2013届湖北省部分重点中学高三第一次联考数学理试卷(word版)
(完整版)2013年高考理科数学湖北卷word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖北卷)本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖北，理1)在复平面内，复数2i=1iz +(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D解析：∵2i 2i 1i =1i 1i 1i z (-)=+(+)(-)＝i(1－i)＝1＋i ， ∴复数2i=1iz +的共轭复数z ＝1－i ，其在复平面内对应的点(1，－1)位于第四象限．2．(2013湖北，理2)已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩＝( )．A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x |0＜x ≤2或x ≥4} 答案：C解析：由题意知集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭＝{x |x ≥0}，集合B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}＝{x |2≤x ≤4}，＝{x |x ＜2或x ＞4}．因此A ∩()＝{x |0≤x ＜2或x ＞4}．3．(2013湖北，理3)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )．A ．(⌝p )∨(⌝q )B ．p ∨(⌝q )C ．(⌝p )∧(⌝q )D ．p ∨q 答案：A解析：“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括甲或乙没有落在指定范围或者两人均没有落在指定范围，因此应为(⌝p )∨(⌝q )．4．(2013湖北，理4)将函数y 3x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ).A ．π12 B ．π6 C ．π3 D ．5π6答案：B解析：∵y x ＋sin x ＝π2sin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴函数y cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，变为函数π=2sin 3y x m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象. 又∵所得到的图象关于y 轴对称，则有π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝ππ6k +，k ∈Z .∵m ＞0，∴当k ＝0时，m 的最小值为π6. 5．(2013湖北，理5)已知π0<<4θ，则双曲线C 1：2222=1cos sin x y θθ-与C 2：22222=1sin sin tan y x θθθ-的( )． A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等 答案：D解析：对于双曲线C 1：2222=1cos sin x y θθ-，21a ＝cos 2θ，21b ＝sin 2θ，21c ＝1； 对于双曲线C 2：22222=1sin sin tan y x θθθ-，22a ＝sin 2θ，22b ＝sin 2θtan 2θ，22c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ＝sin 2θ(1＋tan 2θ)＝22222sin sin sin 1cos cos θθθθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭＝tan 2θ. ∵只有当θ＝ππ4k +(k ∈Z )时，21a ＝22a 或21b ＝22b 或21c ＝22c ， 而π0<<4θ，∴排除A ，B ，C. 设双曲线C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，则2121cos e θ=，22222tan 1sin cos e θθθ==. 故e 1＝e 2，即两双曲线的离心率相等．6．(2013湖北，理6)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB u u u r 在CD uuur 方向上的投影为( )．A ．2BC ．2-D ．答案：A解析：由题意可知AB u u u r ＝(2,1)，CD uuu r ＝(5,5)，故AB u u u r 在CD uuu r 方向上的投影为2AB CD CD⋅==u u u r u u u ru u u r . 7．(2013湖北，理7)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝25731t t-++(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )．A ．1＋25ln 5B ．118+25ln3C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2答案：C解析：由于v (t )＝7－3t ＋251t+，且汽车停止时速度为0， 因此由v (t )＝0可解得t ＝4， 即汽车从刹车到停止共用4 s. 该汽车在此期间所行驶的距离4025=73d 1s t t t ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭⎰ ＝423725ln 12tt t ⎡⎤-+(+)⎢⎥⎣⎦ ＝4＋25ln 5(m)．8．(2013湖北，理8)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )．A ．V 1＜V 2＜V 4＜V 3B ．V 1＜V 3＜V 2＜V 4C ．V 2＜V 1＜V 3＜V 4D ．V 2＜V 3＜V 1＜V 4 答案：C 解析：由三视图可知，四个几何体自上而下分别为圆台，圆柱，四棱柱，四棱台．结合题中所给数据可得：V 1＝13(4π＋π＋2π)＝7π3，V 2＝2π， V 3＝23＝8，V 4＝13(16＋4＋8)＝283.故V 2＜V 1＜V 3＜V 4.9．(2013湖北，理9)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( )．A ．126125 B ．65 C ．168125 D ．75答案：B解析：由题意可知涂漆面数X 的可能取值为0,1,2,3.由于P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8125， 故E (X )＝275436815060+1+231251251251251255⨯⨯⨯⨯==＋.10．(2013湖北，理10)已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( )．A ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞12- B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜12-C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜12-D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞12-答案：D解析：由题意知，函数f (x )＝x (ln x －ax )＝x ln x －ax 2有两个极值点， 即f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ＝0在区间(0，＋∞)上有两个根． 令h (x )＝ln x ＋1－2ax ，则h ′(x )＝121=2ax a x x-+-=，当a ≤0时h ′(x )＞0，f ′(x )在区间(0，＋∞)上递增，f ′(x )＝0不可能有两个正根，∴a ＞0.由h ′(x )＝0，可得12x a =，从而可知h (x )在区间10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在区间1,2a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上递减．因此需111=ln +11=ln >0222h a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1>12a 时满足条件，故当10<<2a 时，h (x )＝0有两个根x 1，x 2，且121<2x x a<.又h (1)＝1－2a ＞0， ∴1211<2x x a<<，从而可知函数f (x )在区间(0，x 1)上递减，在区间(x 1，x 2)上递增，在区间(x 2，＋∞)上递减．∴f(x1)＜f(1)＝－a＜0，f(x2)＞f(1)＝12a->-.故选D.二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡．．．对应题号．．．．的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．(2013湖北，理11)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x的值为__________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为__________．答案：(1)0.004 4(2)70解析：(1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1－(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋0.002 4＋0.001 2)×50＝0.22，于是x＝0.2250＝0.004 4.(2)∵数据落在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7，∴所求户数为0.7×100＝70.12．(2013湖北，理12)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i＝__________.答案：5解析：第一次执行循环体后：a ＝5，i ＝2；第二次执行循环体后：a ＝16，i ＝3；第三次执行循环体后：a ＝8，i ＝4；第四次执行循环体后：a ＝4，i ＝5，满足条件，循环结束．输出i ＝5.13．(2013湖北，理13)设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z 则x ＋y ＋z ＝__________.答案：7解析：由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2当且仅当123x y z==时等号成立，此时y ＝2x ，z ＝3x .∵x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z∴14x =，14y =，14z =.∴x ＋y ＋z =14．(2013湖北，理14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为2111222n n n n (+)=+.记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝21122n n +， 正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝23122n n -， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，…… ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝__________. 答案：1 000解析：由题中数据可猜想：含n 2项的系数为首项是12，公差是12的等差数列，含n 项的系数为首项是12，公差是12-的等差数列，因此 N (n ，k )＝2211112433222222k k k n k n n n ⎡⎤--⎡⎤⎛⎫+(-)++(-)-=+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦.故N (10,24)＝11n 2－10n ＝11×102－10×10＝1 000.(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．) 15．(2013湖北，理15)(选修4—1：几何证明选讲)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CEEO的值为______．答案：8解析：设AD ＝2，则AB ＝6， 于是BD ＝4，OD ＝1. 如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ＝8， 则CD＝.在Rt △OCD 中，DE＝·OD CD OC ==则83CE ===，EO ＝OC －CE ＝81333-=.因此83=813CE EO =.16．(2013湖北，理16)(选修4—4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数，a ＞b ＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为πsin 42m ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为__________．答案：3解析：将椭圆C 的参数方程cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数，a ＞b ＞0)化为标准方程为22221x y a b +=(a ＞b ＞0)．又直线l的极坐标方程为πsin 42m ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(m 为非零常数)，即sin cos 222m ρθθ⎛⋅+⋅= ⎝⎭，则该直线的一般式为y ＋x －m ＝0.圆的极坐标方程为ρ＝b ，其标准方程为x 2＋y 2＝b 2.∵直线与圆O相切，∴=b，|m .又∵直线l 经过椭圆C 的焦点，∴|m |＝c .∴c =，c 2＝2b 2.∵a 2＝b 2＋c 2＝3b 2，∴22223c e a ==.∴e =.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(2013湖北，理17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A－3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC的面积S =b ＝5，求sin B sin C 的值． 解：(1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1， 得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)． 因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A＝1224bc bc ⋅==bc ＝20.又b ＝5，知c ＝4. 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a =又由正弦定理得sin B sin C ＝222035sin sin sin 2147b c bc A A A a a a ⋅==⨯=.18．(2013湖北，理18)(本小题满分12分)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥L ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由． 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎨-=⎩ 解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或15,1.a q =⎧⎨=-⎩故1533n n a -=⋅，或a n ＝－5·(－1)n －1.(2)若1533n n a -=⋅，则113153n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为35，公比为13的等比数列，从而1311531 =113mmn na =⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑＝9191<110310m⎡⎤⎛⎫⋅-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 若a n ＝(－5)·(－1)n －1，则111(1)5n n a -=--，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为15-，公比为－1的等比数列，从而11,21,150,2,mn n m k k a m k k +=+⎧-=-(∈)⎪=⎨⎪=(∈)⎩∑N N 故111m n n a =<∑. 综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑. 故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥L 成立． 19．(2013湖北，理19)(本小题满分12分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是P A ，PC 的中点．(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面P AC 的位置关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =u u u r u u u r，记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E －l －C 的大小为β，求证：sin θ＝sin αsin β.(1)解：直线l ∥平面P AC ，证明如下： 连接EF ，因为E ，F 分别是P A ，PC 的中点， 所以EF ∥AC . 又EF平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ，所以EF ∥l .因为l平面P AC ，EF ⊂平面P AC ，所以直线l ∥平面P AC .(2)证明：(综合法)如图1，连接BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC . 因为AB 是O 的直径，图1所以AC ⊥BC ， 于是l ⊥BC .已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC ⊥l . 而PC ∩BC ＝C ，所以l ⊥平面PBC . 连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ， 所以l ⊥BF .故∠CBF 就是二面角E －l －C 的平面角， 即∠CBF ＝β.由12DQ CP =u u u r u u u r ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，CP ＝2PF ， 所以DQ ＝PF ，从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD .连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即∠CDF ＝θ. 又BD ⊥平面PBC ，有BD ⊥BF ，知∠BDF 为锐角， 故∠BDF 为异面直线PQ 与EF 所成的角，即∠BDF ＝α， 于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin θ＝CF DF ，sin α＝BF DF ，sin β＝CF BF， 从而sin αsin β＝CF BF CFBF DF DF⋅=＝sin θ， 即sin θ＝sin αsin β.(向量法)如图2，由12DQ CP =u u u r u u u r ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.