与α2之间存在什么关系？【提示】α2＝α1＋90°.2．当直线l1的倾斜角为0°时，若直线l1⊥l2，则l2的斜率应满足什么条件？【提示】直线l2的斜率不存在，如图，当直线l1的倾斜角为0°时，若l1⊥l2，则l2的倾斜角为90°，其斜率不存在．两条直线垂直与斜率的关系 对应关系l 1与l 2的斜率都存在，分别为k 1，k 2， 则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1l 1与l 2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l 1与l 2的位置关系是l 1⊥l 2图示类型1两条直线平行关系的判定例1 判断下列各组中的直线l 1与l 2是否平行：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (2,1)，l 2经过点M (3,4)，N (－1，－1)； (2)l 1的斜率为1，l 2经过点A (1,1)，B (2,2)；(3)l 1经过点A (0,1)，B (1,0)，l 2经过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1经过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2经过点M (5，－2)，N (5,5)． 【思路探究】 依据两条直线平行的条件逐一判断便可．【自主解答】 (1)k 1＝1－(－2)2－(－1)＝1，k 2＝－1－4－1－3＝54，k 1≠k 2，l 1与l 2不平行．(2)k 1＝1，k 2＝2－12－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合． (3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－(－1)＝－1，k 1＝k 2，而k MA ＝3－1－1－0＝－2≠－1， ∴l 1∥l 2.(4)l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2. 规律方法判断两直线平行，要“三看”：一看斜率是否存在；在斜率都存在时，二看斜率是否相等；若两直线斜率都不存在或相等时，三看直线是否重合，若不重合则两直线平行． 变式训练已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l 2经过两点(2,1)，(x,6)，且l 1∥l 2，则x ＝________.【解析】 ∵直线l 1的斜率不存在，且l 1∥l 2， ∴l 2的斜率也不存在． ∴点(2,1)及(x,6)的横坐标相同， ∴x ＝2. 【答案】 2类型2 两条直线垂直关系的判定例2 判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1,2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,100)，l 2经过点M (－10,40)，N (10,40)．【思路探究】 求出斜率，利用l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1或一条直线斜率为0，另一条斜率不存在来判断．【自主解答】 (1)直线l 1的斜率k 1＝2－(－2)1－(－1)＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－(－1)2－(－2)＝12，k 1k2＝1，故l 1与l 2不垂直．(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴． 直线l 2的斜率k 2＝40－4010－(－10)＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.规律方法使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；(3)三求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 变式训练已知直线l 1⊥l 2，若直线l 1的倾斜角为30°，则直线l 2的斜率为________． 【解析】 由题意可知直线l 1的斜率k 1＝tan 30°＝33， 设直线l 2的斜率为k 2，则k 1·k 2＝－1， ∴k 2＝－ 3. 【答案】 － 3类型3直线平行与垂直关系的综合应用例3 已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A 、B 、C 、D 四点，试判定图形ABCD 的形状．【思路探究】 先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．【自主解答】 A 、B 、C 、D 四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得 k AB ＝5－32－(－4)＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－(－4)＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12.∴k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合， ∴AB ∥CD .由k AD ≠k BC ，∴AD 与BC 不平行． 又k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，∴AB ⊥AD .故四边形ABCD 为直角梯形． 规律方法1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明确定目标．2．证明两直线平行时，仅k 1＝k 2是不够的，注意排除重合的情况． 3．判断四边形形状问题要进行到底，也就是要得到最具体的四边形． 变式训练已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A (0,0)，B (2，－1)，C (4,2)，D (2,3)，试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明．【解】 四边形ABCD 是平行四边形． 证明如下：如图所示，AB 边所在直线的斜率k AB ＝－1－02－0＝－12，CD 边所在直线的斜率k CD ＝3－22－4＝－12，BC 边所在直线的斜率k BC ＝2－(－1)4－2＝32， DA 边所在直线的斜率k DA ＝3－02－0＝32. 所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k DA ，由题意知AB ∥CD ，BC ∥DA . 故四边形ABCD 是平行四边形．分类讨论思想在直线平行与垂直中的应用典例 (12分)已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，a ＋2)．(1)若l 1∥l 2，求a 的值； (2)若l 1⊥l 2，求a 的值．【思路点拨】 (1)x C ≠x D 斜率存在,l 1∥l 2→k 1＝k 2→a 的值 (2)l 1⊥l 2→分情况讨论→求a 的值 【规范解答】 设直线l 2的斜率为k 2， 则k 2＝2－(a ＋2)1－(－2)＝－a3.(1)若l 1∥l 2，设直线l 的斜率为k 1，则k 1＝－a3.又k 1＝2－a a －4，则2－a a －4＝－a3，∴a ＝1或a ＝6.经检验，当a ＝1或a ＝6时，l 1∥l 2. (2)若l 1⊥l 2，①当k 2＝0时，此时a ＝0，k 1＝－12，不符合题意.8分②当k 2≠0时，l 2的斜率存在， 此时k 1＝2－aa －4.∴由k 2k 1＝－1，可得a ＝3或a ＝－4. 所以，当a ＝3或a ＝－4时， l 1⊥l 2.思维启迪1．由l 1∥l 2比较k 1，k 2时，应首先考虑斜率是否存在，当k 1＝k 2时，还应排除两直线重合的情况．2．由l 1⊥l 2比较k 1，k 2时，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否为0的情况． 3．在l 1∥l 2及l 1⊥l 2相关问题的处理中，树立分类讨论的意识．课堂小结1．两条直线平行的条件是在两直线不重合且斜率存在的条件下得出的，即在此条件下有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则两直线也平行．2．