广东省佛山一中08-09学年高一下学期期末考试(数学)

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广东省佛山南海一中高一数学下学期期末复习试卷 (含解析)-人教版高一全册数学试题

2014-2015学年某某省某某南海一中高一（下）期末数学复习试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．等差数列{a n}中，a5+a8+a11+a14=20，则a2+a17的值为（）A． 21 B． 19 C． 10 D． 202．各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2，S3n=14，则S4n等于（）A． 80 B． 30 C． 26 D． 163．设2a=3，2b=6，2c=12，则数列a，b，c是（）A．是等差数列，但不是等比数列B．是等比数列，但不是等差数列C．既是等差数列，又是等比数列D．非等差数列，又非等比数列4．已知等比数列a2=2，a3=4，则a7=（）A． 64 B． 81 C． 243 D． 1285．由a1=1，a n+1=给出的数列{a n}的第34项（）A．B． 100 C．D．6．设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知在S n中有 S12＜0，S13＞0，那么S n中最小的是（）A． S4B． S5C． S6D． S77．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＞0，3a8=5a13，则S n中最大的是（）A． S10B． S11C． S20D． S218．数列{a n}中，a1=3且a n+1=a n+2，则数列{}前n项和是（）A． n（n+1）B．C．D．9．若数列{a n}满足a1=1，，则此数列是（）A．等差数列B．等比数列C．既是等差数列又是等比数列D．既非等差数列又非等比数列10．对于每个自然数．抛物线y=（n2+n）x2﹣（2n+1）x+1与x轴交于A n，B n两点，|A n B n|表示这两点间的距离，那么|A1B1|+|A2B2|+…+|A2008B2008|的值（）A．B．C．D．11．等比数列x，2x+2，3x+3，…的第四项为（）A．B．C．﹣27 D． 2712．等差数列{a n}中，a1=8，a100=107，则a107=（）A． 117 B． 110 C． 97 D． 114二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．数列S n=1++++…+，则S100=．14．等差数列{a n}中，前4项的和为40，后4项的和为80，所有项的和为210，则项数n=．15．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7=35，则a4=．16．已知等差数列{a n}的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=．三、解答题（共6小题，满分0分）17．求等差数列8，5，2的第10项；（2）﹣401是不是等差数列﹣5，﹣9，﹣13，…的项？如果是，是第几项？1012春•某某市校级期末）有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且这四个数的首末两项之和为37，中间两项和为36，求这四个数．1012春•某某市校级期末）数列{a n}中，已知a1=2，a n﹣1与a n满足lga n=lga n﹣1+lgt关系式（其中t为大于零的常数）求：（1）数列{a n}的通项公式（2）数列{a n}的前n项和S n．2012春•某某市校级期末）设{a n}是等差数列，其前n项和是S n，a3=6，S3=12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求++…+的值．2012春•某某市校级期末）观察下面的数阵，容易看出，第n行最右边的数是n2，那么第20行最左边的数是几？第20行所有数的和是多少？2012春•某某市校级期末）小华准备购买一台售价为5000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清，商场提出的付款方式为：购买后二个月第一次付款，再过二个月第二次付款…，购买后12个月第六次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%每月利息按复利计算．求小华每期付款的金额是多少？一、附加题：23．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足﹣=1，则数列{a n}的公差是（）A．B． 1 C． 2 D． 324．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N*），则连乘积a1a2a3…a2009a2010的值为（）A．﹣6 B． 3 C． 2 D． 125．已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且=，则使得为整数的个数是．26．已知数列{a n}满足a1==2n，当n=时，取得最小值．27．在数列{a n}中，已知a1=，a n+1=（n∈N*），则数列{a n}的前2012项的和为．28．已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（），a3+a4+a5=64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．2014-2015学年某某省某某南海一中高一（下）期末数学复习试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．等差数列{a n}中，a5+a8+a11+a14=20，则a2+a17的值为（）A． 21 B． 19 C． 10 D． 20考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的性质，进行转化即可．解答：解：在等差数列中，a2+a17=a5+a14=a8+a11，∵a5+a8+a11+a14=20，∴2（a5+a14）=20，则a5+a14=10，即a2+a17=a5+a14=10，故选：C．点评：本题主要考查等差数列的性质的考查，比较基础．2．各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2，S3n=14，则S4n等于（）A． 80 B． 30 C． 26 D． 16考点：等比数列的前n项和；等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的求和公式，整体思维，即可求得结论．解答：解：设各项均为正数的等比数列{a n}的公比等于q，∵S n=2，S3n=14，∴q≠1∴=2，=14，解得 q n=2，=﹣2．∴S4n =（1﹣q4n）=﹣2（1﹣16）=30，故选B．点评：本题考查等比数列的求和公式，考查学生的计算能力，属于基础题．3．设2a=3，2b=6，2c=12，则数列a，b，c是（）A．是等差数列，但不是等比数列B．是等比数列，但不是等差数列C．既是等差数列，又是等比数列D．非等差数列，又非等比数列考点：等差关系的确定；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：根据对数的定义求出a=log23，b=log26，c=log212；b﹣a=c﹣b，得到a、b、c是等差数列．而≠，所以a、b、c不是等比数列．解答：解：因为2a=3，2b=6，2c=12，根据对数定义得：a=log23，b=log26，c=log212；而b﹣a=log26﹣log23=log2=log22=1；c﹣b=log212﹣log26=log22=1，所以b﹣a=c﹣b，数列a、b、c为等差数列．而≠，所以数列a、b、c不为等比数列．故选：A．点评：考查学生会确定等差、等比数列的关系，以及会根据对数定义化简求值．4．已知等比数列a2=2，a3=4，则a7=（）A． 64 B． 81 C． 243 D． 128考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的通项公式，先求出公比，建立方程关系即可得到结论．解答：解：在等比数列中a3=a2q，即2q=4，解得q=2，则a7=a3q4=4×24=64，故选：A点评：本题主要考查等比数列通项公式的应用，根据等比数列的通项公式求出公比是解决本题的关键．5．由a1=1，a n+1=给出的数列{a n}的第34项（）A．B． 100 C．D．考点：数列递推式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：对数列递推式，取倒数，可得数列{}是以1为首项，3为公差的等差数列，求出数列{a n}通项，即可得到结论．解答：解：∵a n+1=，∴=∴∵a1=1，∴数列{}是以1为首项，3为公差的等差数列∴=1+3（n﹣1）=3n﹣2∴∴数列{a n}的第34项为=故选C．点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的判断，考查学生的计算能力，属于基础题．6．设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知在S n中有 S12＜0，S13＞0，那么S n中最小的是（）A． S4B． S5C． S6D． S7考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的求和公式和等差数列的性质可得等差数列{a n}的前6项为负数，从第7项开始为正数，可得结论．解答：解：由题意可得S12==6（a1+a12）=6（a6+a7）＜0，S13===13a7＞0，∴a6+a7＜0，a7＞0，∴a6＜0，a7＞0，∴等差数列{a n}的前6项为负数，从第7项开始为正数，∴S n中最小的是S6故选：C点评：本题考查等差数列的通项公式和等差数列的性质，得出数列项的正负规律是解决问题的关键，属基础题．7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＞0，3a8=5a13，则S n中最大的是（）A． S10B． S11C． S20D． S21考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得：等差数列的公差d＜0，结合题意可得a1=﹣19.5d，可得S n=0.5dn2﹣20dn，进而结合二次不等式的性质求出答案．解答：解：由题意可得：等差数列的S n为二次函数，依题意是开口向下的抛物线故有最大值，所以等差数列的公差d＜0．因为a13=a8+5d，所以a1=﹣19.5d由S n=n×a1+d可得S n=0.5dn2﹣20dn，当n=20时．S n取得最大值．故选C．点评：本题是一个最大值的问题，主要是利用等差数列的性质与等差数列的前n项和的公式以及结合二次函数的性质来解题．8．数列{a n}中，a1=3且a n+1=a n+2，则数列{}前n项和是（）A． n（n+1）B．C．D．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．解答：解：∵数列{a n}中，a1=3且a n+1=a n+2，即a n+1﹣a n=2．∴数列{a n}是等差数列，首项为3，公差为2．∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．∴数列{a n}的前n项和==n（n+2），则数列==n+2．∴数列{}是等差数列，首项为3，公差为1．∴数列{}前n项和==．故选：C．点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．若数列{a n}满足a1=1，，则此数列是（）A．等差数列B．等比数列C．既是等差数列又是等比数列D．既非等差数列又非等比数列考点：等差关系的确定．专题：转化思想．分析：根据题意可得：a n==n，再利用等差数列的定义进行证明即可．解答：解：因为，所以，，…，所以a n==n，所以a n=n，a n﹣1=n﹣1，所以a n﹣a n﹣1=1，所以数列{a n}是等差数列．故选A．点评：本题主要考查了数列的递推式．解题的关键是从递推式中找到规律，进而求得数列的通项公式．10．对于每个自然数．抛物线y=（n2+n）x2﹣（2n+1）x+1与x轴交于A n，B n两点，|A n B n|表示这两点间的距离，那么|A1B1|+|A2B2|+…+|A2008B2008|的值（）A．B．C．D．考点：数列的应用；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用；点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过整理可知方程y=0的两根分别为：、，进而并项相加即得结论．解答：解：y=（n2+n）x2﹣（2n+1）x+1=n（n+1）x2﹣[n+（n+1）]x+1=（nx﹣1）[（n+1）x﹣1]，∴方程y=0的两根分别为：、，∴|A n B n|=﹣，∴|A1B1|+|A2B2|+…+|A2008B2008|=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，故选：B．点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．11．等比数列x，2x+2，3x+3，…的第四项为（）A．B．C．﹣27 D． 27考点：等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：按照等比数列定义，列出关于x的方程．求出x的值，确定出公比，再利用等比数列定义求第四项解答：解：等比数列定义，（2x+2）2=x（3x+3），化简整理得x2+5x+4=0，解得x=﹣1，（此时2x+2=0，舍去）或x=﹣4，此时数列为﹣4，﹣6，﹣9，…，公比为，∴第四项为﹣9×=故选A．