2017_18版高中数学1.4.1曲边梯形面积与定积分二学案
2017-2018版高中数学第一章导数及其应用1.4.1曲边梯形面积与定积分(一)学案新人教B版选修2-2
1．4.1 曲边梯形面积与定积分(一)明目标、知重点 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积及变力所做的功．1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：曲线与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．2．曲边三角形或曲边梯形的面积：S＝limn→＋∞∑i＝0n－1f(x i)Δx，克服弹簧的拉力的变力所做的功：W＝limn→＋∞∑i＝0n－1f(x i)Δx.[情境导学]任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？探究点一求曲边梯形的面积思考1 如何计算下列两图形的面积？答①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．思考2 如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．思考 3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)答(如图)可以通过把区间[0,1]分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好．求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成． 思考4 在“近似代替”中，如果认为函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，in](i ＝1,2，…，n )上的值近似地等于右端点in 处的函数值f (i n)，用这种方法能求出S 的值吗？若能求出，这个值也是13吗？取任意ξi ∈[i －1n ，in ]处的函数值f (ξi )作为近似值，情况又怎样？其原理是什么？ 答 都能求出S ＝13.我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”，在极限状态下，小曲边梯形可以看做小矩形．例1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2所围成的图形的面积． 解 (1)分割将区间[0,1]等分为n 个小区间：[0，1n ]，[1n ，2n ]，[2n ，3n ]，…，[i －1n ，i n ]，…，[n －1n，1]，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)近似代替 在区间[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )上，以i －1n 的函数值⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2作为高，小区间的长度Δx＝1n作为底边的小矩形的面积作为第i 个小曲边梯形的面积，即ΔS i ≈(i －1n )2·1n. (3)求和曲边梯形的面积近似值为S ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1n(i －1n )2·1n＝0·1n ＋(1n )2·1n ＋(2n )2·1n ＋…＋(n －1n )2·1n＝1n3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝13(1－1n )(1－12n )． (4)取极限曲边梯形的面积为S ＝lim n →∞ 13(1－1n )(1－12n )＝13. 反思与感悟 求曲边梯形的思想及步骤：(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限；(3)关键：近似代替；(4)结果：分割越细，面积越精确． 跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的曲边梯形的面积．解 ∵y ＝x 2为偶函数，图象关于y 轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y ＝x 2(x ≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围图形面积S 阴影的2倍，下面求S 阴影．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x ≥0y ＝4，得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 2围成的曲边梯形的面积．(1)分割将区间[0,2] n 等分， 则Δx ＝2n， 取ξi ＝2i －1n. (2)近似代替求和S n ＝∑i ＝1n[2i －1n ]2·2n＝8n3[12＋22＋32＋…＋(n －1)2]＝83(1－1n )(1－12n )． (3)取极限S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ 83(1－1n )(1－12n )＝83. ∴所求平面图形的面积为S 阴影＝2×4－83＝163.∴2S 阴影＝323，即抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形面积为323.探究点二 求变力做功思考 求变速运动的路程问题解法和曲边梯形的面积有什么联系？答 求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．例2 如图，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置e m 处，求克服弹力所做的功．解 在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即F (x )＝kx (N)，其中k 为比例系数．将[0，e ]n 等分，记Δx ＝e n，分点依次为x 0＝0，x 1＝e n，x 2＝2e n，…，x n －1＝n －1e n，x n＝e .当n 很大时，在分段[x i ，x i ＋1]所用的力约为kx i ，所做的功ΔW i ≈kx i Δx ＝kx i en. 则从0到e 所做的总功W 近似地等于∑i ＝0n －1ΔW i ＝∑i ＝0n －1kx i ·Δx ＝∑i ＝0n －1k ·ie n ·en＝ke 2n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝ke 2n 2·n n －12＝ke 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n . ∴弹簧从平衡位置拉长到e 处所做的功为：W ＝lim n →＋∞∑i ＝0n －1ΔW i ＝ke 22.答 克服弹力所做的功为ke 22J.反思与感悟 以“不变代变”的方法，把变力做功问题转化为求常力做功问题．跟踪训练2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程S (单位：km)是多少？ 解 (1)分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n 个小区间，记第i 个小区间为[2i －1n，2i n ](i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n－2i －1n ＝2n.每个时间段上行驶的路程记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )，则显然有S ＝∑i ＝1nΔS i .(2)近似代替取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )．于是ΔS i ≈ΔS ′i ＝v (2i n )·Δt ＝[3(2i n )2＋2]·2n＝24i 2n 3＋4n(i ＝1,2，…，n )．(3)求和S n ＝∑i ＝1nΔS ′i ＝∑i ＝1n(24i 2n 3＋4n )＝24n3(12＋22＋…＋n 2)＋4＝24n3·n n ＋12n ＋16＋4＝8(1＋1n )(1＋12n )＋4.