人教版八上数学之《三角形》全章复习与巩固—巩固练习(提高)
新人教版八年级上册数学[《三角形》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)
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新人教版八年级上册数学[《三角形》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)本文是一份新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练重难点突破的精品文档，主要讲解了三角形的相关概念和性质。
研究目标包括：认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系；理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作图提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题；能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题；通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用；了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力。
重点梳理了三角形的相关概念和性质，其中包括三角形三边的关系，三角形按“边”分类，三角形的重要线段（包括高、中线、角平分线）等。
三角形三边关系的应用包括判断三条线段能否组成三角形，求已知两边长的第三边长的取值范围等。
同时，三角形还可以按边分类，分为不等边三角形、底边和腰不相等的等腰三角形和等边三角形。
三角形的重要线段包括高、中线和角平分线，它们的作用分别是作垂线、分割三角形、平分角度等。
此外，三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种，分别是锐角三角形交点在三角形内、直角三角形交点在直角顶点、钝角三角形交点在三角形外。
最后，本文还提到了多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念，以及多边形内角和及外角和的计算方法，帮助学生掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力。
已知一个多边形的边数，可以求出它的内角和。
反之，已知一个多边形的内角和，可以求出它的边数。
多边形的外角和恒等于360°，与边数无关。
根据外角和公式，可以求出正多边形的边数，也可以根据正多边形的边数求出外角度数。
人教版八年级上册第11章 《三角形》基础巩固练习
第11章《三角形》基础巩固练习一．选择题1．下列四组长度的小木棒中，按首尾顺次连结能组成一个三角形的是（）A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，12 D．4，8，42．若△ABC的三个内角的比为3：5：2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形3．三角形的两边长分别是5和8，则第三边长不可能是（）A．3 B．5 C．7 D．94．内角和为720°的多边形是（）A．B．C．D．5．如图所示，△ABC中，BC边上的中线是（）A．线段AD B．线段AE C．线段AF D．线段AG6．小明同学把自己的一副三角板（两个直角三角形）按如图所示的位置将相等的边叠放在一起，则α的度数（）A．135°B．120°C．105°D．75°7．如图，在△ABC中，高BD，CF相交于点E，若∠A＝52°，则∠BEC＝（）A．116°B．128°C．138°D．142°8．一副三角板如图方式摆放，点D在直线EF上，且AB∥EF，则∠ADE的度数是（）A．105°B．75°C．60°D．45°9．王师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为11cm和12cm的细木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么他可以把（）分为两截．A．11cm的木条B．12cm的木条C．两根都可以D．两根都不行10．将一副三角板按如图所示的方式放置，若∠EAC＝40°，则∠1的度数为（）A．95°B．85°C．105°D．80°11．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，EF⊥AC于F，且∠CDG＝∠A，则∠1与∠2的数量关系为（）A．∠2＝∠1 B．∠2＝3∠1 C．∠2﹣∠1＝90°D．∠1+∠2＝180°12．如图，在△ABC中，D为AB延长线上一点，DE⊥AC于E，∠C＝40°，∠D＝20°，则∠ABC的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°二．填空题13．如图，四边形ABCD中，且∠1，∠2分别是∠BCD和∠BAD的邻补角，则∠1+∠2＝150°．则∠B+∠ADC＝．14．如图，△ABC中，∠1＝∠2，∠BAC＝65°，则∠APB＝．15．对于一个三角形，设其三个内角的度数为x°，y°，z°，若x，y，z满足x2+y2＝z2我们定义这个三角形为美好三角形．已知△ABC为美好三角形，∠A＜∠B＜∠C，∠B＝60°，则∠A的度数为．16．若正多边形的一个内角的度数等干它外角度数的5倍，则这个正多边形的边数为．17．如图1，△ABC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C．（1）若∠A＝52°，则∠1+∠2＝°；（2）如图2，改变直角三角板PMN的位置；使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C，∠1，∠2与∠A的关系是．三．解答题18．如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠ABC、∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F．EG∥AB，交BC于点G．（1）∠1与∠2有怎样的数量关系？为什么？（2）若∠A＝100°，∠1＝42°，求∠CEG的度数．19．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，点D是BC边上的一点，将△ACD沿AD折叠，点C恰好落在BC边上的点E处．（1）直接填空：∠ADE的大小是；（2）求∠BAE的大小．20．完成下面的证明：如图，在四个角都是直角的四边形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别在边AD，BC上，BE 平分∠ABC，DF平分∠ADC，求证：BE∥FD．证明：∵四边形ABCD的四个角都是直角，∴∠ABC＝∠ADC＝°（直角定义）．∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠EBC＝∠ABC＝×90°＝45°，（角平分线定义），∴∠EBC＝∠ADF．∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC（）．∴∠EBC＝∠DFC（等量代换），∴BE∥DF（）．21．如图，在△ABC中，AE是角平分线，D是AB上的点，AE，CD相交于点F．（1）若∠ACB＝∠CDB＝90°，求证：∠CFE＝∠CEF．（2）若∠ACB＝∠CDB＝m°（0°＜m＜180°），是否存在m，使得∠CEF小于∠CFE，若存在，请求出m的范围，若不存在，请说明理由．22．【问题探究】将三角形ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处（1）如图1，当点A落在四边形BCDE的边CD上时，直接写出∠A与∠1之间的数量关系；（2）如图2，当点A落在四边形BCDE的内部时，求证：∠1+∠2＝2∠A；（3）如图3，当点A落在四边形BCDE的外部时，探索∠1，∠2，∠A之间的数量关系，并加以证明；【拓展延伸】（4）如图4，若把四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部点A′、D′的位置，请你探索此时∠1，∠2，∠A，∠D之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、1+2＝3，不满足三角形三边关系定理，故错误，不符合题意；B、4+5＞6，满足三边关系定理，故正确，符合题意；C、3+4＜12．不满足三边关系定理，故错误，不符合题意；D、4+4＝8．不满足三角形三边关系定理，故错误，不符合题意．故选：B．2．解：∵△ABC的三个内角的比为3：5：2可设此三角形的三个内角分别为2x°，3x°，5x°，∴2x°+3x°+5x°＝180°，解得x＝18°，∴5x°＝5×18°＝90°．∴此三角形是直角三角形．故选：C．3．解：根据三角形的三边关系得：8﹣5＜x＜8+5，解得：3＜x＜13，故第三边长不可能是3．故选：A．4．解：依题意有（n﹣2）•180°＝720°，解得n＝6．该多边形为六边形，故选：D．5．解：△ABC中，BC边上的中线是线段AE，故选：B．6．解：由题意得，∠A＝60°，∠ABD＝90°﹣45°＝45°，∴α＝45°+60°＝105°，故选：C．7．解：∵BD，CF是△ABC的两条，∴∠AFC＝ADB＝90°，∴∠ACF＝90°﹣∠A＝90°﹣52°＝38°，∴∠BEC＝90°+∠ACF＝90°+38°＝128°，故选：B．8．解：由三角板的特点得出∠DAB＝45°+30°＝75°，∵AB∥EF，∴∠DAB＝∠EDA＝75°．故选：B．9．解：∵三角形两边之和大于第三边，∴两根长度分别为11cm和12cm的细木条做一个三角形的框架，可以把12cm的细木条分为两截．故选：B．10．