正态分布课件
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高中数学选修2-3课件2.4《正态分布》课件
重点一：熟记正态分布的函数表达式及正态曲线的
特点
B
例1、下列函数是正态密度函数的是（ ）
A. f (x)
1
(x )2
e 2 2 , , ( 0)都是实数
2
B.
f (x)
2
x2
e2
2
C. f (x)
1
( x1)2
e4
2 2
D. f (x)
1
x2
e2
2
练习1、若标准正态总体的函数为
1
x2
数的最大值等于 的解析式。 4
1
2
，求该正态分布的概率密度函数
2、如图，是一个正态曲线， 试根据图象写出其正态分布 的概率密度函数的解析式， 求出总体随机变量的期望和 方差。
y
1
2
5 10 15 20 25 30 35 x
3、正态曲线的性质
( x)
1
e
(
x )2 2 2
, x (, )
2
y
y
Y
a
bc
d
平均数
X
若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标,则X 是一个随机变量.X落在区间(a,b]的概率为:
b
P(a X b) a , (x)dx
2.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
b
P(a X b) a , (x)dx
则称为X服从正态分布..记作 X~ N（ μ，σ2）
取值的概率只有0.3 ％。 际通( 运常 用3由称当中,于这a就这些只33些情考)时概况之虑正率发内这态,值个 生其总区很为他体间小小区的,（概称 间取一为 取率值值般事3几几不件乎原乎超。总则不取过. 可值5能％于.区 在）实间，
正态分布详解(很详细)PPT课件
能不能根据密度函数的表达式， 得出正态分布的图形特点呢？
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2
容易看到，f(x)≥0 即整个概率密度曲线都在x轴的上方;
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2
令x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可 得
f (μ+c)=f (μ-c)
1
t2
e 2 dt
n np(1p)
将上述结论推广到一般的正态分布,
Y~N(,2)时，
P(Y | |)0.6826
P(Y | |2)0.9544
P(Y | |3)0.9974
可以认为，Y 的取值几乎全部集中在
[3,3]区间内.
这在统计学上称作“3 准则”
（三倍标准差原则）.
上一讲我们已经看到，当n很大，p接 近0或1时，二项分布近似泊松分布; 如果 n很大，而p不接近于0或1，那么可以证明， 二项分布近似于正态分布.
2
X的分布函数P(X≤x)是怎样的呢？
设X~ N(,2) , X的分布函数是
F(x) 1 xe(t2 2)2d,tx
2
正态分布由它的两个参数μ和σ唯 一确定， 当μ和σ不同时，是不同的正 态分布。
下面我们介绍一种最重要的正态分布 标准正态分布
三、标准正态分布
0,1的正态分布称为标准正态分布.
且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ)
故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大
值:
f () 1
2
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2
当x→ ∞时，f(x) → 0,
这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越 贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。
正态分布完整ppt课件
正态性检验
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
课件12：§2.4 正态分布
题型一 正态曲线的图象和性质 例 1 如图是一个正态曲线．试根据图象写出其正态分 布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的均 值和方差．
解：从正态曲线的图象可知，该正态 曲线关于直线 x＝20 对称，最大值为21π， 所以 μ＝20， 21πσ＝21π， 解得 σ＝ 2.
于是概率密度函数的解析式为
3．在某项测量中，测量结果 X 服从正态分布 N(1，σ2) (σ>0)．若 X 在(0,1)内取值的概率为 0.4，则 X 在(0,2) 内取值的概率为________． 【解析】∵X 服从正态分布(1，σ2)， ∴X 在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同，均为 0.4. ∴X 在(0,2)内取值的概率为 0.4＋0.4＝0.8. 【答案】0.8
题型二 正态分布中的概率计算
例 2 设随机变量 X～N(1,22)，试求： (1)P(－1<X≤3)； (2)P(3<X≤5)．
解：(1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2)＝0.682 6. (2)P(3<X≤5)＝P(－3<X≤－1) ＝12[P(－3<X≤5)－P(－1<X≤3)] ＝12[P(1－4<X≤1＋4)－P(1－2<X≤1＋2)] ＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.
