第四章 连续信号与系统的复频域分析

e ε (t)(α > 0) 则不存在傅氏变换
αt
傅氏变换分析法只能求取零状态响应
2012-5-17 Chapter 4 The Laplace Transform 1
拉普拉斯变换（简称拉氏变换） 拉普拉斯变换（简称拉氏变换）可看作一种广 义的傅氏变换，将频域扩展为复频域， 义的傅氏变换，将频域扩展为复频域，简化了 信号的变换式，扩大了信号的变换范围， 信号的变换式，扩大了信号的变换范围，为分 析系统响应提供了统一和规范化的方法。 析系统响应提供了统一和规范化的方法。
ω0 cosω0t0 − s sinω0t0 = 2 s2 + ω0
∞
3) f (t )ε (t − t0 ) = sinω0tε (t − t0 )
L[sinω0tε (t − t0 )] = ∫ sinω0te dt
−st t0
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Re(s)=σ > - α σ
-α
σ
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Chapter 4 The Laplace Transform
由此，可导出一些常用函数的拉氏变换 由此，可导出一些常用函数的拉氏变换
1 1 (a)令α = 0, L[ε (t )] = ,即ε (t ) ↔ s s
(b) 单边正弦信号
1 jω0t − jω0t L[sinω0tε (t )] = L[ (e )ε (t )] −e 2j ω0 1 1 1 ] = 2 = [ − 2 2 j s − jω0 s + jω0 s + ω0
ω0 f 例:已知 (t ) = sinω0t ↔ 2 2 求下列拉氏变换 s + ω0
2) f (t − t0 )ε (t ) = sinω0 (t − t0 )ε (t )
解（1）和（2）的单边拉氏变换相同 ） ）
1) f (t − t0 ) = sinω0 (t − t0 )
L[sinω0 (t − t0 )] = L[sinω0t cosω0t0 − cosω0t sinω0t0 ]
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F[ f (t )e
−σt
]= ∫
=∫
∞
−∞
∞
f (t )e e
f (t )e
−σt
− jωt
dt
−(σ + jω ) t
的函数， σ 它是σ + jω的函数，记 + jω = s为复频率
1 ∞ f (t )e = F( s)e jωt dω 对F(s)求傅氏反变换 2π ∫−∞ 1 ∞ σt e 不是ω的函数，故 (t ) = 的函数， f F( s)e(σ + jω )t dω 2π ∫−∞ 1 σ + j∞ f (t ) = F( s)estds Qs = σ + jω, 2πj ∫σ − j∞
αt
2.σ 0 < 0, 收敛域含虚轴（ = 0），令 = jω, 收敛域含虚轴（ s σ ），令 . 可得傅氏变换如 1 −αt e ε (t ) ↔ F( s) = s + α 拉氏变换 傅 拉氏变换,傅 1 氏变换均存在 令s=jω,得F( jω) = ω得 jω + α
3 σ 0 = 0 ,都有，拉氏变换与傅氏变换相差冲激 都有， 都有 或冲激函数的导数， 或冲激函数的导数，如 ε (t ), tε (t ) 等
4-1 拉普拉氏变换
4-1-1 从傅氏变换到拉氏变换 傅氏变换信号不满足绝对可积条件的原因 原因： 傅氏变换信号不满足绝对可积条件的原因：
不趋于零。 当t → ∞或t → −∞时，f (t )不趋于零。 −σt e 的数值选取适当， 用实指数函数 去乘f (t ), 只要σ的数值选取适当， −σt , 称为收敛因子。 可满足条件e 称为收敛因子。
−σt
是否一定满足， 是否一定满足，还要看f (t) 的性质与σ 的相对关系
e 若f (t )乘以收敛因子 后, 存在下列关系
lim f (t )e
t →∞ −σt
−σt
=0
(σ > σ 0 )
σ 则收敛条件为 > σ 0
σ 0为最低限度的 值，称为收敛坐标，与(t )的性质有关 σ 称为收敛坐标， f
lim e−(α +s)t = lim e−(α +σ )t e− jωt
t →∞ t →∞
−(α +s ) t ∞ 0−
Re(s + α ) > 0 0 = 不定 Re(s + α ) = 0 ∞ Re(s + α ) < 0
1 ∴e ε (t ) ↔ s +α
−αt
jω ω
收敛域
−σt
−∞
dt
F(s) = ∫ f (t )e dt
−∞
∞
−st
上两式称拉普拉斯变换对，正变换， 上两式称拉普拉斯变换对，正变换，反变换
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记F( s) = L[ f (t )], f (t ) = L [F( s)]