点评：本题考查等比数列定义，以及应用，注意等比数列中不会有数0，遇到项中含有字母时，要注意字母取值X围．12．等差数列{a n}中，a1=8，a100=107，则a107=（）A． 117 B． 110 C． 97 D． 114考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知数据可得等差数列的公差，进而又通项公式可得答案．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则d===1，∴a107=a1+106d=8+106=114故选：D．点评：本题考查等差数列的通项公式，求出数列的公差是解决问题的关键，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．数列S n=1++++…+，则S100= 2﹣（）99．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的前n项和公式进行求解即可．解答：解：S n=1++++…+==2﹣（）n﹣1，则S100=2﹣（）99，故答案为：2﹣（）99点评：本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，比较基础．14．等差数列{a n}中，前4项的和为40，后4项的和为80，所有项的和为210，则项数n= 14 ．考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a1+a2+a3+a4=40．a n+a n﹣1+a n﹣2+a n﹣3=80．两式相加可得a1+a n=30，而S n===210，代入求解．解答：解：由题意可得a1+a2+a3+a4=40．a n+a n﹣1+a n﹣2+a n﹣3=80．两式相加可得a1+a n+a2+a n﹣1+a3+a n﹣1+a4+a n﹣3=120由等差数列的性质可得4（a1+a n）=120，∴a1+a n=30．则S n===210，解得n=14．故答案为：14．点评：本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题．15．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7=35，则a4= 5 ．考点：等差数列的性质；等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：先根据S7=35求得a1+a7的值，进而根据等差中项的性质可求得a4．解答：解：S7==35，∴a1+a7=10∴2a4=a1+a7=10，a4=5故答案为5．点评：本题主要考查了等差数列的性质．特别是等差中项的性质．属基础题．16．已知等差数列{a n}的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2= ﹣9 ．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意得（a1+6）2=a1（a1+9），即a1=﹣12，即可得出结论．解答：解：∵等差数列{a n}的公差为3，a1、a3、a4成等比数列，∴（a1+6）2=a1（a1+9）．∴a1=﹣12，∴a2=﹣9，故答案为：﹣9．点评：本题考查等差数列的通项，涉及等比中项的应用，属中档题．三、解答题（共6小题，满分0分）17．求等差数列8，5，2的第10项；（2）﹣401是不是等差数列﹣5，﹣9，﹣13，…的项？如果是，是第几项？考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式求解．解答：解：（1）等差数列8，5，2的首项a1=8，公差d=﹣3，∴a10=8+9×（﹣3）=﹣19．（2）等差数列﹣5，﹣9，﹣13，…中，a1=﹣5，d=﹣4，∴a n=﹣5+（n﹣1）×（﹣4）=﹣4n﹣1，令﹣4n﹣1=﹣401，得n=100．∴﹣401是等差数列﹣5，﹣9，﹣13，…的第100项．点评：本题考查等差数列的通项公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．1012春•某某市校级期末）有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且这四个数的首末两项之和为37，中间两项和为36，求这四个数．考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题知，首末两数之和为37，中间两数之和为36，设四个数为﹣a，18﹣b，18+b，，由此能求出四个数．解答：解：由题知，首末两数之和为37，中间两数之和为36，所以设四个数为﹣a，18﹣b，18+b，，前三个数成等差数列得到2（18﹣b）=（18+b）+（﹣a）即a=3b+，后三个数成等比数列得到（18+b）2=（18﹣b）（+a），将a=3b+代入得（18+b）2=（18﹣b）（19+3b）即182+36b+b2=18*19+35b﹣3b2即4b2+b﹣18=0解得b=2，或b=﹣对应的a=6.5，或a=﹣所以，四个数为12，16，20，25，或，，，．点评：本题考查四个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．1012春•某某市校级期末）数列{a n}中，已知a1=2，a n﹣1与a n满足lga n=lga n﹣1+lgt关系式（其中t为大于零的常数）求：（1）数列{a n}的通项公式（2）数列{a n}的前n项和S n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用对数的性质可知数列{a n}为等比数列，进而可得结论；（2）利用等比数列的求和公式计算即得结论．解答：解：（1）∵lga n=lga n﹣1+lgt=lg（t•a n﹣1），∴a n=t•a n﹣1，又∵a1=2，∴数列{a n}的通项a n=2•t n﹣1；（2）由（1）可知数列{a n}是以2为首项、t为公比的等比数列，∴数列{a n}的前n项和S n=．点评：本题考查数列的通项及前n项和，涉及对数的性质等基础知识，注意解题方法的积累，属于基础题．2012春•某某市校级期末）设{a n}是等差数列，其前n项和是S n，a3=6，S3=12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求++…+的值．考点：数列的求和；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件得，由此能求出a n=2n．（2）由（1）求出S n=n2+n，从而得到==，由此利用裂项求和法能求出++…+的值．解答：解：（1）∵{a n}是等差数列，其前n项和是S n，a3=6，S3=12，∴，解得a1=2，d=2，∴a n=2+（n﹣1）×2=2n．（2）∵a1=2，d=2，∴=n2+n，∴==，∴++…+=1﹣=1﹣=．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．2012春•某某市校级期末）观察下面的数阵，容易看出，第n行最右边的数是n2，那么第20行最左边的数是几？第20行所有数的和是多少？考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：由已知可得第20行最左边的数比第19行最右边的数大1，分别求出前19行和前20行所有数的和，相减可得答案．解答：解：∵第n行最右边的数是n2，∴第19行最右边的数是192=361，故第20行最左边的数是362；第20行最右边的数是202=400，故第20行共有39个数，故第20行所有数的和是（362+400）×39÷2=14859．点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．2012春•某某市校级期末）小华准备购买一台售价为5000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清，商场提出的付款方式为：购买后二个月第一次付款，再过二个月第二次付款…，购买后12个月第六次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%每月利息按复利计算．求小华每期付款的金额是多少？考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：通过从小华每次还款后还欠商场的金额这个角度出发，利用最后一次还款为0，计算即得结论．解答：解：设小华每期还款x元、第k个月末还款后的本利欠款数为A k元，则：A2=5000•（1+0.008）2﹣x，A4=A2•（1+0.008）2﹣x=5000•（1+0.008）4﹣（1+0.008）2x﹣x，…A12=A10•（1+0.008）12﹣x=5000•（1+0.008）12﹣（1+0.008）10x﹣…﹣（1+0.008）4x﹣（1+0.008）2x﹣x，由题意年底还清，即A12=0，解得：x=≈880.8（元），答：小华每期还款的金额为880.8元．点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．注：本题还可以从“各期所付的款额连同最后一次付款时所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和”这个角度来解题．一、附加题：23．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足﹣=1，则数列{a n}的公差是（）A．B． 1 C． 2 D． 3考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：先用等差数列的求和公式表示出S3和S2，进而根据﹣=，求得d．解答：解：S3=a1+a2+a3=3a1+3d，S2=a1+a2=2a1+d，∴﹣==1∴d=2故选C点评：本题主要考查了等差数列的性质．属基础题．24．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N*），则连乘积a1a2a3…a2009a2010的值为（）A．﹣6 B． 3 C． 2 D． 1考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过计算出前几项可知该数列周期为4，进而计算可得结论．解答：解：∵a1=2，a n+1=，∴a2=﹣3，a3=﹣，a4=，a5=2，∴数列{a n}的周期为4，且a1a2a3a4=1，∴a1a2a3a4…a2009a2010=a1a2=2×（﹣3）=﹣6，答案：A．点评：本题考查数列的递推式，找出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．25．已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且=，则使得为整数的个数是7 ．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的前n项和公式进行化简即可．解答：解：∵===，∴=====5+．∴要使∈Z，只要∈Z即可，∴n+1为24的正约数，即2，3，4，6，8，12，24，共有7个．故答案为：7．点评：本题主要考查等差数列通项公式以及前n项和公式的应用，利用等差数列的性质进行转化是解决本题的关键．26．已知数列{a n}满足a1==2n，当n= 3 时，取得最小值．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：先由数列的递推关系式求得a n=+n2﹣n，再代入利用基本不等式求得其最小值即可．（注意n为正整数）．解答：解：因为，所以a n=a n﹣1+2（n﹣1）=a n﹣2+2（n﹣2）+2（n﹣1）=a n﹣3+2（n﹣3）+2（n﹣2）+2（n﹣1）=…=a1+2×1+2×2+…+2（n﹣1）=+2×=+n2﹣n．∴=+n﹣1≥2﹣1，当=n时取最小值，此时⇒n2=，又因为n∈N，故取n=3．故答案为：3．点评：解决本题的关键在于由数列的递推关系式求得a n=+n2﹣n，对与本题求数列的通项公式也可以用叠加法．27．在数列{a n}中，已知a1=，a n+1=（n∈N*），则数列{a n}的前2012项的和为．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题．分析：由已知可得，=即，，可得数列{}是以2为首项，以1为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式可求，进而可求a n，然后利用裂项求和即可求解解答：解：∵∴=∴∵∴∴数列{}是以2为首项，以1为公差的等差数列∴=n+1∴=∴=1﹣=故答案为：点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的和，解题的关键是构造等差数列求出数列的通项公式，及裂项求和方法的应用．28．已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（），a3+a4+a5=64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．考点：等比数列的通项公式；数列的求和．专题：计算题．分析：（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程，然后求解即可（2）由b n的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解解答：解：（1）设正等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意得：∴a n=2n﹣1（6分）（2）∴b n的前n项和T n=（12分）点评：（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质。

