2016_2017学年高中数学第三章指数函数和对数函数章末高效整合课件北师大版必修1

(2)①由指数函数 y＝2x 与 y＝0.3x 的图像与性质可知： 1 1 2－ <1，0.3－ >1， 2 5 1 1 ∴2－ <0.3－ . 2 5 ②根据对数运算法则，
1 5 5 1 5 5 log2 ＝log2 8×3 ＝log2 ＋log2 ＝－3＋logቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ， 24 8 3 3 1 13 13 1 13 log3 ＝log3 9×12 ＝log3 ＋log3 108 9 12
8 (2)方法一：原式＝lg500×5－lg
64＋50[lg(2×5)]2－16· 2log23
＝lg 800－lg 8＋50－16×3 800 ＝lg ＋50－48 8 ＝lg 100＋2＝2＋2＝4. 1 方法二：原式＝lg 5＋lg 100＋lg 8－lg 5－ lg 82＋50－16· 2log23＝lg 100＋50 2 －48＝4.
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先求出真数的最大、最小值，再根据底数a>1或0<a<1进行讨论．
[规范解答] 当
令 t＝x
2
3 2 3 －3x＋3＝x－2 ＋ ， 4
3 x∈[1，3]时，t∈4，3 3 a>1，y＝logat 在4，3上是增函数，则 ymax＝loga3＝1，
4．指数(对数)的大小比较 (1)当需要比较大小的两个实数均是指数 (对数)时，可将其看成某个指数函数 或幂函数(对数函数)的函数值，然后利用该函数的单调性进行比较． (2)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于 0”“大于 0，小于 1”“大于 1”三部分，然后在各部分内利用函数的性质比较 大小．
2．对数运算 (1)同底对数化简的常用方法： 将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； 将 积(商)的对数拆成对数的和(差)，根据题目的条件选择恰当的方法． (2)对常用对数的化简要创设情境，充分利用 lg 5＋lg 2＝1 来求解． (3)对多重对数符号的化简，应从内向外逐层化简求值． (4)对数的运算性质，要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式 才成立．
①若
∴a＝3，满足题意． ②若
3 0<a<1，y＝logat 在4，3上是减函数
3 3 则 ymax＝loga ＝1，∴a＝ ，满足题意． 4 4 3 综上所述，a＝3 或 . 4
1 3．f(x)＝9x＋ －3x＋a，x∈[1，2]的最大值为 5，求其最小值． 2 ＋ 解析： f(x)＝32x 1－3x＋a.
(2)log20.4，log30.4，log40.4.
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(1)观察三个数的特点，都可以化为以 2 为底的指数式，故可以
利用函数 y＝2x 的单调性解决； (2)通过换底公式都可以用函数 y＝log0.4x 的倒数表示三个数， 再通过幂函数 y ＝x 1 的单调性解决．
－
[规范解答]
(1)4 ＝2 ，8
1－ax 设 f(x)＝log 为奇函数，a 为常数． x－ 1
1 2
(1)求 a 的值； (2)试说明 f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增； (3)若对于区间[3，4]上的每一个 x 值，不等式 的取值范围．
1x f(x)>2 ＋m
恒成立，求实数 m
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根据奇函数的定义可求 a 的值；应用复合函数的单调性，可讨
第三章
指数函数和对数函数
知能整合提升
1．指数运算 有理数指数及其运算是本章的基础内容，要明确运算法则，化简或求值是本 章知识点的主要呈现方式． (1)在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并尽可能地统 一成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值或计算，以达到化 繁为简的目的． (2)根式的运算中，有开方和乘方两种运算并存的情况．此时要注意两种运算 n n 的顺序是否可换，如当 a≥0 时， am＝( a)m，而当 a<0 时，则不一定可换，应 视 m，n 的情况而定．
热点考点例析
指数、对数的运算 进行指数、对数的运算应遵循以下原则： (1)指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为 分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目 的． (2)对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用 对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式．这是对数计算、化简、证明 常用的技巧．
[规范解答]
1 3
(1)原式＝
a （a－8b） （2b ） ＋2a b ＋（a ）
1 3
1 3
2
1 1 3 3
1 3
2
×
a
1 3
1 3
a －2b
1 3
×a b
1 1 3 3
