同济大学材料力学 10 能量法
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材料力学能量法
限制条件：不适 用于求解动力学 问题如振动、冲 击等
适用范围：适用 于求解线性问题 如弹性、塑性等
限制条件：不适 用于求解非线性 问题如塑性、蠕 变等
材料力学能量法的发展趋势和未来 展望
材料力学能量法的发展趋势
计算方法：发展高效、准确 的数值计算方法
应用领域：拓展应用领域如 航空航天、生物医学等
柱的压缩问题
问题描述：柱在轴向 压力作用下的压缩问 题
应用实例：桥梁、建 筑等结构中的柱在受 压时的变形和破坏
能量法分析：利用能 量法分析柱的受压变 形和破坏过程
结论：能量法在柱的 压缩问题中的应用可 以有效地预测柱的变 形和破坏情况为工程 设计提供依据。
弹性体的振动问题
添加 标题
弹性体振动问题的背景：在工程中弹性体的振动问题非常常见如桥梁、建筑物、机械设备等。
定义和原理
材料力学能量法： 一种研究材料力学 问题的方法通过分 析能量变化来求解 问题。
基本概念：能量、 应力、应变、位移 等。
原理：根据能量守 恒定律材料的变形 和破坏过程中能量 会发生变化通过分 析这些变化可以求 解问题。
应用：广泛应用于 结构分析、优化设 计等领域。
能量法的应用范围
结构力学：分析结构受力、变形和稳定性 材料力学：分析材料应力、应变和断裂 流体力学：分析流体流动、压力和速度 热力学：分析热传导、对流和辐射 电磁学：分析电磁场、电磁波和电磁感应 声学：分析声波传播、反射和吸收
能量法的基本假设
材料是连续、均匀、各向同性的
材料是线弹性的应力与应变成正 比
添加标题
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材料是弹性的满足胡克定律
添加标题
添加标题
材料是各向同性的应力与应变的 关系与方向无关
材料力学第10章 能量法及其应用
杆件的应变能的计算 1．变形后横截面仍为平面 扭转 拉压变形
∆l ε= l
弯曲
ε =−
y
dϕ γ= r dx
ρ
2．静力学平衡方程 拉压 扭转 弯曲
F = ∫σdA N
A
Mx = ∫ rτdA
A
Mz = −∫ yσdA
A
10.2 杆件变形能计算
线弹性杆的应变能计算 •轴向受力 轴向受力
dx
dx)位移下 外力功： Δ(dx)位移下, 基本概念
卡氏第二定理：线弹性杆件或杆系的应变能V 卡氏第二定理：线弹性杆件或杆系的应变能 ε对作用于该 杆上的某一荷载之变化，等于与该荷载相应的位移。 杆上的某一荷载之变化，等于与该荷载相应的位移。
Vε =V (F 1, F 2,LF ,LF ) ε P P Pi Pn
P1 ∆12
∆11
P2
1）虚设两者之一。注意虚位移(符合约束条件的微小位移)。 虚设两者之一。注意虚位移(符合约束条件的微小位移)
10.1 基本概念
外力虚功的计算 问题：Pi作用，K原因（与Pi无关）引起位 移，求Pi所作虚功Tik。
P1
Tik=Pi∆ik
∆12
∆11 ∆21=θ1 ∆22=θ2
P2=M
1 u = τγ 2
10.2 杆件变形能计算
弯曲 dx段两截面相对弯曲dθ,外力功： = 1 Mdθ dx段两截面相对弯曲 外力功： 段两 dW
dθ
应变能： 应变能： dθ 与弯矩的关系： 弯矩的关系： 总应变能： 总应变能：
1 dU = M θ d 2
2
d2w M dθ = 2 dx = dx EI dx
定性：能量变化的度量。 定性：能量变化的度量。 定量：常力作功： 定量：常力作功：T = P Δ •量纲：[力][长度] 单位：焦耳 N·m 量纲： ][长度] 单位： m 量纲 长度
∆l ε= l
弯曲
ε =−
y
dϕ γ= r dx
ρ
2．静力学平衡方程 拉压 扭转 弯曲
F = ∫σdA N
A
Mx = ∫ rτdA
A
Mz = −∫ yσdA
A
10.2 杆件变形能计算
线弹性杆的应变能计算 •轴向受力 轴向受力
dx
dx)位移下 外力功： Δ(dx)位移下, 基本概念
卡氏第二定理：线弹性杆件或杆系的应变能V 卡氏第二定理：线弹性杆件或杆系的应变能 ε对作用于该 杆上的某一荷载之变化，等于与该荷载相应的位移。 杆上的某一荷载之变化，等于与该荷载相应的位移。
Vε =V (F 1, F 2,LF ,LF ) ε P P Pi Pn
P1 ∆12
∆11
P2
1）虚设两者之一。注意虚位移(符合约束条件的微小位移)。 虚设两者之一。注意虚位移(符合约束条件的微小位移)
10.1 基本概念
