线性代数重要定理及公式手册
线性代数重要公式、定理大全
1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ijM A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-；(1)22(1)n n D D -=-将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C A BCB O B==、(1)m n CA OA A BB OB C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =； ③、若AB ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩；②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩；②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数） ③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTmβββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 是否有AX B ⇔=解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4. ()()T r A A r A =；(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=； ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3） 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解； ()(,)r A r A B ⇔=（85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==（85P 定理2推论）8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9.对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10.若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵； ②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：（110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ） ②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；（111P 题33结论）5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数； A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)。
《线性代数》公式大全
《线性代数》公式大全1.向量1.1向量的加法和减法v1=(x1,y1,z1)v2=(x2,y2,z2)v1+v2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)v1-v2=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)1.2向量的数量乘法v=(x,y,z),k是一个实数kv = (kx, ky, kz)1.3向量的点积v1·v2=x1x2+y1y2+z1z21.4向量的模长v，=√(x^2+y^2+z^2)2.矩阵2.1矩阵的加法和减法A = (aij),B = (bij)是两个m x n矩阵A +B = (aij + bij)A -B = (aij - bij)2.2矩阵的数量乘法A = (aij)是一个m x n矩阵，k是一个实数kA = (kaij)2.3矩阵的乘法A = (aij)是一个m x n矩阵，B = (bij)是一个n x p矩阵AB = (cij)是一个m x p矩阵，其中cij = a1j*b1i + a2j*b2i+ ... + anj*bni2.4矩阵的转置A = (aij)是一个m x n矩阵A的转置为A^T = (aij)^T = (aji)2.5矩阵的逆A为可逆矩阵，A^-1为其逆矩阵，满足AA^-1=A^-1A=I，其中I为单位矩阵3.行列式3.1二阶行列式D=，abc d， = ad - b3.2三阶行列式D=，abcdeg h i， = aeI + bfG + cdH - ceG - afH - bd3.3n阶行列式D=，a11a12 (1)a21a22...a2...........an1 an2 ... ann， = (-1)^(i+j)*Mij，其中Mij为aij的代数余子4.线性方程组4.1齐次线性方程组Ax=0，其中A为一个mxn矩阵4.2非齐次线性方程组Ax=b，其中A为一个mxn矩阵，x为一个n维列向量，b为一个m维列向量4.3线性方程组的解法4.3.1矩阵消元法通过矩阵的初等行变换将线性方程组转化为行阶梯形或最简形4.3.2克拉默法则Ax = b的解可以表示为x = (Dx1/D, Dx2/D, ..., Dxn/D)，其中D 为系数矩阵A的行列式，Di为将第i列的系数替换为b后的行列式4.3.3矩阵求逆法若A为可逆矩阵，则Ax=b的解可以表示为x=A^(-1)b以上是线性代数的一些重要公式，通过理解和掌握这些公式，可以帮助我们解决线性代数相关的问题和应用。
线性代数性质公式整理
线性代数第一章行列式一、相关概念1.行列式——n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，这里 是1，2，·n的一个排列。
当 是偶排列时，该项的前面带正号；当 是奇排列时，该项的前面带负号，即(1.1)这里表示对所有n阶排列求和。
式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。
2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。
一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。
用 表示排列 的逆序数。
