22.3_实际问题与二次函数(1)同步练习(含答案)
人教版九年级上数学《22.3实际问题与二次函数》同步练习(含答案详解)
22.3 实际问题与二次函数测试时间:25分钟一、选择题1.(2018安徽阜阳颍上月考)一个网球发射器向空中发射网球,网球飞行的路线呈一条抛物线,如果网球距离地面的高度h(米)关于运行时间t(秒)的函数解析式为h=-t2+t+1(0≤t≤20),那么网球到达最高点时所需的时间是秒.( )A.7B.8C.9D.102.(2017甘肃定西临洮期中)某市中心广场有各种音乐喷泉,其中一个喷水管喷水的最大高度为3m,此时距喷水管的水平距离为m,如图所示,这个喷泉喷出水流轨迹的函数解析式是( )A.y=-3-+3B.y=-3+3C.y=-12-+3D.y=-12+33.(2017河北保定涿州一模)如图,正方形ABCD的边长为5,点E是AB上一点,点F是AD延长线上一点,且BE=DF.四边形AEGF是矩形,则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为( )A.y=5-xB.y=5-x2C.y=25-xD.y=25-x24.如图是抛物线形拱桥,已知水位在AB位置时,水面宽为4m,水位上升3m,就达到警戒线CD,这时水面CD宽4m.若洪水到来时水位以每小时0.25m的速度上升,那么水过警戒线后小时淹到拱桥顶.( )A.6B.12C.18D.24二、填空题5.(2017上海奉贤一模)用一根长为8m的木条,做一个矩形的窗框.如果这个矩形窗框宽为x m,那么这个窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式为(不写自变量的取值范围).6.如图,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为8m,以隧道底部宽AB所在直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,抛物线解析式为y=-x2+b,则隧道底部宽AB是m.三、解答题7.(2017内蒙古鄂尔多斯中考)某商场试销A、B两种型号的台灯,下表是两次进货情况统计:(1)求A、B两种型号台灯的进价各为多少元;(2)经试销发现,A型号台灯售价x(元)与销售数量y(台)满足关系式2x+y=140,此商场决定两种型号台灯共进货100台,并一周内全部售出,若B型号台灯售价定为20元,求A型号台灯售价定为多少时,商场可获得最大利润,并通过计算说明商场获得最大利润时的进货方案.8.(2017辽宁朝阳中考)今年是“精准扶贫”攻坚关键年,某扶贫工作队为对口扶贫村引进建立了一村集体企业,并无偿提供一笔无息贷款作为启动资金,双方约定:①企业生产出的产品全部由扶贫工作队及时联系商家收购;②企业从生产销售的利润中,要保证按时发放工人每月最低工资32000元.已知该企业生产的产品成本为20元/件,月生产量y(千件)与出厂价x(元)(25≤x≤50)的函数关系可用图中的线段AB和BC表示,其中AB的解析式为y=-x+m(m为常数).(1)求该企业月生产量y(千件)与出厂价x(元)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)当该企业生产出的产品出厂价定为多少元时,月利润W(元)最大?最大利润是多少?[月利润=(出厂价-成本)×月生产量-工人月最低工资]22.3 实际问题与二次函数测试时间:25分钟一、选择题1.答案 D ∵h=-t2+t+1=-(t-10)2+(0≤t≤20),∴当t=10时,h取得最大值,故选D.2.答案 C 设函数解析式为y=a-+3,将点(0,0)代入,得a+3=0,解得a=-12,∴函数解析式为y=-12-+3,故选C.3.答案 D ∵BE=x(0≤x<5),∴AE=5-x,AF=5+x,∴y=AE·AF=(5-x)(5+x)=25-x2.故选D.4.答案 B 设抛物线解析式为y=ax2+h,又∵B(2,0),D(2,3),∴解得∴y=-x2+6,∴M(0,6),即OM=6m,∴MN=OM-ON=3m,∵=12,∴水过警戒线后12小时淹到拱桥顶.故选B.二、填空题5.答案y=-x2+4x解析易知这个矩形窗框的长为(4-x)m,则这个窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式为y=x(4-x)=-x2+4x,即y=-x2+4x.6.答案8解析∵y=-x2+b,隧道横截面的最大高度为8m,∴b=8,∴抛物线解析式为y=-x2+8.当y=0时,有0=-x2+8,解得x=4或-4,∴隧道底部宽AB是4+4=8(m).三、解答题7.解析(1)设A、B两种型号台灯的进价分别为m元、n元,由题意得解得答:A、B两种型号台灯的进价分别为40元、10元.(2)∵A型号台灯售价x(元)与销售数量y(台)满足关系式2x+y=140,即y=-2x+140,则B型号台灯共进货100-y=(2x-40)台,设商场可获得利润为w元,则w=(x-40)(-2x+140)+(20-10)(2x-40)=-2x2+240x-6000=-2(x-60)2+1200,∵-2<0,∴A型号台灯售价定为60元时,商场可获得最大利润,为1200元.8.解析(1)把(40,3)代入y=-x+m,得3=-×40+m,∴m=5,∴y=-x+5(25≤x≤40),设BC的解析式为y=kx+b,把(40,3),(50,2)代入y=kx+b,得解得∴y=-x+7(40≤x≤50),综上所述:y=--(2)设该企业生产出的产品出厂价定为x元时,月利润W(元)最大,根据题意得,当25≤x≤40时,W=1000-(x-20)-32000=-50x2+6000x-132000=-50(x-60)2+48000,当x=40时,W有最大值,为28000元.当40<x≤50时,W=1000-(x-20)-32000=-100x2+9000x-172000=-100(x-45)2+30500,当x=45时,W有最大值,为30500元.综上,当该企业生产出的产品出厂价定为45元时,月利润最大,最大利润是30500元.。
22.3 实际问题与二次函数 同步练习(附答案)
22.3 实际问题与二次函数第1课时二次函数与图形面积1．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积为() A．60 m2B．63 m2C．64 m2D．66 m22．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m长的篱笆围一个矩形场地．当AD＝时，矩形场地的面积最大，最大值为.第1题图第2题图第3题图第4题图3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿AB向B 点以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1 cm/s的速度移动，如果P，Q 分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积最大时，运动时间t为s.4．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的点，F为CD边上的点，且AE＝AF，AB＝4，设EC ＝x，△AEF的面积为y，则y与x之间的函数关系式是．5．用长为20 cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为x cm，面积为y cm2.(1)求出y与x的函数关系式；(2)当边长x为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？6．如图，要利用一面墙(长为30 m)建羊圈，用100 m长的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，每个羊圈留有一个1 m宽的门(留门部分不需要围栏)，若宽用x(m)表示，总面积用y(m2)表示．(1)写出总面积y(m2)与宽x(m)的函数关系式；(2)当面积y＝624时，求羊圈的宽x的值．7．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？8．用一段长为24 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长8 m，则这个养鸡场最大面积为 m2.9．如图，在边长为6 cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，均以1 cm/s的速度向点B，C，D，A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为3s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是cm2.10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12 cm，点P是AB边上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，当PB＝时，四边形PECF的面积最大，最大值为.11．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m.(1)若花园的面积为192 m2，求x的值；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．12．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x 米，面积为y 平方米．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．13．如图，正方形ABCD 的边长为2 cm ，△PMN 是一块直角三角板(∠N ＝30°)，PM ＞2 cm ，PM 与BC 均在直线l 上，开始时M 点与B 点重合，将三角板向右平行移动，直至M 点与C 点重合为止．设BM ＝x cm ，三角板与正方形重叠部分的面积为y cm 2.下列结论：①当0≤x ≤233时，y 与x 之间的函数关系式为y ＝32x 2；②当233<x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式为y ＝2x －233；③当MN 经过AB 的中点时，y ＝32cm 2； ④存在x 的值，使y ＝12S 正方形ABCD (S 正方形ABCD 表示正方形ABCD 的面积)．其中正确的是 (写出所有正确结论的序号)．第2课时 二次函数与商品利润1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x 元，则可卖出(350－10x)件商品，那么卖出商品所赚钱y(元)与售价x(元)之间的函数关系式为( )A ．y ＝－10x 2－560x ＋7 350 B ．y ＝－10x 2＋560x －7 350 C ．y ＝－10x 2＋350x D ．y ＝－10x 2＋350x －7 3502．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元(20≤x ≤30，且x 为整数)出售，可卖出(30－x)件．若使利润最大，则每件商品的售价应为 元．3．中考前，某校文具店以每套5元购进若干套考试用具，为让利考生，该店决定售价不超过7元，在几天的销售中发现每天的销售数量y(套)和售价x(元)之间存在一次函数关系，绘制图象如图．(1)y与x的函数关系式为(要求写出x的取值范围)；(2)设销售该套文具每天获利w元，则销售单价应为多少元时，才能使文具店每天的获利最大？最大利润是多少？4．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为()A．5元B．10元C．0元D．6元5．某商场销售一批品牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．(1)若商场平均每天盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？(2)想要平均每天盈利最多，每件衬衫应降价多少元？6．喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x 元(x 为正整数)，每星期销售该商品的利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为( )A ．y ＝－10x 2＋100x ＋2 000 B ．y ＝10x 2＋100x ＋2 000 C ．y ＝－10x 2＋200x D ．y ＝－10x 2－100x ＋2 0007．某商品进货单价为30元，按40元一个销售能卖40个；若销售单价每涨1元，则销量减少1个．