广东省佛山一中2009-2010学年高一下学期期末考试数学试题答案

佛山一中2009学年度高一级第二学期期末考试数学科试题答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11. 101 12.44π-13. 1 14. 900三、解答题（本大题共6小题，15、16小题各12分，共80分） 15、解：（1）左边αα22sin 842sin 213+--+=ααα222sin 8cos sin 8+∙-=)cos 1(sin 822αα-=α4sin 8== 右边所以，命题得证。

(6)（2）10cos 310sin 1-=10cos 10sin 10sin 310cos ∙∙-=10cos 10sin )10sin 2310cos 21(2∙∙- =10cos 10sin 2)10sin 30cos 10cos 30(sin 4∙-=20sin 20sin 4= 4 (12)16、解：在△ADC 中，AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得cos ∠2222AD DC AC AD DC +-=10036196121062+-=-⨯⨯, ∴∠ADC=120°, ∠ADB=60° (6)在△ABD 中，AD=10, ∠B=45°, ∠ADB=60°，由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠,∴AB =6522231045sin 60sin 10sin sin =⨯==∠∙︒︒B ADB AD (12)17、解：（1）有关，收看新闻节目多为年龄大的。

…..2 （2）应抽取的人数为： 345275=⨯（人）。

……..6 （3）由上知，抽取的5名观众中，有2名观众年龄处20至 40岁，不妨设为2,1A A ，有3 名观众的年龄大于40岁，不妨设为321,,B B B 。

从5名观众中抽取2名，所有可能为()()()()()()()()()()323121322212312,11121,,,,,,,,,,,,,,,,,,B B B B B B B A B A B A B A B A B A A A则恰有1名观众年龄处20至 40岁取法为6各种。

广东省佛山市第一中学2021-2022高一数学下学期期末考试试题

广东省佛山市第一中学2021-2022高一数学下学期期末考试试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.若，则下列不等式不能成立的是A. B. C. D.2.甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法正确的是A. 甲获胜的概率是B. 甲不输的概率是C. 乙输了的概率是D. 乙不输的概率是3.在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为A. B. C. D.4.是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，一般情况下浓度越大，大气环境质量越差如图所示的茎叶图表示的是某市甲、乙两个监测站连续10日内每天的浓度读数单位：，则下列说法正确的是A. 甲、乙监测站读数的极差相等B. 乙监测站读数的中位数较大C. 乙监测站读数的众数与中位数相等D. 甲、乙监测站读数的平均数相等5.如图，在中，点M为AC的中点，点N在AB上，，点P在MN上，，那么A. B.C. D.6.已知平面向量，的夹角为，设，，则A. 1B.C. 2D.7.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形8.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为( )A.35B.310C.15D.1109. 在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，这些数叫做三角形数设第n 个三角形数为，则下面结论错误．．的是 A.B.C. 1024是三角形数D.10. 已知正三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，且球心O 在三棱锥的内部．若该三棱锥的侧面积为，，则球O 的表面积为 A.B.C.D.二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）11. 某地认真贯彻落实中央十九大精神和各项宏观调控政策，经济运行平稳增长，民生保障持续加强，惠民富民成效显著，城镇居民收入稳步增长，收入结构稳中趋优据当地统计局公布的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率如图一与人均月收入绘制成如图二所示的不完整的条形统计图现给出如下信息，其中正确的信息为（）A.10月份人均月收入增长率为；B.11月份人均月收入约为1442元；C.12月份人均月收入有所下降；D.从图中可知该地9月份至12月份这四个月与8月份相比人均月收入均得到提高． 12. 已知等差数列的前n 项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是 A. B. C. 当或时，取得最大值D. 当时，n 的最大值为21 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知数列{}n a 满足11a =，且*121()n n a a n N +=+∈，则5a =______．14. 已知向量(1,2),(2,2),(1,),a b c λ==-=，若(2)c a b ⊥+，则λ=______．15. 某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地A ，B 两点间的距离如图，环保监督组织测绘员在同一平面内同一直线上的三个测量点C ，D ，从D 点测得，从C 点测得，，从E 点测得并测得，单位：千米，则A ，B 两点的距离为_____千米．16. 已知，且，则2xy 的最小值为，的最小值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本题10分）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生根据这50名师生对食堂服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为，，，．（1）求频率分布直方图中a 的值,以及该组数据的中位数(结果保留一位小数)（2）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．18.（本题12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，12AB AA ==，23AC =，（1）求三棱锥1C ABC -的体积；（2）求四棱锥111C ABB A -的表面积.19.（本题12分）关于x 的不等式；若不等式的解集为，求实数k 的值；若，且不等式对一切都成立，求实数k 的取值范围．20.（本题12分）如图，D 是直角斜边BC 上一点，．若，求的大小；若，且，求AD 的长．21.（本题12分）新能源汽车的春天来了年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2021年1月1日至2021年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税某人计划于2021年5月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如下表：月份2021.12 2021.01 2021.02 2021.03 2021.04月份编号t 1 2 3 4 5销量（万辆）0.5 0.6 1 1.4 1.7 （1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量万辆与月份编号t之间的相关关系请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程，并预测2021年5月份当地该品牌新能源汽车的销量；（2）2021年6月12日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程对购车补贴进行新一轮调整已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：补贴金额预期值区间（万元）[1,2) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6) [6,7) 频数20 60 60 30 20 10将对补贴金额的心理预期值在万元和万元的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取2名进行跟踪调查，求抽出的2人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率．参考公式：回归方程，其中，；22.（本题12分）若各项均为正数的数列的前n项和为，且．求数列的通项公式；若正项等比数列，满足，，求；对于中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．佛山一中2021-2022下学期高一级期末考试数学答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12B A ACD D D A C D ABC BC10.解：如图，由正三棱锥的结构特征得顶点S在底面正三角形ABC内的射影D为正三角形ABC 的外心，球心O在线段SD上，所以三棱锥的侧面积为，解得，在底面正三角形ABC中，所以，，所以，由得，解得，所以．故选D．二、填空题13. 31 14. 15. 3 16. 8，916. 解：因为，且，所以当且仅当时，等号成立，所以，故2xy的最小值为8；由得到，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为9．故答案为8；9．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 17.（本题10分）解：由，解得． ......................2分设中位数为b ，则10(0.0040.0060.022)0.028(70)0.5b +++-=，所以76.4b =. ......................5分（2）由题中数据可得师生对食堂服务质量评分的平均分为． ......................9分因为，所以食堂不需要内部整顿． ......................10分 18.（本题12分）解：（1）11111432232.332C ABC ABC V S C C -∆=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ......................4分（2）因为AB AC ⊥，12AB AA ==，23AC =，所以14BC AC ==,125BC =,因为22211AB AC BC +=,所以1AB AC ⊥，故112442ABC S ∆=⨯⨯=, .....6分又因为111111223232AA C A B C S S ∆∆==⨯⨯=,1112442BB C S ∆=⨯⨯=,14ABB A S =， ..............10分故四棱锥111C ABB A -的表面积为1111111111243AA C A B C ABC BB C ABB A S S S S S S ∆∆∆∆=++++=+. ..............12分19. （本题12分）解：不等式的解集为，所以2和3是方程的两根且， ..............2分由根与系数的关系得， ..............3分解得； ..............4分令，则原问题等价于..............6分即 ..............8分解得 ..............10分又，所以实数k的取值范围是20,5⎛⎤⎥⎝⎦． ..............12分20.（本题12分）解：，，， ..............1分在中，由正弦定理可得：， ..............2分， ..............4分，或， ..............5分又，； ..............6分，， ..............7分在中，由勾股定理可得：，可得：，，，， ..............8分令，由余弦定理：在中，，在中，，可得： ..............10分解得：，可得：． ..............12分21.（本题12分）解：Ⅰ易知，，，，..............2分， ..............3分， ..............4分则y关于t的线性回归方程为， ..............5分当时，，即2021年5月份当地该品牌新能源汽车的销量约为2万辆． .................6分Ⅱ设从“欲望膨胀型”消费者中抽取x人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取y人，由分层抽样的定义可知，解得． ................8分在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为，4名“欲望紧缩型”消费者分别记为，则所有的抽样情况如下：，，，，，，，，，，，，，，共15种． ................10分其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况有9种． ................11分记事件A为“抽出的2人中至少有1名欲望膨胀型消费者”，则．.................12分22.（本题12分）解：因为，且，由得，又，所以，，因为，所以，所以， ................2分所以是公差为2的等差数列， ................3分又，所以． ................4分设的公比为q，因为，，所以舍或，，． ................5分记，， ................7分，．所以． ................8分不等式可化为，当n为偶数时，， ................9分记，所以，，时，，即，时，递增，，即； ................10分当n为奇数时，，记，所以，，时，，时，，即，时，递减，，所以． ................11分综上所述，实数的取值范围为 ................12分。