3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。
4.2阶与3阶行列式的展开—— ，5.余子式与代数余子式——在n阶行列式中划去 所在的第i行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式称为 的余子式，记为 ；称为 的代数余子式，记为 ，即 。
6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如，称为A的伴随矩阵，记作 。
二、行列式的性质1.经过转置行列式的值不变，即→行列式行的性质与列的性质是对等的。
2.两行互换位置，行列式的值变号。
特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0.3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。
4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和：5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变：6.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0三、行列式展开公式n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即|A|按i行展开的展开式|A|按j列展开的展开式四、行列式的公式1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；2.关于副对角线的n阶行列式的值3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则4.范德蒙行列式5.抽象n阶方阵行列式公式 (矩阵)若A、B都是n阶矩阵，是A的伴随矩阵，若A可逆，是A的特征值：；； |AB|=|A||B|；；；；若 ，则，且特征值相同。
线性代数公式定理大全
线性代数公式大全第一章 行列式1．逆序数 1.1 定义n 个互不相等的正整数任意一种排列为：12n i i i ⋅⋅⋅，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用()12n i i i τ⋅⋅⋅表示，()12n i i i τ⋅⋅⋅等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和。
1.2 性质一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 ()211ττ=-。
证明如下：设排列为111l m n a a ab b bc c ，作m 次相邻对换后，变成111l m n a a abb b c c ，再作1m +次相邻对换后，变成111l m n a a bb b ac c ，共经过21m +次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ，要么减少1 ，相当于()211ττ=-，也就是排列必改变改变奇偶性，21m +次相邻对换后()()2121111m τττ+=-=-，故原命题成立。
2．n 阶行列式的5大性质性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。
性质2：互换任意两行（列）其值变号。
性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。
性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。
性质5：把行列式某行（列）λ倍后再加到另一行（列），其值不变。
行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。
对性质4的重要拓展： 设n 阶同型矩阵，()()(); ij ij ij ij A a B b A B a b ==⇒+=+，而行列式只是就某一列分解，所以，A B +应当是2n个行列式之和，即A B A B+≠+。
韦达定理的一般形式为：()121201201110; ; 1n nnn n n n n n n n n i i j i i i j i n n n a a aa x a xa xa x x x x a a a ------=≠==++++=⇒=-==-∑∑∏一、行列式定义 1．定义111212122212n n n n nna a a a a a a a a n n nj j j j j j a a a 221211)()1(τ∑-=其中逆序数 ()121n j j j j τ=后面的1j 小的数的个数 2j +后面比2j 小的数的个数+1n j -+后面比1n j -小的数的个数.2．三角形行列式1112122200n n nna a a a aa 11212212000n n nna a a a a a =1122nn a a a=1211000n n n nn nna a a a a -111212122100n n a a a a a a =()()12112111n n n n n a a a τ-⋅⎡⎤⎣⎦-=-()()1212111n n n n n a a a --=-二、行列式性质和展开定理1．会熟练运用行列式性质，进行行列式计算. 2．展开定理1122i k i k in kn ik a A a A a A A δ+++=A A a A a A a jk nk nj k j k j δ=+++2211三、重要公式 设A 是n 阶方阵，则 1．T A A =2．11A A--=3．1*n A A-=4．n kA k A =5．AB A B =，其中B 也是n 阶方阵6．设B 为m 阶方阵，则00A C A A B B CB ==()10mnAC A A BB CB==-7．范德蒙行列式()1222212111112111n ijnj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏四．有关结论 1．对于,n n n n A B ⨯⨯(1)00A A ⇒==⇐ (2) A B A B⇒==⇐2.A 为n 阶可逆矩阵A E A E ⇔→⇔→行变列变（A 与E 等价）0AX ⇔=只有惟一零解AX b ⇔=有惟一解（克莱姆法则） A ⇔的行（列）向量组线性无关 A ⇔的n 个特征值0,1,2,,i i n λ≠=⇔A 可写成若干个初等矩阵的乘积 ⇔)()(B r AB r = ⇔A A T 是正定矩阵⇔A 是n R 中某两组基之间的过渡矩阵3.A 为n 阶不可逆矩阵0=A 0AX ⇔=有非零解 ⇔n A r <)( ⇔0是A 的特征值 ⇔A A -=4.若A 为n 阶矩阵，)2,1(n i i =λ为A 的n 个特征值，则∏==ni i A 1λ5.若B A ~，则B A =行列式的基本计算方法：1. 应用行列式的性质化简行列式（例如化为三角形行列式就是一个常用方法）。
