水文统计的基本原理与方法
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工程水文学第四章 水文统计基本方法
反应系列 总水平
定义模比系数： 则：
Ki
xi x
1
1 n
n i 1
Ki
K1 K2 Kn n
⒉ 均方差σ、变差系数Cv：
反映系列中各变量值集中或离散的程度
n
(xi x)2
i1
n
Cv
n
(Ki 1)2
i 1
n
例4-2： 5， 10， 15 x=10 σ=4.08 995，1000，1005 x=1000 σ=4.08
Cv=0.48 Cv=0.0048
⒊偏态系数（Cs）: 反映系列在均值两边对称程度
n
( Ki 1)3
Cs i1 nCv3
正态曲线或正态分布： 密度函数：
密度曲线：
例4-3：计算系列的统计参数均值、变差系数、 偏态系数。
样本 1 2 3 4 5
系列 300 200 185 165 150
例如:
T 1 1 P
当某一洪水的频率为P=1%时，则T=100年，称此洪
水为百年一遇洪水，表示大于等于这样的洪水平均100
年会遇到一次。
对于p=80%的枯水流量，则 T=5 年，称作以五年一
遇枯水流量作为设计来水的标准。表示小于等于这样的
流量平均5年会遇到一次。说明具有80%的可靠程度。
第五节 P—Ⅲ型分布参数估计
经验频率 （5） 9.1 18.2 27.3 36.4 45.5 54.5 63.6 72.7 81.8 90.9
某枢纽年最大洪峰流量经验频率曲线
二、理论频率曲线： 1、皮尔逊Ⅲ型分布曲线（ P-Ⅲ)
一端有限，一端无限 的不对称单峰曲线
形状、尺度和 位置参数
可以推证：
4 CS2
水文统计基本原理与方法
Y=
∶
∶
∶
∶
6 “出现6点”
建立了这种数量化关系后，实际上相当于引入了 变量Y。这样的变量是随试验的不同结果而取不同的 值。
由于试验出现的结果是随机的，因此，变量X和Y 的取值也是随机的，故称X、Y为随机变量。
定义：在随机试验中，用一个变量X的取值（实数） 表示随机试验的结果。由于随机试验的结果是随机的， 所以称这种变量X为随机变量。
x0
x
x0
x
记：
f ( x) F '( x) dF( x) dx
称为概率密度函数，简称密 度函数（density function）， 其图形称为密度曲线 （density curve）。
密度函数积分即为分 布函数：
F ( x) P( X x) f ( x)dx
x
(3 5)
分布函数（distribution function）的图形称为分 布曲线（density curve）， 水文学中称为频率曲线 （frequency curve）。
其几何图形如下图所示， 图中纵坐标表示变量x， 横坐标表示概率分布函数值F（x），在概率论中称此 曲线为概率分布曲线，水文统计中称为随机变量的累积 频率曲线，简称频率曲线（frequency curve）。
图中，当 x= xP 时， 可以查得：
F(xP) = P(X≥xP) = P 表示随机变量X大于或 等于xP 的概率（可能性） 为P（%）。
【例3-0】河流每年会发生洪水，但洪水的大小无法 预先知道。这是一种偶然现象，也称为随机现象。
水文现象是一种自然现象，所 以它具有必然性的一面，也具有偶 然性的一面。
随机现象看似杂乱无章，但对大量随机现象的分 析发现，随机现象也具有一定的规律性，称这种规律 为统计规律性（statistical regularity）。
水质工程学2 水文统计基本原理与方法
3.1.3 总体与样本
3.1.3
总体与样本 (collectivity and sample) :
有 限 总 体 无限 样本
容量无限 容量一定
容 量
● ●
水文特征值系列的总体是无限的。 样本是总体的一部分，样本的特征在一定程度上反映 出总体的特征。
概率与频率
3.1.4 概率与频率(Probability and frequency)
频率 P=50% 时的 x 值，有 x50%.