解：∴∠EAD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠EAC＝90°﹣40°＝50°，∵∠C＝45°，∴∠1＝∠C+∠CAD＝45°+50°＝95°，故选：A．11．解：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴BD∥EF，∴∠2+∠ABD＝180°，∵∠CDG＝∠A，∴DG∥AB，∴∠1＝∠ABD，∴∠1+∠2＝180°．故选：D．12．解：如图设DE交BD于F．∵DE⊥AC，∴∠CEF＝90°，∴∠CFE＝90°﹣∠C＝50°，∴∠BFD＝∠CFE＝50°，∴∠ABC＝∠D+∠BFD＝20°+50°＝70°，故选：C．二．填空题（共5小题）13．解：∵∠1+∠2＝150°，∴∠DAB+∠DCB＝360°﹣150°＝210°，∵∠B+∠D+∠DAB+∠DCB＝360°，∴∠B+∠ADC＝360°﹣（∠DAB+∠DCB）＝150°，故答案为150°．14．解：∵∠1＝∠2，∠BAC＝∠BAP+∠1＝65°，∴∠BAP+∠2＝65°，∴△ABP中，∠P＝180°﹣65°＝115°，故答案为：115°．15．解：设∠A＝x°，∠C＝y°，由题意得，，解得，∴∠A＝45°．故答案为45°．16．解：设这个正多边的外角为x°，由题意得：x+5x＝180，解得：x＝30，360°÷30°＝12．故答案为：十二．17．解：（1）∵∠A＝52°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣52°＝128°，∵∠P＝90°，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠ABP+∠ACP＝128°﹣90°＝38°，即∠1+∠2＝38°．故答案为：38；（2）∠2﹣∠1＝90°﹣∠A．理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠MPN＝90°，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴（∠ABC+∠ACB）﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣∠A﹣90°，即∠ABC+∠ACP+∠PCB﹣∠ABP﹣∠ABC﹣∠PCB＝90°﹣∠A，∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．即∠2﹣∠1＝90°﹣∠A；故答案为：∠2﹣∠1＝90°﹣∠A．三．解答题（共5小题）18．解：（1）∠1与∠2互余．∵四边形ABCD的内角和为360°，∠A与∠C互补，∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣180°＝180°，∵BF、DF分别平分∠ABC、∠ADC，∴，，∵EG∥AB，∴∠2＝∠ABE，∴∠1+∠2＝，即∠1与∠2互余．（2）∵∠A＝100°，∠1＝42°，∴∠C＝80°，∠2＝48°，∴∠ABE＝∠CBE＝48°，∴∠BEC＝180°﹣48°﹣80°＝52°，∴∠CEG＝52°﹣48°＝4°．19．解：（1）∵将△ACD沿AD折叠，点C恰好落在BC边上的点E处，∴∠ADE＝∠ADC＝180°＝90°，故答案为：90°；（2）由图形折叠的性质可得：∠AED＝∠C＝60°，∵∠AED＝∠B+∠BAE，∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝60°﹣40°＝20°．20．证明：∵四边形ABCD的四个角都是直角，∴∠ABC＝∠ADC＝90°（直角定义）．∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠EBC＝∠ABC＝×90°＝45°，∠ADF＝∠ADC＝×90°＝45°，∴∠EBC＝∠ADF，∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC（两直线平行，内错角相等）．∴∠EBC＝∠DFC（等量代换），∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．故答案为：90；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行．21．解：（1）∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠DCB，∠ACD＝90°﹣∠DCB，∴∠B＝∠ACD．∵AE平分∠CAB，∴∠CFE＝∠ACD+∠CAB，∠CEF＝∠B+∠CAB，∴∠CFE＝∠CEF；（2）存在．∵要使∠CEF小于∠CFE，则∠CEF﹣∠CFE＜0，∴180°﹣2m＜0，解得m＞90°，∴当90°＜m＜180°时，∠CEF的值小于∠CFE．22．解：（1）如图1，∠1＝2∠A．理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D＝∠A；∵∠1＝∠A+∠EA′D，∴∠1＝2∠A；（2）如图2，2∠A＝∠1+∠2．理由如下：∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，由折叠知识可得：∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1+∠2；（3）如图3，∠1﹣∠2＝2∠A，理由：∵∠2+2∠AED＝180°，2∠ADE﹣∠2＝180°，∴∠1﹣∠2+2∠AED+2∠AED＝360°，∵∠A+∠AED+∠ADE＝180°，∴2∠A+2∠AED+2∠ADE＝360°，∴∠1﹣∠2＝2∠A；（4）∠1+∠2＝2（∠A+∠D）﹣360°，理由：∵∠1+2∠AEF＝180°，∠2+2∠DFE＝180°，∴∠1+∠2+2∠AEF+2∠DFE＝360°，∵∠A+∠D+∠AEF+∠DFE＝360°，∴2∠A+2∠D+2∠AEF+2∠DFE＝720°，∴∠1+∠2＝2（∠A+∠D）﹣360°．。
人教版初二数学上册：全等三角形全章复习与巩固(提高)知识讲解
全等三角形全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式； 3．会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质， 会利用角的平分线的性质进行证明. 【知识网络】【要点梳理】【高清课堂：388614 全等三角形单元复习，知识要点】 要点一、全等三角形的判定与性质要点二、全等三角形的证明思路SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边 要点三、角平分线的性质 1.角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS ） 角边角（ASA ） 角角边（AAS ）边边边（SSS ） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL ） 性质对应边相等，对应角相等 （其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等2.角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.要点四、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1．证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质.2．证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等.3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法：可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5. 证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.【典型例题】类型一、巧引辅助线构造全等三角形(1)．倍长中线法1、已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论.FEDCBA【思路点拨】因为D 是BC 的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF ，使DG ＝DF,证明△EDG ≌△EDF ，△FDC≌△GDB，这样就把BE 、CF 与EF 线段转化到了△BEG 中，利用两边之和大于第三边可证.【答案与解析】BE ＋CF ＞EF ；证明：延长FD 到G ，使DG ＝DF,连接BG 、EG∵D 是BC 中点 ∴BD＝CD 又∵DE⊥DF在△EDG 和△EDF 中ED ED EDG EDF DG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EDG ≌△EDF （SAS ） ∴EG＝EF在△FDC 与△GDB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DG DF BD CD 21 ∴△FDC≌△GDB(SAS) ∴CF＝BG ∵BG＋BE ＞EG ∴BE＋CF ＞EF【总结升华】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）. 举一反三：【变式】已知：如图所示，CE 、CB 分别是△ABC 与△ADC 的中线，且∠ACB ＝∠ABC ．求证：CD ＝2CE ．【答案】证明： 延长CE 至F 使EF ＝CE ，连接BF ． ∵ EC 为中线，∴ AE＝BE．在△AEC与△BEF中，,,,AE BEAEC BEF CE EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC≌△BEF（SAS）．∴ AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴ AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴ AB＝BF．又∵ BC为△ADC的中线，∴ AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB与△DCB中，,,,BF BDFBC DBC BC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FCB≌△DCB（SAS）．∴ CF＝CD．即CD＝2CE．(2)．作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形2、（2016•海淀区校级模拟）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF ∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．【思路点拨】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，则EH=FG，通过证明△AEH≌△CFG即可．【答案与解析】解：作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，∵∠1=∠2，AD⊥BC，∴EH=ED（角平分线的性质）∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，∴四边形EFGD是矩形，∴ED=FG，∴EH=FG，∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C，又∵∠AHE=∠FGC=90°，∴△AEH≌△CFG（AAS）∴AE=CF．【总结升华】本题考查了角平分线的性质；由角平分线构造全等，综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点． 举一反三：【变式】如图，AD 是ABC ∆的角平分线，H ，G 分别在AC ，AB 上，且HD ＝BD.(1)求证：∠B 与∠AHD 互补；(2)若∠B ＋2∠DGA ＝180°，请探究线段AG 与线段AH 、HD 之间满足的等量关系，并加以证明.【答案】 证明：（1）在AB 上取一点M, 使得AM ＝AH, 连接DM.∵ ∠CAD＝∠BAD, AD＝AD, ∴ △AHD≌△AMD. ∴ HD＝MD, ∠AHD＝∠AMD. ∵ HD＝DB,∴ DB＝ MD. ∴ ∠DMB＝∠B.∵ ∠AMD＋∠DMB ＝180︒, ∴ ∠AHD＋∠B＝180︒. 即 ∠B 与∠AHD 互补.（2）由（1）∠AHD＝∠AMD, HD＝MD, ∠AHD＋∠B＝180︒.∵ ∠B＋2∠DGA ＝180︒, ∴ ∠AHD＝2∠DGA. ∴ ∠AMD＝2∠DGM.∵ ∠AMD＝∠DGM＋∠GDM. ∴ 2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM. ∴ ∠DGM＝∠GDM. ∴ MD＝MG. ∴ HD＝ MG.∵ AG＝ AM ＋MG,∴ AG＝ AH ＋HD.（3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形3、（2015•新宾县模拟）如图，△ABC 中，AB=AC ，点P 是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC ．（1）如图1，若∠BAC=60°，点P 恰巧在∠ABC 的平分线上，PA=2，求PB 的长； （2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA ，PB ，PC 的数量关系，并证明； （3）如图3，若∠BAC=120°，请直接写出PA ，PB ，PC 的数量关系．M G HDCA【思路点拨】（1）AB=AC，∠BAC=60°，证得△ABC是等边三角形，∠APB=∠ABC，得到∠APB=60°，又点P恰巧在∠ABC的平分线上，得到∠ABP=30°，得到直角三角形，利用直角三角形的性质解出结果．（2）在BP上截取PD，使PD=PA，连结AD，得到△ADP是等边三角形，再通过三角形全等证得结论．（3）以A为圆心，以AP的长为半径画弧交BP于D，连接AD，过点A作AF⊥BP交BP 于F，得到等腰三角形，然后通过三角形全等证得结论．【答案与解析】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∠APB=∠ABC，∴∠APB=60°，又∵点P恰巧在∠ABC的平分线上，∴∠ABP=30°，∴∠PAB=90°，∴BP=2AP，∵AP=2，∴BP=4；（2）结论：PA+PC=PB．证明：如图1，在BP上截取PD，使PD=PA，连结AD，∵∠APB=60°，∴△ADP是等边三角形，∴∠DAP=60°，∴∠1=∠2，PA=PD，在△ABD与△ACP中，，∴△ABD≌△ACP，∴PC=BD，∴PA+PC=PB；（3）结论：PA+PC=PB．证明：如图2，以A 为圆心，以AP 的长为半径画弧交BP 于D ，连接AD ，过点A 作AF ⊥BP 交BP 于F ， ∴AP=AD ，∵∠BAC=120°， ∴∠ABC=30°， ∴∠APB=30°， ∴∠DAP=120°， ∴∠1=∠2，在△ABD 与△ACP 中，，∴△ABD ≌△ACP ， ∴BD=PC ， ∵AF ⊥PD ， ∴PF=AP ，∴PD=AP ， ∴PA+PC=PB ．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，截长补短作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 的角平分线，AB ＞AC,求证：AB －AC ＞BD －DC【答案】证明：在AB 上截取AE ＝AC,连结DE∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD 在△AED 与△ACD 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD CAD BAD AC AE EDCBA∴△AED≌△ADC（SAS）∴DE＝DC在△BED中，BE＞BD－DC即AB－AE＞BD－DC∴AB－AC＞BD－DC（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段4、（2016•海淀区校级模拟）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF ∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．【思路点拨】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，则EH=FG，通过证明△AEH≌△CFG即可．【答案与解析】解：作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，∵∠1=∠2，AD⊥BC，∴EH=ED（角平分线的性质）∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，∴四边形EFGD是矩形，∴ED=FG，∴EH=FG，∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C，又∵∠AHE=∠FGC=90°，∴△AEH≌△CFG（AAS）∴AE=CF．【总结升华】本题考查了角平分线的性质；已知角平分线，构造全等三角形，综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点．5、如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，12AE BD，求证：BD是∠ABC的平分线．【答案与解析】证明：延长AE和BC，交于点F，∵AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC（对顶角相等），∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．在Rt△ACF和Rt△BCD中．所以Rt△ACF≌Rt△BCD（ASA）．则AF=BD（全等三角形对应边相等）．∵AE=BD，∴AE=AF，即AE=EF．在Rt△BEA和Rt△BEF中，则Rt△BEA≌Rt△BEF（SAS）．所以∠ABE=∠FBE（全等三角形对应角相等），即BD是∠ABC的平分线．【总结升华】如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决．平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.类型二、全等三角形动态型问题【高清课堂：379111 直角三角形全等的判定，巩固练习5】6、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，垂足分别为E，F.（1）如图1当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF.（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB相交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.【答案与解析】证明：（1）∵AE ⊥l ，BF ⊥l ，∴∠AEC ＝∠CFB ＝90°，∠1＋∠2＝90°∵∠ACB ＝90°，∴∠2＋∠3＝90° ∴∠1＝∠3。
人教版八上数学之《三角形》全章复习与巩固—巩固练习(基础)
