数理统计14(方差分析)
方差分析原理
方差分析原理方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异。
它能够帮助我们确定多个样本的均值是否存在显著差异，并进一步了解差异来自于哪些因素。
本文将介绍方差分析的原理和应用。
一、方差分析的背景在实际问题中，我们常常需要比较不同样本的均值，以了解它们之间是否存在差异。
例如，我们想要知道不同药物对治疗某种疾病的疗效是否有差别，或者不同教学方法对学生成绩是否有影响等。
这时候，我们需要用到方差分析这个统计工具。
二、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较组内变异（Within-group variation）与组间变异（Between-group variation）的大小来判断多个样本的均值是否存在显著差异。
组内变异指的是同一组内个体（观察值）之间的差异，也可以看作是测量误差或个体内部差异。
组间变异指的是不同组之间的差异，也可以理解为组与组之间的差别。
我们的目标是判断组间变异是否显著大于组内变异。
统计学家通过构建方差分析的假设检验来实现这一目标。
假设检验的零假设（null hypothesis）是所有样本的均值相等，备择假设（alternative hypothesis）则是至少存在一个样本的均值与其他样本不同。
三、方差分析的步骤进行方差分析时，一般需要按照以下步骤进行：1. 提出假设：定义零假设和备择假设。
2. 选择显著性水平：通常为0.05，表示我们要找到的结论是在5%的显著水平下成立。
3. 收集数据：需要收集多个组别的数据，并记录下来。
4. 计算方差：通过计算组内变异和组间变异。
5. 计算F统计量：F统计量用于判断组间变异是否显著大于组内变异，可以通过计算组间均方与组内均方之比得到。
6. 判断：根据F统计量与给定显著性水平的临界值进行比较，如果F统计量大于临界值，则拒绝零假设，表示至少存在一个样本均值与其他不同。
7. 进行事后分析（post hoc analysis）：如果方差分析的结果是显著的，我们可以进行事后分析，以确定具体哪些组别之间存在差异。
方差分析的基本原理是什么
方差分析的基本原理是什么
方差分析是一种统计方法，用于比较两个或多个不同组之间的平均值是否存在显著差异。
其基本原理是通过对数据的方差进行分解，将总平方和分解为组内平方和和组间平方和，从而判断不同组之间的差异是否超过了由随机因素引起的差异。
具体步骤如下：
1. 假设组间和组内的观测值都来自于正态分布的总体，并且方差相等（方差齐性）。
2. 计算组内平方和（误差平方和），即每个组内观测值与该组的平均值之差的平方和。
3. 计算组间平方和（效应平方和），即每组平均值与总体均值之差的平方和乘以每组样本量。
4. 比较组间和组内的方差大小，通过计算F统计量来衡量两
者之间的差异。
5. 根据显著性水平（如α=0.05），比较计算得到的F值与临
界F值进行比较，判断差异是否显著。
6. 若差异显著，则可以得出结论：不同组之间的平均值存在显著差异。
方差分析能够帮助研究者确定实验结果的可靠性和效应的大小，以及不同因素对结果的影响程度。
它广泛应用于各个领域的实验设计和数据分析中。
方差分析(ANOVA)
方差分析（ANOVA）
n4
n3 n2 n1
Y4
Y3 Y2
Y1
例子：某研究者在某单位工作人员中进行了体重指 数（BMI）抽样调查，随机抽取不同年龄组男性受试 者各16名，测量了被调查者的身高和体重值，由此按 照BMI=体重/身高2公式计算了体重指数，请问，不 同年龄组的体重指数有无差异。
… 二、F 值与F分布
本来如自果相各同组总样体本，的无总处体理均因数素相的等作（用H0，成则立组）间，变即异各同，处组理内组变的异样
一样，只反映随机误差作用的大小。组间均方与组内均方的比
值称为F统计量
F MS组间 MS组内
1 组间
2 组内
F值接近于1，就没有理由拒绝H0；反之，F值越大，拒绝 H0的理由越充分。数理统计的理论证明，当H0成立时，F 统计量服从F分布。
组间变异 组内变异
总变异
5
1. 总变异(Total variation): 全部测量值Xij与总 均数 X 间的差异
2. 组间变异(between group variation ): 各组的 均数 Xi 与总均数 X 间的差异