为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为 元．8．某工厂生产的某种产品按产量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件产品，每件利润6元(第一档)．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．(1)若生产第x 档次的产品一天的总利润为y 元(其中x 为正整数，且1≤x ≤10)，求出y 关于x 的函数解析式；(2)若生产第x 档次的产品一天的总利润为1 120元，求该产品的质量档次．9．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1 000 m 2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花．设种草部分的面积为x(m 2)，种草所需费用y 1(元)与x(m 2)的函数关系式为y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧k 1x （0≤x<600），k 2x ＋b （600≤x ≤1 000），其图象如图所示．栽花所需费用y 2(元)与x(m 2)的函数关系式为y 2＝－0.01x 2－20x ＋30 000(0≤x ≤1 000)．(1)请直接写出k 1，k 2和b 的值；(2)设这块1 000 m 2空地的绿化总费用为W(元)，请利用W 与x 的函数关系式，求出绿化总费用W 的最大值；(3)若种草部分的面积不少于700 m 2，栽花部分的面积不少于100 m 2，请求出绿化总费用W 的最小值．10．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件．为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？(3)若该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？第3课时实物抛物线1.河北省赵县的赵州桥是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝－125x2.当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为()A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m2．某隧道横截面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示．以隧道横截面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求得该抛物线对应的函数关系式为．3．有一个抛物线形的立交拱桥，这个拱桥的最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它的图形放在坐标系中(如图)．若在离跨度中心5 m处的M点垂直竖立一铁柱支撑拱顶，则这根铁柱的长为m.4．(绵阳中考)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m，水面宽度增加 m.5．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE ，ED ，DB 组成，已知河底ED 是水平的，ED ＝16 m ，AE ＝8 m ，抛物线的顶点C 到ED 的距离是11 m ．试以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，求题中抛物线的函数解析式．6．王大力同学在校运动会上投掷标枪，标枪运行的高度h(m)与水平距离x(m)的关系式为h＝－148x 2＋2324x ＋2，则王大力同学投掷标枪的成绩是 m.7．一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系式是y ＝－112x 2＋23x ＋53，铅球运行路线如图． (1)求铅球推出的水平距离；(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4 m.8．某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h ＝－5t 2＋150t ＋10表示．经过 s ，火箭达到它的最高点．9．如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式是y ＝ax 2＋bx.小强骑自行车从拱梁一端O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC ，当小强骑自行车行驶8秒时和28秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需 秒．10．王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y ＝－15x 2＋85x ，如图，其中y(m)是球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2 m.(1)请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)请求出球飞行的最大水平距离；(3)若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线？求出其解析式．11．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m ，宽是4 m ．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y ＝－16x 2＋bx ＋c 表示，且抛物线上的点C 到墙面OB的水平距离为3 m ，到地面OA 的距离为172m.(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m ，宽为4 m ，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8 m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？22.3 实际问题与二次函数第1课时 二次函数与图形面积1．C2．20m ，800__m 2. 3．2.4．y ＝－12x 2＋4x ．5．解：(1)已知一边长为x cm ，则另一边长为(10－x )cm.则y ＝x (10－x )，化简，得y ＝－x 2＋10x (0＜x ＜10)．(2)y ＝10x －x 2＝－(x 2－10x )＝－(x －5)2＋25. ∴当x ＝5时，y 取最大值，为25.答：当边长x 为5 cm 时，矩形的面积最大，最大面积是25 cm 2. 6．解：(1)y ＝x (100－3x ＋2)，即y ＝－3x 2＋102x (24≤x ≤34)．(2)由题意得－3x 2＋102x ＝624，解得x 1＝8(不合题意，舍去)，x 2＝26. 则羊圈的宽x ＝26.7．解：(1)S ＝－12x 2＋30x.(2)∵S ＝－12x 2＋30x ＝－12(x －30)2＋450，且a ＝－12＜0，∴当x ＝30时，S 有最大值，最大面积为450 cm 2. 8．64 . 9．18.10．6cm ，3__cm 2.11．解：，得x (28－x )＝192，解得x 1＝12，x 2＝16. ∴x ＝12或16.(2)S ＝x (28－x )＝－(x －14)2＋196.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥6，28－x ≥15，解得6≤x ≤13.在6≤x ≤13范围内，S 随x 的增大而增大．∴当x ＝13时，S 最大＝－(13－14)2＋196＝195.12．解：(1)y ＝x (16－x )＝－x 2＋16x (0<x<16)．(2)当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60， 解得x 1＝10，x 2＝6.∴当x ＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米．(3)当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，整理得 x 2－16x ＋70＝0.∵Δ＝256－280＝－24<0， ∴此方程无实数根．∴不能围成面积为70平方米的养鸡场． 13．①②④．第2课时 二次函数与商品利润1．B3．(1)y＝－20x＋200(5≤x≤7)；(2)解：根据题意得w＝(x－5)(－20x＋200)＝－20x2＋300x－1 000＝－20(x－7.5)2＋125，∵当x＜7.5时，w随x的增大而增大，∴当x＝7时，文具店每天的获利最大，最大利润是－20×(7－7.5)2＋125＝120(元)．答：销售单价为7元时，才能使文具店每天的获利最大，最大利润是120元．4．A5．解：(1)设每件衬衫应降价x元，∵商场平均每天要盈利1 200元，∴(40－x)(20＋2x)＝1 200.整理，得2x2－60x＋400＝0.解得x1＝20，x2＝10.因为要扩大销售，在获利相同的情况下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降价20元．(2)设商场平均每天赢利w元．则 w＝(20＋2x)(40－x)，＝－2x2＋60x＋800，＝－2(x－15)2＋1 250.∴当x＝15时，w取最大值，为1 250.答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1 250元．6．A7．55．8．解：(1)y＝[6＋2(x－1)]×[95－5(x－1)]，整理，得y＝－10x2＋180x＋400(1≤x≤10)．(2)由－10x2＋180x＋400＝1 120，化简，得x2－18x＋72＝0.解得x1＝6，x2＝12(不合题意，舍去)．∴该产品为第6档次的产品．9．解：(1)k1＝30，k2＝20，b＝6 000.(2)当0≤x<600时，W＝30x＋(－0.01x2－20x＋30 000)＝－0.01x2＋10x＋30 000＝－0.01(x－500)2＋32 500，∵－0.01<0，∴当x＝500时，W取最大值为32 500元．当600≤x≤1 000时，W＝20x＋6 000＋(－0.01x2－20x＋30 000)＝－0.01x2＋36 000，∵－0.01<0，∴当600≤x≤1 000时，W随x的增大而减小．∴当x＝600时，W取最大值为32 400元．∵32 400<32 500，∴W的最大值为32 500元．(3)由题意，得1 000－x≥100，解得x≤900.又∵x≥700，∴700≤x≤900.∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，∴当x＝900时，W取最小值为27 900元．10．解：(1)y＝300＋30(60－x)＝－30x＋2 100.(2)设每星期的销售利润为W元，依题意，得W＝(x－40)(－30x＋2 100)＝－30x2＋3 300x－84 000＝－30(x－55)2＋6 750.∵－30＜0，∴当x＝55时，W最大＝6 750.答：当每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是6 750元．(3)由题意，得－30(x －55)2＋6 750＝6 480，解得x 1＝52，x 2＝58.∵抛物线W ＝－30(x －55)2＋6 750的开口向下，∴当52≤x ≤58时，每星期销售利润不低于6 480元．∵在y ＝－30x ＋2 100中，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝58时，y 最小＝－30×58＋2 100＝360.答：每星期至少要销售该款童装360件．第3课时 实物抛物线1. C2．y ＝－13x 2． 345解：如图所示．由题知抛物线的顶点坐标为(0，11)，过点B (8，8)，设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋11，将点B 的坐标(8，8)代入抛物线的解析式，得64a ＋11＝8.解得a ＝－364， ∴抛物线的解析式为y ＝－364x 2＋11. 6．48.7．解：(1)当y ＝0时，－112x 2＋23x ＋53＝0， 解得x 1＝10，x 2＝－2(不合题意，舍去)． ∴铅球推出的水平距离是10 m.(2)y ＝－112x 2＋23x ＋53＝－112(x 2－8x ＋16)＋43＋53＝－112(x －4)2＋3. 