《三角形》全章复习与巩固（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．（2016•岳阳）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（）A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cmC．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm2．如图所示的图形中，三角形的个数共有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．一个多边形的对角线共有27条，则这个多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D． 114．已知三角形两边长分别为 4 cm和9 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是( )A．13 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm5．下列不能够镶嵌的正多边形组合是（）A．正三角形与正六边形 B．正方形与正六边形C．正三角形与正方形 D．正五边形与正十边形6．下列说法不正确的是 ( )A．三角形的中线在三角形的内部 B．三角形的角平分线在三角形的内部C．三角形的高在三角形的内部 D．三角形必有一高线在三角形的内部7．(四川绵阳)王师傅用4根木条钉成一个四边形木架．如图所示，要使这个木架不变形，他至少要再订上几根木条?( )A．0根 B．1根 C．2根 D．3根8．（2015•郑州模拟）如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于（）A．110°B．115°C．120°D．130°二、填空题9．三角形的外角和等于它的内角和的倍；2013边形的外角和是．10．如果三角形的两边长分别是3 cm和6 cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为________cm．11．已知多边形的内角和为540°，则该多边形的边数为；这个多边形一共有条对角线．12. 一个多边形的每个外角都是18°，则这个多边形的内角和为．13.如图，AD、AE分别是△ABC的高和中线，已知AD＝5cm，CE＝6cm，则△ABE和△ABC的面积分别为________________．14. （2016•南京一模）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=°．15.（2015春•南京校级月考）如图：已知△ABC的∠B和∠C的外角平分线交于D，∠A=40°，那么∠D=度．16．在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，则∠DAE 的度数为_________.三、解答题17．判断下列所给的三条线段是否能围成三角形?(1)5cm，5cm，a cm(0＜a＜10)；(2)a+1，a+2，a+3；(3)三条线段之比为2:3:5．18．（2015春•丹江口市期末）如图，试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．19. 多边形内角和与某一个外角的度数总和是1350°，求多边形的边数．20.利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出3种方法)?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D；【解析】解：A、因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；B、因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误；C、因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；D、因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．2. 【答案】C；【解析】三个三角形：△ABC, △ACD, △ABD．3. 【答案】B；【解析】根据多边形的对角线的条数公式列式，把所给数值代入进行计算即可求解．4. 【答案】B；【解析】根据三角形的三边关系进行判定．5. 【答案】B；【解析】A、正六边形的内角是120°，正三角形内角是60°，能组成360°，所以能镶嵌成一个平面，故本选项不合题意；B、正六边形的内角是120°，正方形内角是90°，不能组成360°，所以不能镶嵌成一个平面，故本选项符合题意；C、正三角形的内角为60°，正方形的内角为90°，能组成360°，所以能镶嵌成一个平面，故本选项不合题意；D、正五边形的内角为108°，正十边形的内角为144°，能组成360°，所以能镶嵌成一个平面，故本选项不合题意．故选B．6. 【答案】C；【解析】三角形的三条高线的交点与三条角平分线的交点一定都在三角形内部，但三角形的三条高线的交点不确定：当三角形为锐角三角形时，则交点一定在三角形的内部；当三角形为钝角三角形时，交点一定在三角形的外部．7. 【答案】B；8. 【答案】B；【解析】解：∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣50°=130°，∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣65°=115°．故选B．二、填空题9．【答案】2，360°；【解析】三角形内角和为180°，任意多边形外角和等于360°．10.【答案】5 cm或7 cm；11.【答案】5 ，5；【解析】根据n边形的内角和定理得到关于n的方程∴（n﹣2）•180°=540°，解方程求得n，然后利用n边形的对角线条数为计算即可．12.【答案】3240°；【解析】由一个多边形的每个外角都等于18°，根据n边形的外角和为360°计算出多边形的边数n，然后根据n边形的内角和定理计算即可．13．【答案】15cm2，30cm2；【解析】△ABC的面积是△ABE面积的2倍．14．【答案】540°；【解析】连接∠2和∠5，∠3和∠5的顶点，可得三个三角形，根据三角形的内角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=540°．故答案为540．15.【答案】70°．【解析】解：∵∠A=40°，∴△ABC的∠B和∠C的外角和为：180°﹣∠1+180°﹣∠2=360°﹣（∠1+∠2）=360°﹣（180°﹣40°）=360°﹣140°=220°．由于CD、BD的平分线交于点D，则∠4+∠5=×220°=110°，根据三角形内角和定理，∠D=180°﹣110°=70°．16.【答案】10°．三、解答题17.【解析】解：(1)5+5＝10＞a(0＜a＜10)，且5+a＞5，所以能围成三角形；(2)当-1＜a＜0时，因为a+1+a+2＝2a+3＜a+3，所以此时不能围成三角形，当a＝0时，因为a+1+a+2＝2a+3＝3，而a+3＝3，所以a+1+a+2＝a+3，所以此时不能围成三角形．当a ＞0时，因为a+1+a+2＝2a+3＞a+3．所以此时能围成三角形．(3)因为三条线段之比为2:3:5，则可设三条线段的长分别是2k，3k，5k，则2k+3k＝5k 不满足三角形三边关系．所以不能围成三角形．18.【解析】解：连结BC，∵∠E+∠D+∠EFD=∠1+∠2+∠BFC=180°，又∵∠EFD=∠BFC，∴∠E+∠D=∠1+∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠ABD+∠ACE+∠1+∠2=∠ABC+∠A+∠ACB=180゜．19.【解析】解：设这个外角度数为x，根据题意，得（n﹣2）×180°+x=1350°，解得：x=1350°﹣180°n+360°=1710°﹣180°n，由于0＜x＜180°，即0＜1710°﹣180°n＜180°，解得8.5＜n＜9.5，所以n=9．故多边形的边数是9．20.【解析】解：如图。
新人教版八年级上册数学[《三角形》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](提高)
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新人教版八年级上册数学[《三角形》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](提高)本文介绍了八年级上册数学中三角形的相关知识点。
研究目标包括正确表示三角形，理解三角形三边之间的关系，掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用，掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题。
首先，文章介绍了三角形三边之间的关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这一定理的应用可以判断三条线段能否组成三角形，同时可以求出第三边长的取值范围。
接着，文章将三角形按边分类，分为不等边三角形、底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形。
同时，文章介绍了三角形的重要线段，包括三角形的高、中线、角平分线。
三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外。
一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心。
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心。
最后，文章提到了多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念，探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力。
