第3章正弦交流电路

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电工电子学第三章

负半周
3
设正弦交流电流：设正弦交流电流：
Im
Ψ
i
O π T 2π π
ωt
i = I m sin (ω t + ψ )
初相角：决定正弦量起始位置初相角：角频率：决定正弦量变化快慢角频率：幅值：决定正弦量的大小幅值：
幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。
5
3.1.2 幅值与有效值幅值：幅值：Im、Um、Em
幅值必须大写, 幅值必须大写, 下标加 m。
有效值：有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。有效值。
∫0
T
2 i 2R dt = I RT
交流
直流
则有
I =
1 T
∫
T
0
i 2dt
Im 1 T 2 2 有效值必 = ∫0 Imsin ωt dt = 2 须大写 T U Em 同理：同理： U = m E= 2 2
12
3. 正弦量的相量表示
实质：用复数表示正弦量实质：复数表示形式为复数: 设A为复数为复数 (1) 代数式 A =a + jb 式中: a = r cos ψ 式中
+j
b
A
r ψ
0
2 2
a
+1
b = r sin ψ
(2) 三角式由欧拉公式: 由欧拉公式
r = a + b 复数的模 b ψ = arctan 复数的辐角 a
16
⑥“j”的数学意义和物理意义因子：旋转 90o因子：e± j90o
± j90o
e
= cos 90° ± jsin90° = ±j

第3章正弦交流电.ppt

I Im 2
i可写为： i= 2 I sin(t+)
同理: u= Um sin(t+) U Um 2
u可写为： u= 2 U sin(t+)
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交流电的表示法
一、解析式表示法二、波形图表示法三、相量图表示法
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3.3 正弦交流电的相量表示法
相量法是求解正弦稳态电路的简单方法。
所以它的振幅为Um=100（V）以t=5 10-3秒代入
正弦电压的解析式，得到 u 100sin 50 5103 100sin 70.7(V) 4
例3-1-2 求图示信号的T、f和
解：由图可知， T 16S
f

1 T
1 16 106
62.5
2f 2 62.5103 1.25 105 (rad / S)
相量画在一起，
构成相量图。
2
1
U1
U U1 U2
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3.2 正弦电压、电流的有效值
周期电流有效值：让周期电流i和直流电流I分别通过两个阻值相等的电阻R，如果在相同的时间T内，两个电阻消耗的能量相等，则称该直流电流I的值为周期电流i的有效值。
根据有效值的定义有： I 2RT 0Ti2 Rdt
周期电流的有效值为： I
1 T
0Ti 2 dt
a bLeabharlann (12)跳转到第一页
3.3.2 正弦量的相量表示法
将复数Im∠θi乘上因子1∠ωt，其模不变，辐角随时间均匀增加。即在复平面上以角速度ω逆时针旋转，其在虚轴上的投影等于 I弦 i=mIs电mins流(inω(it。ω+t可θ+i见θ)，i 复)是正数相好I互m是∠对用θ应i正与的弦正关函弦系数电，表流可示用的复正数 Im∠θi来表示正弦电流i，记为：

第3章正弦交流电路及安全用电

1 P T

T
0
1 T pdt UI cos cos(2t ) t UI cos d T 0

2.无功功率
Q QL QC (U L U C ) I UI sin
3.视在功率
电压有效值和电流有效值的乘积称为电路的视在功率，用字母S表示，即
图3.22
同名端的瞬时极性相同
图3.23（a）中，u21与i1的参考方向即为关联参考方向；图3.23（b）中，u21与i1 的参考方向为非关联参考方向。
图3.23
耦合电感的电路符号
耦合线圈的连接有串联、并联和T型连接等。分析具有互感的电路的依据仍然是基尔霍夫定律，但必须考虑互感电压。
1 1 U I0 QU 0C 0 C R
3.4.2 并联谐振
图3.18（a）所示是一个具有电阻的电感线圈和电容的并联电路，当电路两端的电压和电流同相时，发生并联谐振。
图3.18 电感线圈与电容并联的谐振电路
并联谐振电路具有以下特点。 ① 由图3.18（b）可以看出，并联谐振时 U
2U R s in t
2 I R s in t
2U R I R s in 2 t U R I R (1 cos 2t )
3.2.2 电感元件的交流电路
1.电压、电流关系
选择电感元件电压uL与电流iL为关联参考方向，如图3.6所示，其伏安关系为
di L uL L dt
对称三相电压的波形图和相量图分别如图3.27和图3.28所示。
图3.27
对称三相电压的波形图
图3.28
对称三相电压的相量图
1.三相电源的星形连接
图3.29
三相电源的星形连接及相量图