3. 组内变异（within group variation )：每组的 每个测量值 Xij与该组均数 Xi 的差异
均数两两比较方法
仍以例1为例，LSD法的输出格式：
结果分析
均数两两比较方法
仍以例1为例，SNK法的输出格式：
结果分析
❖ 该方法的目的是寻找同质子集，故各组在表格的纵向上，均 数按大小排序，然后根据多重比较的结果将所有的组分为若干 个子集，子集间有差别，子集内均数无差别。
均数两两比较方法
概率与统计中的方差分析
概率与统计中的方差分析方差分析（Analysis of Variance，ANOVA）是统计学中常用的一种方法，用于比较两个或多个样本组之间的差异是否显著。
它可以帮助我们理解自变量对因变量的影响，并进一步研究因素之间的相互作用。
通过分析方差，我们可以得出结论，以便作出准确的决策。
方差分析的基本假设是因变量满足正态分布，并且各组之间的方差相等。
在进行方差分析之前，我们需要首先进行方差齐性检验。
如果方差齐性假设成立，我们可以继续进行方差分析；如果不成立，我们需要采用其他适当的非参数方法。
一元方差分析是最常见的一种方差分析方法，适用于只有一个自变量的情况。
其基本思想是通过分析组间变异与组内变异的比值来判断组间差异是否显著。
我们可以使用F检验来进行假设检验，确定是否存在显著性差异。
当我们拥有多个自变量时，可以使用多元方差分析（MANOVA）来分析不同自变量对因变量的影响。
多元方差分析考虑了多个自变量之间的相互作用，因此可以更全面地评估不同因素对因变量的影响。
方差分析还可以用于分析不同样本组之间的比较，例如不同处理组的均值是否显著不同。
在方差分析中，我们通常会计算方差之间的比率，即F值。
通过比较F值与临界值，我们可以判断组间差异是否显著。
方差分析不仅适用于实验研究，也可以用于观察性研究。
在观察性研究中，我们可以根据不同组别的特征，进行方差分析来比较各组之间的差异。
除了一元方差分析和多元方差分析，还有其他一些变种的方差分析方法，例如重复测量方差分析、混合设计方差分析等。
每种方法都有其特定的应用场景，我们可以根据具体情况选择合适的方差分析方法。
值得注意的是，方差分析只能判断差异是否显著，不能确定哪些组之间存在差异。
如果我们发现差异是显著的，我们可以进行进一步的事后多重比较来确定具体的差异。
总之，方差分析作为概率与统计中的重要方法，用于比较不同样本组之间的差异是否显著，并进一步了解自变量对因变量的影响。
无论是实验研究还是观察性研究，方差分析都可以提供有力的统计依据，帮助我们做出准确的决策。
数理统计14(方差分析)
总变异
统计量
其中
称为组间均方 (mean square between groups) 或因素均方 (mean square factor),
MSE
SSE nk
称为组内均方 (mean square within groups)
或误差均方 (mean square error),
第一节 单因素方差分析
一、方差分析的原理和方法
效应 (effect): 在试验中的试验结果。 因素 (factor): 影响试验结果的条件。 水平 (lever): 因素所处的不同状态或内部分类。 方差分析的目的：是探讨不同因素、不同水平
之间效应的差异，从而考察各因素对试 验结果是否有显著影响。
试验中只有一个因素取不同的水平进行试 验，而其他因素保持不变，这样的试验称为 单因素试验 (one factor trial), 相应的方差分 析就是单因素方差分析。
表8-5 例8-1的方差分析表
方差 离差
来源 平方和
Source 组间
(因素)
组内 (误差)
总和 (总变差)
SS 442.7
160.5 603.2
自由 度 df 4
15
19
均方
MS 110.68
10.7
F值 MSA MSE
10.34
P值 P<0.05
临界值 F
F0.05(4,15) =3.06
第二节 多重比较
温度(℃) 60 65 70 75 80 合计 86 80 83 76 96
xi j
89 83 90 81 93
91 88 94 84 95
90 84 85 82 94
数理统计典型例题分析
典型例题分析例1．分别从方差为20和35的正态总抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差是第二个样本方差两倍的概率的范围。