在解决多边形问题时，可以先将多边形分割成若干个三角形，然后利用三角形的内角和公式求解；3)内角和公式的推导：将多边形分割成(n-2)个三角形，每个三角形的内角和为180°，因此n边形的内角和为(n-2)·180°.2.外角和公式：n边形的外角和为360°(n≥3，n是正整数)．要点诠释：(1)外角和公式的推导：每个顶点的外角之和为360°，因此n边形的外角和为n·360°；2)外角和公式的应用：在解决多边形问题时，可以利用外角和公式求解一些问题，如求一个n边形的某个内角的补角或余角等．1.已知多边形的边数，可通过公式计算出其内角和；已知多边形的内角和，可通过公式计算出其边数。
《三角形》全章复习与巩固(提高)知识讲解
《三角形》全章复习与巩固（提高）【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的分类【高清课堂：与三角形有关的线段三角形的分类】1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 要点三、三角形的三边关系1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 2.三角形的重要线段：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. 要点四、全等三角形的性质与判定 1.全等三角形的性质全等三角形对应边相等，对应角相等. 2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）. “全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）全等三角形判定4——“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.要点五、用尺规作三角形1.基本作图利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知识作一个三角形与已知三角形全等；要点诠释：要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.【典型例题】类型一、三角形的内角和1.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少? 【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，∵ BD是AC边上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．综上，∠C的度数为60°或30°．【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．举一反三【变式】已知：如图，在ΔABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD、CE相交于H，则∠BHC的度数为 .【答案】135°.类型二、三角形的三边关系及分类2.已知：a、b、c为三角形的三边长，化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|.【思路点拨】根据三角形的三边关系得出a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，再去绝对值符号，合并同类项即可．【答案与解析】解：∵a、b、c为三角形三边的长，∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，∴原式=|（b+c）﹣a|+|b﹣（c+a）|﹣|c﹣（a+b）|﹣|（a+c）﹣b|=b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c+b﹣a﹣c=2c﹣2a．【总结升华】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．举一反三【变式】一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为．【答案】8．解：设第三边长为x，∵两边长分别是2和3，∴3﹣2＜x＜3+2，即：1＜x＜5，∵第三边长为奇数，∴x=3，∴这个三角形的周长为2+3+3=8.3.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．4. 有一个等腰三角形，它的两个角的度数比是1：2，这个三角形按角分类可能是什么三角形？【思路点拨】因为该等腰三角形的两个角的度数比是1：2，则这个三角形三个角度数的比为1：2：2或1：1：2，进而根据按比例分配知识，分别求出三角形的最大角的度数，进而根据三角形的分类进行判断即可．【答案与解析】解：（1）1+1+2=4，180×24=90°∴该三角形是直角三角形；（2）又1+2+2=5，180×25=72°∵最大角为72度，是锐角，∴该三角形的三个角都是锐角，即该三角形是锐角三角形；综上所述：该三角形是直角三角形或锐角三角形．【总结升华】解答此题用到的在知识点：（1）三角形的内角和180度；（2）按比例分配知识；（3）三角形的分类；举一反三【变式】一个三角形的三个角的度数比是1：2：3，这个三角形中最小的一个角是度，按角分类，这个三角形是三角形．【答案】30；直角.类型三、三角形的重要线段5. 如图13，△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠FCD的度数.【思路点拨】由图可知∠CDF是Rt△CDF的一个内角，求∠CDF可先求出∠FCD，△CDB为直角三角形，所以可以求出∠BCD，而∠FCD=∠BCE－∠BCD.【答案与解析】在△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，由三角形的内角和定理得：∠BCA=180°-72°-40°=68°又CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠BCA=34°，在中，CD⊥AB于D，∠B = 72°∴∠BCD= 90°- 72°= 18°∴∠FCD=∠BCE－∠BCD=34°-18°=16°.即∠FCD =16°.【总结升华】这是三角形内角和定理在直角三角形中的应用，直角三角形两个锐角互余，所以在直角三角形中，已知一个锐角的大小，就可以求出另一个锐角的度数.举一反三【变式】如图14，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC 的平分线，求∠DAE的度数．【答案】∠DAE=35°类型四、全等三角形的性质和判定6. 如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．【思路点拨】根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，结合条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论．【答案与解析】解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．【总结升华】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．举一反三：【变式】已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．【答案】证明：延长CE至F使EF＝CE，连接BF．∵ EC为中线，∴ AE＝BE．在△AEC与△BEF中，,,,AE BEAEC BEF CE EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC≌△BEF（SAS）．∴ AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴ AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴ AB＝BF．又∵ BC为△ADC的中线，∴ AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB与△DCB中，,,,BF BDFBC DBC BC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FCB≌△DCB（SAS）．∴ CF＝CD．即CD＝2CE．类型五、全等三角形判定的实际应用7. 为在池塘两侧的A，B两处架桥，要想测量A，B两点的距离，有以下两种方法：（1）如图所示，找一处看得见A，B的点P，连接AP并延长到D，使PA=PD，连接BP 并延长到C，使PC=PB．测得CD=35m，就确定了AB也是35m，说明其中的理由；（2）如图所示，也可先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C，D•两点，•使BC=CD．接着过点D作BD的垂线DE交AC的延线长于E，则测出DE的长即为A，B的距离．•你认为这种方案是否切实可行，请说出你的理由．作BD⊥AB，ED⊥BF的目的是什么？若满足∠ABD=∠BDE≠90°，此方案是否仍然可行？为什么？【思路点拨】本题两种测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，从而得知AB的距离．【答案】（1）由△APB≌△DPC，所以CD=AB．（2）由△ACB≌△ECD得DE=AB．目的是使DE∥AB，可行．【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决．类型六、用尺规作三角形8.已知：线段a，b求作：△ABC，使AB=a，BC=b，AC=2a．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）word 可编辑文档11 【思路点拨】首先画线段AC=2a ，再以A 为圆心，a 长为半径画弧，再以C 为圆心，b 长为半径画弧，两弧交于点B ，连接AB 、BC 即可．【答案与解析】解：如图所示：，△ABC 即为所求．【总结升华】此题主要考查了作图，关键是掌握作一条线段等于已知线段的方法；利用三角形全等判定定理”边边边”解决本题．举一反三【变式】作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）如图，已知，∠α、∠β．求作∠AOB ，使∠AOB=2∠α+∠β．【答案】解：只要方法得当，有作图痕迹就给分，无作图痕迹不给分．。
