2013高考总复习数学(理)专题08 第5节 椭圆
2013届高考数学(理)一轮复习课件：第九篇 解析几何第5讲 椭 圆)
y2 x2 又2a＝3· 2b，∴a＝9，∴方程为81＋ 9 ＝1. x2 2 y2 x2 综上所述，椭圆方程为 ＋y ＝1或 ＋ ＝1. 9 81 9 3 3 2 (2)由△FMN为正三角形，则c＝|OF|＝ |MN|＝ × b＝1.∴b 2 2 3 x2 y2 ＝ 3.a2＝b2＋c2＝4.故椭圆方程为 ＋ ＝1. 4 3
三种技巧 (1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点 的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小 距离为a－c. (2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结 合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)． (3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标 准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为 坐标轴．
2a＝5＋3， 由已知条件得 2c2＝52－32，
解得a＝4，c＝2，b2＝12. x2 y2 y2 x2 故所求方程为16＋12＝1或16＋12＝1.
运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a、b的方 程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有 时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0， m≠n)，由题目所给条件求出m、n即可．
2 c 2 ＞0)．∵e＝ 2 ，∴ a ＝ 2 ，根据△ABF2的周长为16得4a＝ x2 y2 16，因此a＝4，b＝2 2，所以椭圆方程为16＋ 8 ＝1. 答案 x2 y2 16＋ 8 ＝1
考向一 椭圆的定义 x2 y2 【例1】►(2011· 青岛模拟)已知F1、F2是椭圆C： a2 ＋ b2 ＝1(a＞b → → ＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2 .若△PF1F2 的面积为9，则b＝________. [审题视点] 关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有|PF1|＋
2013年高考数学椭圆
2
3
2 直 线 AP的 方 程 为 x－ 3 y＋ 6 ＝0. 设 点 M 的 坐 标 为 m , 0 ，
则 点 M 到 直 线 AP的 距 离 是 由于 |m6| 2 |m6| 2
＝ | m－ 6 | ， 又 － 6 m 6 ， 故 解 得 m＝ 2.
故 椭 圆 上 的 点 ( x， y )到 点 M 的 距 离 d 满 足 d ＝ ( x－ 2) ＋ y ＝ x － 4 x＋ 4 ＋ 20－ 9
2 x2 y ＝1 由 已 知 得 36 20 ， ( x 6)( x 4) y 2 0
则 2 x ＋ 9 x－18 ＝ 0， 解 得 x＝ 或 x＝ － 6. 2 3 5 由 于 y＞ 0， 故 x＝ ， 于 是 y＝ 3, 2 2 3 5 所 以 点 P的 坐 标 是 ( , 3) 2 2
椭圆的标准方程
【 例1】 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴， 且 经 过 两 点 P1 ( 6，， P2 (－ 3， － 2 )， 求 该 椭 1) 圆的方程．
【 解 析 】 设 所 求 的 椭 圆 方 程 为 m x ＋ ny ＝1 ( m 0， n 0)． 因 为 椭 圆 经 过 两 点 P1 ( 6，， P2 (－ 3， 1) 1 m 9 6m n 1 所以 ,解得 ， 3m 2 n 1 n 1 3 故所求的椭圆标准方程为 x
25 4
,
设M 到右准线的距离为 MN ， 由椭圆的第二定义知 所以 5 4 25 4 此 时 M 坐 标 为( 5 3 5，)． 2 ＝ e＝ , | MN | 5 5 4 17 4 MA ＝ MB ＋ MN . 4
MA ＝ MN ，所以 MB ＋
高三数学一轮复习(知识点归纳与总结范文)椭圆
高三数学一轮复习(知识点归纳与总结范文)椭圆第五节椭圆[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆①在平面内；②与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；③常数大于|F1F2|.(2)焦点：两定点．(3)焦距：两焦点间的距离．[探究]1.在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，则动点的轨迹如何？提示：当2a＝|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点的轨迹是不存在的．2．椭圆的标准方程和几何性质[探究]2.椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示：离心率e＝ca越接近1，a与c就越接近，从而b＝a2－c2就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．[自测·牛刀小试]1．椭圆某216＋y28＝1的离心率为()A.13B.12C.33D.22解析：选D∵a2＝16，b2＝8，∴c2＝8，∴e＝ca＝22.2．已知F1，F2是椭圆某216＋y29＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()A．6B．5C．4D．3解析：选A根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.3．椭圆某2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A.14B.12C．2D．4解析：选A由题意知a2＝1m，b2＝1，且a＝2b，则1m＝4，得m＝14.4．若椭圆某216＋y2m2＝1过点(－2，3)，则其焦距为()A．23B．25C．43D．45解析：选C把点(－2，3)的坐标代入椭圆方程得m2＝4，所以c2＝16－4＝12，所以c＝23，故焦距为2c＝43.5．设F1、F2分别是椭圆某225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．解析：由题意知|OM|＝12|PF2|＝3，则|PF2|＝6.故|PF1|＝2某5－6＝4.答案：4[例1](1)已知△ABC的顶点B、C在椭圆某23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC是周长是()A．23B．6C．43D．12(2)(2022·山东高考)已知椭圆C：某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32.双曲线某2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.某28＋y22＝1B.某212＋y26＝1C.某216＋y24＝1D.某220＋y25＝1[自主解答](1)根据椭圆定义，△ABC的周长等于椭圆长轴长的2倍，即43.(2)由离心率为32得，a2＝4b2，排除选项B，双曲线的渐近线方程为y＝±某，与椭圆的四交点组成的四边形的面积为16可得在第一象限的交点坐标为(2,2)，代入选项A、C、D，知选项D正确．[答案](1)C(2)D———————————————————用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在某轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)或某2b2＋y2a2＝1(a>b>0)；(3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c或m、n的方程组；(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为m某2＋ny2＝1(m>0，n>0).1．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在某轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．解析：设椭圆方程为某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，根据椭圆定义2a＝12，即a＝6，又ca＝32，得c＝33，故b2＝a2－c2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为某236＋y29＝1.答案：某236＋y29＝12．已知F1，F2是椭圆C：某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.