完全确定了正态分布，参数 μ 就是随机变量 X 的均 值，它可以用样本的均值去估计；参数 σ 就是随机 变量 X 的标准差，它可以用样本的标准差去估计．把 μ＝0，σ＝1 的正态分布叫做标准正态分布.
知识点二 正态曲线的特点及 3σ 原则
导入新知
1．正态曲线的特点
正态曲线 φμ，σ(x)＝
1 －( 2πσe
5．设随机变量 X～N(0,1)，求 P(X≤0)，P(－2<X<2)．
正态分布分布ppt课件
通过样本数据可以估计总体的均值、方差等 参数，进而对总体进行推断和分析。
假设检验
质量控制
在假设检验中，通常需要比较样本数据与某 个理论分布的差异，中心极限定理提供了理 论依据。
在工业生产等领域中，可以利用中心极限定 理对产品质量进行监控和预测。
03
正态分布在各领域应用举例
自然科学领域应用
1 2
描述自然现象的概率分布 正态分布可以描述许多自然现象的概率分布情况， 如身高、体重、智商等的分布情况。
根据显著性水平和自由度 确定t分布的临界值，进 而确定拒绝域。
将计算得到的t统计量与 拒绝域进行比较，若t统 计量落在拒绝域内，则拒 绝原假设，否则接受原假 设。
配对样本t检验原理及步骤
01
02
03
04
05
原理：配对样本t检验是 提出假设：设立原假设 用于比较同一组受试者 （H0）和备择假设 在两个不同条件下的测 （H1），原假设通常为 量值是否存在显著差异 两个测量值的均值相等。 的统计方法。它基于正 态分布假设和配对设计， 通过计算t统计量来推断 两个测量值的差异是否 显著。
设立原假设（H0）和备择假 设（H1），原假设通常为样 本均值等于总体均值。
计算t统计量，公式为t=(样 本均值-总体均值)/标准误， 其中标准误=样本标准差/根 号n。
根据显著性水平和自由度确 定t分布的临界值，进而确 定拒绝域。
将计算得到的t统计量与拒 绝域进行比较，若t统计量 落在拒绝域内，则拒绝原假 设，否则接受原假设。
06
非参数检验在处理非正态数据 时应用
非参数检验方法简介
非参数检验的概念
非参数检验是一种基于数据秩次的统计推断方法，它不依赖于总 体分布的具体形式，因此适用于处理非正态数据。
数学：1.5《正态分布》课件
2
用F ( x)表示， 且有P ( ≤ x) F ( x) ( x -u
)
7.标准正态分布与一般正态分布的关系:
(1).若 ~ N(, ), 则 ~ N(0,1). 2 ( 2). ~ N(, ), b a P(a b ) ( ) ( ), 然后，通过查标准正态 分布表中 a b x ,x 的( x)值.(课本P58页) 2
2.正态分布的期望与方差 若 ~ N ( , 2 ), 则的期望与方差分布为：
E = , D = 2
3.正态曲线
f (x)
1 2
e
( x ) 2 22
,x R
N ( , )或 N ( , )
2
总 体 平 均 数
D 标准差
在这种情况下应走第二 条路线.
( 2).走第一条路线及时赶到 的概率为： 65 50 P（ 0 65 ） （ ） 10 （ 1.5 ） 0.9332
走第二条路线及时赶到的概率为： 65 60 P（ 0 65 ） （ ） 4 （ 1.25 ） 0.8944.
因此，在这种情况下应 走第一条路线.
8.假设检验的基本思想与生产过程 中质量控制图
(1).假设检验是就正态总体 而言的， 进行假设检验可归结为 如下三步：
1).提出统计假设. 统计假设里的变量服从 正态分布N（，） .
2).确定一次试验中 a的取值是否 落入( 3, 3)内 .