初二数学复习巩固经典 全等三角形全章复习与巩固(基础)巩固练习
全等三角形全章复习与巩固（基础）【巩固练习】一.选择题1. 如图所示，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（）A.2B.3C.5D.2.52. 在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（）A. ∠AB. ∠BC. ∠CD. ∠B或∠C3. 如图，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF是对应角，则∠EAC等于（）A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC4. 在下列结论中, 正确的是( )A.全等三角形的高相等B.顶角相等的两个等腰三角形全等C. 一角对应相等的两个直角三角形全等D.一边对应相等的两个等边三角形全等5. 如图，点C、D分别在∠AOB的边OA、OB上，若在线段CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）．A. 线段CD的中点B. OA与OB的中垂线的交点C. OA与CD的中垂线的交点D. CD与∠AOB的平分线的交点6．在△ABC与△DEF中，给出下列四组条件：（1）AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；（2）AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；（3）∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；（4）AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）组．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组7. 如果两个锐角三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ）A. 相等B.不相等C.互补D.相等或互补8. △ABC 中，∠BAC ＝90° AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，∠B ＝2∠C ，∠DAE 的度数是( )A.45°B.20°C.、30°D.15°二.填空题9. 已知'''ABC A B C △≌△，若△ABC 的面积为10 2cm ，则'''A B C △的面积为________2cm ，若'''A B C △的周长为16cm ，则△ABC 的周长为________cm ．10. △ABC 和△ADC 中，下列三个论断：①AB ＝AD ；②∠BAC ＝∠DAC ；③BC ＝DC ．将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：__________．11. 如图，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE ＝4，BD ＝8，△ABD 的面积为16，则的面积为____．12. 下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS ”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA ”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是_____.13. 如右图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D．若AB＝a，CD＝b，则△ADB的面积为______________ ．14．如图，已知AB⊥BD,AB∥ED，AB＝ED，要说明ΔABC≌ΔEDC，若以“SAS”为依据，还要添加的条件为______________；若添加条件AC＝EC，则可以用_______公理（或定理）判定全等.15. 如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.16. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.若AB＝20cm，则△DBE的周长为_________.三.解答题17. 已知：如图，CB＝DE，∠B＝∠E，∠BAE＝∠CAD．求证：∠ACD＝∠ADC．18．已知：△ABC中，AC⊥BC，CE⊥AB于E，AF平分∠CAB交CE于F，过F作FD∥BC交AB 于D．求证： AC＝AD19. 如图（1），AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，点C是BD上一点．且BC＝DE，CD＝AB．（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由；（2）如图（2），若把△CDE沿直线BD向左平移，使△CDE的顶点C与B重合，此时第（1）问中AC与BE的位置关系还成立吗？（注意字母的变化）20. 已知如图所示，PA＝PB，∠1＋∠2＝180°，求证：OP平分∠AOB．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B；【解析】根据全等三角形对应边相等，EC＝AC－AE＝5－2＝3；2. 【答案】A；【解析】如果选B或者C的话，三角形内角和就会超过180°.3. 【答案】C；【解析】∠EAF＝∠BAC，∠EAC＝∠EAF－∠CAF＝∠BAC－∠CAF＝∠BAF.4. 【答案】D；【解析】A项应为全等三角形对应边上的高相等；B项如果腰不相等不能证明全等；C项直角三角形至少要有一边相等.5. 【答案】D；【解析】角平分线上的点到角两边的距离相等.6. 【答案】C ；【解析】（1）（2）（3）能使两个三角形全等.7. 【答案】A ；【解析】高线可以看成为直角三角形的一条直角边，进而用HL 定理判定全等.8. 【答案】D ；【解析】由题意可得∠B ＝∠DAC ＝60°，∠C ＝30°，所以∠DAE ＝60°－45°＝15°.二.填空题9. 【答案】10，16；【解析】全等三角形面积相等，周长相等.10．【答案】①②③；11.【答案】8；【解析】1162BD h =g ，h ＝4，1482AE ⨯=. 12.【答案】①③【解析】②不正确是因为存在两个全等的三角形与某一个三角形不全等的情况.13.【答案】ab 21； 【解析】由角平分线的性质，D 点到AB 的距离等于CD ＝b ，所以△ADB 的面积为ab 21. 14.【答案】BC ＝DC ，HL ；15.【答案】45°；【解析】Rt △BDH ≌Rt △ADC ，BD ＝AD.16.【答案】20cm ；【解析】BC ＝AC ＝AE ，△DBE 的周长等于AB.三.解答题17．【解析】证明：∵∠BAE ＝∠CAD ，∴∠BAE -∠CAE ＝∠CAD -∠CAE ，即∠BAC ＝∠EAD ．在△ABC 和△AED 中，BAC EAD B E BC ED ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝，＝，＝， ∴△ABC ≌△AED ． （AAS ）∴AC ＝AD ．∴∠ACD ＝∠ADC ．18.【解析】证明：∵AC⊥BC，CE⊥AB∴∠CAB ＋∠1＝∠CAB ＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3又∵FD∥BC∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2在△CAF 与△DAF 中CAF=DAF 1=2AF=AF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△CAF 与△DAF （AAS ）∴AC ＝AD.19.【解析】证明：（1）AC ⊥CE ．理由如下：在△ABC 和△CDE 中，,90,,BC DE B D AB CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ △ABC ≌△CDE （SAS ）．∴ ∠ACB ＝∠E ．又∵ ∠E ＋∠ECD ＝90°，∴ ∠ACB ＋∠ECD ＝90°．∴ AC ⊥CE ．（2）∵ △ABC 各顶点的位置没动，在△CDE 平移过程中，一直还有AB C D '=，BC ＝DE ，∠ABC ＝∠EDC ＝90°，∴ 也一直有△ABC ≌△C DE '(SAS)．∴ ∠ACB ＝∠E ．而∠E ＋∠EC D '＝90°，∴ ∠ACB ＋∠EC D '＝90°．故有AC ⊥C E '，即AC 与BE 的位置关系仍成立．20.【解析】证明：如图所示，过点P 作PE ⊥AO ，PF ⊥OB ，垂足分别为E 、F ．∵∠2＋∠1＝180°，又∵∠2＋∠PBO ＝180°，∴∠1＝∠PBO．在△AEP和△BFP中，∴△AEP≌△BFP（AAS）．∴PE＝PF（全等三角形对应边相等）．∴OP平分∠AOB（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）．。
八年级数学 《三角形》全章复习与巩固—巩固练习(提高)【名校试题+详解答案】
