湖北省理科数学高考试题1
2021年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题 (理科) 解析版
-6 ± 62-13⨯ 4 2 普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试卷解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．方程 x 2 + 6x + 13 = 0 的一个根是 A ． -3 + 2i B ． 3 + 2iC ． -2 + 3iD ． 2 + 3i考点分析：本题考察复数的一元二次方程求根. 难易度：★解析：根据复数求根公式： x = = -3 ± 2i ，所以方程的一个根为-3 + 2i2答案为 A.2．命题“ ∃x ∈ ð Q ， x 3 ∈ Q ”的否定是RA ． ∃x ∉ ð Q ， x 3 ∈ QB ． ∃x ∈ ð Q ， x 3 ∉ Q 0RRC ． ∀x ∉ ð Q ， x 3∈ QD ． ∀x ∈ ð Q ， x 3∉ QR R 考点分析：本题主要考察常用逻辑用语，考察对命题的否定和否命题的区别.难易度：★解析：根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定。
因此选 D3．已知二次函数 y = f (x ) 的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积为A ． 2πB ． 4C ． 3D ．π 5 3 2 2考点分析：本题考察利用定积分求面积. 难易度：★解析：根据图像可得： y = f (x ) = -x 2 + 1，再由定积分 的几何意义，可求得面积为S = 1 (-x 2 + 1)dx = (- 1 x 3 + x )1 = 4 .⎰-13-1344．已知某几何体的三视图如图所示，则该几2 何体的体积为A ． 8πB ． 3πC ． 3 10πD ． 6π3正视图 侧视图考点分析：本题考察空间几何体的三视图. 难易度：★解析：显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个 1/2 的圆柱体，底面圆的半径为 1，圆柱体的高为 6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π .选 B.5．设 a ∈ Z ，且0 ≤ a < 13 ，若512012 + a 能被13 整除，则 a = A ．0 B ．1C ．11D ．12俯视图2 y1 -1 O1x第3 题图第 4 题图| x | a n a n + 2 a n +1 2012 52 - C 2012 a b c n +1 n +1n +1 考点分析：本题考察二项展开式的系数. 难易度：★ 解析：由于51=52-1， (52 -1)2012= C 0 2012 1 2012 522011 + ... - C 2011 521+1, 又由于 13|52,所以只需 13|1+a ，0≤a<13,所以 a=12 选 D.6．设 a ,b , c , x , y , z 是正数，且 a 2 + b 2 + c 2 = 10 ， x 2 + y 2 + z 2 = 40 ， ax + by + cz = 20 ，则 a + b + c = x + y + z A ． 1 4 B ． 1 3 C ． 1 2 D ． 34考点分析：本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件. 难易度：★★解析：由于 (a 2+ b 2+ c 2)(x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ (ax + by + cz )2等号成立当且仅当 = = = t , 则 a=t x b=t y c=t z ， t 2(x 2+ y 2+ z 2) = 10 x y z 所以由题知t = 1/ 2 又 a = b = c = x y za +b +c x + y + z, 所以 a + b + c x + y + z = t = 1/ 2，答案选 C.7．定义在(-∞, 0) (0, +∞) 上的函数 f (x ) ，如果对于任意给定的等比数列{a n } ， { f (a n )}仍是等比数列，则称 f (x ) 为“保等比数列函数”. 现有定义在(-∞, 0) (0, +∞) 上的如下函数： ① f (x ) = x 2 ； ② f (x ) = 2x ； ③ f (x ) = ； ④ f (x ) = ln | x | . 则其中是“保等比数列函数”的 f (x ) 的序号为A ．① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④ 考点分析：本题考察等比数列性质及函数计算. 难易度：★解析：等比数列性质， a a = a 2 ，① f (a )f (a ) = a 2a 2 = (a 2 )2= f 2 (a )；n n + 2n +1nn + 2n n + 2n +1n +1② f (a n )f (an + 2 ) = 2a n 2a n +2 = 2a n + a n +2 ≠ 22a n +1 = f 2 (a n +1 )；22③ f (a n )f (a n + 2 ) == = f (a )；④ f (a n )f (a n + 2 ) = ln a n ln a n + 2 ≠ (ln a )2= f 2 (a ).选 C8．如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A ．1 - 2 π C ． 2 πB ． 1 - 12 π D ． 1π考点分析：本题考察几何概型及平面图形面积求法. 难易度：★解析：令OA = 1，扇形 OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为 S 1 ， 围成OC 为 S 2 ，作对称轴 OD ，则过 C 点。
高考全国卷1理科数学试题及答案
普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前, 考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号。
回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。
在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1．设1i2i 1iz -=++, 则||z = A ．0 B ．12C ．1D ．22．已知集合{}220A x x x =-->, 则A =R ð A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|1|2x x x x <->UD ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥U3．某地区经过一年的新农村建设, 农村的经济收入增加了一倍, 实现翻番, 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况, 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例, 得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A ．新农村建设后, 种植收入减少B ．新农村建设后, 其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后, 养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后, 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和, 若3243S S S =+, 12a =, 则=5a A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+, 若()f x 为奇函数, 则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中, AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点, 则EB =u u u rA ．3144AB AC-u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r7．某圆柱的高为2, 底面周长为16, 其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A , 圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B , 则在此圆柱侧面上, 从M 到N 的路径中, 最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F , 过点（–2, 0）且斜率为23的直线与C 交于M , N 两点, 则FM FN ⋅u u u u r u u u r=A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点, 则a 的取值范围是 A ．[–1, 0）B ．[0, +∞）C ．[–1, +∞）D ．[1, +∞）10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成, 三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC , 直角边AB , AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I, 黑色部分记为II, 其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点, 此点取自I, II,III 的概率分别记为p 1, p 2, p 3, 则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．已知双曲线C ：2213x y -=, O 为坐标原点, F 为C 的右焦点, 过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形, 则|MN |= A ．32B ．3C ．3D ．412．已知正方体的棱长为1, 每条棱所在直线与平面α所成的角相等, 则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A 33B 23C 32D 3 二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分。
2022年高考全国卷1理科数学试题及参考答案
普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}42M x x =-<<，{}260N x x x =--<，则M N =A ．{}43x x -<<B ．{}42x x -<<-C ．{}22x x -<<D ．{}23x x <<2．设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则A ．()2211x y ++=B ．()2211x y -+=C ．()2211x y +-=D ．()2211x y ++=3．已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51-（510.618-≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-。
若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是 A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm5．函数()2sin cos x xf x x x+=+在[],ππ-的图象大致为6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。
每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，右图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 8．右图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．12A A =+B ．12A A=+C ．112A A=+D ．112A A=+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知4=0S ，55a =，则A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-10．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=11．关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 ③()f x 在[],ππ-有4个零点④()f x 的最大值为2 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为A ．86πB ．46πC ．26πD 6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
年高考真题试卷(湖北卷)数学(理科)参考答案