图2连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD .以点C 为原点，向量CA u u u r ，CB u u u r ，CP u u u r所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA ＝a ，CB ＝b ，CP ＝2c ，则有C (0,0,0)，A (a,0,0)，B (0，b,0)，P (0,0,2c )，Q (a ，b ，c )，E 1,0,2a c ⎛⎫⎪⎝⎭，F (0,0，c )．于是1,0,02FE a ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，QP uuur ＝(－a ，－b ，c )，BF u u u r ＝(0，－b ，c )，所以cos α＝FE QP FE QP ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，从而sin α=. 又取平面ABC 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，可得sin QP QP θ⋅==⋅u u u r u u u r m m ， 设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以由0,0,FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 可得10,20.ax by cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩取n ＝(0，c ，b )． 于是|cos β|＝||||||⋅=⋅m n m n从而sin β=.故sin αsin β=＝sin θ，即sin θ＝sin αsin β.20．(2013湖北，理20)(本小题满分12分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的椭机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.(1)求p 0的值；(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.)(2)某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A ，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解：(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700＜X≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800＜X≤900)＝1122P+(700＜X≤900)＝0.977 2.(2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1 600x＋2 400y. 依题意，x，y还需满足：x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥p0.由(1)知，p0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p0等价于36x＋60y≥900.于是问题等价于求满足约束条件21,7, 3660900, ,0,,, x yy xx yx y x y+≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N且使目标函数z＝1 600x＋2 400y达到最小的x，y.作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上截距2400z最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆、B型车12辆．21．(2013湖北，理21)(本小题满分13分)如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m,2n(m＞n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.记λ＝mn，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.(1)当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2？并说明理由． 解：依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1：2222=1x y a m +，C 2：2222=1x y a n+.其中a ＞m ＞n ＞0，λ＝>1mn.(1)解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x ＝0，则S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |，S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |，图1所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令x ＝0，可得y A ＝m ，y B ＝n ，y D ＝－m ， 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---.若12=S S λ，则1=1λλλ+-，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则|BD |＝|OB |＋|OD |＝m ＋n ，|AB |＝|OA |－|OB |＝m －n ；S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |， S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |.所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--.若12=S S λ，则1=1λλλ+-，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ.(2)解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则1d ==，2d ==d 1＝d 2.图2又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以12||||S BD S AB λ==，即|BD |＝λ|AB |. 由对称性可知|AB |＝|CD |，所以|BC |＝|BD |－|AB |＝(λ－1)|AB |， |AD |＝|BD |＋|AB |＝(λ＋1)|AB |，于是||1||1AD BC λλ+=-.① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x =.根据对称性可知x C ＝－x B ，x D ＝－x A ，于是2||||2A Bx AD BC x ==② 从而由①和②式可得11λλλ+=(-).③ 令1=1t λλλ+(-)，则由m ＞n ，可得t ≠1，于是由③可解得22222211n t k a t λ(-)=(-). 因为k ≠0，所以k 2＞0.于是③式关于k 有解，当且仅当222221>01n t a t λ(-)(-)， 等价于2221(1)<0t t λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由λ＞1，可解得1λ＜t ＜1， 即11<11λλλλ+<(-)，由λ＞1，解得λ＞，所以当1＜λ≤l ，使得S 1＝λS 2； 当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1＝λS 2.解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则1d ==，2d ==d 1＝d 2.又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以12||=||S BD S AB λ=.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+===-，所以11A B x x λλ+=-.由点A (x A ，kx A )，B (x B ，kx B )分别在C 1，C 2上，可得22222=1A A x k x a m +，22222=1B B x k x a n+，两式相减可得22222222=0A B A B x x k x x a m λ-(-)+， 依题意x A ＞x B ＞0，所以22A B x x >.所以由上式解得22222222A B B A m x x k a x x λ(-)=(-). 因为k 2＞0，所以由2222222>0A B B A m x x a x x λ(-)(-)，可解得<1A B x x λ<. 从而11<<λλλ+-，解得λ＞，所以 当1＜λ≤l ，使得S 1＝λS 2；当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1＝λS 2. 22．(2013湖北，理22)(本小题满分14分)设n 是正整数，r 为正有理数．(1)求函数f (x )＝(1＋x )r ＋1－(r ＋1)x －1(x ＞－1)的最小值；(2)证明：111111<<11r r r r r n n n n n r r ++++-(-)(+)-++；(3)设x ∈R ，记[x ]为不小于．．．x 的最小整数，例如[2]＝2，[π]＝4，3=12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.令S L [S ]的值．(参考数据：4380344.7≈,4381350.5≈,43124618.3≈,43126631.7≈)(1)解：因为f ′(x )＝(r ＋1)(1＋x )r －(r ＋1)＝(r ＋1)[(1＋x )r －1]，令f ′(x )＝0，解得x ＝0. 当－1＜x ＜0时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－1,0)内是减函数； 当x ＞0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)内是增函数． 故函数f (x )在x ＝0处取得最小值f (0)＝0.(2)证明：由(1)，当x ∈(－1，＋∞)时，有f (x )≥f (0)＝0，即 (1＋x )r ＋1≥1＋(r ＋1)x ，且等号当且仅当x ＝0时成立， 故当x ＞－1且x ≠0时，有 (1＋x )r ＋1＞1＋(r ＋1)x .①在①中，令1x n =(这时x ＞－1且x ≠0)，得+1111>1+r r n n+⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 上式两边同乘n r ＋1，得(n ＋1)r ＋1＞n r ＋1＋n r (r ＋1)，即1111r r rn n n r ++(+)-<+.②当n ＞1时，在①中令1x n=-(这时x ＞－1且x ≠0)，类似可得 1111r r rn n n r ++-(-)>+.③且当n ＝1时，③也成立． 综合②，③得11111111r r r r rn n n n n r r ++++-(-)(+)-<<++.④(3)解：在④中，令13r =，n 分别取值81,82,83，…，125，得4444333333(8180)(8281)44--， 4444333333(8281)(8382)44--＜， 4444333333(8382)(8483)44--＜， ……4444333333(125124)(126125)44--＜．将以上各式相加，并整理得4444333333(12580)(12681)44S --＜＜． 代入数据计算，可得44333(12580)210.24-≈，44333(12681)210.94-≈.由[S ]的定义，得[S ]＝211.。
2013年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)
2013年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2013年湖北，理1，5分】在复平面内，复数2i 1iz =+（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】D 【解析】2i i(1i)1i 1i z ==-=++，则1i z =-，其对应点()1,1Z -位于第四象限，故选D ． （2）【2013年湖北，理2，5分】已知全集为R ，集合1{()1}2xA x =≤，2{680}B x x x =-+≤，则A B =RI ð（ ）（A ）{0}x x ≤ （B ）{24}x x ≤≤ （C ）{024}x x x ≤<>或 （D ）{024}x x x <≤≥或 【答案】C【解析】∵26802,4x x x x -+>⇔<>，1102xx ⎛⎫≤⇔≥ ⎪⎝⎭，∴A B =I Rð{024}x x x ≤<>或，故选C ． （3）【2013年湖北，理3，5分】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） （A ）()p ⌝∨()q ⌝ （B ）p ∨()q ⌝（C ）()p ⌝∧()q ⌝（D ）p ∨q 【答案】A【解析】因为p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则p -是“没有降落在指定范围”，q -是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ⌝∨()q ⌝，故选A ．（4）【2013年湖北，理4，5分】将函数3sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）（A ）π12 （B ）π6（C ）π3（D ）5π6【答案】B【解析】因为3sin ()y x x x =+∈R 可化为()2cos()6y x x R π=-∈，将它向左平移6π个单位得 2cos ()2cos 66y x xππ⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦，其图像关于y 轴对称，故选B ．（5）【2013年湖北，理5，5分】已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：222221sin sin tan y x θθθ-=的（ ）（A ）实轴长相等 （B ）虚轴长相等 （C ）焦距相等 （D ）离心率相等 【答案】D【解析】对于双曲线1C ，有1sin cos 222=+=θθc ，θcos 1==a c e ． 对于双曲线2C ，有θθθθθ222222tan sec sin )tan 1(sin =⋅=+=c，θθθcos 1sin tan ===a c e ． 即这两双曲线的离心率相等，故选D ．（6）【2013年湖北，理6，5分】已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB u u u r在CD u u u r 方向上的投影为（ ）（A ）32 （B ）315 （C ）32 （D ）315【答案】A【解析】2,1AB =u u u r （），5,5CD =u u u r （），则AB u u u r在CD u u u r 方向上的射影为2232cos 5255AB CD AB CDθ⋅====+u u u r u u u ru u u r u u u r ， 故选A ．（7）【2013年湖北，理7，5分】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t =-++（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止． 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（ ） （A ）125ln5+ （B ）11825ln 3+ （C ）425ln5+ （D ）450ln2+ 【答案】C【解析】令25()731v t t t =-++=0，解得4t =或83t =-（不合题意，舍去），即汽车经过4秒中后停止，在此期间汽车继续行驶的距离为4442253()d (73)d 725ln(1)425ln 512v t t t t t t t t ⎛⎫=-+==-++=+ ⎪+⎝⎭⎰⎰，故选C ．（8）【2013年湖北，理8，5分】一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）（A ）1243V V V V <<< （B ）1324V V V V <<< （C ）2134V V V V <<< （D ）2314V V V V <<< 【答案】C【解析】显然23V V <，所以B 不正确． 又2217(2121)33V ππ=++⨯=，22122V ππ=⋅⋅=，3328V ==，224128(4242)33V =++⨯=，从而2134V V V V <<<，故选C ．（9）【2013年湖北，理9，5分】如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()E X =（ ）（A ）126125 （B ）65 （C ）168125 （D ）75【答案】B 【解析】125个同样大小的小正方体的面数共有125×6=750，涂了油漆的面数有25×6=150．每一个小正方体的一个面涂漆的频率为15017505=，则它的涂漆面数为X 的均值()E X =16655⨯=，故选B ． （10）【2013年湖北，理10，5分】已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则（ ）（A ）1()0f x >，21()2f x >- （B ）1()0f x <，21()2f x <- （C ）1()0f x >，21()2f x <- （D ）1()0f x <，21()2f x >- 【答案】D【解析】'()ln 12f x x ax =+-，由()(ln )f x x x ax =-由两个极值点，得'()0f x =有两个不等的实数解，即ln 21x ax =-有两个实数解，从而直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点． 过点()0,1-作ln y x =的切线，设切点为()0,x y ，则切线的斜率01k x=，切线方程为011y x x =-．切点在切线上，则010x yx =-=，又切点在曲线ln y x =上，则00ln 01xx =⇒=，即切点为()1,0，切线方程为1y x =-． 再由直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点，知直线21y ax =-位于两直线0y =和1y x =-之间，如图所示，其斜率2a 满足：021a <<，解得102a <<． 则这函数的两个极点12,x x 满足1201x x <<<，所以12()(1)()f x f f x <<，而1(1)(,0)2f a =-∈-，即12()()f x a f x <-<，所以121()0,()2f x f x <>-，故选D ．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（11）【2013年湖北，理11，5分】从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示（1）直方图中x 的值为_________；（2）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为 ． 【答案】（1）0.0044 （2）70【解析】（1）1[150(0.00600.003620.00240.0012)]0.004450x =-++⨯+=． （2）用电量落在区间[100,250)内的户数为(0.00360.00600.0044)5010070++⨯⨯=．（12）【2013年湖北，理12，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i = ．【答案】5 【解析】已知初始值10,1a i ==，∵104a =≠，则执行程序，得5,2a i ==；因为54a =≠，则执行程序，得16,3a i ==；164a =≠，则第三次执行程序，得8,4a i ==；∵84a =≠，则第四次执行程序，得4,5a i ==；∵4a =，执行输出i ，5i =．