高二数学-如皋中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学理试卷
江苏省如皋中学2015-2016学年高二下学期第二次阶段检测理数试题解析(解析版)含解斩
一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分．）1.设集合{1,0,1}A =-，2{|0}B x x x =+≤，则AB =__________.【答案】{1,0}- 【解析】试题分析：由2{|0}B x xx =+≤得}01{≤≤-=x B ，故AB ={1,0}-。
考点:集合的交集运算和二次不等式的解法. 2。
一质点的运动方程为2()2S t t t=+,则该质点在1t =时的瞬时速度为__________。
【答案】4 【解析】试题分析：因2()2S t tt=+，故22)(/+=t t S，所以瞬时速度为422)1(/=+==S V .考点：导数的意义.3. 若集合{}1,sin A θ=，1,22B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则"56πθ="是”12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭”的__________条件．（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空） 【答案】充分不必要考点：充分必要条件的判定. 4。
函数12()log (1)f x x =-的定义域为__________。
【答案】(1,2] 【解析】试题分析：由0)1(log 21≥-x 可得110≤-<x ，即21≤<x ,故应填答案(1,2].考点:对数函数的性质． 5。
曲线32123y xx x=-+的所有切线中，斜率最小的切线的方程为__________。
【答案】3310x y -+=考点：导数的几何意义．6。
函数()(3)xf x x e =-的单调增区间是__________。
【答案】(2,)+∞ 【解析】试题分析：因x x x e x e x e x f)2()3()(/-=-+=，故由0)2()(/>-=x e x x f 可得2>x ，故单调增区间是(2,)+∞。
考点:导数在研究函数的单调性中的运用. 7。
若函数2()(21)12f x x a x a=+-+-在区间(1,0)-及1(0,)2内各有一个零点,则实数a 的取值范围是__________。
高二上学期期中考试数学试卷含答案
高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。
2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理科)试卷解析
2015-2016学年上学期期中考高二理科数学试题（考试时间：120分钟 总分：150分） 2015、11参考公式：b=2121xn xyx n yx ni ini ii--∑∑==，a=y －b x ， b 是回归直线的斜率，a 是截距样本数据1x ，2x ，...，n x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-其中x 为样本平均数一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、下列给出的赋值语句正确的是( )A ．6＝AB ．M ＝－MC ．B ＝A ＝2D ．x ＋5y ＝02、已知命题p ：R x ∈∀，1cos ≤x ，则（ ）(A) 1cos ,:≥∈∃⌝x R x p (B) 1cos ,:≥∈∀⌝x R x p (C) 1cos ,:00>∈∃⌝x R x p (D) 1cos ,:>∈∀⌝x R x p 3、设x R ∈,则“12x >”是“2210x x +->”的（ ） (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件4、从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）(A) 至少有一个黑球与都是黑球 (B) 至少有一个红球与都是黑球(C) 至少有一个黑球与至少有1个红球 (D) 恰有1个黒球与恰有2个黑球5、甲，乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如图，则甲，乙两命中个数的中位数分别为( )甲 茎 乙8 0 93 2 1 1 34 8 765420 2 0 0 1 1 373A. 23,19B.24,18 C ．22,20D.23,206、若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x yB ．161022=+y xC ．18422=+x yD ． 161022=+x y7、在长为10㎝的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm 2与64 cm 2之间的概率为 （ ） (A)103 (B)52(C)54 (D)51 8、某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数， 则可以输出的函数是（ ） (A) ()2f x x = (B) ()1f x x=(C) ()xf x e = (D) ()sin f x x =（第8题图）9、21,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则Δ12AF F 的面积为（ ）A ．7 B ．47 C ．27 D ．257 ）(A) 5i >？ (B) 7i ≥？ (C) 9i ≥？ ( D) 9i >？11、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x （万元） 4 2 3 5 销售额y （万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）(A) 63．6万元 (B) 65．5万元 (C) 67．7万元 (D) 72．0万元开始1=i 0=S iS S 2+=2+=i i ?否S输出结果是12、下列说法错误的是（ ）(A) “若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题是真命题。
江苏省南通市如皋市2015-2016学年高二上学期期中物理试卷 含解析
2015—2016学年江苏省南通市如皋市高二（上）期中物理试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题3分，共计24题．每小题只有一个选项符合题意．1．下列说法中正确的是( )A．一切运动电荷在磁场中都要受到磁场力的作用B．一小段通电导线在某处不受磁场力作用，该处的磁感应强度一定为零C．磁场中某处磁感应强度的方向,与通电导线在该处所受磁场力的方向相同D．磁感应强度的单位可以用Wb/m2来表示2．长直螺线管中通有电流，沿螺线管中心轴线射入一电子,若螺线管中电流增大，方向不变，电子在螺线管中心轴线上运动情况是（）A．做匀速直线运动B．做变加速直线运动C．做变减速直线运动 D．做间距变大的螺旋运动3．如图所示，a、b都是较轻的铝环，a环闭合，b环断开,横梁可以绕中间支点自由转动,开始时整个装置静止．下列说法中正确的是（）A．条形磁铁插入a环时，横梁不会发生转动B．只有当条形磁铁N极拔出铝环时,横梁才会转动C．条形磁铁用相同方式分别插入a、b环时，两环转动情况相同D．铝环a产生的感应电流总是阻碍铝环与磁铁间的相对运动4．如图所示，有界磁场的方向竖直向下，通电直导线ab的两端都在磁场的边界之外,当直导线由水平位置1绕端点a在竖直平面内转到位置2，且b端仍在磁场右边界之外，则通电导线所受安培力是（）A．数值变大，方向不变B．数值变小，方向不变C．数值不变，方向改变D．数值，方向均保持不变5．两个相同的定值电阻1、2 分别接在正弦交流电和直流电两端，直流电压恒为U0．当电阻1、2 的通电时间分别为t 和2t 时，两个电阻上产生的热量均为Q．则该正弦交流电压的最大值是（)A．U0B．U0C．U0D．2U06．如图所示为洛伦兹力演示仪的结构图．励磁线圈产生的匀强磁场方向垂直纸面向外,电子束由电子枪产生,其速度方向与磁场方向垂直．电子速度的大小和磁场强弱可分别由通过电子枪的加速电压和励磁线圈的电流来调节．下列说法正确的是（)A．仅增大励磁线圈中电流，电子束径迹的半径变大B．仅提高电子枪加速电压,电子束径迹的半径变大C．仅增大励磁线圈中电流,电子做圆周运动的周期将变大D．仅提高电子枪加速电压，电子做圆周运动的周期将变大7．小型手摇发电机线圈共N匝,每匝可简化为矩形线圈abcd,磁极间的磁场视为匀强磁场，方向垂直于线圈中心轴OO′,线圈绕OO′匀速转动,如图所示，矩形线圈ab边和cd边产生的感应电动势的最大值都为e0,不计线圈电阻,则发电机输出电压( ）A．峰值是e0 B．峰值是2e0C．有效值是e0D．有效值是Ne08．如图，直角三角形金属框abc放置在匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向平行于ab 边向上．当金属框绕ab边以角速度ω逆时针转动时，a、b、c三点的电势分别为U a、U b、U c．已知bc边的长度为l．下列判断正确的是( )A．U a＞U c，金属框中无电流B．U b＞U c，金属框中电流方向沿a﹣b﹣c﹣aC．U bc=﹣Bl2ω，金属框中无电流D．U bc=Bl2ω，金属框中电流方向沿a﹣c﹣b﹣a二、多项选择题：本题共6小题，每小题5分，共计30题．在每小题给出的四个选项中，有多个正确选项,全部选对的得5分，选不全的得3分，有错选或不答的得0分．9．在匀强磁场中，一矩形金属线框绕与磁感线垂直的转轴匀速转动,如图1所示，产生的交变电动势的图象如图2所示，则（)A．t=0.005s时线框的磁通量变化率为零B．t=0。
2015-2016学年江苏如皋中学高二(下)4月月考数学(理)试题(解析版)
