2011年高考必考点-数形结合思想

数形结合思想一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．已知集合P={ 0, m},Q={x │Z x x x ∈<-,0522},若P∩Q≠Φ,则m 等于 （ ）A ．1B ．2C ．1或25D ．1或22．使得点)2sin ,2(cos ααA 到点)sin ,(cos ααB 的距离为1的α的一个值是 （ ）A ．12π B ．6π C ．3π- D ．4π- 3．将函数x x f 2sin :→的图象向右平移B=[－1，1]个单位长度，再作关于x 轴的对称变换，得到y x x R =∈cos2，的图象，则f x ()可以是（ ）A ．sin xB ．cos xC ．2sin xD ．2cos x4．某工厂六年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂六年来这种产品的可用图像表示的是 （ ）形状），则气球表面积的最大值为（ ）A ．2a πB ．22a πC ．32a πD ．42aπ6．已知z ∈C ，满足不等式0<-+z i iz z z 的点Z 的集合用阴影表示为 （ ） 7．直角坐标x O y 平面上，平行直线x ＝n （n ＝0，1，2，……，5）与平行直线y ＝n （n ＝0， 1，2，……，5）组成的图形中，矩形共有 （ ）A ．25个B ．36个C ．100个D ．225个8．方程11122=---x y y x 所对应的曲线图形是（ ）A ．B ．C ．D ．9．设0＜x ＜π，则函数x xy sin cos 2-=的最小值是（ ）A ．3B ．2C ．3D ．2-3 10．四面体ABCD 的六条棱中，其中五条棱的长度都是2，则第六条棱长的取值范围是( )A ．()2,0B ．()32,0C ．()32,2D ．[)4,211．若直线1+=kx y 与曲线12+=y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 （ ）A ．12-<<-kB ．22<<-kC ．21<<kD ．2-<k 或2>k12．某企业购置了一批设备投入生产，据分析每台设备生产的总利润y （单位：万元）与年数x ()N x ∈满足如图的二次函数关系。

要使生产的年平均利润最大，则每台设备应使用 （ ） A ．3年 B ．4年 C ．5年 D ．6年 二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．若复数z 满足||||||z z z i ++-=++1121，那么的最小值是___________.14．已知偶函数)(x f 的图象与x 轴有五个公共点，那么方程0)(=x f 的所有实根之和为_______.15．若z=y x y x ,53中的+满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤≤+3511535y x x y y x ，则Z 的最大值和最小值分别为．16．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，如右图所示. 假设其关系为指数函数，并给出下列说法 ①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30m 2；③野生水葫芦从4m 2蔓延到12m 2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2m 2,3m 2, 6m 2所需的时间分别 为t 1, t 2, t 3, 则有t 1 + t 2 = t 3；⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度 等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度.其中正确的说法有 . (请把正确说法的序号都填在横线上) 三、解答题（本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）： 17．（本小题满分12分）已知函数)8cos()87sin()(ππ+⋅-=x x x f 的图象向右平移π8个单位得到函数)(x g 的图象. （I ）求函数g (x )的表达式; （II ）证明当)4543(ππ，∈x 时，经过函数g (x )图象上任意两点的直线的斜率恒大于零.18．（本小题满分12分）如图所示，已知四面体O－ABC中， M 为BC的中点，N为AC 的中点，Q为OB的中点，P为OA的中点，若AB=OC，试用向量方法证明，PM⊥QN.19．（本小题满分12分）为了能更好地了解鲸的生活习性，某动物研究所在受伤的鲸身上安装了电子监测装置，从海岸放归点A 处（如图所示）把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对鲸进行了40分钟的跟踪观测，每隔10分钟踩点测得数据如下表（设鲸沿海面游动）。

然后又在观测站B 处对鲸进行生活习性的详细观测。

已知AB=15km ，观测站B 的观测半径为5km .并画出鲸的运动路线简图； （II ）若鲸继续以（I ）－（2）中的运行路线运动，则鲸经过多少分钟（从放归时计时），可进入前方观测站B 的观测范围。

(.)4164≈20．（本小题满分12分）如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N 点,0,2=⋅=的轨迹为 曲线E.（I ）求曲线E 的方程；（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FH FG λ=，求λ的取值范围.P nP n+1yox21．（本小题满分12分）在xoy 平面上有一系列点,),,(),,(222111⋅⋅⋅y x P y x P),,(n n n y x P 对每个自然数n ,点n P 位于函数)0(2≥=x x y 的图象上．以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴都相切，且⊙n P 与⊙1+n P 又彼此外切．若11=x ,且n n x x <+1 )(N n ∈． （Ⅰ）求证：数列}1{nx 是等差数列； （Ⅱ）设⊙n P 的面积为n S ，n n S S S T +⋅⋅⋅++=21, 求证：23π<n T22．（本小题满分14分） 已知a ＞1，数列}{n a 的通项公式是21-=n n aa ，前n 项和记作nS （n ＝1，2，…），规定00=S ．函数)(x f 在0S 处和每个区间（i S ，1+i S ）（i ＝0，1，2，…）上有定义，且0)(0=S f ，i i a S f =)(（i ＝1，2，…）．当∈x （i S ，1-i S ）时，f （x ）的图像完全落在连结点i P （i S ，)(i S f ）与点1+i P （1+i S ，)(1+i S f ）的线段上．（Ⅰ）求f （x ）的定义域；（Ⅱ）设f （x ）的图像与坐标轴及直线l ：n S x =（n ＝1，2，…）围成的图形面积为n A ，求n A 及n n A ∞→lim ；（Ⅲ）若存在正整数n ，使得2a A n >，求a 的取值范围．答案一、选择题（每小题5分，共60分）：(1).D (2).C(3).C (4).A(5).B(6).C (7).D (8).D (9).C (10).B (11).A (12).C 二、填空题（每小题4分，共16分）(13).1 ； (14).0； (15). 17和－11 ；(16). ①②④ 三、解答题（共74分，按步骤得分）17. 解：（I ） ()()788πππ-++=x x ∴=++=+f x x x x ()sin()cos()sin()πππ881224……3分∴=-+=g x x x ()sin[()]sin 12284122ππ ……6分（II ）证明一：依题意，只需证明函数g(x)当x ∈()3454ππ，时是增函数 sin 2x 在22222k x k ππππ-<<+即k x k k Z)ππππ-<<+∈44(的每一个区间上是增函数 ……9分当k =1时，g x x ()sin =2在()3454ππ，是增函数 ……10分 则当x ∈()3454ππ，时，经过函数g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零。