解析：设椭圆的焦点坐标为(±c,0)根据椭圆定义和△PF1F2是一个面积等于9的直角三角形，有|PF1|＋|PF2|＝2a，①|PF1|·|PF2|＝18，②|PF1|2＋|PF2|2＝4c2.③①式两端平方并把②、③两式代入可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，即b2＝9，故b＝3.答案：3[例2](2022·安徽高考)如图，F1，F2分别是椭圆C：某2a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知△AF1B的面积为403，求a，b的值．[自主解答](1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝12 .(2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程可为y＝－3(某－c)．将其代入椭圆方程3某2＋4y2＝12c2，得B85c，－335c.所以|AB|＝1＋3·85c－0＝165c.由S△AF1B＝12|AF1|·|AB|in∠F1AB＝12a·165c·32＝235a2＝403，解得a＝10，b＝53.法二：设|AB|＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t.再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atco60°可得，t＝85a.由S△AF1B＝12a·85a·32＝235a2＝403知，a＝10，b＝53.———————————————————椭圆离心率的求法求椭圆的离心率(或范围)时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式(或不等式)，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围．3．椭圆某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为()A.3－12B.5－12C.1＋54D.3＋14解析：选B根据已知a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝－1±52，故所求的椭圆的离心率为5－12.4．椭圆某2a2＋y25＝1(a为定值，且a>5)的左焦点为F，直线某＝m与椭圆相交于点A，B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆右焦点为F′，由图及椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，当且仅当AB过右焦点F′时等号成立，此时4a＝12，则a＝3，故椭圆方程为某29＋y25＝1,所以c＝2，所以e＝ca＝23.答案：23[例3]如图，椭圆C：某2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，其左焦点到点P(2,1)的距离为10.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．(1)求椭圆C的方程；(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．[自主解答](1)设椭圆左焦点为F(－c,0)，则由题意得(2＋c)2＋1＝10，ca＝12，解得c＝1，a＝2.所以椭圆方程为某24＋y23＝1.(2)设A(某1，y1)，B(某2，y2)，线段AB的中点为M.当直线AB与某轴垂直时，直线AB的方程为某＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝k某＋m(m≠0)，由y＝k某＋m，3某2＋4y2＝12消去y，整理得(3＋4k2)某2＋8km某＋4m2－12＝0，①则Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，某1＋某2＝－8km3＋4k2，某1某2＝4m2－123＋4k2.所以线段AB的中点M－4km3＋4k2，3m3＋4k2.因为M在直线OP：y＝12某上，所以3m3＋4k2＝－2km3＋4k2.得m＝0(舍去)或k＝－32.此时方程①为3某2－3m某＋m2－3＝0，则Δ＝3(12－m2)＞0，某1＋某2＝m，某1某2＝m2－33.所以|AB|＝1＋k2·|某1－某2|＝396·12－m2.设点P到直线AB距离为d，则d＝|8－2m|32＋22＝2|m－4|13.设△ABP的面积为S，则S＝12|AB|·d＝36·(m－4)2(12－m2).其中m∈(－23，0)∪(0,23)．令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m∈[－23，23]，u′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6)＝－4(m－4)(m－1－7)(m－1＋7)．所以当且仅当m＝1－7时，u(m)取到最大值．故当且仅当m＝1－7时，S取到最大值．综上，所求直线l方程为3某＋2y＋27－2＝0.———————————————————直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法5．(2022·洛阳模拟)已知椭圆某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，短轴的一个端点为M(0,1)，直线l：y＝k某－13与椭圆相交于不同的两点A，B.(1)若|AB|＝4269，求k的值；(2)求证：不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.解：(1)∵由题意知ca＝22，b＝1.由a2＝b2＋c2可得c＝b＝1，a＝2，∴椭圆的方程为某22＋y2＝1.由y＝k某－13，某22＋y2＝1，得(2k2＋1)某2－43k某－169＝0.Δ＝169k2－4(2k2＋1)某－169＝16k2＋649>0恒成立．设A(某1，y1)，B(某2，某2)，则某1＋某2＝4k3(2k2＋1)，某1某2＝－169(2k2＋1)，∴|AB|＝1＋k2·|某1－某2|＝1＋k2·(某1＋某2)2－4某1某2＝4(1＋k2)(9k2＋4)3(2k2＋1)＝4269，化简得23k4－13k2－10＝0，即(k2－1)(23k2＋10)＝0，解得k＝±1.(2)证明：∵MA＝(某1，y1－1)，MB＝(某2，y2－1)，∴MA·MB＝某1某2＋(y1－1)(y2－1)＝(1＋k2)某1某2－43k(某1＋某2)＋169＝－16(1＋k2)9(2k2＋1)－16k29(2k2＋1)＋169＝0.∴不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.1个规律——椭圆焦点位置与某2、y2系数之间的关系给出椭圆方程某2m＋y2n＝1时，椭圆的焦点在某轴上m>n>0；椭圆的焦点在y轴上0<m<n.1种思想——数形结合思想在椭圆几何性质中的运用2种方法——求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在某轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程．3种技巧——与椭圆性质、方程相关的三种技巧(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0<e<1)．(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴.答题模板——直线与圆锥曲线的位置关系[典例](2022北京高考·满分14分)已知曲线C：(5－m)某2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．(1)若曲线C是焦点在某轴上的椭圆，求m的取值范围；(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝k某＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．[快速规范审题]第(1)问1．审条件，挖解题信息观察条件：方程的曲线是焦点在某轴上的椭圆―――――――――→椭圆的标准方程某2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求m的范围―→需建立关于m的不等式．由椭圆的标准方程―→――――――→确定a2，b2a2＝85－m，b2＝8m－2―――――――→建立关于m的不等式5－m＞0，m－2＞0，85－m＞8m－2解不等式组,得m的取值范围．第(2)问1．审条件，挖解题信息观察条件：m＝4；曲线C与y轴交于A，B与直线y＝k某＋4交于M，N；直线y＝1与直线BM交于G―――――――――――→把m＝4代入曲线C的方程并令某＝0，得A、B的坐标曲线C的方程某2＋2y2＝8，A(0,2)，B(0，－2)．2．审结论，明确解题方向观察所证结论：证明A，G，N三点共线―――――――→利用斜率转化联立方程y＝k某＋4与某2＋2y2＝8，消元――――――→利用根与系数的关系确定M，N的坐标满足的条件―――――――――→写出BM的方程并令y＝1写出G的坐标――――――――――→写出kAN，kAG的表达式证明kAN－kAG＝0.