2015-2016学年江苏如皋中学高二（下）4月月考数学（理）试题一、填空题1．设集合{}0,2,3A =，{}21,4B x x =++，{}3A B = ，则实数x 的值为 ． 【答案】2【解析】试题分析：因{}3A B = ,故}4,1{32++∈x x ,即2=x .【考点】交集及运算．2．命题“若1a >，则2a >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为 ． 【答案】2【解析】试题分析：由题设可知原命题是假的,故其逆否命题是假的,而否命题是:若1≤a ,则2≤a 是真的,故其逆命题是真的即假命题的个数是2. 【考点】命题的四种形式及真假的判断．3．若命题p ：R x ∀∈，21x >，则该命题的否定是 ．【答案】x R ∃∈，21x ≤【解析】试题分析：依据全称命题的否定是存在性命题可得答案为x R ∃∈，21x ≤. 【考点】含有一个量词的命题的否定及求法．【易错点晴】本题考查的是全称命题的否定与存在性命题之间的关系.求解时要充分借助“全称命题的否定是存在性命题”、“ 存在性命题的否定是全称命题”这一事实，先搞清所给的命题是全称命题还是存在性命题，然后再依据上述结论加以判别求解写出答案.解答这类问题时，常常会和命题四种形式中“否命题”混淆，从造成解答上的错误.4．已知函数()f x =M ，值域为N ，则M N = ．【答案】(0,1)【解析】试题分析：由01>-x 可得1<x ,即)1,(-∞=M ,而0)(>x f ,故),0(+∞=N ,所以)1,0(=N M .【考点】定义域、值域、交集．5．函数2cos y x x =+在[0,]2π上取最大值时，x 的值是 ．【答案】6π 【解析】试题分析：因x x f sin 21)(/-=,故当6π=x 时,函数取最大值.【考点】导数在求函数的最值中的运用．【易错点晴】本题是一道典型的运用导数求函数最值的问题.求解时先对所给的函数进行求导,再找出导函数的零点,即函数的极值点,最后依据函数的单调求出极大值和极小值,进而依据实际情况求出其最大值和最小值,求解时可直接将极值点代入函数的解析式中,先算出函数的值再判断其是最大值或最小值,然后写出答案这样求解过程较为简便.6．曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为 ． 【答案】31y x =+【解析】试题分析：因2)1()(/++=x e x x f ,故切线的斜率为321=+=k ,所以切线方程为13+=x y .【考点】导数的几何意义及运用． 7．函数12ln y x x=+的单调减区间为 ． 【答案】1(0,)2【解析】试题分析：由01221)(22/<-=+-=x x x x x f 可得210<<x .【考点】导数在研究函数的单调性中的运用．8．已知函数32()31f x ax x x =+-+在R 上是减函数，则a 的取值范围是 ． 【答案】(,3]-∞-【解析】试题分析：由题设可知0163)(2/≤-+=x ax x f 在R 上恒成立,若0=a ,则016≤-x ,61≤x 不合题设;故0≠a ,所以由判别式01236≥+a 可得3-≤a . 【考点】导数在函数的单调性中的运用．【易错点晴】本题考查的单调性与函数的导数的关系的一道典型的问题.这类问题解答思路是依据导函数值与单调性的关系建立不等式.导函数的值大于零等价于函数是增函数；导函数的值小于零等价于函数是减函数；反之,函数是增函数则导函数的值不小于零；函数是减函数则导函数的值不大于零.本题在解答时充分借助这一条件建立不等式,最后使本题获解. 9．已知函数()x mf x e x=-在区间[]1,2上的最小值为1，则实数m 的值为 ． 【答案】1e -【解析】试题分析：由于2/)(xm x f =,因此当0≤m 时,函数()x mf x e x =-是[]1,2上的减函数,故12=-me ,解之得022>-=e m ,不合题设；当0>m 时, 函数()xmf x e x=-是[]1,2上的增函数,故1=-m e ,即1-=e m . 【考点】导数在研究函数的最值中的运用． 【易错点晴】本题考查的是导函数在求函数的最值中的运用,是一道逆向型问题.解答时充分借助函数在闭区间[]1,2在有最小值1这一条件和信息,先对函数()x mf x e x=-进行求解,进而分类讨论参数m 的取值情形,分别求出其最小值,最后再依据题设进行分析求解,去掉不合题设和已知条件的参数m 的值,从而写出符合题设条件的参数m 的值. 10．已知函数()2ln 2a f x x x x x =--在定义域内为单调函数，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】1[,)e+∞【解析】试题分析：由于ax x ax x x f -=--+=ln 1ln 1)(/,因此问题可转化为求函数x x h ln )(=的切线斜率k ,讨论斜率k 与a 的大小关系,进而断定axx x f -=ln )(/的正负.因x x h 1)(/=,设切点为)ln ,(t t P ,则t k 1=,切线方程为)(1ln t x tt y -=-,由题设可切线过原点)0,0(O ,所以e k e t t 1,,1ln ===,结合函数的图象可知当ea 1≥时,x ax ln ≥,即0)(/≤x f ,函数)(x f 单调递减.【考点】导数在函数的单调性中的运用．11．已知)(x f 为定义在),0(+∞上的可导函数且0)(>x f ，若)()(x f x x f '<恒成立，则不等式0)()1(2>-x f xf x 的解集为 ．【答案】)1,0(【解析】试题分析：构造函数x x f x F )()(=,则0)()()(2//>-=x x f x xf x F ,由于不等式0)()1(2>-x f xf x 等价于x x f xx f )(1))1(>,即)()1(x F x F >,故借助函数x x f x F )()(=的单调性可得x x >1,解之得10<<x .【考点】导数在研究函数的单调性中的运用．12．若关于x 的方程3x e x kx -=有四个实数根，则实数k 的取值范围是 ． 【答案】(0,3)e -【解析】试题分析：当0<x 时,方程为k x e x =--|3|；当0>x 时,方程为k x e x=-|3|,令3)(-=x e x h x ,画出函数3)(-=xe x h x的图象,从图象中可以看出当10<<x 时,函数单调递减,当1>x 时单调递增,所以当1=x 时取最小值03)1()(min <-==e h x h ,因此存在+∞<<<<2110x x ,函数|3|)(-=x e x h x在),1(),,0(21x x 单调减；在),(),1,(21+∞x x 增,而当0<x 时,函数|3|)(--=x e x g x恒在x 轴的下方,所以当e k -<<30时函数|3|)(-=xe x h x的图象与直线k y =有四个交点.【考点】导数在研究函数的图象及函数的单调性中的运用．13．设曲线()1x y ax e =-在点()01,A x y 处的切线为1l ，曲线()1x y x e -=-在点()02,B x y 处的切线为2l ，若存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是 ．【答案】31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：由于x e a ax y )1(/+-=,因此切线1l 的斜率为0)1(01x e a ax k +-=；又由于x x x e x e e x y ----=---=)2()1)(1(/,因此切线2l 的斜率为0)2(02x e x k --=,由题设1)2)(1(00-=-+-x a ax 在]23,0[上有解,即)1)(2(3000+--=x x x a ,令t x =-30,则541++=tt a ,所以问题转化为求函数541)(++=tt t g 在]23,3[--∈t 上的值域问题.令54)(++=t t t h ,当]23,3[--∈t 时,]1,32[54)(∈++=t t t h ,所以]23,1[∈a . 【考点】导数的几何意义及函数方程思想的运用．【易错点晴】本题考查的是函数方程思想在解决实际问题中的运用.解答本题的关键在于先要依据题设条件分别求出两条曲线在给定点处的切线的斜率0)1(01x e a ax k +-=和0)2(02x ex k --=,再利用其互相垂直这一条件和信息建立关于切点的横坐标为变量的方程,最后再将参数a 分离出来)1)(2(3000+--=x x x a ,将方程问题转化为0x 函数问题,最终通过换元转化借助函数的图象和单调性求出其值域,使问题获解. 14．若函数()()20fx a x b x c a =++≠的图象与直线l 交于两点3(,)A t t t -，232(23,)B t t t t ++，其中0t ≠且1t ≠-，则2(2)f t t '+的值为 ．【答案】12【解析】试题分析：由题设可得⎪⎩⎪⎨⎧++++=+++=-c t t b t t a t t cbt at t t )32()32(2222323两式左右两边相减可得)22()22)(42(2222t t b t t t t a t t ++++=+,即b t t a 2)42(212++=,也即b t t a ++=)2(2212,而b ax x f +=2)(/,所以=+)2(2/t t f 21)2(22=++b t t a ,所以21)2(2/=+t t f .【考点】导数及函数方程思想的灵活运用．二、解答题15．已知集合()(){}2310A x x x a =---<，函数()()22lg 11a xy a x a -=≠-+的定义域为集合B ，若A B =，求实数a 的值． 【答案】1-．【解析】试题分析：先将集合B A ,明确化,再借助B A =建立方程分类求解即可. 试题解析：由()2201a x x a ->-+且1a ≠得：221a x a <<+，即2(2,1)B a a =+. 当312a +=即13a =时，A =∅，不满足A B =；当312a +>即13a >时，(2,31)A a =+，由A B =得，222,131,a a a =⎧⎨+=+⎩此时无解；当312a +<即13a <时，(31,2)A a =+，由A B =得，2231,12,a a a =+⎧⎨+=⎩ 解得1a =-. 故所求实数a 的值为1-.【考点】集合相等的条件及运用．16．命题p ：“关于x 的方程012=++ax x 有解”，命题q ：“R x ∈∀，022≥+-a ex e x 恒成立”，若“p ∧q ”为真，求实数a 的取值范围． 【答案】[0,)+∞．【解析】试题分析：借助复合命题的真假建立不等式求解即可获解. 试题解析：若p 为真，则042≥-=∆a ，故2-≤a 或2≥a .若q 为真，则令=)(x h a ex e x +-22，则)1(222)(122-=-='-x x e e e e x h ， 令0)(<'x h ，则21<x ，所以)(x h 在)21,(-∞上单调递减； 令0)(>'x h ，则21>x ，所以)(x h 在),21(+∞上单调递增. ∴当21=x 时，)(x h 有最小值，a a e e h x h =+-==)21()(min .0)(,≥∈∀x h R x 恒成立，∴0)(min ≥x h ，即0≥a . “q p ∧”为真，∴p 为真且q 为真.∴22,0,a a a ≤-≥⎧⎨≥⎩或 解得0≥a .从而所求实数a 的取值范围为[0,)+∞.【考点】命题的真假及充分必要条件．【易错点晴】本题考查的是复合命题的真假为背景,真正考查函数的最值和解不等式的能力的一道试题.求解时要充分借助题设条件中要求“p ∧q ”为真”,该条件等价于“命题q p ,都是真命题”，从而将命题转化为不等式的形式，最后将问题转化为求两个不等式交集的问题,命题中含参数的取值范围问题一般有两条思路，其一是建立不等式求其解集，其二是建立函数求其值域.17．已知函数)0(3)(3≠+-=a b ax x x f 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程为8=y ． （1）求实数b a ,的值；（2）求函数)(x f 的单调区间； （3）求函数)(x f 的极值．【答案】（1）24,4==b a ；（2）增区间为)2,(--∞和),2(+∞,减区间为)2,2(-；（3）极大值40,极小值8． 【解析】试题分析：（1）借助切点既在切线上,又在曲线上建立方程求解；（2）解导函数大于和小于零的不等式即可获解；（3）依据极大小值的定义求解. 试题解析：（1） 切点())2(,2f 在切线8=y 上，又b a f +-=62)2(3，∴862)2(3=+-=b a f ，得a b 6=，①a x x f 33)(2-='，且)(x f y =在点(2,(2))f 处的切线斜率为0，∴0323)2(2=-⨯='a f ，②由①②得，4=a ，246==a b . （2） 2412)(3+-=x x x f ，∴123)(2-='x x f .令0)(='x f ，则2-=x 或2，单调减区间为：)2,2(-.（3） 由（2）得：当2-=x 时，)(x f 有极大值，为40， 当2=x 时，)(x f 有极小值，为8．