(c)单边余弦信号 cosω0tε (t) 单边余弦信号 同上例得 cosω0tε (t ) ↔
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sin ω0tε (t)
ω0 即sinω0tε (t ) ↔ 2 2 s + ω0
s 2 2 s + ω0
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(d)单边衰减正弦信号 e 单边衰减正弦信号
1 1 1 ] = [ − 2 j s + α − jω0 s + α + jω0 ω0 = 2 2 ( s + α ) + ω0
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cosω0tε (t) s +α −αt e cosω0tε (t ) ↔ 2 2 ( s + α ) + ω0 (f)单边双曲正弦信号 sinh βtε (t ) 单边双曲正弦信号 单边双曲余弦信号cosh βtε (t ) β 1 βt −βt sinh βt = (e − e ) ↔ 2 2 s −β 2
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如：有始有终的能量信号 σ 0 = −∞ 按指数规律增长的信号， 按指数规律增长的信号，如
e
αt
σ0 = α
t2
比指数信号增长的更快的信号， 比指数信号增长的更快的信号，如 e 找不到 σ 0 不存在拉氏变换
单边拉氏变换的收敛域是 复平面(s)内 复平面 内，Re(s)= σ > σ 0区域 由于收敛域比较容易确定，一般情况下， 由于收敛域比较容易确定，一般情况下，不再 标注收敛域。 标注收敛域。
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4-3拉氏变换的性质 拉氏变换的性质
↔ F ( s) 1 2
则a1 f1 (t ) + a2 f2 (t ) ↔ a1F1 ( s) + a2F2 ( s), a1,a2为常数
n
根据冲激函数作为广义函数的定义
故
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∫ L[δ (t)] = ∫
∞
−∞ ∞
δ (t ) f (t )dt = f (0)
0
−
Chapter 4 The Laplace Transform
δ (t)e dt = e t =0 = 1 即 δ (t ) ↔1
−st −st
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小结： 小结： 1.增长指数信号 如 e ε (t)(α > 0) 增长指数信号,如 增长指数信号 收敛域不包括虚轴,只有拉氏变换而无傅氏变换 收敛域不包括虚轴 只有拉氏变换而无傅氏变换
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Chapter 4 The Laplace Transform
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4-1-2 拉氏变换的收敛域
有可能满足绝对可积的条件, 有可能满足绝对可积的条件 乘以收敛因子后， 信号f (t )乘以收敛因子后，
通常把使 f (t)e 满足绝对可积条件的 σ 值的范 围称为拉氏变换的收敛域 围称为拉氏变换的收敛域
F( s) = ∫ − f (t )e dt
0
∞
−st
0− 目的是把 t = 0 时出现的冲激包含 积分下限用
进去，这样，利用拉氏变换求解微分方程时， 进去，这样，利用拉氏变换求解微分方程时， 可以直接引用已知的初始状态 f (0− ) ，但反变换 的积分限并不改变。 的积分限并不改变。 以后只讨论单边拉氏变换 以后只讨论单边拉氏变换
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4-2.典型信号的拉氏变换 典型信号的拉氏变换
1.指数信号 e−αtε (t) 指数信号
−αt ∞ −αt −st
e | L[e ε (t )] = ∫ − e e dt = 0 − (s + α)
S为复数 为复数
−αt
sin ω0tε (t)
L[e
−αt
1 −(α − jω0 )t −(α+ jω0 )t )ε (t )] = L[ (e −e 2j
sinω0tε (t )]
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ω0 即e sinω0tε (t ) = 2 2 (s + α ) + ω0
−αt
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-1
f (t ) ↔ F( s)
拉氏变换扩大了信号的变换范围