年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｂ 2．Ａ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｄ 9．Ｃ 10．Ａ 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分． 11．162；12．(21)，（或满足2a b =的任一组非零实数对()a b ，）13．32-14．1512815．110110010111610t t t y t -⎧⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，，，≤≤；0.6三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力． 解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴． （Ⅱ）2π()2sin 324f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 2322θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ (1sin 2)32θθ=+-πsin 23212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=． 17．本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）分组 频数 频率[)1.301.34， 4 0.04 [)1.341.38， 25 0.25[)1.381.42， 30 0.30 [)1.421.46， 29 0.29 [)1.461.50， 10 0.10 [)1.501.54， 2 0.02 合计1001.00（Ⅱ）纤度落在[)1.381.50，中的概率约为0.300.290.100.69++=，纤度小于 1.40的概率约为10.040.250.300.442++⨯=． （Ⅲ）总体数据的期望约为1.320.04 1.360.25 1.400.30 1.440.29 1.480.10 1.520.02 1.4088⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．18．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．解法1：（Ⅰ）AC BC a ==∵，ACB ∴△是等腰三角形，又D 是AB 的中点， CD AB ⊥∴，又VC ⊥底面ABC ．VC AB ⊥∴．于是AB ⊥平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ） 过点C 在平面VCD 内作CH VD ⊥于H ，则由（Ⅰ）知CD ⊥平面VAB ． 连接BH ，于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角． 在CHD Rt △中，2sin 2CH a θ=； 设CBH ϕ∠=，在BHC Rt △中，sin CH a ϕ=，2sin θϕ=． π02θ<<∵， 样本数据频率/组距1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.540sin 1θ<<∴，20sin 2ϕ<<． 又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴．即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫⎪⎝⎭，．解法2：（Ⅰ）以CA CB CV ，，所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则2(000)(00)(00)000tan 222a a C A a B a D V θ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，， 于是，2tan 22a aVD θ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，022a a CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，(0)AB a a =-，，． 从而2211(0)0002222a aABCD a a a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭，，，，··，即AB CD ⊥． 同理22211(0)tan 0022222a aAB VD a a a a θ⎛⎫=--=-++= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，··，即AB VD ⊥．又CD VD D =，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ．∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ，平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB VD ==，nn ··． 得02tan 0222ax ay a a x y az θ-+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，． 可取(112)θ=，，n ，又(00)BC a =-，，， 于是22sin sin 222cot BC BCa ϕθθ===+n n ···， π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，20sin 2ϕ<<．ADBCHVADB CVyz又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．解法3：（Ⅰ）以点D 为原点，以DC DB ，所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则222(000)000000D A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，220tan 22V a a θ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，于是220tan 22DV a a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，2002DC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(020)AB a =，，．从而(020)ABDC a =，，·20002a ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，，·，即AB DC ⊥．同理22(020)0tan 022AB DV a a a θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，·，即AB DV ⊥． 又DCDV D =，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ，平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB DV ==，··n n ，得2022tan 022ay ax az θ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，． 可取(tan 01)θ=，，n ，又22022BC a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，， 于是2tan 22sin sin 21tan BC a BC θϕθθ===+n n ···， π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，20sin ϕ<<． 又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴， 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．ADBCVxy解法4：以CA CB CV ，，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)022a aC A a B aD ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，． 设(00)(0)V t t >，，． （Ⅰ）(00)0(0)22a a CV t CD AB a a ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，，，，，，，，，(0)(00)0000AB CV a a t =-=++=，，，，··，即AB CV ⊥．22(0)0002222a a a a AB CD a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭，，，，··，即AB CD ⊥．又CV CD C =，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ， 设()x y z =，，n 是平面VAB 的一个非零法向量，则()(0)0()(0)0AB x y z a a ax ay AV x y z a t ax tz ⎧=-=-+=⎪⎨=-=-+=⎪⎩，，，，，，，，，，n n ····取z a =，得x y t ==．可取()t t a =，，n ，又(00)CB a =，，， 于是22222sin 22ta CB CBa t t at aa t ϕ====+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭···n n(0)t ∈+，∵∞，sin ϕ关于t 递增． 0sin 2ϕ<<∴，π04ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知A DB CVyz识进行推理运算的能力和解决问题的能力．解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，，可设1122()()A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为y kx p =+，与22x py =联立得22x py y kx p ⎧=⎨=+⎩，．消去y 得22220x pkx p --=．由韦达定理得122x x pk +=，2122x x p =-．于是12122ABN BCN ACN S S S p x x =+=-△△△·．2121212()4p x x p x x x x =-=+-22224822p p k p p k =+=+∴当0k =时，2min ()22ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P ，Q PQ ，的中点为H ，则O H PQ '⊥，Q '点的坐标为1122x y p +⎛⎫⎪⎝⎭，．2222111111()222O P AC x y p y p '==+-=+∵， 111222y p O H a a y p +'=-=--， 222PH O P O H ''=-∴2221111()(2)44y p a y p =+---1()2p a y a p a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，22(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．令02p a -=，得2pa =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p y =， 即抛物线的通径所在的直线．解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得NO ACB yxNO AC ByxO 'l222222212121211()4148AB k x k x x x x k p k p =+-=++-=++··22212p k k =++·又由点到直线的距离公式得21d k=+．从而22221121222221ABN S dAB p k k p k k ==++=++△·····∴当0k =时，2min ()22ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以AC 为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y -----=，将直线方程y a =代入得211()()0x x x a p a y -+--=，则21114()()4()2p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△． 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ，，，， 则有34114()2()22p p PQ x x a y a p a a y a p a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦令02p a -=，得2pa =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p y =， 即抛物线的通径所在的直线．20．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．()2f x x a '=+∵，23()a g x x'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=．即22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，由20032a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）．即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=-． 令225()3ln (0)2h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是当(13ln )0t t ->，即130t e <<时，()0h t '>； 当(13ln )0t t -<，即13t e >时，()0h t '<．故()h t 在130e ⎛⎫⎪⎝⎭，为增函数，在13e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞为减函数，于是()h t 在(0)+，∞的最大值为123332h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（Ⅱ）设221()()()23ln (0)2F x f x g x x ax a x b x =-=+-->， 则()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x-+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数，于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=． 故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．21．本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：（ⅰ）当1m =时，原不等式成立；当2m =时，左边212x x =++，右边12x =+， 因为20x≥，所以左边≥右边，原不等式成立；（ⅱ）假设当m k =时，不等式成立，即(1)1kx kx ++≥，则当1m k =+时，1x >-∵，10x +>∴，于是在不等式(1)1k x kx ++≥两边同乘以1x +得2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k x x kx x k x kx k x ++++=+++++·≥≥，所以1(1)1(1)k x k x ++++≥．