【考点】导数及在研究函数的单调性和极值中的运用．18．如图，在半径为2，圆心角为变量的扇形OAB 内作一内切圆P ，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆P 外切的小圆Q ，设圆P 与圆Q 的半径之积为y ．（1）按下列要求写出函数关系式：Ｂ①设202AOB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，将y 表示成θ的函数；②设圆P 的半径()01x x <<，将y 表示成x 的函数． （2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求y 的最大值． 【答案】（1） ①()()234sin 1sin (0)21sin y θθπθθ-=<<+；②()3201y x x x =-+<<；（2）max 427y =． 【解析】试题分析：（1）直接借助题设条件建立函数关系式；（2）选择其中一个函数利用导数工具求其最大值即可获解. 试题解析：（1）①如图，设圆P 与圆Q 的半径分别为R 、r . 由(2)sin R R θ=-⋅得2sin 1sin R θθ=+，又222r R rR R--=-，2222sin 2sin 2sin (1sin )()1sin 1sin (1sin )r R R θθθθθθθ⋅-∴=-=-=+++，()()234sin 1sin (0)21sin y r R θθπθθ-∴=⋅=<<+；②圆Q 的半径分别为r ，由222r x rx x--=-得2r x x =-， ()3201y r x x x x ∴=⋅=-+<<．（2）选择②：由()3201y x x x =-+<< 得232(01)y x x x '=-+<<， 令0y '>，得203x <<； 令0y '<，得213x <<. ()3201y x x x ∴=-+<<在区间2(0,)3上是增函数，在区间2(,1)3上是减函数．∴当23x =时，max 427y =. 【考点】导数在球最值中的运用及抽象概括能力和阅读理解能力. 19．已知函数21()34f x x x =-+-，()(1)ln m g x x m x x =-+- ，m R ∈．（1）求函数()g x 的极值；（2）若对任意12,[1,]x x e ∈ 12()()1f x g x -≤恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1） 当0m ≤时，极小值为1m -，无极大值，当01m <<时，极小值为1m -，极大值为()1ln 1m m m -+-，当1m =时，无极值，当1m >时，极小值为()1ln 1m m m -+-，极大值为1m -；（2）(],0-∞． 【解析】试题分析：（1）借助导数及对m 的分类求其极值；（2）借助导数及分类整合思想建立不等式求实数m 的范围.试题解析：（1）()()()()210x m x g x x x --'=>①当0m ≤时，()f x 在区间(0,1)上是减函数，在区间(1,)+∞上是增函数，()f x ∴极小值(1)1f m ==-，无极大值．②当01m <<时，()f x 在区间(0,)m 上是增函数，在区间(,1)m 上是减函数，在区间(1,)+∞上是增函数，()f x ∴极大值()(1)ln 1f m m m m ==-+-，()f x 极小值(1)1f m ==-．③当1m =时，()f x 在区间()0,+∞是增函数，()f x ∴无极值．④当1m >时，()f x 在区间(0,1)上是增函数，在区间(1,)m 上是减函数，在区间(,)m +∞上是增函数，()f x ∴极小值()(1)ln 1f m m m m ==-+-，()f x 极大值(1)1f m ==-．（2）23()()22f x x =--+ ，max 3()()22f x f ∴==．由题意，当[1,]x e ∈时，max min ()()1f x g x -≤即min ()1g x ≥． ①当1m ≤时，min ()(1)1g x g m ==-，11m -≥ ，0m ∴≤． ②当1m e <<时，min ()()(1)ln 1g x g m m m m ==-+-， 令()(1)ln 1(1)F m m m m m e =-+-<<，则1()10F m m'=--<， ()F m ∴是减函数，()(1)0F m F ∴<=，()0g m ∴<，不合题意．③当m e ≥时，min ()()(1)m g x g e e m e ==-+-，(1)1me m e-+-≥ ， 221e em e -∴≤+，这与m e ≥矛盾，舍去． 综上，m 的取值范围是(,0]-∞．【考点】函数的导数的有关知识在实际解决问题中的运用．【易错点晴】本题考查的是函数的极值和在不等式恒成立的情形下参数的取值范围.求解过程中充分借助题设条件,运用分类整合的数学思想,对参数m 进行分类整合从而求出极值和不等式中参数m 的取值范围.对于问题（1），因为()()()()210x m x g x x x --'=>,所以其中的参数m 要分类才能求出其极值,所以容易出错.对于问题（2），由于两个函数都在变化,所以将问题转化为先求函数)(x f 的最大值,再求函数)(x g 的最小值,要使其差小于1,只要最大值域最小值的差小于1即可,从而使问题合得以合理的化归与转化.20．已知函数xx x f 1ln )(-=，b ax x g +=)(． （1）若函数)()()(x g x f x h -=在),0(+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若直线b ax x g +=)(是函数xx x f 1ln )(-=图象的切线，求b a +的最小值； （3）当0=b 时，若)(x f 与)(x g 的图象有两个交点11(,)A x y ，22(,)B x y ，求证：2122x x e ⋅>．（参考数据： e ≈7.2，2ln ≈7.0，2≈4.1）【答案】（1） 0≤a ；（2）1-；（3）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）借助函数单调性与导数值是非负数建立不等式求解；（2）将参数b a ,用切点的横坐标表示,再借助导数求最小值；（3）先分析转化再构造函数,运用导数的有关知识进行推证.试题解析：（1） )()()(x g x f x h -=--=)1(ln x x b ax xx b ax ---=+1ln )(，∴a xx x h -+='211)(.)(x h 在),0(+∞上单调递增， ∴∀),0(+∞，011)(2≥-+='a xx x h 恒成立 即∀),0(+∞，min 211⎪⎭⎫⎝⎛+≤x xa 恒成立令41)211(11)(22-+=+=x xx x H ， 0>x ，∴01>x ， ∴0>x 时，0)(>x H ，∴0≤a .（2） 设切点为),(00y x ，则0211x x a +=， 又0001ln x x b ax -=+，∴12ln 00--=x x b ， ∴1ln 11002-+-=+x x x b a ， 令1ln 11)(2-+-=x x x x ϕ，则323)1)(2(111)(x x x x x x x -+=++-='ϕ ∴当0)(>'x ϕ时，),1(+∞∈x ，所以)(x ϕ在),1(+∞上单调递增；当0)(<'x ϕ时，)1,0(∈x ，所以)(x ϕ在)1,0(上单调递减.∴当1=x 时，)(x ϕ取得最小值，为1-，即b a +的最小值为1-.（3） 证明：由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-②①2221111ln 1ln axx x ax x x∴①＋②得：)()ln(21212121x x a x x x x x x +=+- ③①－②得：)(ln 12212112x x a x x x x x x -=--，即a x x x x x x =+-2112121ln④④代入③得： ))(1ln()ln(21211212212121x x x x x x x x x x x x x x ++-=+-，即121221212121ln )(2)ln(x x x x x x x x x x x x -+=+-，不妨令210x x <<，记112>=x x t ， 令)1(1)1(2ln )(>+--=t t t t t F ，则0)1()1()(2>+-='t t t t F ， ∴1)1(2ln )(+--=t t t t F 在),1(+∞上单调递增，则0)1(1)1(2ln )(=>+--=F t t t t F ，∴1)1(2ln +->t t t ，故211212)(2ln x x x x x x +->，∴2ln )(2)ln(121221212121>-+=+-x x x x x x x x x x x x .又21212121212121214ln 24)ln()(2)ln(x x x x x x x x x x x x x x x x -=-<+-∴24ln22121>-x x x x ，即12ln 2121>-x x x x ，令xx x G 2ln )(-=，则0>x 时，021)(2>+='x x x G ，∴xx x G 2ln )(-=在),0(+∞上单调递增，又183.0212ln 21222ln <≈-+=-ee e ∴ee x x x x x x G 222ln 12ln )(212121->>-=，∴e x x 221>∴2122x x e ⋅>【考点】导数及在研究函数的单调性最值中的应用．21．长方体1111A B C D ABCD -中，2AB AD ==，1A A =，M 为棱1C C 的中点，1C D 与1D C 交于点N ，求证：1AM A N ⊥．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：建立空间直角坐标系运用向量推证即可．试题解析：以{}1,,AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)A，M，1A，(1N ．AM ∴=，1(1,2,A N = ，12122(0AM A N ⋅=⨯+⨯= ，1AM A N ∴⊥．【考点】空间向量的数量积公式．22．已知2011A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，2435B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且二阶矩阵M 满足AM B =． （1）求1A -；（2）求矩阵M ．【答案】（1） 1102112A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）⎢⎣⎡41 ⎥⎦⎤72. 【解析】试题分析：（1）直接运用逆矩阵的计算公式即可.（2）借助矩阵的乘法运算即可获解.试题解析：（1）1102112A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （2）AM B =得，110241221354712M A B -⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【考点】矩阵及逆矩阵的乘法运算．23．设二阶矩阵M 是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y 方向伸长为原来5倍的伸压变换．（1）求直线4101x y -=在M 作用下的方程；1A 1BC 1AM B C D N1D（2）求M 的特征值与特征向量．