广东省佛山市高一下学期数学期末考试试卷

广东省佛山市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）函数的最小正周期为，则为（）A . 2B . 4C .D .2. （2分） (2019高一下·吉林期中) 在长方体中，，，，则异面直线与所成的角的余弦值（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一下·安徽期末) 某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；③西部地区学生小刘被选中的概率为；④中部地区学生小张被选中的概率为A . ①④B . ①③C . ②④D . ②③4. （2分） (2018高一下·安徽期末) 将小王6次数学考试成绩制成茎叶图如图所示,则这些数据的中位数是（）A . 81B . 83C . 无中位数D . 84.55. （2分） (2018高一下·安徽期末) 一个盒子中装有红、黄、蓝三种颜色的球各5个,从中任取3个球.事件甲：3个球都不是红球；事件乙：3个球不都是红球；事件丙：3个球都是红球；事件丁：3个球中至少有1个红球，则下列选项中两个事件互斥而不对立的是（）A . 甲和乙B . 甲和丙C . 乙和丙D . 乙和丁6. （2分） (2018高一下·安徽期末) 已知在边长为2的正方形内，有一月牙形图形，向正方形内随机地投射100个点，恰好有15个点落在了月牙形图形内，则该月牙形图形的面积大约是（）A . 3.4B . 0.3C . 0.6D . 0.157. （2分） (2018高一下·安徽期末) 若锐角满足，则（）A .B .C .D . 38. （2分） (2018高一下·安徽期末) 已知满足(其中是常数)，则的形状一定是（）A . 正三角形B . 钝角三角形C . 等腰三角形D . 直角三角形9. （2分） (2018高一下·安徽期末) 如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一下·安徽期末) 函数在区间上的所有零点之和等于（）A . -2B . 0C . 3D . 211. （2分） (2018高一下·安徽期末) 设非零向量夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高一下·安徽期末) （）A .B .C .D . 1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高二下·北京期中) 有5位同学各自独立地报名课外兴趣小组，可报名的小组有中华传统文化、生物技术（Biotechnology）、数学应用共3个．如果每位同学限报一个小组，小组招收人数没有上限，那么所有可能的不同的报名结果有________种．14. （1分） (2018高一下·安徽期末) 数据，，…，的平均数是3，方差是1，则数据，，…，的平均数和方差之和是________．15. （1分） (2018高一下·安徽期末) 下图是出租汽车计价器的程序框图，其中表示乘车里程(单位：)，表示应支付的出租汽车费用(单位：元).有下列表述：①在里程不超过的情况下，出租车费为8元；②若乘车，需支付出租车费20元；③乘车的出租车费为④乘车与出租车费的关系如图所示：则正确表述的序号是________．16. （1分） (2018高一下·安徽期末) 如图为函数的部分图象，对于任意的，，若，都有，则等于________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2016高一下·宜春期中) 已知向，满足| |=1，| |=6，且•（﹣）=2，求：（1）与的夹角；（2） |2 ﹣ |的模．18. （5分） (2018高二下·辽宁期末) 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：，，，（I）从中任意拿取张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数，在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（II）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望.19. （5分）(2020·鄂尔多斯模拟) 中国北京世界园艺博览会于2019年4月29日至10月7日在北京市延庆区举行．组委会为方便游客游园，特推出“导引员”服务．“导引员”的日工资方案如下：方案：由三部分组成（表一）底薪150元工作时间6元/小时行走路程11元/公里方案：由两部分组成：（1）根据工作时间20元/小时计费；（2）行走路程不超过4公里时，按10元/公里计费；超过4公里时，超出部分按15元/公里计费．已知“导引员”每天上班8小时，由于各种因素，“导引员”每天行走的路程是一个随机变量．试运行期间，组委会对某天100名“导引员”的行走路程述行了统计，为了计算方便对日行走路程进行取整处理．例如行走1.8公里按1公里计算，行走5.7公里按5公里计算．如表所示：（表二）行走路程（公里）人数510154525（Ⅰ）分别写出两种方案的日工资（单位：元）与日行走路程（单位：公里）的函数关系（Ⅱ）①现按照分层抽样的方工式从，共抽取5人组成爱心服务队，再从这5人中抽取3人当小红帽，求小红帽中恰有1人来自的概率；②“导引员”小张因为身体原因每天只能行走12公里，如果仅从日工资的角度考虑，请你帮小张选择使用哪种方案会使他的日工资更高？20. （10分） (2018高一下·安徽期末) 函数的最小正周期为，点为其图象上一个最高点.（1）求的解析式；（2）将函数图象上所有点都向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域21. （10分） (2018高一下·安徽期末) 甲乙两人玩卡片游戏：他们手里都拿着分别标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片，各自从自己的卡片中随机抽出1张，规定两人谁抽出的卡片上的数字大，谁就获胜，数字相同则为平局.（1）求甲获胜的概率.（2）现已知他们都抽出了标有数字6的卡片，为了分出胜负，他们决定从手里剩下的卡片中再各自随机抽出1张，若他们这次抽出的卡片上数字之和为偶数，则甲获胜，否则乙获胜.请问：这个规则公平吗，为什么？22. （10分） (2018高一下·安徽期末) 如图所示，扇形中，，，矩形内接于扇形 .点为的中点，设，矩形的面积为 .（1）若，求；（2）求的最大值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