两条直线垂直的条件也是在两条直线的斜率都存在的条件下得出的，即在此条件下有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1；若一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率等于0，则两条直线也垂直．3．在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想．当堂检测1．已知直线l 1∥l 2，直线l 1的斜率k 1＝2，则直线l 2的斜率k 2＝( )A ．不存在B ．12C ．2D ．－12【解析】 ∵l 1∥l 2且k 1＝2， ∴k 2＝2. 【答案】 C2．已知直线l 1的斜率k 1＝－85，直线l 2的斜率k 2＝58，则l 1与l 2的位置关系为( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．无法确定 【解析】 ∵k 1·k 2＝－1， ∴l 1⊥l 2. 【答案】 C3．直线l 1的斜率为2，直线l 2上有三点M (3,5)，N (x,7)，P (－1，y )，若l 1⊥l 2，则x ＝________，y ＝________.【解析】 ∵l 1⊥l 2，且l 1的斜率为2，则l 2的斜率为－12，∴7－5x －3＝y －5－1－3＝－12，∴x ＝－1，y ＝7.【答案】 －1 74．(1)已知直线l 1经过点M (－3,0)，N (－15，－6)，l 2经过点R (－2，32)，S (0，52)，试判断l 1与l 2是否平行．(2)l 1的倾斜角为45°，l 2经过点P (－2，－1)，Q (3，－6)，问l 1与l 2是否垂直？【解】 (1)∵k MN ＝0－(－6)－3－(－15)＝12，k RS ＝52－320－(－2)＝12，∴l 1∥l 2.(2)∵k 1＝tan 45°＝1，k 2＝－6－(－1)3－(－2)＝－1，∴k 1·k 2＝－1.∴l 1⊥l 2.。
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高中数学必修2第三章
课题：两条直线的平行与垂直的判定教案
2016.6.13
张海军
3.1.2 两条直线的平行与垂直的判定（教学设计）
教学目标
1.知识与技能
理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
2.过程与方法
通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用代数方法来研究几何问题.
3.情感、态度和价值观
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣,
欣赏解析几何的代数抽象美．
教学重点、难点
重点：熟练掌握两条直线平行和垂直的条件
难点：研究两条直线的平行或垂直问题的判断．
教学过程
（一）创设情景，导入课题
复习已经学习的直线的倾斜角和斜率的概念, 可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导
出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．（二）师生互动，新课讲解
1. 先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直
讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互
相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．
2. 两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行
设直线l1和l2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的
方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的.
所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?
首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果l1∥l2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．因为tgα1=tgα2 即 k1=k2．
反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．
由于0°≤α1＜180°， 0°≤α2＜180°，所以α1=α2．
又因为两条直线不重合，两条直线平行l 1∥l 2．
结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即l 1∥l 2⇔k 1=k 2.
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有l 1∥l 2; 反之则不一定.
3. 两条直线的斜率都存在时, 两直线的垂直
下面我们研究两条直线垂直的情形．
结论: 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
12121-=⋅⇔⊥k k l l
注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有21l l ⊥; 反之则不一定.
例1（课本P87例3）已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA 与PQ 的位置关系, 并证明你的结论. 解: 直线BA 的斜率k 1=2
1)4(203=---, 直线PQ 的斜率k 2=2
1)3(112=----, 因为 k 1=k 2=21
, 所以 直线BA ∥PQ.
例2（课本P87例4） 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD 的形状,并给出证明.
解同上.
例3（课本P88例5）已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB 与PQ 的位置关系.
解: 直线AB 的斜率32)6(3061=---=
k , 直线PQ 的斜率2
3)02361-=---=k , 因为 k 1·k 2 = -1 所以 AB ⊥PQ.
例4（课本P89例6）已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC 的形状.
分析: 通过观察猜想: 三角形ABC 是直角三角形, 其中AB ⊥BC, 再通过计算加以验证.
课堂练习：（课本P89练习 NO ：1；2）
例5：(tb7909304)已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A （0，1），B （1，0），C （4，3），求顶点D 的坐标。
（答：D （3，4））
（三）课堂小结，巩固反思
1.知识小结
(1) 两条直线平行或垂直的判定方法
(2) 注意特殊情况特殊处理，如有斜率为零或斜率不存在的情况.
(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.
2. 思想方法：倾斜角、平行是几何概念，坐标、斜率是代数概念，解析几何的本质是用代数方法来研究几何问题.
（四）课时必记：
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即l1∥l2⇔k1=k2.
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它
们互相垂直，即
1
2
1
2
1
-
=
⋅
⇔
⊥k
k
l
l
3、当直线斜率不存在时，应作图分析两条直线的位置关系。
（五）布置作业
A组：
1、（课本P89习题3.1A组 NO：6）
2、（课本P89习题3.1A组 NO：7）
3、（课本P89习题3.1A组 NO：8）
B组：
1、（课本P89习题3.1 B组 NO：1）
2、（课本P89习题3.1 B组 NO：2）
3、（课本P89习题3.1 B组 NO：3）
4、（课本P89习题3.1 B组 NO：4）
5、（课本P89习题3.1 B组 NO：6）
C组：
1、（tb7909501）已知直线m1经过点A（3，a），B(a-2，3)，直线m2经过点M(3,a)，N(6,5)，若m1 m2，求a的值。
（略解：要讨论斜率是否存在，a的值为0或5）。