外力虚功的计算 问题：Pi作用，K原因（与Pi无关）引起位 移，求Pi所作虚功Tik。
P1
Tik=Pi∆ik
∆12
∆11 ∆21=θ1 ∆22=θ2
P2=M
1 u = τγ 2
10.2 杆件变形能计算
弯曲 dx段两截面相对弯曲dθ,外力功： = 1 Mdθ dx段两截面相对弯曲 外力功： 段两 dW
dθ
应变能： 应变能： dθ 与弯矩的关系： 弯矩的关系： 总应变能： 总应变能：
1 dU = M θ d 2
2
d2w M dθ = 2 dx = dx EI dx
定性：能量变化的度量。 定性：能量变化的度量。 定量：常力作功： 定量：常力作功：T = P Δ •量纲：[力][长度] 单位：焦耳 N·m 量纲： ][长度] 单位： m 量纲 长度
第十章 能量法 材料力学课件
§10.2 杆件变形能计算
一. 杆件基本变形的变形能 U=W
F
F
线弹性 U W 1F
2
特殊情况
F
F UW1Fl FN2l
2
2EA
Me
Me UW12Me2M Gx2Ilp
Me 广义表达式
Me UW12Me2M E2lI
UW
1F
2
内力2
2刚度
l
注意：当内力或刚度发生变化时要用
积分或分段计算
(内力)2(x)
必须强调 U W 1F 只适用于线弹性结构 2
面积= 1 底高 2
对非线性材料 U=W=曲线下的面积
可利用积分计算
U uW 0d0Fd
未作特殊说明,均假定材料在 线弹性范围内
F
F
例10.2 已知d F E G
解
求 fc=? 1 U W 2Ffc
2U
A
2a
F
C
a
B
fc F
UUCBUBA
aM 1 2(x)d x2aM 2 2(x)d x2aM x2(x)d
l M x M x dx tan l xM x dx
tan x c
M c
Mx
C•
x
Mx
l
M
lMxMxdx
tanxM(x)dx
l
tanxc
M
x xc
.c
dx
x
M M ( x) M c xc l
lM xE M Ixdx E M cI
lM xE M Ixdx E M cI
若需要分段,则: i Mci
M(x) ql x qx2(0 x l) 22
A1
。。。
材料力学第十章杆件计算的能量法
T
T
A
T
l
o
B
3.梁弯曲时的应变能
3.1 纯弯曲梁
l Ml
M
EI
W
1 2
M e
Vε
W
1 2
M
e
M 2l 2EI
M
l
3.2 剪切弯曲梁
弯矩M：
dVε M
M (x)2 dx 2EI
M (x)2 dx
Vε M l 2EI
剪力FQ：
6FQ
h2 (
y2)
0 2EI
l
2EI
FA
4
F2 A
l
3
F
l2 3
5FA Fl3
3EI 6EI 6EI
3.位移
Δ A
Vε FA
0
FA
5 16
F
例 求如图所示简支梁截面A的转角，设梁EI的为常数。
Mo A
M B
l
解：为了求A截面的转角A，可在A端加一虚力偶M0，如
图所示。则按卡氏第二定理，A截面的转角:
§10-2 杆件的弹性应变能
一、杆在基本变形下的应变能
1.杆在轴向拉伸（压缩）时的应变能
F
F
A
l l1
Vε
1 2
FN l
FN2l 2EA
dF F1 F
o
d(△l) △l1
B △l
2.圆杆扭转时的应变能
W 1 T
2
Mx T
M xl
GIP
第10章 能量法 (材料力学)
(Energy Method)
T 2 ( ρ) 2 Ip η Vε d Ad x d Ad x l A 2G l A 2G l T 2 T 2l ( ) ρ 2dA 2G I p A 2GI p
Me l Vε 2GI p
2
Me Tl Mel 将 代入上式得 Vε 2 GI p GI p
1 1 1 F 2 l 3 M e 2 l M e Fl 2 Vε F 1 M e 2 ( ) 2 2 EI 96 6 16
共1页 17
(Energy Method)
先加力 F 后,再加力偶 Me （1）先加力F后,C 点的位移
l/2 l/2
F
A
C B
Fl 1 48 EI
1 1 Vε W FΔl FN Δl 2 2
Fl FN l Δl EA EA
2 F 2l FN l Vε 2 EA 2 EA
当轴力或截面发生变化时:
共1页
2 FNi li Vε i 1 2 E i Ai n
6
(Energy Method)
2 FN ( x )dx 当轴力或截面连续变化时： ε V 0 2 EA( x ) l
l
2
2
2 3
F
B
x
l
14
(Energy Method) 例题2
解：
试求图示梁的变形能,并利用功能原理求C截
F
A C x1 a l x2 b B
面的挠度.