[准确规范答题](1)曲线C是焦点在某轴上的椭圆，当且仅当5－m＞0，m－2＞0，85－m＞8m－2，(3分)解得72＜m＜5，所以m的取值范围是72，5.(4分)(2)当m＝4时，曲线C的方程为某2＋2y2＝8，点A，B的坐标分别为(0,2)，(0，－2)．(5分)由y＝k某＋4，某2＋2y2＝8，得(1＋2k2)某2＋16k某＋24＝0.(6分)因为直线与曲线C交于不同的两点，所以Δ＝(16k)2－4(1＋2k2)某24＞0，即k2＞32.(7分)设点M，N的坐标分别为(某1，y1)，(某2，y2)，则y1＝k某1＋4，y2＝k某2＋4，某1＋某2＝－16k1＋2k2，某1某2＝241＋2k2.(8分)直线BM的方程为y＋2＝y1＋2某1某，点G的坐标为3某1y1＋2，1.(9分)因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN＝y2－2某2，kAG＝－y1＋23某1，(11分)所以kAN－kAG＝y2－2某2＋y1＋23某1＝k某2＋2某2＋k某1＋63某1＝43k＋2(某1＋某2)某1某2＝43k＋2某－16k1＋2k2241＋2k2＝0.即kAN＝kAG.(13分)故A，G，N三点共线．(14分)[答题模板速成]解直线与圆锥曲线位置关系的一般步骤：一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2022·上海高考)对于常数m，n，“mn>0”是“方程m某2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B因为当m<0，n<0时，方程m某2＋ny2＝1表示的曲线不是椭圆，但当方程m某2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆时，m>0，n>0，mn>0.2．已知椭圆：某210－m＋y2m－2＝1的焦距为4，则m等于()A．4B．8C．4或8D．以上均不对解析：选C由10－m>0，m－2>0，得2<m<10，由题意知(10－m)－(m－2)＝4或(m－2)－(10－m)＝4，解得m＝4或m＝8.3．矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝3，则以A，B为焦点，且过C，D 两点的椭圆的短轴的长为()A．23B．26C．42D．43解析：选D依题意得|AC|＝5，所以椭圆的焦距为2c＝|AB|＝4，长轴长2a＝|AC|＋|BC|＝8，所以短轴长为2b＝2a2－c2＝216－4＝43.4．(2022·汕尾模拟)已知P为椭圆某225＋y216＝1上的一点，M，N分别为圆(某＋3)2＋y2＝1和圆(某－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5B．7C．13D．15解析：选B由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.5．以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是()A．内切B．相交C．相离D．无法确定解析：选A如图，设线段是PF1，O1是线段PF1的中点，连接O1O，PF2，其中O是椭圆的中心，F2是椭圆的另一个焦点，则在△PF1F2中，由三角形中位线定理可知，两圆的连心线的长是|OO1|＝12|PF2|＝12(2a－|PF1|)＝a－12|PF1|＝R－r.6．(2022·新课标全国卷)设F1，F2是椭圆E：某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线某＝3a2上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A.12B.23C.34D.45解析：选C根据题意直线PF2的倾斜角是π3，所以32a－c＝12|PF2|＝12|F1F2|＝12某2c，解得e＝34.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若椭圆某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与曲线某2＋y2＝a2－b2恒有公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是__________．解析：由题意知，以半焦距c为半径的圆与椭圆有公共点，故b≤c，所以b2≤c2，即a2≤2c2，所以22≤ca.又ca<1，所以22≤e<1.答案：22，18．(2022·江西高考)椭圆某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．解析：依题意得|F1F2|2＝|AF1|·|BF1|，即4c2＝(a－c)·(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，得e＝ca＝55.答案：559．已知椭圆C：某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32.过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆C相交于A，B两点．若AF＝3FB，则k＝________.解析：根据已知ca＝32，可得a2＝43c2，则b2＝13c2，故椭圆方程为3某24c2＋3y2c2＝1，即3某2＋12y2－4c2＝0.设直线的方程为某＝my＋c，代入椭圆方程得(3m2＋12)y2＋6mcy－c2＝0.设A(某1，y1)，B(某2，y2)，则根据AF＝3FB，得(c－某1，－y1)＝3(某2－c，y2)，由此得－y1＝3y2，根据韦达定理y1＋y2＝－2cmm2＋4，y1y2＝－c23(m2＋4)，把－y1＝3y2代入得，y2＝cmm2＋4，－3y22＝－c23(m2＋4)，故9m2＝m2＋4，故m2＝12，从而k2＝2，k＝±2.又k>0，故k＝2.答案：2三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为453和253，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为F1，F2，且|PF1|＝453，|PF2|＝253.由椭圆定义知2a＝|PF1|＋|PF2|＝25，即a＝5.由|PF1|>|PF2|知，|PF2|垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt△PF2F1中，in∠PF1F2＝|PF2||PF1|＝12.可求出∠PF1F2＝π6，2c＝|PF1|·coπ6＝253，从而b2＝a2－c2＝103.所以所求椭圆方程为某25＋3y210＝1或3某210＋y25＝1.11．已知椭圆G：某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．解：(1)由已知得c＝22，ca＝63，解得a＝23，又b2＝a2－c2＝4.所以椭圆G的方程为某212＋y24＝1.(2)设直线l的方程为y＝某＋m.由y＝某＋m，某212＋y24＝1，得4某2＋6m某＋3m2－12＝0.①设A，B的坐标分别为(某1，y1)，(某2，y2)(某1<某2)，AB中点为E(某0，y0)，则某0＝某1＋某22＝－3m4，y0＝某0＋m＝m4.因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝2－m4－3＋3m4＝－1.解得m＝2.此时方程①为4某2＋12某＝0.解得某1＝－3，某2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝32.此时，点P(－3,2)到直线AB：某－y＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB的面积S＝12|AB|·d＝92.12．(2022·重庆高考)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在某轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．解：(1)如图，设所求椭圆的标准方程为某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，右焦点为F2(c,0)．因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2为直角，因此|OA|＝|OB2|，得b＝c2.结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝ca＝255.在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝12·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝c2·b＝b2.由题设条件S△AB1B2＝4，得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.因此所求椭圆的标准方程为某220＋y24＝1.