第三章 水文统计的基本方法
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第三章 水文统计基本原理与方法
的两端或一端与横轴线渐近相切。
y f ( x) ( x a0 ) a 1 e ( x a ( )
( )
——
0
)
0
t 1e t dt ，称为 的伽马函数
0
—— 曲线上点的横坐标值，待定参数 —— 特定参数
,
第三章 水文统计基础知识 → 3)水文经验频率曲线、理论曲线及参数估计
第三章 水文统计基本原理与方法 → (1) 概率统计理论基础
概率
随机事件A客观上出现的可能性，称为概率，用 P(A)表示，又称为机率、或然率等。它是描述随 机事件发生可能性大小的数值标准。 设事件A在重复的随机中共有N种结果，且每种 结果发生的可能性均等，其中事件A出现的可 能结果有f0种，按概率定义，有
曲线参数与统计参数之间的关系：
2 x CV 4 C s 2C S
a0 x(1 ) CS
第三章 水文统计基础知识 → 3)水文经验频率曲线、理论曲线及参数估计
p( ) f , C d
p p s
该式包含 Cs、P与Φp的关系，查附表2，由已 知的Cs值，查表可得不同P的 Φp值，然后利用 已知的 x 和Cv值，通过下式即可求出与各种P 相应的xp值，从而可绘出理论频率曲线。
上述累积频率是指多年平均出现的机会； 重现期则是平均若干年出现一次，而不是固定 的周期。
例4 某大城市从互不相关的三条河流中取水，各设一个 泵房．每一泵房正常运转受洪水破坏的机率为1﹪。试确 定此城市供水受破坏的机率为多大?
解：水文现象总体容量无限，所述破坏机率只能是一 种估计值。供水受破坏的情况有如下几种： (1)三个泵房运转同时破坏的机率：
•重现期
第三章 水文统计方法
四、频率
设事件A在n次试验中出现了m次，则称为事件A在n次试验中
出现的频率。 W(A)=m/n 当试验次数n不大时，事件频率很不稳定，具有随机性； 当试验次数n足够大时，事件频率与概率之差会达到任意小的 程度。
五. 累计频率（P）：等量和超量值的频率之和（累计）。
某桥位处测得40年最高水位资料如下表，求水位
0
225 1225 2500
0
-3375 -42875 -125000
1
0.925 0.825 0.75
0
-0.075 -0.175 -0.25
0
-0.00042187 -0.00535938 -0.015625
均值
均方差 变差系数 偏态系数
200
2790
52.8 0.264102
165750
0.10359375
≥25m时的累积频率。
解：当水位H＝25m时，W=25% H＝30m（大于25m）时， W=5% P=25%+5%=30% 意义：表明若水位为25m时对桥梁会有威胁，则高于25m的
水位对桥梁都会有威胁，其发生的可能性应为30％。
第三节 随机变量及其概率分布 一、随机变量
随试验结果而发生变化的变量，用 X 表示，取值用 xi 表 示 。例: 水文特征值：年径流、洪峰流量。 随机变量分类：
（1）根据实测水文资料，按从大到小的顺序排列； （2）用经验频率公式计算系列中各项的频率; （3）以水文变量X为纵坐标，以经验频率P为横坐标，
点绘经验频率点据；
（4）根据点群趋势绘出一条平滑的曲线。
例题
年份 （ 1） 1961 年最大洪峰流 量 （2） 720
序号 （3） 1 由大到小排列 （4） 2650 经验频率 （ 5） 9.1
水文学第三章
式中:T-重现期，以年计； P-大于等于某水文变量 XP—事件的频率。
b. 当研究枯水问题 水文上关心的是小于XP的事件出现的频率
及相应的重现期。 重现期指在很长的时期内(N年)出现小于
某水文变量XP事件的平均重现间隔期。若水文 变量大于等于XP的频率为P ，则小于XP事件的 频率应为：1-P，在N年内小于XP事件出现的次 数应为N(1-P)，因此其重现期为：
物理成因分析法
水文现象也包含着偶然性(Contingency) ， 对水文的偶然现象（或称随机现象）所遵循的 规律一般称做统计规律。