从而得到S 的近似值S ≈S n . (4)取极限S ＝lim n →＋∞S n ＝lim n →＋∞[8(1＋1n )(1＋12n)＋4]＝8＋4＝12. 所以这段时间内行驶的路程为12 km.1．把区间[1,3] n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A.1n B.2n C.3n D.12n 答案 B解析 区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n.2．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上( )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 答案 D解析 当n 很大，即Δx 很小时，在区间[i －1n ，i n]上，可以认为f (x )＝x 2的值变化很小，近似地等于一个常数．3．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确 答案 C4．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 答案 1.02解析 将区间5等分所得的小区间为[1，65]，[65，75]，[75，85]，[85，95]，[95，2]，于是所求平面图形的面积近似等于 110(1＋3625＋4925＋6425＋8125)＝110×25525＝1.02. [呈重点、现规律]求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤： (1)分割：n 等分区间[a ，b ]； (2)近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；(3)求和：∑i ＝0n －1f (ξi )·b －an； (4)取极限：s ＝lim n →∞∑i ＝0n －1f (ξi )·b －an.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．。
教学设计8：1.4.1 曲边梯形面积与定积分
1.4.1曲边梯形面积与定积分教学目标1.了解“以直代曲”“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程.3.了解定积分的概念.4.了解定积分的几何意义和性质．知识链接1．如何计算下列两图形的面积？答①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．2．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？答为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．教学导引1．曲边梯形曲线与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形，称为曲边梯形．2．求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．3．一般函数定积分的定义设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上，如图，用分点a＝x0<x1<x2<…<x n－1<x n＝b.把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为Δx i＝x i＋1－x i，i＝0,1,2，…，n－1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi ，作和式I n ＝∑i ＝0n －1f (ξi )Δx i ，当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝lim λ→0∑i ＝0n －1f(ξi )Δx i ，其中f (x )叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限，f (x )d x 叫做被积式，此时称函数f (x )在区间[a ，b ]上可积．4．根据定积分的定义，曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应的函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，即S ＝⎠⎛ab f (x )d x .5．由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，x 轴及一条曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积设为S ，则有：(1)在区间[a ，b ]上，若f (x )≥0，则S ＝⎠⎛a b f (x )d x ，如图(1)所示，即⎠⎛ab f (x )d x ＝S .(2)在区间[a ，b ]上，若f (x )≤0，则S ＝－⎠⎛a b f (x )d x ，如图(2)所示，即⎠⎛ab f (x )d x ＝－S .(3)若在区间[a ，c ]上，f (x )≥0，在区间[c ，b ]上，f (x )≤0，则S ＝⎠⎛ac f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x ，如图(3)所示，即⎠⎛ab f (x )d x ＝S A －S B (S A ，S B 表示所在区域的面积)．6．定积分的性质(1)⎠⎛a b cf (x )d x ＝c ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f (x )＋g(x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛ab g(x )d x ；(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b ).课堂讲义要点一 求曲边梯形的面积例1 求抛物线f (x )＝1＋x 2与直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的曲边梯形的面积S. 解 (1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度Δx ＝1n ，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )． (2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．ΔS i ＝f ⎝⎛⎭⎫i －1n ·Δx ＝⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫i －1n 2·1n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和：∑i ＝1nΔS i ＝∑i ＝1n1n ⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫i －1n 2.(4)取极限：S ＝li m n →∞∑i ＝1n1n ·⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫i －1n 2＝1＋li m n →∞∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫i －1n 2·1n ＝1＋li m n →∞ 13⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＝1＋13＝43.所以所求的曲边梯形的面积为43.规律方法 分割、近似代替、求和、取极限是求曲边梯形面积的四个步骤，求曲边梯形的面积时需理解以下几点：①思想：以直代曲；②步骤：化整为零―→以直代曲―→积零为整―→无限逼近；③关键：以直代曲；④结果：分割越细，面积越精确．跟踪演练1 用定积分的定义求由y ＝3x ，x ＝0，x ＝1，y ＝0围成的图形的面积． 解 (1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n(i ＝1,2，…，n )．