考研数学公式定理背诵手册(数学二)：线性代数
性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式．
推论 行列式中某一（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
性质 4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零．
性质 5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，如第 i 列的元素都是两数之和：
（2）若 A 可逆，则 A−1 亦可逆，且 ( A−1)−1 = A ． （3）若 A 可逆，数 λ ≠ 0 ，则 λ A 可逆，且 (λ A)−1 = 1 A−1 ．
λ （4）若 A, B 为同阶矩阵且均可逆，则 AB 亦可逆，且 ( AB)−1 = B−1A−1 ．
（5）若 A 可逆，则 AΤ 亦可逆，且 ( AΤ )−1 = ( A−1)Τ ．
A = O 或 B = O ；A2 = O
A=O；
109
AB = AC
B = C ． 但 是 A, B 为 方 阵 ， 则 有 | AB |=| BA |=| A || B | ；
| AB |= 0 ⇔| A |= 0 或| B |= 0 ．
2．逆矩阵的性质
（1）若矩阵 A 是可逆的，则 A−1 是唯一的．
定理 设非齐次线性方程组 Ax = b ，其系数矩阵的秩 r( A) = r(r > 0) ，增广矩阵的秩
第二部分 线性代数
一、行 列 式
1. 行列式的重要定理及公式
定理 对换改变 n 元排列的奇偶性． 定理 任一 n 元排列与排列1 2 3 n 可以经过一系列对换互变，并且所作对换的次数 与这个 n 元排列有相同的奇偶性．
2．行列式的基本性质 性质 1 行列式与它的转置行列式相等． 性质 2 互换行列式的两行（列），行列式变号． 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零．
2011线性代数重要定理及公式手册
一、矩阵的基本运算1.AB B A +=+2.()()C B A C B A ++=++3.()A -A O+=()-=+-A B A B 4.()B A B A λλλ+=+()AA A μλμλ+=+5.()()λμλμ=A A6.00=⇔=k kA 或=A O7.()TT AA=()TT TA B A B ±=±()()TT kA k A =()TT TAB B A =转置行列式不变T A A =逆值变AA 11=-AA n λλ=8.γβαγβαγββα,,,,,,2121+=+9.()321,,ααα=A ，()321,,βββ=B ，3阶矩阵BA B A +≠+()332211,,βαβαβα+++=+B A 332211,,βαβαβα+++=+B A B A BA B A =*=*0010.()()1,=c j i E 二、有关矩阵乘法的基本运算C AB =，即1122ij i j i j in nj c a b a b a b =+++ .1.线性性质()B A B A B A A 2121+=+()2121AB AB B B A +=+()()()B A AB B A λλλ==2.结合律()()BC A C AB =3.()TTTAB B A =4.B A AB =5.lk lkAA A +=()kllk A A =()k k kB A AB =不一定成立！6.A AE =，A EA =，()kA kE A =，()kA A kE =，E BA E AB =⇔=与数的乘法的不同之处：()kkkB A AB =不一定成立！7.无交换律因式分解的障碍是交换性，一个矩阵A 的每个多项式可以因式分解，例如()()E A E A E A A +-=--33228.无消去律（矩阵和矩阵相乘）由=AB O ⇒=/A O 或=B O 由≠A O 和=⇒=/AB O B O 由≠A O 时C B AC AB =⇒/=（无左消去律）特别地，设A 可逆，则A 有消去律.左消去律：C B AC AB =⇒=右消去律：CB CA BA =⇒=如果A 列满秩，则A 有左消去律，即①00=⇒=B AB ；②C B AC AB =⇒=三、可逆矩阵的性质1.当A 可逆时，⑴TA 也可逆，且()()1TT 1A A --=；⑵k A 也可逆，且()()kk A A11--=；⑶数0≠λ，A λ也可逆，()111--=A A λλ.2.若A ，B 是两个n 阶可逆矩阵，则AB 也可逆，且()111---=A B AB 推论：设A ，B 是两个n 阶矩阵，则E BA E AB =⇔=3.命题：初等矩阵都可逆，且()()()j i E j i E ,,1=-；()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-c i E c i E 11；()()()()()c j i E c j i E -=-,,1.4.命题：准对角矩阵kkA A A A 0000000002211 =可逆⇔每个ii A 都可逆，记11221111000000000----=kkA A A A .5.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；⇔()R =A n （是满秩矩阵）⇔A 的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组=0Ax 没有非零解；⇔R ∀∈n b ，Ax b =总有唯一解；⇔A 与E等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔A 的特征值全不为0；⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是R n 的一组基；⇔A 是R n 中某两组基的过渡矩阵.6.