即当1m k =+时，不等式也成立．综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m ，不等式都成立．（Ⅱ）证：当6n m n ，≥≤时，由（Ⅰ）得111033mm n n ⎛⎫+-> ⎪++⎝⎭≥，于是11133n nmm n n ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭≤11132mn mn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，12m n =，，，． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当6n ≥时，2121111111113332222n nnnn n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2131333n nnn n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴． 即34(2)(3)nnn n n n ++++<+．即当6n ≥时，不存在满足该等式的正整数n ．故只需要讨论12345n =，，，，的情形： 当1n =时，34≠，等式不成立； 当2n =时，222345+=，等式成立； 当3n =时，33333456++=，等式成立；当4n =时，44443456+++为偶数，而47为奇数，故4444434567+++≠，等式不成立；当5n =时，同4n =的情形可分析出，等式不成立． 综上，所求的n 只有23n =，．解法2：（Ⅰ）证：当0x =或1m =时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当1x >-，且0x ≠时，2m ≥，(1)1mx mx +>+． ①（ⅰ）当2m =时，左边212x x =++，右边12x =+，因为0x ≠，所以20x >，即左边>右边，不等式①成立；（ⅱ）假设当(2)m k k =≥时，不等式①成立，即(1)1kx kx +>+，则当1m k =+时，因为1x >-，所以10x +>．又因为02x k ≠，≥，所以20kx >．于是在不等式(1)1kx kx +>+两边同乘以1x +得2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k x x kx x k x kx k x ++>++=+++>++·，所以1(1)1(1)k x k x ++>++．即当1m k =+时，不等式①也成立．综上所述，所证不等式成立．（Ⅱ）证：当6n ≥，m n ≤时，11132nn ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭∵，11132nm mn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<⎢⎥ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴， 而由（Ⅰ），111033mm n n ⎛⎫--> ⎪++⎝⎭≥， 1111332nnm m m n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴≤． （Ⅲ）解：假设存在正整数06n ≥使等式00000034(2)(3)nn n n n n ++++=+成立，即有0000002341333n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ② 又由（Ⅱ）可得00000234333n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭000000011111333n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭00011111112222n n n -⎛⎫⎛⎫<+++=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与②式矛盾． 故当6n ≥时，不存在满足该等式的正整数n ． 下同解法1．。
高考数学(湖北卷理科)(word版)含答案
绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工农医类）本试卷共4面，满分150分，考试时间120分钟★祝考试顺利★注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘巾在答题卡上指定位置。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上，对应题目的答案标号涂写，如写改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。
3. 非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字夂答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设a =(1,-2),b =(-3,4),c =(3,2),则(a +2b )·c =A.(-15,12)B.0C.-3D.-11 2. 若非空集合A ,B ,C 满足A ∪B=C ，且B 不是A 的子集，则 A.“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件 B. “x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件 C. “x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件D. “x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”必要条件3. 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的休积为A.38π B. 328πC.π28D. 332π 4. 函数f (x )=)4323(1122+--++-x x x x n x的定义域为A.(- ∞,-4)［∪2,+ ∞］B.(-4,0) ∪(0,1)C. ［-4,0］∪（0，1）］D. ［－4，0∪（0，1） 5.将函数y=3sin （x -θ）的图象F 按向量（3π，3）平移得到图象F ′,若F ′的一条对称轴是直线x=4π,则θ的一个可能取值是 A.π125 B. π125- C. π1211 D. π1211 6.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为A.540B.300C.180D.150 7.若f(x)=21ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是 A.[-1，+∞] B.（-1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-∞，-1）8.已知m ∈N*,a,b ∈R ，若0(1)limm x x ab x→++=,则a ·b = A ．-m B ．m C ．-1 D ．1 9.过点A （11，2）作圆22241640xy x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有A.16条B.17条C.32条D.34条10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a 1+c 1=a 2+c 2;②a 1-c 1=a 2-c 2;③c 1a 2＞a 1c 1;④31c c ＜22c a . 其中正确式子的序号是A.①③B.②③C.①④D.②④二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.11.设z 1=z 1-z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是-1，则z 2的虚部为 .12．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cosA+ca cosB+ab cosC 的值为 .13.已知函数f(x)=x 2+2x+a,f(bx)=9x-6x +2,其中x ∈R ，a ,b 为常数，则方程f (ax+b )=0的解集为 .14.已知函数f(x)=2x ,等差数列{a x }的公差为2.若f(a 2+a 4+a b +a 2+a 1)=4,则 Log 2[f(a 1)·f(a 2)·f(a)·…·f(a 10)]= . 15.观察下列等式：2122213222111,22111,326111,424ni ni n i i n n i n n n i n n n ====+=++=++∑∑∑ 444311111,52330ni i n n n n ==++-∑ 24,(1)(321),3n n n n a n b a n +-=--+ ……………………………………212112101,nkk k k k k k k k i ia n a n a n a n a n a +--+--==++++⋅⋅⋅++∑可以推测，当x ≥2（k ∈N*）时，1111,,12k k k a a a k +-===+a k -2= .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分） 已知函数f (t17()cos (sin )sin (cos ),(,).12g x x f x x f x x ππ=+∈ （Ⅰ）将函数g(x )化简成Asin(ωx +φ)+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式；（Ⅱ）求函数g(x )的值域. 17.（本小题满分12分）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（n =1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若η=a ξ-b ,E η=1,D η=11,试求a,b 的值.18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥侧面A 1ABB 1.（Ⅰ）求证：AB ⊥BC ；（Ⅱ）若直线AC 与平面A 1BC 所成的角为θ,二面角A 1-BC-A 的大小为φ的大小关系，并予以证明. 19.（本小题满分13分）如图，在以点O 为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线C 是满足||MA|-|MB||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P.（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F.若△OEF 的面积不小于l 斜率的取值范围. 20.(本小题满分12分)水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为V （t ）=12(1440)50,010,4(10)(341)50,1012.x t t e t t t t ⎧⎪-+-+≤⎨⎪--+≤⎩（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i-1＜t ＜t 表示第1月份（i=1,2,…,12）,同一年内哪几个月份是枯水期？（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）. 21.(本小题满分14分)已知数列{a n}和{b n}满足：a1=λ,a n+1=24,(1)(321),3nn n na nb a n+-=--+其中λ为实数，n为正整数.（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a n}不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{b n}是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a＜b,S n为数列{b n}的前n项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S n＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分50分. 1.C2.B3.B4.D5.A6.D7.C8.A9.C 10.B二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分. 11.1 12.612 13.∅ 14.-6 15. 12k ，0 三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）解：（Ⅰ）()cos sin g x x x =cos sin x x = 1sin 1cos cos sin .cos sin x xx x x x--=+17,,cos cos ,sin sin ,12x x x x x π⎛⎤∈π∴=-=- ⎥⎝⎦1sin 1cos ()cos sin cos sin x x g x x x x x --∴=+--sin cos 2x x =+-＝2.4x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭（Ⅱ）由1712x ππ≤＜，得55.443x πππ+≤＜ sin t 在53,42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，在35,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦上为增函数，又5535sinsin ,sin sin()sin 34244x πππππ∴≤+＜＜（当17,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦），即1sin()2)2344x x ππ-≤+≤+--＜＜，故g (x )的值域为)2,3.⎡-⎣17.