当x ＝4时，y 取最大值3.∴铅球行进高度不能达到4 m ，最高能达到3 m.8．15s ．9．36．10．解：(1)y ＝－15x 2＋85x ＝－15(x －4)2＋165. ∴抛物线y ＝－15x 2＋85x 开口向下，顶点坐标为(4，165)，对称轴为直线x ＝4. (2)令y ＝0，得－15x 2＋85x ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝8.∴球飞行的最大水平距离是8 m.(3)要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10 m. ∴抛物线的对称轴为直线x ＝5，顶点为(5，165)．设此时对应的抛物线解析式为y ＝a (x －5)2＋165. 又∵点(0，0)在此抛物线上，∴25a ＋165＝0，a ＝－16125. ∴y ＝－16125(x －5)2＋165， 即y ＝－16125x 2＋3225x. 11．解：(1)由题意，得点B 的坐标为(0，4)，点C 的坐标为(3，172)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝c ，172＝－16×32＋3b ＋c. 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝4. ∴该抛物线的函数关系式为y ＝－16x 2＋2x ＋4. ∵y ＝－16x 2＋2x ＋4＝－16(x －6)2＋10， ∴拱顶D 到地面OA 的距离为10 m.(2)当x ＝6＋4＝10时，y ＝－16x 2＋2x ＋4＝－16×102＋2×10＋4＝223＞6， ∴这辆货车能安全通过．(3)当y ＝8时，－16x 2＋2x ＋4＝8，即x 2－12x ＋24＝0，∴x 1＝6＋23，x 2＝6－2 3. ∴两排灯的水平距离最小是6＋23－(6－23)＝43(m )．。
2019-2020学年人教版九年级上册数学22.3 实际问题与二次函数 同步练习(有答案)
22.3 实际问题与二次函数同步练习一、选择题1、一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )A.5元B.10元C.0元D.3600元2、若某商品的利润y(元)与售价x(元)之间的函数关系式是y＝－x2＋8x＋9，且售价x的范围是1≤x≤3，则最大利润是( )A.16元B.21元C.24元D.25元3、某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的.为了牢固起见，每段护栏需要每间隔0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m，如图所示，则防护栏不锈钢支柱的总长度至少为( )A.50mB.100mC.160mD.200m4、有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（）A．2.76米B．6.76米 C．6 D．7米5、把160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数关系式为（）A．y=320（x﹣1）B．y=320（1﹣x）C．y=160（1﹣x2）D．y=160（1﹣x）26、如图所示，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，正方形DEFG边长也为2，且AC与DE在同一直线上，△ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）7、在1～7月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是（）A．1月份 B．2月份 C．5月份 D．7月份8、向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( )A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒二、填空题9、某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天销售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为____________元时，该服装店平均每天的销售利润最大10、如图所示，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设它的长为xm，要使鸡场的面积最大，鸡场的长为m.11、如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，C点在斜边上，设矩形的一边AB＝x m，矩形的面积为y m2，则y的最大值为 m2．12、用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长20m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是m2．13、某种商品的进价为40元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，当x= 时才能使利润最大．14、某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种棵橘子树，橘子总个数最多．15、如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m，则水面宽度增加m.三、简答题16、如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y＝﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？17、图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系：（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？18、位于郑州市二七区的二七德化步行街是郑州最早的商业文化购物步行街，在郑州乃至中原都相当有名，德化步行街某店铺经营某种品牌童装，购进时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件．（1）求出销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售该品牌童装获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）若童装厂规定该品牌童装的销售单价不低于56元且不高于60元，则此服装店销售该品牌童装获得的最大利润是多少？19、丑橘，又名不知火，是近年来颇受欢迎的柑橘品种．临近春节一水果经销商以6元/千克的价格购进10000千克丑橘，为了保鲜放在冷藏室里，但每天仍有50千克丑橘变质丢弃，且每存放一天需要各种费用共300元，据预测，每天每千克丑橘的市场价格会在进价的基础上上涨0.1元．（1）设x天后每千克丑橘的售价为p元，直接写出p与x的函数关系式；（不要求写出函数自变量的取值范围）；（2）若存放x天后将该批丑橘一次性售出，设销售总金额为y元，求出y与x的函数关系式；（3）该水果店将这批丑橘存放多少天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为多少？20、某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，物价部门规定其销售单价不低于进价，不高于60元/千克，经市场调查发现：销售单价定为60元/千克时，每日销售20千克；如调整价格，每降价1元/千克，每日可多销售2千克．（1）已知某天售出该化工原料40千克，则当天的销售单价为元/千克；（2）该公司现有员工2名，每天支付员工的工资为每人每天90元，每天应支付其他费用108元，当某天的销售价为46元/千克时，收支恰好平衡．①求这种化工原料的进价；②若公司每天的纯利润（收入﹣支出）全部用来偿还一笔10000元的借款，则至少需多少天才能还清借款？21、某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，所获利润y A（万元）与投资金额x（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下表：信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y B（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：y B=ax2+bx，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）求出y B与x的函数关系式；（2）从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示y A与x之间的关系，并求出y A与x的函数关系式；（3）如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？参考答案一、选择题1、A2、C3、C4、B．5、D解：第一次降价后的价格是160（1﹣x），第二次降价为160（1﹣x）×（1﹣x）=160（1﹣x）2则y与x的函数关系式为y=160（1﹣x）2．6、A【解答】解：设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y∴当C从D点运动到E点时，即0≤x≤2时，y=×2×2﹣（2﹣x）×（2﹣x）=﹣x2+2x．当A从D点运动到E点时，即2＜x≤4时，y=×[2﹣（x﹣2）]×[2﹣（x﹣2）]=x2﹣4x+8，∴y与x之间的函数关系由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应．7、C【解答】解：设x月份出售时，每千克售价为y1元，每千克成本为y2元．根据图甲设y1=kx+b，∴，∴，∴y1=﹣x+7．根据图乙设y2=a（x﹣6）2+1，∴4=a（3﹣6）2+1，∴a=，∴y2=（x﹣6）2+1．∵y=y1﹣y2，∴y=﹣x+7﹣[（x﹣6）2+1]，∴y=﹣x2+x﹣6．∵y=﹣x2+x﹣6，∴y=﹣（x﹣5）2+．∴当x=5时，y有最大值，即当5月份出售时，每千克收益最大．故选C．8、B二、填空题9、2210、2511、30012、解：设矩形的长为xm，则宽为m，菜园的面积S=x•=﹣x2+15x=﹣（x﹣15）2+，（0＜x≤20）∵当x＜15时，S随x的增大而增大，∴当x=15时，S最大值=m2，故答案为：．13、70．解：设获得的利润为w元，由题意可得，w=（x﹣40）（100﹣x）=﹣（x﹣70）2+900，∴当x=70时，w取得最大值，14、1015、(4－4)三、简答题16、【解答】解：（1）当y＝15时，15＝﹣5x2+20x，解得，x1＝1，x2＝3，答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s；（2）当y＝0时，0═﹣5x2+20x，解得，x1＝0，x2＝4，∵4﹣0＝4，∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；（3）y＝﹣5x2+20x＝﹣5（x﹣2）2+20，∴当x＝2时，y取得最大值，此时，y＝20，答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．17、【解答】解：（1）由题意设抛物线解析式为：y＝ax2+b（a≠0）∵当拱顶离水面2m时，水面宽4m∴点C（0，2），点B（2，0）代入得：解得∴拱桥所在抛物线的解析式为y＝﹣（2）当水位下降1m时，水位纵坐标为﹣1令y＝﹣1则﹣1＝﹣解得x＝±∴水面宽度为【点评】本题为二次函数应用题，考查了待定系数法和通过数形结合求出图象上点坐标．18、解：（1）根据题意得，y＝200+（60﹣x）×20＝﹣20x+1400，所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y＝﹣20x+1400（40≤x≤60）；（2）W＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣20x+1400）＝﹣20x2+2200x﹣56000，所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式W＝﹣20x2+2200x﹣56000；（3）根据题意得56≤x≤60，w＝﹣20x2+2200x﹣56000＝﹣20（x﹣55）2+4500∵a＝﹣20＜0，∴抛物线开口向下，∴当56≤x≤60时，W随x的增大而减小，∴x＝56时，W有最大值，最大值＝﹣20（56﹣55）2+4500＝4480（元）．