混沌时间序列改进的加权一阶局域预测法

１引言混沌现象是自然界和社会中广泛存在的一种不规则运动，是一种由确定的非线性动力系统生成的复杂行为。

随着混沌理论和应用技术研究的不断深入，混沌系统的建模和混沌信号的预测［１－１０］已成为混沌信息处理领域中近几年来的一个重要研究热点，并在信号处理、通信、控制、电力系统、社会经济、边坡位移、水文、生物医学等领域中有着越来越重要的应用。

近二十年来，许多预测混沌时间序列的方法被提出，它们可被分为两类：全局预测法、局域预测法［４－１０］。

全局预测法利用全部的过去的信息来预测未来值，用全部已知数据来拟合动力方程。

例如用神经网络建立的全局预测模型，它通过全部的输入－输出对神经网络进行训练。

但当加入新的数据时，预测模型须重新估计参数，因此计算量较大。

并且全局动力方程难于拟合。

而局域预测法仅利用部分的过去的信息来预测未来值，局域动力方程较容易拟合，且计算量较小。

加权一阶局域预测法［４－１０］是目前最常用的一种混沌时间序列预测方法。

本文对加权一阶局域预测法进行改进。

仿真结果表明改进后方法的预测性能明显好于原方法。

２相空间重构混沌系统对初值敏感的特性使混沌系统输入的变化能迅速地反映在输出中，所以混沌模型更接近现实世界的情况，即混沌理论提供了一种更符合现实世界情况的非线性分析方法。

相空间重构是用动力系统方法分析非线性时间序列的基础［１－３］。

为了研究未知系统的动力特性，人们需要从观测数据重构原系统相空间。

通常混沌系统可用低阶微分方程描述，假设原混沌系统的动力方程是由ｎ个一阶微分方程组成的方程组，该方程组通过求导和消元可化为一个只含一个变量的ｎ阶微分方程，所以，决定系统长期演化的任一变量的时间序列均包含了系统所有变量长期演化的信息，因此，可以通过决定系统长期演化的任一单变量时间序列来研究系统的混沌行为。

在Ｗｈｉｔｎｅｙ拓扑嵌入定理的基础上，Ｐａｃｋａｒｄ首次提出了用延迟坐标重构原系统相空间的方法，Ｔａｋｅｎｓ证明了用延迟坐标重构的动力轨迹相空间与原动力系统保持微分同胚，即单变量时间序列在无限长且无噪声的情况下，延迟时间取任意值都能重构原系统相空间，重构的相空间都与原动力系统拓扑等价。

实际上观测数据是有限长的，且不可避免地被噪声污染，因此，由观测数据重构相空间时应选取合适的延迟时间和嵌入维数。

假设已知序列｛ｘ（ｉ），ｉ＝１，２，…，Ｎ｝，由延迟坐标相空间重构法可得延迟矢量及轨迹矩阵为：混沌时间序列改进的加权一阶局域预测法孟庆芳，彭玉华ＭＥＮＧＱｉｎｇ－ｆａｎｇ，ＰＥＮＧＹｕ－ｈｕａ山东大学信息科学与工程学院，济南２５０１００ＳｃｈｏｏｌｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＳｈａｎｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉ’ｎａｎ２５０１００，ＣｈｉｎａＭＥＮＧＱｉｎｇ－ｆａｎｇ，ＰＥＮＧＹｕ－ｈｕａ．Ｉｍｐｒｏｖｅｄａｄｄｉｎｇｗｅｉｇｈｔｆｉｒｓｔｏｒｄｅｒｌｏｃａｌｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒｃｈａｏｔｉｃｔｉｍｅｓｅｒｉｅｓ．ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００７，４３（３５）：６１－６４．Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｄｄｉｎｇｗｅｉｇｈｔｆｉｒｓｔｏｒｄｅｒｌｏｃａｌｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｉｓｔｈｅｍｏｓｔｕｓｕａｌｌｙｕｓｅｄｍｅｔｈｏｄｔｏｐｒｅｄｉｃｔｃｈａｏｔｉｃｔｉｍｅｓｅｒｉｅｓ．Ｂａｓｅｄｏｎｐｈａｓｅｓｐａｃｅｄｅｌａｙ－ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｏｆａｃｈａｏｔｉｃｄｙｎａｍｉｃｓｓｙｓｔｅｍ，ａｎｉｍｐｒｏｖｅｄａｄｄｉｎｇｗｅｉｇｈｔｆｉｒｓｔｏｒｄｅｒｌｏｃａｌｐｒｅｄｉｃ－ｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｔｏｐｒｅｄｉｃｔｃｈａｏｔｉｃｔｉｍｅｓｅｒｉｅｓｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｉｍｐｒｏｖｅｄｍｅｔｈｏｄｃａｎｅｆｆｅｃ－ｔｉｖｅｌｙｍａｋｅｍｕｌｔｉ－ｓｔｅｐａｎｄｏｎｅ－ｓｔｅｐｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｏｆｃｈａｏｔｉｃｔｉｍｅｓｅｒｉｅｓａｎｄｔｈｅｍｕｌｔｉ－ｓｔｅｐｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅａｎｄｏｎｅ－ｓｔｅｐｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎａｃｃｕｒａｃｙｏｆｔｈｅｉｍｐｒｏｖｅｄｍｅｔｈｏｄａｒｅｓｕｐｅｒｉｏｒｔｏｔｈｏｓｅｏｆｔｈｅａｄｄｉｎｇｗｅｉｇｈｔｆｉｒｓｔｏｒｄｅｒｌｏｃａｌｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ａｄｄｉｎｇｗｅｉｇｈｔｆｉｒｓｔｏｒｄｅｒｌｏｃａｌｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ；ｐｈａｓｅｓｐａｃｅｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ；ｃｈａｏｔｉｃｔｉｍｅｓｅｒｉｅｓ摘要：加权一阶局域预测法是目前最常用的一种混沌时间序列预测方法。