（3）求523M ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值．【答案】（1） 4210x y --=；（2） 11λ=,110α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，25λ=,201α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅5532． 【解析】试题分析：（1）借助矩阵变换的公式即可获解；（2）依据矩阵特征多项式和特征方程即可获解；（3）借助特征向量的特征值的求解方法求解.试题解析：（1） 1005M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 设(,)x y ''是所求曲线上的任一点，则1005x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以,5,x x y y '=⎧⎨'=⎩从而,1,5x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩代入4101x y -=得，4210x y ''--=， 所以所求曲线的方程为4210x y --=.（2）矩阵M 的特征多项式10()(1)(5)05f λλλλλ-==---, 由()0f λ=得，矩阵M 的特征值为11λ=，25λ=.当11λ=时，对应的一个特征向量110α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 当25λ=时，对应的一个特征向量201α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （3） 122233αα⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦ ，55552210213501335M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴=⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 【考点】矩阵的乘法法则、特征向量和特征值．24．如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD AD a ==，点E 是SD 上的点，且(01)DE a λλ=<≤．（1）求证：对任意的(0,1]λ∈，都有AC BE ⊥；（2）若二面角C AE D --的大小为60︒，求λ的值．【答案】（1）证明见解析；（2）λ=．【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系借助向量的计算即可获证；（2）借助向量的数量积建立方程求解即可获解.试题解析：（1）证明：如图，建立空间直角坐标系D xyz -，则(,0,0)A a ，B(,,0)a a ，(0,,0)C a ，(0,0,0)D ，(0,0,)E a λ.(,,0)AC a a ∴=- ，(,,)BE a a a λ=-- ，0AC BE ∴⋅= 对任意(0,1]λ∈都成立，即对任意的(0,1]λ∈，都有AC BE ⊥.（2）显然(0,1,0)n = 是平面ADE 的一个法向量，设平面ACE 的法向量为(,,)m x y z = ，(,,0)AC a a =- ，(,0,)AE a a λ=- ，∴0,0,m AC m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,ax ay ax az λ-+=⎧⎨-+=⎩ ∴0,0,x y x z λ-=⎧⎨-=⎩ 取1z =，则x y λ==，∴(,,1)m λλ= ，∵二面角C AE D --的大小为60︒，∴1cos ,2n m n m n m ⋅〈〉===⋅ ， ∵(0,1]λ∈，∴λ=.【考点】空间向量的有关知识及运用．。
高二数学-南通市如皋中学2014-2015学年高二上学期10月段考数学试卷
2014-2015学年江苏省南通市如皋中学高二（上）10月段考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+5=0的周长是__________．2．直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2+2x=0的位置关系为__________．3．过点且与圆x2+y2=4相切的直线方程是__________．4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，则直线D1F与CE 的位置关系是__________．（填平行、异面、相交三者之一）5．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9有__________条公切线．6．下列说法正确的序号有__________．（1）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合（2）梯形可以确定一个平面（3）m，n为异面直线，过空间任意一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交（4）m，n为异面直线，过空间任意一点P，一定存在与直线m，n都平行的平面．7．圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是__________．8．与圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=4相切于点（4，﹣1）且半径为1的圆的方程是__________．9．已知点P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱D1D上的一点，当点P在线段D1D上移动时，直线A1B1与平面ABP的位置关系是__________．10．曲线：与直线y=x+b恰有1个公共点，则b的取值范围为__________．11．如果直线y=kx+1与x2+y2+kx+my﹣4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，若P（a，b）为平面区域内任意一点，则的取值范围是__________．12．直线y=kx+3与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M，N两点，若∠MCN＞120°，则k的取值范围为__________．13．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点（3，2），则两圆心的距离C1C2=__________．14．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在五面体ABCDE中，点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，棱求证：FO∥平面CDE．16．已知平面上四点：A（4，3），B（5，2），C（1，0），D（2，3）（1）证明：A、B、C、D四点共圆；（2）已知点N是（1）中圆上的一个动点，点P（6，0），点Q（x，y）是线段PN的三等分点且距点P近一些，求点Q的坐标满足的方程．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，Q为AD的中点，点M在线段PC上且PM=tPC（t＞0），试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB．18．已知圆M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．（1）若点Q的坐标为（﹣1，0），求切线QA，QB的方程；（2）求四边形QAMB的面积的最小值．19．如图，P为长方体ABCD﹣A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1内的一点，过直线BC与点P 的平面记为α，若α∩平面A1B1C1D1=l求证：l∥B1C1．20．在平面直角坐标系xOy中，已知以O为圆心且面积最小的圆与直线l：y=mx+（3﹣4m）（m∈R）恒有公共点T．（1）求出T点的坐标及圆O的方程；（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内动点P使、、成等比数列，求的范围；（3）设点T关于y轴的对称点为Q，直线l与圆O交于M、N两点，试求的最大值，并求出S取最大值时的直线l的方程．二、理科加试题加试满分40分考试时间：30分钟21．下列命题中正确命题的序号为__________．（写出所有正确命题的序号）①用符号表示“点A在直线a上，直线b在平面α外，直线l与平面β相交于点B”为A∈a，b⊄α，l∩β=B；②如果直线AB、CD是两条异面直线，那么直线AC、BD是异面直线；③直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则a⊥b；④四面体ABCD中，若AB⊥CD，AD⊥BC，则AC⊥BD．22．过点A（0，8）且与圆C：x2+y2+10x+10y=0相切于原点的圆的标准方程为__________．23．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）PA⊥AB．24．已知圆O：x2+y2=16，圆O与x轴交于A，B两点，过点B的圆的切线为l，P是圆上异于A，B的一点，PH垂直于x轴，垂足为H，E是PH的中点，延长AP，AE分别交l 于F，C．（1）若点，求以FB为直径的圆M的方程，并判断P是否在圆M上；（2）当P在圆O上运动时，试判断直线PC与圆O的位置关系．2014-2015学年江苏省南通市如皋中学高二（上）10月段考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+5=0的周长是2π．【考点】圆的一般方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】把圆的一般方程化为标准方程的方法，求出圆的半径，即可求得圆的周长．【解答】解：由于圆的方程x2+y2﹣6x﹣2y+5=0可化为（x﹣3）2+（y﹣1）2=5，∴圆的半径r=，故周长l=2πr=2π，故答案为：【点评】本题主要考查把圆的一般方程化为标准方程的方法，求出圆的半径，是解题的关键，属于中档题．2．直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2+2x=0的位置关系为相离．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径r，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，然后比较d与r的大小即可得到直线与圆的位置关系，然后把圆心坐标代入已知直线即可判断已知直线是否过圆心．【解答】解：由圆C：x2+y2+2x=0化为标准方程得：（x+1）2+y2=1，所以圆心坐标为（﹣1，0），圆的半径r=1，则圆心到直线x+y﹣4=0的距离d=＞r=1，所以直线与圆相离，故答案为：相离．【点评】此题考查学生掌握判断直线与圆位置关系的方法，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题．3．过点且与圆x2+y2=4相切的直线方程是x+．