狂刷39 立体几何的综合-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(理)人教版(解析版)

1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是A．若α⊥β，m⊥α，则m∥βB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若α∩β=m，n∥α，n∥β，则m∥nD．若α⊥β，且α∩β=m，点A∈α，直线AB⊥m，则AB⊥β【答案】C故选C．【名师点睛】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线与线，线与面，面与面之间的关系的判定方法及性质定理，是解答本题的关键．对每一个选项逐一判断得解.学科#网2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为A．5B．6C．7D．22【答案】CCD ，将四面体补成长方体，则BC=3，【解析】如图，AB=5，BD=1，2【名师点睛】本题综合考查了由三视图还原几何体，考查了求异面直线夹角，考查了面面垂直和线面垂直的性质，涉及了长方体的结构特征；把不规则的几何体补成规则几何体，把不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算求解.由三视图还原几何体，采用补形法补成长方体，可知最长的棱与最短的棱，再求异面直线所成角的正切值.3．圆锥底面半径为5，高为2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是 A ．253B ．453C ．3D ．4【答案】C【解析】由题知，圆锥底面半径为5，高为2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，设S 在底面的射影为O .543SA =+=，OA SO >，过SA 的轴截面如图：【名师点睛】本题考查空间点、线、面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题．作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解P 的位置，推出结果即可.学科&网4．在正方体1111ABCD A BC D -中，过对角线1AC 的一个平面交1BB 于E ，交1DD 于F 得四边形1AEC F ，则下列结论正确的是A ．四边形1AEC F 一定为菱形B ．四边形1AEC F 在底面ABCD 内的投影不一定是正方形 C ．四边形1AEC F 所在平面不可能垂直于平面11ACC AD ．四边形1AEC F 不可能为梯形 【答案】D5．如图1，边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，将△ADE ， △CDF ， △BEF 折起，使A ，C ，B 三点重合于G ，所得三棱锥G －DEF 的俯视图如图2，则该三棱锥正视图的面积为A ．12B ．23 C ．223D ．22【答案】B【解析】设正视图的高为h ，结合三棱锥点G 处的三条棱彼此垂直，利用等体积法有：2221121121211232232G DEF D GEFV V h ⎛⎫=⨯⨯⨯+-⨯=⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭－－＝，解得23h =.则正视图的面积：1222233S =⨯⨯=. 本题选择B 选项.【名师点睛】本题主要考查三视图的应用，等体积法的应用，三棱锥的空间结构等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.首先利用体积相等求得正视图的高，然后求解其面积即可.6．已知,,,E F H G 分别是四面体ABCD 的棱,,,AB BC CD DA 上的点，且AE EB =，BF FC =，2CH HD =，2AG GD =，则下列说法错误的是A ．AC ∥平面EFHB ．BD ∥平面EFGC ．直线,,EG FH BD 相交于同一点 D ．FE GH ∥【答案】B【名师点睛】这个题目考查的是直线和平面的位置关系的判断，线面平行的判定，线线平行的判定，直线共点的判定，一般证明线面平行是从线线平行入手，通过构造平行四边形，三角形中位线，梯形底边等，找到线线平行，再证线面平行.根据题目中的条件得到线线平行，再得到线面平行，A 、B 、D 就可以判断正误了，对于C 选项根据课本定理，两个平面的交线的性质得到证明.学科&网7．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是A ．1CC 与1B E 是异面直线B ．AC ⊥平面11ABB A C ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11AC ∥平面1AB E【答案】C【解析】对于A 项，1CC 与1B E 在同一个侧面中，故不是异面直线，所以A 错；【名师点睛】该题考查的是有关立体几何中空间关系的问题，在解题的过程中，需要对其相关的判定定理和性质定理的条件和结论熟练掌握，注意理清其关系.由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E 是BC 中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项.8．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为 （材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）A ．89πB ．169πC ．()3421π- D ．