其长度为Δx ＝1n ，把三角形分成一个小三角形和(n －1)个小梯形，其面积分别记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替：用小矩形的面积代替小三角形和小梯形的面积，取ξi ＝i －1n (i ＝1,2，…，n )，则ΔS i ＝f ⎝⎛⎭⎫i －1n Δx ＝3·i －1n ·1n ＝3n 2(i －1)(i ＝1,2，…，n )．(3)作和：∑i ＝1nΔS i ＝∑i ＝1n3n 2(i －1)＝3n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝32·n －1n . (4)取极限：S ＝li m n →∞∑i ＝1n3n 2(i －1)＝li m n →∞ 32·n －1n ＝32.要点二 求变速运动的路程例2 用定积分定义求物体自由落体的下落距离．已知自由落体的运动速度v ＝gt ，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．解 (1)分割：将时间区间[0，t]分成n 等份． 把时间[0，t]分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤i －1n t ，it n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间所表示的时间段Δt ＝it n －i －1n t ＝tn ，在各小区间物体下落的距离记作Δs i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程． 在⎣⎡⎦⎤i －1nt ，it n 上任取一时刻ξi (i ＝1,2，…，n )，可取ξi 使v(ξi )＝g (i －1)n t 近似代替第i 个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δt ＝tn 内所经过的距离可近似表示为Δs i ≈g·i －1n t ·t n (i ＝1,2，…，n )． (3)求和：s n ＝∑i ＝1nΔs i＝∑i ＝1ng·i －1n ·t ·tn＝gt 2n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝12gt 2⎝⎛⎭⎫1－1n . (4)取极限：s ＝li m n →∞ 12gt 2⎝⎛⎭⎫1－1n ＝12gt 2. 规律方法 求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．跟踪演练2 一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)． 解 (1)分割：在区间[0,2]上等间隔插入n －1个点，将区间分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎡⎦⎤2(i －1)n，2i n (i ＝1,2，…，n )，Δt ＝2n .则汽车在时间段⎣⎡⎦⎤0，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，4n ，⎣⎡⎦⎤2(n －1)n ，2n n 上行驶的路程分别记为：Δs 1，Δs 2，…，Δs i ，…，Δs n ，有s n ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替：取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，Δs i ≈v ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δt ＝⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2i n 2＋5·2n ＝－4i 2n 2·2n ＋10n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和：s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫－4i 2n 2·2n ＋10n ＝－8·13⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋10. (4)取极限：s ＝li m n →∞s n＝li m n →∞ ⎣⎡⎦⎤－8·13⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋10＝223. 要点三 利用定积分定义计算定积分 例3 利用定积分定义计算⎠⎛12(1＋x )d x 的值．解 (1)分割：∵f (x )＝1＋x 在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n 等份，则每个区间长度为Δx i ＝1n，(2)近似替代：在[x i －1，x i ]＝[1＋i －1n ，1＋in ]上取ξi ＝xi －1＝1＋i －1n (i ＝1,2,3，…，n )，于是f (ξi )＝f (x i －1)＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n ，(3)求和：∑i ＝1nf (ξ1)Δx i ＝∑i ＝1n(2＋i －1n )·1n ＝∑i ＝1n (2n ＋i －1n 2) ＝2n ·n ＋1n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝2＋1n 2·n (n －1)2＝52－12n，(4)取极限：⎠⎛12(1＋x )d x ＝li m n →∞ (52－12n )＝52.规律方法 (1)利用定积分的定义计算定积分的值能加深对定积分的概念及其几何意义的理解，用定积分的定义求定积分的步骤是：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．(2)在每个小区间[x i －1，x i ]上对ξi 的选取是任意的，为了计算方便，ξi 可都取为每个小区间的左端点(或都取为右端点)．跟踪演练3 利用定积分的定义，计算⎠⎛12(3x ＋2)d x 的值．解 令f (x )＝3x ＋2.(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间[n ＋i －1n ，n ＋in ](i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n .(2)近似代替、求和取ξi ＝n ＋i －1n (i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1nf (n ＋i －1n )·Δx＝∑i ＝1n[3(n ＋i －1)n ＋2]·1n＝∑i ＝1n[3(i －1)n 2＋5n ] ＝5＋3n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n . (3)取极限⎠⎛12(3x ＋2)d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞(132－32n )＝132. 要点四 定积分几何意义的应用 例4 用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛01(3x ＋2)d x ；(2) ⎠⎜⎜⎛π23π2sin x d x ；(3) ⎠⎛－33 (|x ＋1|＋|x －1|－4)d x ；(4)⎠⎛ab (x －a )(b －x )d x (b>a )．解 (1)如图1阴影部分面积为(2＋5)×12＝72，从而⎠⎛01(3x ＋2)d x ＝72.(2)如图2，由于A 的面积等于B 的面积， 从而322ππ⎰sin x d x ＝0.(3)令f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|－4，作出f (x )在区间[－3,3]上的图象，如图3所示，易知定积分 ⎠⎛－33f (x )d x 表示的就是图中阴影部分的面积的代数和．∵阴影部分的面积S 1＝S 3＝1，S 2＝6， ∴⎠⎛－33 (|x ＋1|＋|x －1|－4)d x ＝1＋1－6＝－4.(4)令y ＝f (x )＝(x －a )(b －x )，则有(x －a ＋b 2)2＋y 2＝(b －a 2)2(y ≥0)，f (x )表示以(a ＋b2，0)为圆心，半径为b －a2的上半圆，而这个上半圆的面积为S ＝12πr 2＝π2(b －a 2)2＝π(b －a )28， 由定积分的几何意义可知⎠⎛ab(x －a )(b －x )d x ＝π(b －a )28.