本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分12分）解：（Ⅰ）ξ的分布列为：∴01234 1.5.22010205E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 2222211131(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5) 2.75.22010205ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（Ⅱ）由D a D η=ξ2，得a 2×2.75＝11，即 2.a =±又,E aE b η=ξ+所以当a =2时，由1＝2×1.5+b ,得b =-2;当a =-2时，由1＝-2×1.5+b ，得b =4.∴2,2a b =⎧⎨=-⎩或2,4a b =-⎧⎨=⎩即为所求.18.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分12分）（Ⅰ）证明：如右图，过点A 在平面A 1ABB 1内作 AD ⊥A 1B 于D ，则由平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1,且平面A 1BC 侧面A 1ABB 1=A 1B ,得AD ⊥平面A 1BC ,又BC ⊂平面A 1BC ， 所以AD ⊥BC .因为三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱， 则AA 1⊥底面ABC ， 所以AA 1⊥BC.又AA 1 AD =A ,从而BC ⊥侧面A 1ABB 1， 又AB ⊂侧面A 1ABB 1，故AB ⊥BC .（Ⅱ）解法1：连接CD ，则由（Ⅰ）知ACD ∠是直线AC 与平面A 1BC 所成的角，1ABA ∠是二面角A 1—BC —A 的平面角，即1,,ACD ABA ∠=θ∠=ϕ于是在Rt △ADC 中，sin ,AD AC θ=在Rt △ADB 中，sin ,ADABϕ= 由AB ＜AC ，得sin sin θϕ＜，又02πθϕ＜，＜，所以θϕ＜，解法2：由（Ⅰ）知，以点B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB 1所在的直线分 别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1=a ,AC =b , AB =c ,则 B (0,0,0), A (0,c,0),1(0,,),C A c a 于是1(0,,),BC BA c a ==1,0),(0,0,).AC c AA a =-=设平面A 1BC 的一个法向量为n =(x ,y ,z )，则由10,0,n BA n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0,0,cy az +=⎧ 可取n =(0,-a ,c )，于是0n AC ac AC = ＞，与n 的夹角β为锐角，则β与θ互为余角.sin cos n AC n AC θ-β==11cos BA BA BA BA ϕ==所以sin ϕ= 于是由c ＜b，得即sin sin ,θϕ＜又0,2πθϕ＜，＜所以,θϕ＜ 19.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）（Ⅰ）解法1：以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A （-2，0），B （2，0），D (0,2),P （1,3），依题意得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＝221321)32(2222＝）（+--++＜｜AB ｜＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.设实平轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c ＝2，2a ＝22，∴a 2=2,b 2=c 2-a 2=2.∴曲线C 的方程为12222=-y x . 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＜｜AB ｜＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.设双曲线的方程为a by a x (12222=-＞0，b ＞0）.则由.4,11)3(222222=+=-b a ba 解得a 2=b 2=2, ∴曲线C 的方程为.12222=-y x(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理得（1-K 2）x 2-4kx-6=0.∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴,0)1(64)4(,01222>-⨯+-=∆≠-k k k ⇔.33,1<<-±≠k k∴k ∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）.设E （x ，y ），F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=k x x kk --=-16,14212,于是 ｜EF ｜＝2212221221))(1()()(x x k x y x x -+=++-＝.132214)(1222212212kk k x x x x k --⋅+=-+⋅+而原点O 到直线l 的距离d ＝212k+，∴S △DEF =.132213221122121222222kk k k k k EF d --=--⋅+⋅+⋅=⋅若△OEF 面积不小于22,即S △OEF 22≥，则有解得.22,022********2≤≤-≤--⇔≥--k k k kk ③ 综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪(1-,1) ∪(1, 2).解法2：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理， 得（1-K 2）x 2-4kx -6=0.∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ， ∴.0)1(64)4(,01222>-⨯+-=∆≠-k k k ⇔33,1<<-±≠k k .∴k ∈（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）.设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则由①式得 ｜x 1-x 2｜=.132214)(22221221kk kx x x x --=-∆=-+ ③当E 、F 在同一去上时（如图1所示）， S △OEF ＝;21212121x x OD x x OD S S ODE ODF -⋅=-⋅=-∆∆ 当E 、F 在不同支上时（如图2所示）.+=∆∆O D F O EF S S S △ODE =.21)(212121x x OD x x OD -⋅=+⋅ 综上得S △OEF ＝,2121x x OD -⋅于是 由｜OD ｜＝2及③式，得S △OEF =.132222k k --若△OEF 面积不小于2则有即,22,2≥∆O EF S.22,022*******2≤≤-≤-⇔≥--k k k k k 解得 ④综合②、④知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2）.20.本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.（满分12分）解：（Ⅰ）①当0＜t ≤10时，V (t )=(-t 2+14t -40),5050441<+e化简得t 2-14t +40>0,解得t ＜4，或t ＞10，又0＜t ≤10，故0＜t ＜4.②当10＜t ≤12时，V （t ）＝4（t -10）（3t -41）+50＜50, 化简得（t -10）（3t -41）＜0, 解得10＜t ＜341，又10＜t ≤12,故 10＜t ≤12. 综合得0<t <4,或10<t 12,故知枯水期为1月，2月，，3月，4月，11月，12月共6个月. (Ⅱ)(Ⅰ)知：V (t )的最大值只能在（4，10）内达到.由V ′（t ）=),8)(2(41)42341(41241-+-=++-t t c t t c tt令V ′(t )=0,解得t=8(t=-2舍去).故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米21.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛a n ｝是等比数列，则有a 22=a 1a 3,即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾. 所以｛a n ｝不是等比数列.(Ⅱ)解：因为b n +1=(-1)n +1［a n +1-3(n -1)+21］=(-1)n +1(32a n -2n +14) =32(-1)n ·（a n -3n +21）=-32b n 又b 1x -(λ+18),所以当λ＝－18，b n =0(n ∈N +),此时｛b n ｝不是等比数列：当λ≠－18时，b 1=(λ+18) ≠0,由上可知b n ≠0，∴321-=+n a b b (n ∈N +). 故当λ≠-18时，数列｛b n ｝是以－（λ＋18）为首项，－32为公比的等比数列.(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,b n =0,S n =0,不满足题目要求. ∴λ≠-18，故知b n = -（λ+18）·（－32）n -1，于是可得 S n =-.321·)18(53⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n ）－（－ λ 要使a <S n <b 对任意正整数n 成立， 即a <-53(λ+18)·［1－（－32）n ］〈b(n ∈N +) ，则令 得)2(1)()32(1)18(53)32(1--=--<+-<--n f b a nn λ ① 当n 为正奇数时，1<f (n ),1)(95;35<≤≤n f n 为正偶数时，当 ∴f (n )的最大值为f (1)=35,f (n )的最小值为f (2)= 95,于是，由①式得95a <-53(λ+18),<.1831853--<<--⇔a b b λ 当a <b ≤3a 时，由－b -18≥=-3a -18，不存在实数满足题目要求；当b >3a 存在实数λ，使得对任意正整数n ,都有a <S n <b ,且λ的取值范围是（－b -18,-3a -18）.。
高考理科数学试题全国卷1及解析word完美版
普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本大题共12小题， 每小题5分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1、设集合A={x|x 2–4x+3<0}， B={x|2x –3>0}， 则A∩B= ( )A ．(–3,–32)B ．(–3,32)C ．(1,32)D ．(32,3) 2、设(1+i)x=1+yi ， 其中x ， y 是实数， 则|x+yi|=( ) A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．23、已知等差数列{a n }前9项的和为27， a 10=8， 则a 100= ( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．974、某公司的班车在7:00， 8:00， 8:30发车， 小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车， 且到达发车站的时刻是随机的， 则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A ．13B ．12C ．23D ．345、已知方程x 2m 2+n –y 23m 2–n =1表示双曲线， 且该双曲线两焦点间的距离为4， 则n 的取值范围是( ) A ．(–1,3) B ．(–1,3) C ．(0,3) D ．(0,3)6、如图， 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是28π3， 则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π 7、函数y=2x 2–e |x|在[–2,2]的图像大致为( )A ．B ．C ．D ．8、若a>b>1， 0<c<1， 则( )A ．a c <b cB ．ab c <ba cC ．alog b c<blog a cD ．log a c<log b c9、执行下左1图的程序图， 如果输入的x=0， y=1， n=1， 则输出x ， y 的值满足( ) A ．y=2x B ．y=3x C ．y=4x D ．y=5x10、以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点， 交C 的准线于D 、E 两点．已知|AB|=42， |DE|=25， 则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．811、平面a 过正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的顶点A ， a//平面CB 1D 1， a∩平面ABCD=m ， a∩平面ABB 1A 1=n ， 则m 、n 所成角的正弦值为( )A ．32B ．22C ．33D ．1312、已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0， |φ|≤π2)， x=–π4为f(x)的零点， x=π4为y=f(x)图像的对称轴， 且f(x)在(π18,5π36)单调， 则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5 二、填空题：本大题共4小题， 每小题5分13、设向量a =(m,1)， b =(1,2)， 且|a +b |2=|a |2+|b |2， 则m=________________． 14、(2x+x)5的展开式中， x 3的系数是_________ (用数字填写答案)．15、设等比数列满足{a n }满足a 1+a 3=10， a 2+a 4=5， 则a 1a 2…a n 的最大值为___________．16、某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ， 乙材料1kg ， 用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ， 乙材料0.3kg ， 用3个工时， 生产一件产品A 的利润为2100元， 生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ， 乙材料90kg ， 则在不超过600个工时的条件下， 生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为___________元． 