《三角形》全章复习与巩固（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．如果三条线段的比是：①1:3:4；②1:2:3；③1:4:6；④3:3:6；⑤6:6:10；⑥3:4:5，其中可构成三角形的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．下列正多边形能够进行镶嵌的是（）A．正三角形与正五边形 B．正方形与正六边形C．正方形与正八边形 D．正六边形与正八边形3．一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别为5和9，则满足上述条件的三角形个数为 ( )A．2个 B．4个 C．6个 D．8个4．如图，如果把△ABC沿AD折叠，使点C落在边AB上的点E处，那么折痕(线段AD)是△ABC 的( )A．中线 B．角平分线 C．高 D．既是中线，又是角平分线5．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，则下列说法中错误的是 ( )A．在△ABC中，AC是BC边上的高B．在△BCD中，DE是BC边上的高C．在△ABE中，DE是BE边上的高D．在△ACD中，AD是CD边上的高6．每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9倍，则这个多边形的边数( )A．19 B．20 C．21 D．227．给出下列图形：其中具有稳定性的是( )A．① B．③ C．②③ D．②③④8．已知三角形的一个外角等于60°，且三角形中与这个外角不相邻的两个内角中，其中一个比另一个大10°，则这个三角形的三个内角分别是（）A．120°，35°，25° B．110°，45°，25°C．100°，55°，25° D．120°，40°，20°二、填空题10．若a、b、c表示△ABC的三边长，则|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|＝________．11．三角形的两边长分别为5 cm和12 cm，第三边与前两边中的一边相等，则三角形的周长为________．12．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为．13．如图，在△ABC中，D是BC边上的任意一点，AH⊥BC于H，图中以AH为高的三角形的个数为______个．14. 用正三角形和正方形镶嵌平面，每一个顶点处有个正三角形和个正方形．15．请你观察上图的变化过程，说明四条边形的四条边一定时，其面积________确定．(填“能”或“不能”)16．如图，是用四根木棒搭成的平行四边形框架，AB＝8cm，AD＝6cm，使AB固定，转动AD，当∠DAB＝_____时，ABCD的面积最大，最大值是________．三、解答题17．草原上有4口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，如图所示，如果现在要建一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到4口油井的距离之和HA+HB+HC+HD为最小，说明理由．18．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，求原多边形边数．19．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，（1）求∠BAC的度数．（2）△ABC是什么三角形．20．如图，一个四边形木框，四边长分别为AB＝8cm，BC＝6cm，CD＝4cm．AD＝5cm，它的形状是不稳定的，求AC和BD的取值范围．【答案与解析】一、选择题1. 【答案】B；【解析】根据两边之和大于第三边：⑤⑥满足.2. 【答案】C；【解析】解：A、正三角形的每个内角是60°，正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，60m+108n=360°，m=6﹣n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能够进行镶嵌，不符合题意；B、正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°，90m+120n=360°，m=4﹣n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能够进行镶嵌，不符合题意；C、正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8=135°，∵90°+2×135°=360°，∴能够组成镶嵌，符合题意；D、正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8=135°，正六边形的每个内角是120°，135m+120n=360°，n=3﹣m，显然m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能够进行镶嵌，不符合题意．3. 【答案】B；【解析】5+9＝14，所以第三边长应为偶数，大于4而小于14的偶数有4个，所以4. 【答案】B；【解析】折叠前后的图形完全相同.5. 【答案】C；【解析】三角形高的定义.6. 【答案】B；【解析】设外角为x则内角为9x，因为每一个内角与它的外角互为邻补角∴x+ 9x=180°；x=18°∵多边形的外角和为360°∴360°÷18°=20∴ 此多边形为20边形7. 【答案】C；【解析】均是由三角形构成的图形，具有稳定性.8. 【答案】AB；【解析】设三角形中与这个外角不相邻的两个内角中较小的为x，则另一个为x+10．x+x+10=60°，解得x=25°．所以三个内角分别是：120°，35°，25°．二、填空题++；10. 【答案】a b c【解析】根据三角形的三边关系可以去掉绝对值，再对原式进行化简．11.【答案】29cm；12.【答案】7；13.【答案】6；14．【答案】3；2；【解析】正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，∴用正三角形和正方形镶嵌平面，每一个顶点处有3个正三角形和2个正方形．15.【答案】不能；【解析】因为四边形的高不能确定．16.【答案】90°， 48 cm2；三、解答题17.【解析】解：维修站应建在四边形两对角线AC、BD的交点H处，理由如下：取不同于H的F点，根据三角形两边之和大于第三边可得；FD+FB＞HD+HB，FC+FA＞HC+HA．所以：FD+FB+FC+FA＞HD+HB+HC+HA，即HD+HB+HC+HA为最小．18.【解析】解：设新多边形的边数为n，则（n﹣2）•180°=2520°，解得n=16，①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，所以多边形的边数可以为15，16或17．故答案为：15，16或17．19.【解析】解：（1）当高AD在△ABC的内部时(如图(1))．因为∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，所以∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°+20°＝90°．当高AD在△ABC的外部时(如图(2))．因为∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，所以∠BAC＝∠BAD-∠CAD＝70°-20°＝50°．综上可知∠BAC的度数为90°或50°．（2）如图(1)，当AD在△ABC的内部时，因为∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°+20°＝90°，所以△ABC是直角三角形．如图(2)，当AD在△ABC的外部时，因为∠BAC＝∠BAD-∠CAD＝70°-20°＝50°，∠ABC＝90°-∠BAD＝90°-70°＝20°，所以∠ACB＝180°-∠ABC-∠BAC＝180°-50°-20°＝110°．所以△ABC为钝角三角形．综上可知，△ABC是直角三角形或钝角三角形．20.【解析】解：2cm＜AC＜9cm 3cm＜BD＜10cm。
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《三角形》全章复习与巩固（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．如果三条线段的比是：①1:3:4；②1:2:3；③1:4:6；④3:3:6；⑤6:6:10；⑥3:4:5，其中可构成三角形的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．下列正多边形能够进行镶嵌的是（）A．正三角形与正五边形 B．正方形与正六边形C．正方形与正八边形 D．正六边形与正八边形3．一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别为5和9，则满足上述条件的三角形个数为 ( )A．2个 B．4个 C．6个 D．8个4．（2016•乐山）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（）A．35° B．95° C．85° D．75°5．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，则下列说法中错误的是 ( )A．在△ABC中，AC是BC边上的高B．在△BCD中，DE是BC边上的高C．在△ABE中，DE是BE边上的高D．在△ACD中，AD是CD边上的高6．每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9倍，则这个多边形的边数( )A．19 B．20 C．21 D．227．给出下列图形：其中具有稳定性的是( )A．① B．③ C．②③ D．②③④8．（2015春•历城区期中）下面有关三角形的内角的说法正确的是（）A.一个三角形中可以有两个直角B.一个三角形的三个内角能都大于70°C.一个三角形的三个内角能都小于50°D.三角形中最大的内角不能小于60°二、填空题9. （2016春•南陵县期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B= ．10．若a、b、c表示△ABC的三边长，则|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|＝________．11．