高考数学高中数学知识点高考必考题突破讲座2

高考必考题突破讲座(二)三角函数、解三角形、平面向量及其应用[解密考纲]近几年的高考全国卷交替考查三角函数、解三角形．该部分解答题是高考得分的基本组成部分，不能掉以轻心．该部分的解答题考查的热点题型有：一是考查三角函数的图象变换以及单调性、最值等；二是考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题．在解题过程中要抓住平面向量作为解决问题的工具，要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化．1．(2018·江苏南京、盐城一模)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，求f (x )的取值范围． 解析 (1)由图象知A ＝2，又T 4＝5π6－π3＝π2，ω>0，所以T ＝2π＝2πω，解得ω＝1，所以f (x )＝2sin(x ＋φ)． 将点⎝⎛⎭⎫π3，2代入，得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， 即φ＝π6＋2kπ(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝π6.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1，即f (x )∈[－3，2]． 2．(2017·北京卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解析 (1)在△ABC 中，因为A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314.(2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3.3．四边形ABCD 的内角A 与C 互补，且AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求角C 的大小和线段BD 的长度； (2)求四边形ABCD 的面积．解析 (1)∵A ＋C ＝π，∴cos A ＝－cos C ．在△BCD 中，由余弦定理，得BD 2＝32＋22－2×3×2×cos C ＝13－12cos C ， 在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝12＋22－2×1×2×cos A ＝5＋4cos C ， 联立上式，解得BD ＝7，cos C ＝12.由于C ∈(0，π)，∴C ＝π3，BD ＝7.(2)∵A ＋C ＝π，C ＝π3，∴sin A ＝sin C ＝32.又四边形ABCD 的面积S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝ 12AB ·AD sin A ＋12CB ·CD sin C ＝32×(1＋3)＝23， ∴四边形ABCD 的面积为2 3.4．已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．解析 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x . 因为y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，3和⎝⎛⎭⎫2π3，－2.所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)， 由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0， 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π6＝1， 因为0<φ<π，所以φ＝π6，因此g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z .所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 5．(2018·湖北重点中学高三起点考试)已知f (x )＝a·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝72，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．解析 (1)由题意知，f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. ∵y ＝cos x 在[2k π－π，2k π](k ∈Z )上单调递增，∴令2k π－π≤2x ＋π3≤2k π(k ∈Z )，得k π－2π3≤x ≤k π－π6(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－2π3，k π－π6(k ∈Z )． (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1，∴cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1，又π3<2A ＋π3<7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3，∵a ＝72， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝74.∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，∴2sin B ＝3sin C ， 由正弦定理得2b ＝3c ，则b ＝32，c ＝1.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＋b cos A ＝2c cos A ． (1)若△ABC 的面积S ＝32，求证：a ≥2； (2)如图，在(1)的条件下，若M ，N 分别为AC ，AB 的中点，且BM CN ＝132，求b ，c .解析 (1)由a cos B ＋b cos A ＝2c cos A 及正弦定理可得 sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ， 即sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin C ≠0， 所以cos A ＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝π3，由S ＝12bc sin A ＝32可得bc ＝2.在△ABC 中，由余弦定理可得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝2，当且仅当b ＝c ＝2时取等号，所以a ≥ 2.(2)因为M ，N 分别为AC ，AB 的中点，所以AM ＝12AC ＝12b ，AN ＝12AB ＝12c ，在△ABM 中，由余弦定理可得，BM 2＝c 2＋b 24－12bc ，在△ACN 中，由余弦定理可得，CN 2＝c 24＋b 2－12bc ，由BM CN ＝132可得，c 2＋b 24－12bc ＝134⎝⎛⎭⎫c 24＋b 2－12bc ， 整理得(c ＋8b )(c －2b )＝0，所以c ＝2b ，又bc ＝2可得b ＝1，c ＝2.古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。

知识就是机积累起来的，经验也是积累起来的。

我们对什么事情都不应该像“过眼云烟”。

学习知识要善于思考，思考，再思考。

——爱因斯坦镜破不改光，兰死不改香。

——孟郊生活的全部意义在于无穷地探索尚未知道的东西，在于不断地增加更多的知识。

—做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。

好比吃饭一样，要嚼得烂，方好消化，才会对人体有益。

——陶铸研卷知古今；藏书教子孙。

——《对联集锦》凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。

——《礼记》知识是珍贵宝石的结晶，文化是宝石放出来的光泽。

——泰戈尔你是一个积极向上，有自信心的孩子。

学习上有计划、有目标，能够合理安排自己的时间，学习状态挺好；心态平和，关心、帮助同学，关心班集体，积极参加班级、学校组织的各项活动，具有较强的劳动观念，积极参加体育活动，尊敬师长。

希望你再接再厉，不满足于现状，争取做的更好。