2017春高中数学第2章数列2.2等差数列第4课时等差数列前n项和公式的应用课时作业新人教B版必修5讲义

2017春高中数学 第2章 数列 2.2 等差数列 第4课时 等差数列前n项和公式的应用课时作业 新人
教B版必修5
基础巩固
一、选择题
1．四个数成等差数列，S4＝32，a2︰a3＝1︰3，则公差d等于(　A　)
A．8 B．16
C．4 D．0
[解析]　∵a2︰a3＝1︰3，∴＝，∴d＝－2a1，
又S4＝4a1＋d＝－8a1＝32，∴a1＝－4，∴d＝8.
2．(2015·新课标Ⅱ文，5)设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　A　)
A．5 B．7
C．9 D．11
[解析]　解法一：利用等差数列的性质进行求解．
∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，
∴S5＝＝5a3＝5.故选A．
解法二：利用等差数列的通项公式和前n项和公式进行整体运算．
∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，
∴a1＋2d＝1，
∴S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故选A．
3．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a m－1＋a m＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝(　C　)
A．38 B．20
C．10 D．9
[解析]　由等差数列的性质，得a m－1＋a m＋1＝2a m，
∴2a m＝a，由题意，得a m≠0，∴a m＝2.
又S2m－1＝＝
＝2(2m－1)＝38，∴m＝10.
4.＋＋＋…＋＝(　B　)
A． B．
C． D．
[解析]　原式＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(－)＝，故选B．
5．等差数列{a n}的公差d<0，且a＝a，则数列的前n项和S n取得最大值时的项数n是(　C　)
A．5 B．6
C．5或6 D．6或7
[解析]　由a＝a，得(a1＋a11)(a1－a11)＝0，
又d<0，∴a1＋a11＝0.∴a6＝0.∴S5＝S6且最大．
6．在等差数列{a n}中，若S12＝8S4，且d≠0，则等于(　A　)
A． B．
C．2 D．
[解析]　∵S12＝8S4，∴12a1＋×12×11×d＝8(4a1＋×4×3×d)，即20a1＝18d，∵d≠0，∴＝＝.
二、填空题
7．设{a n}是公差为－2的等差数列，若a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，
则a3＋a6＋a9＋…＋a99的值为－82.
[解析]　∵a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，公差d＝－2，
∴a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)
＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋33×2d
＝50＋66×(－2)＝－82.
8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2k＝72，且a k＋1＝18－a k，则正整数k＝4.
[解析]　S2k＝(a1＋a2k)＝k(a k＋a k＋1)＝k×18＝72，
∴k＝4.
三、解答题
9．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{a n}的通项公式；
(2)求数列{}的前n项和．
[解析]　(1)设{a n}的公差为d，则S n＝na1＋d.
由已知可得，解得a1＝1，d＝－1.
由{a n}的通项公式为a n＝2－n.
(2)由(1)知＝
＝(－)，
从而数列{}的前n项和为
(－＋－＋…＋－)
＝.
10．设等差数列的前n项和为S n.已知a3＝12，S12>0，S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．
[解析]　(1)依题意，
即
由a3＝12，得a1＋2d＝12. ③
将③分别代入②①，得，
解得－<d<－3.
(2)由d<0可知{a n}是递减数列，因此若在1≤n≤12中，使a n>0且a n＋<0，则S n最大．
1
由于S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0，可得a6>0，a7<0，
故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．
能力提升
一、选择题
1．在等差数列{a n}和{b n}中，a1＝25，b1＝15，a100＋b100＝139，则数列{a n＋b n}的前100项的和为(　C　)
A．0 B．4 475
C．8 950 D．10 000
[解析]　设c n＝a n＋b n，则c1＝a1＋b1＝40，c100＝a100＋b100＝139，{c n}是等差数列，∴前100项和S100＝＝＝8 950.
2．等差数列{a n}中，a1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值为4，则抽取的项是(　D　) A．a8 B．a9
C．a10 D．a11
[解析]　S11＝5×11＝55＝11a1＋d＝55d－55，
∴d＝2，S11－x＝4×10＝40，∴x＝15，
又a1＝－5，由a k＝－5＋2(k－1)＝15得k＝11.
3．一个凸n边形各内角的弧度数成等差数列，最小角为，公差为，则n的值为(　A　)
A．9 B．16
C．9或16 D．与A、B、C均不相同
[解析]　由题意，得(n－2)π＝n·＋·，
∴n2－25n＋144＝0，解得n＝9或16.
当n＝16时，a16＝＋15×＝>π，∴n≠16.故选A．
4．设{a n}是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n项和最大时，n等于(　A　)
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析]　∵{a n}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝15，∴a2＝5，
又∵a1·a2·a3＝105，∴a1a3＝21，由
及{a n}递减可求得a1＝7，d＝－2，∴a n＝9－2n，由a n≥0得n≤4，∴选A．
二、填空题
5．已知{a n}是等差数列，S n为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为110.
[解析]　设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d.
a3＝a1＋2d＝16，S20＝20a1＋d＝20，
∴解得d＝－2，a1＝20.
∴S10＝10a1＋d＝200－90＝110.
6．等差数列{a n}中，d<0，若|a3|＝|a9|，则数列{a n}的前n项和取最大值时，n的值为5或6.
[解析]　∵a1＋a11＝a3＋a9＝0，∴S11＝＝0，
根据二次函数图象的性质，由于n∈N*，所以当n＝5或n＝6时S n取最大值．
三、解答题
7．在数列{a n}中，a1＝8，a4＝2且a n＋2－2a n＋1＋a n＝0，n∈N*.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设S n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求S n.
[解析]　(1)∵a n＋2－2a n＋1＋a n＝0，∴{a n}是等差数列，
又∵a4＝a1＋3d＝8＋3d＝2，∴d＝－2，
∴a n＝8－2(n－1)＝10－2n.
(2)令10－2n≥0得n≤5，
∴当n≤5时，a n≥0，当n≥6时，a n<0.
∴n≤5时，S n＝a1＋a2＋…＋a n＝8n＋×(－2)＝－n2＋9n.
当n≥6时，S n＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－a n
＝2(a1＋a2＋…＋a5)－(a1＋a2＋…＋a n)
＝2×(－52＋9×5)－[8n＋×(－2)]
＝n2－9n＋40.
∴S n＝.
8．已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{a n}的前n项和为S n.
(1)求a n及S n；
(2)令b n＝(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和T n.
[解析]　(1)设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，
由于a3＝7，a5＋a7＝26，
∴a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.
∴a n＝2n＋1，S n＝n(n＋2)．
(2)∵a n＝2n＋1，∴a－1＝4n(n＋1)，
∴b n＝＝(－)．
故T n＝b1＋b2＋…＋b n
＝(1－＋－＋…＋－)
＝(1－)＝，
∴数列{b n}的前n项和T n＝.。