概率论和数理统计分析方法
水文分析计算常用到数理统计的方法
进行流域或地区水资源开发利用，首先要了 解流域内未来的河道的来水量，以合理规划；
进行水利工程规划设计，需弄清未来时期河 流中可能的洪水量及其过程，以确定工程的规模。
生的概率等于各个事件发生的概率总和。
[例]袋中有手感完全相同的20个白球和10个黑球， 问：摸出白或黑求的概率是多少？
P(白)＝ 20 2 20 10 3
P(黑)＝ 10 1 20 10 3
P(白或黑)＝P(白) P(黑)＝ 2＋1 1 33
[例] 某测站有40年的实测枯水位记录，各种水位出现的频率如表3.1所示，试确定水位 H≥2.0m和H≥2.7m的概率？
某站水位频率计算
表3.1
序号
水位H（m）
频数f（a） 频率W（%） 累积频率P （%）
1
4.0
2
5
5
2
3.5
10
25
30பைடு நூலகம்
3
2.7
16
40
70
4
2.0
9
b. 当研究枯水问题 水文上关心的是小于XP的事件出现的频率
及相应的重现期。 重现期指在很长的时期内(N年)出现小于
某水文变量XP事件的平均重现间隔期。若水文 变量大于等于XP的频率为P ，则小于XP事件的 频率应为：1-P，在N年内小于XP事件出现的次 数应为N(1-P)，因此其重现期为：
物理成因分析法
水文现象也包含着偶然性(Contingency) ， 对水文的偶然现象（或称随机现象）所遵循的 规律一般称做统计规律。
概率论和数理统计分析方法
水文分析计算常用到数理统计的方法
进行流域或地区水资源开发利用，首先要了 解流域内未来的河道的来水量，以合理规划；
进行水利工程规划设计，需弄清未来时期河 流中可能的洪水量及其过程，以确定工程的规模。
生的概率等于各个事件发生的概率总和。
[例]袋中有手感完全相同的20个白球和10个黑球， 问：摸出白或黑求的概率是多少？
P(白)＝ 20 2 20 10 3
P(黑)＝ 10 1 20 10 3
P(白或黑)＝P(白) P(黑)＝ 2＋1 1 33
[例] 某测站有40年的实测枯水位记录，各种水位出现的频率如表3.1所示，试确定水位 H≥2.0m和H≥2.7m的概率？
某站水位频率计算
表3.1
序号
水位H（m）
频数f（a） 频率W（%） 累积频率P （%）
1
4.0
2
5
5
2
3.5
10
25
30பைடு நூலகம்
3
2.7
16
40
70
4
2.0
9
第三章 水文统计
Zuo Qiting
经验频率曲线的绘制： 1）将实测水文数据列表，并由大到小，重新排序；
2）根据经验频率公式计算经验频率；
3）以实测水文变量xi为纵坐标，经验频率Pi为横坐标，在 概率格纸 ( 或普通坐标上 ) 上点绘经验频率点，然后用目估 法过经验频率点群绘制一条光滑的曲线； 4）根据工程设计标准，在曲线上查出所对应的水文变量 值。
p( x 3 x x 3 ) 99.7%
x x x
正态曲线
Zuo Qiting
二、皮尔逊- III型 皮尔逊Ⅲ型曲线（见图）为一端有限一端无限的不对称 单峰曲线，概率密度函数
a f ( x) ( x a0 ) a 1 e ( x a ( )
m p 100 % n 1
P为大于等于xi的经验频率；m为水 文变量从大至小排列的序号；n为
样本容量。
频率这个词比较抽象，为便于理解，有时采用重现期这 个词。所谓重现期是指水文事件的平均重现间隔时间，即平 均间隔多少时间出现一次或多少时间遇到一次。 在工程水文中，重现期用字母 T 表示，一般以年为单 位。
i
2
n
(k 1)
i
2
n 1
3 3 ( k i 1 ) ( k i 1 ) n2 Cs (n 1)(n 2) nCv3 (n 3)Cv 3
不偏估值 公式
Zuo Qiting
三、抽样误差
用一个样本的统计参数来估计总体的统计参数是 存在误差的，称之为抽样误差。这种误差是由于从总 体中随机抽取的样本与总体有差异而引起的。
3. 总体、样本、样本容量
将随机变量所能取值的全体称为总体。