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；集合思想；数学模型法；直线与圆．【分析】点是圆x2+y2=4上的一点，然后直接代入过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为求得圆的切线方程．【解答】解：∵把点代入圆x2+y2=4成立，∴可知点是圆x2+y2=4上的一点，则过的圆x2+y2=4的切线方程为，即x+．故答案为：x+．【点评】本题考查圆的切线方程，过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为，此题是基础题．4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，则直线D1F与CE 的位置关系是异面．（填平行、异面、相交三者之一）【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】取A1B1中点M，连结C1M，则CE∥C1M，由异面直线判定定理得D1F与C1M是异面直线，从而昨到直线D1F与CE的位置关系是异面．【解答】解：取A1B1中点M，连结C1M，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，∴CE∥C1M，∵FD1∩平面A1C1=D1，D1∉C1M，∴由异面直线判定定理得D1F与C1M是异面直线，∴直线D1F与CE的位置关系是异面．故答案为：异面．【点评】本题考查两条直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意异面直线判定定理的合理运用．5．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9有2条公切线．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；直线与圆．【分析】分别求出两圆的半径和圆心距，由此得到两圆相交，从而能求出两公切线的条数．【解答】解：∵圆C1：（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r1=2，圆C2：（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径r2=3，|C1C2|=，∵|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2，∴圆C1：（x+2）2+y2=4与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣1）2=9相交，∴公切线有2条．故答案为：2．【点评】本题考查两圆的公切线的条数的求法，是基础题，解题时要注意两圆位置关系的合理运用．6．下列说法正确的序号有（2）．（1）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合（2）梯形可以确定一个平面（3）m，n为异面直线，过空间任意一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交（4）m，n为异面直线，过空间任意一点P，一定存在与直线m，n都平行的平面．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】在（1）中，如果两个平面有共线的三个公共点，则这两个平面不一定重合；在（2）由梯形有一组对边平行，得到梯形可以确定一个平面；在（3）中，过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论；在（4）中，过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在在m，或n上时，不满足结论．【解答】解：（1）如果两个平面有不共线的三个公共点，则这两个平面重合，故（1）错误；（2）由梯形有一组对边平行，得到梯形可以确定一个平面，故（2）正确；（3）m，n为异面直线，过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论，故（3）错误；（4）m，n为异面直线，过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在m，或n上时，不满足结论，故（4）错误．故答案为：（2）．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．7．圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是3x﹣y﹣9=0．【考点】相交弦所在直线的方程．【专题】计算题；转化思想．【分析】要求两个圆的交点的中垂线方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，求出两个圆的圆心坐标，利用两点式方程求解即可．【解答】解：由题意圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，圆：x2+y2﹣4x+6y=0的圆心（2，﹣3）和圆：x2+y2﹣6x=0的圆心（3，0），所以所求直线方程为：，即3x﹣y﹣9=0．故答案为：3x﹣y﹣9=0．【点评】本题是基础题，考查两个圆的位置关系，弦的中垂线方程的求法，考查计算能力，转化思想的应用．8．与圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=4相切于点（4，﹣1）且半径为1的圆的方程是（x﹣5）2+（y+1）2=1．【考点】圆的标准方程．【专题】转化思想；综合法；直线与圆．【分析】设所求的圆的圆心为A（a，b），则由题意可得A、C（2，﹣1）和点B（4，﹣1）在同一条直线上，根据它们的斜率相等以及AB=1，求得a和b的值，从而求得圆的方程．【解答】解：设所求的圆的圆心为A（a，b），则由题意可得A、C（2，﹣1）和点B（4，﹣1）在同一条直线上，故有=，求得b=﹣1．再结合AB=1，可得a=5，即圆心A（5，﹣1），故所求圆的方程为（x﹣5）2+（y+1）2=1，故答案为：（x﹣5）2+（y+1）2=1．【点评】本题主要考查圆的标准方程，两个圆相切的性质，属于基础题．9．已知点P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱D1D上的一点，当点P在线段D1D上移动时，直线A1B1与平面ABP的位置关系是平行．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥A1B1，A1B1⊄平面ABP，AB⊂平面ABP，利用直线与平面平行的判定定理，可得结论．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥A1B1，A1B1⊄平面ABP，AB⊂平面ABP，∴直线A1B1∥平面ABP．故答案为：平行．【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．10．曲线：与直线y=x+b恰有1个公共点，则b的取值范围为[﹣1，1）∪{}．．【考点】曲线与方程．【专题】综合题；数形结合；综合法；直线与圆．【分析】确定曲线所对应的图象，求出两个极端位置，即可求得结论．【解答】解：依题意可知曲线可整理成y2+x2=1（y≥0），图象如图所示直线与半圆相切时，原点到直线的距离为1，即=1，∴b=直线过半圆的右顶点时，1+b=0，∴b=﹣1线过半圆的左顶点时，﹣1+b=0，∴b=1∴曲线：与直线y=x+b恰有1个公共点时，b的取值范围为[﹣1，1）∪{}．故答案为：[﹣1，1）∪{}．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，属于中档题．11．如果直线y=kx+1与x2+y2+kx+my﹣4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，若P（a，b）为平面区域内任意一点，则的取值范围是[﹣1，﹣]．【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；数形结合．【分析】先由条件求出k=1，m=﹣1，再画出对应的平面区域，把看成平面区域内的点与（1，﹣1）连线的斜率，利用图形可得结论．【解答】解：∵直线y=kx+1与x2+y2+kx+my﹣4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，∴直线y=kx+1与直线x+y=0垂直且直线x+y=0过x2+y2+kx+my﹣4=0的圆心．∴k=1，m=﹣1∴点P（a，b）所在平面区域为，如图又因为表示点P（a，b）与点（1，﹣1）连线的斜率．故当过点B（﹣1，0）时，取最大值﹣．当过A（﹣，）或O（0，0）时，取最小值﹣1．故答案为[﹣1，﹣]．【点评】本题是简单的线性规划与直线和直线以及直线与圆的位置关系的一道综合题，是队知识的综合考查．利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与（1，﹣1）的斜率．12．直线y=kx+3与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M，N两点，若∠MCN＞120°，则k的取值范围为﹣＜k＜．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】当∠MCN＞120°时，|MN|＞2，求得圆心到直线的距离d＜1，由此求得k的范围．【解答】解：当∠MCN＞120°时，|MN|＞2，圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离为d=＜1，求得﹣＜k＜，故答案为：﹣＜k＜．【点评】本题主要考查圆的标准方程，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．13．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点（3，2），则两圆心的距离C1C2=4．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；综合法；直线与圆．【分析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），则有|a|=，解方程求得a值，代入两点间的距离公式可求得两圆心的距离|C1C2|的值．【解答】解：∵两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（3，2），故圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），则有|a|=，∴a=5+2，或a=5﹣2，故圆心为（5+2，5+2）和（5﹣2，5﹣2），故两圆心的距离|C1C2|=4，故答案为：4．【点评】本题考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．14．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值5﹣4．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】数形结合法；直线与圆．【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．