所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元．19、解：（1）由题意得：p＝0.1x+6；（2）由题意得：y＝p（10000﹣50x）＝﹣5x2+700x+60000；（3）设丑橘的总利润为w，则：w＝y﹣300x﹣300x﹣6×10000＝﹣5x2+100x＝﹣5x（x﹣20），∵﹣5＜0，∴w有最大值，当x＝10时，最大值为500．答：这批丑橘存放40天后一次性售出可以获得最大利润，最大利润为500．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．20、解：（1）设某天售出该化工原料40千克时的销售单价为x元/千克，（60﹣x）×2+20=40，解得，x=50，故答案为：50；（2）①设这种化工原料的进价为a元/千克，当销售价为46元/千克时，当天的销量为：20+（60﹣46）×2=48（千克），则（46﹣a）×48=108+90×2，解得，a=40，即这种化工原料的进价为40元/千克；②设公司某天的销售单价为x元/千克，每天的收入为y元，则y=（x﹣40）[20+2（60﹣x）]=﹣2（x﹣55）2+450，∴当x=55时，公司每天的收入最多，最多收入450元，设公司需要t天还清借款，则t≥10000，解得，t≥，∵t为整数，∴t=62．即公司至少需62天才能还清借款．21、解：（1）由题意得，将坐标（2，2.4）（4，3.2）代入函数关系式y B=ax2+bx，求解得：∴y B与x的函数关系式：y B=﹣0.2x2+1.6x（2）根据表格中对应的关系可以确定为一次函数，故设函数关系式y A=kx+b，将（1，0.4）（2，0.8）代入得：，解得：，则y A=0.4x；（3）设投资B产品x万元，投资A产品（15﹣x）万元，总利润为W万元，W=﹣0.2x2+1.6x+0.4（15﹣x）=﹣0.2（x﹣3）2+7.8即当投资B3万元，A12万元时所获总利润最大，为7.8万元．。
人教版九年级上册数学实际问题与二次函数同步训练(含答案)
人教版九年级上册数学22.3实际问题与二次函数同步训练一、单选题1．飞机着陆后滑行的距离s （单位：米）关于滑行时间t （单位：秒）的函数表达式为2s at bt =+，当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米；当滑行时间为20秒时，滑行距离为600米，则飞机的最大滑行距离为（ ）A ．600米B ．800米C ．1000米D ．1200米 2．据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP 总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP 总值为y 百亿元人民币，平均每个月GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是（ ）A ．y ＝6(1+2x )B ．y ＝6(1﹣x )2C ．y ＝6(1+x )2D ．y ＝6+6(1+x )+6(1+x )2 3．某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件．经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件．超市为了每月获利8000元，则每件应涨价多少元？若设每件应涨价x 元，则依据题意可列方程为（ ）A ．(5040)(500)8000-+-=x xB ．(40)(50010)8000+-=x xC ．(5040)(50010)8000-+-=x xD ．(50)(50010)8000--=x x 4．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．二次函数致2y x bx c =++的图象与x 轴只有一个交点，且经过点()2,A m c -，()2,B m c +，则AOB 的面积为（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．4 5．已知关于x 的方程20x bx c ++=的两个根分别是-1和3，若抛物线22y x bx c =+-与y 轴交于点A ，过A 作AB y ⊥轴，交抛物线于另一交点B ，则AB 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．1 D ．1.5 6．平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()2,1，连接AB ，当抛物线2y x c =+与线段AB 有公共点时，c 的取值范围为（ ）A ．3c <-B ．31c -≤≤C ．1c >D ．01c ≤≤ 7．如图，在长为20m 、宽为14m 的矩形花圃里建有等宽的十字形小径，若小径的宽不超过1m ，则花圃中的阴影部分的面积有（ ）A ．最小值247B ．最小值266C ．最大值247D ．最大值266 8．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4cm ，动点E 从点A 出发，沿折线AB BC -运动到点C 停止，过点E 作EF AE ⊥交CD 于点F ，设点E 的运动路程为x cm ，DF ＝y cm ，则y 与x 对应关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．如图，某拱桥桥洞的形状是抛物线，若取水平方向为x 轴，拱桥的拱点O 为原点建立直角坐标系，它可以近似地用函数218y x =-表示（单位：m ）．已知目前桥下水面宽4m ，若水位下降1.5m ，则水面宽为______m ．10．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，此时水面宽AB 为3米，拱桥最高点C 离水面的距离CO 也为3米，则当水位上升1米后，水面的宽度为____米．11．如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米，则S 与x 的之间的函数表达式为 __；自变量x 的取值范围为 __．12．亮亮推铅球，铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为()215312y x =--+，则小明推铅球的成绩是______m ． 13．随着经济的发展和人们生活水平的提高，越来越多的人选择乘飞机出行．某种型号的飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）与滑行的时间（单位：s ）的函数关系式为260 1.5s t t =-，那么飞机着陆后滑行_____s 停下．14．如图，物体从点A 抛出，物体的高度y (m )与飞行时间t (s )近似满足函数关系式y =−15(t −3)2+5．（1）OA =______m ．（2）在飞行过程中，若物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，则t 的取值范围是________．15．跳台滑雪是2022年北京冬奥会比赛项目之一．一名参赛运动员起跳后，他的飞行路线可以看作是抛物线21240453y x x =-++的一部分（如图所示），则这名运动员起跳后的最大飞行高度是______m ．16．某企业研发出了一种新产品准备销售，已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，据调查年销售量y （万件）关于售价x （元/件）的函数解析式为：()()21404060806070x x y x x ⎧-+≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩，则当该产品的售价x 为________．（元/件）时，企业销售该产品获得的年利润最大．三、解答题17．甲、乙两家水果店经销同一种水果，采取不同的降价措施增加销售额，提高利润．(1)甲水果店原售价每千克20元，连续两次降价后每千克12.8元，每次降价的百分率相同．求每次降价的百分率；(2)乙水果店原来每千克盈利6元，每天可售出60千克．经市场调查发现，若每千克降价0.5元，日销售量将增加10千克．在进货价不变的情况下，乙水果店决定采取适当的降价措施增加销售盈利．乙水果店降价多少元时，每天销售这种水果获利最多？最多可获利多少元？18．朝天城区某水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过讨价还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？(2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．①求y与x之间的函数关系式；①请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？19．精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的帮助下，建起塑料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售．在30天的试销中，每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，部分数据如下表：设第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数关系满足如下图像：已知种植销售草莓的成本为5元/千克，每天的利润是w元．（利润＝销售收入﹣成本）(1)将表格中的最后一列补充完整；(2)求y关于x的函数关系式；(3)求销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？20．如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．学校利用围墙作为一边，用总长为48m的塑料膜围成了如图所示的两块矩形区域；已知围墙的可用长度不超过21m，设AB的长为x m，矩形区域ABCD的面积y m2．(1)求y与x之间的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；(2)当矩形ABCD的面积为84m2时，求AB的长度；(3)当AB的长度是多少时，矩形区域ABCD的面积y取得最大值，最大值是多少？答案第1页，共1页 参考答案：1．A2．C3．C4．A5．A6．B7．A8．A9．81011． 2324S x x =-+1463≤<x 12．1113．2014．1650≤t ≤6且t ≠3 15．4516．5017．(1)20%(2)乙水果店每千克该种水果降价1.5元时，销售盈利最多，每天可获利405元 18．(1)实际购进这种水果每千克20元(2)①11440y x y =-+；①销售单价定为30元时利润最大，最大利润为1100元 19．(1)见解析(2)y ＝119(020)29(2030)x x x ⎧-+<≤⎪⎨⎪<≤⎩ (3)销售草莓的第30天时，当天的利润最大，最大利润是272元 20．(1)y ＝﹣3x 2+48x ，9≤x ＜16(2)14米(3)AB 的长度是9m 时，矩形区域ABCD 的面积y 取得最大值，最大值是189m 2。
人教版九年级上册数学实际问题与二次函数同步训练(含答案)