……12分证明二：设函数g(x)图像上任意两点A x yB x y x x ()()()1122123454，，，，，，∈ππ不妨设x x K x x x x x x x x x x AB 121212121212222<=--=+--，sin sin cos()sin()x x x x x x 1212123454325220，，，，，，∈+∈-∈-()()()πππππ…11分cos()sin()x x x x x x K AB 1212120000+>-<-<>，，，则当x ∈()3454ππ，时，经过函数g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零。

18. 证明 ∵M 是BC 的中点，连结OM ， ∴OM =21（OB +OC ）。

同理由N 是AC 的中点，得=21（+）。

∵PM =+=21（++）=21（－+）=21（+），=+=21（++）=21（－+）=21（+）=21（－）。

∴·=21（+）·21（－）=41（2OC －2AB ）。

∵||=|OC |，∴·QN =0，即PM ⊥QN 。

19.解：（I ）由表中数据知（1）鲸沿海岸线方向运行的速度为110（km/分钟）。

（2）a 、b 满足的关系式为b a =。

鲸的运动路线图为（II ）以点A 为坐标原点，海岸线AB 为x 轴，建立直角坐标系，如图，设鲸所在的位置为点P （x ，y ），由（I ）知y x =。

又B （15，0），依题意知，观测站B 的观测区域为()()x y y -+≤≥1525022，又y x =，∴()x x -+≤15252，即x x 2292000-+≤。

∴113177..≤≤x 。

故鲸从A 点进入前方观测站B 所用的时间为113110113.=分钟。

答：鲸大约经过113分钟进入B 站的观测范围。

20. 解：（I ）.0,2=⋅=AM NP AP AM ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a∴曲线E 的方程为.1222=+y x （II ）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12,222=++=y x kx y 代入椭圆方程得.230.034)21(222>>∆=+++k kx x k 得由设2212212211213,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=+-=+则 )2,()2,(,2211-=-∴=y x y x λλ 又λλλλλ2122221222122121)1(.,)1(,x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴，λλλλ222222)1()121(316,213)1()214(+=++=++-∴k k k k 整理得 .331.316214.316323164,2322<<<++<∴<+<∴>λλλ解得kk .131,10<<∴<<λλ 又又当直线GH 斜率不存在，方程为.31,31,0===λx )1,31[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴ 21. 解：（1）依题意，⊙n P 的半径2n n n x y r ==，⊙n P 与⊙1+n P 彼此外切，11+++=∴n n n n r r P P 12121)()(++++=-+-∴n n n n n n y y y y x x 两边平方，化简得 1214)(++=-n n n n y y x x ,即 212214)(++=-n n n n x x x x , 01>>+n n x x ，∴112++=-n n n n x x x x1112()n nn N x x +-=∈， ∴ 数列}1{nx 是等差数列． (2) 由题设，11=x ，∴111(1)2n n x x =+-⋅，即121n x n =-， 4422)12(-====n x y r S n n n n ππππ，n n S S S T +⋅⋅⋅++=21 ])12(151311[222-++++=n π ≤])12()32(15313111[-⋅-++⋅+⋅+n n π ＝)]}121321()5131()311[(211{---++-+-+n n π ＝)]1211(211[--+n π23)12(223πππ<--=n ． 22. 解：（1）f （x ）的定义域是 ](](](}{121100n n S S S S S S S ，，，-，- 11 - 由于所有的n a 都是正数，故n S 是单调递增的．∵1111lim 21-=-=-=∞→a a a a q a S n n ∴f （x ）的定义域是]10[2-a a ， （Ⅱ）∵ i i i P P S S S f S f k i --=+++111)()(11 a a a a i i i -=-=+-111（i ＝1，2，…）与i 无关． ∴ 所有的1P ，2P ，3P …共线， 该直线过点1P （a ，a ），斜率为1-a ， ∴ 2121a A =．当n ≥2时，n A 是一个三角形与一个梯形面积之和（如上图所示）．梯形面积是 ))](()([2111S S S f S f n n -+]11)11()[1(212a a a a a a n n ---+=-)1(214222--=--a a a n n于是)1(21242222--+=--a a a a A n n n 故)1(2)1(22lim 322-=-+=∞→a a a a a A n n （Ⅲ）解法一：结合图像，易见1121-≤-=a k P P 即a ≥2时，n n n A A a >≥∞→lim 2， 而1121->-=a k P P ，即a ＜2时，2222121lim a a a A n n =+>∞→ 故当1＜a ＜2时，存在正整数n ，使得2a A n > 解法二：假设存在正整数n ，使得2a A n >，则应有0)1(212242222>---+--a a a a a n n 0)1(2)12(422222<-+-⇐---a a a a a n n n 0)12()1(2222<+--⇐-n a a a a ∵ 1>a ， ∴ 0)1(22>-a a ⇐ 01222<+--n a a ⇐ 2122<+-n a a ∴ 1＜a ＜2时，存在正整数n ，使得2a A n >成立。