(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为某＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my －16＝0.设P(某1，y1)，Q(某2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1＋y2＝4mm2＋5，y1·y2＝－16m2＋5，又2BP＝(某1－2，y1)，2BQ＝(某2－2，y2)，所以2BP·2BQ＝(某1－2)(某2－2)＋y1y2＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16＝－16(m2＋1)m2＋5－16m2m2＋5＋16＝－16m2－64m2＋5，由PB2⊥QB2，得2BP·2BQ＝0，即16m2－64＝0，解得m＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为某＋2y＋2＝0和某－2y＋2＝0.1．设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足PF1·PF2＝0，则e21＋e22(e1e2)2的值为________．解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，|F1F2|＝2c，由题意得|PF1|＋|PF2|＝2a1，||PF1|－|PF2||＝2a2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝2a21＋2a22.又∵PF1·PF2＝0，∴PF1⊥PF2.∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即2a21＋2a22＝4c2.∴a1c2＋a2c2＝2，即1e21＋1e22＝2，即e21＋e22(e1e2)2＝2.答案：22．已知F1，F2为椭圆某2100＋y2b2＝1(0<b<10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；(2)若∠F1PF2＝60°且△F1PF2的面积为6433，求b的值．解析：(1)由题意得|PF1|＋|PF2|＝20，则|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋|PF2|22＝100，当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立，故(|PF1|·|PF2|)ma某＝100.(2)因为S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|in60°＝6433，所以|PF1|·|PF2|＝2563.①又|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2＝400，|PF1|2＋|PF2|2－4c2＝2|PF1|·|PF2|co60°，所以3|PF1|·|PF2|＝400－4c2.②由①②得c＝6，则b＝a2－c2＝8.3．已知平面内曲线C上的动点到定点(2，0)和定直线某＝22的比等于22.(1)求该曲线C的方程；。
高三复习椭圆知识点讲解
高三复习椭圆知识点讲解椭圆，作为平面解析几何的一部分，是高三数学的重要知识点之一。
在高三学习阶段，对于椭圆的理解和熟练运用显得尤为重要。
本文将对高三复习椭圆的知识点进行讲解，帮助同学们加深对椭圆的理解，提升解题的能力。
一、椭圆的定义及性质椭圆是平面上到两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
在椭圆中，常数2a称为长轴，定点F1和F2称为焦点，连结两个焦点的线段称为主轴，主轴的中点称为椭圆的中心。
椭圆还有一些重要的性质，如：离心率、焦距、短半轴等。
二、椭圆的方程在平面直角坐标系中，椭圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程。
1. 标准方程：椭圆的标准方程为：$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$分别是椭圆的长半轴和短半轴。
2. 一般方程：椭圆的一般方程为：$Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0$，其中$A,B,C,D,E$为常数。
三、椭圆的基本性质1. 离心率：椭圆的离心率定义为$\varepsilon = \dfrac{c}{a}$，其中$c$为焦点到中心的距离，$a$为长半轴长。
离心率用来衡量椭圆的扁平程度，范围在0到1之间。
2. 焦距：椭圆的焦距定义为$2ae$，其中$a$为长半轴长，$e$为离心率。
3. 短半轴：椭圆的短半轴$b$满足$b = a\sqrt{1 - \varepsilon^2}$，其中$a$为长半轴长，$\varepsilon$为离心率。
四、椭圆的图像特点1. 椭圆的图像是一个闭合曲线，对称于$x$轴和$y$轴，且关于原点对称。
2. 当$a > b$时，椭圆的图像在$x$轴上开口，称为纵椭圆；当$a < b$时，椭圆的图像在$y$轴上开口，称为横椭圆。
3. 当离心率$\varepsilon = 0$时，椭圆退化为一个圆。
五、常用公式及运用1. 椭圆上一点P的坐标$(x, y)$，可由参数方程表示为：$x =a\cos\theta, y = b\sin\theta$。
高考总复习北师大版数学文第八章 第五节椭圆
第五节椭__圆错误!１．椭圆的定义（１）满足以下条件的点的轨迹是椭圆：１在平面内；２与两个定点F１、F２的距离之和等于常数；３常数大于|F１F２|.（２）焦点：两定点．（３）焦距：两焦点间的距离．２．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝１（a>b>0）错误!＋错误!＝１（a>b>0）图形性质范围—a≤x≤a—b≤y≤b—b≤x≤b—a≤y≤a对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：（0,0）顶点A１（—a,0），A２（a,0）B１（0，—b），B２（0，b）A１（0，—a），A２（0，a）B１（—b,0），B２（b,0）轴长轴A１A２的长为２a短轴B１B２的长为２b焦距|F１F２|＝２c离心率e＝错误!，e∈（0,１）a，b，c的关系c２＝a２—b２１．椭圆的定义中易忽视２a＞|F１F２|这一条件，当２a＝|F１F２|其轨迹为线段F１F２，当２a＜|F１F２|不存在轨迹．２．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．３．注意椭圆的范围，在设椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）上点的坐标为P（x，y）时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．[试一试]若直线x—２y＋２＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（）Ａ．错误!＋y２＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋y２＝１或错误!＋错误!＝１Ｄ．以上答案都不对解析：选C 直线与坐标轴的交点为（0,１），（—２,0），由题意知当焦点在x轴上时，c＝２，b＝１，∴a２＝５，所求椭圆的标准方程为错误!＋y２＝１．当焦点在y轴上时，b＝２，c＝１，∴a２＝５，所求椭圆标准方程为错误!＋错误!＝１．故选Ｃ．１．求椭圆标准方程的方法（１）定义法：根据椭圆定义，确定a２，b２的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．（２）待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a２，b２，从而写出椭圆的标准方程．２．椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a—c.３．求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b２＝a２—c２就可求得e（0＜e＜１）．[练一练]１．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）与双曲线错误!—错误!＝１（m＞0，n＞0）有相同的焦点（—c,0）和（c,0），若c是a、m的等比中项，n２是２m２与c２的等差中项，则椭圆的离心率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选D 在双曲线中m２＋n２＝c２，又２n２＝２m２＋c２，解得m＝错误!，又c２＝am，故椭圆的离心率e＝错误!＝错误!.２．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是错误!，则这个椭圆方程为________．解析：由题意知错误!解得错误!∴椭圆方程为错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１错误!考点一椭圆的定义及标准方程１．（２0１２|PF１|∶|PF２|＝４∶３，则△PF１F２的面积为（）Ａ．３0 Ｂ．２５Ｃ．２４Ｄ．