总体中的一个单体称作个体。总体是所有个体的集合。 从总体中随机抽取一部分个体称为样本。 样本所含个体的数目称为样本容量(大小)。 水文变量的总体是指自古迄今以至未来的水文系列， 现有的水文观测系列可以当作总体的一个样本。
经验频率曲线的绘制： 1）将实测水文数据列表，并由大到小，重新排序；
2）根据经验频率公式计算经验频率；
3）以实测水文变量xi为纵坐标，经验频率Pi为横坐标，在 概率格纸 ( 或普通坐标上 ) 上点绘经验频率点，然后用目估 法过经验频率点群绘制一条光滑的曲线； 4）根据工程设计标准，在曲线上查出所对应的水文变量 值。
p( x 3 x x 3 ) 99.7%
x x x
正态曲线
Zuo Qiting
二、皮尔逊- III型 皮尔逊Ⅲ型曲线（见图）为一端有限一端无限的不对称 单峰曲线，概率密度函数
a f ( x) ( x a0 ) a 1 e ( x a ( )
m p 100 % n 1
P为大于等于xi的经验频率；m为水 文变量从大至小排列的序号；n为
样本容量。
频率这个词比较抽象，为便于理解，有时采用重现期这 个词。所谓重现期是指水文事件的平均重现间隔时间，即平 均间隔多少时间出现一次或多少时间遇到一次。 在工程水文中，重现期用字母 T 表示，一般以年为单 位。
i
2
n
(k 1)
i
2
n 1
3 3 ( k i 1 ) ( k i 1 ) n2 Cs (n 1)(n 2) nCv3 (n 3)Cv 3
不偏估值 公式
Zuo Qiting
三、抽样误差
用一个样本的统计参数来估计总体的统计参数是 存在误差的，称之为抽样误差。这种误差是由于从总 体中随机抽取的样本与总体有差异而引起的。
3. 总体、样本、样本容量
将随机变量所能取值的全体称为总体。
总体中的一个单体称作个体。总体是所有个体的集合。 从总体中随机抽取一部分个体称为样本。 样本所含个体的数目称为样本容量(大小)。 水文变量的总体是指自古迄今以至未来的水文系列， 现有的水文观测系列可以当作总体的一个样本。
水文学第三章33683-PPT文档资料
m p 100 % n
当m=n时，p=100%，即样本的末项 xn 是总体中的最小值，显然不符合实际，因为随 着观测年数的增多，总会出现更小的数值。
对上式进行修正，有： 数学期望公式
p m 100 % n1
切哥达也夫公式
m 0 .3 p 100 % n 0 .4
海森公式
m 0 .5 p 100 % n
第五节 频率曲线参数估计 用有限的样本观测资料估计总体分布线 型中的参数，如P—Ⅲ型的 、Cv、 Cs。 x
一、矩法 用样本矩估计总体矩，并通过矩与参数之 间的关系，来估计频率曲线的参数。
1 n 均值 x 的无偏估计： x xi n i 1
Cv的无偏估计量：
n C v n 1
( K 1 ) i
水文上常用“重现期”来代替“频率” 1. 当研究暴雨或洪水时（一般p≤50%）
T 1 P
例如，当某一洪水的频率为p=1%时，则T=100 年，称此洪水为百年一遇洪水，表示大于等于 这样的洪水平均100年会遇到一次。 2. 当研究枯水或年径流时（一般p≥50%）
T1 1 P
例如，对于p=90%的枯水流量，则T=10年，称 此为十年一遇枯水流量，表示小于等于这样的 流量平均10年会遇到一次。
第三章 水文统计基本原理及方法
第一节
概述
第二节 概率的基本概念 一、事件 必然事件、不可能事件、随机事件 二、概率 随机事件出现的可能性大小 三、频率 对于水文现象，用频率作为概率的近似值
第三节 随机变量及其概率分布 一、随机变量 水文特征值：年径流、洪峰流量 离散型随机变量 连续型随机变量：水位、流量 二、随机变量的概率分布 随机变量的取值与其概率的对应关系，称 为随机变量的概率分布。 对于水文变量，研究大于等于某一取值x 的概率，即F(x)
当m=n时，p=100%，即样本的末项 xn 是总体中的最小值，显然不符合实际，因为随 着观测年数的增多，总会出现更小的数值。
对上式进行修正，有： 数学期望公式
p m 100 % n1
切哥达也夫公式
m 0 .3 p 100 % n 0 .4
海森公式