()31221π-【答案】A【解析】结合三视图可得该几何体为圆锥，其底面半径为1，高为2，则该圆锥的体积为：212ππ33V R h ==，如图所示，将其加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，设此长方体底面是边长为n 的正方形，高为x ，根据轴截面可得：21221nx-=，解得：1212n x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，【名师点睛】(1)求解以三视图为载体考查空间几何体的体积，解题的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；学科#网(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 9．我国古代《九章算术》里，记载了一个例子：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”该问题中的羡除是如图所示的五面体ABCDEF ，其三个侧面皆为等腰梯形，两个底面为直角三角形，其中6AB =尺，10CD =尺，8EF =尺，,AB CD 间的距离为3尺，,CD EF 间的距离为7尺，则异面直线DF 与AB 所成角的正弦值为A ．9130130 B ．7130130 C ．97D ．79【答案】B 【解析】如图：【名师点睛】求异面直线所成角要先通过平行线找出或者作出异面直线所成的角，然后构造出三角形，求出边长，就可以求三角函数值.先找出异面直线所成的角，然后计算边长求出正弦值.10．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且4PA =，M 是PB 上的一个动点，过点M 作平面α∥平面PAD ，截棱锥所得图形的面积为y ，若平面α与平面PAD 之间的距离为x ，则函数()y f x =的图象是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】过点M 作MN PA ∥交AB 于点N ，点M 作MF BC ∥交PC 于点F ，过点N 作NE AD ∥交CD 于点E ，连接EF .学科$网11．如图，已知,E F 分别是正方形ABCD 的边,AB CD 的中点，现将正方形沿EF 折成60 的二面角，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值是_______．【答案】510【解析】如图所示：【名师点睛】本题考查异面直线及其所成的角，其中利用平移的方法，求出异面直线FB 与AE 所成角的平面角是解答本题的关键．设正方形ABCD 的边长为2，则我们可以求出△BDF 中，DF ，BF ，BD 的长，由于∠DFB 即为异面直线FB 与AE 所成角，利用余弦定理，解三角形DFB 即可得到答案． 12．已知四面体ABCD 的所有棱长都为6，O 是该四面体内一点，且点O 到平面ABC 、平面ACD 、平面ABD 、平面BCD 的距离分别为13，x ，16和y ，则1x +1y的最小值是______. 【答案】83【解析】该几何体为正四面体，体积为()326312⨯=.各个面的面积为()2333642⨯=，所以四面体的体积又可以表示为1331133236x y ⎛⎫⨯⨯+++= ⎪⎝⎭，化简得32x y +=，故()()112112282223333y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=++≥⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当x =y 时取等号.【名师点睛】本小题主要考查正四面体体积的计算，考查利用分割法求几何体的体积，考查了方程的思想，考查了利用基本不等式求解和的最小值的方法.首先根据题目的已知条件判断出四面体ABCD 为正四面体，由于正四面体的棱长给出，所以可以计算出正四面体的体积，根据等体积法求得,x y 的一个等式，再利用基本不等式求得最小值.13．如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的中线AD 为折痕，将ABD △与ACD △折成互相垂直的两个平面，得到以下四个结论： ①BD ⊥平面ACD ； ②ABC △为等边三角形； ③平面ADC ⊥平面ABC ；④点D 在平面ABC 内的射影为ABC △的外接圆圆心.其中正确的有 A ．①②③ B ．②③④ C ．①②④D ．①③④【答案】C【解析】由于三角形ABC 为等腰直角三角形，故,BD AD CD AD ⊥⊥，由将ABD △与ACD △折成互相垂直的两个平面，得到BD CD ⊥，所以BD ⊥平面ACD ，故①正确，排除B 选项.学科&网 由于AD BD ⊥，BD CD ⊥，AD CD ⊥，可知AB BC AC ==，三角形ABC 为等边三角形，故②正确，排除D 选项.由于DA DB DC ==，且ABC △为等边三角形，故点D 在平面ABC 内的射影为ABC △的外接圆圆心， ④正确，排除A 选项. 故选C.14．已知三棱锥P ABC -中，AB BC =，AB BC ⊥，点P 在底面ABC △上的射影为AC 的中点，若该三棱锥的体积为92，那么当该三棱锥的外接球体积最小时，该三棱锥的高为 A ．2B ．33C ．23D ．3【答案】D【解析】如图所示，设AC 的中点为D ，连接PD ，很明显球心在PD 上，设球心为O ，PD =h ，AB =x ，则2211927,322x h x h⨯=∴=，【名师点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.15．已知直三棱柱ABC—A1B1C1的底面为等边三角形，且底面积为34，体积为34，点P，Q分别为线段A1B，B1C上的动点，若直线PQ∩平面ACC1A1＝ ，点M为线段PQ的中点，则点M的轨迹长度为A．24B．34C．22D．32【答案】D【解析】由题意可作如下图：故选D.【名师点睛】本题考查立体几何中，动点的轨迹问题，由题意找出图形中两个临界点，由题意得两点之间的线段即为所求，注意计算的准确性.