11 动载荷.交变应力

EA

2 EA

l
0
(l 2 x 2 ) dx
2l 3
3E
17
（与A无关）
§11.3 杆件受冲击荷载作用时的动应力计算
1 工程中的冲击问题 撞击，打桩，铆接，突然刹车等。 特点：冲击物在极短瞬间速度发生剧变，被冲 击物在此瞬间受到很大冲击力的作用。 例如： 锤重 W=4.45 N，碰撞力的峰值 Fmax=1491 N。 是重力的335倍。 2 求解冲击问题的基本假设 ① 不计冲击物的变形； ② 冲击物与构件（被冲击物）接触后无回跳， 18
ω
3 匀角速度转动构件中的动应力分析 设圆环以均角速度转动， 厚度 t 远小于直径D， 截面积为A，比重为 。 加上惯性力系。
qd
D 2 an R 2 A D 2 A qd an 2g g
2
11
D 2 an R 2 A D 2 A qd an 2g g
23

为求出d , 将Pd用Q表示
1 Ek Q d Pd d 2
Pd d d Q st st
在线弹性范围内，有:
d Pd Q st
2 d
1 Ud Q 2 st
2 d
代入机械能守恒定律，化简得:
解此一元二次方程得:
2 Ek st 2 st d 0 Q

6

动载荷问题的求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得结果乘以动荷系数 Kd 即可。
例如： 按静载求出某点的应力为 则动载下该点的应力为
st d Kd st 按静载求出某点的挠度为 wst 则动载下该点的挠度为 wd K d vst

强度条件
3
§11.2 构件作等加速直线运动或等速转动时 的动应力计算 1 动静法 即为理论力学中介绍的达朗伯原理。 2 构件作匀加速平动时的动应力分析

例子
设杆以匀加速度a作平动， 截面积为A，比重为 。 qd 加上惯性力系。 l 分布载荷中，包括自重 a A a A (1 ) 和惯性力。 则： qd A
b
R
a
R
g
4
g
a A q d l a A (1 ) qd A g g 加速度为零时： q A st a 加速度为a时： q q (1 ) d st g a 动荷系数 记： K d 1 g 若忽略自重，则 K a d g
5
分布载荷中，包括自重 和惯性力。 则：
这时，公式中的Ek为:
Ek Qh
2h Kd 1 1 st
26
(1) 垂直冲击(自由落体) 这时，公式中的Ek为:
Ek Qh
2h Kd 1 1 st
(2) 水平冲击 设接触时的速度 为 v , 则动能:
1Q 2 Ek v 2g
以重物所在的水平面为零势面，
则势能:
V 0Βιβλιοθήκη EA P l l EA k l
T V Ud
21
能量法 设冲击物重为Q，冲击 开始时的初动能为T。 被冲击物的最大变形 为 △d 忽略能量损失，由机 械能守恒定律，有:

Ek E p U d
以最大变形时重物的位置为零势位置。
则初位置的势能为:
E p Q d
设达到最大变形时，弹簧所受的动载荷为: P22 d
Wz 21.2 10 mm
3 3
梁的最大静应力为
st,max
M max 1 206.6 103 56.9 MPa 3 Wz 21.2 10
2.02 56.9 114.9 MPa
10
梁的最大动应力为 d,max K d st,max

强度条件
d Kd st [ ]
b
R
a
R
a 加速度为a时： q q (1 ) d st g a 动荷系数 记： K d 1 g a 若忽略自重，则 Kd g

对线性系统 内力、应力、应变和变形都与外力成线性关系。
动载荷问题的求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得结果乘以动荷系数 Kd 即可。
则: d K d st ,
Pd K d Q, d K d st
25
2 E d k 冲击动 引入记号: K d 1 1 st Q st 荷系数
则: d K d st ,

Pd K d Q, d K d st
几种常见情况下的冲击动荷系数 (1) 垂直冲击(自由落体)
Kd 2
所以，承受突加载荷时，构件内的应力和变形 均为静载时的两倍。 讨论 减小冲击载荷和冲击应力的措施 由冲击动荷系数公式
2T Kd 1 1 , Q st
Kd
v g st
2
可以看出：要使Kd小，应使 △st 大。 即：应使结构上受冲击点的静位移尽量地大。 在满足刚度和强度要求的前提下 31
FNd(x)
x
q d( x )
l
A 2 (l x 2 ) 2
2

x = 0 时，
FNd max
A 2l 2 2
AB杆的最大动应力为 FNd max 2l 2 d max A 2 AB杆的伸长量为 2 l F ( x) dx A Nd
ld
0
（与A无关）