基于延迟坐标相空间重构理论，提出了混沌时间序列改进的加权一阶局域预测法。

仿真结果表明该方法的多步预测性能与一步预测性能明显好于加权一阶局域预测法的多步预测性能与一步预测性能。

关键词：加权一阶局域预测法；相空间重构；混沌时间序列文章编号：１００２－８３３１（２００７）３５－００６１－０４文献标识码：Ａ中图分类号：ＴＰ１８３基金项目：教育部留学回国人员科研启动基金（ＴｈｅＰｒｏｊｅｃｔ－ｓｐｏｎｓｏｒｅｄｂｙＳＲＦｆｏｒＲＯＣＳ，ＳＥＭＮｏ．２００４．１７６．４）；山东省自然科学基金（ｔｈｅＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＳｈａｎｄｏｎｇＰｒｏｖｉｎｃｅｏｆＣｈｉｎａｕｎｄｅｒＧｒａｎｔＮｏ．２００４Ｇ０１，Ｎｏ．２００４ＺＲＣ０３０１６）。

作者简介：孟庆芳（１９７９－），女，博士研究生，研究方向：混沌时序重构、建模、预测及其工程应用。

Ｘ＝［Ｘ１＋（ｍ－１）!，Ｘ２＋（ｍ－１）!，…，ＸＮ］＝ｘ（１＋（ｍ－１）!）ｘ（２＋（ｍ－１）!）…ｘ（Ｎ）ｘ（１＋（ｍ－２）!）ｘ（２＋（ｍ－２）!）…ｘ（Ｎ－!）………ｘ（１）ｘ（２）…ｘ（Ｎ－（ｍ－１）!!""""""""""#$%%%%%%%%%%&）（１）其中ｍ为嵌入维数，!为延迟时间。

３改进的加权一阶局域预测法在重构相空间里，某点与其邻近点有空间相关性。

局域预测法就是根据这种邻近点的空间相关性进行预测的。

零阶局域预测法直接用最后一个延迟矢量ＸＮ的邻域内的最近几个点的１次迭代后的像来拟合延迟矢量ＸＮ＋１。

一阶局域预测法则通过拟合延迟矢量ＸＮ的邻域内的几个邻近点和其１次迭代后的像的线性对应关系来得到对未来值ｘ（Ｎ＋１）的预测值。

将邻域内的最近几个点与中心点之间的空间距离作为一个拟合参数引入局域预测过程，相应地可得到加权零阶局域预测法和加权一阶局域预测法。

加权一阶局域法是目前最常用的一种混沌时间序列预测方法。

用加权一阶局域法对已知序列进行预测时，首先需要知道延迟矢量Ｘｎ的邻域内的最近的几个点。

根据重构轨迹，计算延迟矢量Ｘｎ与前面的ｎ－１个延迟矢量Ｘｉ（ｉ＝１，２，３，…，ｎ－１）的距离ｄ（ｉ）＝‖Ｘｉ－Ｘｎ‖２（２）找出ｑ个最近的延迟矢量Ｘｎｒ（ｒ＝１，２，…，ｑ）。

并且记Ｘｎｒ与Ｘｎ的距离为ｄｒ，设ｄｍｉｎ是ｄｒ中的最小值，其中ｒ＝１，２，…，ｑ，则基于距离的延迟矢量Ｘｎｒ的权值为：Ｐｒ＝ｅｘｐ（－ｌ（ｄｒ－ｄｍｉｎ））ｑｉ＝１(ｅｘｐ（－ｌ（ｄｒ－ｄｍｉｎ）），ｒ＝１，２，…，ｑ（３）其中ｌ为参数，一般取ｌ＝１。

