第7章 数字信号最佳接收

第7章数字信号的最佳接收知识点(1) 三个最佳准则基本原理；(2) 匹配滤波器特性及各种参数、关系；(3) 相关接收、相关器及其与匹配滤波器等效性；(4) 理想接收与相关接收等效性；(5) 三种最佳接收系统性能分析。

知识点层次(1) 掌握匹配滤波器全部特点、参数、计算及特例；(2) 掌握相关接收数学模型及相关接收通用误比特率公式；(3) 了解理想接收思路；(4) 理解误比特率计算方法；(5) 掌握与的异同点；(6) 理解在高斯信道条件下三种最佳接收的等效关系。

7.1 最佳接收准则任何一种接收设备的根本任务，就是要在接收到遭受各种干扰和噪声破坏的信号中将原来发送的信号无失真地复制出来。

但是在数字通信系统中，由于所传送的信号比较简单，例如在采用二元调制的情况下，它就只有两种状态，即信号1或信号0，因此接收机的任务也就简化为正确地接收和判决数字信号，使得发生判决错误（信号1被判为0，或者信号0被判为1）的可能性最小。

数字通信系统也和信号检测系统一样，接收机要想在强噪声中，将信号正确地提取出来，就必须提高接收机本身的抗干扰性能。

按照最佳接收准则来设计的最佳接收机就具有这样的性能。

下面首先简单介绍数字通信系统常用的几个基本最佳接收准则。

7.1.1 最大输出信噪比准则希望从噪声影响中正确地接收和识别发送的信号是否存在，并将它们复制成原来的信号波形。

就相当于信号检测系统中的“双择一”问题，而再多元调制系统中对多元数字信号的识别就相当于信号检测系统中的“m择一”问题。

显然，对于这类信号检测或识别系统，只要增加信号功率相对于噪声功率的比值，就有利于在背景噪声中将信号提取出来。

因此，在同样输入信噪比的情况下能够给出输出信噪比大的接收机，总是要比给出输出信噪比小的接收机抗干扰性能强，并且希望输出信噪比越大越好，这就是最大输出信噪比准则。

下面将证明。

在接收机内使用匹配滤波器，就可以在某一时刻使输出信号的瞬时功率对噪声平均功率之比达到最大，并由此组成在最大输出信噪比准则下的最佳接收机。

7.1.2 最小均方误差准则它与信号检测系统内的最小均方误差准则相似，但这里是将信号误差定义为（7-1）式中，——所接收到的信号和噪声的混合波性形，注意它已不能单独分成和两部分；——接收机内提供的信号样品，原则上它应与发送的信号波形相同。

根据式（8.1.1）可求出均方误差为（7-2）由此可见，互相关函数越大，信号均方误差就越小。

根据最小均方误差准则建立起来的最佳接收机就是提供最大的互相关函数，因此可将它们称为相关接收机。

7.1.3 最大后验概率准则最大后验概率准则是指在接收到混合波形后，判断出发送信号的条件概率密度最大。

由于它是在收到后才具备的，故称为后验概率（或概率密度）。

根据最大后验概率准则建立起来的最佳接收机可称为理想接收机。

它首先要计算后验概率（或密度），然后再根据其中最大的后验概率（或密度）来做出正确的判断，这就是信号检测中常用的“后验概率择大准则”。

7.2 利用匹配滤波器的最佳接收7.2.1 匹配滤波器的设计为了实现接收输出最大信噪比这一目标，匹配滤波器设计的基本条件为（1）接收端事先明确知道发送信号各以何种形状的波形表示发送的1、0码符号或多元符号；（2）接收端针对各符号波形，分别提供与其各不同波形相适配的接收电路，并且各唯一对应适配一种传输的信号波形，能使输出信噪比达到最大值，判决风险最小。

（3）对于经信道传输后的已调波未知的随机相位的波形，有利于正确匹配接收。

1．匹配滤波器传递特性设计（7-13）这一结果表明，满足匹配滤波其设计要求的冲激响应应等于传输接收信号的折迭并延时的波形函数。

时刻的输出最大信噪比为匹配滤波器在（7-15）式中，——输入信号能量。

从冲激响应来看，若满足因果条件，当<0或=应当有=0。

也就是说，可实现的系统条件是波形全部在正时域，即=（7-16）信号持续时间为T（二元时为），若在=0时刻到达接收机输入端，则延迟量由于波形折迭后的，在延迟至少一个码符号宽度T。

7.2.2 匹配滤波器输出信号分析信号经过冲激响应为的响应为（7-17）这一结果表明，匹配滤波器的输出信号是输入信号的自相关函数延时的结果。

且在时刻，其输出（7-18）是输入信号自相关函数最大值，即信号能量。

7.2.3 匹配滤波器的几点性质（1）匹配滤波器的主要条件包括两个关键因素：一是传输特性的构成，其傅氏变换对为（7-19）冲激响应是输入信号的镜象延迟。

二是严格的延迟量（2）匹配的机理从物理机能上说，匹配接收过程包括两个方面：一是匹配输入信号的过程充分体现了相关时刻出现最大值，即输入信号能量；二是匹配滤性，匹配的结果是输入信号的自相关函数在波器“改造”了输入高斯白噪声的功率谱，使其输出功率谱与输入信号的功率谱形状相协调，这种匹配，可以说是能获得最大输出信噪比的因素之一。

