数字信号最佳接收

第3章 数字信号最佳接收原理§ 3.1 引言1．问题的提出数字通信系统eP 噪声与干扰最佳接收准则e P 使最小M 元信号问题：在给定信道条件下（白噪声、非白噪声、有ISI 信道、多径衰落信道），如何设计最佳接收机，以获得最佳性能（P e 最小）。

关键：建立最佳接收准则，由此导出最佳接收机的结构，分析系统性能。

2．信号空间的描述发送信号（M 元） {}1,2,,,()i i M s t = 或{}i s ，信道噪声n ，接收信号 y 。

如何由y 判别发送信号i s ，使错误概率最小。

3．如何获得最佳接收1）建立一个最佳接收准则——如“最小错误概率准则”（最常用、最合理） 2）充分利用信号结构的先验知识和信号与噪声的先验统计特性。

如()p s ，()p n ，(|)p s y4．本章讨论的内容1）最佳接收准则。

2）讨论在不同噪声和干扰的信道条件下的最佳接收机结构（数学模型）。

3）分析最佳接收机的性能（重点是白噪声信道条件下）。

§ 3.2 最佳接收准则引言：最直接最合理的准则——最小错误概率准则。

可以证明：在一定条件下，它又等价于最大后验概率准则和最大似然函数准则。

1. 最小错误概率准则在M 元数字通信系统中，{}(1,2,,)()i i M i M P x x = 元 统计独立e P→该M 元系统的错误概率为：111()(|)()M M Me e i j i i i i j j iP P P d x P x ===≠==∑∑∑使e P 最小的准则，就是最小错误概率准则。

可表示为： 11min (|)()M M e j i i i j j i P P d x P x ==≠⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑∑2． 最大后验概率准则（MAP 准则） Maximum Posterior Probability可以证明：最小错误概率准则等价于MAP 准则： 即 (|)max i P x =y 判i x 【证明】：111()(|)()M M Me e iji i i i j j iP P P dx P x ===≠==∑∑∑11()(|)jMMi i Y j i i jP x p x dy ==≠=∑∑⎰y (|)(|)jj j i i Y j d P d x p x dyY =⎰y y 为信号空间中接收信号向量为的判决域11()(|)jMMiiY j i i jP x p x dy ==≠=∑∑⎰y上式中, 被积函数≥0，因此要使e P 最小，也就要求被积函数最小。

即1()(|)min Miii i jP x p x =≠=∑y由概率乘法定理（见注），上式可化为1(|)()1(|)()min Miji i jP x p P xp =≠⎡⎤=-=⎣⎦∑y y y y或，[]1(|)()1(|)()min Mji j j iP xp P x p =≠=-=∑y y y y因此，要使上式最小，应使后验概率(|)i P x y 最大。

所以，最小错误概率等价于最大后验概率。

注：由概率乘法定理：()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==令 A ⇒y ， i B x ⇒则有：()(|)()(|)i i i P P x P x P x =y y y 两边对y 微分：(|)()(|)()i i i dP x dP P x P x d =y y y y所以，()(|)()(|)i i i p P x P x p x =y y y3．最大似然函数准则（ML 准则） Maximum Likelihood在发送符号等概条件下：1()i P x P M==，(1,2,,)i M = 最大后验概率：()(|)(|)(|)max ()()i i i i P x PP x p x p x p p ===y y y y y 时，判i x 成立，1,2,,i M = 。

在给定接收信号y 及发送符号等概条件下，()Pp y 与i x 无关，在比较M 个后验概率时可视为常量，不必考虑。

故上式等价于：(|)max i p x =y ，判i x 成立，(1,2,,)i M = ——即最大似然函数准则。

结论：在发送信息符号等概条件下，MAP 准则与ML 准则等价。

亦即三个准则也是等价的。

ML 接收机的操作：1） 计算： M 个似然函数2） 比较： 选择最大的似然函数3） 判决： 根据最大似然函数判决发送符号。

当发送符号不等概时，最大后验概率等价于：max )()(=i i x p x P y 判i x 成立，(1,2,,)i M =即，似然函数概率加权最大。

§ 3.3 白噪声中确知信号的最佳接收一．二元确知信号最佳接收机的结构 1. 问题的引出(0,()y t =y }(0,)T P 最小等概性能信号形式1122()()E s t E s t --最佳接收准则：最大似然函数准则——分析问题的出发点。

讨论：12e s P s 最佳结构--根据最佳准则导出(含判决规则)最佳性能最小最佳信号形式(由性能公式导出（1）（2）--=?（3）,)-- 2. 最佳接收机的结构最大似然函数准则： 1212(|)(|)s s p s p s ><y y对似然函数1,2(|)i i p =y s 进行处理——分解成一维连乘积形式。