由图可知点M 的轨迹为线段，两个端点分别为1AC 和1BB 的中点，即为等边三角形的高线，由底面积求出等边三角形边长，进而求出三角形的高线，即M 的轨迹. 16．在ABC △中，2,2,210,8,,,AB m AC n BC AB AC E F G ===+=分别为,,AB BC AC 三边中点，将,,BEF AEG GCF △△△分别沿EF EG GF 、、向上折起，使A B C 、、重合，记为S ，则三棱锥S EFG -的外接球表面积最小为 A ．29π2B ．233πC ．14πD ．9π【答案】D【名师点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，根据题意，将三棱锥S EFG -补成长方体，则对角线分别为,,10m n ，设长方体的长宽高分别为,,x y z ，再利用基本不等式，即可求解外接球的表面积的最小值.学科&网 求解球的组合体问题常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径.17．已知在正方体1111ABCD A BC D -中，点E 是AB 中点，点F 是11B C 中点，若正方体1111ABCD A BC D -的内切球与直线EF 交于点,G H ，且3GH =，点Q 是棱1BB 上一个动点，则1AQ D Q +的最小值为A ．6B ．310C ．622+D ．612+【答案】C【解析】设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，内切球球心为O ，【名师点睛】首先确定内切球半径，然后结合几何关系将空间几何体在平面上展开，据此求解AQ +D 1Q的最小值即可.(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折叠前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．学科&网(2)研究几何体表面上两点间的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．18．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，点P 是线段11B D 上的动点，则三棱锥P ABC -的外接球半径的取值范围为__________． 【答案】3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【名师点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.19．长方体1111ABCD A BC D -中，12AB AA AD ==，E 是1DD 的中点，114BF C K AB ==，设过点E 、F 、K 的平面与平面AC 的交线为l ，则直线l 与直线11A D 所成角的正切值为______.【答案】4【名师点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题，难度一般，延长KE ，KF 找到交线为MN ，又CN 平行于11A D ，故MN 与CN 所成的角即为所求.求异面直线所成角的步骤： （1）平移，将两条异面直线平移成相交直线．学科*网 （2）定角，根据异面直线所成角的定义找出所成角．（3）求角，在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角． （4）结论．20．如图，在矩形ABCD 中，点,G H 分别在,AD CD 上，285AG GD DH DC ====，沿直线GH 将DGH △翻折成1D GH △，使二面角1D GH D --为直角，点,E F 分别在线段,AB CH 上，沿直线EF 将四边形EFCB 向上折起，使B 与1D 重合，则CF =_______.【答案】32【解析】可设CF x =，由题意得翻折后，B 与1D 重合，∴1BF D F =， ∵25AG GD DH ===8DC =，90D ∠=︒，∴82GH =，20DC =，12HC =， 如图所示：【名师点睛】本题考查了二面角的平面角，面面垂直，点与面的距离，余弦定理，解三角形，考查了空间想象能力及计算能力，属于中档题.可设CF x =，由题意得翻折后，B 与1D 重合，可得1BF D F =，根据余弦定理，二面角的平面角，面面垂直构造关于x 的方程，解方程即可得到CF 的长.21．（2018新课标全国Ⅰ理科）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．2【答案】B【名师点睛】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.22．（2018年高考新课标Ⅲ理科）设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为 A ．123 B ．183 C ．243D ．543【答案】B【解析】如图所示，设点M 为三角形ABC 的重心，E 为AC 中点，当点D 在平面ABC 上的射影为M 时，三棱锥D ABC -的体积最大，此时，4OD OB R ===，23934ABC S AB ==△，6AB ∴=,点M 为三角形ABC 的重心，2233BM BE ∴==，Rt OBM ∴△中，有222OM OB BM =-=，426DM OD OM ∴=+=+=， ()max 19361833D ABC V -∴=⨯⨯=，故选B.学科&网【名师点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当点D在平面ABC上的射影为三角形ABC的重心时，三棱锥D ABC-体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到2233BM BE==，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型.21。