示意图
均方差
2.离散程度特征参数
（1）均方差
▵ 描述概率分布离散趋势的特征参数。随机变量分布越分散， 均方差越大；分布越集中，均方差越小。 ▵ 限于比较均值相同的系列。 ☆ 总体的
☆ 样本的
总
x x 样
n 2 i 1 i
K
3 n
n
i
i 1
i
1
3 V
3
（3-16）
n C
i
Cs
(x
x)
3
3
(n 3)
(K
1)
3
3
（3-17）
(n 3)C v
Cs影响形状图
当Cs>0，密度曲线峰顶在均值的左边，叫做左偏或正偏。 当Cs<0，密度曲线峰顶在均值的右边，叫做右偏或负偏。 当Cs=0，密度曲线峰顶在均值处，叫做对称分布或正态分布。 ◇ 水文现象大多属于正偏，Cs>0。
n 1
引入模比系数 对于总体
k i 1
i 1 n 2 n
xi Ki x
对于样本
Cv
Cv
n
ki2 n
水文学 水文统计基本原理与方法
PE
全球多年平均降 水量等于多年平 均蒸发量，为 1130mm
2.2.2 水文观测与水文资料的收集
一、降水
形式： 雨、雪、霰、雹、露、霜等 特征要素： 降水量（mm) 降水历时(min，h，d) 降水强度(mm/h，mm/d) 降水面积(km2) 暴雨中心
与降水有关的气象因素 降水发生在大气中的对流层，对流层是地球大 气中最底的一层。
Pc R Ec Sc
若以海洋为研究对象，其水量平衡方程为：
Po R Eo So
△Sc——大陆在研究时段内蓄水量的变化量 △So——海洋在研究时段内蓄水量的变化量 对多年平均情况， △Sc 、△So 趋于零。所以：
Pc R E c
合并得：
Po R E o
Pc Po E c E o 或
1.2 水文现象基本规律及其研究方法
1、水文现象基本规律 （1）确定性规律 （2）随机性规律 （3）地区性规律 2、基本研究方法 （1）成因分析法 （2）数理统计法 （3）地区综合法
1.3 水文科学的发展
第二章
2.1 河流与流域
河流与径流
一、河流 （一）河流的形成与分段 定义：接纳地面径流和地下径流的天然泄水通道。 河谷、河槽或河床。 上游、下游、左岸、右岸。 分段：沿水流方向，自高向低可分为河源、上游、 中游、下游和河口五段。
（二）河流的基本特征 1. 河流的长度 自河源沿主河道至河口的距离称为河 长（km）。 2. 河流的断面： 横断面 中泓线 纵断面
3. 河道纵比降： 任意河段两端（水面 或水底）的高差△h称为落 差，单位河长的落差称为河 道纵比降。 水面比降、河底比降
二、流域 （一）流域 定义：供给河流地面和地下径流的集水区域， 即分水线所包围的区域 分水线（分水岭） 闭合流域。、非闭合流域
如何进行水文测量数据的统计和分析
如何进行水文测量数据的统计和分析水文测量数据的统计和分析对于水资源管理至关重要。
通过对水文测量数据的准确统计和深度分析，我们可以更好地了解水文特征、水文过程以及水文变化趋势，为有效地保护和合理利用水资源提供科学依据。
本文将介绍如何进行水文测量数据的统计和分析。
一、数据采集与整理数据采集是水文测量工作的基础。
在进行水文测量时，我们需要采集的数据包括降雨量、水位、流量等。
首先，我们需要选取合适的测量站点，并根据实际情况进行布点。
在测量时，要保证测量仪器的准确性和稳定性，尽量避免误差。
此外，还要注意记录时间和位置等重要信息。
采集到的水文测量数据需要进行整理和归档。
首先，我们需要对数据进行分类，将不同类型的数据进行分组存储。
例如，将降雨量数据与水位数据分开存放，以便后续的分析。
其次，我们要检查数据的完整性和准确性，排除异常数据和误操作引起的错误。
最后，建立一个完善的数据库，将采集到的数据按年、月、日等时间段进行存储，方便后续的检索和分析。
二、水文测量数据的统计分析1. 描述性统计分析描述性统计分析是对水文测量数据进行总体描述和概括的一种分析方法。
通过对数据的中心趋势、离散程度以及分布形态等指标进行统计，可以获得数据的基本特征。