逆矩阵的求法①1A A A*-=②1()()A E E A -−−−−→ 初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦TT T T T A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦④12111121n a a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21111211na a na a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11121211n nA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦四、伴随矩阵的基本性质：1.EA A A AA ==**2.当A 可逆时，E A A A =*（求逆矩阵的伴随矩阵法）()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==----A A A A A 1111*3.伴随矩阵的其他性质1*-=A A A ⑵()(),**TT A A =⑶()**1A ccA n -=,⑷()*,**A B AB =⑸()()kkA A **=，2=n 时,()A A =**,⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=a c b d A *.⑺伴随矩阵的特征值：*1*(,)AA AX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =.4.关于矩阵右上肩记号：T ，k ，1-，*⑴任何两个的次序可交换，如()()TT**AA =，11()()--=T T A A ，()()**11--=A A ⑵()()111,---==A B AB A B AB TTT，()***A B AB =但()k k kA B AB =不一定成立！五、线性表示全课程的理论基础：线性表示→线性相关性→极大无关组和秩→矩阵的秩1.⑴s ααα,,,021 →⑵si αααα,,,21 →⑶βααααααβ=+++⇔→s s s x x x 221121,,,有解()βααα=⇔x s ,,,21 有解()()T1,,s x x x = β=Ax 有解，即β可用A 的列向量组表示⑷()s r r r C AB ,,,21 ==，()n A ααα,,,21 =，则n s r r r ααα,,,,,,2121 →.⑸s t αααβββ,,,,,,2121 →，则存在矩阵C ，使得()()Cs t αααβββ,,,,,,2121 =2.线性表示关系有传递性当p s t r r r ,,,,,,,,,212121 →→αααβββ，则p t r r r ,,,,,,2121 →βββ.3.等价关系：如果sααα,,,21 与tβββ,,,21 互相可表示t s βββααα,,,,,,2121 ←→,记作t s βββααα,,,,,,2121 ≅.4.线性相关如果向量组12,,,s ααα 中有向量可以用其它的s -1个向量线性表示,就说12,,,s ααα 线性相关.如果向量组12,,,s ααα 中每个向量都不可以用其它的s -1个向量线性表示,就说12,,,s ααα 线性无关.⑴1=s ，单个向量α,0=αx ,α相关0=⇔α⑵2=s ,21,αα相关⇔对应分量成比例即21,αα相关nn b a b a b a :::2211===⇔①()n A ααα,,,21 =，=0Ax 有非零解0=⇔A ②如果n s >，则s ααα,,,21 一定相关，=0Ax 的方程个数<n 未知数个数s ③如果s ααα,,,21 无关，则它的每一个部分组都无关④如果s ααα,,,21 无关，而βααα,,,,21s 相关，则sαααβ,,,21 →⑤当s ααβ,,1 →时，表示方式唯一s αα 1⇔无关（表示方式不唯一s αα 1⇔相关）⑥若s t ααββ,,,,11 →，并且s t >，则t ββ,,1 一定线性相关⑦s ααα,,,21 “线性相关还是无关”就是向量方程11220s s x x x ααα+++= “有没有非零解”.5.各性质的逆否形式⑴如果s ααα,,,21 无关，则ns ≤⑵如果s ααα,,,21 有相关的部分组，则它自己一定也相关⑶如果s αα 1无关，而s ααβ,,1 →/，则βαα,,,1s 无关⑷如果s t ααββ 11→，t ββ 1无关，则s t ≤推论：若两个无关向量组s αα 1与t ββ 1等价，则t s =6.极大无关组⑴设s ααα,,,21 是n 维向量组,12,,,ααα 是它的一个部分组.如果①12,,,r ααα 线性无关，②12,,,r ααα 就称12,,,r ααα 为s ααα,,,21 的一个最大无关组.称12,,,r ααα 中所包含向量的个数为s ααα,,,21 的秩.记作R (s ααα,,,21 ).⑵①s ααα,,,21 无关⇔()sR s =ααα,,,21 ②()()s s s R R ααβααααααβ,,,,,,,,,12121 =⇔→另一种说法：取s ααα,,,21 的一个最大无关组()*，()*也是βααα,,,,21s 的最大无关组⇔()β,*相关.③β可用s αα,,1 唯一表示()()s R R s s ==⇔ααβαα,,,,,11 ④()()s t s s t R R ααββααααββ,,,,,,,,,,,11111 =⇔→()()s t R R ααββ,,,,11 ≤⇒⑤⇔≅t s ββαα,,,,11 ()()()t t s s R R R ββββαααα,,,,,1111 ==⑶矩阵与向量组的对比矩阵的秩如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式，且任意r +1阶子式均为零，则称矩阵A 的秩为r .记作()R A r=向量组的秩向量组12,,,n ααα 的最大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n R ααα 矩阵等价A 经过有限次初等变换化为B .记作：A B= 向量组等价12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示.记作()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 7.