人教版九年级上册数学22.3 实际问题与二次函数同步训练一、单选题1．已知某二次函数，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小；当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是() A ．y 2= 2(x 1)+B ．y 2= 2(x 1)-C ．=-y 2 2(x 1)+D ．=-y 2 2(x 1)-2．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线214y x bx c =-++的一部分，其中出球点B 离地面O 点的距离是1m ，球落地点A 到O 点的距离是4m ，那么这条抛物线的解析式是( ) A ．213144y x x =-++B ．213144y x x =-+-C ．213144y x x =--+D ．213144y x x =---3．如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M 处5米的地方，桥的高度是（ ）A ．12米B ．13米C ．14米D ．15米4．把一根长4a 的铁丝分成两段，每一段弯曲成一个正方形，面积和最小是（ ）A ．2aB ．2aC ．22aD ．24a5．某商品的利润y （元）与售价x （元）之间的函数关系式为y ＝﹣x 2+8x +9，且售价x 的范围是1≤x ≤3，则最大利润是（ ） A ．16元B ．21元C ．24元D ．25元6．如图，一个涵洞的截面边缘是抛物线形．现测得当水面宽 1.6m AB =时，涵洞顶点与水面的距离是2m ．这时，离开水面1.5m 处，涵洞的宽DE 为（ ）A B C ．0.4 D ．0.87．从底面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式是：h ＝30t ﹣5t 2，这个函数图象如图所示，则小球从第3s 到第5s 的运动路径长为（ ）A ．15mB ．20mC ．25mD ．30m8．小敏在某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线215y x =-+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的水平距离l 是（ ）A ．3.5mB ．3.8mC ．4mD ．4.5m二、填空题9．矩形的周长为12cm ，设其一边长为xcm ，面积为2cm y ，则y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围是_________．10．飞机着陆后滑行的距离s （单位：米）与滑行的时间t （单位：秒）之间的函数关系式是21.560s t t =-+，飞机着陆后滑行_____秒才能停下来．11．飞机着陆后滑行的距离s （单位：米）与滑行的时间t （单位：秒）之间的函数关系式是s ＝96t ﹣1.2t 2，那么飞机着陆后_____秒停下．12．有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m ，跨度为40m ．现将它的图形放在坐标系里（如图所示）．若在离跨度中心M 点10m 处垂直竖立一铁柱支撑拱顶，这铁柱长______米．13．如图，铅球运动员掷铅球的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式是： 21251233y x x =-++，则该运动员此次掷铅球的成绩是________ m .14．某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x 元（x 为整数），每个月的销售利润为y 元，那么y 与x 的函数关系式是____________．15．“十一”黄金周，某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m （件）与每件的销售价x （元），满足关系：m =140－x ．写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件的售价x 之间的函数关系式是_________．16．按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测，某校统计了学生早晨到校情况，发现从7：00开始，在校门口的学生人数y 随时间x （单位：分钟）的变化情况的图象是如图所示的某抛物线的一部分，则校门口排队等待体温检测的学生最多时有 ______人．三、解答题17．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若降价3元，则平均每天销售数量为件：(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？18．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售价格为25元/件时，每天的销售量为250件，如调整价格，每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1)请写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售价格/x（元件）之间的函数关系式；(2)销售价格为多少元时，该文具的销售利润最大？(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方案．方案A：该文具的销售价格高于进价且不超过30元/件；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．请通过计算说明哪种方案的最大利润更高．19．如图，在△ABC中，△ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，点P移动到B点后停止，点Q也随之停止运动，设P、Q从点A、B同时出发，运动时间为ts，四边形APQC的面积是S(1)试写出S与t之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围；(2)若S是21cm2时，确定t值；(3)t为何值时，S有最大（或最小）值，求出这个最值．20．某商厦灯具部投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．(1)设每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．(2)如果想要每月获得的利润为2000元，那么每月的单价定为多少元？(3)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？参考答案：1．B 2．A 3．D 4．C 5．C 6．D 7．B 8．C9．y ＝−x 2＋6x （0＜x ＜6） 10．20 11．40 12．12 13．1014．()2101002000012y x x x =-++≤≤15．21704200y x x =-+- 16．164 17．(1)26(2)当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大． 18．(1)w = -10x 2+700x -10000(2)销售价格为35元/件时，该文具每天的销售利润最大 (3)方案A 的最大利润更高，理由见解析 19．(1)S =t 2－4t +24（0≤t ≤4） (2)t =1或t =3(3)t =2时，S 有最小值2020．(1)w =-10x 2+700x -10000（20≤x ≤32）(2)如果张明想要每月获得的利润为2000元，张明每月的单价定为30元 (3)当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元。
第22章二次函数22.3实际问题与二次函数第一节同步练习2020-2021学年人教版九年级数学上册
2020-2021学年数学人教版九年级上册第二十二章二次函数第一节22.3实际问题与二次函数同步练习一、单选题1.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，。
有下列结论：①当x1>x2+2时，S1>S2；②当x1<2−x2时，S1<S2；③当|x1−2|>|x2−2|>1时，S1>S2；④当|x1−2|>|x2+2|>1时，S1<S2。
其中正确结论的个数是A. 1B. 2C. 3D. 42.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（）人A. 56B. 55C. 54D. 533.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（）A. 20B. 1508C. 1550D. 15584.在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为y=−110x2+35x+85，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（）A. 85米 B. 8米 C. 10米 D. 2米5.某超市一月份的营业额是100万元，月平均增加的百分率相同，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长的百分率是x，那么可列出的方程是（）A. 100(1+x)2=364；B. 100+100(1+x)+100(1+x)2=364；C. 100(1+2x)=364；D. 100+100(1+x)+100(1+2x)=364.6.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s.④小球抛出2秒后的高度是35m.其中正确的有（）A. ①②B. ②③C. ①③④D. ①②③7.如图所示，将一根长2m的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是（）A. 正比例函数关系B. 一次函数关系C. 二次函数关系D. 反比例函数关系8.某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3m.建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足函数关系y=ax2+x+c(a≠0)，则水流喷出的最大高度为（）A. 1mB. 32m C. 138m D. 2m9.某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划12月的营业额要达到3600万元，求该公司11，12两个月营业额的月平均增长率.设该公司11，12两个月营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（）A. 2500(1+x)2=3600B. 3600(1+x)2=2500C. 2500(1+2x)=3600D. 2500(1+x2)=360010.如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成-一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开。
22 3 实际问题与二次函数 同步练习(含简单答案) 人教版数学九年级上册
22.3实际问题与二次函数一、单选题 1．长为20cm ，宽为10cm 的矩形，四个角上剪去边长为cm x 的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为2cm y 的无盖的长方体盒子，则y 与x 的关系式为（ ）A ．(10)(20)(05)y x x x =--<<B ．210204(05)y x x =⨯-<<C ．(102)(202)(05)y x x x =--<<D ．22004(05)y x x =+<<2．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y ＝60t ﹣32t 2．在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m 所用的时间是（ ）s ．A ．10B ．20C ．30D ．10或303．某企业的销售利润原来是m 万元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么y 与x 的函数关系式是（ ）A ．y =x 2+mB ．y =m （x -1）2C ．y =m （1+x ）2D ．y =m （1-x ）24．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系式为21381055y x x =-++，由此可知小宇此次训练实心球落地时的水平距离为（ ）A ．85米B ．8米C ．10米D ．2米5．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点E ，G 同时从点A 出发，分别以每秒12个单位的速度在射线AB ，AC 上运动，设运动时间为x 秒，以点A 为顶点的正方形AEFG 与等腰直角三角形ABC 重叠部分的面积为y ，则大致能反映y 与x 之间的函数关系的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．6．某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10米长的围栏，准备围成两边靠墙（两墙垂直且足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰直角三角形（两直角边靠墙）、扇形这三种方案，如图所示．最佳方案是（ ）A ．方案1B ．方案2C ．方案1或方案2D ．方案37．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m ）．