CH6图—学生

本章小结图论的起源——哥尼斯堡七桥问题ABCD§6.1 图的定义和术语图(Graph)——由两个集合V(G)和VR(G)组成,记为G=(V,VR)其中：V(G)是顶点的非空有限集VR(G)是边的有限集合，边是顶点的有序对或无序对 有向图(Digraph)——由两个集合V(G)和VR(G)组成其中：V(G)是顶点的非空有限集VR(G)是有向边（即弧）的有限集合，弧是顶点的有序对，记<v,w>，v为弧尾(Tail)，w为弧头(Head) 无向图(Undigraph)——由两个集合V(G)和VR(G)组成其中：V(G)是顶点的非空有限集VR(G)是边的有限集合，边是顶点的无序对，记（v,w）或（w,v)，并且（v,w)=(w,v)2 1 5 34 35 连通图 66强连通图1 32 4非连通图 有两个连通分量抽象数据类型图的定义ADT Graph { 数据对象: V是具有相同特性的数据元素的集合称为顶点集 R={VR},两个顶点关系的集合 数据关系: VR={<v,w>| v,w∈V, <v,w>表示从v到w的弧} 基本操作: CreatGraph(&G, V, VR); DestroyGraph(&G): LocateVex(G, u); GetVex(G, v); PutVex(&G, v, value); FirstAdjVex(G, v); NextAdjVex(G, v, w); 按V和VR的定义构造图G 销毁图G 返回图G中顶点u的"位置" 返回图G中顶点v 的值 将图G中顶点v 赋值为value 返回 v 的第一个邻接点 返回 v 的(相对于w)下一个邻接点基本操作(续): InsertVex(&G, v); DeleteVex(&G, v); 在图G中增添新顶点v 删除图G中顶点v及其相关的弧InsertArc(&G, v, w); 在G中增添弧<v,w>,若G是无向的, 则还增添对称弧<w,v> DeleteArc(&G, v, w); 在G中删除弧<v,w>,若G是无向的, 则还删除对称弧<w,v> DFSTraverse(G, v, Visit()); 从顶点v起深度优先遍历图G BFSTraverse(G, v, Visit()); 从顶点v起广度优先遍历图G } ADT Graph§6.2 图的存储结构 邻接矩阵(数组表示法)设G=(V,E)是有n≥1个顶点的图,邻接矩阵存储 结构用两个数组分别存储图中顶点的信息(一维 数组)和顶点间相关联的关系(边或弧,n阶方阵)弧及邻接矩阵结构 AdjMatrix[i][j]= 弧及邻接矩阵结构 1 (vi,vj) 或<vi,vj> ∈VR 0 否则# define Max_Vertex_Num 20 //图中最大顶点个数 typedef struct ArcCell { VRType adj; // VRType——顶点关系类型,对无权图, 用1或0表示相邻否;对带权图,则为权值 InfoType *info; //该弧相关信息指针(可无) } ArcCell, AdjMatrix[Max_Vertex_Num] [Max_Vertex_Num]; //ArcCell表示弧,AdjMatrix表示邻接矩阵§6.2 图的存储结构 邻接矩阵(数组表示法)设G=(V,E)是有n≥1个顶点的图,邻接矩阵存储 结构用两个数组分别存储图中顶点的信息(一维 数组)和顶点间相关联的关系(边或弧,n阶方阵)图的定义 图的定义 typedef struct { VertexType vexs[Max_Vertex_Num]; // 顶点向量 AdjMatrix arcs; // 邻接矩阵 int vexnum, arcnum; // 图中顶点及弧的数目 } MGraph;§6.2 图的存储结构 邻接矩阵(数组表示法)设G=(V,E)是有n≥1个顶点的图,邻接矩阵存储 结构用两个数组分别存储图中顶点的信息(一维 数组)和顶点间相关联的关系(边或弧,n阶方阵)1 3 G1 20 0 0 1G1.arcs=41 1 0 0 0 0 0 01 00 0 MGraph G1; G1.vexnum=4; //顶点数 G1.arcnum=4; //弧数 for(k=0;k<G1.vexnum;k++) //顶点向量 G1.vexs[k]=k+1;§6.2 图的存储结构 邻接矩阵(数组表示法)设G=(V,E)是有n≥1个顶点的图,邻接矩阵存储 