矩阵的秩的简单性质⑴①A 行满秩：()m A R =，A 列满秩：()n A R =②(){}n m A R ,min 0≤≤，()00=⇔=A A R ③n 阶矩阵A 满秩：()nA R =A 满秩A ⇔的行（列）向量组线性无关0≠⇔A A ⇔可逆0=⇔Ax 只有零解，β=Ax 唯一解⑵T()()R R =A A ⑶0≠c 时，()()A R cA R =⑷若≅A B ，则()()R R =A B ⑸若P 、Q 可逆，则()()()()R R R R ===A PA AQ PAQ （可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑹{}max (),()(,)()()R R R R R ≤≤+A B A B A B ⑺()()()R R R +≤+A B A B ⑻()()(){}B R A R AB R ,min ≤，()0()00R A k R kA k ≠⎧=⎨=⎩若若⑼如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：①B 的列向量全部是齐次方程组=0Ax 解（转置运算后的结论）；②()()R R +≤A B n⑽若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()R R R n ≥+-AB A B ；⑾,()()A R AB R B =若可逆则，,()()B R AB R A =若可逆则⑿()()A R R A R B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦六、线性方程组1.解的性质1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==- 是的解也是它的解是的解对任意也是它的解齐次方程组是的解对任意个常数也是它的解是的解是其对应的其次线性方程组的解是的解是的两个解是其对应的其次2112121122121122120(6),0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ==⇔-==++=⇔++=++=⇔++= 线性方程组的解是的解则也是它的解是其对应的其次线性方程组的解是的解则也是的解是的解2.解的情况判别方程：β=Ax ，即βααα=+++n n x x x 2211，有解nαααβ,,,21 →⇔()()R A R A β⇔= ()()n n R R αααβααα,,,,,,,2121 =⇔无解()()R A R A β⇔> 唯一解()()R A R A n β⇔== 无穷多解()()R A R A nβ⇔=< 3.对于方程个数m 有()(),R A m R A m β≤≤ ，①当()m A R =时，()R A m β= ，方程组一定有解②当n m <时，()n A R <，方程组不会是唯一解4.对于齐次线性方程组=0Ax ，只有零解()n A R =⇔（即A 列满秩）有非零解()nA R <⇔5.矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AXB XA B ==(I)或(II)，A B E X −−−−→ 初等行变换(I)的解法：构造()()T T T T A X B X X=(II)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得七、特征值、特征向量1.两种特殊情形：（1）A 是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*=321000**λλλA ()()()3213210**λλλλλλ---=-*-----=-x x x x x x A xE （2）()1=A R 时：A 的特征值为()0,0,,0,tr A 2.特征值的性质⑴命题：n 阶矩阵A 的特征值λ的重数()A E r n --≥λ⑵命题：设A 的特征值为n,,,21λλλ ，则②()A tr n =+++21λλλ ⑶命题：设η是A 的特征向量，特征值为λ，即ληη=A ，则①对于A 的每个多项式()A f ，()()ηηx f A f =②当A 可逆时，λη11=-A ，ηλη||*A A =⑷命题：设A 的特征值为n ,,,21λλλ ，()f x 是多项式则①()A f 的特征值为()()()n f f f ,,,21λλλ②A 可逆时，1-A 的特征值为n1,,1,121λλλ *A 的特征值为nA A A 21||,,||,||λλλ ③TA 的特征值也是n,,,21λλλ⑸1122,.m m Ak kAa b aA bEAA A A A λλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值⑹1221,m mk kA a b aA bE Ax A x A A A Aλλλλλλλ-*⎧⎪+⎪+⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量.３．计算特征值和特征向量的一般公式⑴①λ是A 的特征值()0λη⇔-=A E ,即()λ-A E 不可逆．②η是属于λ的特征向量⇔η是齐次方程组()λ-=0A E x 的非零解规定Ａ的特征多项式为λ-E A ，则Ａ的特征值就是它的特征多项式的根．４．计算特征值和特征向量的具体步骤为：①计算Ａ的特征多项式．②求出它的根，即Ａ的特征值．③然后对每个特征值i λ，求齐次方程组()i λ-=0A E x 的非零解，即属于λ的特征向量．说明⑴n 阶矩阵的特征多项式是一个n 次多项式，一般来说求它的根是困难的，因此上述计算步骤②并不总是可行的，只能用在少数特殊矩阵上．例如用于对角矩阵和三角矩阵，得出它们的特征值就是对角线上的元素．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛***=32100λλλA ，则()()()321321000λλλλλλλλλλλλλ---=-*--*-*--=-A E ，⑵ｎ阶矩阵Ａ的特征值共有ｎ个（其中有的相同，有的是虚数），规定特征值λ的重数：即λ作为特征多项式的根的重数．Ａ的全体不同特征值的重数和等于ｎ．⑶λ不是Ａ的特征值⇔0A λλ-≠⇔-A E E 可逆．０不是Ａ的特征值⇔Ａ可逆．５．特征值的计算设Ａ是ｎ阶矩阵，记Ａ的全体特征值为n λλλ,,,21 ．则))()((321333231232221131211λλλλλλλλλλ---=---------=-a a a a a a a a a A E ①令0=λ，左＝A A n)1(-=-，右＝n nλλλ 21)1(-．②比较两边1-n λ的系数．