（13）【2013年湖北，理13，5分】设,,x y z ∈R ，且满足：2221x y z ++=，2314x y z ++=则x y z ++= ．314【解析】由柯西不等式得2222222()()1(23)32x y z x y z ≥＋＋＋＋＋＋当且仅当123x y z==时等号成立，此时2y x =， 3z x=．∵2221x y z ＋＋=，2314x y z =++，∴14x =，214y =，314z =614314x y z ++ （14）【2013年湖北，理14，5分】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数． 如三角形数1，3，6，10，L ，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+． 记第n 个k边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)22N n n n =+，正方形数 2(,4)N n n =，五边形数231(,5)22N n n n=-，六边形数2(,6)2N n n n=-，…………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =________．【答案】1000【解析】由题中数据可猜想：含2n 项的系数为首项是12，公差是12的等差数列，含n 项的系数为首项是12，公 差是12-的等差数列，因此22111124()33222222N n k k k k n k n n n⎡⎤--⎡⎤⎛⎫=+(-)++(-)-=+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦，．故()2210,241110111010101000N n n =-=⨯-⨯=．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．） （15）【2013年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若3AB AD =，则CEEO 的值为_______． 【答案】8【解析】根据题设，易知3OC AO DO ==，Rt Rt Rt ODE DCE OCD ∆∆∆∽∽，∴31OD CD OC OE DE OD ===， 即39CO OD OE ==，在Rt ODE ∆中，22222298DE DO OE OE OE OE =-=-=，在Rt CDE ∆中， 22222229864CE CD DE DE DE DE OE =-=-==，即2264CE EO=，∴8CE EO=． （16）【2013年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴 正半轴为极轴）中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为π2sin()4ρθ+=（m 为非零常数）与b ρ=． 若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 ． 6【解析】椭圆C 的方程可以化为22221x y a b +=，圆O 的方程可化为222x y b +=，直线l 的方程可化为x y m +=，因为直线l 经过椭圆的焦点，且与圆O 相切，则c m =，2b =，2262m a m =+=，所以椭圆的离心率66c e am===三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （17）【2013年湖北，理17，11分】在△ABC 中，角A ，B ，C对应的边分别是a ，b ，c ． 已知cos23cos()1A B C -+=． （1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积53S =5b =，求sin sin B C 的值． 解：（1）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A =或 cos 2A =-（舍因为0πA <<，所以π3A =． （2）由1133sin 53,22S bc A bc ====得20bc =．又5b =，知4c =．由余弦定理故21a =又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin2147b c bcB C A A A a a a=⋅==⨯=．（18）【2013年湖北，理18，12分】已知等比数列{}na 满足：23||10a a -=，123125a a a =．（1）求数列{}na 的通项公式；（2）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥L ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．解：（1）设等比数列{}na 的公比为q ，则由已知可得331211125||10a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得1533a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，或151a q =-⎧⎨=-⎩．故1533n na-=⋅，或15(1)n na-=-⋅-．（2）若1533n na -=⋅，则1131()53n na -=⋅，故1{}na 是首项为35，公比为13的等比数列，从而131[1()]191953[1()]111031013m mm n na =⋅-==⋅-<<-∑．若1(5)(1)n n a -=-⋅-，则111(1)5n n a -=--，故1{}na 是首项为15-，公比为1-的等比数列，从而11,21()1502()mn n m k k a m k k +=+⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩∑,N N ，故111m n na =<∑．综上，对任何正整数m ，总有111m n na =<∑．故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥L 成立．（19）【2013年湖北，理19，12分】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．（1）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =u u u r u u u r． 记直线PQ与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=．解：（1）直线l ∥平面PAC ，证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC ． 又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF I 平面ABC l =，所以EF ∥l ． 因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC ．（2）解法一：（综合法）如图，连接BD ，由（1）可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC ．因为AB 是O e 的直径，所以AC BC ⊥，于是l BC ⊥．已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC l ⊥．而PC BC C =I ，所以l ⊥平面PBC ．连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l BF ⊥．故CBF ∠就是二面角E l C --的平面角，即CBF β∠=．由12DQ CP =u u u r u u u r ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =． 连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，2CP PF =，所以DQ PF =，从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD ．连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影，故CDF ∠就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即CDF θ∠=．又BD ⊥平面PBC ，有BD BF ⊥，知BDF ∠为锐角，故BDF ∠为异面直线PQ 与EF 所成的角，即BDF α∠=，于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin CF DF θ=，sin BF DF α=，sin CFBFβ=， 从而sin sin sin CF BF CFBF DF DFαβθ=⋅==，即sin sin sin θαβ=． 解法二：（向量法）如图，由12DQ CP =u u u r u u u r，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =．连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由（1）可知交线l 即为直线BD ．以点C 为原点，向量,,CACB CP u u u r u u u r u u u r所在直线分别为 ,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设,,2CA a CB b CP c ===，则有(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,2),(,,)C A a B b P c Q a b c ，1(,0,),(0,0,)2E a cF c ． 于是1(,0,0)2FE a =u u u r ，(,,)QP a b c =--u u u r ，(0,,)BF b c =-u u u r ， 所以222||cos ||||FE QP FE QP a b c α⋅==⋅++u u u r u u u ru u ur u u u r ，从而222222sin 1cos b c a b cαα+=-++又取平面ABC的一个法向量为(0,0,1)=m ，可得222||sin ||||QP QP a b c θ⋅==⋅++u u u ru u u r m m ，设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =n ，所以由0FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n ，可得1020ax by cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩．取(0,,)c b =n ．于是22|||cos |||||b cβ⋅==⋅+m n mn ，从而222sin 1cos b cββ=-=+．故2222222222sin sin sin b c a b cb ca b cαβθ+==+++++，即sin sin sin θαβ=．（20）【2013年湖北，理20，12分】假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p ． （1）求0p 的值；（参考数据：若X ～2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=）； （2）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆． 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆． 若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?解：（1）由于随机变量X 服从正态分布2(800,50)N ，故有800μ=，50σ=，(700900)0.9544P X <≤=．由正态分布的对称性，得(900)(800)(800900)p P X P X P X =≤=≤+<≤11(700900)0.977222P X =+<≤=． （2）设A 型、B 型车辆的数量分别为, x y 辆，则相应的营运成本为16002400x y +．依题意， , x y 还需满足：21, 7, (3660)x y y x P X x y p +≤≤+≤+≥．由（1）知，0(900)p P X =≤，故0(3660)P X x y p ≤+≥等价于3660900x y +≥．于是问题等价于求满足约束条件21 73660900, 0, x y y x x y x y x y +≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩，N，且使目标函数16002400z x y=+达到最小的,x y ．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为(5,12), (7,14), (15,6)P Q R ．由图可知，当直线16002400z x y =+经过可行域的点P 时，直线16002400z x y =+在y 轴上截距2400z最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．（21）【2013年湖北，理21，14分】如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记m nλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S和2S ．（1）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．解：依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x ya m+=，2C ：22221x y a n +=．其中0a m n >>>， 1.m nλ=> （1）解法一：如图，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=， 211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||SBD SAB =． 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得Ay m =，By n =，Dym=-，于是||||1||||1BD A Byy BD m n AB yy m n λλ-++===---．若12SSλ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=． 由1λ>，可解得21λ=+．故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则21λ=+． 解法二：如图，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=．所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--．若12S Sλ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=． 由1λ>，可解得21λ=+．故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则21λ=+．（2）解法一：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=． 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为12211d k k ==++，22211d k k ==++，所以12d d =．又111||2S BD d =，221||2SAB d =，所以12||||SBD SAB λ==，即||||BD AB λ=．由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-，||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-．① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得222Axa k m=+，222Bxa k n=+．根据对称性可知C Bx x =-，D Ax x =-，于是222222221||2||||21||A D ABB C k x x x AD m a k nBC x n a k mk x x +-+===++-．② 从而由①和②式可得2222221(1)a k n a k m λλλ++=+-．③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-．因为0k ≠，所以2k>． 于是③式关于k有解，当且仅当22222(1)(1)n t a t λ->-，等价于2221(1)()0tt λ--<． 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得12λ>+，所以当112λ<≤+时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=；当12λ>+l 使得12S S λ=． 解法二：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=． 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则12211d k k ==++22211d k k =++所以12d d =．又111||2S BD d =，221||2SAB d =，所以12||||SBD SAB λ==． 因为221||||||1||B D A B A BA B k x x x x BD AB x x k x x λ+-+===-+-，所以11ABxxλλ+=-．由点(,)AAA x kx ，(,)BBB x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m+=，222221B B x k x a n+=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=，依题意0AB xx >>，所以22A B xx >．所以由上式解得22222222()()A B B A m x x ka x x λ-=-．因为2k>，所以由2222222()()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1ABxxλ<<．从而111λλλ+<<-，解得12λ>+112λ<≤时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=；当12λ>存在与坐标轴不重合的直线l 使得12S S λ= （22）【2013年湖北，理22，14分】设n 是正整数，r 为正有理数．（1）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；（2）证明：1111(1)(1)11r r r r rn n n nn r r ++++--+-<<++；（3）设x ∈R ，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于．．．x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，π4=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥． 令3333818283125S L ，求S ⎡⎤⎢⎥的值．（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈）解：（1）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r rf x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x =．当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数； 当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数．故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =．（2）由（1），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，1(1)1(1)r x r x ++≥++，且等号当且仅当0x =时成立，故当1x >-且0x ≠时，1(1)1(1)r x r x ++>++．①在①中，令1x n=（1x >-且0x ≠），111(1)1r r n n+++>+．上式两边同乘1r n +，得11(1)(1)r r rn nn r +++>++，即11(1).1r r rn n n r +++-<+②当1n >时，在①中令1x n =-（这时1x >-且0x ≠），类似可得11(1).1r r rn n n r ++-->+③且当1n =时，③也成立．综合②，③得1111(1)(1)11r r r r r n n n n n r r ++++--+-<<++． ④ （3）在④中，令13r =，n 分别取值81，82，83，…，125，得44443333333818081(8281)44--（），44443333333828182(8382)44-<-（），44443333333838283(8483)44-<-（），………44443333333125124125(126125)44--（）．将以上各式相加，并整理得444433333312580(12681)44S -<<-（）．代入数据计算，可得4433312580210.24-≈（），4433312681210.94-≈（）．由S⎡⎤⎢⎥的定义，得211S=⎡⎤⎢⎥．。