徐淑华电工电子技术ppt第三章

u
Um
wt
u U m sin( w t )
有效值:
与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值
10
热效应相当
有效值概念

T 0
i R dt I RT
2
2
交流
直流
I
1 T

T
i dt
2
（方均根值）
0
当 i I m sin
w
t 时，可得,
I
Im 2
11
w t
i

相量图相量式
.
I
I

I I
瞬时值 -- 小写 u, i, e；最大值 --大写+下标m；
有效值 – 大写 U, I, E；复数、相量 --- 大写 + ―.‖
34
例6
判断下列各式的正误：
u 100 sin w t 10000
瞬时值复数
U 50 e
复数
j15 °
2. 正弦波的相量表示方法
1) 正弦量的相量表示
在线性正弦交流电路中的电源频率单一时，电路中所有的电压电流为同频率正弦量，此时，w 可不考虑，主要研究正弦量的幅度与初相位的变化可用一个有向线段（矢量）表示正弦量：其长度表示正弦量的有效值；其与横轴的夹角表示正弦量的初相位。
描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )：
3.2 单一参数的正弦交流电路
3.2.1. 电阻元件的正弦交流电路
u iR
设
u
i
R
i 2 I sinw t Im sinw t
R R u i · = 2I · sinw t

第三章正弦交流电路的稳态分析

A | A | e j | A |
两种表示法的关系： A=a+jb A=|A|ej =|A|
| A | a 2 b 2 b θ arctg a 复数运算
Im b
A |A|
直角坐标表示极坐标表示
0

a Re
或
a | A | cosθ b | A | sinθ
1 i dt 则有： I T
2

T
0
i dt
2
同样，可定义电压有效值：
正弦电流、电压的有效值与最大值的关系设 i(t)=Imcos( t+ )
U
def
1 T

T
0
u ( t )dt
2
1 I T

T
0
I cos ( t Ψ ) dt
2 m 2
T 0

T
0
cos ( t Ψ ) dt
u,i
0
t
3. 正弦电压、电流等物理量统称为正弦量。目前世界上电力工业中绝大多数都采用正弦量。
正弦交流电路：
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。
+
u
-
i
i
R
t
用小写字母表示交流瞬时值
正弦交流电的正方向：
必须小写

瞬时值表达式 i

相量
重点
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
1. 复数及运算
复数A的表示形式 Im b A
A=a+jb
(j 1 为虚数单位)

第三章正弦交流电路

Um R
m
式中，Ｉｍ正弦交流电流的幅值。说明正弦交流电压和电流的幅值之间满足欧姆定律。
（二）电压、电流的有效值关系
据电压、电流幅值之间的关系，把等式两边同时除以 2 即得到有效值关系，即或 U IR 这说明，正弦交流电压和电流的有效值之间也满足欧姆定律。
I U R
（三）相位关系
（黄色）
电动势、电压和电流的大小和方向随时间按正弦规律性变化。叫做正弦交流电流、电压、电动势。在任一时刻可用三角函数表示。
e Em sin(t e ) u U m sin(t u ) i I m sin(t i )
第四章
交流电路
第一节交流电的基本概念
三、描述正弦交流电特征的物理量
（三）相位、初相位与相位差
1、相位（或相角）：
t i I m sin(t )
i
O
反映正弦量变化的进程。 2、初相位：表示正弦量在t =0时的初相位。
——
如:
给出了观察正弦波的起点或参考点。