结构用两个数组分别存储图中顶点的信息(一维 数组)和顶点间相关联的关系(边或弧,n阶方阵)1 3 4 G2 5 20 1 0 1 0G2.arcs=1 0 1 0 10 1 0 1 11 0 1 00 1 1 0MGraph G2; G2.vexnum=5; //顶点数 G2.arcnum=6; //边数 for(k=0;k<G2.vexnum;k++) //顶点向量 G2.vexs[k]=k+1;0 0特点: 无向图的邻接矩阵对称,可压缩存储; 有向图邻接矩阵不一定对称; 无向图中顶点Vi的度是 邻接矩阵中第i行元素之和 有向图中, 顶点Vi的出度是 邻接矩阵中第i行元素之和 顶点Vi的入度是 邻接矩阵中第i列元素之和 判断两顶点是否为邻接点:只需判邻接矩阵对应分量是否为1 在图中增加,删除边:只需对邻接矩阵对应分量赋值1或清01 3 4 G2 5 20 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 3 G12 40 0 0 1 1 0 0 01 0 0 00 0 1 0 G2.arcsG1.arcs带权图(网)的邻接矩阵:ω ij (vi,vj) 或<vi,vj> ∈VR AdjMatrix[i][j]= 0或∞ 否则1 3 7 3 1 5 6 2 V2 8 V1 4 V5 7 9 6 V4 2 V6 2 1 3 2 2 V3 8 4 4 5 20 5 7 0 3 5 0 0 4 81 2 3 4 5 67 0 0 2 110 4 2 06 0 2 3 4 5 63 8 1 6 ∞ 8 ∞ 7 48 ∞ 2 1 ∞∞ 2 ∞ 3 27 1 3 ∞ ∞ 24 ∞ ∞ ∞ ∞9 ∞ 2 2 69 ∞ 26 ∞邻接表实现:为图中每个顶点建立一个单链表,第i个单链表中 的结点表示依附于顶点Vi的边(有向图中指以Vi为尾的弧) 顶 顶 点 点 结 结 点 点 弧 弧 结 结 点 点 图 图 的 的 定 定 义 义typedef struct Vnode data firstarc { VertexType data; //顶点信息 ArcNode *firstarc; //指向第一条依附该顶点的弧 } VNode, AdjList[Max_Vertex_Num];adjvex nextarc info typedef struct Arcnode { int adjvex; //该弧所指向顶点(在表头数组中)的位置 struct Arcnode *nextarc; //指向依附该顶点下一条边或弧 InfoType *info; //该弧相关信息指针(可无) } ArcNode;typedef struct { AdjList vertices; // 表头数组 int vexnum, arcnum; // 图中顶点及弧的数目 } ALGraph;data firstarc a c d G1 e b 1 2 3 4 5 a b c d e G1. vertices data firstarc a c G2 b d 1 2 3 4 a b c d G2. vertices ^ 4 1 3 2 1 2 1 2adjvex nextarc 4 ^ 3 4 3 3 ^ ^ 5 5 ^ ^adjvex nextarc 2 ^^ ^特点 无向图中顶点Vi的度为 第i个单链表中的结点数data firstarc a c d G1 e b 1 2 3 4 5 a b c d e 2 1 2 1 2adjvex nextarc 4 ^ 3 4 3 3 ^ ^ 5 5 ^ ^特点 无向图中顶点Vi的度为 第i个单链表中的结点数 有向图中 顶点Vi的出度为 第i个单链表中的结点数 顶点Vi的入度为 整个单链表中邻接点域值是i 的结点个数data firstarc a c G2 b d 1 2 3 4 a b c d ^ 4 1 ^ ^ 3adjvex nextarc 2 ^逆邻接表:有向图中对每个结点建立以Vi为头的弧 的单链表a c G1b ddata firstarcadjvex nextarc 1 4 a ^ 2 3 4 b c d 1 1 3 ^ ^ ^网的邻接表表示表头顶点的 边的相关 指向下一个 邻接点编号 信息(权) 邻接点的指针 弧结点结构V2 8 V1 4 V5 7 9 6 V4 2 V6 2 