命题２设λ是n 阶矩阵Ａ的特征值，则它的重数()n R A E λ≥--．应用：如果n 阶矩阵Ａ的秩R （Ａ）＝１，（ｎ＞１），则０是Ａ的特征值，并且重数()1n R n ≥-=-A ．于是Ａ的特征值为０，０，…，０，ｔｒ（Ａ）．6.特征值的应用①求行列式nA ,,,||21λλλ =②判别可逆性E A λ-可逆λ⇔不是A 的特征值当()0=A f 时，如果()0≠c f ，则cE A -可逆若λ是A 的特征值，则()λf 是()A f 的特征值()0=⇒λf ()c c f ⇒≠0不是A 的特征值AcE ⇔可逆.八、n 阶矩阵的相似关系当UA AU =时，A B =，而UA AU ≠时，A B ≠.1.相似关系有i ）对称性：AB B A ~~⇔ii ）有传递性：B A ~，C B ~，则CA ~2.命题当B A ~时，A 和B 有许多相同的性质①B A =②()()B R A R =③A ，B 的特征多项式相同，从而特征值完全一致④A 与B 的特征向量的关系：η是A 的属于λ的特征向量η1-⇔U 是B 的属于λ的特征向量.九、n 阶矩阵的对角化问题１．如果一个n 阶矩阵相似与一个对角矩阵，就说它可以对角化．并不是每个矩阵都可以对角化的．２．⑴判别法则１n 阶矩阵Ａ可对角化⇔Ａ有n 个线性无关的特征向量．实现方法１以Ａ的n 个线性无关的特征向量1η，2η，…，n η为列向量，构造矩阵Ｐ＝（1η，2η，…，n η），则Ｐ－１ＡＰ是对角矩阵．⑵判别法则２Ａ可对角化⇔对于Ａ的每个特征值λi ，其重数ｋｉ＝n －r （Ａ－λｉＥ）．实现方法２对Ａ的每个特征值λi ，求（Ａ－λi Ｅ）Ｘ＝０的基础解系，合在一起，就是Ａ的ｎ个线性无关的特征向量．用它们构造矩阵Ｐ．注意：当k i ＝１时，k i ＝n －r （Ａ－λi Ｅ）一定成立！⑶推论如果Ａ的特征值两两不相同，则Ａ可以对角化．３．内积，正交矩阵和实对称矩阵的对角化⑴内积的性质：①正定性：0),(≥αα，并且00),(=⇔=ααα．22221),(n a a a +++= αα．②对称性：),(),(αββα=．③线性性质：),(),(),(2121βαβαββα+=+；),(),(),(2121βαβαβαα+=+．),(),(),(βαβαβαc c c ==．（ｃ为任意实数）⑵正交矩阵①n 阶矩阵A 称为正交矩阵，如果它是实矩阵，并且T=AA E （即1T -A =A ）．②Ｑ是正交矩阵⇔Ｑ的列向量组是单位正交向量组⇔Ｑ的行向量组是单位正交向量组．③正交矩阵的性质：(ⅰ)T1A A -=；(ⅱ)T TAA A A E ==；(ⅲ)A 是正交阵,则TA （或1A -）也是正交阵；(ⅳ)两个正交阵之积仍是正交阵；(ⅴ)正交阵的行列式等于1或-1.⑶施密特正交化这是把线性无关向量组改造为单位正交向量组的方法．以３个线性无关向量1α，2α，3α为例．（ⅰ）令11αβ=，1111222),(),(ββββααβ-=，1111333),(),(ββββααβ-=22223),(),(ββββα-．此时1β，2β，3β是和1α，2α，3α等价的正交非零向量组．（ⅱ）单位化：作111ββη=，222ββη=，333ββη=，则1η，2η，3η是和1α，2α，3α等价的单位正交向量组．⑷实对称矩阵的对角化如果A 是实对称矩阵,A 的特征值和特征向量有以下特点:①特征值都是实数.②对每个特征值λ,其重数=n -r (A -λE ).即实对称矩阵可对角化,③属于不同特征值的特征向量互相正交.可以用正交矩阵将实对称矩阵A 对角化,构造正交矩阵Q (使得Q -1AQ 是对角矩阵)的步骤:①求出A 的特征值;②对每个特征λ,求(A -λE )X =0的单位正交基础解系,合在一起得到A 的n 个单位正交的特征向量;③用它们为列向量构造正交矩阵Q .十、正定二次型与正定矩阵性质与判别1.可逆线性变换替换保持正定性，()n x x x f ,,,21 变为()n y y y g ,,,21 ，则它们同时正定或同时不正定.2.B A -~，则A ，B 同时正定，同时不正定.3.实对称矩阵Ａ正定⇔正惯性指数为n ；⇔A 的特征值全大于0；⇔A 的所有顺序主子式全大于0；⇔A 合同于E ，即存在可逆矩阵Q 使T Q AQ E =；⇔存在可逆矩阵P ，使T A P P =（从而0A >）；⇔存在正交矩阵，使12T 1n C AC C AC λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （i λ大于0）.⇒成为正定矩阵的必要条件：0ii a >；0A >.4.判断A 正定的三种方法：①顺序主子式法。
线性代数公式手册
2设 为 的解，则 当 时仍为 的解；但当 时，则为 的解.特别 为 的解； 为 的解.
3非齐次线性方程组 无解 不能由 的列向量 线性表示.
奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解.
1齐次方程组 恒有解(必有零解).当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此 的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是 ，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系.
1 三者之间的关系
但
不一定成立，
，
但 不一定成立
2有关A*的结论
3)若 可逆，则
4)若 为 阶方阵，则
3有关 的结论
矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的秩，矩阵等价，分块矩阵及其运算
1有关矩阵秩的结论
1）秩r（A）=行秩=列秩；
2）
3） ；
4）
5）初等变换不改变矩阵的秩
6） 特别若
则
7）若 存在 若 存在
若
若
8） 只有零解
2分块求逆公式
；
；
；
这里A，B均为可逆方阵
(
考试内容
对应公式、定理、概念
向量的概念，向量的线性组合和线性表示，向量的线性相关与线性无关
1有关向量组的线性表示
(1) 线性相关 至少有一个向量可以用其余向量线性表示.
(2) 线性无关， ， 线性相关 可以由 惟一线性表示.
(3) 可以由 线性表示
(3)若 为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数(重根重复计算)＝秩( )
实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵
1相似矩阵：设 为两个 阶方阵，如果存在一个可逆矩阵 ，使得 成立，则称矩阵 相似，记为 .