m 0 .5 p 100 % n
第五节 频率曲线参数估计 用有限的样本观测资料估计总体分布线 型中的参数，如P—Ⅲ型的 、Cv、 Cs。 x
一、矩法 用样本矩估计总体矩，并通过矩与参数之 间的关系，来估计频率曲线的参数。
1 n 均值 x 的无偏估计： x xi n i 1
Cv的无偏估计量：
n C v n 1
( K 1 ) i
水文上常用“重现期”来代替“频率” 1. 当研究暴雨或洪水时（一般p≤50%）
T 1 P
例如，当某一洪水的频率为p=1%时，则T=100 年，称此洪水为百年一遇洪水，表示大于等于 这样的洪水平均100年会遇到一次。 2. 当研究枯水或年径流时（一般p≥50%）
T1 1 P
例如，对于p=90%的枯水流量，则T=10年，称 此为十年一遇枯水流量，表示小于等于这样的 流量平均10年会遇到一次。
第三章 水文统计基本原理及方法
第一节
概述
第二节 概率的基本概念 一、事件 必然事件、不可能事件、随机事件 二、概率 随机事件出现的可能性大小 三、频率 对于水文现象，用频率作为概率的近似值
第三节 随机变量及其概率分布 一、随机变量 水文特征值：年径流、洪峰流量 离散型随机变量 连续型随机变量：水位、流量 二、随机变量的概率分布 随机变量的取值与其概率的对应关系，称 为随机变量的概率分布。 对于水文变量，研究大于等于某一取值x 的概率，即F(x)
水文统计的基本方法
年份
1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973
年降水量
549 702 563 612 760 658 528 802 554 643 592 586 745
年份
1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
第三章 水文统计的基本方法
第二节 概率、频率、重现期
第二节 概率、频率、重现期
教学内容： 一、概率 二、频率 三、重现期 教学要求：
掌握概率、频率和重现期的概念；掌握频率 和概率的联系和区别；掌握频率和重现期的关系。
第二节 概率、频率、重现期
一 、概率 （一）随机试验与随机事件
1、随机试验
①可以在相同的条件下重复进行； ②每次试验的可能结果不止一个，并且能事先知道实验所
三、重现期
1、定义：所谓重现期，是指某随机事件在长期过程中 平均是多少年比现一次，称为“多少年一遇”，用字 母T表示。
2、根据研究问题的性质不同，频率P与重现期T的关 系有两种表示方法 ：
（1）在研究暴雨洪水问题时，一般设计频率P＜50％，
则:
T1
（年）
P
式中：T——重现期，年； P——频率，％。
第二节 概率、频率、重现期
第三节 随机变量及其频率分布
上节内容提问
1、频率和概率的区别和联系是什么？ 答：区别：概率是抽象数．是个理论值；频率是具体数， 是个经验值。联系：频率随实验次数的增多而逐渐稳 定．并趋近于概率。 2、频率P与重现期T的关系如何？ 答：在研究暴雨洪水问题时，T ；1
P
3 水文统计基本原理与方法
3.2 随机变量的概率分布
3.概率密度函数
F(x)与f(x)的关系式
F ( x) P( X x) f ( x)dx
x
F(x)的几何意义就是表示 位于x轴上边的密度曲线所 包围的面积。 密度函数和分布函数从不同 角度反应了随机变量的概率 分布规律。
频率密度曲线一般为“铃形”。 频率分布曲线通常呈“倒S形”。
式中：F ( x) 为分布函数 F(x)的一阶导数，令 f（x）= F ' ( x) 。
'
3.2 随机变量的概率分布
3.概率密度函数 函数 f(x) 为概率密度函数（密度函数或分布
密度函数）。密度函数f(x)的几何曲线为密度 曲线。通过密度曲线可以很方便地求出随机变 量x落在区间dx上的概率，它等于 f(x) dx。
利用实测流量资料推 求桥涵的设计流量时， 往往需要将频率曲线 的头部外延很远，采 用海森机率格纸，仍 有较大的任意性，同 样会产生很大的误差。 显然，仍不能满足水 文计算的要求，必须 进一步寻求绘制和外 延频率曲线的方法。