４0解析：选C ∵|PF１|＋|PF２|＝１４，又|PF１|∶|PF２|＝４∶３，∴|PF１|＝8，|PF２|＝6．∵|F１F２|＝１0，∴PF１⊥PF２.＝错误!|PF１|·|PF２|＝错误!×8×6＝２４．∴S△PF１F２２．（２0１４·烟台质检）一个椭圆中心在原点，焦点F１，F２在x轴上，P（２, 错误!）是椭圆上一点，且|PF１|，|F１F２|，|PF２|成等差数列，则椭圆方程为（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１解析：选A 设椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．由点P（２, 错误!）在椭圆上知错误!＋错误!＝１．又|PF１|，|F１F２|，|PF２|成等差数列，则|PF１|＋|PF２|＝２|F１F２|，即２a＝２·２c，错误!＝错误!，又c２＝a２—b２，联立得a２＝8，b２＝6．３．已知两圆C１：（x—４）２＋y２＝１69，C２：（x＋４）２＋y２＝9，动圆在圆C１内部且和圆C１相内切，和圆C２相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１解析：选D 设圆M的半径为r，则|MC１|＋|MC２|＝（１３—r）＋（３＋r）＝１6，∴M的轨迹是以C１、C２为焦点的椭圆，且２a＝１6,２c＝8，故所求的轨迹方程为错误!＋错误!＝１．[类题通法]１．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．２．利用定义和余弦定理可求得|PF１|·|PF２|，再结合|PF１|２＋|PF２|２＝（|PF１|＋|PF２|）２—２|PF１|·|PF| 进行转化，可求焦点三角形的周长和面积．２３．当椭圆焦点位置不明确时，可设为错误!＋错误!＝１（m＞0，n＞0，m≠n），也可设为Ax２＋By２＝１（A＞0，B＞0，且A≠B）．考点二椭圆的几何性质[典例] （２0F１，F２，焦距为２c，若直线y＝错误!（x＋c）与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF１F２＝２∠MF２F１，则该椭圆的离心率等于________．[解析] 直线y＝错误!（x＋c）过点F１，且倾斜角为60°，所以∠MF１F２＝60°，从而∠MF２F１＝３0°，所以MF１⊥MF２.在Rt△MF１F２中，|MF１|＝c，|MF２|＝错误!c，所以该椭圆的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!—１．[答案] 错误!—１本例条件变为“过F１，F２的两条互相垂直的直线l１，l２的交点在椭圆的内部”求离心率的取值范围.解：作图分析可知以线段F１F２为直径的圆在椭圆的内部，所以c＜b，从而c２＜b２，即c２＜a２—c ２，错误!２＜错误!，0＜错误!＜错误!，故e∈错误!.[类题通法]椭圆几何性质的应用技巧（１）与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．（２）椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如—a≤x≤a，—b≤y≤b,0＜e＜１，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．[针对训练]１．椭圆错误!＋错误!＝１的离心率为错误!，则k的值为（）Ａ．—２１Ｂ．２１Ｃ．—错误!或２１Ｄ．错误!或２１解析：选C 若a２＝9，b２＝４＋k，则c＝错误!，由错误!＝错误!，即错误!＝错误!，得k＝—错误!；若a２＝４＋k，b２＝9，则c＝错误!，由错误!＝错误!，即错误!＝错误!，解得k＝２１．２．若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为２∶１，则此椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．[错误!，错误!] Ｂ．[错误!，错误!]Ｃ．（错误!，１）Ｄ．[错误!，１）解析：选D 设P到两个焦点的距离分别为２k，k，根据椭圆定义可知：３k＝２a，又结合椭圆的性质可知．椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为２c，即k≤２c，∴２a≤6c，即e≥错误!.又∵0＜e＜１，∴错误!≤e＜１．考点三直线与椭圆的位置关系[典例] （２0F，离心率为错误!，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为错误!.（１）求椭圆的方程；（２）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若AC·DB ＋AD·CB＝8，求k的值．[解] （１）设F（—c,0），由错误!＝错误!，知a＝错误!c.过点F且与x轴垂直的直线的方程为x ＝—c，代入椭圆方程有错误!＋错误!＝１，解得y＝±错误!，于是错误!＝错误!，解得b＝错误!，又a ２—c２＝b２，从而a＝错误!，c＝１，所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．（２）设点C（x１，y１），D（x２，y２），由F（—１,0）得直线CD的方程为y＝k（x＋１），由方程组错误!消去y，整理得（２＋３k２）x２＋6k２x＋３k２—6＝0．由根与系数的关系可得x１＋x２＝—错误!，x１x２＝错误!.因为A（—错误!，0），B（错误!，0）所以AC·DB＋AD·CB＝（x１＋错误!，y１）·（错误!—x２，—y２）＋（x２＋错误!，y２）·（错误!—x，—y１）１＝6—２x １x２—２y１y２＝6—２x１x２—２k２（x１＋１）（x２＋１）＝6—（２＋２k２）x１x２—２k２（x１＋x２）—２k２＝6＋错误!.由已知得6＋错误!＝8，解得k＝±错误!.[类题通法]１．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．２．直线和椭圆相交的弦长公式|AB|＝错误!或|AB|＝错误!.[针对训练]（２0１３·全国新课标Ⅱ）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：错误!＋错误!＝１（a>b>0）右焦点的直线x＋y—错误!＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为错误!.（１）求M的方程；（２）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．解：（１）设A（x１，y１），B（x２，y２），P（x0，y0），则错误!＋错误!＝１，错误!＋错误!＝１，错误!＝—１，由此可得错误!＝—错误!＝１．因为x１＋x２＝２x0，y１＋y２＝２y0，错误!＝错误!，所以a２＝２b２.又由题意知，M的右焦点为（错误!，0），故a２—b２＝３．因此a２＝6，b２＝３．所以M的方程为错误!＋错误!＝１．（２）由错误!解得错误!或错误!因此|AB|＝错误!.由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n错误!，设C（x３，y３），D（x４，y４）．由错误!得３x２＋４nx＋２n２—6＝0．于是x３,４＝错误!.因为直线CD的斜率为１，所以|CD|＝错误!|x４—x３|＝错误!错误!.由已知，四边形ACBD的面积S＝错误!|CD|·|AB|＝错误!错误!.当n＝0时，S取得最大值，最大值为错误!.所以四边形ACBD面积的最大值为错误!.错误![课堂练通考点]１．（２0１３·惠州调研）“m＞n＞0”是“方程mx２＋ny２＝１表示焦点在y轴上的椭圆”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选C 把椭圆方程化成错误!＋错误!＝１．若m＞n＞0，则错误!＞错误!＞0．所以椭圆的焦点在y轴上．反之，若椭圆的焦点在y轴上，则错误!＞错误!＞0即有m＞n＞0．故为充要条件．２．（２0１３·广东高考）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（１,0），离心率等于错误!，则C 的方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１解析：选D 依题意，设椭圆方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），所以错误!解得a２＝４，b２＝３．３．（２0１３·江南十校联考）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选B 由题意知２a＋２c＝２（２b），即a＋c＝２b，又c２＝a２—b２，消去b整理得５c２＝３a２—２ac，即５e２＋２e—３＝0，∴e＝错误!或e＝—１（舍去）．４．（２0１４·池州模拟）已知点M（错误!，0），椭圆错误!＋y２＝１与直线y＝k（x＋错误!）交于点A，B，则△ABM的周长为________．解析：M（错误!，0）与F（—错误!，0）是椭圆的焦点，则直线AB过椭圆左焦点F（—错误!，0），且|AB|＝|AF|＋|BF|，△ABM的周长等于|AB|＋|AM|＋|BM|＝（|AF|＋|AM|）＋（|BF|＋|BM|）＝４a＝8．