三、解答题：解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤． (必考题)17、(本题满分为12分)△ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别别为a ， b ， c ， 已知2cosC(acosB+bcosA)=c ． (1)求C ；(2)若c=7， △ABC 的面积为332， 求△ABC 的周长． 18、(本题满分为12分)如上左2图， 在已A ， B ， C ， D ， E ， F 为顶点的五面体中， 面ABEF 为正方形， AF=2FD ， ∠AFD=90°， 且二面角D –AF –E 与二面角C –BE –F 都是60°． (1)证明；平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2)求二面角E –BC –A 的余弦值．19、(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如上左3图柱状图．以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？20、(本小题满分12分)设圆x2+y2+2x–15=0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D 两点，过B作AC的平行线交AD于点E．(1)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．21、(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x–2)e x+a(x–1)2有两个零点．(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是的两个零点，证明：x1+x2<2．(选考题)请考生在22、23、24题中任选一题作答， 如果多做， 则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号 22、(本小题满分10分)[选修4–1：几何证明选讲]如图， △OAB 是等腰三角形， ∠AOB=120°．以O 为圆心， 12OA 为半径作圆．(1)证明：直线AB 与⊙O 相切(2)点C ， D 在⊙O 上， 且A ， B ， C ， D 四点共圆， 证明：AB ∥CD ．23、(本小题满分10分)[选修4–4：坐标系与参数方程]在直线坐标系xoy 中， 曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x=acosty=1+asint (t为参数， a>0)．在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中， 曲线C 2：ρ=4cosθ． (1)说明C 1是哪种曲线， 并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ=a 0， 其中a 0满足tan=2， 若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上， 求a ．24、(本小题满分10分)[选修4–5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x+1|–|2x –3|． (1)在答题卡第(24)题图中画出y= f(x)的图像； (2)求不等式|f(x)|>1的解集．理科数学参考答案 一、选择题：1、D2、B3、C4、B5、A6、A7、D8、C9、C 10、B 11、A 12、B 二、填空题： 13、–2 14、1015、64 16、216000 三、解答题：17、解：(1)由已知及正弦定理得， 2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC ， 即2cosCsin(A+B)=sinC ， 故2sinCcosC=sinC ．可得cosC=12， 所以C=π3．(2)由已知， 12absinC=332．又C=π3， 所以ab=6．由已知及余弦定理得， a 2+b 2–2abcosC=7， 故a 2+b 2=13， 从而(a+b)2=25．所以△ABC 的周长为5+7．18、解：(1)由已知可得AF ⊥DF ， AF ⊥FE ， 所以AF ⊥平面EFDC ． 又F A ⊂平面ABEF ， 故平面ABEF ⊥平面EFDC ．(2)过D 作DG ⊥EF ， 垂足为G ， 由(I)知DG ⊥平面ABEF ．以G 为坐标原点， 向量GF 的方向为x 轴正方向， |GF |为单位长度， 建立如图所示的空间直角坐标系G –xyz ． 由(1)知∠DFE 为二面角D –AF –E 的平面角， 故∠DFE=60°， 则|DF|=2， |DG|=3， 可得A(1,4,0)， B(–3,4,0)， E(–3,0,0)， D(0,0,3)．由已知， AB ∥EF ， 所以AB ∥平面EFDC ．又平面ABCD∩平面EFDC=DA ， 故AB ∥CD ， CD ∥EF ． 由BE ∥AF ， 可得BE ⊥平面EFDC ， 所以∠CEF 为二面角C –BE –F 的平面角， ∠CEF=60°．从而可得C(–2,0,3)． 所以向量EC =(1,0,3)， EB =(0,4,0)， AC =(–3,–4,3)， AB =(–4,0,0)．设n =(x,y,z)是平面BCE 的法向量， 则⎩⎨⎧n ·EC =0n ·EB =0， 即⎩⎨⎧x+3z=04y=0， 所以可取n =(3,0,–3)．设m 是平面ABCD 的法向量， 则⎩⎨⎧m ·AC =0m ·AB =0， 同理可取m =(0,3,4)．则cos<n ,m >=–21919． 故二面角E –BC –A 的余弦值为–219．9、解：(1)由柱状图并以频率代替概率可得， 一台机器在三年内需更换的易损零件数为8， 9， 10， 11的概率分别为0.2， 0.4， 0.2， 0.2， 从而：P(X=16)=0.2×0.2=0.04； P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16； P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24；P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24； P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2； P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08；19． (3)记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n=19时， EY=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4040． 当n=20时， EY=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4080． 可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值， 故应选n=19．20、解：(1)∵|AD|=|AC|， EB ∥AC ， 故∠EBD=∠ACD=∠ADC ， ∴|EB|=|ED|， 故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|． 又圆A 的标准方程为(x+1)2+y 2=16， 从而|AD|=4， 所以|EA|+|EB|=4．由题设得A(–1,0)， B(1,0)， |AB|=2， 由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 24+y 23=1(y≠0)．(2) 设l 的方程为y=k(x –1)(k≠0)， M(x 1,y 1)， N(x 2,y 2)．由(4k 2+3)x 2–8k 2x+4k 2–12=0．∴x 1+x 2=8k 24k 2+3， x 1x 2=4k 2–124k 2+3．∴|MN|=1+k 2|x1–x2|=12(k 2+1)4k 2+3．过点B(1,0)且与l 垂直的直线m ：y=–1k (x –1)， A 到m 的距离为2k 2+1， 所以|PQ|=242–(2k 2+1)2=44k 2+3k 2+1．故四边形MPNQ 的面积S=12|MN||PQ|=121+14k 2+3．可得当l 与x 轴不垂直时， 四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．当l 与x 轴垂直时， 其方程为x=1， |MN|=3， |PQ|=8， 四边形MPNQ 的面积为12． 综上， 四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．21、解：(1)f'(x)=(x –1)e x +2a(x –1)=(x –1)(e x +2a)． ①设a=0， 则f(x)=(x –2)e x ， f(x)只有一个零点．②设a>0， 则当x ∈(–∞,1)时， f'(x)<0；当x ∈(1,+∞)时， f'(x)>0．所以f(x)在(–∞,1)上单调递减， 在(1,+∞)上单调递增．又f(1)=–e ， f(2)=a ， 取b 满足b<0且b<ln a 2， 则f(b)>a 2(b –2)+a(b –1)2=a(b 2–32b)>0， 故f(x)存在两个零点． ③设a<0， 由f'(x)=0得x=1或x=ln(–2a)．若a≥–e2， 则ln(–2a)≤1， 故当x ∈(1,+∞)时， f'(x)>0， 因此f(x)在(1,+∞)上单调递增．又当x ≤1时， f(x)<0， 所以f(x)不存在两个零点．若a<–e2， 则ln(–2a)>1， 故当x ∈(1,ln(–2a))时， f'(x)<0；当x ∈(ln(–2a),+∞)时， f'(x)>0．因此f(x)在(1,ln(–2a))单调递减， 在(ln(–2a),+∞)单调递增．又当x≤1时， f(x)<0， 所以f(x)不存在两个零点． 综上， a 的取值范围为(0,+∞)．(2)不妨设x 1<x 2， 由(1)知x 1∈(–∞,1)， x 2∈(1,+∞)， 2–x 2∈(–∞,1)， f(x)在(–∞,1)上单调递减， 所以x 1+x 2<2等价于f(x 1)>f(2–x 2)， 即f(2–x 2)<0．由于f(2–x 2)=–x 2e 2–x2+a(x 2–1)2， 而f(x 2)=(x 2–2)e x2+a(x 2–1)2=0， 所以f(2–x 2)=–x 2e 2–x2–(x 2–2)e x2． 设g(x)=–xe 2–x –(x –2)e x ， 则g'(x)=(x –1)(e 2–x –e x )．所以当x>1时， g'(x)<0， 而g(1)=0， 故当x>1时， g(x)<0．从而g(x 2)=f(2–x 2)<0， 故x 1+x 2<2．22、解：(1)设E 是AB 的中点， 连结OE ，因为OA=OB ， ∠AOB=120°， 所以OE ⊥AB ， ∠AOE=60°．在Rt △AOE 中， OE=12AO ， 即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径， 所以直线AB 与⊙O 相切．EO'DCO BA(2)因为OA=2OD ， 所以O 不是A ， B ， C ， D 四点所在圆的圆心， 设O'是A ， B ， C ， D 四点所在圆的圆心， 作直线OO'．由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上， 又O'在线段AB 的垂直平分线上， 所以OO'⊥AB ． 同理可证， OO'⊥CD ．所以AB ∥CD ． 24、解：(1)如图：(2)f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x –4(x ≤–1)3x –2(–1<x<32)4–x(x≥32)， 又∵|f(x)|>1． 当x≤–1， |x –4|>1， 解得x>5或x<3， ∴x≤–1． 当–1<x<32， |3x –2|>1， 解得x>1或x<13．∴–1<x<13或1<x<32．当x≥32， |4–x|>1， 解得x>5或x<3， ∴32≤x<3或x>5．综上， x<13或1<x<3或x>5．∴|f(x)|>1， 解集为(–∞,13)∪(1,3)∪(5,+∞)．23、解：(1)⎩⎨⎧x=acosty=1+asint (t 为参数)， ∴x 2+(y –1)2=a 2①∴C 1为以(0,1)为圆心， a 为半径的圆， 方程为x 2+y 2–2y+1–a 2=0．∵x 2+y 2+ρ2， y =ρsinθ， ∴ρ2–2ρsinθ+1–a 2=0即为C 1的极坐标方程．(2)C 2：ρ=4cosθ， 两边同乘ρ得ρ2=4ρcosθ， ∴ρ2=x 2+y 2， ρcosθ=x ， ∴x 2+y 2=4x ， 即(x –2)2+y 2=4② C 3：化为普通方程为y=2x ．由题意：C 1和C 2的公共方程所在直线即为C 3， ①–②得：4x –2y+1–a 2=0， 即为C 3．∴1–a 2=0， ∴a=1．。
普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)理科数学试题及答案汇编