3.3 水文经验频率曲线
例：某水文站有22年不连续的年最大流量资料，列于表 2—5第3栏，试绘制该站的经验频率曲线，并目估延长， 推求洪水频率为2％、1％和0.33％的流量。 ①把历年的年最大流量资料，按大小递减次序排列，如表2 －5第5栏； ②采用维泊尔公式计算各项流量的经验频率P，列入表2— 5第6栏。 ③然后，按表中经验频率和流量数值，在海森机率格纸上绘 出经验频率点，如图2—5中的圆点； ④再依点群的趋势描绘成一条圆滑的曲线，如图中的细实线， 就是该水文站的经验频率曲线； ⑤将经验频率曲线向上延长(图2－5中的细虚线)，可由图 中直接读出所求洪水频率的流量
水文学PPT教案0917-第三章水文统计的基本原理与方法
概率运算定理
• 概率运算定律
I. 概率相加定理 互斥事件：在一次试验中，只有一个事件发生，其余事件均不
能发生，这类事件称为互斥事件； 概率相加定理：互斥的各事件中，至少有一个发生的概率等于
各个事件发生的概率总和 【例】袋中有手感完全相同的20个白球和10个黑球，问：摸出白 或黑求的概率是多少？
概率运算定理
用以表示随机试验结果的一个数量(事先是未知的)，由于它事 先不能确定，是随机的，称为随机变量。水文现象中的随机变量， 一般指某个水文特征值(如年径流量、年降雨量、洪峰流量等)。
它是指随机试验结果的一个数量。在水文学中，常用大写字母 表示，记作X，而随机变量的可能取的值记作x，即：
X = x1, X = x2, X = xn 一般称之为随机系列或随机数列。
这两个函数能完整地描述随机变量的分布规律。
随机变量的概率分布
【例】 某站有62年的降水资料。分析年降水量的概率分布规律。
【解】 将62年降水量按大小每隔∆x=200mm划分为一组，统计各组值 出现的次数，计算各组值相应的频率、频率密度、累积次数、累积频率 的值。
表3.2 某站某年降水量分组频率计算表
所谓“概率预估”，即分析水文变量出现大过或小于某个数值 的可能性为多少
河川水文现象的特点
1. 多变和不完全重复性 水文现象在发生的时间和数值的大小上都具有随机性。
因此不能依靠短期的观测资料对今后的变化趋势做准确的判 断 2. 地区性
水文现象因地区不同而异。因此引用经验公式要注意其 地区特点 3. 周期性
n
n -1
P(AB) = P(A)· P(B / A) = a(a -1) n(n -1)
随机变量的概率分布
• 对于离散型随机变量：
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X P(X=xi) x1 p1 x2 p2 …… …… xi pi …… ……
第三节 随机变量及其频率分布
2、连续型随机变量的频率分布
对于连续型随机变量，无法研究个别值的概率，只能研究某
个区间的概率，或是研究随机变量X取值大于或等于某一数值的 概率分布，即P（X≥xi）。有时也研究X的取值小于等于某值的
二 、频率 1、频率计算公式： 设随机事件A在n次随机试验中，实际出现了m次，则
m P( A) n
（3-2）
称为随机事件A在n次试验中出现的频率。
例：随机事件A：某条河流某断面出现大于等于20m3/s的流量。 （1）做随机实验两次，分别测得流量为5.1m3/s、16m3/s。
P ( A) m 0 n
（二）均方差和变差系数 1、均方差 均方差则表示系列中各个值相对于均值的离散程度。 例：甲系列：10、30、50 x甲 x乙 30 乙系列：1、30、59
x1 x2 ... xn 1 n x xi n n i 1
（3-6）
第三节 随机变量及其频率分布
均方差的计算公式为
第二节 概率、频率、重现期
(二)概率 1、定义：概率就是用来描述某一随机事件发生可能性大小的 数量指标。 2、随机事件的概率计算公式
式中 P（A）—在一定条件下随机事件A发生的概率； n —在试验中所有可能出现的结果总数； m—在试验中属于事件A的结果数。 ∵ 0≤m≤n ∴0≤ P（A）≤1 P（A）=0 不可能事件 ； P（A）=1 必然事件
2 2 2
甲 乙