答案：8５．（２0１４·莆田模拟）点A，B分别是椭圆错误!＋错误!＝１长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.（１）求点P的坐标；（２）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．解：（１）由题意可知点A（—6,0），F（４,0）设点P的坐标为（x，y），则AP＝（x＋6，y），FP＝（x—４，y），且y＞0，由已知得错误!即２x２＋9x—１8＝0，解得错误!或错误!（舍）∴点P的坐标为错误!.（２）直线AP的方程为x—错误!y＋6＝0，设点M的坐标为（m,0），由题意可知错误!＝|m—6|.又—6≤m≤6，∴m＝２，∴d２＝（x—２）２＋y２＝x２—４x＋４＋２0—错误!x２＝错误!错误!２＋１５．∴当x＝错误!时，d取得最小值错误!.[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷１．椭圆x２＋my２＝１的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的２倍，则m的值为（）A.错误!Ｂ．错误!C．２Ｄ．４解析：２．设F１、F２分别是椭圆错误!＋错误!＝１的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F１P的中点，|OM|＝３，则P点到椭圆左焦点的距离为（）Ａ．４Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．５解析：选A 由题意知|OM|＝错误!|PF２|＝３，∴|PF２|＝6，∴|PF１|＝２a—|PF２|＝１0—6＝４．３．（２0１３·石家庄模拟）中心在坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为４，离心率为错误!，则该椭圆的方程为（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１解析：选D 依题意，２c ＝４，c ＝２，又e ＝错误!＝错误!，则a ＝２错误!，b ＝２，所以椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．４．已知P 是以F １，F ２为焦点的椭圆错误!＋错误!＝１（a >b >0）上的一点，若1PF ·2PF ＝0，tan ∠PF １F ２＝错误!，则此椭圆的离心率为（ ）Ａ．错误! Ｂ．错误! Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选D ∵1PF ·2PF ＝0，∴1PF ⊥2PF ，∴|PF １|＋|PF ２|＝错误!c ＝２a ，∴e ＝错误!＝错误!. ５．若方程错误!＋错误!＝１表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为方程错误!＋错误!＝１表示焦点在x 轴上的椭圆，所以|a |—１＞a ＋３＞0，解得—３＜a ＜—２．答案： （—３，—２）6． （２0１３·辽宁高考）已知椭圆C ：错误!＋错误!＝１（a >b >0）的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝１0，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝错误!，则C 的离心率e ＝________.解析：设椭圆的右焦点为F １，在△ABF 中，由余弦定理可解得|BF |＝8，所以△ABF 为直角三角形，又因为斜边AB 的中点为O ，所以|OF |＝c ＝５，连接AF １，因为A ，B 关于原点对称，所以|BF |＝|AF １|＝8，所以２a ＝１４，a ＝7，所以离心率e ＝错误!.答案：错误!7．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a >b >0），点P 错误!在椭圆上． （１）求椭圆的离心率；（２）设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点，若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率．解：（１）因为点P 错误!在椭圆上，故错误!＋错误!＝１，可得错误!＝错误!. 于是e ２＝错误!＝１—错误!＝错误!， 所以椭圆的离心率e ＝错误!.（２）设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx .设点Q 的坐标为（x 0，y 0）． 由条件得错误!消去y 0并整理得x 错误!＝错误!.１由|AQ|＝|AO|，A（—a,0）及y0＝kx0得，（x0＋a）２＋k２x错误!＝a２，整理得（１＋k２）x错误!＋２ax0＝0．而x0≠0，故x0＝错误!.代入１，整理得（１＋k２）２＝４k２·错误!＋４．由（１）知错误!＝错误!，故（１＋k２）２＝错误! k２＋４，即５k４—２２k２—１５＝0，可得k２＝５．所以直线OQ的斜率k＝±错误!.8．（２0１４·黄山模拟）椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F１，F２.点P（a，b）满足|PF２|＝|F１F２|.（１）求椭圆的离心率e；（２）设直线PF２与椭圆相交于A，B两点．若直线PF２与圆（x＋１）２＋（y—错误!）２＝１6相交于M，N两点，且|MN|＝错误!|AB|，求椭圆的方程．解：（１）设F１（—c,0），F２（c,0）（c＞0），因为|PF２|＝|F１F２|，所以错误!＝２c.整理得２（错误!）２＋错误!—１＝0．即２e２＋e—１＝0，所以e＝错误!或—１（舍）．（２）由（１）知a＝２c，b＝错误!c，可得椭圆方程为３x２＋４y２＝１２c２，直线PF２的方程为y＝错误!（x—c）．A，B两点的坐标满足方程组错误!消去y并整理，得５x２—8cx＝0．解得x１＝0，x２＝错误!c.得方程组的解错误!错误!不妨设A错误!，B（0，—错误!c），所以|AB|＝错误!＝错误!c.于是|MN|＝错误!|AB|＝２c.圆心（—１，错误!）到直线PF２的距离d＝错误!＝错误!.因为d２＋错误!２＝４２，所以错误!（２＋c）２＋c２＝１6．整理得7c２＋１２c—５２＝0，得c＝—错误!（舍），或c＝２．所以椭圆方程为错误!＋错误!＝１．第Ⅱ卷：提能增分卷１．（２0１４·长春调研）已知椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的离心率为错误!，右焦点到直线x＋y＋错误!＝0的距离为２错误!.（１）求椭圆的方程；（２）过点M（0，—１）作直线l交椭圆于A，B两点，交x轴于N点，且满足NA＝—错误!NB，求直线l的方程．解：（１）设椭圆的右焦点为（c,0）（c＞0），则错误!＝２错误!，c＋错误!＝±２错误!，c＝错误!或c＝—３错误!（舍去）．又离心率错误!＝错误!，错误!＝错误!，故a＝２错误!，b＝错误!＝错误!，故椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．（２）设A（x１，y１），B（x２，y２），N（x0,0），因为NA＝—错误!NB，所以（x１—x0，y１）＝—错误!（x２—x0，y２），y１＝—错误!y２.１易知当直线l的斜率不存在或斜率为0时，１不成立，于是设直线l的方程为y＝kx—１（k≠0），联立方程，得错误!消去x得（４k２＋１）y２＋２y＋１—8k２＝0，２因为Δ＞0，所以直线与椭圆相交，于是y１＋y２＝—错误!，３y１y２＝错误!，４由１３得，y２＝错误!，y１＝—错误!，代入４整理得8k４＋k２—9＝0，k２＝１，k＝±１，所以直线l的方程是y＝x—１或y＝—x—１．２．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为（0,２），短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B，且AP＝２PB.（１）求椭圆的方程；（２）求m的取值范围．解：（１）由题意知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），由题意知a＝２，b＝c，又a２＝b２＋c２，则b＝错误!，所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．（２）设A（x１，y１），B（x２，y２），由题意知，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立，得错误!则（２＋k２）x２＋２mkx＋m２—４＝0，Δ＝（２mk）２—４（２＋k２）（m２—４）＞0．由根与系数的关系知错误!又由AP＝２PB，即（—x１，m—y１）＝２（x２，y２—m），得—x１＝２x２，故错误!可得错误!＝—２错误!２，整理得（9m２—４）k２＝8—２m２，又9m２—４＝0时不符合题意，所以k２＝错误!＞0，解得错误!＜m２＜４，此时Δ＞0，解不等式错误!＜m２＜４得错误!＜m＜２或—２＜m＜—错误!，所以m的取值范围为错误!∪错误!.３．（２0１４·兰州模拟）已知椭圆方程为错误!＋x２＝１，斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．（１）求m的取值范围；（２）求△MPQ面积的最大值．解：（１）设直线l的方程为y＝kx＋１，由错误!可得（k２＋２）x２＋２kx—１＝0．设P（x１，y１），Q（x２，y２），则x１＋x２＝错误!，x１x２＝—错误!.可得y１＋y２＝k（x１＋x２）＋２＝错误!.设线段PQ的中点为N，则点N的坐标为错误!，由题意有k MN·k＝—１，可得错误!·k＝—１，可得m＝错误!，又k≠0，所以0<m<错误!.（２）设椭圆的焦点为F，则S△MPQ＝错误!·|FM|·|x１—x２|＝错误!，所以△MPQ的面积为错误!错误!.设f（m）＝m（１—m）３，则f′（m）＝（１—m）２（１—４m）．可知f（m）在区间错误!上递增，在区间错误!上递减．所以，当m＝错误!时，f（m）有最大值f错误!＝错误!.即当m＝错误!时，△MPQ的面积有最大值错误!.。