2013高考理科数学试卷及答案(湖北卷)
湖北省教育考试院 保留版权 数学（理工类） 第1页（共12页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数2i1iz =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集为R ，集合1{()1}2x A x =≤，2{680}B x x x =-+≤，则A B =R ðA ．{0}x x ≤B ．{24}x x ≤≤C ．{024}x x x ≤<>或D ．{024}x x x <≤≥或3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()p ⌝∨()q ⌝ B ．p ∨()q ⌝ C ．()p ⌝∧()q ⌝ D ．p ∨q4．将函数sin ()y x x x +∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π65．已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：222221sin sin tan y x θθθ-=的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等6．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD方向上的投影为ABC． D．7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是A ．125ln 5+B ．11825ln 3+ C ．425ln 5+ D ．450ln 2+8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有A ．1243V V V V <<<B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<第2页（共6页）9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅 拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()E X = A ．126125 B ．65C ．168125D ．7510．已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则A ．1()0f x >，21()2f x >-B ．1()0f x <，21()2f x <-C ．1()0f x >，21()2f x <-D ．1()0f x <，21()2f x >-二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图示.第11题图 第12题图第8题图第9题图第3页（共6页）（Ⅰ）直方图中x 的值为_________；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为_________. 12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i =_________.13．设,,x y z ∈R ，且满足：2221x y z ++=，23x y z ++x y z ++=_________. 14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10， ，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+. 记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出 了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)22N n n n =+，正方形数 2(,4)N n n =，五边形数 231(,5)22N n n n =-，六边形数 2(,6)2N n n n =-， ………………………………………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =_________.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若3AB AD =，则CEEO的值为_________．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>）. 在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴 为极轴）中，直线l 与圆O的极坐标方程分别为πsin()4ρθ+=（m 为非零常数） 与b ρ=. 若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos23cos()1A B C -+=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S =5b =，求sin sin B C 的值.OD E BA第15题图C第4页（共6页）已知等比数列{}n a 满足：23||10a a -=，123125a a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由. 19．（本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =. 记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=.20．（本小题满分12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p . （Ⅰ）求0p 的值；（参考数据：若X ～2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=.）（Ⅱ）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次. A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆. 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆. 若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?第19题图第5页（共6页）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别 为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . （Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．22．（本小题满分14分）设n 是正整数，r 为正有理数.（Ⅰ）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；（Ⅱ）证明：1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++； （Ⅲ）设x ∈R ，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于．．．x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，π4=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥.令S S ⎡⎤⎢⎥的值.（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈）第21题图第6页（共6页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案一、选择题1．D 2．C 3．A 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．B 10．D 二、填空题11．（Ⅰ）0.0044 （Ⅱ）70 12．5 1314．1000 15．8 16三、解答题 17．（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=, 即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A = 或cos 2A =-（舍去）. 因为0πA <<，所以π3A =.（Ⅱ）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =. 又5b =，知4c =. 由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a =又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.18．（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由已知可得331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩ 解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 或15,1.a q =-⎧⎨=-⎩ 故1533n n a -=⋅，或15(1)n n a -=-⋅-.（Ⅱ）若1533n n a -=⋅，则1131()53n n a -=⋅，故1{}n a 是首项为35，公比为13的等比数列，从而131[1()]191953[1()]111031013m mm n na =⋅-==⋅-<<-∑.若1(5)(1)n n a -=-⋅-，则111(1)5n n a -=--，故1{}n a 是首项为15-，公比为1-的等比数列，第7页（共6页）从而11,21(),1502().mn n m k k a m k k +=+⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩∑N N , 故111mn n a =<∑.综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑.故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ 成立.19．（Ⅰ）直线l ∥平面PAC ，证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC . 又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF 平面ABC l =，所以EF ∥l .因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC .（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC . 因为AB 是O 的直径，所以AC BC ⊥，于是l BC ⊥.已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC l ⊥. 而PC BC C = ，所以l ⊥平面PBC .连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l BF ⊥.故CBF ∠就是二面角E l C --的平面角，即CBF β∠=.由12DQ CP = ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，2CP PF =，所以DQ PF =， 从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD .连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故CDF ∠就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即CDF θ∠=. 又BD ⊥平面PBC ，有BD BF ⊥，知BDF ∠为锐角，故BDF ∠为异面直线PQ 与EF 所成的角，即BDF α∠=， 于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得第19题解答图1第19题解答图2第8页（共6页）sin CF DF θ=，sin BF DF α=，sin CFBFβ=， 从而sin sin sin CF BF CFBF DF DFαβθ=⋅==，即sin sin sin θαβ=. （Ⅱ）（向量法）如图2，由12DQ CP = ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD . 以点C 为原点，向量,,CA CB CP所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设,,2CA a CB b CP c ===，则有(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,2),(,,)C A a B b P c Q a b c ,1(,0,),(0,0,)2E a cF c .于是1(,0,0)2FE a = ，(,,)QP a b c =-- ，(0,,)BF b c =- ，所以||cos ||||FE QP FE QP α⋅==⋅sin α=.又取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m，可得||sin ||||QP QP θ⋅==⋅ m m设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =n ，所以由0,0,FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得10,20.ax by cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩ 取(0,,)c b =n .于是|||cos |||||β⋅==⋅m n m n，从而sin β==.故sin sin sin αβθ===，即sin sin sin θαβ=.20．（Ⅰ）由于随机变量X 服从正态分布2(800,50)N ，故有800μ=，50σ=(700900)0.9544P X <≤=.由正态分布的对称性，可得0(900)(800)(800900)p P X P X P X =≤=≤+<≤11(700900)0.977222P X =+<≤=.第20题解答图第9页（共6页）（Ⅱ）设A 型、B 型车辆的数量分别为, x y 辆，则相应的营运成本为16002400x y +.依题意, , x y 还需满足:021, 7, (3660)x y y x P X x y p +≤≤+≤+≥.由（Ⅰ）知，0(900)p P X =≤，故0(3660)P X x y p ≤+≥等价于3660900x y +≥. 于是问题等价于求满足约束条件21, 7,3660900,, 0, ,x y y x x y x y x y +≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N ，且使目标函数16002400z x y =+达到最小的,x y . 作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为(5,12), (7,14), (15,6)P Q R .由图可知，当直线16002400z x y =+经过可行域的点P 时，直线16002400z x y =+在y 轴上截距2400z最小，即z 取得最小值.故应配备A 型车5辆、B 型车12辆.21．依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n+=. 其中0a m n >>>， 1.mn λ=>（Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-， 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=. 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--.若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=.第21题解答图1第21题解答图2第10页（共6页）（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =，B x =.根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A B x AD BC x == ② 从而由①和②式可得1(1)λλλ+-. ③ 令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠，所以20k >. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-， 等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>+l 使得12S S λ=. 解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==.第11页（共6页）因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+===-，所以11A B x x λλ+=-. 由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=， 依题意0A B x x >>，所以22AB x x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-. 因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A B x x λ<<. 从而111λλλ+<<-，解得1λ>当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>+l 使得12S S λ=.22．（Ⅰ）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r r f x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x =.当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数； 当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数.故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =. （Ⅱ）由（Ⅰ），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，即1(1)1(1)r x r x ++≥++，且等号当且仅当0x =时成立，故当1x >-且0x ≠时，有1(1)1(1)r x r x ++>++. ①在①中，令1x n =（这时1x >-且0x ≠），得111(1)1r r n n+++>+. 上式两边同乘1r n +，得11(1)(1)r r r n n n r +++>++，即11(1).1r r rn n n r +++-<+ ②当1n >时，在①中令1x n=-（这时1x >-且0x ≠），类似可得11(1).1r r rn n n r ++-->+ ③且当1n =时，③也成立.综合②，③得1111(1)(1).11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++ ④（Ⅲ）在④中，令13r =，n 分别取值81，82，83，…，125，得第12页（共6页）44443333338180(8281)44--（），44443333338281(8382)44--（），44443333338382(8483)44-<-（， ………4444333333125124(126125)44-<-（）. 将以上各式相加，并整理得444433333312580(126)44S -<<-（. 代入数据计算，可得4433312580210.24-≈（），4433312681210.94-≈（）. 由S ⎡⎤⎢⎥的定义，得211S =⎡⎤⎢⎥.。