有下列结论：∠30m AB =；∠池底所在抛物线的解析式为21545y x =-； ∠池塘最深处到水面CD 的距离为3.2m ；∠若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为1.2m ．其中结论错误的是（ ）A ．∠B ．∠C ．∠D ．∠8．如图，晓波家的院墙一边靠墙处，用60米长的铁栅栏围成了三个相连的养殖小院子，总面积为y 平方米，为方便喂养这些不同类的动物，在各个养殖院子之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB x =米，则y 关于x 的函数关系式为（ ）A ．()604y x x =-B ．()632y x x =-C ．()602y x x =-D ．()634y x x =-9．下表所列为某商店薄利多销的情况，某商品原价为560元，随着不同幅度的降价，日销量（单位为件）发生相应的变化．如果售价为500元时，日销量为（ ）件．降价（元） 5 10 15 20 25 30 35日销量（件） 780 810 840 870 900 930 960A ．1200B ．750C ．1110D ．114010．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝4cm ，∠B ＝30°，点P 从点B 出发，以32cm/s 的速度沿BC 方向运动到点C 停止，同时点Q 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿BA —AC 方向运动到点C 停止．若△BPQ 的面积为y （2cm ），运动时间为x （s ），则下列最能反映y 与x 之间函数关系的图象是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题11．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y 与加工时间x （单位：min ）满足函数表达式20.2 1.52y x x =-+-，则最佳加工时间为 min ．12．如图，小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形.若实心球运动的抛物线的解析式为()2139y x k =--+，其中y 是实心球飞行的高度，x 是实心球飞行的水平距离.已知该同学出手点A 的坐标为（0，169），则实心球飞行的水平距离OB 的长度为 m ．13．某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x (x ＞0)，十二月份的快递件数为y 万件，那么y 关于x 的函数解析式是 ．14．如图，有一矩形纸片，长、宽分别为8厘米和6厘米，现在长宽上分别剪去宽为x 厘米（6x <）的纸条，则剩余部分（图中阴影部分）的面积y 关于x 的函数关系式为 ．15．“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图像，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P ，2AB =m ，9BP =m ，水嘴高5AD =m ，则水柱落地点C 到水嘴所在墙的距离AC 是 m ．16．如图，一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离()s m 与时间()t s 的数据如下表．那么s 与t 之间的函数关系式是s = ．时间/t s1 2 3 4 … 距离/s m 2 8 1832 …三、解答题17．某超市购进了一种商品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y （件）与每件售价x （元）之间存在某种函数关系（其中815x ≤≤，且x 为整数），且当8x =时，110y =；当10x =时，100y =；当12x =时，90y =；…，设超市销售这种消毒用品每天获利为w （元）．(1)请判断y 与x 符合哪种函数关系，并求y 与x 的函数表达式；(2)若该商店销售这种商品每天获润480元，则每件商品的售价为多少元；(3)当每件商品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？18．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间有如表关系：销售单价x （元） 30 35 40 ∠ 70 ∠每天的销售量y （件） 100 90 80 ∠ 20 ∠ （1）求该商品每天的销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；（2）若商店按照单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价x 定为多少才能使销售该商品每天获得的利润w （元）最大？最大利润是多少？（3）该商店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为保证捐款后销售该商品每天获得的利润不低于650元，则每天的销售量最少应为多少件？19．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD ．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃ABCD 的一边CD 长为x 米．(1)BC 长为________米（包含门宽，用含x 的代数式表示）；(2)若苗圃ABCD 的面积为296m ，求x 的值；(3)当x 为何值时，苗圃ABCD 的面积最大，最大面积为多少？20．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，抛物线23y ax bx a=+-经过点A ，将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ．(1)求C 点坐标；(2)求抛物线对称轴；(3)若抛物线与线段BC 有一个公共点，结合图像，求a 的取值范围．参考答案：。
22.3《实际问题与二次函数》练习题(含答案)
22.3 实际问题与二次函数第1课时 二次函数与图形面积01 基础题 知识点 二次函数与图形面积1．(六盘水中考)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是(C )A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 22．用长8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是(C )A.6425 m 2B.43 m 2C.83m 2 D ．4 m 23．(泰安中考改编)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1 cm /s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2 cm /s 的速度运动(点Q 运动到点B 停止)，在运动过程中，△PCQ 面积的最大值为(B )A ．6 cm 2B ．9 cm 2C ．12 cm 2D ．15 cm 24．(衢州中考)某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m )，中间用两道墙隔开(如图)，已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m ，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为144m 2.5．将一根长为20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是252cm 2.6．已知直角三角形两条直角边的和等于20，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？解：设直角三角形的一直角边长为x ，则另一直角边长为(20－x )，其面积为y ，则 y ＝12x (20－x ) ＝－12x 2＋10x＝－12(x －10)2＋50.∵－12<0，∴当x ＝10时，面积y 值取最大，y 最大＝50.7．(滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180 cm ，高为20 cm .请通过计算说明，当底面的宽x 为何值时，抽屉的体积y 最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计) 解：根据题意，得y ＝20x (1802－x )．整理，得 y ＝－20x 2＋1 800x＝－20(x 2－90x ＋2 025)＋40 500 ＝－20(x －45)2＋40 500. ∵－20＜0，∴当x ＝45时，函数有最大值，y 最大＝40 500.即当底面的宽为45 cm 时，抽屉的体积最大，最大为40 500 cm 3.易错点 二次函数最值问题未与实际问题相结合8．(咸宁中考)用一根长为40 cm 的绳子围成一个面积为a cm 2的长方形，那么a 的值不可能为(D )A ．20B ．40C ．100D ．120 02 中档题9．(教材P 52习题T 7变式)(新疆中考)如图，在边长为6 cm 的正方形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别从点A ，B ，C ，D 同时出发，均以1 cm /s 的速度向点B ，C ，D ，A 匀速运动，当点E 到达点B 时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为3s 时，四边形EFGH 的面积最小，其最小值是18cm 2.10．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm ，菱形的面积S (单位：cm 2)随其中一条对角线的长x (单位：cm )的变化而变化． (1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，菱形风筝面积S 最大？最大面积是多少？ 解：(1)S ＝－12x 2＋30x .(2)∵S ＝－12x 2＋30x ＝－12(x －30)2＋450，且－12＜0，∴当x ＝30时，S 有最大值，最大值为450.即当x 为30 cm 时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm 2.11．(包头中考)某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2 000元．设矩形一边长为x 米，面积为S 平方米．(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)设计费能达到24 000元吗？为什么？(3)当x 是多少米时，设计费最多？最多是多少元？ 解：(1)∵矩形的一边长为x 米，周长为16米，∴另一边长为(8－x)米．∴S＝x(8－x)＝－x2＋8x，其中0＜x＜8.(2)能．理由：当设计费为24 000元时，广告牌的面积为24 000÷2 000＝12(平方米)，即－x2＋8x＝12，解得x＝2或x＝6.∵x＝2和x＝6在0＜x＜8内，∴设计费能达到24 000元．(3)∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，0＜x＜8，∴当x＝4时，S最大＝16.∴当x＝4米时，矩形的面积最大，为16平方米，设计费最多，最多是16×2 000＝32 000元．12．(泉州中考)某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：(1)设AB＝x米(x＞0)，试用含x的代数式表示BC的长；(2)请你判断谁的说法正确，为什么？解：(1)BC＝69＋3－2x＝72－2x.(2)小英的说法正确．理由：矩形面积S＝x(72－2x)＝－2(x－18)2＋648，∵72－2x＞0，∴x＜36.∴0＜x＜36.∴当x＝18时，S取最大值，此时x≠72－2x.∴面积最大的不是正方形．∴小英的说法正确．03 综合题13．(朝阳中考)如图，正方形ABCD 的边长为2 cm ，△PMN 是一块直角三角板(∠N ＝30°)，PM ＞2 cm ，PM 与BC 均在直线l 上，开始时M 点与B 点重合，将三角板向右平行移动，直至M 点与C 点重合为止．设BM ＝x cm ，三角板与正方形重叠部分的面积为y cm 2.