规律方法 (1)用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是： ①准确画出各曲线围成的平面区域；②把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x 轴下方有没有区域； ③解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限； ④根据积分的几何意义写出结果．(2)利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．跟踪演练4 用定积分的意义求下列各式的值． (1) ⎠⎛－13 (3x ＋1)d x ； (2) ⎠⎜⎛32-321－x 2d x .解 (1)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示：⎠⎛－13(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，∴⎠⎛－13(3x ＋1)d x ＝12×⎝⎛⎭⎫3＋13×(3×3＋1)－12⎝⎛⎭⎫－13＋1×2＝503－23＝16. (2)由y ＝1－x 2可知，x 2＋y 2＝1，(y ≥0)图象如图，由定积分的几何意义知⎠⎜⎛32-321－x 2d x等于圆心角为120°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和． S 弓形＝12×23π×12－2×12sin π3cos π3＝π3－34， S 矩形＝|AB |·|BC |＝2×32×12＝32， ∴∫32－321－x 2d x ＝π3－34＋32＝π3＋34. 当堂检测1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A .1n B .2n C .3n D .12n【答案】B【解析】区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n .2．定积分⎠⎛ab f (x )d x 的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关 【答案】A3．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 【答案】1.02【解析】将区间5等分所得的小区间为⎣⎡⎦⎤1，65，⎣⎡⎦⎤65，75，⎣⎡⎦⎤75，85，⎣⎡⎦⎤85，95，⎣⎡⎦⎤95，2， 于是所求平面图形的面积近似等于110⎝⎛⎭⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02. 4．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子： ①⎠⎛01x d x ________⎠⎛01x 2 d x ；②⎠⎛024－x 2d x ________⎠⎛022d x .【答案】①> ②<。
曲边梯形面积与定积分学案
1.4.1曲边梯形面积与定积分【学习目标】通过实例，从问题情境中了解定积分的实际背景，借助几何直观体会定积分的基本思想初步了解定积分的概念。
【学习重点】定积分的概念，体会如何把曲线围成区域的面积转化为矩形面积的和。
【自主学习】我们已经知道正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面“直边图形”的面积，还会经常遇到计算平面曲线围成的“曲边图形”的面积，如何解决这个问题呢？能否把求“曲边图形”面积转化为求“直边图形”的面积来解决呢 ？为此，我们需要学习新的数学知识—定积分。
曲边梯形的定义： 。
【合作探究】1、曲边梯形的面积问题：求曲线y=x 2与直线x=1，y=0所围成的区域面积。
① 分割：② 近似代替：③ 求和：④ 取极限：2、 定积分的概念：设函数y=f （x ）定义在区间[a,b]上用分点a=x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n =b ，把区间[a,b]分为n 个小区间，其长度依次为△x i =x i ＋1－x i ，i=0,1,2，…，n －1，记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个小区间内任取一点ξ，作和式 当λ→0时，如果和式的极限存在，把和式In 的极限叫做 ，记作即： 其中 叫做被积函数， 叫积分下限， 叫积分上限， 叫做被积式，此时称函数f （x ）在区间[a,b]上可积。
3、定积分的几何意义：当函数f （x ）在区间[a,b]上恒为正时，定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是：【知识应用】例1、利用定积分定义计算：（1）10xdx ⎰ （2）b a Cdx ⎰，C 为常数例2、利用定积分的几何意义计算：（1）2-⎰ （2）0⎰【总结反思】【当堂检测】不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：（1）10xdx ⎰ 120x dx ⎰ （2）10xdx ⎰ 21xdx ⎰ （3）0⎰ 202dx ⎰。
高中数学第1章导数及其应用1.4.1曲边梯形面积与定积分学案新人教B版选修2_2
1.4.1 曲边梯形面积与定积分1．了解曲边梯形的面积，掌握“分割、近似代替、求和、取极限”的数学思想． 2．掌握定积分的概念，会用定义求定积分，理解定积分的几何意义，理解定积分的性质．1．一般函数定积分的定义 设函数y ＝f (x )定义在区间[a ，b ]上，用分点a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n －1＜x n ＝b 把区间[a ，b ]分为n 个小区间，其长度依次为Δx i ＝__________，i ＝0,1,2，…，n －1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi ，作和式I n ＝1n i -=∑f (ξi )Δx i .当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把____________叫做________________的定积分，记作ba⎰f (x )d x ，即ba⎰f (x )d x ＝lim λ→01n i -=∑f (ξi )Δx i .其中f (x )叫做________，a 叫________，b 叫________，f (x )d x 叫做被积式．此时称函数f (x )在区间[a ，b ]上______．(1)定积分ba⎰f (x )d x 是一个常数．(2)用定义求定积分的一般步骤： ①分割：n 等分区间[a ，b ]；②近似代替：在每个小区间任取ξi .③求和：1n i -=∑f (ξi )·b －an；④取极限：ba⎰f (x )d x ＝lim n →＋∞1n i -=∑f (ξi )·b －an.【做一做1－1】“求和式极限”所得的面积(或路程)是________值(填“近似”或“精确”)；定积分b a⎰f (x )d x 是________(填“函数”或“常数”)．【做一做1－2】利用定积分定义计算21⎰(1＋x )d x ＝________.2．曲边梯形的面积根据定积分的定义，曲边梯形的面积S等于_______________________________________的定积分，即________________________________________．【做一做2－1】定积分ba⎰c d x (c 为常数)的几何意义是________________________．【做一做2－2】由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．1．定积分有哪些性质？剖析：(1)定积分有三条主要的性质：①ba ⎰kf (x )d x ＝kba⎰f (x )d x (k 为常数)；②b a ⎰[f (x )±g (x )]d x ＝ba⎰f (x )d x ±ba⎰g (x )d x ；③b a⎰f (x )d x ＝ba⎰f (x )d x ＋ba⎰f (x )d x (a ＜c ＜b )．(2)性质①②称为定积分的线性性质，性质③称为定积分对积分区间的可加性． (3)性质①的等式左边是一个定积分，等式右边是常数与一个定积分的乘积． (4)性质②对于有限个函数(两个以上)也成立．