2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题及答案(高二年级)
2011年全国高中数学联合竞赛试题与答案(A卷)
.
解答
x−1
设 x = tan θ, θ ∈
ππ −2, 4
ππ
π
3π
, 42
⇒θ− 4 ∈
− 4 ,0
π 0,
，
4
于是
f (x)
=
sec θ tan θ −
1
=
sin θ
1 −
cos √
θ
=
√ 2
sin
1 θ
−
π 4
.
√
由于 sin
π θ− 4
∈ [−1, 0)
2
2
0, 2√
⇒ f (x) ∈
−∞, − 2
π 5π ,
.
44
5. 现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项
目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排
方案数为
.(用数字作答)
解答
依题意，各运动项目参加的人数为 2, 2, 1, 1, 1 或 3, 1, 1, 1, 1.
当各运动项目参加的人数为
⇒
a+b
2
⩾
8
⇒
1
+
1
⩾
√ 22
⇒
1
+
1
=
√ 2 2.
上述等号成立时
ab ab = 1,
a a
=
b √
2
+
1,
a a
b =
√ 2
−
1,
a
+
b
=
√ 22
⇒
b
=
√ 2
−
1
或
全国高中数学联赛试题参考答案(0000)
2011年全国高中数学联合竞赛一试试卷（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A {-3,0,2,6}．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是．5．现安排7名同学去参加5个运动工程，要求甲、乙两同学不能参加同一个工程，每个工程都有人参加，每人只参加一个工程，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．2011年全国高中数学联合竞赛加试试卷（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a xa x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数kr r r ,,,21，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk ij ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．四、（本题满分50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值．。
2011年全国高中数学联赛加试试题参考答案与评分标准
………………10 分
注意到，若 i, j 固定，则显然至多有一个 k 使得①成立．因 i < j ，即 i 有 j −1 种选法，
故 g j (r) ≤ j −1． 同样地，若 j, k 固定，则至多有一个 i 使得①成立．因 k > j ，即 k 有 n − j 种选法，故
g j (r) ≤ n − j ．从而
又因为 Q 为 BD 的中点，所以 ∠CQB = ∠DQF ． 又 ∠AQB = ∠DQF ，所以 ∠AQB = ∠CQB ．
………………40 分
2011 年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）答案第 1 页（共 4 页）
二、（本题满分 40 分）证明：对任意整数 n ≥ 4 ，存在一个 n 次多项式
i = m +1
即第 2 行至第 3 行、第 m +1列至第 n 列组成一个“好矩形”，从而至少有 2 个小方格不是“坏
格”，矛盾．
类似地，也不存在 m, n, 0 ≤ m < n ≤ 9 ，使 S m + Tm ≡ S n + Tn (mod10) ． …………30 分
因此上述断言得证．故
9
9
9
∑ ∑ ∑ S k ≡ Tk ≡ (S k + Tk ) ≡ 0 +1+ 2 +L + 9 ≡ 5(mod10) ，
f (x) = (x +1)(x + 2)L(x + n) + 2 ，
①
………………10 分
将①的右边展开即知 f (x) 是一个首项系数为 1 的正整数系数的 n 次多项式．
下面证明 f (x) 满足性质（2）．
对任意整数 t ，由于 n ≥ 4 ，故连续的 n 个整数 t +1, t + 2,L, t + n 中必有一个为 4 的倍数，
2011年全国高中数学联赛湖北省预赛试题(高二年级)
Ｙ —１ ， 以 ２ ）所
Ｏ ・Ｂ Ａ Ｏ
＇ —— － ——
＝（ 一 ２ Ｙ 一１ ・ ２ √ ，２ ） ｌ √ ，ｌ ）（ 一 ２ Ｙ —１