ωt
e1 Em sin(t 1 ) e2 Em sin(t 2 )
X L 2fL 2 3.14 50 0.1 31.4Ω
U 10 I 318m A XL 31.4
(2)当 f = 5000Hz 时
X L 2fL 2 3.14 5000 0.1 3140 Ω
U 10 I 3.18m A XL 3140
4
可知
（1）最大值
（2）有效值（3）角频率（4）频率（5）周期
m 30 2 42.6
m 30 2
100s 1 314rad / s

第3章_单相正弦电路的基础知识

dt
L
dt
电感元件上电压、电流的有效值关系为： UL XL I XL=2πf L=ωL，虽然式中感抗和电阻类似，等于元件上电压与电流的比值，但它与电阻有所不同，电阻反映了元件上耗能的电特性，而感抗则是表征了电感元件对正弦交流电流的阻碍作用，这种阻碍作用不消耗电能，只能推迟正弦交流电流通过电感元件的时间。
eL N dt L dt
2. 电感元件上的电压、电流关系 di 由于L上u、i 为动态关 u L u L eL L dt 系，所以L 是动态元件设通过L中的电流为： i 2 I sin t d ( I m sint ) di 则L两端的电压为：
uL L
i
由式可推出L上电压 I mL cost 电流之间的相位上存 U Lm sin( t 90) 在90°的正交关系，且电压超前电流。电压电流之间的数量关系： ULm=Imωt =ImXL 其中XL是电感对正弦交流电流所呈现的电抗，简称感抗，单位和电阻一样，也是欧姆。
第3章单相正弦交流电路的基本知识
3.1 正弦交流电路的基本概念
3.2 正弦量的有效值
3.3 交流电路中的常用元件
本章学习目的及要求
正弦交流电路的基本理论和基本分析方法是学习电路分析的重要内容之一，应很好掌握。通过本章的学习，要求理解正弦交流电的基本概念；熟悉正弦交流电的表示方法；深刻理解相量的概念，牢固掌握单一参数及非单一参数的一般正弦交流电路的分析与计算方法。
i 2 I sin ( t ) u 2 U sin ( t )
uip
则
p u i U m sint I m sint UI UI cos 2t

第三章正弦交流电路

1 = U 2
cm m
I sin2 ωi = U Isin2 t
第四节电容和纯电容交流电路
纯电容电路瞬时功率波形图
第三章正弦交流电路
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结束
第四节电容和纯电容交流电路
二、纯电容正弦交流电路
• 2.电路的功率（2）平均功率（有功功率）瞬时功率在一个周期内的平均功率等于零，即：
2
2 C
第三章正弦交流电路
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第四节电容和纯电容交流电路
二、纯电容正弦交流电路
例题
0
把一个C 80μ F的电容器接在 u 220 2sin(314t 30 ) 的电源上。试求：(1 ) 电流相量并写出其解析式; (2) 无功功率 (3)画出电压和电流的相量图.
• 若万用表的指针向小电阻方向摆动，不能回摆至“∞”，而停在某一位置上，说明电容器有漏电现象。
第三章正弦交流电路
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结束
第四节电容和纯电容交流电路
u C
5.技能训练：用万用表检测电容器
• 若万用表的指针立即指到“0”位置上不回摆，说明电容器内部已短路。
第三章正弦交流电路
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最大值
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(3)有效值
正弦量的有效值是根据电流的热效应来规定的。如图3-5所示，在相同的时间里，直流电和交流电在相同的负载上产生相同的热量，就把该直流电的值叫做该交流电的有效值
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I
Im 2

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3. 2正弦交流电的相量表示法

在线性电路中，如果电路中所有的电源均为频率相同的正弦电源，那么电路各部分的电流、电压都是与电源频率相同的正弦量。对这样的正弦交流电路进行分析时，需要进行同频率正弦量的运算。前血已经介绍了正弦量的两种表示方法:三角函数式和正弦波形。但是，用这两种表示方法进行正弦量的运算都十分繁杂。为简化计算，对同频率正弦电路的分析一般采用“相量法”。相量法是一种用复数来表征正弦量的方法。为此先复习复数的有关知识。一个复数有多种表示形式，如复数A，它的直角坐标式为 A=a+jb
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3. 1正弦交流电的基本概念