例：甲1系列 5 、20、35 乙1系列
甲 乙 15
1 1
1985、2000、2015
第三节 随机变量及其频率分布
2、变差系数CV（离差系数） 可比较均值不等的系列的离散程度，计算公式为
1 CV x x
( xi x)
i 1
n
2
n 1
(ki 1) 2
第三章
水文统计的基本方法
第一节 概 述
第一节 概 述
教学内容： 一、水文现象的统计规律 二、水文统计及其任务 教学要求： 了解水文现象的统计规律及水文统计的任 务。
第一节 概 述
一、水文现象的统计规律 水文现象是一种自然现象，它具有必然性的一面，也具 有偶然性的一面。偶然现象也称随机现象；偶然现象仍然是 有规律的，一般称为统计规律。 二 、水文统计及其任务 数学中研究随机现象统计规律的学科称为概率论, 而由 随机现象的一部分试验资料去研究总体现象的数字特征和规 律的学科称为数理统计学。概率论与数理统计学应用到水文 分析与计算上则称为水文统计。 水文统计的任务就是研究和分析水文随机现象的统计变化 特性。并以此为基础对水文现象未来可能的长期变化作出在 概率意义下的定量预估，以满足工程规划、设计、施工以及 运营期间的需要。
概率，即P（X≤xi）。后面二者可以相互转换，水文统计中常用
X ≥xi 的概率及其分布。另外，在水文上遇到的都是样本资料， 通常要用样本的频率分布规律去估计总体的概率分布规律，所以
重点研究随机变量X ≥xi的频率分布。
【例3-1 】已知某雨量站1935～1998年共64年的年降水量，如表3-2所示，试分析该样
第三节 随机变量及其频率分布
二、随机变量的频率分布 1、离散型随机变量的概率分布 随机变量各个取值与其概率之间的一一对应关系，称为 随机变量概率分布或分布律。 离散型随机变量X的概率分布可表示为 P（X=xi)=pi( i=1,2…) (3-5) 也可用表格或图来表示。 离散型随机变量及其概率分布表
CS
( xi x)
i 1 3
n
3
(n 3) x CV
3
(ki 1)3
i 1
n
(n 3)CV
序号
年降水量 (组距 ⊿x=100mm ) ②
各组出现次 数 (次)
累积出现次 数 (次)
各组出现频 率 pi(%) ⑤
累积频率 p(%)
4/6 4
①
③
④
⑥
1 2 3 4 5 6 7 8
900~999 800~899 700~799 600~699 500~599 400~499 300~399 200~299 总计
第三章 水文统计的基本方法
第二节 概率、频率、重现期
第二节 概率、频率、重现期
教学内容： 一、概率 二、频率 三、重现期 教学要求： 掌握概率、频率和重现期的概念；掌握频率 和概率的联系和区别；掌握频率和重现期的关系。
第二节 概率、频率、重现期
一 、概率 （一）随机试验与随机事件 1、随机试验
式中：T——重现期，年； P——频率，％。
第二节 概率、频率、重现期
例：P=0.1% P=5% 则 则 T=1000年 T=20年 千年一遇的洪水 二十年一遇的洪水
（2）在研究枯水问题时，一般设计频率P＞50％，则
1 T 1 P
例：P=75% P=80% P=20% 则 则 则 T=4年 T=5年 T=5年 四年一遇的枯水 五年一遇的枯水 五年一遇的洪水
（2）做随机实验三次，分别测得流量为5.1m3/s、16m3/s、21m3/s。
P ( A) m 1 n 3
第二节 概率、频率、重现期
2、频率和概率的区别和联系 区别：概率是抽象数．是个理论值；频率是具体数，是个经验值。 联系：频率随实验次数的增多而逐渐稳定．并趋近于概率。
表3-1 掷币实验出现正面的频率 实验者 蒲丰 （Buffon) 皮尔逊 （K.Pearson) 皮尔逊 （K.Pearson） 掷硬币次数 4040 12000 24000 正面出现的次数 2048 6019 12014 正面出现的频率 0.5069 0.5016 0.5005 频率越 接近概 率0.5
本系列的频率分布规律。 表3-2 某站年降水量
年降水量 年份 年降水量 年份
（单位：mm）
年降水量 年份 年降水量 年份 年降水量