下列结论：①当0≤x ≤233时，y 与x 之间的函数关系式为y ＝32x 2；②当233<x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式为y ＝2x －233；③当MN 经过AB 的中点时，y ＝123 cm 2；④存在x 的值，使y ＝12S 正方形ABCD (S 正方形ABCD 表示正方形ABCD 的面积)．其中正确的是①②④(写出所有正确结论的序号)．第2课时 二次函数与商品利润01 基础题知识点1 简单销售问题中的最大利润1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x 元，则可卖出(350－10x )件商品，那么卖出商品所赚钱y 元与售价x 元之间的函数关系为(B )A ．y ＝－10x 2－560x ＋7 350B ．y ＝－10x 2＋560x －7 350C ．y ＝－10x 2＋350xD ．y ＝－10x 2＋350x －7 3502．我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x 万元，可获得利润P ＝－1100(x －60)2＋41(万元)．每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是205万元．3．(山西中考)某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润y 甲(万元)与进货量x (吨)近似满足函数关系y 甲＝0.3x ；乙种水果的销售利润y 乙(万元)与进货量x (吨)近似满足函数关系y 乙＝ax 2＋bx (其中a ≠0，a ，b 为常数)，且进货量x 为1吨时，销售利润y 乙为1.4万元；进货量x 为2吨时，销售利润y乙为2.6万元．(1)求y 乙(万元)与x (吨)之间的函数关系式；(2)如果市场准备进甲、乙两种水果共10吨，设乙种水果的进货量为t 吨，请你写出这两种水果所获得的销售利润之和W (万元)与t (吨)之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1.4，4a ＋2b ＝2.6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.1，b ＝1.5.∴y 乙＝－0.1x 2＋1.5x .(2)W ＝y 甲＋y 乙＝0.3(10－t )＋(－0.1t 2＋1.5t ) ＝－0.1t 2＋1.2t ＋3＝－0.1(t －6)2＋6.6. ∵－0.1<0，∴t ＝6时，W 有最大值为6.6. ∴10－6＝4(吨)．答：甲、乙两种水果的进货量分别为4吨和6吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是6.6万元．知识点2 “每…，每…”的问题4．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(A )A ．5元B ．10元C ．0元D ．6元5．(十堰中考)某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x 元(x 为正整数)，每月的销量为y 箱．(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；(2)超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？解：(1)y＝10x＋60(1≤x≤12，且x为整数)．(2)设每月销售利润为w元．根据题意，得w＝(36－x－24)(10x＋60)，整理，得w＝－10x2＋60x＋720＝－10(x－3)2＋810.∵－10＜0，且1≤x≤12，∴当x＝3时，w有最大值，最大值是810.∴36－3＝33.答：当定价为33元/箱时，每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元．02中档题6．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间的函数关系式为y＝－n2＋14n－24，则该企业一年中应停产的月份是(C)A．1月、2月、3月B．2月、3月、4月C．1月、2月、12月D．1月、11月、12月7．(沈阳中考)某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件．要使利润最大，每件的售价应为25元．8．(阳泉市平定县月考)某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系y＝ax2＋bx－75，其图象如图所示．(1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)销售单价在什么范围内时，该种商品每天的销售利润不低于16元？解：(1)∵y＝ax2＋bx－75的图象过点(5，0)，(7，16)，∴⎩⎪⎨⎪⎧25a ＋5b －75＝0，49a ＋7b －75＝16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝20.∴y ＝－x 2＋20x －75.∵y ＝－x 2＋20x －75＝－(x －10)2＋25，－1<0， ∴当x ＝10时，y 最大＝25.答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元．(2)由(1)可知函数y ＝－x 2＋20x －75图象的对称轴为直线x ＝10，点(7，16)关于对称轴的对称点是(13，16)．又∵函数y ＝－x 2＋20x －75图象开口向下， ∴当7≤x ≤13时，y ≥16.答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．9．(襄阳中考)为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1 000 m 2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花．设种草部分的面积为x (m 2)，种草所需费用y 1(元)与x (m 2)的函数关系式为y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧k 1x （0≤x<600），k 2x ＋b （600≤x ≤1 000），其图象如图所示．栽花所需费用y 2(元)与x (m 2)的函数关系式为y 2＝－0.01x 2－20x ＋30 000(0≤x ≤1 000)． (1)请直接写出k 1，k 2和b 的值；(2)设这块1 000 m 2空地的绿化总费用为W (元)，请利用W 与x 的函数关系式，求出绿化总费用W 的最大值；(3)若种草部分的面积不少于700 m 2，栽花部分的面积不少于100 m 2，请求出绿化总费用W 的最小值．解：(1)k 1＝30，k 2＝20，b ＝6 000.(2)当0≤x<600时，W＝30x＋(－0.01x2－20x＋30 000)＝－0.01x2＋10x＋30 000＝－0.01(x－500)2＋32 500，∵－0.01<0，∴当x＝500时，W取最大值为32 500元．当600≤x≤1 000时，W＝20x＋6 000＋(－0.01x2－20x＋30 000)＝－0.01x2＋36 000，∵－0.01<0，∴当600≤x≤1 000时，W随x的增大而减小．∴当x＝600时，W取最大值为32 400元．∵32 400<32 500，∴W的最大值为32 500元．(3)由题意，得1 000－x≥100，解得x≤900.又∵x≥700，∴700≤x≤900.∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，∴当x＝900时，W取最小值为27 900元．03综合题10．(咸宁中考)某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件．为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？(3)若该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？解：(1)y＝300＋30(60－x)＝－30x＋2 100.(2)设每星期的销售利润为W元，依题意，得W＝(x－40)(－30x＋2 100)＝－30x2＋3 300x－84 000＝－30(x－55)2＋6 750.∵－30＜0，∴当x＝55时，W最大＝6 750.答：当每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是6 750元．(3)由题意，得－30(x－55)2＋6 750＝6 480，解得x1＝52，x2＝58.∵抛物线W ＝－30(x －55)2＋6 750的开口向下， ∴当52≤x ≤58时，每星期销售利润不低于6 480元． ∵在y ＝－30x ＋2 100中，y 随x 的增大而减小， ∴当x ＝58时，y 最小＝－30×58＋2 100＝360. 答：每星期至少要销售该款童装360件．第3课时 实物抛物线01 基础题知识点1 二次函数在桥梁问题中的应用1．(绍兴中考)如图的一座拱桥，当水面宽AB 为12 m 时，桥洞顶部离水面4 m ．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线解析式是y ＝－19(x －6)2＋4，则选取点B 为坐标原点时的抛物线的解析式是y ＝－19(x＋6)2＋4．2．(潜江中考)如图是一个横截面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降13．(山西中考)如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A 、B 两点，拱桥最高点C 到AB 的距离为9 m ，AB ＝36 m ，D 、E 为拱桥底部的两点，且DE ∥AB ，点E 到直线AB 的距离为7 m ，则DE 的长为48m .知识点2 二次函数在隧道问题中的应用4．某隧道横截面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示．以隧道横截面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，求得该抛物线对应的函数关系式为y ＝－13x 2．知识点3 二次函数在其他建筑问题中的应用5．如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门底部地面宽4米，顶部距地面的高度为4.4米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为2.4米，该车要想通过此门，装货后的高度应小于(B )A ．2.80米B ．2.816米C ．2.82米D ．2.826米知识点4 二次函数在体育问题中的应用6．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图)．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y (米)与水平距离x (米)之间满足关系y ＝－29x 2＋89x ＋109，则羽毛球飞出的水平距离为5米．7．在体育测试时，九年级的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图)，若这个男生出手处A 点的坐标为(0，2)，铅球路线的最高处B 点的坐标为(6，5)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)该男生把铅球推出去多远(精确到0.01米)? 解：(1)设二次函数的解析式为y ＝a (x －6)2＋5， 将A (0，2)代入，得2＝a (0－6)2＋5，解得a ＝－112.∴二次函数的解析式为y ＝－112(x －6)2＋5. (2)由－112(x －6)2＋5＝0，得x 1＝6＋215，x 2＝6－215.结合图象可知：C 点坐标为(6＋215，0)．∴OC ＝6＋215≈13.75(米)． 答：该男生把铅球推出去约13.75米．02 中档题8．王大力同学在校运动会上投掷标枪，标枪运行的高度h (m )与水平距离x (m )的关系式为h ＝－148x 2＋2324x ＋2，则王大力同学投掷标枪的成绩是48m .9．(吕梁市文水县期中)某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m 加设不锈钢管(如图)做成立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据． (1)求此抛物线的解析式； (2)计算所需不锈钢管的总长度．解：(1)建立如图所示平面直角坐标系，由题意，得B (0，0.5)、C (1，0)． 