1.5 正态分布
1.正态分布与正态曲线
如果随机变量 的概率密度为：
f(x)
1 2
e
( x ) 2 22
（x R, , 为常数，且 0), 称服从参数 为、的正态分布，用 N（， 2）表示， f(x) 的表示式可简记为 N ( , 2 )或N ( , )， 它的密度曲线简称为正 态曲线.
用F ( x)表示， 且有P ( ≤ x) F ( x) ( x -u
)
7.标准正态分布与一般正态分布的关系:
(1).若 ~ N(, ), 则 ~ N(0,1). 2 ( 2). ~ N(, ), b a P(a b ) ( ) ( ), 然后，通过查标准正态 分布表中 a b x ,x 的( x)值.(课本P58页) 2
2.正态分布的期望与方差 若 ~ N ( , 2 ), 则的期望与方差分布为：
E = , D = 2
3.正态曲线
f (x)
1 2
e
( x ) 2 22
,x R
N ( , )或 N ( , )
2
总 体 平 均 数
D 标准差
在这种情况下应走第二 条路线.
( 2).走第一条路线及时赶到 的概率为： 65 50 P（ 0 65 ） （ ） 10 （ 1.5 ） 0.9332
走第二条路线及时赶到的概率为： 65 60 P（ 0 65 ） （ ） 4 （ 1.25 ） 0.8944.
因此，在这种情况下应 走第一条路线.
8.假设检验的基本思想与生产过程 中质量控制图
(1).假设检验是就正态总体 而言的， 进行假设检验可归结为 如下三步：
1).提出统计假设. 统计假设里的变量服从 正态分布N（，） .
2).确定一次试验中 a的取值是否 落入( 3, 3)内 .
1.5 正态分布
1.正态分布与正态曲线
如果随机变量 的概率密度为：
f(x)
1 2
e
( x ) 2 22
（x R, , 为常数，且 0), 称服从参数 为、的正态分布，用 N（， 2）表示， f(x) 的表示式可简记为 N ( , 2 )或N ( , )， 它的密度曲线简称为正 态曲线.
正态分布-ppt课件
(14)曲(3线) (的4)对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”.
布 N (0，1) ， 已 知 p （ ＜ － 1.96 ） =0.025 ， 则 即2、考已试知成X绩~N在((08,10),1，00则)间X在的区概间率为0. 内取值的概率等于（ ）
(2)曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；
(3)曲线在x＝ 处处于最高点，由这一点向左右两侧延
伸时，曲线逐渐降低；
(4)曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定， σ越大，曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”.
上述叙述中，正确的有 (1) (3) (4) .
课堂练习
1. 右图是当 σ 分别取值 σ1，σ2，σ3 的三种正
(2)
1 , 2 1 (x1)2
(x) 新疆 王新敞 奎屯
e 8 ,x ( , )
22
说明：当0 , 1时，X 服从标准正态分布
记为X~N (0 , 1)
例2、下列函数是正态密度函数的是（ B ）
f(x) 1 e ,,(0)都 是 实 数 A. 说明：当m=0 , s =1时，X 服从标准正态分布 2 样本容量增大时频率分布直方图
随 着 重 复 次 数 ,这的个增频加率 直 方 图 的
会 越 来 越 像 一线 条图钟 2.4形 3曲 .
y
O
图2.43
x
这条曲线 (或就 近是 似 )下地 列函数:的图象
φμ,σx 1 ex 2 σ μ 22,x , ,
2π σ
其 中 μ 和 σ σ 实 0 为 数 .我 参φ 们 μ 数 ,σ x 的 称
1 即即(947)考考7曲2试 试线成成的D.绩绩对在在称((位8800置,,1100由00))μ间间确的的定概概，率率曲为为线00的.. 形状由σ确定，σ越(x大4，1)曲2线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”.