解 以21S 和22S 分别表示两个（修正）样本方差。
由222212σσy x S S F =知统计量2221222175.13520S S S S F ==服从F 分布，自由度为（7，9）。
1） 事件{}22212S S =的概率 {}{}05.320352352022222122212221===⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯==⎭⎬⎫⎩⎨⎧===F P S S P S S P S S P因为F 是连续型随机变量，而任何连续型随机变量取任一给定值的概率都等于0。
2） 现在我们求事件{}二样本方差两倍第一样本方差不小于第=A 的概率：{}{}5.322221≥=≥=F P S S P p 。
由附表可见，自由度9,721==f f 的F 分布水平α上侧分位数),(21f f F α有如下数值：)9,7(20.45.329.3)9,7(025.005.0F F =<<=。
由此可见，事件A 的概率p 介于0.025与0.05之间；05.0025.0<<p 。
例2．设n X X X ，，， 21是取自正态总体),(2σμN 的一个样本，2s 为样本方差，求满足不等式95.05.122≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤σS P 的最小n 值。
解 由随机变量2χ分布知，随机变量σ/12S n ）（-服从2χ分布，自由度1-=n v ，于是，有{}{}95.0)1(5.1)1(5.1)1(2,05.02222=≤≥-≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=v v v P n P n S n P χχχσ 其中2v χ表示自由度1-=n v 的2χ分布随机变量，2,05.0v χ是自由度为1-=n v 的水平05.0=α的2χ分布上侧分位数（见附表）。
我们欲求满足2,05.015.1v n χ≥-）（的最小1+=v n 值，由附表可见226,05.0885.3839)127(5.1χ=>=-， 22505.0652.375.401265.1，）（χ=<=-。
方差分析及协方差分析
方差分析及协方差分析方差分析和协方差分析是统计学中常用的两种分析方法，用于研究变量之间的关系和差异。
本文将分别介绍方差分析和协方差分析的基本概念、原理和应用。
一、方差分析（Analysis of Variance）1.基本概念：方差分析是一种通过对不同组之间的差异进行分析，来揭示组间差异是否非随机的统计方法。
它可以用于比较两个或更多个组的均值是否有显著差异。
2.原理：方差分析的原理基于对总体变异的分解。
总体变异可以分解为组间变异和组内变异。
组间变异表示不同组之间的差异，而组内变异表示组内个体之间的差异。
方差分析通过计算组间变异与组内变异之间的比值来判断组间差异是否显著。
3.适用场景：方差分析适用于有一个自变量和一个或多个因变量的情况。
常见的应用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果、比较不同教学方法对学生成绩的影响等。
4.步骤：方差分析的步骤包括：确定研究目的和假设、选择适当的方差分析模型、计算方差分析统计量和p值、进行结果解释。
二、协方差分析（Analysis of Covariance）1.基本概念：协方差分析是一种结合方差分析和线性回归分析的方法。
它通过控制一个或多个连续变量（协变量）对组间差异进行调整，来比较不同组之间的差异。
协方差分析不仅考虑到组间差异，还考虑到了协变量的影响。
2.原理：协方差分析的基本原理是通过线性回归模型来估计组间均值的差异，同时考虑协变量的影响。
通过计算协方差矩阵和相关系数，可以得到组间差异的调整后的统计结果。
3.适用场景：协方差分析适用于有一个自变量、一个或多个因变量，以及一个或多个连续变量的情况。
常见的应用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果，并控制患者年龄和性别等协变量。
4.步骤：协方差分析的步骤包括：确定研究目的和假设、选择适当的协方差分析模型、建立回归模型、计算协方差分析统计量和p值、进行结果解释。
总结：方差分析和协方差分析都是常用的统计分析方法，用于研究组间差异和变量之间的关系。