性质③对于把区间[a ，b ]分成有限个(两个以上)区间也成立．(5)对于定积分的性质③可以用图直观地表示出来，即S 曲边梯形AMNB =S 曲边梯形AMPC +S 曲边梯形CPNB .(6)定义中区间的分法和xi 的取法都是任意的．(7)在定积分的定义中，ba⎰f (x )d x 限定下限小于上限，即a ＜b .为了方便计算，人们把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：ab⎰f (x )d x ＝－ba⎰f (x )d x ，aa⎰f (x )d x ＝0.2．怎样计算曲边梯形的面积？剖析：(1)由三条直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )，x 轴，一条曲线y ＝f (x )(f (x )≥0)围成的曲边梯形的面积S ＝ba⎰f (x )d x (如图①)．(2)由三条直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )，x 轴，一条曲线y ＝f (x )(f (x )≤0)围成的曲边梯形的面积()d baS f x x ⎰＝＝－ba⎰f (x )d x (如图②)．(3)由两条直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )，两条曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )(f (x )≥g (x ))围成的平面图形的面积S ＝ba⎰[f (x )－g (x )]d x (如图③)．(4)由三条直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )，x 轴，一条曲线y ＝f (x )(如图④)围成的曲边梯形的面积S ＝ca⎰f (x )d x －bc⎰f (x )d x.题型一 利用定义求定积分【例题1】已知一物体做自由落体运动，运动速度v ＝gt ，用定积分的定义求在时间区间[0，t ]内，物体下落的距离s .分析：利用定义求定积分可分为四步：分割、近似代替、求和、取极限，按步骤求解即可．反思：(1)根据定义求定积分的步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限． (2)物体作变速直线运动所经过的路程s 等于其速度函数v ＝v (t )在时间区间[0，t ]上的定积分，即()0=d ts v t t ⎰.题型二 定积分的几何意义【例题2】用定积分的几何意义求ba⎰(x －a )(b －x )d x (b ＞a )的值．分析：明确定积分的几何意义——曲边梯形的面积，结合曲线特点求解． 反思：ba⎰f (x )d x (f (x )＞0)表示曲边梯形的面积，而半圆可看作是特殊的曲边梯形(有两边缩为点)，求出面积，从而得出定积分的值．题型三 易错辨析易错点：用定积分表示曲边梯形的面积时，不注意曲边梯形的位置，从而导致错误，当对应的曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正值，且等于曲边梯形的面积，当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负值，且等于曲边梯形面积的相反数．【例题3】用定积分表示由曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π，x ＝0，y ＝0所围成的图形的面积．错解：所求面积为πsin d x x -⎰.1设函数f (x )定义在区间[a ，b ]上，用分点a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b ，把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝0,1，2，…，n －1)，作和式S n ＝1n i -=∑f (ξi )Δx (其中Δx 为小区间的长度)，那么和式S n 的大小( )．A ．与f (x )和区间[a ，b ]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关B ．与f (x )、区间[a ，b ]和分点个数n 有关，与ξi 的取法无关C ．与f (x )、区间[a ，b ]和ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关D ．与f (x )、区间[a ，b ]、分点的个数n 、ξi 的取法都有关 2设连续函数f (x )＞0，则当a ＜b 时，定积分ba⎰f (x )d x 的符号( )．A ．一定是正的B ．一定是负的C ．当0＜a ＜b 时是正的，当a ＜b ＜0时是负的D ．以上结论都不对3下列式子中不成立的是( )． A ．2π+aa ⎰sin x d x ＝2π+aa⎰cos x d xB ．π20⎰sin x d x ＝π2⎰cos x d x C ．π0⎰sin x d x ＝π⎰cos x d xD ．π0⎰|sin x |d x ＝π⎰|cos x |d x4直线x ＝0，y ＝0，x ＝2与曲线y ＝(2)x所围成的图形的面积用定积分表示为________．5若b a⎰f (x )d x ＝6，则lim n →∞10n i -=∑f (ξi )b －an＝________. 答案：基础知识·梳理1．x i ＋1－x i 和式I n 的极限 函数f (x )在区间[a ，b ]上 被积函数 积分下限 积分上限可积【做一做1－1】精确 常数【做一做1－2】52 因为f (x )＝1＋x 在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n 等份，则每个区间的长度为Δx i ＝1n，在[x i －1，x i ]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n，1＋i n 上取ξi ＝x i －1＝1＋i －1n(i ＝1,2,3，…，n )，于是f (ξi )＝f (x i －1)＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n ，从而1ni =∑f (ξi )Δx i ＝1ni =∑(2＋i －1n )·1n＝1ni =∑(2n ＋i －1n 2)＝2n ·n ＋1n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝2＋1n2·nn －2＝2＋n －12n ，所以⎠⎛12(1＋x )d x ，＝lim n →∞⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n －12n ＝2＋12＝52. 2．其曲边所对应的函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上 S ＝⎠⎛a bf (x )d x【做一做2－1】表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和y ＝c 所围成的矩形的面积． 【做一做2－2】π2⎰sin x d x典型例题·领悟【例题1】解：(1)分割 把区间[0，t ]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n t ，i n t (i ＝1，2，…，n )，每个小区间所表示的时间Δt ＝it n －i －1n t ＝t n.在各个小区间物体下落的距离依次记为Δs 1，Δs 2，…，Δs n .(2)近似代替在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．在小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n t ，i n t 上任取一时刻ξi (i ＝1，2，…，n )，为计算方便，取ξi为小区间的左端点，用时刻ξi 的速度v (ξi )＝gi －1nt 近似代替第i 个小区间上的速度，因此在每个小区间上物体在Δt ＝t n内所经过的距离，可以近似地表示为Δs i ≈g ·i －1n ·t ·tn(i ＝1,2，…，n )． (3)求和S n ＝1ni i s =∆∑＝1ni g =∑·i －t n ·t n＝gt 2n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝12gt 2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n .