然后对Ｘｎｒ和Ｘｎｒ＋１进行一阶局域线性拟合，得：Ｘｎｒ＋１＝ａｅ＋ｂＸｎｒ，ｒ＝１，２，…，ｑ（４）其中ｅ＝（１，１，…，１）Ｔ，为ｍ×１阶矩阵。

式（４）写成向量的形式为：Ｘｎ１＋１Ｘｎ２＋１…Ｘｎｑ＋１!""""""""""#$%%%%%%%%%%&＝ｅＸｎ１ｅＸｎ２ｅ…ｅＸｎｑ!""""""""""#$%%%%%%%%%%&ａ)*ｂ（５）根据加权最小二乘法，可得：ｑｒ＝１(Ｐｒｍ－１ｊ＝０(［ｘ（ｎｒ＋１－ｊ!）－ａ－ｂｘ（ｎｒ－ｊ!）］２＝ｍｉｎ（６）将式（６）看成是关于未知数ａ、ｂ的二元函数，两边求偏导得到：ｑｒ＝１(Ｐｒｍ－１ｊ＝０(［ｘ（ｎｒ＋１－ｊ!）－ａ－ｂｘ（ｎｒ－ｊ!）］＝０ｑｒ＝１(Ｐｒｍ－１ｊ＝０(［ｘ（ｎｒ＋１－ｊ!）－ａ－ｂｘ（ｎｒ－ｊ!）］ｘ（ｎｒ－ｊ!）＝+-----,-----.０（７）化简得到关于未知数ａ、ｂ的方程组：ａｑｒ＝１(Ｐｒ＋ｂｑｒ＝１(Ｐｒｍ－１ｊ＝０(ｘ（ｎｒ－ｊ!）＝ｑｒ＝１(Ｐｒｍ－１ｊ＝０(ｘ（ｎｒ＋１－ｊ!）ａｑｒ＝１(Ｐｒｍ－１ｊ＝０(ｘ（ｎｒ－ｊ!）＋ｂｑｒ＝１(Ｐｒｍ－１ｊ＝０(ｘ２（ｎｒ－ｊ!）＝ｑｒ＝１(Ｐｒｍ－１ｊ＝０(ｘ（ｎｒ＋１－ｊ!）ｘ（ｎｒ－ｊ!+--------,--------.）（８）解方程组（８）求得参数ａ、ｂ，然后代入式（４），得Ｘ!ｎ＋１＝ａ＋ｂＸｎ，再分离得到预测值ｘ"（ｎ＋１）。

将预测值ｘ"（ｎ＋１）加入原始序列，再根据最后一个延迟矢量Ｘｎ＋１得到对未来值ｘ（ｎ＋２）的预测值，依此类推，从而实现多步预测。

加权一阶局域预测法同时使用延迟矢量的所有分量进行一阶拟合，但是延迟矢量是由第一个分量的时间延迟序列组成的，未来值与中心点邻近点的延迟矢量的第一个分量相关性最强，与其它分量的相关性较弱，因此同时使用其它分量进行一阶拟合将降低预测性能。

本文提出只用延迟矢量的第一个分量进行一阶拟合，改进了加权一阶局域预测方法。

本文预测方法描述如下：首先在重构相空间里找出延迟矢量Ｘｎ的最近的ｑ个点，并由式（３）计算权值。

然后对Ｘｎｒ和Ｘｎｒ＋１进行一阶局域线性拟合，得：ｘ（ｎｒ＋１）＝ａ＋ｂｘ（ｎｒ），ｒ＝１，２，…，ｑ（９）根据加权最小二乘法，可得：ｑｒ＝１(Ｐｒ［ｘ（ｎｒ＋１）－ａ－ｂｘ（ｎｒ）］２＝ｍｉｎ（１０）将式（１０）看成是关于未知数ａ、ｂ的二元函数，两边求偏导得到：ｑｒ＝１(Ｐｒ［ｘ（ｎｒ＋１）－ａ－ｂｘ（ｎｒ）］＝０ｑｒ＝１(Ｐｒ［ｘ（ｎｒ＋１）－ａ－ｂｘ（ｎｒ）］ｘ（ｎｒ）＝+-----,-----.０（１１）化简得到关于未知数ａ、ｂ的方程组：ａ＋ｂｑｒ＝１(Ｐｒｘ（ｎｒ）＝ｑｒ＝１(Ｐｒｘ（ｎｒ＋１）ａｑｒ＝１(Ｐｒｘ（ｎｒ）＋ｂｑｒ＝１(Ｐｒｘ２（ｎｒ）＝ｑｒ＝１(Ｐｒｘ（ｎｒ）ｘ（ｎｒ＋１+-----,-----.）（１２）解方程组（１２）求得参数ａ、ｂ，然后代入式（９），得ｘ"（ｎ＋１）＝ａ＋ｂｘ（ｎ），得到预测值ｘ"（ｎ＋１）。