【解答】解：如图，圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：﹣4=5﹣4．故答案为：5﹣4．【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，考查两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在五面体ABCDE中，点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，棱求证：FO∥平面CDE．【考点】直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】要证明FO∥平面CDE，在平面CDE中：取CD中点M，连接OM．证明FO∥EM 即可；【解答】证明：取CD中点M，连接OM，连接EM，∵在矩形ABCD中，OM BC，又EF BC，∴可得：EF OM，∴四边形EFOM为平行四边形．∴FO∥EM．又因为FO⊄平面CDE，且EM⊂平面CDE，∴FO∥平面CDE．【点评】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．16．已知平面上四点：A（4，3），B（5，2），C（1，0），D（2，3）（1）证明：A、B、C、D四点共圆；（2）已知点N是（1）中圆上的一个动点，点P（6，0），点Q（x，y）是线段PN的三等分点且距点P近一些，求点Q的坐标满足的方程．【考点】圆的标准方程．【专题】直线与圆．【分析】（1）求出经过三点的圆的方程，再把第四个点的坐标代入检验，满足方程，可得A、B、C、D四点共圆．（2）设点N的坐标为（x1，y1），则x12+y12﹣6x1﹣2y1+5=0 ①，设Q的坐标为（x，y），由题意可得，点Q分有向线段NP成的比为2，再利用定比分点坐标公式求出x1=3x﹣12，y1=3y，代入①可得点Q的坐标满足的方程．【解答】解：（1）设A（4，3）、B（5，2）、C（1，0）三点共圆于x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，求得D=﹣6，E=﹣2，F=5，∴A、B、C共圆于x2+y2﹣6x﹣2y+5=0，把D（2，3）代入此方程，成立，故A、B、C、D四点共圆．（2）设点N的坐标为（x1，y1），则x12+y12﹣6x1﹣2y1+5=0 ①，设Q的坐标为（x，y），由题意可得，点Q分有向线段NP成的比为2，则x=，y=，即：x1=3x﹣12，y1=3y．再把点N的坐标（3x﹣12，3y ）代入方程①可得（x﹣12）2+（3y）2﹣6（3x﹣12）﹣2×3y+5=0，即x2+9y2﹣42x﹣6y+89=0．【点评】本题主要考查圆的一般方程，定比分点坐标公式，用代入法求轨迹方程，属于中档题．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，Q为AD的中点，点M在线段PC上且PM=tPC（t＞0），试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB．【考点】直线与平面平行的判定．【专题】综合题；存在型；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】连AC交BQ于N，交BD于O，点M在线段PC上，PM=tPC，实数t=的值，由PA∥平面MQB，利用PA∥MN，说明三角形相似，求出t=．【解答】解：当t=时，使得PA∥平面MQB．连AC交BQ于N，交BD于O，则O为BD的中点，又∵BQ为△ABD边AD上中线，∴N为三角形ABD的重心，可得：，，∴PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN，∴PA∥MN，==即：PM=PC，t=．【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力，逻辑思维能力以及推理论证能力，属于中档题．18．已知圆M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．（1）若点Q的坐标为（﹣1，0），求切线QA，QB的方程；（2）求四边形QAMB的面积的最小值．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（1）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求切线QA，QB的方程；（2）连接QM，则易知四边形QAMB的面积，即可求四边形QAMB的面积的最小值．【解答】解：（1）由题意，过点（﹣1，0），且与x轴垂直的直线显然与圆M相切，此时，切线方程为x=﹣1当过点（﹣1，0）的直线不与x轴垂直时，设其方程为y=k（x+1），即kx﹣y+k=0，由解得，此时切线方程为3x﹣4y+3=0；（2）连接QM，则易知四边形QAMB的面积故当点Q为坐标原点时，．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．如图，P为长方体ABCD﹣A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1内的一点，过直线BC与点P 的平面记为α，若α∩平面A1B1C1D1=l求证：l∥B1C1．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离．【分析】BC、点P确定平面α，由长方体性质得BC∥平面A1B1C1D1，利用线面平行的性质定理即可证明l∥B1C1．【解答】证明：∵P为长方体ABCD﹣A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1内的一点，过直线BC 与点P的平面记为α，∴BC∥平面A1B1C1D1，∵α∩平面A1B1C1D1=l，∴由线面平行的性质定理BC∥l，∵BC∥B1C1，∴l∥B1C1．【点评】本题考查直线与直线平行的证明，是基础题，解题时要注意线面平行的性质定理的合理运用，注意空间思维能力的培养．20．在平面直角坐标系xOy中，已知以O为圆心且面积最小的圆与直线l：y=mx+（3﹣4m）（m∈R）恒有公共点T．（1）求出T点的坐标及圆O的方程；（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内动点P使、、成等比数列，求的范围；（3）设点T关于y轴的对称点为Q，直线l与圆O交于M、N两点，试求的最大值，并求出S取最大值时的直线l的方程．【考点】等比数列的性质；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；直线与圆相交的性质；直线和圆的方程的应用．【专题】综合题．【分析】（1）由y=mx+（3﹣4m）过定点T（4，3）可知，要使圆O的面积最小，半径最小，从而可得定点T（4，3）在圆上，可求圆O的方程（2）可先设P（x0，y0），则科的…（1）由题意可得，，利用向量的数量积的坐标表示可得：，联立可求y0的范围，代入可求求的范围（3）直线l与圆O的一个交点为M（4，3），定点Q（﹣4，3），由向量的数量积的定义可得，=2S△MQN，从，要使S最大，则只要S△MNQ最大，即N到MQ的距离最大即可【解答】解：（1）因为直线l：y=mx+（3﹣4m）过定点T（4，3）…由题意，要使圆O的面积最小，定点T（4，3）在圆上，所以圆O的方程为x2+y2=25；…（2）A（﹣5，0），B（5，0），设P（x0，y0），则 (1)∵，，由成等比数列得，，即，整理得：，即 (2)由（1）（2）得：，，当y0=0时有最小值，当时，函数值为0∴．（3）=，…由题意，得直线l与圆O的一个交点为M（4，3），又知定点Q（﹣4，3），直线l MQ：y=3，∴|MQ|=8，则当N（0，﹣5）时S△MQN有最大值32．…（14分）即有最大值为64，此时直线l的方程为2x﹣y﹣5=0．…（16分）【点评】本题主要考查了直线方程的点斜式在判断直线恒过定点中的应用，直线与圆相交关系的应用及向量的数量积的坐标表示等知识的综合应用二、理科加试题加试满分40分考试时间：30分钟21．下列命题中正确命题的序号为①②③④．（写出所有正确命题的序号）①用符号表示“点A在直线a上，直线b在平面α外，直线l与平面β相交于点B”为A∈a，b⊄α，l∩β=B；②如果直线AB、CD是两条异面直线，那么直线AC、BD是异面直线；③直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则a⊥b；④四面体ABCD中，若AB⊥CD，AD⊥BC，则AC⊥BD．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；数形结合；综合法；反证法；空间位置关系与距离．【分析】在①中，由点在直线上，直线在平面外，直线与平面相交于点的表示法能判断①的正误；在②中使用反证法能判断②的正误；在③中，由直线与平面平行和直线与平面垂直的性质定理得a⊥b；在④中，要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面垂直的定义（或性质）得出线线垂直．【解答】解：①点A在直线a上，表示为A∈a；直线b在平面α外，表示为b⊄α；直线l 与平面β相交于点B，表示为l∩β=B．故①正确；②假设直线AC、BD是共面直线，则A、B、C、D共面，则直线AB、CD是两条共面直线，这与直线AB、CD是两条异面直线相矛盾，故直线AC、BD是异面直线，故②正确；③∵直线a∥平面α，直线b⊥平面α，∴由直线与平面平行和直线与平面垂直的性质定理得a⊥b，故③正确；④过A作AO⊥平面BCD，垂足为O，则AO⊥CD．∵AB⊥CD，AO∩AB=A，∴CD⊥平面ABO．∵BO⊂平面ABO，∴CD⊥BO．同理BC⊥DO．则O为△BCD的重心，∴CO⊥BD．∵AO⊥BD，CO∩AO=O，∴BD⊥平面ACO，∴AC⊂平面ACO，∴AC⊥BD．故④正确．故答案为：①②③④．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．22．过点A（0，8）且与圆C：x2+y2+10x+10y=0相切于原点的圆的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2 =32．【考点】圆的标准方程．【专题】直线与圆．【分析】设所求的圆的圆心为M，可得M、O、C共线，故圆心M在直线y=x上，设所求的圆的圆心为M（a，a），又所求的圆过点A（0，8），可得圆心M还在直线y=4上，故M （4，4），求得半径AM的值，可得要求的圆的方程．【解答】解：圆C：x2+y2+10x+10y=0，即：（x+5）2+（y+5）2 =50，故圆心C（﹣5，﹣5）．根据两圆相切于原点，设所求的圆的圆心为M，可得M、O、C共线，故圆心M在直线y=x上，设所求的圆的圆心为M（a，a），又所求的圆过点A（0，8），故圆心M还在直线y=4上，故M（4，4），半径为AM=4，故要求的圆的方程为：（x﹣4）2+（y﹣4）2 =32，故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2 =32．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，两圆相切的性质，属于中档题．23．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）PA⊥AB．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可，再由DE∥PA，能证明PA⊥AB．