从而得到s 的近似值，即s ≈S n ＝12gt 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n .(4)取极限当所分时间区间愈短，即Δt 愈小时，S n 的值就愈接近s ，因此，当n →∞，即Δt →0时，S n 的极限，就是所求的做自由落体运动的物体在时间区间[0，t ]内所经过的距离．s ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞12gt 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝12gt 2.【例题2】解：令y ＝f (x )＝x －a b －x ，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋b 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 22(y ≥0)表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0为圆心，半径为b －a 2的上半圆，而这个上半圆的面积为S ＝12πr 2＝π2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 22＝πb －a28，由定积分的几何意义可知⎠⎛abx －ab －x d x ＝πb －a28.【例题3】错因分析：图形在x 轴下方，故其面积应等于定积分的相反数． 正解：图形面积为0π--⎰sin x d x .随堂练习·巩固 1．D 2．A3．C 分别作出被积函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 在各区间上的图象，由定积分的几何意义，易得只有C 选项不成立．4．⎠⎛02(2)xd x ，5．6。
高中数学1.4.1曲边梯形的面积与定积分教案理新人教B版选修2_2
1.4.1曲边梯形的面积与定积分【教学目标】1.理解求曲边梯形面积的过程和步骤—分割、以直代曲、求和、取极限；了解定积分的概念及几何意义；2.体会化曲为直的极限思想；3.渗透“质量互变、对立统一”的观点.【教学重点】定积分的概念 【教学难点】以曲代直一、课前预习：阅读教材36页—38页，完成下列问题例1：求曲线2x y =与直线0,1==y x 所围成区域的面积.（1）分割：将区间[0,1]等分成n 个小区间，第一个小区间为[0,n 1]，第二个小区间为[nn 2,1]，第三个小区间为 …，第个i 小区间为 ，…，第n 个小区间为 .每个小区间的长度为=∆x(2)以直代曲：过各分点做轴的垂线，再分别用小区间左端点的纵坐标为高，为底作小矩形，则第一个小矩形的高为 ，第二个小矩形的高为 ，第三个小矩形的高为 ，…，第i 个小矩形的高为 ，…，第n 个小矩形的高为 .它们的面积分别为 .（3）近似求和：所有个小矩形的面积的和记为n S ，则n S =（4）取极限：==→∆n x S S lim 0 二、课上学习：1.定积分的概念： 设函数)(x f y =定义在区间],[b a 上，用分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210...思考：将教材例1，例2的结果用定积分如何表示？2.定积分的几何意义说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于x 轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号．3.（1）⎰⎰=b a b a dx x f c dx x cf )()( （c 为常数）（2）设)(),(x g x f 可积，则=±⎰dx x g x f ba )]()([ 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
高中数学选修2-2导学案：1.4.1 曲边梯形的面积与定积分 缺答案
曲边梯形面积与定积分【学习目标】了解曲边梯形及其面积的含义；了解求曲边梯形面积的“分割、近似代替、求和、取极限”的基本过程。
【重点】用定积分表示曲边梯形的面积【难点】求曲边梯形面积的“分割、近似代替、求和、取极限”的思想【自主学习】1. 曲边梯形：由直线)(,b a b x a x ≠==和曲线)(x f y =所围成的图形称为曲边梯形。
2.引例：求曲线2x y =与直线0,1==y x 所围成的区域的面积为= 化简得：=思考：如果去小区间的右端点的纵坐标= 所以S = =3.定积分的定义：如果函数 f(x) 在区间 上连续，用分点b x x x x x a n n =<<<<=-1210将区间 等分成 n 个小区间],[1i i x x -，其长度依次为1,2,1,0,1-=-=∆+n i x x x i i i 。
在每个小区间],[1i i x x - 上任取一点 ξi （i=1，2，⋯，n ），作和式in i i n x f I ∆=∑-=)(10ξ 当 n →∞ 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f(x) 在区间 上的定积分，记作⎰ba dx x f )(这里，a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间 叫做积分区间，函数)(x f 叫被积函数，dx x f )( 叫做被积式，x 叫做积分变量。
4. 定积分⎰ba dx x f )( 的几何意义．从几何上看，如果在区间 上函数 f(x) 连续且恒有0)(>x f ，那么定积分⎰b a dx x f )( 表示由由直线)(,b a b x a x ≠==和曲线)(x f y =所围成的图形称为曲边梯形。
人教版-数学-高二-数学人教B版选修2-2教学案 1.4.1曲边梯形的面积与定积分
1.4.1曲边梯形的面积与定积分【教学目标】1.理解求曲边梯形面积的过程和步骤—分割、以直代曲、求和、取极限；了解定积分的概念及几何意义；2.体会化曲为直的极限思想；3.渗透“质量互变、对立统一”的观点.【教学重点】定积分的概念 【教学难点】以曲代直一、课前预习：阅读教材36页—38页，完成下列问题例1：求曲线2x y =与直线0,1==y x 所围成区域的面积.（1）分割：将区间等分成n 个小区间，第一个小区间为，第二个小区间为hslx3y3h n n 2,1hslx3y3h ，第三个小区间为 …，第个i 小区间为 ，…，第n 个小区间为 .每个小区间的长度为=∆x(2)以直代曲：过各分点做轴的垂线，再分别用小区间左端点的纵坐标为高，为底作小矩形，则第一个小矩形的高为 ，第二个小矩形的高为 ， 第三个小矩形的高为 ，…，第i 个小矩形的高为 ，…，第n 个小矩形的高为 .它们的面积分别为 .（3）近似求和：所有个小矩形的面积的和记为n S n =（4）取极限：==→∆n x S S lim 0二、课上学习：1.定积分的概念： 设函数)(x f y =定义在区间],[b a 上，用分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210...将区间等分成 个小区间，其长度依次为 ，记λ为这些小区间长度的 ，当λ趋近于0时，所有小区间的长度都 .在每个小区间上 ，作和式：当0→λ时，如果和式的 （即无限趋近于常数），那么称和式 为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分。
记为： ，其中)(x f 称为 ，a 叫做 ，b 叫做 ， 叫做被积式.思考：将教材例1，例2的结果用定积分如何表示？2.定积分的几何意义说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于x 轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号．3.（1）⎰⎰=ba b a dx x f c dx x cf )()( （c 为常数） （2）设)(),(x g x f 可积，则=±⎰dx x g x f ba )]()([。
高中数学优质教案 曲边梯形面积与定积分