常用的描述性统计指标包括平均值、中位数、标准差、极差等。
通过这些指标可以了解测量数据的集中程度、稳定性和变异程度。
2. 趋势分析趋势分析是通过对水文测量数据的历史变化进行分析和预测，揭示水文变化的长期趋势。
常用的趋势分析方法包括线性回归分析、滑动平均法和指数平滑法等。
线性回归分析可以通过拟合线性方程来描述数据变化的趋势。
滑动平均法和指数平滑法则可以平滑数据，减少随机误差，使数据的趋势更为明显。
3. 频率分析频率分析是对水文测量数据的频率分布进行分析的方法。
通过对极值数据的统计分析，可以了解不同概率水平下的水文极值情况。
常用的频率分析方法包括极值分布分析、概率密度函数分析和频率曲线绘制等。
水文统计基本原理与方法课件
险评估和效益预测。
02 水文统计基本原理
概率论与数理统计基础
概率论基本概念
概率是描述随机事件发生可能性的数 学工具，包括概率空间、随机变量、 概率分布等。
数理统计基础
数理统计是研究如何从数据中获取有 用信息的方法论，包括参数估计、假 设检验、回归分析等。
水文数据的收集与整理
数据来源
水文数据主要来源于水文站观测、遥感监测、气象观测等多 种途径。
水文统计学的应用领域
01
02
03
04
水资源评估
通过对水文数据的统计分析， 评估和预测水资源量、水质和
供水能力。
水文预报
利用水文统计方法对未来水文 情势进行预测，为防洪抗旱提
供决策依据。
水环境管理
通过对水环境相关数据的统计 分析，评估水环境质量，制定
水环境保护和治理措施。
水利工程设计
在水利工程设计中，利用水文 统计数据和方法对工程进行风
河流流量变化规律研究
总结词
河流流量变化规律研究是水文统计中的重要 内容，通过对河流流量数据的收集、整理和 分析，可以了解河流流量的变化规律，为水 资源管理和水利工程提供科学依据。
详细描述
河流流量变化规律研究包括对河流流量数据 的收集、整理和统计分析。通过对河流流量 数据的分析，可以了解河流流量的变化规律 ，包括河流流量的季节性变化、年际变化和 长期变化趋势等。这些规律对于水资源管理 和水利工程具有重要的意义，可以帮助决策 者制定科学合理的水资源管理和水利工程规
划。
水质参数的统计分析
总结词
水质参数的统计分析是水文统计中的重要内容，通过对水质参数数据的收集、整理和分 析，可以了解水质的时空分布规律，为水资源保护和水环境治理提供科学依据。
02 水文统计基本原理
概率论与数理统计基础
概率论基本概念
概率是描述随机事件发生可能性的数 学工具，包括概率空间、随机变量、 概率分布等。
数理统计基础
数理统计是研究如何从数据中获取有 用信息的方法论，包括参数估计、假 设检验、回归分析等。
水文数据的收集与整理
数据来源
水文数据主要来源于水文站观测、遥感监测、气象观测等多 种途径。
水文统计学的应用领域
01
02
03
04
水资源评估
通过对水文数据的统计分析， 评估和预测水资源量、水质和
供水能力。
水文预报
利用水文统计方法对未来水文 情势进行预测，为防洪抗旱提
供决策依据。
水环境管理
通过对水环境相关数据的统计 分析，评估水环境质量，制定
水环境保护和治理措施。
水利工程设计
在水利工程设计中，利用水文 统计数据和方法对工程进行风
河流流量变化规律研究
总结词
河流流量变化规律研究是水文统计中的重要 内容，通过对河流流量数据的收集、整理和 分析，可以了解河流流量的变化规律，为水 资源管理和水利工程提供科学依据。
详细描述
河流流量变化规律研究包括对河流流量数据 的收集、整理和统计分析。通过对河流流量 数据的分析，可以了解河流流量的变化规律 ，包括河流流量的季节性变化、年际变化和 长期变化趋势等。这些规律对于水资源管理 和水利工程具有重要的意义，可以帮助决策 者制定科学合理的水资源管理和水利工程规
划。
水质参数的统计分析
总结词