线性代数重要公式定理大全
线性代数重要公式定理大全线性代数是数学中的一个重要分支，它研究矩阵、向量、线性方程组等基本概念和性质，并运用线性代数的理论和方法解决实际问题。
在学习线性代数时，了解一些重要的公式和定理，不仅可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的知识，还能为进一步学习和研究提供基础。
在线性代数中，有许多公式和定理与行列式、矩阵、向量、线性变换和特征值等相关。
下面我将介绍一些重要的公式和定理，希望对你的学习有所帮助。
一、行列式的公式和定理1. 行列式的定义：设有n阶方阵A，它的行列式记作，A，或det(A)，定义为：A，=a₁₁A₁₁-a₁₂A₁₂+...+(-1)^(1+n)a₁ₙA₁其中，a₁₁，a₁₂，...，a₁ₙ分别是矩阵第一行元素，A₁₁，A₁₂，...，A₁ₙ是矩阵去掉第一行和第一列的余子式。
2.行列式的性质：（1）行互换改变行列式的符号，列互换改变行列式的符号。
（2）行列式相邻行（列）对换，行列式的值不变。
（3）行列式其中一行（列）中的各项都乘以同一个数k，行列式的值也乘以k。
（4）互换行列式的两行（列），行列式的值不变。
（5）若行列式的行（列）的元素都是0，那么行列式的值为0。
（6）行列式的其中一行（列）的元素都是两数之和，那么行列式的值等于两个行列式的值之和。
3.行列式的计算：（1）按第一行展开计算行列式：将行列式的第一行元素与其所对应的代数余子式相乘，然后加上符号，得到行列式的值。
（2）按第一列展开计算行列式：将行列式的第一列元素与其所对应的代数余子式相乘，然后加上符号，得到行列式的值。
4.行列式的性质定理：（1）拉普拉斯定理：行列式等于它的每一行（列）的元素与其所对应的代数余子式的乘积之和。
（2）行（列）对阵定理：行列式的值等于它的转置矩阵的值。
（3）行列式的转置等于行列式的值不变。
二、矩阵的公式和定理1.矩阵的定义：将一个复数域上的m行n列数排成一个长方形，并按照一定的顺序进行排列，这个排列称为一个m×n矩阵，其中m是矩阵的行数，n是矩阵的列数。
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A B A B
A B 1 1 , 2 2 , 3 3 A A 0 AB 0 B B
10. E i, j c 1 二、有关矩阵乘法的基本运算
A B 1 1 , 2 2 , 3 3
1 , 2 , , s
与
1 , 2 ,, t
互 相 可 表 示
1 , 2 ,, s 1 , 2 ,, t ,
4.线性相关
记作 1 , 2 , , s
1 , 2 ,, t .
如 果 向 量 组 1 , 2 , , s 中 有 向 量 可 以 用 其 它 的 s-1 个 向 量 线 性 表 示 , 就 说
A2 A n
T
CT DT
1 an
1 a11 a1 a2 ④ an
1 a2
1 a1 1 a1
1 a2
T T T
但 AB B k A k 不一定成立！
k
五、线性表示 全课程的理论基础：线性表示 线性相关性 极大无关组和秩 矩阵的秩 1.⑴ 0 1 , 2 , , s ⑵ i 1 , 2 ,, s ⑶ 1 , 2 , , s x1 1 x 2 2 x s s 有解
0 0 A22 0 0 0 0
0 0 可 逆 每 个 Aii 都 可 逆 ， 记 0 Akk
0 0 0 1 A22 0 0 . 0 0 1 0 0 Akk
5.
A 是 n 阶可逆矩阵：
A
0
（是非奇异矩阵）；
R( A) n （是满秩矩阵）
A 的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组 Ax 0 没有非零解；
k
T
T 1
A1 ；
T
k 1
A 1 ；
1
k
⑶数 0 ， A 也可逆， A
1 1 A .
1
2.若 A ， B 是两个 n 阶可逆矩阵，则 AB 也可逆，且 AB
B 1 A 1
推论：设 A ， B 是两个 n 阶矩阵，则 AB E BA E 3.命题：初等矩阵都可逆，且 E i, j
⑶如果 1 s 无关，而 1 , , s ，则 1 , , s , 无关 ⑷如果 1 t 1 s ， 1 t 无关，则 t s 推论：若两个无关向量组 1 s 与 1 t 等价，则 s t 6.极大无关组 ⑴设 1 , 2 , , s 是 n 维向量组, 1 , 2 , , r 是它的一个部分组.如果 ① 1 , 2 , , r 线性无关，② 1 , 2 , , r 再扩大就线性相关. 就称 1 , 2 , , r 为 1 , 2 , , s 的一个最大无关组 .称 1 , 2 , , r 中所包含向量的个 数为 1 , 2 , , s 的秩.记作 R ( 1 , 2 , , s ). ⑵① 1 , 2 , , s 无关 R 1 , 2 , , s s ② 1 , 2 , , s R 1 , 2 , , s , R 1 , , s 另一种说法：取 1 , 2 , , s 的一个最大无关组 ，
② ( A E ) ( E A ) ③
a b 1 d b ad bc c d c a
1 an
1
AT A B T C D B
a2 a n
C AB ，即 cij ai1b1 j ai 2b2 j ain bnj .