1.4.1 曲边梯形面积与定积分一、教学目标1．知识和技能目标(1)通过求曲边梯形的面积，了解定积分的背景；(2)了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点，感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限(逼近)；(3)借助几何直观体会定积分的基本思想、初步了解定积分的概念．2．过程和方法目标理解求曲边图形面积及求汽车行驶的路程的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法．3．情感态度和价值观目标通过曲边梯形的面积，进一步感受极限的思想．二、教学重点.难点重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）难点：对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解三、学情分析我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。
那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。
本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
四、教学方法探析归纳，讲练结合五、教学过程探究一：定积分的基本概念定积分：设函数)(x f 定义在区间],[b a 上，用分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 把区间],[b a 分为n 个小区间，长度依次为1,,3,2,1,0,1-=-=-n i x x A i i x i ，记λ为这些小区间长度的最大者，在每个小区间内任取一点i ξ，做和式=n I 。
当0→λ时，把和式n I 的极限叫做函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记作 即其中)(x f 叫做 ，a 叫做 ，b 叫做 ，dx x f )(叫做 。
注：1.对定积分的定义的说明：（1）定积分dx x f )(是一个常数；（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间],[b a ； ②近似代替：取点],[1i i i x x -∈ξ； ③求和：∑--⋅n i i n a b f 1)(ξ； ④取极限：⎰+∞→=b a n dx x f lim )(∑--⋅n i i n a b f 1)(ξ （3）定积分就是和的极限：∑-+∞→∆⋅n i in x f 1)(lim ξ而⎰b a dx x f )(只是这种极限的一种记号，读作“从a 到b 函数)(x f 的定积分”。
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1.4.1 曲边梯形面积与定积分(二)明目标、知重点 1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．定积分的概念、几何意义及性质定积分概念定积分：设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上，用分点a＝x0<x1<x2<…x n－1<x n＝b，把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为Δx i＝x i＋1－x i，i＝0,1,2，…，n－1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个区间内任取一点ξi，作和式I n＝∑i＝0n－1f(ξi)Δx i.当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式I n的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作ʃb a f(x)d x，即ʃb a f(x)d x＝limλ→0∑i＝0n－1f(ξi)Δx i.这里a与b分别叫作积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．几何意义如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分ʃb a f(x)d x表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积.基本性质ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x(k为常数)；ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x；ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b).探究点一定积分的概念思考1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．思考2 怎样正确认识定积分ʃb a f(x)d x?答 (1)定积分ʃba f (x )d x 是一个数值(极限值)．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外ʃba f (x )d x 与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．(2)定积分就是和的极限lim n →∞∑i ＝1nf (ξi )·Δx ，而ʃba f (x )d x 只是这种极限的一种记号，读作“函数f (x )从a 到b 的定积分”．(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)． 例1 利用定积分的定义，计算ʃ10x 3d x 的值． 解 令f (x )＝x 3. (1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[0,1]等分成n 个小区间[i －1n ，in](i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.(2)近似代替、求和取ξi ＝in(i ＝1,2，…，n )，则ʃ10x 3d x ≈S n ＝∑ni ＝1f (in)·Δx ＝∑ni ＝1(i n )3·1n＝1n 4∑ni ＝1i 3＝1n 4·14n 2(n ＋1)2＝14(1＋1n)2. (3)取极限ʃ10x 3d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ 14(1＋1n )2＝14. 反思与感悟 (1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤．(2)从过程来看，当f (x )≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积． 跟踪训练1 用定义计算ʃ21(1＋x )d x .解 (1)分割：将区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋in (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为 Δx ＝1n.(2)近似代替、求和：在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i－1n，1＋in上取点ξi＝1＋i－1n(i＝1,2，…，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋i－1n＝2＋i－1n，从而得∑i＝1nf(ξi)Δx＝∑i＝1n(2＋i－1n)·1n＝∑i＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2n＋i－1n2＝2n·n＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2＋1n2·n n－12＝2＋n－12n.(3)取极限：S＝limn→∞⎝⎛⎭⎪⎫2＋n－12n＝2＋12＝52.因此ʃ21(1＋x)d x＝52.探究点二定积分的几何意义思考1 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么ʃb a f(x)d x表示什么？