《正态分布》ppt课件
《正态分布》ppt课件
目录
CONTENTS
• 正态分布基本概念 • 正态分布在统计学中应用 • 正态分布在自然科学领域应用 • 正态分布在社会科学领域应用 • 正态分布计算方法及工具介绍 • 正态分布在实际问题中案例分析
01 正态分布基本概念
CHAPTER
定义与性质
定义
对称性
正态分布是一种连续型概率分布，描述了许 多自然现象的概率分布情况。在统计学中， 正态分布又被称为高斯分布。
系统误差与随机误差
正态分布可以帮助区分系统误差和随机误差。系统误差是由于实验装置或方法本身的缺陷引 起的，而随机误差则是由于各种不可控因素引起的。通过正态分布分析，可以对这两类误差 进行识别和纠正。
化学中浓度分布规律研究
01
溶液浓度的正态分布
在化学实验中，溶液的浓度分布往往符合正态分布。通过测量不同位置
利用SPSS的图形功能，可以绘制多种统计图表，包括频率分布直 方图、正态分布曲线图等。
SPSS提供了丰富的统计分析方法，如参数估计、假设检验、方差 分析等，可以根据研究需求选择合适的方法进行分析。
06 正态分布在实际问题中案例分析
CHAPTER
质量控制过程中产品合格率评估
质量控制图
利用正态分布原理，通过绘制质 量控制图，可以直观地展示产品 质量的波动情况，从而及时发现 并处理异常波动，确保产品合格
数据输入与整理
在Excel中输入数据，并进行必要的整理，如删除重复值、处理缺失 值等。
使用内置函数计算均值和标准差
Excel提供了丰富的内置函数，可以直接计算数据集的均值 （AVERAGE函数）和标准差（STDEV函数）。
绘制图表
利用Excel的图表功能，可以根据数据快速生成频率分布直方图和正 态分布曲线图。
目录
CONTENTS
• 正态分布基本概念 • 正态分布在统计学中应用 • 正态分布在自然科学领域应用 • 正态分布在社会科学领域应用 • 正态分布计算方法及工具介绍 • 正态分布在实际问题中案例分析
01 正态分布基本概念
CHAPTER
定义与性质
定义
对称性
正态分布是一种连续型概率分布，描述了许 多自然现象的概率分布情况。在统计学中， 正态分布又被称为高斯分布。
系统误差与随机误差
正态分布可以帮助区分系统误差和随机误差。系统误差是由于实验装置或方法本身的缺陷引 起的，而随机误差则是由于各种不可控因素引起的。通过正态分布分析，可以对这两类误差 进行识别和纠正。
化学中浓度分布规律研究
01
溶液浓度的正态分布
在化学实验中，溶液的浓度分布往往符合正态分布。通过测量不同位置
利用SPSS的图形功能，可以绘制多种统计图表，包括频率分布直 方图、正态分布曲线图等。
SPSS提供了丰富的统计分析方法，如参数估计、假设检验、方差 分析等，可以根据研究需求选择合适的方法进行分析。
06 正态分布在实际问题中案例分析
CHAPTER
质量控制过程中产品合格率评估
质量控制图
利用正态分布原理，通过绘制质 量控制图，可以直观地展示产品 质量的波动情况，从而及时发现 并处理异常波动，确保产品合格
数据输入与整理
在Excel中输入数据，并进行必要的整理，如删除重复值、处理缺失 值等。
使用内置函数计算均值和标准差
Excel提供了丰富的内置函数，可以直接计算数据集的均值 （AVERAGE函数）和标准差（STDEV函数）。
绘制图表
利用Excel的图表功能，可以根据数据快速生成频率分布直方图和正 态分布曲线图。
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1.完成课本P75 A组1题
2． 【 2007 年 浙江理 】已 知随 机变 量 服 从正 态分 布 N 2 , 2 ，
P 4 0.84 ，则 P 0 （
A ）
C． 0.68 D． 0.84
A． 0.16
B． 0.32
3． 【2010 山东理 5】已知 随机变量 服从正态分布 N 0 , 2 ，若
0.5
1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
当样本容量无限增大，组距无限缩小， 那么频率分布折线图就会无限接近于一条 光滑曲线 ——总体密度曲线.