佛山市南海区高一下学期期末考试数学试题

高一数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合2{|560}A x x x =-+≥，{|0}B x x =>，则AB =（）A.[]2,3 B.(][),23,-∞+∞C.[)3,+∞D.(][)0,23,+∞2. 某工厂有三组员工，第一组有105人，第二组有135人，第三组有150人，工会决定用分层抽样的方法从这三组中随机抽取几名员工进行问卷调查.如果从第一组抽取得人数为7，那么从第二组抽取的人数为（） A.8B.9C.10D.113. 若函数()()40,0af x x x a x=+>>当且仅当2x =时取得最小值，则实数a 的值为（） A.12B.24C.16D.364. 两个相关变量满足如下关系：根据表格已得回归方程ˆ9.49.2yx =+，表中有一组数据模糊，请推算该数据是（） A.37.4B.39C.38.5D.40.55. 班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：如果校长随机地问这个班的一名学生，认为作业多的概率为（） A.925B.425C.13 25D.23506. 若非零实数,a b 满足a b <，则下列不等式成立的是（）A.1a b< B.2b aa b+< C.2211ab a b<D.22a a b b +<+7. 已知点E 为平行四边形ABCD 所在平面上一点且满足2DE CE =，点F 为AE 与BD 的交点，若AB a =，AD b =，则AF =（）A.2133a b + B.1322a b -+ C.3144a b + D.5523a b + 8. 在ABC 中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，若cos cos a A b B =，则ABC 一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形9. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，这三天中恰有一天下雨的概率大约是（）A.25%B.30%C.45%D.55%附随机数表034 743 738 636 964 736 614 698 637 162 332 616 804 560 111 410 959 774 246 762 10. 已知1a =，2b =，则a b a b ++-的最大值等于（）A.4+ C. D.5二、多项选择题：本大题共有2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 11. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是15，下面结论正确的是（） A.甲不输的概率710 B.乙不输的概率45C.乙获胜的概率310D.乙输的概率1512. 已知数列{} n a 满足11a =，121n n a a n ++=+，*n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则下列结论中正确的是（） A.()21121n n S n a -=-⋅B.212n n S S =C.2311222n n n S S =-+D.212n n S S =+第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.其中第14题第一空3分，第二空2分. 13. 已知向量()1,2AB =，()2,2BC =-，则cos ,AB BC =_______________.14. 一个棱长为a 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是_______________，球的体积是_______________.15. 甲、乙两间医院各有3名医生报名参加研讨会，其中甲医院有2男1女，乙医院有1男2女，若从甲医院和乙医院报名的医生中各任选1名，则选出的2名医生性别不相同．．．的概率是_______________. 16. 已知数列{} n a 中，若11a =，12n n n a a +=，则n a =_______________.四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）在直三棱柱111 ABC A B C -中，1AB =，2BC =，AC =11AA =.（Ⅰ）求三棱锥1A ABC -的表面积；（Ⅱ）求1 B 到面1 A BC 的距离.18.（本小题满分12分）已知{} n a 是公比 2q =，312a =的等比数列，其前n 项和为 n S . （Ⅰ）是否存在正整数k ，使得2020k S >；若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）求()135211ni i aa a a +=++++∑.19.（本小题满分12分）在ABC 中，已知45A =︒，D 是AC 上一点，6DC =，14BC =，120BDC ∠=︒. （Ⅰ）求BD 的长；（Ⅱ）求ABD 的面积. 20.（本小题满分12分）某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递骑手每完成一单业务提成3元；方案（2）规定每日底薪150元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元.该快递公司记录了每天骑手的人均业务量.现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]25,35,35,45,45,55,55,65,65,75,75,85,85,95七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求直方图中a 的值；（Ⅱ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（Ⅲ）假设公司中所有骑手都选择了你在（Ⅱ）中所选的方案，已知公司现有骑手400人，某骑手希望自己的收入在公司众骑手中处于前100名内，求他每天的平均业务量至少应达多少单？21.（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC 的三个内角,,A B C 的对边，()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-且A C ∠>∠.（Ⅰ）求B ∠；（Ⅱ）给出三个条件：①2b =；②AC 边上的中线为3m m ⎛≤≤ ⎝；③2c a =试从中选出两个可以确定ABC 的条件，写出你的选择并以此为依据求c 的值（只需写出二个选定方案即可）.22.（本小题满分12分）已知数列{} n a 的前n 项和为n S ，满足()12n n n a a S +=. （Ⅰ）求证：{} n a 是等差数列；（Ⅱ）已知{}n b 是公比为q 的等比数列，11a b =，221a b a =≠，记 n T 为数列{}n b 的前n 项和.（1）若 k m b a =（,m k 是大于2的正整数），求证：()111k T m a -=-；（2）若3i b a =（i 是某个正整数），求证：q 是整数，且数列{}n b 中的每一项都是数列{}n a 中的项.参考答案一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.二、多项选择题：本大题共有2小题，每小题5分，共10分.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13. 10- 14. 232,3a a π 15. 5916. ()122n n -四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）：因为222AB AC BC +=，所以ABC 为直角三角形，则122ABCSAB AC =⋅=. 因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1A AB ，1A AC 为直角三角形，则AB =12AC =，111122A ABS A A AB =⋅=，1112A CA SA A AC =⋅=1A BC 中，1A B 边上的高 h =，则1121A BCS A B h =⋅=，所以三棱锥1A ABC -的表面积111132ABCA AB A ACA BCS S SSS=+++=. （Ⅱ）：因为三棱锥1 C A AB -与三棱锥11 C A BB -的底面积相等()111A ABA B BSS=，高也相等（点C 到平面11 ABB A 的距离）；所以三棱锥1 C A AB -与三棱锥11 C A B B -的体积相等.又1111113326C A AB A ABC ABC V V S AA --===⨯=，所以11116C A B B B A BC V V --==. 设1 B 到面1 A BC 的距离为H ，则111136B A BC A BC V S H -==，解得7H =.18、（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为312a =，2q =，所以13a =，所以()321 202021k k S -=>-，得202323k >，所以使得2020k S >的正整数k 的最小值为10.（Ⅱ）数列{}21 i a +是首项为3，公比为4的等比数列.()113521341 41i i a a a a ++-++++=-141i +=-.()111114141ni i ni ni i ++===-=-∑∑∑()16413n n -=-.19.（本小题满分12分）解：（1）在BDC 中，由余弦定理得：2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠，化简得：261600BD BD +-=，解得 10BD =或-16（舍去）.（2）在ABD 中，由120BDC ∠=︒，得60BDA ∠=︒，由正弦定理得sin sin BD ABA BDA=∠∠，解得AB =()sin sin ABD BAD BDA ∠=∠+∠sin 43ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，所以ABD 的面积1sin 2ABDSBA BD ABD =⋅⋅∠=. 20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，各组的频率之和为：100.005100.00510100.0310100.015100.05a a +⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯故0.6201a +=，解得 0.02a =.（Ⅱ）快递公司人均每日完成快递数量的平均数是：300.05400.05500.2600.3700.2800.15900.0562+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯，∴方案（1）日工资为50623236+⨯=，方案（2）日工资约为()15062445240236+-⨯=>，故骑手应选择方案（2）.（Ⅲ）该骑手要使自己的收入在公司众骑手中处于前100名内，则平均业务量应超过的75%的骑手.前五个小组的频率分别为0.05，0.05，0.2，0.3，0.2；前四个小组的频率之和为0.050.050.20.30.6+++=；前五个小组的频率之和为0.050.050.20.30.20.8++++=；故该骑手的平均业务量应在区间[)65,75内. 设他的平均业务量为x ，则()0.6650.020.75x +-⨯≥，解得：72.5x ≥，又x N *∈.故x 的最小值为73.所以，该骑手每天的平均业务量至少应达到73单.21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-，得()()()b c b c a c a +-=-，即222b a c ac =+-，由余弦定理2222cos b a c c B α=+-，得1cos 2B =，由于0B π<<，所以3B π=.（Ⅱ）方案1，选①2b =和③2c a =，因为 2b =，2c a =，可得22442a a a a =+-⨯，所以3a =3c =.方案2，②AC 边上的中线为m m ≤≤⎝，和③2c a =，2222422b m a c +=+，()2222 4222b m a a +=+，222104b a m =-，2222222423b a c ac a a a a =+-=+-=， 2223104a a m =-，2247a m =.a =，c m =.方案3，选①2b =和②AC 边上的中线为3m m ⎛≤≤ ⎝，由条件得2224422m a c +=+，22222a c m +=+，2422m ac =+-， 222ac m =-，()2262a c m +=-，a c += ①()2262a c m -=-，A C ∠>∠，a c -= ②①-②得c =22.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：由()12n n n a a S +=，得12n n S na na =+ ①()()111211n n S n a n a --=-+-② ①-②得：()()11210n n n a n a a ----+= ③ 故()()112320n n n a n a a -----+=④③-④得：()()()1222420n n n n a n a n a -----+-=，即122n n n a a a --=+对任意的*n N ∈且3n ≥成立. 所以，{} n a 是等差数列. （Ⅱ）（1）设等差数列的公差为d ，则由题设得11a d a q +=，()11d a q =-，且1q ≠.由k m b a =，得()1111k b q a m d -=+-，所以()()1111k b q m d --=-，()()()()()1111111111111k k b q m d m a q T m a q q q ------====----，故等式成立.（2）（i ）证明q 为整数：由3i b a =，得()2111b q a i d =+-，即()()211111a q a i a q =+--，移项得()()()()111111a q q a i q +-=--. 因110a b =≠，1q ≠，得 2q i =-，故q 为整数.（ii ）证明数列{} n b 中的每一项都是数列{} n a 中的项：设n b 是数列{} n b 中的任一项，只要讨论3n >的情形. 令()1111n b qa k d -=+-，即()()111111n a qa k a q --=--，得1221121n n q k q q q q ---=+=++++-.因 2q i =-，当1i =时，1q =-，22n q q q -+++为-1或0，则k 为1或2；而2i ≠，否则0q =，矛盾. 当 3i ≥时，q 为正整数，所以k 为正整数，从而n k b a =.故数列{} n b 中的每一项都是数列{} n a 中的项.。