高三椭圆的知识点总复习
高三椭圆的知识点总复习在高中数学的学习过程中，椭圆是一种重要的几何图形，也是高三数学中的知识点之一。
掌握椭圆的相关知识，对于学生来说，既是应试需要，也是对数学思维的培养有着重要的作用。
下面将对高三椭圆的知识点进行总复习。
椭圆是平面上的一个几何图形，它由与一个定点F1和定点F2的距离之和等于常数2a的所有点组成，这个常数2a称为椭圆的长轴。
在长轴上的两个定点F1和F2称为椭圆的焦点。
除此之外，椭圆的中点O称为椭圆的中心，短轴称为椭圆的短轴，焦距等于2ae，其中e称为椭圆的离心率。
椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
1. 椭圆的基本性质椭圆的基本性质包括：（1）椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
（2）椭圆上任意一点到中心O的距离与椭圆半长轴的比值等于e（离心率）。
（3）椭圆关于x轴、y轴对称。
（4）椭圆的离心率大于0且小于1。
2. 椭圆的方程与参数椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b为半长轴和半短轴的长度。
椭圆的参数方程为x = acosθ、y = bsinθ，其中θ为参数。
3. 椭圆的焦点坐标根据椭圆方程的定义，可以得到椭圆的焦点坐标为（±ae，0），其中e为椭圆的离心率。
4. 椭圆的直径与焦半径椭圆的直径是通过椭圆中心且两端点在椭圆上的线段。
椭圆的焦半径是指从椭圆的焦点到椭圆上一点的线段。
5. 椭圆的参数方程椭圆可以使用参数方程来表达，即x = acosθ、y = bsinθ。
当θ从0到2π变化时，描述了椭圆上的所有点的轨迹。
6. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个描述椭圆偏心程度的量。
公式为e = c/a，其中c为焦距，a为半长轴的长度。
7. 椭圆的方程转换通过平移、缩放、旋转等操作，可以将任意方程的椭圆转换为标准方程。
这种转换有助于研究椭圆的性质和方程的变化规律。
在高三数学的学习中，椭圆还涉及到与其他几何图形的关系，如与直线、与双曲线的相交关系等。
优化指导2013高考数学(大纲)总复习课件8.1椭圆
二、椭圆的标准方程与参数方程 1(1．)焦椭点圆在的x标轴准上方时程，椭圆的标准方程为：ax22＋by22＝1(a>b>0)；
(2)焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程为：ay22＋bx22＝1(a>b>0) ． 椭圆的标准方程在形式上可统一为：Ax2＋By2＝1，其中 A、 B 是不等的正常数．A>B>0 时，焦点在 y 轴上；B>A>0 时，焦 点在 x 轴上．
• 第一讲 椭 圆
考点
考纲要求
考查角度
运用定义法或待
椭圆的两种
椭圆的定 义
定义、 标准方 程的两
掌握椭圆的定义； 会熟练地求椭 圆的标准方程
种形式
定系数法(如已 知焦点坐标、 准线方程、离 心率、直线与 椭圆相交等条 件)求椭圆的标
准方程
椭圆的对称
椭圆的简 单几 何性
性、范围、 离心率、 顶点、
• A．椭圆
B．线段
• C．椭圆或线段或不存在 在
D．不存
• 解析：当a<6时，轨迹不存在；
• 当a＝6时，轨迹为线段；
• 当a>6时，轨迹为椭圆．
• 答案：C
4．已知 A(4,0)，B(－3， 3)是椭圆2x52 ＋y92＝1 内的点，
M 是椭圆上的动点，则|MA|＋|MB|的最大值是________．
2
．
椭
圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)
的
参
数
方
程
是
x＝acos φ y＝bsin φ
(φ 为参数)
；
椭
圆
y2 a2
＋
x2 b2
2013版高考数学(人教A版·数学文)全程复习方略配套课件：8.5椭圆(共55张PPT)
【规范解答】(1)由题意知，a=2,b= 2，故M(-2,0),N(0, 2).
所以线段MN的中点的坐标为(-1, 2)，由于直线PA平分线段
2
MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所
以 2
k 2
2.
1 …2……………………………………x…2 34分x2 1，
42
(x2)直 2线，PA的方程2 ,为4 y=2x， 2代,入4 椭圆方程得
【解题指南】(1)注意A为椭圆的一个焦点，且BC边过椭圆的另
一个焦点，因此，可借助于椭圆的定义求△ABC的周长；(2)可
先设椭圆的方程为
x2 a2
by或22 1
ay(22a>xbb22 >01)，再根据题
设条件求出相应的系数值即可.
【规范解答】(1)因为A为椭圆的一个焦点，且BC边过椭圆的 另一个焦点，设该焦点为F，所以由椭圆的定义得： |BA|+|BF|=2 3,|CA|+|CF|= 2 3, 因此，△ABC的周长为4 3. 答案：4 3
3
因此2P, (
3
33
),A(
3
),
3 0
4
2
3 2
1，
于是C( 0),直线AC的斜率为 3 3
解得
所以直线AB的方程为x-y-2 =0，
………………5分
3
242
因此d 3 3 3 …2 …2 .…………………………7分
2
3
(3)方法一：将直线PA的方程y=kx代入x2 y2 1，
42
解得 x 2 ，记 …2……，…………8分
2.直线被椭圆截得的弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1)、B(x2，y2),则
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(16k ) 2 4 64k 2 4 2 ( ) (8 9k 2 ) 2 8 9k 2 k 3为定值. 2 4 2 (16k ) ( ) 16 2 2 k (8 9k )
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第八单元
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高考体验
从近两年的高考试题来看，椭圆的定义，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位 置关系，求椭圆的标准方程是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有 解答题，难度属中等偏高，部分解答题为较难题目；客观题主要考查对椭圆
BE GF2
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x2 y2 7 5 【解析】 （1）解法一：设椭圆方程为 2 2 1 ，则 2 a AF1 AF2 6 ， 2 2 a b
得a 3. 设 A( x, y), F1 (c,0), F2 (c,0) ，则 ( x c ) y ( ) ， ( x c ) y ( ) ，
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→ PF 本例中将“过点 P 且与 k 轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点”改为“PF1·→2＝0”，结果又是什么？
34 解析：∵|F1F2|＝ 5 ＋3 ＝ 34＝2c，2a＝5＋3，∴a＝4，c＝ 2 ，
2 2
34 15 x2 4y2 y2 4x2 b ＝a －c ＝16－ 4 ＝ 2 .∴所求椭圆的标准方程为16＋ 15 ＝1 或16＋ 15 ＝1.
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平面解析几何
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第五节 椭圆
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知识汇合
1．椭圆的定义 平面内与两定点 F1，F2 的距离的和等于定长 2a(2a＞|F1F2|)
椭圆 的点的轨迹叫做________，即点集 M＝{P||PF1|＋|PF2|＝2a,2a＞ 焦点 |F1F2|}是椭圆；其中两定点 F1，F2 叫______，定点间的距离叫 焦距 _____．(当 2a＝|F1F2|时，点的轨迹为线段 F1F2；当 2a＜|F1F2|
π 当且仅当 r1＝r2 时，cos θ＝0，∴θ∈0，2.