方差(概率论与数理统计)
方差分析通过比较不同组数据的分散程度，判断不同因素对数据变 异的贡献程度，从而进行多因素比较。
方差分析的适用条件
进行方差分析前需要满足独立性、正态性和方差齐性等条件，以确 保分析结果的准确性和可靠性。
方差分析的步骤
包括建立假设、计算自由度、计算F值、进行显著性检验等步骤，最 终得出各因素对数据变异的贡献程度和显著性水平。
统计学推断
在统计学中，方差分析、回归分析和生存分析等方法都涉及到方差的 概念和应用。
质量控制
在生产过程中，方差分析可以用于检测产品质量的一致性和稳定性。
社会科学研究
在社会学、心理学和经济学等社会科学领域，方差分析常用于研究不 同组别之间的差异和变化。
02
方差的计算方法
离差平方和的分解
离差平方和是由数据点与平均值的偏差平方和组成的，即每个数据点与平 均值的差的平方的总和。
其中，n是数据点的数量，组内离差平方和是每个数据点 与其所属类别的平均值的偏差平方和的总和，组间离差平 方和是不同类别的平均值之间的偏差平方和。
方差的计算实例
首先计算每个数据点与平均值的偏差的平方： {0, 1, 2, 3, 4}。
最后，根据方差的计算公式，方差 = (5-1) / 5 * 30 + 1 / 5 * 0 = 24。
假设有一个数据集{1, 2, 3, 4, 5}，其平均值为3。
然后求出偏差的平方的总和：0 + 1 + 4 + 9 + 16 = 30。
03
方差与其他统计量的关 系
方差与期望值的关系
方差是衡量数据离散程度的统计量，而期望值是数据的平均 水平。方差和期望值之间存在密切的关系，通常表示为方差 等于期望值的平方减去数据点的平方。
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1 nj
nj
(
i 1
xij )2
C
（8-8）
SSE
k j 1
nj i1
xi2j
k j 1
1 nj (
n j i1
xij )2
SST
SS（A 8-9）
检验统计量
F SSA /(k 1) SSE /(n k)
3、对给定的显著水平 ，查 F 分布表，得临
界值 F (k-1, n-k), 一般取 =0.05。 4、统计判断：若F >F (k-1,n-k), 则 P < , 拒 绝 H0 ，认为因素对试验结果没有显著影响。
F(k-1,n-k)
在进行方差分析时, 还必须注意需满足的 前提条件:
（1）各总体相互独立且服从正态分布； （2）各总体方差相等，即
Xj~N (j , 2 ), j=1, 2, …, k
如果满足这两个条件，方差分析就可取得 精确的结果，否则，只能通过数据变换后 近似地分析。
例8-1 解: (1) 检验 H0 : 1 = 2 = 3 = 4 = 5 H1 : 1 、2 、 3 、 4 、 5 不全等
温度(℃)
60
得率（%） 86
89
91
90
平均（%） 89
65 70 75
80
80 83 76
96
83 90 81
93
88 94 84
95
84 85 82
94
83.75 88 80.75 94.5
应检验 H0 : 1 = 2 = 3 = 4 = 5 H1 : 1 、2 、 3 、 4 、 5 不全相等
如果拒绝 H0 , 就可认为不同水平(不同的温度) 下的得率差异确实有显著性, 即温度对该药的
得率有显著影响;
否则, 则认为不同水平 (不同的温度) 下得率的 差异只是由随机误差造成的。
表8-2 因素水平及观察数据表
水平(组别) A1
A2
…
Ak
总体变量
X1
X2
…
Xk
x11
x12
…
x1k
试验结果
x21
表8-3 单因素方差分析表
方差 来源
离差 平方和
Source SS
组间 (因素)
SSA
组内 (误差)
SSE
总和 (总变差)
SST=SSA + SSE
自由 度
df k-1
n-k
n-1
均方
MS MSA= SSA/k-1 MSE= SSE/n-k
F值
MSA MSE
P值
F >F
则 P<
F<F,
则 P>
临界值 F
单因素方差分析的目的：通过分析各水平 样本效应之间的差异，来检验各水平总体效 应之间的差异，从而确定该因素对试验结果 是否有显著性影响。
例8-1 考察温度对某药得率的影响，选取 5 种 不同的温度，在同一温度下各做了 4 次试验， 结果见表 8-1。试问温度是否对该药的得率有显 著影响?