水质参数的统计分析是水文统计中的重要内容，通过对水质参数数据的收集、整理和分 析，可以了解水质的时空分布规律，为水资源保护和水环境治理提供科学依据。
水力学与桥涵水文第十章
已知：n年实测数据系列，n个xi（年最大值法） 将xi按大到小的顺序排列（不论年序）； 统计每一个xi对应的频数fi和累积频数mi； 根据维泊尔公式计算Pi； 在海森格率纸上点绘xi～Pi点据； 用光滑的曲线将xi～Pi点据连成经验累积频率曲线。
11
10-2 经验累积频率曲线
设计频率标准（设计频率）——国家标准、规范 规定的各种等级工程的容许破坏率或要求达到的 安全率。
蒲丰(Buffon)
皮尔逊 (K· Pearson) 皮尔逊
4040
12000 24000
2048
6019 12012
0.5080
0.5016 0.5005
5
10-1 基本概念
累积频率与重现期
累积频率——（在多次重复随机试验中），等 量或超量出现的次数（累积频数）与总观测次 数之比。
m( x xi ) P( x xi ) 定义式： 或 n m P n
国家
中国、奥地利、保加利亚、匈牙利、波兰、 罗马尼亚、瑞士、泰国 美国、澳大利亚、加拿大、新西兰、墨西哥
1/100 1/50 1/25 按具体情况确定 按具体情况确定
12
10-2 经验累积频率曲线
经验累积频率曲线的绘制和延长问题
绘图不规范 外延任意性大
（图 10-2）
13
10-3 理论累积频率曲线
频率密度曲线与累积频率曲线的关系
随机变量增量∆x，频率增量∆P，平均频率密度为∆P/∆x，则
f1 f 2 f 3 f i m( x xi ) n n （10-7）
例 某断面40年实测水位资料，从中每一年取一个 最高水位组成样本系列，其中有2年为4.0米，有10 年为3.5米，有16年为2.9米，有9年为2.5米，有3 年为1.9米。列表计算各个水位的频率和累积频率。
11
10-2 经验累积频率曲线
设计频率标准（设计频率）——国家标准、规范 规定的各种等级工程的容许破坏率或要求达到的 安全率。
蒲丰(Buffon)
皮尔逊 (K· Pearson) 皮尔逊
4040
12000 24000
2048
6019 12012
0.5080
0.5016 0.5005
5
10-1 基本概念
累积频率与重现期
累积频率——（在多次重复随机试验中），等 量或超量出现的次数（累积频数）与总观测次 数之比。
m( x xi ) P( x xi ) 定义式： 或 n m P n
国家
中国、奥地利、保加利亚、匈牙利、波兰、 罗马尼亚、瑞士、泰国 美国、澳大利亚、加拿大、新西兰、墨西哥
1/100 1/50 1/25 按具体情况确定 按具体情况确定
12
10-2 经验累积频率曲线
经验累积频率曲线的绘制和延长问题
绘图不规范 外延任意性大
（图 10-2）
13
10-3 理论累积频率曲线
频率密度曲线与累积频率曲线的关系
随机变量增量∆x，频率增量∆P，平均频率密度为∆P/∆x，则
f1 f 2 f 3 f i m( x xi ) n n （10-7）
例 某断面40年实测水位资料，从中每一年取一个 最高水位组成样本系列，其中有2年为4.0米，有10 年为3.5米，有16年为2.9米，有9年为2.5米，有3 年为1.9米。列表计算各个水位的频率和累积频率。
水文学第3章 水文统计的基本原理与方法
3．1．5 总体与样本
事件试验各种可能结果的全体称为 总体。 很多水文现象都是 无限总体。 从总体中随机抽取一部分系列，称抽样，抽取的这部分系 列称为一个 随机样本，简称 样本。
样本系列的长短，即样本中所含的项数的多少，称为 样本 容量 或样本大小。
§3．2 随机变量的概率分布及其统计参数
3．2．1 随机变量 若随机事件的每次试验结果可用一个数值 x 来表示，x 随试验 结果取不同的数值。在每次试验中，究竟出现那一个数值则是随机 的，但取得某一数值具有一定的概率，这种变量称为 随机变量。 如果在某一随机变量相邻两数值之间，不存在中间数值，这种 随机变量称为 离散型随机变量（掷骰字）。