1.线性性质
A1 A2 B A1 B A2 B
AB1 B2 AB1 AB2
AB AB AB
2.结合律
T
AB C ABC
1
1 1 E i, j ； E ic E i c ；
E i, j c 1 E i, j c .
A11 0 4. 命 题 ： 准 对 角 矩 阵 A 0 0
1 A11 0 A 1 0 0
一、矩阵的基本运算 1. A B B A 2. A B C A B C 3. A + -A = O
A B A B
4. A B A B 5. A A
A A A
b R n ， Ax b 总有唯一解；
A与 E
等价；
A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； A 的特征值全不为 0；
AT A 是正定矩阵；
A 的行（列）向量组是 R n 的一组基； A 是 R n 中某两组基的过渡矩阵.
1
6.逆矩阵的求法 ①A
A A
初等行变换 1
②如果 s n ，则 1 , 2 , , s 一定相关， Ax 0 的方程个数 n 未知数个数 s ③如果 1 , 2 , , s 无关，则它的每一个部分组都无关 ④如果 1 , 2 , , s 无关，而 1 , 2 , , s , 相关，则 1 , 2 , , s ⑤当 1 , , s 时， 表示方式唯一 1 s 无关 （表示方式不唯一 1 s 相 关） ⑥若 1 , , t 1 , , s ，并且 t s ，则 1 , , t 一定线性相关 ⑦ 1 , 2 , , s “线性相关还是无关”就是向量方程 1 x1 2 x2 s x s 0 “有 没有非零解”. 5.各性质的逆否形式 ⑴如果 1 , 2 , , s 无关，则 s n ⑵如果 1 , 2 , , s 有相关的部分组，则它自己一定也相关
k k k
7.无交换律 因式分解的障碍是交换性，一个矩阵 A 的每个多项式可以因式分解，例如
A 2 2 A 3E A 3E A E
8.无消去律（矩阵和矩阵相乘） 由 AB O AO或B O 由 A O 和 AB O BO 由 A O 时 AB AC B C （无左消去律） 特别地 ，设 A 可逆，则 A 有消去律. 左消去律： AB AC B C 右消去律： BA CA B C 如果 A 列满秩，则 A 有左消去律，即① AB 0 B 0 ；② AB AC B C 三、可逆矩阵的性质 1.当 A 可逆时， ⑴ A 也可逆，且 A ⑵ A 也可逆，且 A
n 1
A* ,
⑷ AB * B * A*, ⑸ A * A * ，
k k
⑹ A ** A
n2
A
d b n 2 时, A ** A , A* c a .
A ( AX X , A* A A1 A* X A X) .
⑺伴随矩阵的特征值：
4.关于矩阵右上肩记号： T ， k ， 1 ，* ⑴任何两个的次序可交换， 如 A
* A *
T
T
， (A ) (A ) ，
1 1 1
1 T
T 1
A *1 A 1 *
⑵ AB B A , AB B A ， AB * B * A *
T
1 , 2 ,, n .
1 , 2 ,, t 1 , 2 ,, s C
2.线性表示关系有传递性 当 1 , 2 , , t 1 , 2 , , s r1 , r2 , , rp ，则 1 , 2 , , t r1 , r2 , , r p . 3. 等 价 关 系 ： 如 果
T T
3. AB B A 4. AB A B 5. A A A
k l k l
A
k l
A kl
AB k
A k B k 不一定成立！
6. AE A ， EA A ， AkE kA ， kE A kA ， AB E BA E 与数的乘法的不同之处： AB A B 不一定成立！
1 , 2 , , s 线性相关.
如果向量组 1 , 2 , , s 中每个向量都不可以用其它的 s-1 个向量线性表示 , 就说
1 , 2 , , s 线性无关.
⑴ s 1 ，单个向量 , x 0 , 相关 0 ⑵ s 2 , 1 , 2 相关 对应分量成比例 即
1 , 2 相关 a1 : b1 a 2 : b2 a n : bn
⑶向量个数 s =维数 n ，则 1 , , n 线性相（无）关 ① A 1 , 2 , , n ， Ax 0 有非零解 A 0
1 ,, n 0
1 , 2 , , s x 有解 x x1 , , xs
Ax 有解，即 可用 A 的列向量组表示
⑷ AB C r1 , r2 , , rs ， A 1 , 2 , , n ，则 r1 , r2 , , rs ⑸ 1 , 2 , , t 1 , 2 , , s ，则存在矩阵 C ，使得
A1 ⑤
A2
A11 An
1
A2 1
An 1
A1 1 A1