2024届广东省佛山市高明区第一中学数学高一第二学期期末教学质量检测试题含解析

2024届广东省佛山市高明区第一中学数学高一第二学期期末教学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3S A =，6S B =，9S C =，则（） A ．2A+C =B B ．2AC B =C ．2A CB B +-=D ．22()A B A B C +=+2．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是红球” 3．若直线220++=ax y 与直线320x y --=平行，则a 的值为 A ．3-B ．23C ．6-D ．32-4．下列函数中周期为π，且图象关于直线3x π=对称的函数是( )A ．2sin 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin 23x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 5．16tan3π的值为（）A ．3-B ．3C D ．6．某校有高一学生450人，高二学生480人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n 为（）A ．15B ．16C ．30D ．317．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（）A ．1024B ．2048C ．1023D ．20478．设201a b -<<<<，则-a b 的取值范围是（） A ．(3,1)--B ．(3,0)-C ．(1,1)-D ．(2,1)-9．已知：()sin cos f x a x b x =+，()2sin()13g x x πω=++，若函数()f x 和()g x 有完全相同的对称轴，则不等式()2g x >的解集是 A ．(,)()62k k k z ππππ-+∈ B ．(2,2)()62k k k z ππππ-+∈C ．(2,2)()6k k k z πππ+∈ D ．(,)()6k k k z πππ+∈10．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2022-2023学年广东省佛山市高一(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年广东省佛山市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若tanα=43，则tan(π4+α)=（） A ．−35B ．35C ．﹣7D ．72．若复数z 满足（1+z ）i ＝1﹣z （i 为虚数单位），则z ＝（） A ．﹣iB ．iC ．1﹣iD ．1+i3．如图所示的正方形O ′A ′C ′B ′的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（）A ．4√2cm 2B ．8cm 2C ．8√2cm 2D ．16cm 24．在平面直角坐标系xOy 中，A （1，2），B （3，3）则向量AB →在向量OA →上的投影向量为（） A ．(−125，−125) B ．(45，85) C ．(85，45)D ．(125，125) 5．从正方体的八个顶点中任取四个点连线，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是（） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6．某班12名篮球队队员的身高（单位：cm ）分别是：162，170，170，171，181，163，165，179，168，183，168，178，则第85百分位数是（） A ．178B ．179C ．180D ．1817．在△ABC 中，CA ＝3，CB ＝2，∠ACB ＝90°，AB 边上的高为CD ，则（） A ．CD →=25CA →+35CB →B ．CD →=413CA →+913CB → C ．CD →=35CA →+25CB →D ．CD →=913CA →+413CB →8．六氟化硫，化学式为SF 6，在常压下是一种无色、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．如图所示，其分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为12√3，则正八面体外接球的体积为（）A ．4√2πB ．4√3πC ．12πD ．36π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．设函数f （x ）＝sin2x ，则（） A ．f （x ）＝f （x +π）B ．f （x ）在[0，2π]内有3个零点C ．将y ＝f （x ）图象向左平移π2个单位，得到y ＝cos2x 的图象D ．f （x ）在[π4，3π4]单调递减 10．已知△ABC 不是直角三角形，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则（） A ．sin C ＝sin （A +B ） B ．cos C ＝cos （A +B ） C ．tanC =tanA+tanBtanAtanB−1D ．a ＝b cos C +c cos B11．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（）A ．丁险种参保人数超过五成B ．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C ．18﹣29周岁人群参保的总费用最少D ．人均参保费用不超过5000元12．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，动点P 满足BP →=λBC →+μBB 1→，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（）A ．当λ＝1时，有且仅有一个点P ，使得PB ⊥PD 1 B ．当μ＝1时，有且仅有一个点P ，使得A 1D ⊥平面P AD 1C ．当λ+μ＝1时，三棱锥A 1﹣PDC 1的体积为定值D ．有且仅有两个点P ，使得AP ＝3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知sin18°=√5−14，则cos36°＝．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝x ，b ＝10，cosA =35，则使该三角形有唯一解的x 的值可以是．（仅需填写一个符合要求的数值） 15．设复数z 1，z 2，满足|z 1|＝|z 2|＝1，z 1−z 2=√3i ，则|z 1+z 2|＝．16．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为单位圆O 上的任一点，M （3，0），N （﹣1，1）．若OP →=λOM →+μON →，则3λ+μ的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）3月21日是世界睡眠日．《中国睡眠研究报告2022》指出，我国民众睡眠时长不足，每日平均睡眠时长相比十年前时间缩短近1.5小时，今年报告调查又回升0.4小时．下面是我国10个地区，50万青少年的调查数据，绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中的a 的值；（2）以样本估计总体，求青少年的日平均睡眠时长的众数和平均数的估计值；（3）在日平均睡眠时长为[5，6），[6，7），[7，8），[8，9）的四组人群中，按等比例分层抽样的方法抽取60人，则在日平均睡眠时长为[5，6）的人群中应抽取多少人？18．（12分）如图，在长方体木块ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，BC ＝5，AA 1＝4．棱A 1B 1上有一动点E ．（1）若A 1E ＝2，过点E 画一个与棱BC 平行的平面α，使得α与此长方体的表面的交线围成一个正方形EFGH （其中交线GH 在平面ABCD 内）．在图中画出这个正方形EFGH （不必说出理由），并求平面EFGH 将长方体分成的两部分的体积比；（2）若平面AEC 1交棱CD 于Q ，求四边形AEC 1Q 的周长的最小值．19．（12分）从①A =π6，②B =π6，③△ABC 的周长为6，三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，再回答后面的问题．在锐角△ABC 中，已知BC ＝2，_____，求△ABC 面积的取值范围． 20．（12分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）在区间(2π3，π)单调，且f(π4)=−f(5π12)，其中ω∈N *，|φ|＜π2．（1）求y ＝f （x ）图象的一个对称中心；（2）求f （x ）的解析式．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ．（1）证明：平面P AC ⊥平面PBD ；（2）点H 在棱PC 上，当二面角H ﹣DB ﹣C 的余弦值为13时，求CH CP．22．（12分）地球自西向东自转，造成了太阳每天东升西落运动．因这种现象是地球自转造成的人的视觉效果，所以天文学上把这种运动称为太阳周日视运动，其实质是地球自转的一种反映．研究太阳周日视运动轨迹对分析地球气候、计算当地日出日落时间、理解昼夜长短变化现象、设计建筑物日照时长等有重要意义．太阳周日视运动轨迹与太阳直射地球点有关，也与观测者当地的纬度有关．如图为春分（或秋分）日北纬45°某地（如我国哈尔滨、松原、鸡西等地区）的太阳周日视运动轨迹图，O为当地观测者位置，圆平面ESWN是观测者所在的地平面．直线P1P2为天轴，其垂直于太阳周日视运动轨迹所在圆平面EAWC，且与直线NS在同一圆面上．两直线P1P2和NS相交于点O，夹角∠P1ON为45°．太阳早上6：00从正东方E点的地平面升起，中午12：00处于天空最高点A，傍晚6：00从正西方W点处落入地平面．（1）太阳周日视运动轨迹所在圆平面EAWC与地平面ESWN所成锐二面角的平面角为多少？（2）若图上B点为下午3：00太阳所在位置，此时阳光入射当地地平面的角度（即直线BO与地平面ESWN的夹角）为多少？2022-2023学年广东省佛山市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若tanα=43，则tan(π4+α)=（） A ．−35B ．35C ．﹣7D ．7解：∵若tanα=43，∴tan(π4+α)=tan π4+tanα1−tan π4tanα=1+431−43=3+43−4=−7．故选：C ．2．若复数z 满足（1+z ）i ＝1﹣z （i 为虚数单位），则z ＝（） A ．﹣iB ．iC ．1﹣iD ．1+i解：（1+z ）i ＝1﹣z ，则i +zi ＝1﹣z ，即z （1+i ）＝1﹣i ，故z =1−i 1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−i ．故选：A ．3．如图所示的正方形O ′A ′C ′B ′的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（）A ．4√2cm 2B ．8cm 2C ．8√2cm 2D ．16cm 2解：由于原几何图形的面积：直观图的面积＝2√2：1，又∵正方形O ′A ′C ′B ′的边长为2cm ， ∴正方形O ′A ′C ′B ′的面积为4cm 2，原图形的面积S ＝8√2cm 2．故选：C ．4．在平面直角坐标系xOy 中，A （1，2），B （3，3）则向量AB →在向量OA →上的投影向量为（） A ．(−125，−125)B ．(45，85)C ．