1 3 2 2 V31 2 3 4 5 6V1 V2 V3 V4 V5 V62 1 2 1 1 18 8 2 7 4 94 3 4 2 3 3邻接表7 2 3 1 2 25 4 5 3 6 44 1 2 3 6 26 ∧ 6 6 ∧ 59 2 2 6∧ ∧ ∧ ∧§6.3 图的遍历深度优先遍历(DFS)——类似于树的先根遍历方法:从图的某一顶点V0出发,访问此顶点;然后依 次从V0的未被访问的邻接点出发,深度优先遍历图, 直至图中所有和V0相通的顶点都被访问到; 若此时图中尚有顶点未被访问,则另选图中一个 未被访问的顶点作起点,重复上述过程,直至图中所 有顶点都被访问为止 V1 例V2 V4 V5 V8 V6 V3 V7深度遍历:V1 V2 V4 V8 V5 V3 V6 V7深度优先遍历(DFS)V1 V2 V4 V5 V8 V6 V3 V7深度遍历:V1 V2 V4 V8 V5 V6 V3 V7 深度遍历:V1 V2 V5 V8 V7 V3 V6 V4V1 V2 V4 V5 V8 V6 V3 V7深度遍历:V1 V2 V4 V8 V3 V6 V7 V5深度优先遍历算法实现V12 V2visited[M]V3 1 0 1 V7 深度遍历:V1 1 0 2 1 0 3 1 0 4 1 0 5 1 0 6 1 0 7 1 0 8V4V58 V8V6V3 V7 V6 V2 V5 V8 V4data firstarc 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 3 5 7 8 8 7 6 5adjvexnextarc 2 ^ 4 6 2 2 3 3 4 ^ ^ ^ ^ ^ 1 1 ^ ^结束深度优先遍历算法实现1 V1visited[M]V3 0 1 1 V7 7 深度遍历:V1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0 1 6 0 1 7 1 0 8V2 V2 V4 4 V5 V8 V8 V6V3 V7 V6 V2 V4 V8 V5vexdata firstarc 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 ^ ^ 3 4 7 8 8 7 ^ ^ ^adjvex next 2 ^6^结束2^深度优先遍历算法(图用邻接表存储)开始 标志数组初始化 i=1 Vi访问过 Y i=i+1 N i==M Y 结束 N DFS//深度优先遍历图G int visited[Max_Vertex_Num]; void DFSTraver (ALGraph G) { 标志数组 初始化 int i; for(i=1;i<=G.vexnum;i++) visited[i]=0; for(i=1;i<=G.vexnum;i++) if(visited[i]==0) 对未访问 的顶点调 DFS(G,i); 用DFS }深度优先遍历算法(图用邻接表存储)开始 访问V,置标志 求V邻接点 有邻接点w N 结束 Y 求下一邻接点//从第v个顶点出发深度遍历图G void DFS(ALGraph G, int v) { ArcNode *w; int i; printf("%d\t",v); visited[v]=1; w=G.vertices[v].firstarc;//顶点v的第一个邻接点递归Y W访问过 N wVwhile(w!=NULL) //是否存在 { i=w->adjvex; //邻接点下标 if(visited[i]==0) DFS(G,i); w=w->nextarc; //v的下一个邻接点 2 ^ 3 } 1 a }2 3 4 b c d 4 ^ 1 ^DFS(G,v)广度优先遍历(BFS)——类似于树的层次遍历方法:从图的某一顶点V0出发,访问此顶点后,依次 访问V0的所有未曾访问过的邻接点; 然后分别从这些邻接点出发,广度优先遍历图, 直至图中所有已被访问的顶点的邻接点都被访问到; 若此时图中尚有顶点未被访问,则另选图中一个 未被访问的顶点作起点,重复上述过程,直至图中所 有顶点都被访问为止 例V2 V4 V5 V8 V6 V1 V3 V7利用队列实现图 的广度优先遍历广度遍历:V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8广度优先遍历(BFS)V1 