1 1 1 a （a－8b） 3 ＝ ×a3×a3b3＝a b. a－8b
1 32 4 (2)方法一： lg － lg 2 49 3 4 2 ＝lg －lg 4＋lg 7 5 7
13 ＝－2＋log3 . 12 5 13 ∵log2 <log22＝1，log3 >log31＝0， 3 12 5 13 ∴－3＋log2 <－2，－2＋log3 >－2， 3 12 5 13 5 13 从而 log2 <－2<log3 ，∴log2 <log3 . 24 108 24 108
1x 的图像可知：log13<log13， ③由 y＝log1 x 与 y ＝ log 2 3 2 3
又 y＝log1 x 在(0，＋∞)单调递减， 3
12，故 log13<log12. 所以 log1 3<log 3 3 2 3
指数函数、对数函数的图像与性质 指数函数、对数函数是中学数学中重要的函数，它们的图像和性质是考查的 重点，应熟练掌握图像的画法及形状，记熟性质，特别要注意指数函数与对数函 数的底数，在取不同值时，对图像和性质的影响． 已知函数 y＝loga(x2－3x＋3)，当 x∈[1，3]时有最大值 1，求 a 的 值．
1．化简下列各式： (1) a b÷ b a × a b； 3 3
3
3
8 1 (2)lg 500＋lg － lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2－24＋log23. 5 2
解析：
1 0 3
1 1 1 1 1 1 (1)原式＝a － ＋ ·b － ＋ 2 2 3 6 3 6
3 ＝a b ＝ a；
论 f(x)的单调性；第(3)问结合第(2)问的结论，确定新构建函数的单调性，根据函 数的最值可求 m 的取值范围．
[规范解答]
1 2
(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
1＋ax 1－ax x－1 1 1 ∴log ＝－log2 ＝log2 . －x－1 x－1 1－ax 1＋ax x－1 ∴ ＝ ， －x－1 1－ax 即(1＋ax)(1－ax)＝－(x＋1)(x－1)， ∴a＝－1(a＝1 舍去)．
设 3x＝t，则 t∈[3，9]． ∴f(x)＝g(t)＝3t2－t＋a
12 1 ＝3t－6 ＋a－ ，t∈[3，9]． 12
∴f(x)max＝g(9)＝3· 92－9＋a＝5， ∴a＝－229，∴f(x)min＝g(3)＝24＋a＝－205.
指数函数、对数函数性质的综合应用 关于指数函数、对数函数的综合性问题主要是对常用的函数思想方法的深入 理解、综合思考和灵活应用，这些问题往往要综合利用同步等价转化、数形结合 和分类讨论等数学思想才能解决． 这是提高分析问题、 解决问题能力的重要途径．
(4)指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，a≠1)的图像和性质 都与 a 的取值有密切的联系，需分 a>1 与 0<a<1 进行讨论：a>1 时，函数的单调 性相同，都为增函数；0<a<1 时，函数的单调性相同，都为减函数． (5)指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数， 函数图像关于 y＝x 对称．
3．指数函数与对数函数 指数函数、对数函数是一对“姊妹”函数，它们的定义、图像、性质和运算 既有区别又有联系． (1)指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)，对数函数 y＝logax(a>0，a≠1)的定义中对底 数 a 的要求是一样的，均为 a>0，且 a≠1. (2)指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)恒过定点(0，1)，对数函数 y＝logax(a>0，a≠1) 恒过定点(1，0)． (3)指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的定义域与对数函数 y＝logax(a>0，a≠1)的值 域相同，为 R；指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的值域与对数函数 y＝logax(a>0，a≠ 1)的定义域相同，为(0，＋∞)．
5．指数不等式、对数不等式的解法 指数不等式、对数不等式的解法主要是“同底法”，即把不等式两边化为同 底数， 再根据相应函数的单调性， 运用转化和化归思想转化为一般不等式求解． 同 时，要注意转化的等价性． 6．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 在区间(0，＋∞)上，尽管函数 y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和 y＝xn(n>0)都是增 函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着 x 的增大，y ＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y＝xn(n>0)的增长速度，而 y ＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个 x0，当 x>x0 时，就有 logax<xn<ax.
4 2 1 ＝lg × ×7 4 7 5
8＋lg
245
1 1 ＝lg 10＝ lg 10＝ . 2 2