：（ ｌ √ ） 一 ２ ＋（ ｌ １ （ ２ ） Ｘ 一 ２ （ √ ） Ｙ 一 ）Ｙ —１ ２
ｎ ＋
１ ．已知数列 ｛ｎ满足 口 ＝ １，ａｎ＋ｌ＝ ０ ａ｝ １
７ 设集合 Ａ＝｛ ， ， ，， ， ， ， ，， ｝如果 ． ０ １ ２ ３ ４５ ６ ７ ８ ９ ．
方程 Ｘ 一僦 一 ＝０（ ７ ｍ， ∈Ａ） ｌ 至少有一个根 ０
．
３ 已知 ∈Ｒ， ． 如果集合 ｛ｎ ， ｓａ ＝｛ ｓ ， ｓ ａｃ ２ ｃ 口 ｉ ｏ ｌ ｏ
ｓ ２ ｝ 则 所 有 符 合 要 求 的 角 口构 成 的 集 合 为 ｉａ， ｎ
＝３ １ 一［ ＋卜 ］ ＝ ＞１ ．
所 口 ＝ 一 以 ＞ 吾
２１ 年全国高中数学联赛湖北省预赛试题（ ０１ 高二年级）
一
、
填空题
（ 本题 满分 ６ ， ４分 每小题 ８分． 直
接将答案写在横线上 ）
５设 模为 ２ 复数， 一 的 ． 是 的 则Ｉ ÷Ｉ 最大值 ｚ
与最小值的和为— — ． ６ 对一切满足 Ｉ ＋Ｉ ｌ 的实数 ， ， ． ｌ Ｙ ≤ｌ Ｙ 不等
式 ｌｘ一 ｙ Ｉ 一１ ＋ｌｙ— 一３≤ｎ恒成 ３＋ ２ ＋Ｉ Ｙ Ｉ ２ Ｉ
１ 已知 Ｐ是ＡＡ Ｃ所在平面上一点， ． Ｂ 满足商 ＋ ＋ 竞 ＝ 蕊 ， ３ 商 ２ ３ 则△ Ｐ与ＡＡ Ｃ的面积之 Ｂ
１ ．已知 椭 圆 ｃ： ２＋ １ ｘ
［ 一１ ｋ ］ ｋ ， ＋１上有两个不相等 的实根 ， 则实数 ｋ的
2011年全国高中数学联赛试题参考答案
2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk i j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．四、（本题满分50分）设A是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个)9⨯nmm方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A n≤≤1(≤1,3≤中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
湖北省全国高二数学联合竞赛预赛试题(湖北省)
（高二年级）说明：评阅试卷时，请依照本评分标准。
填空题只设 8 分和 0 分两档；解答题的评阅，只需思路合理、步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适合区分品位评分。
一、填空题（此题满分64 分，每题8 分。
直接将答案写在横线上。
）1．函数 f ( x) x 1 的值域为 ________________ ．x 2 4x 72 ．已知 3sin 2 2 sin 2 1 ，3(sin cos ) 2 2(sin cos )2 1 ，则cos2( ) _______________ ．3．已知数列 { a n } 知足： a1为正整数，a n 1 a n, a n 为偶数 ,假如 a1 a 2 a 3 29 ，则21, a n为奇数 ,3a na1 ．4．设会合 S {1,2,3, ,12} ， A { a1 , a 2 , a3 } 是 S 的子集，且知足 a1 a 2 a 3， a3 a2 5 ，那么知足条件的子集 A 的个数为．5．过原点 O 的直线 l 与椭圆 C ：x2 y2 1(a b 0)交于 M,N 两点，P是椭圆 C 上异a 2 b2于 M , N 的任一点．若直线 PM , PN 的斜率之积为1，则椭圆 C 的离心率为 _______________．36．在△ ABC 中， AB BC 2， AC 3 ．设 O 是△ ABC 的心里，若AO p AB qAC ，则p的值为_______________． q7．在长方体 ABCD A1 B1C1 D1中，已知AC 1, B1C 2, AB1 p ，则长方体的体积最大时，p 为 _______________ ．2012 2012 2k．8．设 [ x] 表示不超出x的最大整数，则[ ]k 0 2k 1二、解答题（本大题满分56 分，第 9 题 16 分，第10题 20分，第 11题 20分）9 ．已知正项数列{ a n } 知足anan 1anan 24 anan 1 a n2 13 a n a n 1且a1 1 ，a2 8 ，求{ a n}的通项公式．10．已知正实数a, b 知足 a 2b2 1 ，且a3 b 3 1 m(a b 1)3，求 m 的取值范围．11．已知点 E(m, n) 为抛物线y2 2 px( p 0) 内必定点，过 E 作斜率分别为k1, k2的两条直线交抛物线于A, B,C, D ，且 M , N 分别是线段 AB,CD 的中点．（ 1）当n 0 且 k1 k2 1 时，求△ EMN 的面积的最小值；（ 2）若k1 k2 （0, 为常数），证明：直线 MN 过定点．2012 年全国高中数学结合比赛湖北省初赛试题参照答案（高二年级）说明：评阅试卷时，请依照本评分标准。