例3. 3已知正弦电压U=220 V,φu =300，正弦电流I =180 mA , φi =30°, 频率均f=100 Hz，试写出它们的瞬时值表达式，画出波形图并计算二者之间的相位差。解 2f 2 100 628(rad / s )
1 2 I I m sin 2 (t )dt T
0 T

2 I m 1 cos 2(t ) I dt m T 2 2 0
T

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3. 1正弦交流电的基本概念

如果考虑到周期电流i是作用在电阻R上的周期电压，，产生的，则由式(3. 4)就可推得周期电压的有效值

根据欧拉公式
e j e j cos 2 e j e j sin 2j

得出
cos j sin e j
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3. 2正弦交流电的相量表示法

代人式(3. 11)中，得出复数A的指数式，即
A re j

为了简便，工程上又常将复数写成极坐标式，即
第3章正弦交流电路

3. 1正弦交流电的基本概念 3. 2正弦交流电的相量表示法 3. 3单一参数的交流电路 3. 4正弦交流电路的分析 3. 5正弦交流电路的功率 3 .6电路中的谐振 3 .7交流电路的频率特性 3.8双口网络 3. 9非正弦周期信号电路
3. 1正弦交流电的基本概念

0
2 Ri 2 dt RI d T
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3. 1正弦交流电的基本概念

则周期电流i的有效值为
1 2 I Id i dt T
0 T

即有效值等于瞬时值的平方在一个周期内平均值的平方根，故有效值又可称为方均根值。当周期电流为正弦量时，即 i I m sin(t ) ，代入式(3. 4 )，得到正弦电流的有效值
u 2U sin(t u ) 220 2U sin(628t 30。 V ) i 2 I sin(t i ) 180 2 I sin(628t - 30。 m A )

它们的波形如图3. 2( a)所示相位差
u i 30 (30。 60。 )

d (t ) dt
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3. 1正弦交流电的基本概念

因为在一个周期T内，相位变化2π弧度，所以ωT=2π，故

2 2f T

我国和世界上大多数国家使用的交流电的工业标准频率(简称工频)是 50 Hz，有些国家(如美国、日本等)采用60 Hz。通常的照明负载和交流电动机都采用这种频率必是正弦量在t=0时刻的相位，称为正弦量的初相位，简称初相。单位用弧度或度表示，通常用绝对值小于等于试或180)的角度表示。初相位决定了正弦量的初始值。初相位与计时零点的确定有关，所选定的计时零点不同，正弦量的初始值就不同。
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3. 2正弦交流电的相量表示法

取复数A的实部和虚部分别用下列符号表示 Re[A]=a Im[A]=b 复数可以在复平血上表示出来。在图3. 3所示的直角坐标系中，横轴以+1为单位，称为实轴，纵轴以+j为单位，称为虚轴，实轴与虚轴构成的平血即复平血。复平血上的任何一点都与一个复数一一对应。一个复数A可以用一条从原点。指向A对应坐标点的有向线段(矢量)表示。矢量的长度r为复数的模，矢量与正实轴之间的夹角φ为复数的辐角。在实轴上的投影为复数A的实部a，在虚轴上的投影为复数A的虚部b。它们之间的关系是

他们的相位差
(t u ) (t i ) u i
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3. 1正弦交流电的基本概念

相位差表明了两个同频率正弦量随时间变化步调的先后顺序。当 0°<φ<180°时，波形如图3. 2( a)所示，正弦电压u总是比电流i先经过相应的零值和最大值，则称在相位上u比i超前甲角，或称i比二滞后 φ角。当-180°< φ <0°时，波形如图3. 2(b)所示，u与i的相位关系正好反过来。当φ =0°时，波形如图3. 2( c)所示，则称u与i同相位，简称同相。当φ=180°时，波形如图3. 2(d)所示，则称u与i相位相反，或称u与i反相
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3. 2正弦交流电的相量表示法