【解答】证明：（1）证明：∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF．（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3，又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4，∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF，∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC，∵DE∥PA，∴PA⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴PA⊥AB．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是中档题．24．已知圆O：x2+y2=16，圆O与x轴交于A，B两点，过点B的圆的切线为l，P是圆上异于A，B的一点，PH垂直于x轴，垂足为H，E是PH的中点，延长AP，AE分别交l 于F，C．（1）若点，求以FB为直径的圆M的方程，并判断P是否在圆M上；（2）当P在圆O上运动时，试判断直线PC与圆O的位置关系．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】证明题；运动思想；数形结合法；直线与圆．【分析】（1）先确定直线AP的方程为y=，求得F（﹣4，），确定直线AE的方程为y=，求得C（﹣4，），由此可得圆的方程；（2）设P（x0，y0），则E（x0，），求得直线AE的方程，进而可确定直线PC的斜率，由此即可证得直线PC与圆O相切．【解答】（1）解：由，A（4，0），得直线AP的方程为y=，令x=﹣4，得F（﹣4，），由E（﹣2，），A（4，0），则直线AE的方程为y=，令x=﹣4，得C（﹣4，），∴C为线段FB的中点，以FB为直径的圆恰以C为圆心，半径等于．∴圆M的方程为，且P在圆上；（2）证明：设P（x0，y0），则E（x0，），则直线AE的方程为y=，在此方程中令x=﹣4，得C（﹣4，），直线PC的斜率为=，若x0=0，则此时PC与y轴垂直，即PC⊥OP；若x0≠0，则此时直线OP的斜率为，∵，∴PC⊥OP．∴直线PC与圆O相切．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程，解题的关键是确定圆的圆心与半径，利用斜率关系确定直线与圆相切，是中档题．。
2015-2016学年高二上学期期中考试数学试卷
2015学年第一学期期中考试高二年级 数学试卷答卷时间：120分钟； 满分：150分； 命题人：温从赐 审核人：鲁兴冠参考公式：棱柱的体积公式： V Sh =其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高棱锥的体积公式：13V Sh =其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高棱台的体积公式：)(312211S S S S h V ++=其中S 1、S 2分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高球的表面积公式：24S R π=； 球的体积公式： 334R V π= 其中R 表示球的半径一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，总共40分.）1.10y -+=的倾斜角为（ ）A.30B.150C.60D.120 2.直线()1:110l a x y -+-=和2:320l x ay ++=垂直，则实数a 的值为（ ）A.12B.32C.14D.34 3.用斜二测法画水平放置的边长为1的正方形所得的直观图面积是（ ）D. 4.若直线a 不平行于平面α，且a α⊄，则下列结论成立的是（ ）A.α内的所有直线与a 异面B.α内不存在与a 平行的直线C.α内存在唯一的直线与a 平行D.α内的直线与a 都相交 5.已知实数,x y 满足22230x x y -+-=，则x y -的最大值是（ ）A.1B.1-C.1-D.6.已知直线():10l x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =（ ）A.2B. C .6 D.7.已知圆()2214x y ++=的圆心为C ，点P 是直线:540l mx y m --+=上的点，若该圆上存在点Q 使得30CPQ ∠=，则实数m 的取值范围为（ ）A.[]1,1-B.[]2,2-C. D.120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 8.设四边形EFGH 的四条边长为,,,a b c d ，其四个顶点分别在单位正方形ABCD 的四条边上，则222222a b c d +++的最小值为（ ）A.3B.6C. D.83二、填空题（本题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，共36分.）9.已知直线1:10l x y --=和2:2240l x y -+=，则1l 在y 轴上的截距是 ，直线1l 与2l 间的距离是 .10.在正方体1111ABCD A B C D -中，棱11A D 与棱1BB 所成的夹角是 ，异面直线1AD 与BD 所成的角是 .11.设三棱锥ABC S -的三个侧面两两垂直，且a SC SB SA ===，则其外接球的表面积为 ，体积为 .12.已知变量,x y 满足430401x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则点(),x y 对应的区域面积是__________，22x y u xy+=的取值范围为__________．13.在平面直角坐标系内，到点(1,2)A ，(1,5)B ，(3,6)C ，(7,1)D -的距离之和最小的点的坐标是_____ __.14.设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PAB ∆面积的最大值是 .15.在平面直角坐标系xOy 中，设()1,1,,A B C -是函数()10y x x=>图象上的两点，且ABC ∆为正三角形，则ABC ∆的高为 .三、解答题（本题共5小题，共74分；解答过程应写出必要的过程步骤与详细解答情况.） 16.（本题满分14分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图甲所示，墩的上半部分是正四棱锥P EFGH -，下半部分是长方体ABCD EFGH -.图乙、图丙分别是该标识墩的正视图和俯视图.（1）画出该安全标识墩的侧视图，并标出相应的刻度； （2）求该安全标识墩的体积.17.（本题满分15分）过点()2,1P 作直线l 交x 轴、y 轴的正半轴于,A B 两点，O 为坐标原点.（1）当AOB ∆的面积为92时，求直线l 的方程； （2）当AOB ∆的面积最小时，求直线l 的方程.18.（本题满分15分）已知过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆()()22:231C x y -+-=交于,M N 两点.（1）求k 的取值范围；（2）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .19.（本题满分15分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点,A B . （1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在实数k ，使得直线():4L y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.20.（本题满分15分）已知圆()44:22=++y x C 与x 轴交于B A 、两点，P 是圆C 上的动点，直线AP 与PB 分别与y 轴交于N M 、两点.（1）若()4,2P -时，求以MN 为直径圆的面积；（2）当点P 在圆C 上运动时，问：以MN 为直径的圆是否过定点？如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由.x龙湾中学2015学年第一学期期中考试高二年级数学试卷参考答案 一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，总共40分.）二、填空题（本题共小题，前题每空分，后题每空分，共分.）9. 1- 10. 2π；3π11. 3223,3a a ππ12.85102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦13. ()2,4 14. 52 15. 2 三、解答题（本题共5小题，共74分；解答过程应写出必要的过程步骤与详细解答情况.） 16.（本题满分14分） 解析：（1）侧视图如下图所示2010201020cm40cm（2）364000cm . 17.（本题满分15分）解析：（1）30x y +-=或460x y +-=；（2）min 4S =，此时l 的方程为240x y +-=. 18.（本题满分15分）19.（本题满分15分）20.（本题满分15分）（1）解析：当()4,2P -时，直线AP 方程是6y x =+，所以()0,6M ；直线BP 方程是2y x =--，所以()0,2M -，因此8MN =.所以以MN 为直径圆的面积是16π.（2）解法1：设直线()6:+=x k y AP 交y 轴于()k M 6,0；同法可设直线()21:+-=x ky BP 交y 轴于⎪⎭⎫ ⎝⎛-k N 2,0，线段MN 的中点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k D 13,02.所以以MN 为直径的圆的方程为：222221313⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+k k k k y x ，展开后得()012132222=---+y k k y x ， 令0=y ，得32±=x ，则过定点()032，和()0,32-.解法2：设()()b N a M ,0,,0，线段线段MN 的中点⎪⎭⎫⎝⎛+2,0b a D .所以以MN 为直径的圆的方程为：22222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+b a b a y x ，展开后得()022=++-+ab y b a y x ，考虑到PB PA ⊥，有⇒-=⇒-=⋅12126ab ba ()01222=-+-+yb a y x ， 令0=y ，得32±=x ，则过定点()032，和()0,32-.。
高二上学期期中考试数学试题(带答案)
高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。
）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。