频率是一个抽象的数理统计术语，不易为一般人所理解。
有时用“重现期”来更直观地描述“频率”一词。所谓重现 期是事件重复出现的平均间隔时间，即平均隔多少时间出现一次， 或说多少时间遇到一次。 当研究暴雨洪水问题(所取的p< 50％)时，采用 T=1/p
T——重现期，以年计，表示大于、等于xm的随机变量平 均 T 年重现一次； p——频率，以小数或百分数计。 例:某洪水的频率为p＝1％，则此洪水的重现期T=1/1％=100年 ，称此洪水为百年一遇的洪水，表示大于等于这样的洪水平均 100年出现一次。
x Cv C
S
n Cv 3 2 1 2C Cs 2Cv Cs 4 2n
2 v
6 2 5 (1 Cs2 Cs4 ) n 3 16
公式右边各项均为总体的统计参数，计算是仍用样本的统计参 数代替。抽样误差的大小，随样本的容量n、Cv、Cs的大小而变， 样本容量越大，对总体的代表性越好，其抽样误差也越小）。 当样本容量不大时直接计算Cs的误差很大（计算偏差系数Cs的 均方差公式中包含Cs的高次方）。 例：n=100，Cv=0.1∽1.0，Cs=2Cv，
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下节
随机事件和随机变量
1、事件分类：
必然事件 不可能事件 随机事件
2、随机变量：
量值
例如：水文站观测到的各个水位和流
系列、总体和样本
续型系列（江河中的水位和流量值）
系列
离散型系列（掷骰子）
总体
样本
机率和频率
1、机率：
又称概率：表示随机事件在客观上发生的机 遇性。
2、频率：
之比
在若干f 次实验中A事件出现的次数与总实验数
按公式
Qp kpQ
P=1％，Cv＝0.5，
Cs＝3Cv查表得
k
=
P
2.67
则Q p＝1000*2.67=2670m3/s
（二）、三个参数对理论频率曲线的影响
参数
均值
Q
对理论频率曲线的影响
cv cs c 曲线形状不变 Q 增大，曲线上移 Q 减小，曲线下移
变差 系数 Cv
偏差 系数 Cs
n
Wf（-A)＝A事件出现的次数
n – 实验的总次数
累积频率和重现期
1、累积频率 P：
比。
即等量和超量值的累积频数m与总观测次数n之
例题→
2、重现期 T：
即等于和大于某频率的洪水平均多少年可能遇 到一次，简称几年一遇。 1
洪水频率分析 p T＝
1
枯水频率分析1 p T=
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某桥位处测得40年最高水位资料，如表，求水位H≥25m的 累积频率。
将洪峰流量不论年序从大到小排列并编号 确定资料的总项数n及m值 用数学期望公式计算各实测值的经验频率 以实测值x为纵坐标，累积频率P为横坐标，将各实测
值点据点绘于坐标纸上 穿过点群分布中心，目估连成一条光滑曲线，即经验
频率曲线 若资料足够则可在此曲线上求的所需设计频率的流量。
河川各种水文要素，如水位、流速、流量、降雨量等 统称为河川水文现象。
一、河川水文现象的特性：
周期性 地区性 随机性（偶然性）
二、河川水文现象的分析方法：
成因分析法 地区归纳法 数理统计法（水文统计法）
§2－2 水文统计基本概念
一、随机事件和随机变量 二、系列、总体和样本 三、机率和频率 四、累积频率与重现期
总体
1
n
n
(xi x)2
i 1
n
样本：
n
(xi x)2
i 1
n 1
SUCCESS
THANK YOU
2020/1/26
例题1：两系列：甲---5，10，15； 乙---1，10，19 。比较
其离散程度
解： x甲 x乙 10
甲
（5－10）2 (10 10)2 (15 10)2 31
k p 1 cv p 模比系数