2013年湖北卷数学试题及答案(理)
理科数学1． 在复平面内，复数z ＝2i1＋i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限1．D [解析] z ＝2i1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝i(1－i)＝1＋i ，z ＝1－i ，z 对应的点在第四象限，选D.2． 已知全集为，集合A ＝，B ＝{x|x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩(∁B)＝( )A ．{x|x ≤0}B ．{x|2≤x ≤4}C ．{x|0≤x<2或x>4}D ．{x|0<x ≤2或x ≥4}2．C [解析] A ＝{x|x ≥0}，B ＝{x|2≤x ≤4}，∁B ＝{x|x<2或x>4}，可得答案为C. 3． 在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(⌝p)∨(⌝q)B ．p ∨(⌝q)C ．(⌝p)∧(⌝q)D ．p ∨q3．A [解析] “至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.4． 将函数y ＝3cos x ＋sin x(x ∈)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π64．B [解析] 结合选项，将函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像向左平移π6个单位得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝2cos x ，它的图像关于y 轴对称，选B.5． 已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2 θ－y 2sin 2 θ＝1与C 2：y 2sin 2 θ－x 2sin 2 θtan 2 θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等5．D [解析] e ＝c a ＝1＋b 2a 2，C 1与C 2的b 2a2＝tan 2 θ，故e 1＝e 2，选D.6． 已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.3 22B.3 152 C ．－3 22 D ．－3 1526．A [解析] AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，|AB →|·cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝3 22，选A.7． 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 27．C [解析] 令v(t)＝0，得3t 2－4t －32＝0，解得t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＝－83舍去，求定积分得行驶距离为s ＝⎠⎛04v(t)dt ＝⎠⎛04(7－3t ＋251＋t )dt ＝[7t －32t 2＋25ln(1＋t)]⎪⎪⎪ )40＝4＋25ln 5，选C. 8． 一个几何体的三视图如图1－1所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )图1－1A ．V 1<V 2<V 4<V 3B ．V 1<V 3<V 2<V 4C ．V 2<V 1<V 3<V 4D ．V 2<V 3<V 1<V 48．C [解析] 由图知组成该几何体的从上到下的简单几何体为圆台，圆柱，棱柱，棱台，其体积分别为V 1＝7π3，V 2＝2π，V 3＝8，V 4＝283，选C.9． 如图1－2所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( )图1－2A.126125B.65C.168125D.759．B [解析] X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65，选B.10． 已知a 为常数，函数f(x)＝x(ln x －ax)有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则( )A ．f(x 1)>0，f(x 2)>－12B ．f(x 1)<0，f(x 2)<－12C ．f(x 1)>0，f(x 2)<－12D ．f(x 1)<0，f(x 2)>－1210．D [解析] f′(x)＝ln x －(2ax －1)＝0ln x ＝2ax －1，函数y ＝ln x 与函数y ＝2ax －1的图像有两个交点，令y 1＝ln x ，y 2＝2ax －1，在同一坐标系中作出这两个函数的图像，显然a ≤0时，两个函数图像只有一个公共点，故a>0，此时当直线的斜率逐渐变大直到直线y ＝2ax －1与曲线y ＝ln x 相切时，两函数图像均有两个不同的公共点，y ′1＝1x，故曲线y ＝ln x 上的点(x 0，ln x 0)处的切线方程是y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，该直线过点(0，－1)，则－1－ln x 0＝－1，解得x 0＝1，故过点(0，－1)的曲线y ＝ln x 的切线斜率是1，故2a ＝1，即a ＝12，所以a 的取值范围是(0，12)．因为0<x 1<1<x 2，当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x)>0，f(x)递增，f(1)＝－a ，f(x 1)<f(1)＝－a<0，f(x 2)>f(1)＝－a>－12，选D.11． 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图1－3所示．(1)直方图中x 的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为________．图1－311．(1)0.004 4 (2)70 [解析] (1)(0.001 2＋0.002 4×2＋0.003 6＋x ＋0.006 0)×50＝1x ＝0.004 4.(2)[1－(0.001 2＋0.002 4×2)×50]×100＝70.12． 阅读如图1－4所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i ＝________.图1－412．5 [解析] 逐次运算结果是a ＝5，i ＝2；a ＝16，i ＝3；a ＝8，i ＝4；a ＝4，i ＝5，满足条件，输出i ＝5.13． 设x ，y ，z ∈，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________.13.3 147 [解析] 由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)(1＋4＋9)＝14≥(x ＋2y ＋3z)2＝14，当x 1＝y 2＝z 3时取“＝”，故x ＝1414，y ＝147，z ＝31414，则x ＋y ＋z ＝3 147. 14． 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N(n ，k)(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N(n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N(n ，4)＝n 2，五边形数 N(n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N(n ，6)＝2n 2－n ， ……可以推测N(n ，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________.14．1 000 [解析] 观察得k 每增加1，n 2项系数增加12，n 项系数减少12，N(n ，k)＝k －22n 2＋(4－k)n2，故N(10，24)＝1 000.图1－515． (选修4－1：几何证明选讲)如图1－5所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E.若AB ＝3AD ，则CEEO的值为________．15．8 [解析] 设AB ＝6k ，则AD ＝2k ，DO ＝k ，CO ＝3k ，设EO ＝x ，由射影定理：DO 2＝EO·CO ，k 2＝x·3k ，x ＝k 3，故CE EO ＝3k －k 3k3＝8.16． (选修4－4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(φ为参数，a>b>0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π4)＝22m(m 为非零常数)与ρ＝b.若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．16.63[解析] 直线l 的直角坐标方程为x ＋y －m ＝0，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝b 2，由直线与圆相切得：m 2＝2b 2.又椭圆C 的一般方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，直线过椭圆焦点，故m ＝c ，所以c 2＝2b 2e ＝c a ＝63.17． 在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c.已知cos 2A －3cos(B ＋C)＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝5 3，b ＝5，求sin Bsin C 的值．17．解： (1)由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0.即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，因为0<A<π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bcsin A ＝12bc ·32＝34bc ＝5 3，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ＝25＋16－20＝21，故a ＝21.又由正弦定理得sin Bsin C ＝b a sinA c a sin A ＝bc a 2sin 2 A ＝2021×34＝57.18． 已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．18．解： (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1. 故a n ＝53·3n －1或a n ＝－5·(－1)n －1.(2)若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35(13)n －1，故{1a n }是首项为35，公比为13的等比数列，从而∑n ＝1m 1a n＝35[1－（13）m ]1－13＝910[1－(13)m ]<910<1. 若a n ＝(－5)·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而∑n ＝1m 1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1（k ∈N ＋），0，m ＝2k （k ∈N ＋），故∑n ＝1m 1a n <1.综上，对任何正整数m ，总有∑n ＝1m1a n <1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1成立．19．， 如图1－6所示，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足DQ →＝12CP →.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E －l －C 的大小为β，求证：sin θ＝sin αsin β.图1－619．解： (1)直线l ∥平面PAC ，证明如下：联结EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC.又EF 平面ABC ，且AC 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC.而EF 平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ，所以EF ∥l.因为l 平面PAC ，EF 平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC.(2)方法一：(综合法)如图①，联结BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC. 因为AB 是⊙O 的直径，所以AC ⊥BC ，于是l ⊥BC. 已知PC ⊥平面ABC ，而l 平面ABC ，所以PC ⊥l ， 而PC ∩BC ＝C ，所以l ⊥平面PBC.联结BE ，BF ，因为BF 平面PBC ，所以l ⊥BF ，故∠CBF 就是二面角E －l －C 的平面角，即∠CBF ＝β.由DQ →＝12CP →，作DQ ∥CP ，且DQ ＝12CP.联结PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，CP ＝2PF ，所以DQ ＝PF ，从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD.联结CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影，故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即∠CDF ＝θ.又BD ⊥平面PBC ，有BD ⊥BF ，知∠BDF 为锐角，故∠BDF 为异面直线PQ 与EF 所成的角，即∠BDF ＝α，于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin θ＝CF DF ，sin α＝BF DF ，sin β＝CFBF，从而sin αsin β＝BF DF ·CF BF ＝CFDF＝sin θ，即sin θ＝sin αsin β.方法二：(向量法)如图②，由DQ →＝12CP →，作DQ ∥CP ，且DQ ＝12CP.联结PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD.以点C 为原点，向量CA →，CB →，CP →所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA ＝a ，CB ＝b ，CP ＝2c ，则有C(0，0，0)，A(a ，0，0)，B(0，b ，0)，P(0，0，2c)，Q(a ，b ，c)，E ⎝⎛⎭⎫12a ，0，c ，F(0，0，c)，于是FE →＝⎝⎛⎭⎫12a ，0，0，QP →＝(－a ，－b ，c)，BF →＝(0，－b ，c)，所以cos α＝|FE →·QP →||FE →||QP →|＝a a 2＋b 2＋c 2，从而sin α＝1－cos 2α＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c 2. 又取平面ABC 的一个法向量为＝(0，0，1)，可得sin θ＝|m ·QP →||m ||QP →|＝ca 2＋b 2＋c 2. 设平面BEF 的一个法向量为＝(x ，y ，z)，所以由⎩⎪⎨⎪⎧·FE →＝0，n ·BF →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧12ax ＝0，－by ＋cz ＝0，取＝(0，c ，b)，于是|cos β|＝|m·n ||m||n |＝b b 2＋c 2，从而sin β＝1－cos 2β＝cb 2＋c2. 故sin αsin β＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c 2·c b 2＋c 2＝ca 2＋b 2＋c 2＝sin θ，即sin θ＝sin αsinβ.20．， 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N(800，502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为P 0.(1)求P 0的值；(参考数据：若X ～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4)(2)某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于P 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？20．解： (1)由于随机变量X 服从正态分布N(800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700<X ≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得P 0＝P(X ≤900)＝P(X ≤800)＋P(800<X ≤900) ＝12＋12P(700<X ≤900)＝0.977 2. (2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x ，y 辆，则相应的营运成本为1 600x ＋2 400y ，依题意，x ，y 还需满足：x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P(X ≤36x ＋60y)≥P 0.由(1)知，P 0＝P(X ≤900)，故P(X ≤36x ＋60y)≥P 0等价于36x ＋60y ≥900，于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y 值．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y在y 轴上截距z2 400最小，即z 取得最小值，故应配备A 型车5辆，B 型车12辆．21．， 如图1－9，已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2n(m>n)，过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1，C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D.记λ＝mn，△BDM 和△ABN 的面积分别为S 1和S 2.(1)当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2？并说明理由．图1－921．