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江苏省如皋中学2015-2016学年度高二第一学期期中数学试卷（理科试卷）一． 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 椭圆1422=+y x 的离心率为_____________.2. 抛物线2y ax =-的准线方程为 ．3.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则b a = .4.对于常数m 、n ,“0>mn ”是“方程122=+ny mx 的曲线是椭圆”的 条件.5.由命题“存在x ∈R ，使|1|0x e m --≤”是假命题，得m 的取值范围是(,)a -∞，则实数a 的值是 ．6.已知21:523,:0,45p x q x x -≥≥+-则p ⌝是q ⌝的 条件7.下列选项叙述错误的是A.命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”B.若命题p ：2,10x R x x ∀∈++≠，则p ⌝：2,10x R x x ∃∈++=C.若p q ∨为真命题，则p ，q 均为真命题D.“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件8.双曲线22152x y k k +=--的焦点与k 无关，则k 的取值范围为 .9.将参数方程2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）化为普通方程为 .10.如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是 .11.已知双曲线116922=-y x 的右焦点为F ，点A )2,9(试在双曲线上求一点M 使MF MA 53+的值最小，则这个最小值为 ．12.分别过椭圆()2210,0x y a b a b+=>>的左、右焦点12,F F 所作的两条互相垂直的直线12,l l 的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率e 的取值范围是 .13.直线23+=x y 与圆心为D 的圆()()13122=-+-y x 交于B A ,两点，直线BD AD ,的倾 斜角分别为βα,，则()βα+tan = ．14.已知椭圆22143x y +=,若此椭圆上存在不同的两点,A B 关于直线4y x m =+对称,则实数m 的取值范围是 ．二．解答题：（本大题共6小题，共90分.请在答题纸指定区域作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.(本题14分)已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=.（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.16.（本题14分）已知命题P ：函数log (21)a y x =-在定义域上单调递减；命题Q ：不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对任意实数x 恒成立.若Q P ∨是真命题，求实数a 的取值范围17.（本题14分）已知命题33:0,:322x m m p q x x -+≤≤<-,若命题p 是命题q 成立的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.18.（本题16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，圆C ：22(1)16x y ++=，点()0,1F ，E 是圆C 上的一个动点，EF 的垂直平分线PQ 与CE 交于点B ，与EF 交于点D 。
（1）求点B 的轨迹方程；（2）当D 位于ｙ轴的正半轴上时，求直线PQ 的方程；（3）若G 是圆上的另一个动点，且满足FG ⊥FE 。
记线段EG 的中点为M ，试判断线段OM 的长度是否为定值？若是，求出该定值;若不是，说明理由。
19.（本题16分）在平面直角坐标系xOy ，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(1，其左右焦点分别为1F ，2F．（1）求椭圆E 的方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．①求证：OP OM ⋅为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问直线MQ 是否过定点，并说明理由yx D F E BC Q PO20.（本题16分）如图,在平面直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为3l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于A 、B 两点. 当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时，弦AB的长为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）若点E的坐标为(2，点AA 与原点O的直线交椭圆C 于另一点P ，求PAB ∆的面积（3）是否存在点E ，使得2211EA EB +为定值？若存在，请指出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.高二第一学期期中数学试卷答案1.22. 14y a =3.4. 必要不充分条件5. 16. 充分不必要7. C8.(]2,0- 9. 221(1)4y x x +=≠- 10. 23y x = 11. 36512.13. 43-14. ,1313⎛-⎝⎭15. （1）直线的参数方程为1112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩． ……………………7分 （2）把直线12112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x ，得2221(1)(1)4,1)202t t t ++=+-=，……………………12分 122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为2．……………………14分 16. 解∵命题P 函数y log a =（2x-1）在定义域上单调递减；∴10<<a …………4分 又∵命题Q 不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对任意实数x 恒成立；∴2=a 或⎩⎨⎧<-+-=∆<-0)2(16)2(4022a a a ， 即22≤<-a ……………………10分∵Q P ∨是真命题，∴a 的取值范围是22≤<-a ……………………14分18. 解：(1)由已知BF BE =，所以4BC BF BC BE CE +=+==，所以点B 的轨迹是以C ，F 为焦点，长轴为4的椭圆，所以B 点的轨迹方程为22143x y +=； ……………………4分⑵当点D 位于y 轴的正半轴上时，因为D 是线段EF 的中点，O 为线段CF 的中点，所以CE ∥OD ，且2CE OD =，所以E D ，的坐标分别为(14)-，和(02)，，因为PQ 是线段EF 的垂直平分线，所以直线PQ 的方程为122y x =+，即直线PQ 的方程为240x y -+=． ……………………10分⑶设点E G ，的坐标分别为11()x y ，和22()x y ，，则点M 的坐标为1212()22x x y y ++，，因为点E G ，均在圆C 上，且FG FE ⊥，所以2211(1)16x y ++= ① 2222(1)16x y ++= ② 1212(1)(1)0x xy y --+= ③ 所以22111152x y x +=-，22222152x y x +=-，1212121x x y y x x +=+-．所以22212121[()()]4MO x x y y =+++2222112212121[()()2()]4x y x y x x y y =+++++12121[1521522(1)]74x x x x =-+-++-=， 即M 点到坐标原点O．……………………16分19. 解：（1）易得223121 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=……………………4分（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，，①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+， 代入椭圆22142x y +=得，()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， 所以()()2220000022220000284888 (2 )48888y y y y OP OM y y y y y ----⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪++++⎝⎭ ，，， ……………………10分②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下： 依题意，020200208822828PBy y k y y y +==----+（），由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即0yy x =，所以直线MQ 过定点(0 0)O ，．……………………16分20. 解：（1）由c a =，设3(0)a k k =>，则c =，223b k =， 所以椭圆C 的方程为2222193x y k k+=，因直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点，即A B x x ==，代入椭圆方程，解得y k =±，于是23k =，即3k =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=………………………………4分 （2）将x =22162x y +=，解得1y =±，因点A在第一象限，从而A ， 由点E的坐标为(2，所以AB k =，直线PA的方程为2y x =-，联立直线PA 与椭圆C的方程，解得7()55B --， 又PA 过原点O，于是(1)P -，4PA =，所以直线PA的方程为0x =，所以点B到直线PA的距离h ==，14255PAB S ∆=⋅⋅=分 （3）假设存在点E ，使得2211EA EB+为定值，设0(,0)E x ， 当直线AB 与x轴重合时，有202222012211(6)x EA EB x ++==-， 当直线AB 与x 轴垂直时，222200112662(1)6x EA EB x +==--，由20222001226(6)6x x x +=--，解得0x =，20626x =-， 所以若存在点E，此时(E ，2211EA EB+为定值2. ……………12分 根据对称性，只需考虑直线AB过点E ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，又设直线AB的方程为x my =C 联立方程组，化简得22(3)30m y ++-=，所以1223y y m -+=+，12233y y m -=+，又222222111111(1)EA m y y m y ===++， 所以212122222222221212()21111(1)(1)(1)y y y y EA EB m y m y m y y +-+=+=+++， 将上述关系代入，化简可得22112EA EB+=.综上所述，存在点(E ，使得2211EA EB +为定值2……………16分。