M 2 ( x) Vε dx l 2 EI Fb 2 Fa ( x1 ) ( x2 )2 a b l dx1 l dx 2 0 0 2 EI 2 EI F 2b 2 a 3 F 2a 2 b 3 F 2a 2b 2 2 2 6 EIl 2 EIl 3 2 EIl 3
材料力学中的能量法
记为 M,F 。 S ,F N ,T
（3）单位力所做的外力虚功为 We =1·
杆件的内力虚功为
* * * * W ( M d F d F d d T d) j i S N l 0
单位力法的虚位移原理表达式为
* * * * (10-16) 1 Δ ( M d F d F d d T d) j S N l 0
解：如图11-4b所示，在点 C及点D应加一对大小相等， 方向相反，且均垂直于杆CD的力。 根据功的互等定理： F B F F l F 0 .0 8 k N B C D lC D
§10-4、10-5 虚位移原理及单位力法
. 虚位移原理 （1）刚体 虚位移 —— 满足约束条件的假想的任意微小位移。 虚位移原理 ——作用于刚体上的力对于任何虚位移所作的 总功等于零（平衡的必要和充分条件）。
由于以上分析中没有涉及材料的物理性质， (11-15)式适用于弹性体和非弹性体问题。式中Fi为广义力，M ,
Δi FS , FN , T是由荷载产生的内力，
d , dd ,
* *
* d j 为广义虚位移，d* ,
为微段的变形虚位移。
Ⅱ. 单位力法（单位载荷法）
(1) 因为由荷载引起的位移，满足约束条件和变形连续条
(c)
(d) 将(a),(d)式代入（11-14）式 ，得梁的虚位移原理表达式为
* * F Δ ( M d F d ) 0 i i S l n 0
即
i 1
* * F Δ ( M d F d ) i i S l i 1 0
n
外力虚功=内力在微段变形虚位移上的虚功(或虚应变能)
2 2 lM M ( x ) ( x ) 1 2 U d x d x (3) l 0 2 EI EI 2 2 l 2
第10章 能量法(材料力学B)
§10.4 卡氏第二定理
若结构的应变能 U表示为F1、 F2 …Fi …的函数，则应变 能对任一载荷Fi的偏导数等于Fi作用点沿Fi方向位移。
a) i为沿广义力Fi方向的广义位移， i为正表示与Fi方向 相同，为负表示与Fi方向相反，U是整个结构的应变能 m m F F b)仅适用于线弹性结构 3)应变能是内力的函数，是外力的复合函数
FQ—横截面剪力，A—横截面面积
A
dx
dx
—截面系数 矩形：=6/5；实心圆： =10/9；薄圆环：=2
3)注意： 在一般细长梁中，远小于弯矩应变能的剪力应 变能，通常忽略不计
§10.2 弹性应变能的计算
总结：
FN x dx 拉伸(压缩)变形应变能： U l 2 EA
2
dq
M x dx U l 2 EI
2
M x dx dU 2 EI
M ( x)
M ( x)
dx
§10.2 弹性应变能的计算
(三)弯曲 3. 剪切应变能 1)dx段应变能： 2 2 FQ dx 1 d xd A d U dA d x 2GA 2 2G 2)l段应变能： 2 F l l U 0dU 0 Q dx 2GA
F1 F2
2
F3
F4
3
4
1
§10.3 互等定理
二、位移互等定理
F2 21 F1 12
A
1
F1
11
令：F2 F1 F 则： 21 12 位移互等定理： 212F2B
12
22
由力F作用在2点所引起的1点的位移等于该力作用在1点所 引起的2点的位移
s s
材料力学能量法
材料力学能量法材料力学能量法是材料力学中的一种重要分析方法，它通过能量原理来研究材料的力学性能和行为。
能量法在工程应用中具有广泛的意义，可以用于解决各种复杂的材料力学问题。
本文将对材料力学能量法进行详细介绍，包括其基本原理、应用范围和计算方法等内容。
首先，我们来看一下材料力学能量法的基本原理。
能量法是以能量守恒原理为基础的一种力学分析方法，它认为在任何力学系统中，系统的总能量始终保持不变。
在材料力学中，通过能量方法可以方便地求解结构的变形、应力分布和稳定性等问题。
能量法的基本原理为系统的总能量等于外力对系统做功的总和，即系统的内能和外力对系统做功的总和保持恒定。
其次，材料力学能量法的应用范围非常广泛。
它可以用于分析材料的弹性、塑性、断裂等力学性能，也可以用于研究材料的疲劳、蠕变、冷却等行为。
在工程实践中，能量法可以应用于各种材料的设计、优化和性能评估，如金属材料、复合材料、土木工程材料等。
通过能量法分析，可以更好地理解材料的力学行为，为工程设计和材料选型提供科学依据。
最后，我们来介绍一下材料力学能量法的计算方法。
能量法的计算方法主要包括弹性能量法、弹塑性能量法和断裂能量法等。
在应用中，需要根据具体问题选择合适的能量方法，并结合数值计算和实验验证进行分析。
在计算过程中，需要考虑材料的本构关系、加载条件和边界约束等因素，以确保计算结果的准确性和可靠性。
综上所述，材料力学能量法是一种重要的力学分析方法，具有广泛的应用前景和深远的理论意义。
通过能量法分析，可以更好地理解材料的力学性能和行为，为工程实践提供科学依据。
在今后的研究和应用中，我们需要进一步深入理解能量法的基本原理和计算方法，推动其在材料力学领域的发展和应用。