解： 依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1：x 2a 2＋y 2m 2＝1，C 2：x 2a 2＋y 2n 2＝1，其中a>m>n>0，λ＝m n>1.(1)方法一：如图①，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x ＝0，则S 1＝12|BD|·|OM|＝12a|BD|，S 2＝12|AB|·|ON|＝12a|AB|，所以S 1S 2＝|BD||AB|.在C 1和C 2的方程中分别令x ＝0，可得y A ＝m ，y B ＝n ，y D ＝－m ，于是|BD||AB|＝|y B －y D ||y A －y B |＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1.若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0.由λ>1，可解得λ＝2＋1，故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1.方法二：如图①，若直线l 与y 轴重合，则|BD|＝|OB|＋|OD|＝m ＋n ，|AB|＝|OA|－|OB|＝m －n ；S 1＝12|BD|·|OM|＝12a|BD|，S 2＝12|AB|·|ON|＝12a|AB|.所以S 1S 2＝|BD||AB|＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1，若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0，由λ>1，可解得λ＝2＋1，故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1.(2)方法一：如图②，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2，根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx(k>0)，点M(－a ，0)，N(a ，0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则因为d 1＝|－ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，d 2＝|ak －0|1＋k 2＝ak1＋k 2，所以d 1＝d 2. 又S 1＝12|BD|d 1，S 2＝12|AB|d 2，所以S 1S 2＝|BD||AB|＝λ，即|BD|＝λ|AB|.由对称性可知|AB|＝|CD|，所以|BC|＝|BD|－|AB|＝(λ－1)|AB|，|AD|＝|BD|＋|AB|＝(λ＋1)|AB|，于是|AD||BC|＝λ＋1λ－1.① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得x A ＝am a 2k 2＋m 2，x B ＝ana 2k 2＋n2. 根据对称性可知x C ＝－x B ，x D ＝－x A ，于是|AD||BC|＝1＋k 2|x A －x D |1＋k 2|x B －x C |＝2x A 2x B ＝m na 2k 2＋n 2a 2k 2＋m 2.② 从而由①和②式可得a 2k 2＋n 2a 2k 2＋m 2＝λ＋1λ（λ－1）.③ 令t ＝（λ＋1）λ（λ－1），则由m>n ，可得t ≠1，于是由③可解得k 2＝n 2（λ2t 2－1）a 2（1－t 2）.因为k ≠0，所以k 2>0，于是③式关于k 有解，当且仅当n 2（λ2t 2－1）a 2（1－t 2）>0，等价于(t 2－1)(t 2－1λ2)<0，由λ>1可解得1λ<t<1， 即1λ<λ＋1λ（λ－1）<1，由λ>1，解得λ>1＋2，所以当1<λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2；当λ>1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.方法二：如图②，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2，根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx(k>0)，点M(－a ，0)，N(a ，0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则因为d 1＝|－ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，d 2＝|ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，所以d 1＝d 2. 又S 1＝12|BD|d 1，S 2＝12|AB|d 2，所以S 1S 2＝|BD||AB|＝λ. 因为|BD||AB|＝1＋k 2|x B －x D |1＋k 2|x A －x B|＝x A ＋x B x A －x B＝λ，所以x A x B ＝λ＋1λ－1. 由点A(x A ，kx A )，B(x B ，kx B )分别在C 1，C 2上，可得x 2A a 2＋k 2x 2A m 2＝1，x 2B a 2＋k 2x 2B n 2＝1，两式相减可得x 2A －x 2B a 2＋k 2（x 2A －λ2x 2B ）m 2＝0，依题意x A >x B >0，所以x 2A >x 2B ，所以由上式解得k 2＝m 2（x 2A －x 2B ）a 2（λ2x 2B －x 2A ）. 因为k 2>0，所以由m 2（x 2A －x 2B ）a 2（λ2x 2B －x 2A ）>0，可解得1<x A x B <λ， 从而1<λ＋1λ－1<λ，解得λ>1＋2，所以 当1<λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2；当λ>1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1＝λS 2.22．， 设n 是正整数，r 为正有理数．(1)求函数f(x)＝(1＋x)r ＋1－(r ＋1)x －1(x>－1)的最小值；(2)证明：n r ＋1－（n －1）r ＋1r ＋1<n r <（n ＋1）r ＋1－n r ＋1r ＋1； (3)设x ∈，记[x]为不小于．．．x 的最小整数，例如[2]＝2，[π]＝4，[－32]＝－1.令S ＝381＋382＋383＋…＋3125，求[S]的值．(参数数据：8043≈344.7，8143≈350.5，12443≈618.3，12643≈631.7) 22．解： (1)因为f′(x)＝(r ＋1)(1＋x)r －(r ＋1)＝(r ＋1)[(1＋x)r －1]，令f′(x)＝0，解得x ＝0.当－1<x<0时，f ′(x)<0，所以f(x)在(－1，0)内是减函数；当x>0时，f ′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，故函数f(x)在x ＝0处取得最小值f(0)＝0.(2)由(1)，当x ∈(－1，＋∞)时，有f(x)≥f(0)＝0，即(1＋x)r ＋1≥1＋(r ＋1)x ，且等号当且仅当x ＝0时成立，故当x>－1且x ≠0时，有(1＋x)r ＋1>1＋(r ＋1)x.①在①中，令x ＝1n (这时x>－1且x ≠0)，得⎝⎛⎭⎫1＋1n r ＋1>1＋r ＋1n . 上式两边同乘n r ＋1，得(n ＋1)r ＋1>n r ＋1＋n r (r ＋1)，即n r <（n ＋1）r ＋1－n r ＋1r ＋1.② 当n>1时，在①中令x ＝－1n (这时x>－1且x ≠0)，类似可得n r >n r ＋1－（n －1）r ＋1r ＋1，③ 且当n ＝1时，③也成立，综合②，③得n r ＋1－（n －1）r ＋1r ＋1<n r <（n ＋1）r ＋1－n r ＋1r ＋1.④ (3)在④中，令r ＝13，n 分别取值81，82，83，…，125，得 34(8143－8043)<381<34(8243－8143)， 34(8243－8143)<382<34(8343－8243)， 34(8343－8243)<383<34(8443－8343)， ……34(12543－12443)<3125<34(12643－12543)， 将以上各式相加，并整理得34(12543－8043)<S<34(12643－8143)， 代入数据计算，可得34(12543－8043)≈210.2，34(12643－ ≈210.9.由[S]的定义，得[S]＝211.。
2013年高考理科数学联考试题(湖北省七市附答案)
2013年高考理科数学联考试题（湖北省七市附答案）秘密★启用前2013年湖北荆州、黄冈、襄阳、十堰、宜昌、孝感、恩施七市（州）高三联合考试数学（理工类）本科目考试时间：2013年4月18日下午15：00-17：00★祝考试顺利★一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数，其中a为实数，若z的实部为2，则z的虚部为A．-iB．iC．-1D．12．已知向量a=(2，1)，b=(x，-2)，若a∥b，则a+b=A．(-2，-1)B．(2，1)C．(3，-1)D．(-3，1)3．下列说法中不正确的个数是①命题“x∈R，≤0”的否定是“∈R，>0”；②若“pq”为假命题，则p、q均为假命题；③“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件A．OB．1C．2D．34．函数f(x)=2x-sinx的零点个数为A．1B．2C．3D．45．一个几何体的三视图如下左图所示，则此几何体的体积是A.112B．80C．72D．646．已知全集U=Z，Z为整数集，如上右图程序框图所示，集合A={x|框图中输出的x值}，B={y|框图中输出的y值}；当x=-1时，(CuA)B= A．{-3，-1，5}B．{-3，-1，5，7}C．{-3，-1，7}D．{-3，-1，7，9} 7．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有A．12种B．18种C．24种D．48种8．如右图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)=sinx(x∈(0，))及直线x=a(a∈(0，))与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值为A．B．C．D．9．如右图，一单位正方体形积木，平放于桌面上，并且在其上方放置若干个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，如果所有正方体暴露在外面部分的面积之和超过8．8，则正方体的个数至少是A．68．7C．8D．1010．已知直线l：y=ax+1-a(a∈R)．若存在实数a使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”．下面给出四条曲线方程：①y=-2|x-1|；②y=；③(x-1)2+(y-1)2=1；④x2+3y2=4；则其中直线l的“绝对曲线”有A．①④B．②③C．②④D．②③④二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清．模棱两可均不得分．(一)必考题：(11-14题)11．若tan=，∈(0，)，则sin(2+)=．12．点P(x，y)在不等式组表示的平面区域内，若点P(x，y)到直线y=kx-1(k>0)的最大距离为2，则k=．13．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P(2，0)的直线交抛物线于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点．则：(I)y1y2=；(Ⅱ)三角形ABF面积的最小值是．14．挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如下图)，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式一阿贝尔公式：a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=a1(b1-b2)+L2(b2-b3)+L3(b3-b4)+…+Ln-1(bn-1-bn)+Lnbn则其中：(I)L3=；(Ⅱ)Ln=．(二)选考题：请考生在第15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分.15．(几何证明选讲)如右图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，过P作⊙O的切线，切点为C，PC=2，若∠CAP=30°，则⊙O的直径AB=．16．(坐标系与参数方程)在直角坐标平面内，以坐标原点0为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为(4，)，曲线C的参数方程为(为参数)，则点M到曲线C上的点的距离的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知向量=(sin2x+2，cosx)，=(1，2cosx)，设函数f(x)=•．(I)求f(x)的最小正周期与单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=，f(A)=4，求b+c的最大值．18．(本小题满分12分)数列{an}是公比为的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1=8，其前n项和Tn满足Tn=n•bn+1(为常数，且≠1)．(I)求数列{an}的通项公式及的值；(Ⅱ)比较+++…+与了Sn的大小．19．(本小题满分12分)如图，矩形A1A2A′2A′1，满足B、C在A1A2上，B1、C1在A′1A′2上，且BB1∥CC1∥A1A′1，A1B=CA2=2，BC=2，A1A′1=，沿BB1、CC1将矩形A1A2A′2A′1折起成为一个直三棱柱，使A1与A2、A′1与A′2重合后分别记为D、D1，在直三棱柱DBC-D1B1C1中，点M、N分别为D1B和B1C1的中点．(I)证明：MN∥平面DD1C1C；(Ⅱ)若二面角D1-MN-C为直二面角，求的值．20．(本小题满分12分)2013年2月20日，针对房价过高，国务院常务会议确定五条措施(简称“国五条”)．为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图)，同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表(如下表)：月收入(百元)赞成人数15,25)825,35)735,45)1045,55)655,65)265,75)1(I)试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入；(Ⅱ)若从月收入(单位：百元)在15，25)，25，35)的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．21．(本小题满分13分)在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系(如图所示)．若R、R′分别在线段0F、CF上，且==.(Ⅰ)求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆：+=1上；(Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为，求证：直线MN过定点；并求△GMN面积的最大值．22．(本小题满分14分)已知函数f(x)=lnx，g(x)=k•.(I)求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间；(Ⅱ)当x>1时，函数f(x)>g(x)恒成立，求实数k的取值范围；(Ⅲ)设正实数a1，a2，a3，…，an满足a1+a2+a3+…+an=1，求证：ln(1+)+ln(1+)+…+ln(1+)>．2013年七市联考数学试题(理工类)（B卷）参考答案一、选择题：CABABDCBAD二、填空题：11.12.13.（Ⅰ）（Ⅱ）14.（Ⅰ）（Ⅱ）15.16.（注：填空题中有两个空的，第一个空2分，第二个空3分）三、解答题17.解：（Ⅰ）……………3分∴的最小正周期……………4分由得∴的单调递增区间为……………6分（Ⅱ）由得，∵∴∴,……………8分法一：又，∴当时，最大为……………12分法二：即；当且仅当时等号成立。
2013年湖北高考数学理精校word版
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，满分45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知命题P：则P为( )A．B．C．D．2．在等差数列中，，＝（）A．B．C．D．3．已知=( )A．B．C．D．4、函数的零点所在区间为( )A （2，3）B C（1，2）D（0，1）5. 下列命题中，错误．．的是( )（A）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交（B）平行于同一平面的两个不同平面平行（C）如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面（D）若直线l不平行平面，则在平面内不存在与l平行的直线6.已知向量，满足，且，则的夹角为（）A. B. C. D.7．函数的一个单调增区间是（）A．B．C．D．8.数列中，则( )A.3.4B.3.6C.3.8D.4 9．在是 ( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D . 等腰直角三角形二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 10．求(1)(12)1i i i-++= 。
11过原点作曲线的切线，则切线方程为 ；12. 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是______________（单位：m 2）．正视图 侧视图 俯视图13. 已知函数(为正整数),若存在正整数k 满足: ,那么我们将k 叫做关于的“对整数”.当时,则“对整数”的个数为 个.14．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像为C ，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①图像C 关于直线x ＝1112π对称； ②图像C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，0对称；③函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数；④由y＝3sin2x的图像向右平移π3个单位长度可以得到图像C.○5若直线与图像C有无限个交点,从小到大依次为,则.15．已知f(x)＝11＋x，各项均为正数的数列{a n}满足a1＝1，a n＋2＝f(a n)．若a2010＝a2012，则a20＋a11的值是________．三．解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.(本小题满分12分)设函数的定义域为集合，函数（）的定义域为集合，（1）当时，求集合；（2）若，求实数的取值范围。
湖北省黄冈中学等八所著名高中2013届高三第一次联考理科数学试题以及答案详解