(85，45)D ．(125，125) 解：∵OA →=(1，2)，AB →=(2，1)， ∴OA →⋅AB →=1×2+2×1=4， |OA →|=√12+22=√5，∴向量AB →在向量OA →上的投影向量为AB →⋅OA →|OA →|⋅OA →|OA →|=√5⋅√5=(45，85)．故选：B ．5．从正方体的八个顶点中任取四个点连线，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是（） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解：从正方体的八个顶点中任取四个点连线中，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数可能有以下几种情况：①若两异面直线为CD 和A 1D 1，此时两直线所成的角为90°．． ②若两异面直线为CD 和AB 1，此时两直线所成的角为45°． ③若两异面直线为AC 和DC 1，此时两直线所成的角为60°．所以在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是30°．故选：A ．6．某班12名篮球队队员的身高（单位：cm ）分别是：162，170，170，171，181，163，165，179，168，183，168，178，则第85百分位数是（） A ．178B ．179C ．180D ．181解：根据题意，将12人的身高从小到大排列：162，163，165，168，168，170，170，171，178，179，181，183，由于12×85%＝10.2，则该组数据第85百分位数为181．故选：D ．7．在△ABC 中，CA ＝3，CB ＝2，∠ACB ＝90°，AB 边上的高为CD ，则（） A ．CD →=25CA →+35CB →B ．CD →=413CA →+913CB → C ．CD →=35CA →+25CB →D ．CD →=913CA →+413CB →解：CA ＝3，CB ＝2，∠ACB ＝90°，则AB =√32+22=√13，由等面积法可知，12×CD ×AB =12×CA ×CB ，解得CD =6√13=6√1313，故AD =√AC 2−CD 2=9√13=9√1313，即AD →=913AB →，所以CD →=CA →+AD →=CA →+913AB →=CA →+913(CB →−CA →)=413CA →+913CB →．故选：B ．8．六氟化硫，化学式为SF 6，在常压下是一种无色、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．如图所示，其分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为12√3，则正八面体外接球的体积为（）A ．4√2πB ．4√3πC ．12πD ．36π解：如图正八面体，连接AC 和BD 交于点O ，因为EA ＝EC ，ED ＝EB ，所以EO ⊥AC ，EO ⊥BD ，又AC 和BD 为平面ABCD 内相交直线，所以EO ⊥平面ABCD ，所以O 为正八面体的中心，设正八面体的外接球的半径为R ，因为正八面体的表面积为8×√34AB 2=12√3，所以正八面体的棱长为√6，所以EB =EC =BC =√6，OB =OC =√3，EO =√EB 2−OB 2=√3，则R =√3，V =43πR 3=43π×3√3=4√3π．故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．设函数f （x ）＝sin2x ，则（） A ．f （x ）＝f （x +π）B ．f （x ）在[0，2π]内有3个零点C ．将y ＝f （x ）图象向左平移π2个单位，得到y ＝cos2x 的图象D ．f （x ）在[π4，3π4]单调递减解：∵f （x ）＝sin2x ，∴函数的最小正周期T =2π2=π，即f （x ）＝f （x +π）成立，故A 正确，由f （x ）＝0得sin2x ＝0，得2x ＝k π，即x =kπ2，k ∈Z ， ∵x ∈[0，2π]，∴x ＝0或x =π2或x ＝π或x =3π2或x ＝2π，即f （x ）在[0，2π]内有5个零点，故B 错误，将y ＝f （x ）图象向左平移π2个单位，得到y ＝sin2（x +π2）＝sin （2x +π）＝﹣sin2x ，则无法得到y ＝cos2x 的图象，故C 错误，当x ∈[π4，3π4]，则2x ∈[π2，3π2]，此时f （x ）为减函数，故D 正确．故选：AD ．10．已知△ABC 不是直角三角形，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则（） A ．sin C ＝sin （A +B ） B ．cos C ＝cos （A +B ） C ．tanC =tanA+tanBtanAtanB−1D ．a ＝b cos C +c cos B解：对于A ，因为C ＝π﹣（A +B ），所以sin C ＝sin[π﹣（A +B ）]＝sin （A +B ），所以A 正确；对于B，因为C＝π﹣（A+B），所以cos C＝cos[π﹣（A+B）]＝﹣cos（A+B），所以B错误；对于C，因为C＝π﹣（A+B），所以tan C＝tan[π﹣（A+B）]＝﹣tan（A+B）=−tanA+tanB1−tanAtanB=tanA+tanBtanAtanB−1，所以C正确；对于D，因为A＝π﹣（B+C），所以sin A＝sin[π﹣（B+C）]＝sin（B+C），所以sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+sin C cos B，所以由正弦定理得a＝b cos C+c cos B，所以D正确．故选：ACD．11．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（）A．丁险种参保人数超过五成B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C．18﹣29周岁人群参保的总费用最少D．人均参保费用不超过5000元解：由险种与比例的对应关系条形图，可知丁险种的参保人数比例为1﹣（0.02+0.04+0.1+0.3）＝0.54＞0.5，故选项A正确；由参保人数比例饼状图可知，41岁以上参保人数所占比例为35%+10%＝0.45＜0.5，故选项B错误；假设保险公司调查了m位客户，则其中18～29周岁的有0.15m位，由折线图可知，18﹣29周岁人群参保的总费用小于0.15m×4000＝600m，31～42周岁和42～53周岁的占比及人均参保费用均高于18～29岁的群体，54周岁及以上的有0.1m 位，由折线图可知，参保总费用为0.1m ×6000＝600m ，大于18﹣29周岁人群参保的总费用，故选项C 正确；由饼状图和折线图可知，18～29周岁的人均参保费用和30～41周岁的人均参保费用的均值大致为4000， 42～53周岁的人均参保费用小于6000，54周岁及以上的人均参保费用大致是6000，所以人均参保费用大致是（0.15+0.4）×4000+（0.35+0.1）×6000＝4900＜5000，故D 正确．故选：ACD ．12．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，动点P 满足BP →=λBC →+μBB 1→，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（）A ．当λ＝1时，有且仅有一个点P ，使得PB ⊥PD 1 B ．当μ＝1时，有且仅有一个点P ，使得A 1D ⊥平面P AD 1C ．当λ+μ＝1时，三棱锥A 1﹣PDC 1的体积为定值D ．有且仅有两个点P ，使得AP ＝3解：对于A ，当x ＝1时，BP →=BC →+μBB 1→，所以有CP →=μBB 1→，因为μ∈[0，1]，所以点P 在线段CC 1上，设CP ＝x （0≤x ≤2），则PC 1＝2﹣x ，BP 2＝4+x 2，PD 12=(2−x)2+4，BD 12=22+22+22＝12，若PB ⊥PD 1，BP 2+PD 12=BD 12，即4+x 2+（2﹣x ）2+4＝12，解得x ＝0或x ＝2，当x ＝0时，P 与C 重合；当x ＝2时，P 与C 1重合，故当λ＝1时，存在两个点P ，使得PB ⊥PD 1，故A 不正确；对于B ，当μ＝1时，由BP →=λBC →+BB 1→，得B 1P →=λBC 1→，又λ∈[0，1]，则点P 在线段B 1C 1上，因为A 1D ⊥AD 1，A 1D ⊥AB ，AD 1∩AB ＝A ，A 1D ，ABC 平面D 1ABC 1，所以A 1D ⊥平面D 1ABC 1，若A 1D ⊥平面P AD 1，则平面D 1ABC 1与平面P AD 1重合，此时P 必与C 1重合，即当μ＝1时，有且仅有一个点P ，使得A 1D ⊥平面P AD 1 故B 正确；对于C ，当x +μ＝1时，由于BP →=λAC →+μBB 1→且λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，可知点P 在线段B 1C 上，因为B 1C ∥A 1D ，B 1C ∉平面A 1DC 1，A 1D ⊂平面A 1DC 1，所以B 1C ∥平面A 1DC 1，所以点P 到平面A 1DC 1 的距离等于B 1到平面A 1DC 1的距离，即P 到平面A 1DC 1 的距离为定值，所以三棱锥A 1﹣PDC 1的体积为定值，故C 正确；对于D ，由BP →=λBC →+μBB 1→，以及λ∈[0，1]，μ∈[0，1]得点P 在侧面BCC 1B 1内，易知，AB ⊥BP ，由AP ＝3，AB ＝2，得BP =√AP 2−AB 2=√9−4=√5，所以点P 的轨迹是侧面BCC 1B 1内以B 为圆心，√5为半径的弧，即有无数个点P 满足题意，故D 不正确．故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知sin18°=√5−14，则cos36°＝ √5+14．解：因为sin18°=√5−14，所以cos36°＝1﹣2sin 218°=1−2×(√5−14)2=1−2×6−2√516=2+2√58=1+√54．故答案为：1+√54．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝x ，b ＝10，cosA =35，则使该三角形有唯一解的x 的值可以是 8（答案不唯一）．（仅需填写一个符合要求的数值）解：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝x ，b ＝10，cosA =35，当△ABC 为直角三角形时，即B =π2时，△ABC 为唯一解；即sinA =a 10=45，解得a ＝8．所以x 的值为8；（答案不唯一）．故答案为：8（答案不唯一）．15．设复数z 1，z 2，满足|z 1|＝|z 2|＝1，z 1−z 2=√3i ，则|z 1+z 2|＝ 1 ．解：设z 1＝a +bi ，z 2＝c +di ，a ，b ，c ，d ∈R ， |z 1|＝|z 2|＝1，a 2+b 2＝1，c 2+d 2＝1， z 1−z 2=(a −c)+(b −d)i =√3i ， ∴a ﹣c ＝0，b ﹣d =√3， ∴a 2+c 2﹣2ac +b 2+d 2﹣2bd ＝0+3，即1﹣2ac +1﹣2bd ＝3， ∴ac +bd =−12，|z 1+z 2|=√(a +c)2+(b +d)2=√a 2+c 2+b 2+d 2+2ac +2bd =√1+1−1=1．故答案为：1．16．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为单位圆O 上的任一点，M （3，0），N （﹣1，1）．若OP →=λOM →+μON →，则3λ+μ的最大值为 √5 ．