导函数与函数单调性1样板

答案：B
1 2 解析:(1)由已知，有 f′(x)＝2x－2ax (a＞0)．令 f′(x)＝0，解得 x＝0 或 x＝ . a
1 1 所以 f(x)的单调递增区间是0， ；单调递减区间是(－∞，0)， ，＋∞. a a 1 1 1 当 x＝0 时， f(x)有极小值， 且极小值 f(0)＝0； 当 x＝ 时， f(x)有极大值， 且极大值 f ＝ 2. a a 3a
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通往清华北大的路是用卷子铺出来的！
长垣一中学生课堂导学提纲
编号：高三理数
（2014.12.016）
编制：赵程晓 审核：理数组 序号：095
六 、 检 ——课 堂 检 测 。 （ 2分 钟 ） 【当堂检测】 1..已 知 函 数 f(x)＝ ax2＋ 1(a＞ 0)， g(x)＝ x3＋ bx. (1)若 曲 线 y＝ f(x)与 曲 线 y＝ g(x)在 它 们 的 交 点 (1， c)处 具 有 公 共 切 线 ， 求 a， b的 值 ； (2)当 a2＝ 4b时 ， 求 函 数 f(x)＋ g(x)的 单 调 区 间 ． f1＝a＋1＝c， 解析： (1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x ＋b，由已知可得g1＝1＋b＝c， 2a＝3＋b，
f ( x) 2 ，又因为 f (e) e 所以 y 2 x e .（2） F ( x) ax2 (a 2) x ln x 1( x 0) ，
F ( x) 2ax (a 2)
F ( x) 0 ，则 x
1 2ax2 (a 2) x 1 (2 x 1)(ax 1) x x x
（
a 0, x 0
），令
1 1 1 1 1 1 ) 上 或 x 。① 时，即 0 a 2 ， F ( x ) 在（ 0， ）， ( ， a 2 a a 2 2 1 1 单调递增，在（ ， ）上单调递减。 2 a
) 上递增 ② 当 a 2 时， F ( x) 0 恒成立， F ( x ) 在 (0，
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f ( x) x x ln x 对 于 任 意 x 1 恒 成 立 ， 令 g ( x) ， 则 x 1 x 1
， 则
g ( x)
x ln x 2 ( x 1) 2
， 令 h( x) x ln x 2( x 1)
h( x) 1
1 x 1 0 ， x x
所 以 函 数h( x) 在(1,) 上 单 调 递 增 因 为h(3) 1 ln 3 0, h(4) 2 2 ln 2 0 所 以 方 程 h( x) 0 在 (1,) 上 存 在 唯 一 实 根 x0 且 满 足 x0 (3,4) 。 当 1 x x0 时 ， h( x ) 0 即
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解得 a＝b＝3.
a2 a2 (2)令 F(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋ x＋1，F′(x)＝3x2＋2ax＋ ，令 F′(x)＝0，得 x1＝－ 4 4 a a a a a a ，x ＝－ ，∵a>0，∴x1<x2，由 F′(x)>0 得，x<－ 或 x>－ ；由 F′(x)<0 得，－ <x<－ . 2 2 6 2 6 2 6 a a a a ∴单调递增区间是 －∞，－2，－6，＋∞；单调递减区间为－2，－6.