湖北省 鄂南高中、荆州中学、华师一附中、孝感高中、黄冈中学、襄阳四中、黄石二中、襄阳五中八所校2013届高三第一次联考数学试题（理）考试时间：2012年12月21日下午15:00——17:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合一目要求的.1.集合A={}1610-2-+=x x y x ，集合B ={}A x x y y ∈=,log 2，则=⋂B C A R ( )A .[]32，B .(]21，C .[]83， D.(]83， 2.若命题p:[]012,3,3-0200≤++∈∃x x x ，则对命题p 的否定是（ ）A []012,3,3-0200>++∈∀x x xB ()()012,,33-,-0200>+++∞∞∈∀x x xC . ()()012,,33-,-0200≤+++∞∞∈∃x x x D. []012,3,3-0200<++∈∃x x x 3.某实心机器零件的三视图如图所示，该机器零件的体积为（ ）A .π236+B .π436+C .π836+D .π1036+4.等比数列{}n a 各项为正，453-,,a a a 成等差数列.n S 为{}n a 的前n 项和，则36S S =（ ） A .2 B .87 C .89 D .45 5.如图MN 是半圆O 的直径，MN=2，等边三角形OAB 的顶点A 、B 在半圆弧上，且AB//MN ，点P 半圆弧上的动点，则PB PA ⋅的取值范围是（ ）A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡+32323，B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡233-23，C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡+3233-23，D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡2323-3， 6.若双曲线1222=+m y x 的一条渐近线的倾斜角⎪⎭⎫ ⎝⎛∈30πα，，则m 的取值范围是（ ） A .()0,3- B .()0,3- C .()3,0 D .）（0,33- 7.在ABC ∆中，,3,23sin )(sin AC BC C B A ==+-则=∠B （ ）A .3πB .6πC .36ππ或 D.2π 8.已知R c b a ∈,,，则1632222=++c b a 是[]1,1-∈++c b a 的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件9.若实数y x ,满足：⎩⎨⎧-≤≥-2502x y x y ，则y x 2+的最大值是（ ）A .3B .52C .5D 5510.已知函数⎩⎨⎧<≥=)0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．．的是（ ） A .若)(,41x g t =有一个零点 B .若)(,412-x g t <<有两个零点 C .若)(,2-x g t =有三个零点 D .若)(,2-x g t <有四个零点二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（一）必做题（11-14题）11.已知复数i i i z ),43()21(-÷+=为虚数单位，则z 的共轭复数是 .12.函数x x x f ln )(=，)41(),31(),2(f c f b f a ===，则c b a ,,从小到大的排列是 .13.阅读如图所示程序框图，运行相应程序，输出结果n = .14.如图把函数 ,6)(,)(321x x x f x x f -==,50401206)(,1206)(7534533x x x x x f x x x x f -+-=+-=36288050401206)(97535x x x x x x f +-+-=，依次称为x x f sin )(=在[]π，0上的第1项、2项、3项、4项、5项多项式逼近函数.以此类推，请将x x f sin )(=的n 项多项式逼近函数)(x f n 在横线上补充完整：∑-==121)(n k n x f ( ) ）（+∈N k n ,. （二）选做题（请考生在15、16两题中任选一题作答.如果全选，则按第15题作答结果计分）15.（选修4-1：几何证明选讲）如图过点A 作圆O 的一条切线AB ，切点为B ，OA 交圆O 于点C .若1,==BC CA OC ,则=AB .16.(选修4-4：坐标系与参数方程）曲线C 的极坐标方程为：θθρsin cos -=，化成普通方程为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A ．（本小题满分12分）函数1)sin()(-+=ϕwx A x f ,00>>w A ，（ϕ)2π<的最大值为2，其图像相邻两个对称中心之间的距离为2π，且经过点)121,12-π（. (1)求函数)(x f 的单调递增区间；(2)若57)(=αf ，且∈α⎥⎦⎤⎢⎣⎡412ππ，，求)62(πα+f 的值.18.（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足：，32-1=a 4332-1+-=+n n n a a a ）（+∈N n . （1）证明数列}11{+n a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式； 第一次八校联考数学（理）试题 第3页 （共5页）（2）数列}{n b 满足：13+=n nn a b ）（+∈N n ，求}{n b 的前n 项和n S .19.（本小题满分12分）如图I ，平面四边形ABCD 中，，，，421506000====∠=∠BC AD AB ABC A 把ABD ∆沿直线BD 折起，使得平面⊥ABD平面BCD ，连接AC 得到如图II 所示四面。
高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2013年湖北，理1，5分】在复平面内，复数2i1iz =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】D【解析】2ii(1i)1i 1iz ==-=++，则1i z =-，其对应点()1,1Z -位于第四象限，故选D ．（2）【2013年湖北，理2，5分】已知全集为R ，集合1{()1}2x A x =≤，2{680}B x x x =-+≤，则A B =R ð（ ）（A ）{0}x x ≤ （B ）{24}x x ≤≤ （C ）{024}x x x ≤<>或 （D ）{024}x x x <≤≥或 【答案】C【解析】∵26802,4x x x x -+>⇔<>，1102xx ⎛⎫≤⇔≥ ⎪⎝⎭，∴A B =R ð{024}x x x ≤<>或，故选C ．（3）【2013年湖北，理3，5分】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） （A ）()p ⌝∨()q ⌝ （B ）p ∨()q ⌝ （C ）()p ⌝∧()q ⌝ （D ）p ∨q【答案】A【解析】因为p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则p -是“没有降落在指定范围”，q -是“乙 没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ⌝∨()q ⌝，故选A ．（4）【2013年湖北，理4，5分】将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）（A ）π12 （B ）π6 （C ）π3 （D ）5π6【答案】B【解析】因为sin ()y x x x +∈R 可化为()2cos()6y x x R π=-∈，将它向左平移6π个单位得2cos ()2cos 66y x x ππ⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦，其图像关于y 轴对称，故选B ．（5）【2013年湖北，理5，5分】已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：222221sin sin tan y x θθθ-=的 （ ）（A ）实轴长相等 （B ）虚轴长相等 （C ）焦距相等 （D ）离心率相等 【答案】D【解析】对于双曲线1C ，有1sin cos 222=+=θθc ，θcos 1==a c e ． 对于双曲线2C ，有θθθθθ222222tan sec sin )tan 1(sin =⋅=+=c ，θθθcos 1sin tan ===a c e ．即这两双曲线的离心率相等，故选D ．（6）【2013年湖北，理6，5分】已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）（A （B （C ）（D ）【答案】A【解析】2,1AB =（），5,5CD =（），则AB 在CD 方向上的射影为cos AB CD AB CD θ⋅==故选A ．（7）【2013年湖北，理7，5分】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t =-++（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止． 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（ ）（A ）125ln5+ （B ）11825ln 3+ （C ）425ln5+ （D ）450ln 2+【答案】C【解析】令25()731v t t t =-++=0，解得4t =或83t =-（不合题意，舍去），即汽车经过4秒中后停止，在此期间汽车继续行驶的距离为4442000253()d (73)d 725ln(1)425ln 512v t t t t t t t t ⎛⎫=-+==-++=+ ⎪+⎝⎭⎰⎰，故选C ． （8）【2013年湖北，理8，5分】一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）（A ）1243V V V V <<< （B ）1324V V V V <<<（C ）2134V V V V <<< （D ）2314V V V V <<< 【答案】C【解析】显然23V V <，所以B 不正确． 又2217(2121)33V ππ=++⨯=，22122V ππ=⋅⋅=，3328V ==，224128(4242)33V =++⨯=，从而2134V V V V <<<，故选C ． （9）【2013年湖北，理9，5分】如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值 ()E X =（ ）（A ）126125 （B ）65（C ）168125 （D ）75【答案】B【解析】125个同样大小的小正方体的面数共有125×6=750，涂了油漆的面数有25×6=150．每一个小正方体的一个面涂漆的频率为15017505=，则它的涂漆面数为X 的均值()E X =16655⨯=，故选B ． （10）【2013年湖北，理10，5分】已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则（ ）（A ）1()0f x >，21()2f x >- （B ）1()0f x <，21()2f x <-（C ）1()0f x >，21()2f x <- （D ）1()0f x <，21()2f x >-【答案】D【解析】'()ln 12f x x ax =+-，由()(ln )f x x x ax =-由两个极值点，得'()0f x =有两个不等的实数解，即ln 21x ax =-有两个实数解，从而直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点． 过点()0,1-作ln y x =的切线，设切点为()00,x y ，则切线的斜率01k x =，切线方程为011y x x =-．切点在切线上，则00010x y x =-=，又切点在曲线ln y x =上，则00ln 01x x =⇒=，即切点为()1,0，切线方程为1y x =-． 再由直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点，知直线21y ax =-位于两直线0y =和1y x =-之间，如图所示，其斜率2a 满足：021a <<，解得102a <<． 则这函数的两个极点12,x x 满足1201x x <<<，所以12()(1)()f x f f x <<，而1(1)(,0)2f a =-∈-，即12()()f x a f x <-<，所以121()0,()2f x f x <>-，故选D ． 二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（11）【2013年湖北，理11，5分】从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示（1）直方图中x 的 值为_________；（2）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数 为 ． 【答案】（1）0.0044 （2）70【解析】（1）1[150(0.00600.003620.00240.0012)]0.004450x =-++⨯+=．（2）用电量落在区间[100,250)内的户数为(0.00360.00600.0044)5010070++⨯⨯=．（12）【2013年湖北，理12，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i = ． 【答案】5 【解析】已知初始值10,1a i ==，∵104a =≠，则执行程序，得5,2a i ==；因为54a =≠，则执行程序，得16,3a i ==；164a =≠，则第三次执行程序，得8,4a i ==；∵84a =≠，则第四次执行程序，得4,5a i ==；∵4a =，执行输出i ，5i =．（13）【2013年湖北，理13，5分】设,,x y z ∈R ，且满足：2221x y z ++=，23x y z ++=则x y z ++= ．【解析】由柯西不等式得2222222()()1(23)32x y z x y z ≥＋＋＋＋＋＋当且仅当1x y z==时等号成立，此时2y x =，3z x =．∵2221x y z ＋＋=，23x y z =++∴x =，y =，z =∴x y z ++= （14）【2013年湖北，理14，5分】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数． 如三角形数1，3，6，10，，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+． 记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)22N n n n =+，正方形数 2(,4)N n n =，五边形数231(,5)22N n n n =-，六边形数 2(,6)2N n nn =-，…………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =________．【答案】1000【解析】由题中数据可猜想：含2n 项的系数为首项是12，公差是12的等差数列，含n 项的系数为首项是12，公差是12-的等差数列，因此22111124()33222222N n k k k k n k n n n ⎡⎤--⎡⎤⎛⎫=+(-)++(-)-=+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦，． 故()2210,241110111010101000N n n =-=⨯-⨯=．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）（15）【2013年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若3AB AD =，则CEEO的值为_______．【答案】8【解析】根据题设，易知3OC AO DO ==，Rt Rt Rt ODE DCE OCD ∆∆∆∽∽，∴31OD CD OC OE DE OD ===，即39CO OD OE ==，在Rt ODE ∆中，22222298DE DO OE OE OE OE =-=-=，在Rt CDE ∆中，2222229864C E C D D E D E D E D E O E =-=-==，即2264CE EO =，∴8CE EO=．（16）【2013年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴 正半轴为极轴）中，直线l 与圆O的极坐标方程分别为πsin()4ρθ+=（m 为非零常数）与b ρ=． 若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 ．【解析】椭圆C 的方程可以化为22221x y a b+=，圆O 的方程可化为222x y b +=，直线l 的方程可化为x y m +=，因为直线l 经过椭圆的焦点，且与圆O 相切，则c m =，b =，a ==，所以椭圆的离心率c e a ==三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2013年湖北，理17，11分】在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ． 已知cos23cos()1A B C -+=． （1）求角A 的大小；（2）若△ABC的面积S =5b =，求sin sin B C 的值．解：（1）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍因为0πA <<，所以π3A =．（2）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =．又5b =，知4c =．由余弦定理故a =又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．（18）【2013年湖北，理18，12分】已知等比数列{}n a 满足：23||10a a -=，123125a a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数m ，使得121111m a a a +++≥？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由． 解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由已知可得331211125||10a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得1533a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，或151a q =-⎧⎨=-⎩． 故1533n n a -=⋅，或15(1)n n a -=-⋅-．（2）若1533n n a -=⋅，则1131()53n n a -=⋅，故1{}n a 是首项为35，公比为13的等比数列，从而131[1()]191953[1()]111031013m mm n na =⋅-==⋅-<<-∑．若1(5)(1)n n a -=-⋅-，则111(1)5n n a -=--，故1{}n a 是首项为15-，公比为1-的等比数列，从而11,21()1502()mn n m k k a m k k +=+⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩∑,N N ，故111m n n a =<∑．综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑．故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥成立． （19）【2013年湖北，理19，12分】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．（1）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =． 记直线PQ与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的 大小为β，求证：sin sin sin θαβ=．解：（1）直线l ∥平面PAC ，证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC ． 又EF ⊄平面ABC ， 且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF 平面ABC l =，所以EF ∥l ． 因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC ． （2）解法一：（综合法）如图，连接BD ，由（1）可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC ．因为AB 是O 的直径， 所以AC BC ⊥，于是l BC ⊥．已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC l ⊥．而PC BC C =，所以l ⊥平面PBC ．连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l BF ⊥．故CBF ∠就是二面角E l C --的平面角，即CBF β∠=．由12DQ CP =，作DQ ∥CP ，且12D Q C P =．