表8-1 某药在不同温度下的得率
第一节 单因素方差分析
一、方差分析的原理和方法
效应 (effect): 在试验中的试验结果。 因素 (factor): 影响试验结果的条件。 水平 (lever): 因素所处的不同状态或内部分类。 方差分析的目的：是探讨不同因素、不同水平
之间效应的差异，从而考察各因素对试 验结果是否有显著影响。
试验中只有一个因素取不同的水平进行试 验，而其他因素保持不变，这样的试验称为 单因素试验 (one factor trial), 相应的方差分 析就是单因素方差分析。
(xij x )2
j1 i1
组内离差平方和 (sum of square of deviations
within groups) 或误差平方和 (sum of square
error):
组间离差平方和 (sum of square of deviations
between groups) 或因素平方和 (sum of square
factor):
k
SSA n j (x. j x)2
j 1
离差平方和分解公式: SST SSE SSA
总离差 ：所有观察效应值之间的差异 组内离差 ：随机抽样误差 组间离差 SSA ：随机抽样误差和系统性误差 自由度对应分解为: n-1=(n-k)+(k-1)
即 dfT dfE dfA
则 F MSA
MSE
二、方差分析的步骤与实例
1、针对问题，建立原假设与备择假设：
H0 : 1 = 2 = … = k = ; H1 : 1 、2 、…、 k 不全相等
2、分别计算离差平方和及检验统计量 F 值：
C
1 n
(
k j 1
nj i 1
xij )2
2
nx
（8-7）
SSA
k j 1
第八章 方差分析
方差分析 (analysis of variance,
ANOVA, F 检验)：多个正态总 体均值比较的一种最基本的统计 分析方法，它是对全部样本观测 值的差异（方差）进行分解，将 某种因素下各组样本观测值之间 可能存在的因素所造成的系统性 误差，与随机抽样所造成的随机 误差加以区分比较，以推断该因 素对试验结果的影响是否显著。
i 1
即有 n1 =n2 =n3 =n4 =n5 =4, n=20, k=5
C
1( n
k j 1
nj i1
xij )2
17442
20
152076.8
k nj
SST
xi2j C
j1 i1
152680 152076.8 603.2
（2）结果汇总表8-4
温度(℃) 60 65 70 75 80 合计 86 80 83 76 96
xi j
89 83 90 81 93
91 88 94 84 95
90 84 85 82 94
nj
4
4
44
4
20
356 335 352 323 378 1744
nj
xi2j 31698 28089 31050 26117 35726 152680
组间变异 组内变异
总变异
统计量
其中
称为组间均方 (mean square between groups) 或因素均方 (mean square factor),
MSE
SSE nk
称为组内均方 (mean square within groups)
或误差均方 (mean square error),
x22
…
x2k
xij
…
…
…
…
xn11
xn22
…
xnkk
平均值 x.j x. 1
x. 2
…
x. k
其中
样本总均值为
x1 n
k nj
xij
j1 i1
总离差平方和 (sum of square of total deviations)
或总变差 (total deviations):
k nj
SST