动载荷 随时间明显变化的载荷，即具有较大 加载速率的载荷。
实验表明： 在动载荷作用下，只要应力不超过比例极限， 胡克定律仍成立，且弹性模量与静载时相同。
2

2 动载荷问题分类
2 动载荷问题分类 1) 构件有加速度时的应力计算; 2) 冲击问题； 3) 交变载荷； 4) 振动问题。 本章只讨论构件有加速度时的应力、冲击 时的应力和交变载荷。
2 求解冲击问题的基本假设 ① 不计冲击物的变形； ② 冲击物与构件（被冲击物）接触后无回跳， 二者合为一个运动系统； ③ 构件的质量与冲击物相比很小，可略去不计, 冲击应力瞬间传遍整个构件； ④ 材料服从虎克定律； ⑤ 冲击过程中，能量损耗很小，可略去不计。 3 求解冲击问题的能量法 线弹性系统 任一线弹性杆件或结构都可简化为线性弹簧。 19
v d st g st
即: (3) 突加载荷
2
Kd
v g st
2
对于初始速度为零，初始高度为零的突然加于 29 构件上的载荷,
(3) 突加载荷 对于初始速度为零，初始高度为零的突然加于 构件上的载荷, 由垂直冲击公式
2h Kd 1 1 st
Kd 2
所以，承受突加载荷时，构件内的应力和变形 均为静载时的两倍。 讨论 减小冲击载荷和冲击应力的措施 30
可以看出：要使Kd小，应使 △st 大。 即：应使结构上受冲击点的静位移尽量地大。 在满足刚度和强度要求的前提下

工程实例 气缸
32

冲击问题的一般解题步骤 1) 判断是垂直冲击还是水平冲击； 2) 求 △st ； 3) 求 Kd ; 4) 计算静应力 st ； 5) 计算动应力 d = Kd st .
24
代入机械能守恒定理，化简得:
解此一元二次方程得:
2 Ek st 2 st d 0 Q
2 d
2 Ek d st 1 1 Q st 2 E d k 冲击动 引入记号: K d 1 1 st Q st 荷系数
2

A
x
q d( x )
l
FNd ( x ) qd ( ) d A 2 d
x x
l
l
A 2 2 (l x 2 ) 2
FNd(x)
x
q d( x )
l

16
AB 杆的轴力为
FNd ( x ) qd ( ) d A 2 d
x x l l
第十一章
§11.1 概述
动载荷.交变应力
§11.2 构件作等加速直线运动或等速转动时 的动应力计算 §11.3 杆件受冲击荷载作用时的动应力计算 §11.4 交变应力下材料的疲劳破坏。疲劳极限
1
§10. 1 概述
1 . 动载荷

静载荷 载荷从零开始缓慢地增加到最终值。 可认为构件始终处于平衡状态。
30
角加速度 惯性力矩

1 0
t
3

0.5 π md J x kN m 3
π 2 rad/s 3
14


惯性力矩
由动静法
x
md
0.5 π J x kN m 3
m

0 m f md

轴内扭矩

0.5 π kN m T md 3
则初位置的势能为:
设达到最大变形时， 弹簧所受的动载荷为:P d 则变形能为:
E p Q d
1 Ek Q d Pd d 2 为求出d , 将Pd用Q表示 P d d d 在线弹性范围内，有: Q st st
由:
1 U d Pd d 2 Ek E p U d
27
(2) 水平冲击
设接触时的速度 为 v , 则动能:
1Q 2 Ek v 2g
以重物所在的水平面为零势面， 则势能:
V 0
忽略能量损失，由机械能守恒定律，有:
Ek E p U d
2 1Q 2 1 1 d v Pd d Q 2g 2 2 st
28
Ek E p U d 2 1Q 2 1 1 d v Pd d Q 2g 2 2 st