设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋c ， 代入得a ＝－0.5，c ＝0.5，故抛物线解析式为y ＝－0.5x 2＋0.5.(2)如图所示，设立柱分别为B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3，B 4C 4. ∵当x ＝0.2时，y ＝0.48， 当x ＝0.6时，y ＝0.32，∴B 1C 1＋B 2C 2＋B 3C 3＋B 4C 4＝2×(0.48＋0.32)＝1.6(m )． ∴所需不锈钢管的总长度为1.6×50＝80(m )．10．(金华中考)甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1 m 的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度y (m )与水平距离x (m )之间满足函数表达式y ＝a (x －4)2＋h .已知点O 与球网的水平距离为5 m ，球网的高度为1.55 m . (1)当a ＝－124时：①求h 的值；②通过计算判断此球能否过网；(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离点O 的水平距离为7 m ，离地面的高度为125 m 的Q 处时，乙扣球成功，求a 的值．解：(1)①把(0，1)代入y ＝－124(x －4)2＋h ，得 h ＝53. ②把x ＝5代入y ＝－124(x －4)2＋53，得y ＝－124×(5－4)2＋53＝1.625.∵1.625＞1.55， ∴此球能过网．(2)把(0，1)，(7，125)代入y ＝a (x －4)2＋h ，得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋h ＝1，9a ＋h ＝125，解得⎩⎨⎧a ＝－15，h ＝215. ∴a ＝－15.03 综合题11．(青岛中考)如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m ，宽是4 m ．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y ＝－16x 2＋bx ＋c 表示，且抛物线上的点C 到墙面OB 的水平距离为3 m ，到地面OA 的距离为172m .(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m ，宽为4 m ，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8 m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？解：(1)由题意，得点B 的坐标为(0，4)，点C 的坐标为(3，172)，∴⎩⎨⎧4＝－16×02＋b ×0＋c ，172＝－16×32＋b ×3＋c.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝4.∴该抛物线的函数关系式为y ＝－16x 2＋2x ＋4.∵y ＝－16x 2＋2x ＋4＝－16(x －6)2＋10，∴拱顶D 到地面OA 的距离为10 m .(2)当x ＝6＋4＝10时，y ＝－16x 2＋2x ＋4＝－16×102＋2×10＋4＝223＞6，∴这辆货车能安全通过．(3)当y ＝8时，－16x 2＋2x ＋4＝8，即x 2－12x ＋24＝0，∴x 1＝6＋23，x 2＝6－2 3.∴两排灯的水平距离最小是6＋23－(6－23)＝43(m)．。
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22.3 实际问题与二次函数(一)
知识点
1、二次函数常用来解决最优化的问题，这个问题实质是求函数的最大（小）值。
2、抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点是它的最高（低）点，当x =2b a
- 时，二次函数有最大（小）值y =2
44ac b a
-。
一、选择题
1、进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价。
若设平均每次降价的百分率
是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ）
A 、2(1)y a x =-
B 、2(1)y a x =-
C 、2(1)y a x =-
D 、2(1)y a x =-
2、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价。
若每件商品的售价为x 元，则
可卖处(350－10x )件商品。
商品所获得的利润y 元与售价x 的函数关系为（ ）
A 、2105607350y x x =--+
B 、2105607350y x x =-+-
C 、210350y x x =-+
D 、2103507350y x x =-+-
3、某产品的进货价格为90元，按100元一个售出时，能售500个，如果这种商品每涨价1元，其销售量
就减少10个，为了获得最大利润，其定价应定为（ ）
A 、130元
B 、120元
C 、110元
D 、100元
4、小明在跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数2
3.5
4.9h t t =-（t 单位s ，h 单位m ）可用来描述她的重
心的高度变化，则她从起跳后到重心处于最高位置时所用的时间是（ ）
A 、0.71s
B 、0.70s
C 、0.63s
D 、0.36s
5、如图，正△ABC 的边长为3cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度，沿A →B →C 的方向运动，到
达点C 时停止，设运动时间为x （秒），2y PC =，则y 关于x 的函数图像大致为（ ）
A B C D 第5题
6、已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，现有下列结论：①abc ＞0；
②2
4b ac -＜0；③c ＜4b ；④a +b ＞0.则其中正确的结论的个数是（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
7、如图，已知：正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE =BF =CG =DH ，设小正
方形EFGH 的面积为s ，AE 为x ，则s 关于x 的函数图象大致是（ ）
A B C D 第7题 8、某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取
矩形（阴影部分）片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x 、y 应分别为（ ）
A 、x =10,y =14
B 、x =14,y =10
C 、x =12,y =15
D 、x =15,y =12
第6题 第8题
二、填空题
1、已知卖出盒饭的盒数x （盒）与所获利润y （元）满足关系式：21200357600y x x =-+-，则卖出盒
饭数量为 盒时，获得最大利润为 元。
2、人民币存款一年期的年利率为x ，一年到期后，银行会将本金和利息自动按一年期定期存款储蓄转存。
如果存款额是a 元，那么两年后的本息和y 元的表达式为 (不考虑利息税)。
11、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。
为了扩大销售，增加利润，尽快
减少库存，商场决定采取适当的降价措施。
经调查发现：若这种衬衫每降价2元，商场平均每天可多
售出4件，则商场降价后每天的盈利y （元）与降价x （元）的函数关系
式 。
3、已知正方形ABCD 的边长是1，E 为CD 边的中点，P 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P 从点A
出发，沿A →B →C →E 运动，到达E 点．若点P 经过的路程为自变量x ，△APE 的面积为函数y ，则当
13
y =时，x 的值= .
4、如图，抛物线y=ax2－4和y=－ax2+4都经过x轴上的A、B两点，两条抛物线的顶点分别
5、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以
2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小．
三、解答题
1、某旅馆有30个房间供旅客住宿。
据测算，若每个房间的定价为60元/天，房间将会住满；若每个房间
的定价每增加5元/天，就会有一个房间空闲。
该旅馆对旅客住宿的房间每间要支出各种费用20元/天（没住宿的不支出）。
当房价定为每天多少时，该旅馆的利润最大？
2、最近，某市出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加。
某农户生产经销一种农副产品，已
知这种产品的成本价为20元每千克。
经市场调查发现，该产品每天的销售量w（千克）与销售量x（元）有如下的关系：w=－2x+80。
设这种产品每天的销售利润为y（元）。
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售价定为多少元每千克时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？
3、与某雪糕厂由于季节性因素，一年之中产品销售有淡季和旺季，当某月产品无利润时就停产。
经调查分析，该厂每月获得的利润y （万元）和月份x 之间满足函数关系式2y x ax b =-++，已知3月份、4月份的利润分别是9万元、16万元。
问
（1）该厂每月获得的利润y （万元）和月份x 之间的函数关系式；
（2）该厂在第几个月份获得最大利润？最大利润为多少？
（3）该厂一年中应停产的是哪几个月份？通过计算说明。
4、（2010，黄冈）某技术开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买这种新型产品，公司决定商家一次性购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次性购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元。
（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？
（2）设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获得的利润为y 元，求y （元）与x （元）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）该公司的销售人员发现：当商家一次性购买产品的件数超过某一数量时，，会出现随着一次购买数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况。
为使商家一次购买的数量越来越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其他销售条件不变）
5、（2012，长沙）在长株潭建设两型社会的过程中。
为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备 ，进行该产品的生产加工。
已知生产这种产品的成本价为每件20元。
经过市场调查发现，该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式为：
40(2530)250.5(3035)x x y x x -≤≤⎧=⎨-≤⎩
＜。
（年获利=年销售收入－生产成本－投资成本） （1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？
（2）求该公司第一年的年获利W （万元）与销售单价x （件）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利,最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？
（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z 万元，该项捐款由两部分组成：一部分是10万元的固定捐款；另一部分则是每销售一件产品，就抽出一元作为捐款。
若出去第一年的最大获利（或是最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的单位。
（选作）。