答当函数f(x)≥0时，定积分ʃb a f(x)d x在几何上表示由直线x＝a，x＝b(a<b)，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．思考2 当f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≤0时，ʃb a f(x)d x表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？答如果在区间[a，b]上，函数f(x)≤0时，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图①)．由于b－an>0，f(ξi)≤0，故f(ξi)b－an≤0.从而定积分ʃb a f(x)d x≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即ʃb a f(x)d x＝－S.当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，定积分ʃb a f(x)d x表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．(如图②)，即ʃb a f(x)d x＝－S1＋S2－S3.例2 用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛01(3x ＋2)d x ；(2)322sin ;xdx ππ⎰(3)⎠⎛－33 (|x ＋1|＋|x －1|－4)d x ； (4)⎠⎛abx －a b －x d x (b >a )．解 (1)如图1阴影部分面积为2＋5×12＝72， 从而⎠⎛01(3x ＋2)d x ＝72.(2)如图2，由于A 的面积等于B 的面积， 从而322sin xdx ππ⎰＝0.(3)令f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|－4，作出f (x )在区间[－3,3]上的图象，如图3所示，易知定积分⎠⎛3－3f (x )d x 表示的就是图中阴影部分的面积的代数和．∵阴影部分的面积S 1＝S 3＝1，S 2＝6，∴⎠⎛－33 (|x ＋1|＋|x －1|－4)d x ＝1＋1－6＝－4. (4)令y ＝f (x )＝x －a b －x ，则有(x －a ＋b2)2＋y 2＝(b －a2)2(y ≥0)，f (x )表示以(a ＋b2，0)为圆心，半径为b －a2的上半圆，而这个上半圆的面积为S ＝12πr 2＝π2(b －a 2)2＝πb －a28，由定积分的几何意义可知⎠⎛abx －ab －x d x ＝πb －a28.反思与感悟 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定． 跟踪训练2 利用几何意义计算下列定积分： (1)ʃ3－39－x 2d x ；(2)ʃ3－1(3x ＋1)d x .解 (1)在平面上y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，其面积为S ＝12·π·32.由定积分的几何意义知ʃ3－39－x 2d x ＝92π. (2)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0，以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示：ʃ3－1(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，∴ʃ3－1(3x ＋1)d x ＝12×(3＋13)×(3×3＋1)－12(－13＋1)×2＝503－23＝16. 探究点三 定积分的性质思考1 定积分的性质可作哪些推广？ 答 定积分的性质的推广①ʃb a [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ±…±ʃba f n (x )d x ； ②ʃb a f (x )d x ＝ʃc 1a f (x )d x ＋ʃc 2c 1f (x )d x ＋…＋ʃbc n f (x )d x (其中n ∈N ＋)． 思考2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？ 答 奇、偶函数在区间[－a ，a ]上的定积分①若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续不断，则ʃa－a f (x )d x ＝0. ②若偶函数y ＝g (x )的图象在[－a ，a ]上连续不断，则ʃa －a g (x )d x ＝2ʃa0g (x )d x . 例3 计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x 的值． 解 如图，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2，ʃ3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x ＝ʃ3－39－x 2d x －ʃ3－3x 3d x ＝9π2. 反思与感悟 根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算． 跟踪训练3 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求： (1)ʃ203x 3d x ；(2)ʃ416x 2d x ；(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x . 解 (1)ʃ203x 3d x ＝3ʃ20x 3d x ＝3(ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x ) ＝3×(14＋154)＝12；(2)ʃ416x 2d x ＝6ʃ41x 2d x ＝6(ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x ) ＝6×(73＋563)＝126；(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ213x 2d x －ʃ212x 3d x ＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154 ＝7－152＝－12.1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x 3d x ＝∑i ＝1ni 3n 3·1n ；②ʃ10x 3d x ＝lim n ＋∞∑i ＝1n i －13n 3·1n；③ʃ10x 3d x ＝lim n ＋∞∑i ＝1ni 3n 3·1n . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 ②③成立．2．定积分ʃba f (x )d x 的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关 答案 A3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子： ①ʃ10x d x ________ʃ10x 2d x ； ②ʃ204－x 2d x ________ʃ202d x . 答案 ①> ②<4．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________． 答案 3解析 令f (x )＝x 2. (1)分割将区间[0，T ]n 等分，则Δx ＝Tn. (2)近似代替、求和取ξi ＝T i n(i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i ＝1n(T i n )2·T n ＝T 3n 3∑i ＝1n i 2＝T 3n 3(12＋22＋…＋n 2)＝T 3n 3·n n ＋12n ＋16＝T 36(1＋1n )(2＋1n)． (3)取极限S ＝lim n →∞T 36×2＝T 33＝9, ∴T 3＝27，∴T ＝3. [呈重点、现规律]1．定积分ʃb af (x )d x 是一个和式 i ＝1nb －anf (ξi )的极限，是一个常数． 2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．。