V2 V4 V5 V8 V6 V3 V7广度遍历:V1 V2 V3 V4 V6 V7 V8 V5V1 V2 V4 V5 V8 V6 V3 V7广度遍历:V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 广度遍历:V8 V4 V5 V6 V7 V2 V3 V1广度优先遍历的实现vexdata firstarc 1 2 3 5 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4 5 5 5 4 adjvex nextarc 2 3 1 1 1 3 ^ ^ ^ 2 ^ ^fff ff f14 32 50 1 2 3 4 5 r r r r r结束 visited[M]1 0 1 1 0 2 1 0 3 1 0 4 1 0 5遍历序列:1 4 3 2 5广度优先遍历算法(图用邻接表存储)开始 标志数组初始化 i=1 Vi访问过 Y i=i+1 N i==M Y 结束 N BFS//广度优先遍历图G int visited[Max_Vertex_Num]; void BFStraver(ALGraph G) { int i; for(i=1;i<=G.vexnum;i++) visited[i]=0; for(i=1;i<=G.vexnum;i++) if(visited[i]==0) BFS(G , i ); }开始 BFS 访问V0,置标志 初始化队列 V0入队 Y 结束 队列空吗 N 队头V出队 求V邻接点w N w存在吗 Y w访问过 N a Y a 访问w,置标志 w入队 V下一邻接点w开始 BFS 访问V0,置标志 初始化队列 V0入队 Y 结束 队列空吗 N 队头V出队 求V邻接点w N w存在吗 Y w访问过 N a Y//从顶点v出发广度优先遍历图G void BFS( ALGraph G, int v) { int qu[Max_Vertex_Num],f=0,r=0; ArcNode *p; printf("%d\t",v); visited[v]=1; qu[0]=v; //v入队 while(f<=r) { v=qu[f++];//出队 a p=G.vertices[v].firstarc; while(p!=NULL) //是否存在 访问w,置标志 { v=p->adjvex; //邻接点下标 if(visited[v]==0) w入队 { visited[v]=1; printf("%d\t",v); V下一邻接点w qu[++r]=v; } p=p->nextarc; //下一个邻接点} } }§6.4 生成树——解决最小代价问题生成树定义:所有顶点均由边连接在一起,但不存在回路的图; 说明 一个图可以有许多棵不同的生成树 所有生成树具有以下共同特点: 生成树的顶点个数与图的顶点个数相同 生成树是图的极小连通子图 一个有n个顶点的连通图的生成树有n-1条边 G 生成树中任意两个顶点间的路径是唯一的 K I 在生成树中再加一条边必然形成回路 含n个顶点n-1条边的图不一定是生成树 H生成树V0 V2 V3 V4 V3 V1 V0 V2 V4 V1连通图G1 B A F E C D连通图G1的一棵生成树 B A F E C D生成树V2 V2 V1 V3 V5 V6 V5 V1 V4 V6 V5 V3 V2 V4 V6 V3V1V4生成树不唯一（0）用顶点数组和边数组存放顶点和边信息（1）初始时，令每个顶点的SubNet 互不相同；每个边的flag 为0（2）选出权值最小且flag 为0的边（3）若该边依附的两个顶点的SubNet 值不同，即非连通，则令该边的flag=1, 选中该边；再令该边依附的两顶点的SubNet 以及两集合中所有顶点的SubNet 相同若该边依附的两个顶点的SubNet 值相同，即连通，则令该边的flag=2, 即舍去该边（4）重复上述步骤，直到选出n-1条边为止//顶点结点typedef struct{ int data; //顶点信息int jihe; }VEX ;VEX v[N];//边结点typedef struct{ int vexh, vext; //边依附的两顶点int weight; //边的权值int flag; //标志域}EDGE ;EDGE e[M];算法实现：。