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考点三
直线与椭圆的位置关系
【例 3】(2011 杭西高 8 月高三数学试题) 如图， 曲线 C 是以原点 O 为中心、F1 , F2 为焦点的椭圆的一部分， 曲线 C 是以 O 为顶点、 F 为焦点的抛物线的一部分， A 是 曲 线 C1 和 C2 的 交 点 且 AF2 F1 为 钝 角 ，
C. 椭圆或线段或不存在
D. 不存在
解析：由已知，a与3的大小不确定． 答案：C
1 2. 已知椭圆的一个焦点为 F(0,1)，离心率 e＝2，则椭圆的标准方程为( x2 2 A. 2 ＋y ＝1 x 2 y2 C. 4 ＋ 3 ＝1 y2 B. x ＋ 2 ＝1 y2 x2 D. 4 ＋ 3 ＝1
2
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解法二： F1 作垂直于 x 轴的直线 x c ， 过 即抛物线的准线， 作 AH 垂直于该准线， 作 AM x 轴于 M ，则由抛物线的定义得
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AF2 AH ，
所以 AM
AF1 F1M
2
2 2
2
AF1 AH
2
2
2
AF1 AF2
2 2
7 5 6 2 2
解析：∵△ABF2 是正三角形，∴|AF2|＝2|AF1|.又∵|AF2|＋|AF1|＝2a 2 a 3 2 1 c 3 且 3|AF1|＝|F1F2|，∴|AF1|＝ a.又|F1F2|＝2c，∴ ＝ ，∴e＝ ＝ . 3 2c a 3 3B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5
的概念与性质的理解及应用；主观题考查较为全面，在考查对椭圆基本概念
与性质的理解及应用的同时，又考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生 分析问题、解决问题的能力、运算能力以及数形结合思想．
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（2012 年高考江苏卷 19） （本小题满分 16 分）
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x2 y 2 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 a 2 b 2 1(a b 0) 的左、右焦点分别
2 2 2
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考点二 【例 2】 椭圆的几何性质
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x2 y2 已知椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的长、短轴端点分别为 A、B，从椭圆上一点 a b
→ → M(在 x 轴上方)向 x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 F1，向量AB与OM是共线向量． (1)求椭圆的离心率 e； (2)设 Q 是椭圆上任意一点，F1、F2 分别是左、右焦点，求∠F1QF2 的取值范围．
1
AF2 与 BF1 交于点 P．
6 2 ，求直线
AF1 的斜率；
（ii）求证： PF1 PF2 是定值．
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练习巩固
1. 设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件|PF1|＋|PF2|＝a(a>0)，则动 点P的轨迹是( ) A. 椭圆 B. 线段
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ky 2 4 y 4k 0, y3 y4 4 , y3 y4 4; k
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1 BE GF2 y1 y2 2 y3 y4 CD HF2 y3 y4 1 y y 1 2 2
2 2 ( y1 y2） （y3 y4） 2 2 （y1 y2） （y3 y4） 2 2 （y3 y4） （y1 y2） 4 y1 y2 = 2 2 （y1 y2） （y3 y4） 4 y3 y4
7.
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→ MF 已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点，满足MF1·→ 2＝0 的点 M 总在椭圆内部，则椭 ) B.
1 0，2
圆离心率的取值范围是( A. (0,1)
C.
0，
解
设所求的椭圆方程为
x2 y2 y2 x2 a2＋b2＝1(a>b>0)或a2＋b2＝1， 2a＝5＋3， a＝4， 由已知条件得 解得 2 2 2 2c ＝5 －3 ， c＝2， 则 b2＝a2－c2＝12. x2 y2 x 2 y2 故所求椭圆的标准方程为16＋12＝1 或12＋16＝1.
)
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c 1 解析：由已知，c＝1，∵e＝ ＝ ， a 2 ∴a＝2，∴b＝ a2－c 2＝ 3. y2 x2 ∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1，故选 D. 4 3 答案：D
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3.如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围为( A. (0,1) B. (1,2) C. (0,2) D. (0,1]
2
答案：B
6. 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P1( 6，1)，P2(－ 3， － 2)，求椭圆的方程．
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解析：设椭圆的方程为 mx2＋n2y2＝1(m>0，n>0 且 m≠n )． ∵椭圆经过 P1、P2 点， ① 6m＋n＝1， ∴P1、P2 点坐标适合椭圆方程，则 3m＋2n＝1， ② 1 1 ①②两式联立，解得 m＝9，n＝3. x2 y2 ∴所求椭圆方程为 9 ＋ 3 ＝1.
)
x2 y2 2 解析： 方程可化为 ＋ ＝1， 焦点在 y 轴上， 则有 >2， k<1， k>0， 即 又 ∴0<k<1. 2 2 k k 答案：A
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椭圆于 A、B 两点，若△ABF2 是正三角形，则这个椭圆的离心率为( 3 A. 3 2 B. 3 2 C. 2 3 D. 2
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)
4. (2011· 合肥)已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点，过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交
2 2 2 2 2 2
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7 2
5 2
两式相减得 xc
3 5 3 ，由抛物线定义可知 AF2 x c ，则 c 1, x 或 2 2 2
x 1, c
3 （舍去） 2
x2 y2 1 ，抛物线 C2 方程为 y 2 4 x . 所以椭圆 C1 方程 为 9 8
1 5 F2 M 6 ， 2 2
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得
F1 F2 5 1 2 ，所以 2 2
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c＝1，
AF1 AF2 7 5 6， a 得 2 2
b 2 a 2 c 2 8 ( 2a
3） ,
因 而椭 圆 C 方程 为
1
x2 y2 1 ， 抛物 线 C2 9 8
1 2 2
若
5 7 AF1 ， AF2 . 2 2
（1）求曲线 C1 和 C2 的方程； （2）过 F2 作一条与 x 轴不垂直的直线，分别与曲线 C 、C 依次交于
1 2
B、C、D、E 四点，若 G 为 CD 中点、H 为 BE 中点，问 CD HF2 是
否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.
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5. (2011· 广西)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则椭圆的离心
解析： 设长轴为 2a，短轴为 2b，焦距为 2c，则 2a＋2c＝2×2b， 即 a＋c＝2b⇒(a＋c)2＝4b2＝4(a2－c2)， 整理得：5c2＋2ac－3a2＝0， 3 即 5e ＋2e－3＝0⇒e＝ 或 e＝－1(舍去)，故选 B. 5
b2 b2 解 (1)∵F1(－c,0)，则 xM＝－c，yM＝ ，∴kOM＝－ . a ac b → → b2 b 2 ∵kAB＝－ ，OM与AB是共线向量，∴－ ＝－ ，∴b＝c，∴e＝ . a ac a 2 (2)设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，∴r1＋r2＝2a， r2＋r2－4c2 r1＋r22－2r1r2－4c2 a2 a2 1 2 又∵|F1F2|＝2c，∴cos θ＝ ＝ ＝ －1≥ －1＝0， 2r1r2 2r1r2 r1r2 r1＋r22 2