总体密度曲线 ： 反映了总体在各个范围内取值的百分比.
频率 组距
月均用 水量/t
a
b
（图中阴影部分的面积，表示总体在某个 区间 (a, b) 内取值的百分比）.
（2）成绩在80~90内的学生的概率为多少？
a
b
y
O
a b 图2.4 4
x
3 正态曲线的性质
( x )
y
1
2
e
( x )2 2 2
, x ( , )
O
x
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交
（2）曲线是单峰的,它关于直线 x 对称 1 x （3）曲线在 处达到峰值(最高点)
（4）曲线与x轴之间的面积为 1
1
其中实数 和 ( 0) 为参数.我们称 正态分布密度曲线，简称正态曲线.
2
e
, x ( , )
, (x) 的图象为
O
图2.4 3
x
例1、下列函数是正态密度函数的是（ B ）
A.
f ( x)
1 e 2
( x )2 2 2
, , ( 0)都是实数
可以看到，正态总体几乎总取值于区间 ( 3 , 3 ) 之 内.而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况 在一次试验中几乎不可能发生.
2 N ( , ) 的随机 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 变量 X 只能取 ( 3 , 3 ) 之间的值，并简称为 3 原则.
a
a
, (x)dx
a 而言，该面积
y
x=μ
对于固定的 和 a ， 该面积随着 有什 么变化？
O
-a
+a
x
特别有
P( X ) 0.6826, P( 2 X 2 ) 0.9544, P( 3 X 3 ) 0.9974.
演示
以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的 频率值为纵坐标，可以画出“频率分布直方图”。
组距
11
随着重复次数的增加，直方图的形状会越来越像一条 “钟形”曲线.
1 正态分布密度曲线的定义：
这条曲线就是（或近似地是）下面函数的图像： ( x )2 2 2
( x)
y
B.
2 f ( x) e 2
x2 2
C.
1 f ( x) e 2 2
( x 1)2 4
D.
1 f ( x) e 2
x2 2
频率分布折线图：
频率
组距
连接频率分布直方图 中各小长方形上端的 中点,得到频率分布折 线图
0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 月均用水量 /t 4.5
σ 2π
变化时 当 固定，
0.5
1 0
1
演示
曲线的位置由
确定，曲线随着 的变化而沿 x 轴平移
3
1
2
变化时 当 固定，
0
=0.5
=1
=2
演示 曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.
• 完成课本 P74 第1题、第3题 P75 A组第2题、 B组第2题
y
如图，为某地成年男性体重 的正态曲线图，请写出其正 态分布密度函数，并求P （|X-72|<20）.
1 10 2
x (, )
72(kg)
x
某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正 态分布 N (70,102 ) ，如果规定低于60分为不及格， 求： （1）成绩不及格的人数的概率为多少？
2 正态分布的定义:
如果对于任何实数 a, b(a b) ,随机变量 X 满足:
则称随机变量 X 服从正态分布. 正态分布完全由参数 和 确定,因此正态分布常记作 N ( , 2 ). 如果随机变 量 X 服从正态分布，则记为 X N ( , 2 ) .
P(a X b) , ( x)dx
P 2 0.023 ，则 P 2 2 （ C
） D． 0.977
A． 0.477
B． 0.625
C． 0.954
4 特殊区间的概率
若X
N ( , ) ，则对于任何实数 a 0 ，
2
为图中阴影部分的面积，对于固定的 和 随着 的减少而变大.
P( a X a )
高二数学 选修2-3
2.4 正态分布
你见过高尔顿板吗 ? 图2 . 4 1 所示的就是一块高尔顿板示意 图.在一块木板上钉上若干排相 互平行但相互错开的圆柱 形小 木块,小木块之间留有适当的空 隙作为通道, 前面挡有一块玻璃. 让一个小球从高尔顿板 上方的 图2.4 1 通道口落下,小球在下落过 程中 . 与层层小木块碰撞, 最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内