连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，2CP PF =，所以DQ PF =，从而四边形DQPF 是平行四边形， PQ ∥FD ．连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影，故CDF ∠就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即CDF θ∠=．又BD ⊥平面PBC ，有BD BF ⊥， 知BDF ∠为锐角，故BDF ∠为异面直线PQ 与EF 所成的角，即BDF α∠=，于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin CF DF θ=，sin BF DF α=，sin CFBFβ=， 从而sin sin sin CF BF CFBF DF DFαβθ=⋅==，即sin sin sin θαβ=．解法二：（向量法）如图，由12DQ CP =，作DQ ∥CP ，且12D Q C P =．连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由（1）可知交线l 即为直线BD ．以点C 为原点，向量,,CA CB CP 所在直线分别为 ,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设,,2CA a CB b CP c ===，则有(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,2),(,,)C A a B b P c Q a b c ，1(,0,),(0,0,)2E a cF c ．于是1(,0,0)2FE a =，(,,)QP a b c =--，(0,,)BF b c =-，所以||cos||||FE QP FE QP a α⋅==⋅，从而2sin a α==+又取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m ，可得||sin ||||QP QP a θ⋅==⋅m m ，设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =n ，所以由00FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，可得1020ax by cz⎧=⎪⎨⎪-+=⎩．取(0,,)c b =n ．于是|||cos |||||β⋅==⋅m n m n sin β．故sin sin sin αβθ===，即sin sin sin θαβ=．（20）【2013年湖北，理20，12分】假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p ．（1）求0p 的值；（参考数据：若X ～2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=）； （2）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆． 公 司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆． 若每天要以不小于0p 的 概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车 各多少辆?解：（1）由于随机变量X 服从正态分布2(800,50)N ，故有800μ=，50σ=，(700900)0.9544P X <≤=．由正态分布的对称性，得0(900)(800)(800900)p P X P X P X =≤=≤+<≤11(700900)0.977222P X =+<≤=．（2）设A 型、B 型车辆的数量分别为, x y 辆，则相应的营运成本为16002400x y +．依题意， , x y 还需满足：021, 7, (3660)x y y x P X x y p +≤≤+≤+≥．由（1）知，0(900)p P X =≤，故0(3660)P X x y p ≤+≥等价于3660900x y +≥．于是问题等价于求满足约束条件2173660900, 0, x y y x x y x y x y +≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩，N，且使目标函数16002400z x y =+达到最小的,x y ．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为(5,12), (7,14), (15,6)P Q R ．由图可知，当直线16002400z x y =+经过可行域的点P 时，直线16002400z x y =+在y 轴上截距2400z最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆． （21）【2013年湖北，理21，14分】如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S ．（1）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．解：依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=．其中0a m n >>>， 1.mnλ=>（1）解法一：如图，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =． 在C 1和C 2的方程中分别令0x =， 可得A y m =，B y n =，D y m =-，于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---． 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=． 由1λ>，可解得1λ=． 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=+． 解法二：如图，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=．所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--． 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=． 由1λ>，可解得1λ=． 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=+．（2）解法一：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=． 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d ==，所以12d d =． 又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=．由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-，||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-．① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A xB x = 根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A Bx AD BC x ==1(1)λλλ+=-．③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解 得222222(1)(1)n t k a t λ-=-．因为0k ≠，所以20k >． 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-， 等价于2221(1)()0t t λ--<． 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>所以当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=．解法二：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=． 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则1d ==2d ==，所以12d d =．又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==．因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+===-，所以11A B x x λλ+=-． 由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n+=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=，依题意0A Bx x >>，所以22A B x x >．所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-．因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A Bx x λ<<．从而111λλλ+<<-，解得1λ>11λ<≤l ，使得12S S λ=；当1λ>+l 使得12S S λ=（22）【2013年湖北，理22，14分】设n 是正整数，r 为正有理数．（1）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；（2）证明：1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++；（3）设x ∈R ，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于．．．x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，π4=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥．令3125S +，求S ⎡⎤⎢⎥的值．（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈）解：（1）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r r f x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x =．当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数；当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数．故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =． （2）由（1），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，1(1)1(1)r x r x ++≥++，且等号当且仅当0x =时成立，故当1x >-且0x ≠时，1(1)1(1)r x r x ++>++．①在①中，令1x n =（1x >-且0x ≠），111(1)1r r n n +++>+． 上式两边同乘1r n +，得11(1)(1)r r r n n n r +++>++，即11(1).1r r rn n n r +++-<+②当1n >时，在①中令1x n =-（这时1x >-且0x ≠），类似可得11(1).1r r rn n n r ++-->+③且当1n =时，③也成立．综合②，③得1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++． ④（3）在④中，令13r =，n 分别取值81，82，83，…，125，得44443333338180(8281)44-<-（），44443333338281(8382)44--（），44443333338382(8483)44-<-（）， (4444)333333125124(126125)44-<<-（）．将以上各式相加，并整理得444433333312580(12681)44S -<<-（）．代入数据计算，可得4433312580210.24-≈（），4433312681210.94-≈（）．由S ⎡⎤⎢⎥的定义，得211S =⎡⎤⎢⎥．。
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湖北省部分重点中学 2013届高三第一次联考
数学（理）试题
命题：武汉三中 杨振兴
试卷满分：150分
注意事项：
1．本卷1—10题为选择题，共50分，11—21题为非选择题，共100分，全卷共4页，
考试结束，监考人员将答题卷收回。
2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指
定位置。
3．选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
4．非选择题的作答：用0 5毫米黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的
答题区域内。
答在指定区域外无效。
第一部 分选择题
一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分。
共50分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑 1．已知集合||24|,||1(111)|M x x N x y n og x =-<<==+则M N 等于
（ ）
A.||2|x x π-<< B ．||4|x x π<< C ．||0|x x π<< D ．||04|x x << 2．下列命题中，真命题是
（ ） A ．0x R ∃∈·0sin 1x ≥
B ．命题2
",2"x
x R x ∀∈>的否定是2
",2"x
x R x ∀∈≤
C ．
1
1x
>的充要条件是1x <
D ．()f x M ≤是函数()f x 的最大值为M 的充分条件
3．若某空间几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积是
（ ）
A ．1
3 B ．23
C ．1
（x 为有理数）
（x 为无理数）
D ．2
4．要得到函数sin cos y x x =-的图象，只需将函数cos sin y x x =-的图象
（ ）
A ．向左平移4
π
个单位长度 B ．向右平移
2π
个单位长度
C ．向右平移π个单位长度
D ．向左平移34
π
个单位长度
5．已知平面α、β直线l ，若αβ⊥，l αβ= ，则
（ ）
A ．垂直于平面β的平面一定平行于平面
B ．与平面α，β都平行的直线一定平行于直线l
C ．平行于直线l 的直线与平面α，β都平行
D ．垂直于平面β的直线一定平行于平面α
6．函数()f x 是R 上的增函数且()()()()f a f b f a b +>-+-则
（ ）
A ．0a b >>
B ．0a b ->
C ．0a b +>
D ．0,0a b >>
7．()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>在1x =处取最大值，则
（ ）
A ．(1)f x -一定是奇函数
B ．(1)f x -一定是偶函数
C ．(1)f x +一定是奇函数
D ．(1)f x +一定是奇函数
8．函数1()0f x ⎧=⎨⎩ ， 则下列结论错误的是
( )
A ． ()f x 是偶函数
B ．方程(())f f x x =的解为1x =
C ． ()f x 是周期函数
D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =
9．已知定义域为（0，+∞）的单调函数()f x ，若对任意的(0,)x ∈+∞，都有
1
[()1]32
f f x og
x +=，则方程()2f x =的解的个数是
（ ） A ．3 B ．2
C ．1
D ．0
10．已知数列A ：1212,,,(0,3)n n a a a a a a n ≤<<≥ 具有性质P ；对任意
,(1),j i i j i j n a a ≤<≤+与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下
四个命题： （ ） ①数列0，2，4，6具有性质P ； ②若数列A 具有性质P ，则a 1=0；
③若数列A 具有性质P 且10(1,2,,(1);n n k k a a a a k n -≠-==-
④若数列123123,,(0)a a a a a a ≤<<具有性质P ，则312a a a =+其中真命题有
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分
11．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则公比q 等于 。
12．设,,a b c 是单位向量，且a b c =+ ，则向量,a b
的夹角等于= ____ 。
13．已知函数3
()sin ,(1,1)f x x x x =+∈-，如果2
(1)(1)0f m f m -+-<，则m 的取值范
围是 。
14．点A 是函数()sin f x x =的图象与x 轴的一个交点 （如图所示），若图中阴影部分的面积等于矩形
OABC 的面积，那么边AB 的长等于 。
15．已知正实数x ，y ，记m 为x 和
22
y
x y +中较小者，则m 的最大值为 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．共75分
16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3cos 4
B =。
（1）求2
sin 2cos 2
A C
B ++，的值；
（2
）若b =，求△ABC 面积的最大值。
17．（本小题满分12分）某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单
位：吨）满足函数关系式C=3+x ，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关
系35(06)8
14
(6)k x x S x x ⎧++<<⎪
=-⎨⎪≥⎩，已知每日的利润L S C =-，且当x=2，L=3。
（1）求k 的值；
（2）当日产量为多少吨时，每日的利润达到最大，并求出最大值。
18.（本题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 为 菱形，60,BAD Q ∠=
为AD 的中点，PA=PD=AD=2 （1）求证：AD ⊥平面;PQB
（2）点M 在线段PC 上，PM=tpc ，试确定t 的值，
使PA ∥平面MQB ；
（3）若PA ∥平面MQB ，平面PAD ⊥平面ABCD ，求
二面角M －BQ －C 的大小。
19．（本题满分12分）已知0a >，函数()11a
f x nx x
=+-（其中e 为自然对数的底数） （1）求函数()f x 在区间（0，e ）上的最小值； （2）若数列{}n a 的通项1
,n a n
=
n S 是前n 项和，证明：11(2)n S n n π->≥
20．（本题满分13分）设n S 为数列{a n }的前n 项和为1(n n S a λλ=-，为常数，n=1，2，3……）。
（1）若2
32a a =，求λ的值；
（2）是否存在实数λ，使得数列{a n }是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；
（3）当
λ=2量，若数列{c n }满足1(1,2,3,),n n n b a b n +=+= 且12
3
b =
，令(1)n
n n n
a c a
b =
+，求数列{a n }的前n 项和T n 。
21．（本题满分14分）已知α为常数，,a R ∈函数2()1,()x
f x x ax nx
g x e =+-=。
（其中
e 是自然对数的底数）
（1）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，设切点为00(,)P x y ，求0x 的值； （2）令()
()()
f x F x
g x =
，若函数F （x ）在区间(0,1]上是单调函数，求α的取值范围。