三角形的两边长分别为5 cm和12 cm，第三边与前两边中的一边相等，则三角形的周长为________．12．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为．13．如图，在△ABC中，D是BC边上的任意一点，AH⊥BC于H，图中以AH为高的三角形的个数为______个．14. 用正三角形和正方形镶嵌平面，每一个顶点处有个正三角形和个正方形．15．（2015•金平区一模）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足+（b﹣4）2=0，则第三边c的取值范围是．16．如图，是用四根木棒搭成的平行四边形框架，AB＝8cm，AD＝6cm，使AB固定，转动AD，当∠DAB＝_____时，ABCD的面积最大，最大值是________．三、解答题17．（2015春•福泉市校级期中）如图，已知AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，∠BEF 与∠EFD的平分线相交于点P，求证：EP⊥FP．18．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，求原多边形边数．19．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，（1）求∠BAC的度数．（2）△ABC是什么三角形．20．（2014春•苏州期末）观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．（1）如图，△ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由．（2）将（1）中点P移至△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得下图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（4）将（3）中的点P1、P2移至△ABC外，并使点P1、P2与点A在边BC的异侧，且∠P1BC ＜∠ABC，∠P2CB＜∠ACB，得图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（5）若将（3）中的四边形BP1P2C的顶点B、C移至△ABC内，得四边形B1P1P2C1，如图⑤，试观察比较四边形B1P1P2C1的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．【答案与解析】一、选择题1. 【答案】B；【解析】根据两边之和大于第三边：⑤⑥满足.2. 【答案】C；【解析】解：A、正三角形的每个内角是60°，正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，60m+108n=360°，m=6﹣n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能够进行镶嵌，不符合题意；B、正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°，90m+120n=360°，m=4﹣n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能够进行镶嵌，不符合题意；C、正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8=135°，∵90°+2×135°=360°，∴能够组成镶嵌，符合题意；D、正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8=135°，正六边形的每个内角是120°，135m+120n=360°，n=3﹣m，显然m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能够进行镶嵌，不符合题意．3. 【答案】B；【解析】5+9＝14，所以第三边长应为偶数，大于4而小于14的偶数有4个，所以4. 【答案】C；【解析】∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，∴∠ACD=2∠ACE=120°，∵∠ACD=∠B+∠A，∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣35°=85°，故选：C．5. 【答案】C；【解析】三角形高的定义.6. 【答案】B；【解析】设外角为x则内角为9x，因为每一个内角与它的外角互为邻补角∴x+ 9x=180°；x=18°∵多边形的外角和为360°∴360°÷18°=20∴ 此多边形为20边形7. 【答案】C；【解析】均是由三角形构成的图形，具有稳定性.8. 【答案】D；【解析】解：∵三角形内角和=180°，90°+90°=180°，∴一个三角形中不可以由两个直角，∴A不正确；∵三角形内角和=180°，70°+70°+70°=210°，∴一个三角形的三个内角不能都大于70°，∴B不正确；∵三角形内角和=180°，50°+50°+50°=150°，∴一个三角形的三个内角不能多小于50°，∴C不正确；∵三角形内角和=180°，∴三角形中最大的内角不能小于60°，∴D正确；故选：D．二、填空题9. 【答案】50°；【解析】解：∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠EAD+∠2，∴∠EAD=∠1﹣∠2=30°﹣20°=10°，Rt△ABD中，∠B=90°﹣∠BAD=90°﹣30°﹣10°=50°．++；10.【答案】a b c【解析】根据三角形的三边关系可以去掉绝对值，再对原式进行化简．11.【答案】29cm；12.【答案】7；13.【答案】6；14．【答案】3；2；【解析】正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，∴用正三角形和正方形镶嵌平面，每一个顶点处有3个正三角形和2个正方形．15.【答案】5＜c＜13．【解析】解：根据题意得：，解得：，则9﹣4＜c＜9+4，即5＜c＜13．16.【答案】90°， 48 cm2.三、解答题17.【解析】证明：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°，又EP、FP分别是∠BEF、∠EFD的平分线，∴∠PEF=∠BEF，∠EFP=∠EFD，∴∠PEF+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°，∴∠P=180°﹣（∠PEF+∠EFP）=180°﹣90°=90°，即EP⊥FP．18.【解析】解：设新多边形的边数为n，则（n﹣2）•180°=2520°，解得n=16，①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，所以多边形的边数可以为15，16或17．故答案为：15，16或17．19.【解析】解：（1）当高AD在△ABC的内部时(如图(1))．因为∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，所以∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°+20°＝90°．当高AD在△ABC的外部时(如图(2))．因为∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，所以∠BAC＝∠BAD-∠CAD＝70°-20°＝50°．综上可知∠BAC的度数为90°或50°．（2）如图(1)，当AD在△ABC的内部时，因为∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°+20°＝90°，所以△ABC是直角三角形．如图(2)，当AD在△ABC的外部时，因为∠BAC＝∠BAD-∠CAD＝70°-20°＝50°，∠ABC＝90°-∠BAD＝90°-70°＝20°，所以∠ACB＝180°-∠ABC-∠BAC＝180°-50°-20°＝110°．所以△ABC为钝角三角形．综上可知，△ABC是直角三角形或钝角三角形．20.【解析】解：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边，或两点之间线段最短．（2）△BPC的周长＜△ABC的周长．理由如下：如图，延长BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，两式相加得BP+PC＜AB+AC，于是得：△BPC的周长＜△ABC的周长．（3）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．理由如下：如图，分别延长BP1、CP2交于M，由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P1P2＜P1M+P2M，可得，BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，可得结论．或：作直线P1P2分别交AB、AC于M、N（如图），△BMP1中，BP1＜BM+MP1，△AMN中，MP1+P1P2+P2M ＜AM+AN，△P2NC中，P2C＜P2N+NC，三式相加得：BP1+P1P2+P2C＜AB+AC，可得结论．（4）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．理由如下：将四边形BP1P2C沿直线BC翻折，使点P1、P2落在△ABC内，转化为（3）情形，即可．（5）比较四边形B1P1P2C1的周长＜△ABC的周长．理由如下：如图，分别作如图所示的延长线交△ABC的边于M、N、K、H，在△BNM中，NB1+B1P1+P1M ＜BM+BN，又显然有，B1C1+C1K＜NB1+NC+CK，及C1P2+P2H＜C1K+AK+AH，及P1P2＜P2H+MH+P1M，将以上各式相加，得B1P1+P1P2+P2C+B1C1＜AB+BC+AC，于是得结论．。