处理方法：波形取样正交法在(0,)T 区间对()n t 、()y t 取样，得N 个样值。

2(0,)k n N σ 统计独立 2(,),1,2,k ik y N s i σ= 统计独立{}k n 的相关函数：[]00()()()22n k k m n n nm E n n m S f φδ+==↔= 220(0)2n k n E n σφ⎡⎤∴===⎣⎦， 1,0()0,0m m m δ=⎧=⎨≠⎩以抽样函数作为基向量构成N 维信号空间y 在此空间中各投影分量{}k y 为统计独立分量。

∴1(|)(|)Ni k i k p s p y s ==∏y221()2Nk ikky sσ=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦221()exp2N Nk ikky sσ=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑[]21exp()()NTiy t s t dtn⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰或21exp()()Niy t s tn⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦代入ML准则，得[][]22120012()()()()T Tssy t s t dt y t s t dt<-->⎰⎰或用向量表示：221212ss<-->y s y s物理意义：在N维空间中，在1s、2s等概条件下，接收信号被判为1s或2s，将取决于接收信号向量y与1s、2s的距离。

将积分式展开得：11212002()()()()22T TssE Ey t s t dt y t s t dt>--<⎰⎰判决规则当12E E=时，则有112002()()()()T Tssy t s t dt y t s t dt><⎰⎰12()E E=判决规则由此可得出二元确知信号最佳接收机的结构12(y t当12E E=时，可简化为：2(y t相关器实现最佳接收机(y t 匹配滤波器实现最佳接收机3. 最佳接收机的结构-匹配滤波器匹配滤波器 (Matched Filter ，MF)是一种最佳线性滤波器，是在确定信号输入下的最佳线性系统。

（1）最佳准则：输出最大信噪比准则（在抽样判决时刻） （2）MF 的结构——最佳传输函数(0,T) MF t= t 0=T0*()()j t opt i H S e ωωω-=i s 或 0()()o p t i h t s tt =- i S (ω) H opt (ω) 02o EN γ= 与输入信号波形有关，对不同波形匹配得MF ，具有不同形式的H opt (ω)（3）MF 的性能——输出最大信噪比定义：输出信噪比 202|()|()o o o s t n t γ= 在T t =0时， m a x 02o E N γ=max o γ是只与输入信号的能量及白噪声的功率谱密度0N 有关，而与输入信号的波形无关。

（4）匹配滤波器的主要性质。

MF 等效于相关器。

[证明] 匹配滤波器等效于一个相关器()s t (0,)T 0()()()tu t h t y d τττ=-⎰MF[]0()()()()()t t u t h t y d s T t y d ττττττ=-=--⎰⎰当t T =时，0()()()T u T s y d τττ=⎰结论： 在t T =时刻，相关器和匹配滤波器输出相等，所以两者等价。

因此，有两种最佳接收机结构。

抽样判决时刻：0t t T ==时， 0max γ=，e P 最小 0t t T =≠时，0max γ<，e P ↑。

二． 二元确知信号最佳接收机（相关形式）的性能及最佳信号形式设二元数字信号传输系统，对于一般的解调接收，有（其中v b 是判决门限）}AWGN2(0,)σeP （等概）(0,)T “0”“1”12s s →→1(|)p x s 2(|)p x s bv 1A 2A βαx121212121212()(|)()(|) ()()()()(|)e b bopt e P P s P s s P s P s s P s P s P s P s V V P P s s αββ⎧⎪⎨⎪⎩=+=⋅+⋅====等概当最佳判决门限 时, 12AWGN (|) (|)bbvv p x s dx p x s dxαβ∞-∞==⎰⎰相同信道条件,似然函数分布对称而对于最佳接收，判决规则为1121202()()()()22TT s s E E y t s t dt y t s t dt >--<⎰⎰ 则求错误概率的方法有所不同。

假设发2s 情况，此时2()()()y t s t n t =+⊕(s t )()y t代入判决规则得错判条件（判为1s ）[][]12212200()()()()()()22TT E Es t n t s t dt s t n t s t dt +->+-⎰⎰整理上式，[]21212122001()()()()()()()2TT n t s t s t dt E E s t s t s t dt ⎡⎤->---⎣⎦⎰⎰ 其中，2110()TE s t dt =⎰，2220()T E s t dt =⎰因此，错判条件为[][]2121200()1()()()()()2TT bn t s t s t dt s t s t dt ζ->-⎰⎰高斯变量 即b ζ>求ζ的数字特征： [][]12()()()()0TE E n t s t s t dt ζ=-=⎰[]{}[]222121200()()()()()()TTD D n t s t s t dt s t s t dt ζσζσ==-=-⎰⎰[]21200()()2Tn s t s t dt n b =-=⎰故，0(0,)N n b ζ （s 1(t )和s 2(t )是确知信号可以看成常量） 则错误概率为，22211()e r 22x t e bP P b edx e dt ζσζ-∞∞-⎛⎫⎛⎫⎪=>===⎪⎭1e rf 2= 其中，[]21212120011()()2()()22T T b s t s t dt E E s t s t dt ⎡⎤=-=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰1212E E ⎡⎤=+-⎣⎦式中，1E 和2E 分别为1()s t 和2()s t 的能量。