2011年全国高中数学联赛预赛试题
2011年全国高中数学联赛预赛试题文昌中学数学组： 何立果一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．1．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足23PA PB PC AB ++=，则△ABP 与△ABC 的面积之比为_________．2. 设数列{}n a 满足1231231,4,9,,4,5,...n n n n a a a a a a a n ---====+-=，则2011a = .3. 不等式x a x a x cos 1cos sin 22+≥++对一切R x ∈成立，则实数a 的取值范围为 .4. 已知定义在正整数集上的函数()f n 满足以下条件：(1) ()()()f m n f m f n mn +=++，其中,m n 为正整数；(2) 6(3)f =.则(2011)f = .5. 方程1220112011x ---=一共有 个解. 6. 设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体, 则该正方体的棱长最大等于 .7. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线2y x =()22≤≤-x 绕y 轴旋转而构成的.请问能接触到杯底的球的半径最大是 .8. 计算：111..._____sin 45sin 46sin 46sin 47sin89sin 90+++=︒︒︒︒︒︒.二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.10．已知椭圆C ：22142x y +=，过点P 1)3-而不过点Q 的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点.（1）求∠AQB ；（2）记△QAB 的面积为S ，证明：3S <．11．（本小题满分20分）数列01,,...,,...n a a a 满足0120,1,0a a a ===，当3n ≥时有0122(...)1n n a a a a n -=+++-. 证明：对所有整数3n ≥，有10n n a >.。
2011年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
◆答案：
5 , 4 4
5 5 3 3 3
★解析： 不等式 cos sin 7(sin cos ) 等价于 sin 又 f ( x) x
3
1 5 x 是 (,) 上的增函数，所以 sin cos ， 7 5 (k Z)． 故 2k 2k 4 4
3(a1 a 2 a 3 a 4 ) (1) 3 5 8 15 ，故 a1 a 2 a 3 a 4 5 ，
于是集合 A 的四个元素分别为 5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3， 因此，集合 A {3, 0, 2, 6} ．
2011A 2、函数 f ( x )
0
3
★解析： 设四面体 ABCD 的外接球球心为 O ， 则 O 在过△ ABD 的外心 N 且垂直于平面 ABD 的垂线 上．由题设知， ABD 是正三角形，则点 N 为 ABD 的中心．设 P, M 分别为 AB, CD 的中点，则
2011 年全国高中数学联合竞赛试题 （A 卷） 第 2 页 共 11 页
2
ACB 90 0 ，则点 C 的坐标为
◆答案： (1,2) 或 (9,6) ． ★解析： 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), C (t ,2t ) ， 由
2
x 2 y 1 0, 2 得 y 8y 4 0 ， 则 y1 y 2 8 ， 2 y 4 x ,
2011 年全国高中数学联合竞赛试题 （A 卷） 第 4 页 共 11 页
于是 0 a 1 1 b 2 ．
10 1． b2 10 10 ] | lg[6(b 2) ]． 从而 f (10a 6b 21) | lg[6(b 2) b2 b2 10 ] 4 lg 2 ， 又 f (10a 6b 21) 4 lg 2 ，所以 lg[6(b 2) b2 10 1 16 ．解得 b 或 b 1 （舍去） 故 6(b 2) ． 3 b2 1 2 把 b 代入 ( a 1)(b 2) 1 解得 a ． 3 5 2 1 所以 a ， b ． 5 3