x0 (1 ln x0 ) x0 (1 x0 2) x0 (3,4) ， x0 1 x0 1
所 以k [ g ( x)]min x0 (3,4) ， 故 k整 数 的 最 大 值 3
三 、 议 ——学 生 起 立 讨 论 。 根 据 以 上 学 习 的 内 容 进 行 小 组 集 体 讨 论 。 （ 6分 钟 ） 四 、 展 ——学 生 激 情 展 示 。 小 组 代 表 或 教 师 随 机 指 定 学 生 展 示 。 （ 5分 钟 ） 五 、 评 ——教 师 点 评 ， 教 师 总 结 规 律 ， 点 评 共 性 问 题 ， 或 拓 展 延 伸 。 （ 10分 钟 ）
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（ II） 若k 为 整 数 时 ，k ( x 1) f ( x) 对 任 意x 1 恒 成 立 ， 求k 的 最 大 值 解析： 解 ： （ I） f ( x) x ln x 1, f (e) 3, 即a ln e 1 3, a 1 （ II） 由 （ I） 知 f ( x) x x ln x k
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1 2 例 2．函数 y＝4x ＋ 的单调递增区间为( ) x 1 1 A．(0，＋∞) B. ，＋∞ C．(―∞，―1) D.―∞，― 2 2 2 2 3 例 3.已知函数 f(x)＝x － ax (a＞0)，x∈R.求 f(x)的单调区间和极值； 3
二、思——自主学习。学生结合课本自主学习，完成下列相关内容。（15分钟）
1 例 1． 函 数 y＝ x2－ ln x的 单 调 递 减 区 间 为 ( 2 A． (－ 1,1] B． (0,1] ) D． (0， ＋ ∞)
C． [1， ＋ ∞)
1 解析：选 B 函数 y＝ x2－ln x 的定义域为(0，＋∞)， 2 1 x－1x＋1 y′＝x－ ＝ ，令 y′≤0，则可得 0<x≤1. x x
第 2讲 导 数 与 函 数 单 调 性 （1）
班 级 ：_________ 姓 名 ：____________ 小组 ： ___________ 评 价 ： ___________ 【考纲解读】 高考对于导数考查一直保持较高的力度，每套试卷均会出现。题型则为两种：一个是五分的 选择题或填空题，中等难度或较难，另一个则出现在最后的两个押轴题中，为最难题，往往还 含参数。 【课堂六环节】 一、导——教师导入新课。（7分钟） 1． 函数的单调性 在 (a， b)内 可 导 函 数 f(x)， f′(x)在 (a， b)任 意 子 区 间 内 都 不 恒 等 于 0. f′(x)≥0⇔f(x)在 (a， b)上 为 增 函 数 ． f′(x)≤0⇔f(x)在 (a， b)上 为 减 函 数 ． 2，求函数的单调区间的“两个”方法 (1)方 法 一 ： ①确 定 函 数 y＝ f(x)的 定 义 域 ； ②求 导 数 y′＝ f′(x)； ③解 不 等 式 f′(x)>0， 解 集 在 定 义 域 内 的 部 分 为 单 调 递 增 区 间 ； ④解 不 等 式 f′(x)<0， 解 集 在 定 义 域 内 的 部 分 为 单 调 递 减 区 间 ． (2)方 法 二 ： ①确 定 函 数 y＝ f(x)的 定 义 域 ； ②求 导 数 y′＝ f′(x)， 令 f′(x)＝ 0， 解 此 方 程 ， 求 出 在 定 义 区 间 内 的 一 切 实 根 ； ③把 函 数 f(x)的 间 断 点 (即 f(x)的 无 定 义 点 )的 横 坐 标 和 上 面 的 各 实 数 根 按 由 小 到 大 的 顺 序 排 列 起 来 ， 然 后 用 这 些 点 把 函 数 f(x)的 定 义 区 间 分 成 若 干 个 小 区 间 ； ④确 定 f′(x)在 各 个 区 间 内 的 符 号 ， 根 据 符 号 判 定 函 数 在 每 个 相 应 区 间 内 的 单 调 性 ．
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例4.设函数f(x)＝x ln x. (1)求函数f(x)在点M(e，f(e))处的切线方程； (2)设F(x)＝ax －(a＋2)x＋f′(x)(a>0)，讨论函数F(x)的单调性． 解 析 ：（1）
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f ( x) ln x 1( x 0) ，则函数在点 M (e, f (e)) 处的切线方程的斜率为：
g ( x) 0 ， 当x x0 时 ，h( x) 0 。 即 g ( x) 0
所 以 函 数g ( x )
x x ln x 在(1, x0 ) 上 单 调 递 减 ， 在( x0 ,) 上 单 调 递 增 x 1
所 以 [ g ( x)]min g ( x0 )
③ 当 。
1 1 1 1 1 1 ) 上单调递增，在（ ， ）上单调递减 时，即 a 2 ， F ( x) 在（ 0， ）， ( ， 2 a 2 a a 2
例 5.已 知 函 数 f ( x) x(a ln x) 的 图 像 在 点(e, f (e)) ( e 为 自 然 对 数 的 底 数 ） 处 的 切 线 斜 率 为 3 （ I） 求 实 数a 的 值