解：∵点P 为单位圆O 上的任一点，∴设P （cos θ，sin θ）， ∴OP →=(cosθ，sinθ)，∵M （3，0），N （﹣1，1），OP →=λOM →+μON →， ∴OP →=λ(3，0)+μ(−1，1)=（3λ﹣μ，μ），∴{3λ−μ=cosθμ=sinθ， ∴{3λ=sinθ+cosθμ=sinθ， ∴3λ+μ＝2sin θ+cos θ=√5sin(θ+φ)∈[−√5，√5]，其中tanφ=12， ∴3λ+μ的最大值为 √5．故答案为：√5．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）3月21日是世界睡眠日．《中国睡眠研究报告2022》指出，我国民众睡眠时长不足，每日平均睡眠时长相比十年前时间缩短近1.5小时，今年报告调查又回升0.4小时．下面是我国10个地区，50万青少年的调查数据，绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中的a 的值；（2）以样本估计总体，求青少年的日平均睡眠时长的众数和平均数的估计值；（3）在日平均睡眠时长为[5，6），[6，7），[7，8），[8，9）的四组人群中，按等比例分层抽样的方法抽取60人，则在日平均睡眠时长为[5，6）的人群中应抽取多少人？解：（1）由频率分布直方图可知，（0.05+0.12+0.36+a +0.09+0.05）×1＝1，解得a ＝0.33．（2）日平均睡眠时长的众数的估计值是6+72=6.5，日睡眠时长平均数的估计值是：4.5×0.05+5.5×0.12+6.5×0.36+7.5×0.33+8.5×0.09+9.5×0.05＝6.94．（3）根据样本[5，6），[6，7），[7，8），[8，9）的四组人群比为4：12：11：3，则日平均睡眠时长在[5，6）的人群中应抽取60×44+12+11+3=8人．18．（12分）如图，在长方体木块ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，BC ＝5，AA 1＝4．棱A 1B 1上有一动点E ．（1）若A 1E ＝2，过点E 画一个与棱BC 平行的平面α，使得α与此长方体的表面的交线围成一个正方形EFGH （其中交线GH 在平面ABCD 内）．在图中画出这个正方形EFGH （不必说出理由），并求平面EFGH 将长方体分成的两部分的体积比；（2）若平面AEC 1交棱CD 于Q ，求四边形AEC 1Q 的周长的最小值．解：（1）分别在C 1D 1，AB ，CD 上取F ，H ，G 使D 1F ＝2，AH ＝DG ＝5，交线围成的正方形EFGH ，如图，因为长方体被平面α（正方形EFGH ）分成两个高为5的直棱柱，其体积比为他们各自的底面的面积比，即S A 1EGA ：S BGEB 1=(A 1E+AG)×A 1A 2：(BG+B 1E)×B 1B 2=75，所以其体积的比值为75．（2）平面AEC 1交棱CD 于Q ，因为平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1，平面ABB 1A 1∩平面AEC 1Q ＝AE ，平面DCC 1D 1∩平面AEC 1Q ＝C 1Q ，所以C 1Q ∥AE ，同理可得C 1E ∥AQ ，所以四边形AEC 1Q 为平行四边形．其周长最小当且仅当AE +EC 1最小，将平面ABB 1A 1沿A 1B 1翻折到与平面A 1B 1C 1D 1同一水平面，当A ，E ，C 1三点共线时，AE +EC 1最小为√62+(5+4)2=3√13，故四边形AEC 1Q 周长最小为6√13．19．（12分）从①A =π6，②B =π6，③△ABC 的周长为6，三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，再回答后面的问题．在锐角△ABC 中，已知BC ＝2，_____，求△ABC 面积的取值范围．解：设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，选择①：由正弦定理，a sinA=b sinB=c sinC，A =π6，a ＝2，可得b ＝4sin B ，c ＝4sin C ．且sin C ＝sin （A +B ）＝sin （π6+B ），所以bc ＝16sin （π6+B ）sin B ＝16（12cos B sin B +√32sin 2B ）＝4[sin2B +√3•（1﹣cos2B ）]＝4（sin2B −√3cos2B ）+4√3=8sin （2B −π3）+4√3，所以S △ABC =12bc sin A =14bc ＝2sin （2B −π3）+√3，在锐角三角形中，0＜B ＜π2，C ＝π−π6−B ＜π2，可得B ＞π3，所以B ∈（π3，π2），所以2B −π3∈（π3，23π），所以sin （2B −π3）∈（√32，1]，所以S △ABC ∈（2√3，2+√3]；所以△ABC 的面积的取值范围为(2√3，2+√3]．选择②：由正弦定理，asinA=b sinB=c sinC，B =π6，a ＝2，可得b =1sinA，且sin C ＝sin （A +B ）＝sin （π6+A ），因此，△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C =sin(A+π6)sinA =√32sinA+12cosA sinA =√32+12tanA；在锐角三角形中，0＜A ＜π2，C ＝π−π6−A ＜π2，可得A ＞π3，所以A ∈（π3，π2），所以tan A ＞√3，所以0＜12tanA 12√3=√36，则√32+12tanA ∈（√32，23√3）．所以△ABC 的面积的取值范围为（√32，23√3）；选择③：依题意，A ，B ，C ∈(0，π2)，由余弦定理的推论，{cosA =b 2+c 2−a 22bc ＞0，cosB =c 2+a 2−b22ca ＞0，cosC =a 2+b 2−c 22ab＞0，将a ＝2，b ＝6﹣a ﹣c ＝4﹣c 代入，得32＜c ＜52．又△ABC 的半周长为p ＝3，故△ABC 的面积为 S =√p(p −a)(p −b)(p −c) =√3⋅1⋅(c −1)(3−c) =√3[1−(c −2)2]∈(32，√3]所以△ABC 的面积的取值范围为(32，√3]．20．（12分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）在区间(2π3，π)单调，且f(π4)=−f(5π12)，其中ω∈N *，|φ|＜π2．（1）求y ＝f （x ）图象的一个对称中心；（2）求f （x ）的解析式．解：（1）由题意，f （x ）的最小正周期T ≥2（π−2π3）=2π3，由于5π12−π4=π6＜T 2=π3，故y ＝f （x ）图象的一个对称中心的横坐标为5π12+π42=π3，即（π3，0）是y ＝f （x ）图象的一个对称中心；（2）由（1）知T ≥2π3，故ω≤3．又因为ω∈N *，所以ω∈{1，2，3}．由（1）知（π3，0）是y ＝f （x ）图象的一个对称中心，所以π3ω+φ=kπ，即φ＝k π−π3ω，k ∈Z ．①若ω＝1，则φ=kπ−π3，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ=−π3，此时f （x ）＝sin （x −π3），当x ∈(2π3，π)时，x −π3∈(π3，2π3)，此时f （x ）在(2π3，π)不单调，不合题意： ②若ω＝2，则φ=kπ−2π3，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ=π3，此时f （x ）＝sin （2x +π3），当x ∈(2π3，π)时，2x +π3∈(5π3，7π3)，此时f （x ）在(2π3，π)单调，符合题意： ③若ω＝3，则φ＝k π﹣π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝0，此时f （x ）＝sin3x ，当x ∈(2π3，π)时，3x ∈（2π，3π），此时f （x ）在(2π3，π)不单调，不合题意：综上，ω＝2，φ=π3，故f （x ）的解析式为f （x ）＝sin （2x +π3）．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ．（1）证明：平面P AC ⊥平面PBD ；（2）点H 在棱PC 上，当二面角H ﹣DB ﹣C 的余弦值为13时，求CH CP．证明：（1）连结AC ，∵底面ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD又∵侧棱PD ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥AC ． PD ∩BD ＝D ， ∴AC ⊥平面PBD ，又∵AC ⊂平面P AC ，∴平面P AC ⊥平面PBD ．（2）解：过H 作HE ⊥DC 交DC 于E ，过E 作EF ⊥BD 于F ，连接HF ，在平面PDC 中，PD ⊥DC ，HE ⊥DC ， ∴EH ∥PD ， ∴EH ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，∴HE ⊥BD ，又∵EF ⊥BD ，EF ∩EH ＝E ，∴BD ⊥平面HEF ，又HF ⊂平面HEF ，∴BD ⊥HF ，∴∠EFH 为二面角H ﹣DB ﹣C 的平面角，二面角H ﹣DB ﹣C 的余弦值为13，故cos ∠EFH =13，sin ∠EFH =√1−cos 2∠EFH =√1−(13)2=2√23，故tan ∠EFH =sin∠EFHcos∠EFH=2√2313=2√2，设CH ＝λCP ，则HE ＝λPD ，CE ＝λCD ，ED ＝（1﹣λ）CD ．在Rt △DFE 中，∠FDE ＝45°，∴EF =√22(1−λ)CD ．在Rt △HEF 中，tan ∠EFH =HEEF =λPD 22(1−λ)DC =λ22(1−λ)=2√2，∴λ=23．所以，当二面角H ﹣DB ﹣C 的余弦值为13时，CH CP=23．22．（12分）地球自西向东自转，造成了太阳每天东升西落运动．因这种现象是地球自转造成的人的视觉效果，所以天文学上把这种运动称为太阳周日视运动，其实质是地球自转的一种反映．研究太阳周日视运动轨迹对分析地球气候、计算当地日出日落时间、理解昼夜长短变化现象、设计建筑物日照时长等有重要意义．太阳周日视运动轨迹与太阳直射地球点有关，也与观测者当地的纬度有关．如图为春分（或秋分）日北纬45°某地（如我国哈尔滨、松原、鸡西等地区）的太阳周日视运动轨迹图，O 为当地观测者位置，圆平面ESWN 是观测者所在的地平面．直线P 1P 2为天轴，其垂直于太阳周日视运动轨迹所在圆平面EAWC ，且与直线NS 在同一圆面上．两直线P 1P 2和NS 相交于点O ，夹角∠P 1ON 为45°．太阳早上6：00从正东方E 点的地平面升起，中午12：00处于天空最高点A ，傍晚6：00从正西方W 点处落入地平面．（1）太阳周日视运动轨迹所在圆平面EAWC与地平面ESWN所成锐二面角的平面角为多少？（2）若图上B点为下午3：00太阳所在位置，此时阳光入射当地地平面的角度（即直线BO与地平面ESWN的夹角）为多少？解：（1）∵平面EAWC∩平面ESWN＝EW，AO⊥EW，SO⊥EW，∴∠AOS为圆平面EAWC与地平面ESWN的锐二面角．在半圆NAS中，尖角∠P1ON为45°，∠P1OA为90°，∴∠AOS＝180°﹣45°﹣90°＝45°，故圆平面EAWC与地平面ESWN所成的锐二面角为45°．（2）过B作BG⊥平面ESWN，BG与平面ESWN交G，如图所示：∴∠BOG为直线BO与地平面的夹角．过B作BH⊥直线EW，BH与直线EW交于H，连接OG，OH．∵BG⊥平面ESWN，EW⊂平面ESWN，∴BG⊥EW，又∵EW⊥BH，BG∩BH＝B，∴EW⊥平面BGH，∴∠BHG＝45°．B点为下午3：00太阳所在位置，∠AOB＝∠BOW＝45°，∴BH=√22OB，BG=√22BH=12OB．在直角三角形BOG中，sin∠BOG=BGBO=12，即直线BO与地平面的夹角30°，故若图上B点为下午3：00太阳所在位置，此时阳光入射当地地平面的角度（即直线BO与地平面ESWN 的夹角）为30°．第21页（共21页）。