例题：设某水文站，Q 1000m3 / s, cv 0.5, cs 1.5,
试求此理论频率曲线及水文站附近某桥的设计洪 峰流量Q1％和Q 5％。
解：按公式 Qp Q(1 cv p )
P=1％，Cs＝1.5，查表得 P = 3.33
则Q p＝1000(1+0.5*3.33)=2665m3/s
甲---5，10，15；乙---995，1000，1005 。
解：
x甲 10
x乙 1000
甲 5.0 乙 5.0
cv甲
甲
x甲
5.0 10
0.50
cv乙
乙
x乙
5.0 1000
0.005
表明：甲系列的离散程度大于乙系列
我国降水量与径流量的变差系数，一般是南方小， 北方大；沿海小，内陆大；平原小，山区大。在0.2～1.5之
（三）、偏差系数：衡量系列在均值两侧对称程度。
一般有经验关系：
cs (2 ~ 4)cv
三、皮尔逊III型曲线
（一）、关于P-III曲线的说明
、比较符合我国的水文情势 B、流量－统计参数的关系曲线，根据实测水文资料得来
C、应用表达式：Qp Q(1 cv p ) k p Q
p －－－离均系数
x
求小频率的流量，
Xp
需延长曲线
0
P
P（％）
经验频率曲线的延长和局限性：
普通坐标纸误差大 采用海森机率格纸
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§2－4 理论频率曲线
一、基本原理
数理统计中，常选择比较符合 水文现象频率分布规律的密度函数f(x)， 借以求解累积频率曲线，－－－－称为 理论频率曲线（常用皮尔逊III型曲线）
Cs=C, Cv 增大，曲线变陡 Cv 减小，曲线变缓
Cv=C, Cs 增大，曲线左陡、 中落、右坦。
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§2－5 现行频率分析方法
P=P（ x, cv, cs, x)
二、统计参数
（一）、均值
x
x1 x2 xn
n
1 n
n i 1
xi
、 反映系列水平的参数
B、水文分析中，均值大则水量大，反之则小
C、计算简单，易受极值影响
中值 x 众值xˆ
（二）、变差系数：表示系列分布相对均值离散情况
数理统计法中用均方差表示系列的绝对平均离散程度
二、经验频率公式（维泊尔公式）
1800Biblioteka 16001400P=m/(n＋1）x100%
1200
1000
800
m--------系列按递
600 400
减次序排列时，各随
200
机变量的顺序号
0 20
40 60 80 100 累积频率（％）
n---------随机变量的总项数，一般为水文资料 的观测总年数
三、经验频率曲线的绘制与延长
第3章 水文统计的基本原理与方法
§3－1 河川水文现象的特性与分析方法 §3－2 水文统计基本概念 §3－3 经验累积频率曲线 §3－4 理论频率曲线 §3－5 现行频率分析方法 §3－6 * 抽样误差 §3－7 * 相关分析 本章重点 复习思考题
§2－1 河川水文现象的特性与分析方法
5.0
乙
（1－10）2 (10 10)2 (19 10)2 31
9.5
表明：乙系列的离散程度大于甲系列
均值相同时，均方差可以反映其离散程度；但均值 不同时，却无法比较-----因此，引入离差系数（变差系数）
变差系数
cv
x
n
ki2 n
i 1
n 1
例题2：比较两系列的离散程度：
解：当水位H＝25m时，W=25% P=25+5=30%
表明：若水位为25m时对桥梁会有威胁，则高于25m 的水位对桥梁都会有威胁，其发生的可能性应为P=30％。
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§2－3 经验累积频率曲线
一、经验累积频率曲线： 以经验累积频率为 横坐标，某水文特征值（流量或水位值） 为纵坐标绘出的曲线
流量（m3/s)