普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 【答案】A【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-，共轭复数为i ，故选A ．【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．（2）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）（A ）134石 （B ）169石 （C ）338石 （D ）1365石 【答案】B【解析】依题意，这批米内夹谷约为281534169254⨯=石，故选B ． 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．（3）已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）（A ）122（B ）112（C ）102（D ）92【答案】D【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以37n n C C =，解得10n =，所以二项式(1)n x +中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=，故选D ．【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用 以及计算能力．（4）设211(,)XN μσ，222(,)YN μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）（A ）21()()P Y P Y μμ≥≥≥ （B ）21()()P X P X σσ≤≤≤（C ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ （D ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥【答案】C【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称，所以12μμ<，从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤，故选C ．【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．（5）设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（ ）（A ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （B ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （C ）p 是q 的充分必要条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a 成等比数列，则公比()13nn a q n a -=≥且0n a ≠； 对命题q ，①当时，成立；②当时，根据柯西不等式，等式成立，则，所以成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要 条件．故选A ．（6）【2015年湖北，理6，5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）（A ）sgn[()]sgn g x x = （B ）sgn[()]sgn g x x =- （C ）sgn[()]sgn[()]g x f x = （D ）sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令()f x x =，所以()()1g x a x =-，因为1a >，所以()g x 是R 上的减函数，由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩，故选B ．（7）【2015年湖北，理7，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件0=n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++0≠n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==12,,,n a a a“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ） （A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p << （D ）321p p p << 【答案】B【解析】因为[],0,1x y ∈，对事件“12x y -≥”如图（1）阴影部分1S ， 对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ， 对事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ， 由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111⨯=，根据几何概型公式可得231p p p <<，故选B ．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小． （8）【2015年湖北，理8，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < （C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D【解析】依题意，1e =2e ==因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >，当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e <；当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．（9）【2015年湖北，理9，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ） （A ）77 （B ）49 （C ）45 （D ）30【答案】C【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点）， 即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即 25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个，故选C ．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．（10）【2015年湖北，理10，5分】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<，由2[]2t =得223t ≤<，由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，可得22t ≤<所以22t ≤<由3[]3t =得334t ≤<，所以56t ≤<55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<，与56t ≤<n 的最大值是4，故选B ．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．．．．．．．．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11-14题）（11）【2015年湖北，理11，5分】已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅= ． 【答案】9【解析】因为OA AB ⊥，3OA =，()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．（12）【2015年湖北，理12，5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ． 【答案】2【解析】因为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图，由图知，两函数图像右2个交点， 所以函数()f x 由2个零点．【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．（13）【2015年湖北，理13，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶 在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m ．【答案】【解析】依题意，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，在ABC ∆中，由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒，所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒，即300BC =m ，在Rt BCD ∆中，因为30CBD ∠=︒，BC =，所以tan30CD BC ︒==，所以CD =m ． 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．（14）【2015年湖北，理14，5分】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（1）圆C 的标准．．方程为 ；（2）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 ． （写出所有正确结论的序号）【答案】（1）()(2212x y -+=；（2）①②③【解析】（1）依题意，设()1,C r （r 为圆的半径），因为2AB =，所以r =，所以圆心(C ，故圆的标准方程为()(2212x y -+=．（2）解法一：联立方程组()(2212x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得01x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或01x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为B 在A 的上方，所以()1A，()1B ，领直线MN 的方程为0x =，此时()0,1M -，()0,1N ，所以MA =2MB =2NA =-NB =1NA NB==，1MA MB==，所以NA MA NB MB =所以)112NB MA NAMB-==-=，)11NB MA NAMB+==+=解法二：因为圆心(C，(E ∴，又2AB =，且E 为AB 中点，∴()1A，()1B ，M ，N 在圆22:1O x y +=，∴可设()cos ,sin M αα，()cos ,sin N ββ，NA ∴===NB ∴===1NA NB∴===，同理1MA MB=-．所以NAMA NBMB=，所以)112NB MA NA MB -=+-=，)11NB MA NAMB+==+=正确结论的序号是①②③．【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题． （一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．） （15）【2015年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=_______． 【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割定理知，()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+，因为3BC PB =，所以224PA PB =，即2PA PB =，由A PAB PC ∆∆∽，所以12AB PB AC PA ==． 【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力．（16）【2015年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ，B 两点，则||AB = ．【答案】【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=，所以sin 3cos 0ρθρθ-=，所以30y x -=，即3y x =；由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去t得224y x -=，联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩，解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即22A ⎝⎭，22B ⎛-- ⎝⎭，由两点间的距离公式得AB =． 【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题． 三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2015年湖北，理17，11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1．．．．．．．．．．．（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象． 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 解：（1）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-．数据补全如下表：且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-．（2）由（1）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5s i n (22)6g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ． 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ．由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称， 令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ． 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6．【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．（18）【2015年湖北，理18，12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公、比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．解：（1）由题意知：1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩，得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=， 于是2341357921122222n n n T --=+++++① 2345113579212222222nnn T -=+++++② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-，故12362nn n T -+=-． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． （19）【2015年湖北，理19，12分】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE ．（1）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由； （2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值． 解：解法一：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC PCD ⊥平面． 而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥． 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点， 所以DE PC ⊥． 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC ． 而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥．又PB EF ⊥，DEEF E =，所以PB ⊥平面DEF ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD的交线．由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥． 又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD DG ⊥． 而PD PB P =，所以DG PBD ⊥平面．故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，有BD =Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 πtantan 3BD DPF PD=∠==, 解得λ所以12DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，2DC BC =． 解法二：（1）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ， (,1,1)PB λ=-，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE =，于是 0PB DE ⋅=，即PB DE ⊥． 又已知EF PB ⊥，而DE EF E =，所以PB DEF ⊥平面． 因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑， 四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量；由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量． 若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则π1cos 32||||BP DP BP DP λ⋅===⋅，解得λ． 所以12DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，2DC BC =． 【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题． （20）【2015年湖北，理20，12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利 1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过 12小时． 假定每天可获取的鲜牛奶数量W （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为Z（单位：元）是一个随机变量．（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．解：（1）设每天,A B两种产品的生产数量分别为,x y，相应的获利为z，则有2 1.5,1.512,20,0,0.x y Wx yx yx y+≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩（1）目标函数为10001200z x y=+．当12W=时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C．将10001200z x y=+变形为561200zy x=-+，当 2.4, 4.8x y==时，直线l：561200zy x=-+在y轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z==⨯+⨯=．当15W=时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C．将10001200z x y=+变形为561200zy x=-+，当3,6x y==时，直线l：561200zy x=-+在y轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z==⨯+⨯=．当18W=时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D．将10001200z x y=+变形为561200zy x=-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．故最大获利Z 的分布列为（2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力． （21）【2015年湖北，理21，14分】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求曲线C 的方程；（2）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值； 若不存在，说明理由．解：（1）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN=，且||||1DN ON ==，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且2200220()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入2201x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为221.164x y +=（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．②当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m mQ k k -++．由原点O 到直线PQ的距离为d =和|||P Q PQ x x -，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-． ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--． 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--．因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k ∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．（22）【2015年湖北，理22，14分】已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ，e 为自然对数的底数．（1）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n +与e 的大小；（2）计算11b a ，1212b ba a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212nnb b b a a a 的公式，并给出证明； （3）令112()nn n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ，证明：e n n T S <．解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-．当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增；当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减． 故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞．当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e xx +<． 令1x n=，得111e n n +<，即1(1)e n n +<． ①（2）11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=； 2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=． 由此推测：1212(1).n nnb b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②．①当1n =时，左边=右边2=，②成立． ②假设当n k =时，②成立，即1212(1)k kkb b b k a a a =+． 当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++．所以当1n k =+时，②也成立． 根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立．（3）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n=++++++12e e e n a a a <+++=e n S ．即e n n T S <．【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．。
湖北省高考理科数学试题与详细答案
绝密★启用前试卷种类：B2018 年一般高等学校招生全国一致考试 ( 湖北卷 )数 学( 理工农医类 )本试卷卷共 4 页，三大题 21 小题。
全卷满分 150 分。
考试用时 120 分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1 答题前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在试卷卷和答题卡上．并将准考据号条形码粘贴在答题卡上的指定地点，用2B 铅笔将答题卡上试卷种类B 后的方框涂黑。
2 选择题的作答：每题选 出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。
咎在试卷卷、底稿纸上无效。
3 填空题和解答题用 0.5 毫 M 黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题地区内。
答在试卷卷、底稿纸上无效。
4 考生一定保持答题卡的整齐。
考试结束后，请将本试卷卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共 l0 小题．每题 5 分，共 50 分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项知足题目要求的 .1. 若 i 为虚数单位，图中复平面内点z 表示复数 z ，则表示复数z 的点是1 i2. 设会合 A={( x, y) |x 2y 2 1} ，416B={( x, y) | y3x } , 则 A ∩ B 的子集的个数是3. 在△ ABC 中， a=15， b=10, ∠A= 600 ，则 cos BA.2 2 B. 2 2 C. 6 D. 63 3334 扔掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 A ，“骰于向上的点数是 3”为事件 B ，则事件 A ， B 中起码有一件发生的概率是A.5B.1 C. 7 D. 3122 12 4已知 VABC 和点 M 知足 uuur uuur uuur uuur uuur uuur 5 MA MB MC 0 . 若存在实数 m 使得 AB AC mAM建立，则 m =A ． 2B. 3C. 4D. 56 将参加夏令营的 600 名学生编号为： 001， 002， ， 600. 采纳系统抽样疗法抽取一个容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为003. 这 600 名学生疏住在三个营区，从001到 300 在第 1 营区，从301 到 495 在第Ⅱ营区，从496 到 600 在第Ⅲ营区 . 三个营区被抽中的人数挨次为A ． 26,16,8 B. 25,17,8 C. 25,16,9 D. 24,17, 97 如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，这样无穷持续下去. 设S n为前n个圆的面积之和，则lim S nxA ．2r 2B.8r 23C. 4r 2D. 6r 28 现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作起码有一人参加. 甲、乙不会开车但能从事其余三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不一样安排方案的种数是A．1529 若直线y x b 与曲线y34x x2有公共点，则b的取值范围是A ．1,122 B. 122,122C. 1 2 2,3D. 12,310 ．记实数x1， x2，， x n中的最大数为 max x1, x2 , , x n，最小数为min x1, x2 , , x n. 已知V ABC的三边长为a, b,c(a b c) ，定义它的倾斜度为l max a , b , c min a , b , cb c a b c a则“ l1”是“ V ABC 为等边三角形”A. 必需而不充足的条件B.充足而不用要的条件C. 充要条件D. 既不充足也不用要的条件二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，共25 分 . 请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后序次填写. 答错地点，书写不清，含糊其词均不得分11. 在( x4 3y)20睁开式中，系数为有理数的项共有项.y x,12 己知z2x y ，式中变量 x, y 知足拘束条件 x y 1,则z的最大值为.x2,13．圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个同样的球（球的半径与圆柱的底面半径同样）后，水恰巧吞没最上边的球（以下图)，则球的半径是cm．14．某射手射击所得环数的散布列以下：已知的希望 E8.9 ，则y的值为．15．设a＞0，b＞0，称2ab为 a， b 的调解均匀数．如图，C a b为线殴 AB 上的点，且AC=a， CB=b， O 为 AB 中点，以 AB 为直径作半圆．过点 C 作 OD 的垂线，垂足为E．连接 OD， AD，BD ．过点 C 作 OD 的垂线，垂足为E．则图中线段 OD 的长度是a， b 的算术均匀数，线段的长度是a， b 的几何均匀数，线段的长度是a，b 的调解均匀数．三、解答题：本大题共 6 小题，共75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12 分）已知函数 f x cos x cos x， g x 1sin 2x1．3324（Ⅰ）求函数 f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数h x f x g x 的最大值，并求使h x 获得最大值的x 的会合．17．（本小题满分12分）为了在夏天降平和冬天供暖时减少能源消耗，房子的屋顶和外墙需要建筑隔热层．某幢建筑物要建筑可使用20年的隔热层，每厘 M 厚的隔热层建筑成本为 6 万元．该建筑物每年的能源耗费资用C（单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm）知足关系：k0x10 ，若不建隔热层，每年能源耗费资用为8 万元．设f x为隔C x53x热层建筑花费与20 年的能源耗费资用之和．（Ⅰ）求 k 的值及 f x 的表达式；（Ⅱ）隔热层修筑多厚对，总花费 f x 达到最小，并求最小值．18. (本小题满分 12 分 )如图 , 在四周体 ABOC 中， OC ⊥ OA, OC ⊥ OB,∠ AOB=120°，且 OA=OB=OC=1.( Ⅰ ) 设 P 为 AC 的中点 . 证明：在 A B 上存在一点 Q,使 PQ ⊥ OA,并计算 =AB的值；AQ( Ⅱ ) 求二面角 O-AC-B 的平面角的余弦值 .19.(本小题满分 12 分 )已知一条曲线 C 在 y 轴右侧， C 上没一点到点 F(1,0) 的距离减去它到 y 轴距离的差是 1.( Ⅰ) 求曲线 C 的方程； ( Ⅱ ) 能否存在正数m ，关于过点 M(m,0) 且与曲线 C 有连个交点A,B 的任向来线，都有FA FB ﹤ 0 ? 若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明原因.20.(本小题满分 13 分 )an知足:a113 1 a n 12 1anbn知足：已知数列2,an1 ,a n a n 1 0 n 1；数列1a n 1bn = a n 12- a n 2 （ n ≥1） .( Ⅰ ) 求数列an，bn的通项公式。
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湖北省理科数学高考试题一．选择题 1．在复平面内，复数21iz i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2．已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B =（ ）A.{}|0x x ≤B.{}|24x x ≤≤C. {}|024x x x ≤<>或D.{}|024x x x <≤≥或3．在一次跳伞训练中，甲．乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A.()()p q ⌝∨⌝ B. ()p q ∨⌝ C. ()()p q ⌝∧⌝ D.p q ∨ 4．将函数()3cos sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A.12πB.6πC.3πD.56π5．已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D. 离心率相等6．已知点()1,1A -．()1,2B ．()2,1C --．()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）[来源：] A.322 B.3152 C. 322- D.3152- 7．一辆汽车在高速公路上行驶，因为遇到紧急情况而刹车，以速度()25731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止。
在此期间汽车继续行驶的距离（单位;m ）是（ ）A. 125ln5+B. 11825ln 3+ C. 425ln5+ D. 450ln 2+8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）A. 1243V V V V <<<B. 1324V V V V <<<C. 2134V V V V <<<D. 2314V V V V <<<9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。
经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X ，则X 的均值为()E X =[来源：Z+xx+] A.126125 B. 65 C. 168125 D. 7510．已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则（ ）[来源：学科网ZXXK]A.121()0,()2f x f x >>- B. 121()0,()2f x f x <<- C.121()0,()2f x f x ><-D. 121()0,()2f x f x <>-二．填空题[来源：学科网]11．从某小区抽取100户居民实行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示。
（I ）直方图中x 的值为 ； （II ）在这些用户中，用电量落在区间[)100,250内的户数为 。
12i = 。
13．设,,x y z R ∈，且满足：2221x y z ++=，2314x y z ++=，则x y z ++= 。
14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。
如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+。
记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 ()211,322N n n n =+ 正方形数 ()2,4N n n = 五边形数 ()231,522N n n n =- 六边形数 ()2,62N n n n =- ……能够推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = 。
选考题15．如图，圆O 上一点C 在直线AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E 。
若3AB AD =，则CEEO的值为 。
否1i i =+?4a =10, 1a i == 开始是结束a 是奇数?31a a =+2a a =是否输出i16．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩()0a b ϕ>>为参数，。
在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为2sin 42m πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()m 为非零常数与b ρ=。
若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 。
三．解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c 。
已知()cos23cos 1A B C -+=。
（I ）求角A 的大小；（II ）若ABC ∆的面积53S =，5b =，求sin sin B C 的值。
18．已知等比数列{}n a 满足：2310a a -=，123125a a a =。
（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）是否存有正整数m ，使得121111ma a a +++≥？若存有，求m 的最小值；若不存有，说明理由。
19．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点。
[来源：Z*xx*]（I ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（II ）设（I ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =。
记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=。
OD E BA第15题图C20．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布()2800,50N 的随机变量。
记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p 。
（I ）求0p 的值；（参考数据：若()2,XN μσ，有()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=。
）（II ）某客运公司用A ．B 两种型号的车辆承担甲．乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A ．B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆。
公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆。
若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备A 型车．B 型车各多少辆？[来源：]21．如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2n ()m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D 。
记mnλ=，BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S 。
（I ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（II ）当λ变化时，是否存有与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由。
第19题图22．设n 是正整数，r 为正有理数。
（I ）求函数()()1()111(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；（II ）证明：()()11111111r r r r r n n n n n r r ++++--+-<<++；（III ）设x R ∈，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，4π=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥。
令3333818283125S =+++，求S ⎡⎤⎢⎥的值。
（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈）Ox yBA 第21题图CDMN参考答案一、选择题[来源：学科网ZXXK] 1．D 2．C 3．A 4．B 5．D6．A [来源：Z 。
xx 。
] 7．C [来源：学科网ZXXK] 8．C 9．B 10．D11．0.0044；70 12． 5 13．314714．1000 15．8 16．617．解：（I ）由已知条件得：cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=，解得1cos 2A =，角60A =︒ （II ）1sin 532S bc A ==4c ⇒=，由余弦定理得：221a =，()222228sin a R A == 25sin sin 47bc B C R ∴== 18．解：（I ）由已知条件得：25a =，又2110a q -=，13q ∴=-或，所以数列{}n a 的通项或253n n a -=⨯（II ）若1q =-，12111105m a a a +++=-或，不存有这样的正整数m ； 若3q =，12111919110310mm a a a ⎡⎤⎛⎫+++=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，不存有这样的正整数m 。
19．解：（I ）EF AC ，AC ABC ⊆平面，EF ABC ⊆平面EF ABC ∴平面又EF BEF ⊆平面∴[来源：学§科§网Z§X§X§K]EF l∴平面l PAC（II）连接DF，用几何方法很快就能够得到求证。
（这个题用几何方法较快，向量的方法很麻烦，特别是用向量不能方便的表示角的正弦。
个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差。
）20．解：（I ）010.50.95440.97722p =+⨯= （II ）设配备A 型车x 辆，B 型车y 辆，运营成本为z 元，由已知条件得2136609007,x y x y y x x y N +≤⎧⎪+≥⎪⎨-≤⎪⎪∈⎩，而16002400z x y =+作出可行域，得到最优解5,12x y ==。
所以配备A 型车5辆，B 型车12辆可使运营成本最小。
21．解：（I ）12S S λ=()m n m n λ⇒+=-，1111m n m nλλλ++∴==--解得：1λ=+（舍去小于1的根）（II ）设椭圆()22122:1x y C a m a m +=>，22222:1x y C a n+=，直线l ：ky x =22221ky x x y am =⎧⎪⎨+=⎪⎩2222221a m k y a m +⇒=A y ⇒=同理可得，B y =又BDM ∆和ABN ∆的的高相等12B D B AA B A BS BD y y y y S AB y y y y -+∴===-- 如果存有非零实数k 使得12S S λ=，则有()()11A B y y λλ-=+，即：()()222222222211a n k a n kλλλλ-+=++，解得()()2222232114a k n λλλλ--+= ∴当1λ>+时，20k >，存有这样的直线l；当11λ<≤+时，20k ≤，不存有这样的直线l 。