（3）匹配滤波器的接收的直观与最终效益是输出最大信噪比，利于正确判决，降低误符号概，是接收信号能量与噪声功率谱之比。

可以进行换算，当率。

这里，分子分母均除以一个码元间隔（2元码时），可得：（7-21）式中，－－S为1比特输入信号功率；——输出噪声功率，这里，基带理想传输带宽，即奈氏带宽。

因此对于基带信号的匹配接收是按理想传输条件得到的结论。

7.2.4 匹配滤波器接收误码性能分析基带传输系统数字波形序列假设电平为±A的双极性不归0方波序列，传输速率为，在传输中的信道干扰为AWGN，均值为0、功率谱密度为，在较大信噪比情况下，依靠极性进行判决进行正确接收。

经匹配滤波器之后，输出信号在时刻进行抽样，，以最值门限=0，进行判决，现在考虑由漏报和虚报合成的平均误比特率。

若设1、0码等先验概率，即，则总平均误比特率为则变为（7-28）式中，——二元信号的比特能量。

7.3 数字信号载波传输的最佳接收本节将利用匹配滤波器的原理，作为例证，说明数字载波传输的匹配滤波器接收过程与结果，接着将介绍基于最小均方误差准则的相关接收原理。

7.3.1 未知相位信号的最佳接收由于信道噪声的干扰，就数字载波传输而言，在接收端至少对于接收输入混合波形的随机影响的相位无法知道，特别是多径衰落以及多种可能失真的无线信道的接收波形，在此种使信号性能降级情况下，更适于由匹配滤波器，不考虑接收信号相位而实行非相干接收。

但需明确的是，数字调相PSK系列由于不能利用非相干接收，因此也不适于匹配滤波器方式接收。

兹例举2ASK信号匹配滤波器接收过程。

传输到接收端，输入混合波形为（7-32）式中，——接收信号相位，一般对接收者是未知的；——窄带高斯噪声。

式（7-32）展开为（7-33）为了正确恢复原信号，利用提供一对正交载波的相关接收机接收，按照解调步骤，输出值应为（7-34）显然这一解调过程的输出，在暂不考虑噪声时，式中两个积分值的平方求和的结果为，即（7-35）而最后输出的信号值为（7-36）因此，这种作法“避免”了未知相位的麻烦。

上述过程，可以根据上一章匹配滤波器接收原理，得出相关接收的等效接收结果。

由于发送端载波为，因此匹配滤波器冲激响应为则匹配滤波器输出为（7-37）式（7-37）的包络在时的值等于式（7-34）的结果。

由于匹配滤波器不必顾及接收信号带有随机性的相位，故称其为非相干匹配滤波器，它与上一章基带信号匹配滤波器的不同仅在于需要进行包络检测后再取样判决，同时立即对积分器进行清零。

通过对上面未知相位的匹配接收，表明它不像提供严格同频同相的本地相干载波那样，是一种传送波形匹配，这里最终是取接收信号的包络，它与相位无关，因此接收本例的RF信号，只需一个匹配滤波器足以完成解调。

7.3.2 相关接收相关接收旨在使解调输出具有最小均方误差。

在高斯白噪声信道中传送的信号波形，不论是基带信号，还是数字载波信号，以二元为例，在接收输出端的误差为（7-40）其中，与是接收端存储并提供的与原发送信号相同的本地样本信号，解调输出信号的均方误差为则抽样比较判决条件为根据式（7-41）和（7-42）构成的最佳接收机。

当发送信号先验概率相等，即，及与的信号能量相等，即且（7-43）此中相关接收机每在时刻抽样判决，积分器具有清零端子，以便在抽样同时即行清除，为下一码元波形接收腾空积分器。

这与匹配滤波器非常相似。

相关器方法的最佳接收，利用了与发送信号完全相同的本地样本与接收混合波形求互相关，其相关输出为（7-18）式中，——接收混合信号与本地信号样本函数互相关函数；——已调波信号（本身）自相关函数；——信道加性高斯噪声与传送信号互相关函数。

通常可以假定信号与噪声统计独立，即，则这一结果揭示了高斯信道传输时的相关接收的根本原理，亦即它可以从噪声污染的混合（加性）波形中，最佳恢复原发送信号。

7.4 理想接收机模型最佳接收的第三个准则，最大后验概率准则，并依此建立理想接收机。

假设已调信号仍为高斯白噪声信道传输环境，接收输入混合信号后，我们可以统计收到而分别发送传号及空号的概率密度，因此，判决准则为判（正确接收传号）、——分别为收到观察值后，统计为发或的后验概率密式中，度。

这一准则就是“后验概率择大判决”准则。

可以由似然函数来表示后验概率，即由则(7-53)从信息传输角度，是有噪信道导致的在发送信号S而接收则包含了可能的错误概率，因此似然函数可用噪声的统计特性表示，即，由于是连续的噪声随机过程，我们以N维概率密度表示，即。

则有(7-54)当，就准确表示了统计特征。

现在，可以根据似然函数来进行理想接收机的判决：信号当判为发当判为发信号(7-56) 于是，图8-24的模型就由图8-25中计算出的似然函数的接收模型代替，在先验概率条件下，二者是等效的。

时刻的在高斯白噪声信道进行数字传输，在第二章中我们已经分析过，高斯白噪声各个随机变量之间统计独立于是按照最大似然函数准则,可将式（6.3.28）两个判决不等式具体表示为判1码(7-61)判0码(7-62)若设，则上两式变为(7-64)。