若两个复数相乘，通常采用指数式或极坐标式，两复数模相乘，辐角相加设两个复数 A1 r11 , A2 r2 2 A A1 A2 r1r2 1 2 r 则两个复数相除，通常也采用指数式或极坐标式，两复数模相除，辐角相减，即

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3. 1正弦交流电的基本概念

正弦量是周期函数，周期函数变化一个循环所需的时间称为周期T，其单位是秒(s)。单位时间内，即每秒内变化的周期数称为频率厂，其单位是赫兹(Hz )。周期T与频率f互为倒数，即
f 1 T

正弦量随时间变化的角度(ωt+φ)称为正弦量的相位，单位用弧度rad 或度(。)表示。 ω称为正弦量的角频率，单位是每秒弧度(rad/ s )，它是正弦量的相位随时间变化的角速度，即

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3. 1正弦交流电的基本概念

例3. 1某电流的瞬时值表达式为 i 120sin(314t )mA 3 试求其最大值、角频率、频率、周期和初相位，并计算由计时零点起经多少时间后，该电流第一次出现最大值解最大值Im=120 mA，角频率ω=314 rad/s，初相位 60。
A r

两个复数在进行加减运算时，应采用直角坐标式(代数式)，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，得到一个新的复数。设两个复数
A1 a1 jb1 , A2 a2 jb2

则
A3 A1 A2 (a1 a2 ) j (b1 b2 ) a3 jb3 A4 A1 A2 (a1 a2 ) j (b1 b2 ) a4 jb4
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3. 2正弦交流电的相量表示法
a r cos b r sin r a2 b2
ar t an
b a

因此
A a jb r cos jr sin r (cos j sin )
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3. 2正弦交流电的相量表示法
A A1 r11 r1 1 2 r A2 r2 2 r2

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3. 2正弦交流电的相量表示法下血讨论如何用复数表示正弦量。若图3. 3中的矢量A以。角速度沿逆时针方向旋转，经时间t后，转过t角度。这时它在虚轴上的投影为
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3. 1正弦交流电的基本概念

在交流电路中，每一个正弦量的初相位都与所选时间的起点有关。原则上，计时零点是可以任意选择的，但是，在进行交流电路的分析和计算时，同一个电路中所有的正弦电流、电压和电动势只能相对于一个共同的计时零点确定各自的初相位。当所选的计时零点改变时，同一电路中所有的正弦量的初相位、相位都随之改变，但是正弦量之间的相位差仍保持不变。在分析交流电路时，如果所有正弦量的初相位都未确定，通常设其中某一个正弦量的初相位为零，这个初相位被选定为零的正弦量称为参考正弦量。其余各正弦量的初相位都等于它们与此参考正弦量的相位差。
1 U u 2 dt T
0 T

当周期电压为正弦量时，即 u U m sin(t ) ，则
U Um 2

同理，正弦电动势的有效值
E Em 2
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3. 1正弦交流电的基本概念

按照规定，交流电的瞬时值用小写字母表示，如i, u和e等;有效值用大写字母表示，如I,U和E等;最大值用带下标m的大写字母表示，如Im、 Um和Em等。在交流电路中，用交流电压表、电流表测量出来的电压、电流的数值，一般均为有效值。通常使用的交流电器设备铭牌上标出的额定电压、电流的数值一般也是有效值。如照明设备和家用电器的额定电压为220 V，是指电压的有效值，而电压的最大值为
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3. 1正弦交流电的基本概念

3.1.3相位差
相位差为两个同频率的正弦量的相位之差。交流电路中任何两个频率相同的正弦量之间的相位关系可以通过它们的相位差来描述，例如，设两个同频率正弦电压和电流分别为
u (t ) 2U sin(t u ) i (t ) 2 I sin(t i )
3

频率
f
314 50Hz 2 2
1 1 0.02s f 50

周期 (314t ) 当该电流第一次出现最大值时，相位为

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第3章正弦交流电.ppt

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第三章 正弦交流电路的稳态分析

第三章 正弦交流电路

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第三章正弦交流电路

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第三章正弦交流电路的稳态分析

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