年份
1935 1936 1937
476 486 905
1948 1949 1950
285 528 583
1961 1962 1963
549 702 563
1974 1975 1976
①可以在相同的条件下重复进行； ②每次试验的可能结果不止一个，并且能事先知道实验
所有可能出现的结果或范围；
③每次试验之前无法确定究竟哪种结果会出现。
2、随机事件 随机试验中所有可能出现或不可能出现的事情，称之 为事件。
第二节 概率、频率、重现期
事件按照其发生的可能性大小分为三类：
（1）必然事件。即在一定条件下肯定会发生的事件。 （2）不可能事件。即在一定条件下肯定不会发生的事 件。 （3）随机事件。即在一定的条件情况下有可能发生， 也有可能不发生的事件。
1 3 5 12 23 12 5 3 64
1 4 9 21 44 56 61 64
1.6 + 4.7 7.8 18.7 36 18.7 7.8 4.7 100
1.6 6.3 14.1 32.8 68.8 87.5 95.3 100
1.6 4.7 7.8 18.7 36 18.7 7.8 4.7
23 64
第二节 概率、频率、重现期
三、重现期 1、定义：所谓重现期，是指某随机事件在长期过程中 平均是多少年比现一次，称为“多少年一遇”，用字 母T表示。 2、根据研究问题的性质不同，频率P与重现期T的关系 有两种表示方法 ： （1）在研究暴雨洪水问题时，一般设计频率P＜50％， 则: 1 （年） T
P
m P ( A) n
（3-1）
第二节 概率、频率、重现期
例：箱子里有黄球4个，白球1个，每次摸到白球的概率为 1 / 5
简单随 机事件
… … …
3
5 0
… 2 … 0 … 5
… … …
Байду номын сангаас
2/5
0
1
例：某条河流某断面的流量出现大于等于20m3/s的概率为
复杂随 机事件 不知道
n=？
第二节 概率、频率、重现期
i 1
n
n 1
（3-8）
xi k 式中，ki为模比系数， i 。 x 代入以上公式得
CV甲1 15 15 0.75 CV乙1 0.0075 20 2000
第三节 随机变量及其频率分布
(三)偏差系数Cs（偏态系数） 反映系列中各值在均值两侧分布是否对称或不对称（偏 态）程度的一个参数，计算式为:
1200
年降雨量x(mm)
1000 800 600 400 200 0 0 20 40 60 80
根据表3-3中 ②、⑥栏绘 成，简称频 率曲线。
100 120 累积频率p(%)
图3-2 某站年降水量累积频率分布图
第三节 随机变量及其频率分布
三、随机变量的统计参数 (一)算术平均数 x 表示样本系列的平均情况，反映系列总体水平的高低。
( xi x) 2
i 1 n
n 1
（3-7） 说明该两系 列各值相对 均值的离散 程度相同吗？
代入以上公式得
2 2 2 （10 30） 30 30） 50 30） （ （ 甲 20 3 1
乙
（1 30） 30 30） 59 30） （ （ 29 3 1
第三节
随机变量及其频率分布
教学内容： 一、随机变量 二、随机变量的频率分布 三、随机变量的统计参数 四、抽样误差 教学要求： 了解随机变量及其分类；掌握频率曲线、随机变量统 计参数的含义和计算方法；对抽样误差的定义和计算公 式有一定的了解。
第三节 随机变量及其频率分布
第三节 随机变量及其频率分布
2、连续型随机变量的频率分布
对于连续型随机变量，无法研究个别值的概率，只能研究某
个区间的概率，或是研究随机变量X取值大于或等于某一数值的 概率分布，即P（X≥xi）。有时也研究X的取值小于等于某值的
二 、频率 1、频率计算公式： 设随机事件A在n次随机试验中，实际出现了m次，则
m P( A) n
（3-2）
称为随机事件A在n次试验中出现的频率。
例：随机事件A：某条河流某断面出现大于等于20m3/s的流量。 （1）做随机实验两次，分别测得流量为5.1m3/s、16m3/s。
P ( A) m 0 n
（二）均方差和变差系数 1、均方差 均方差则表示系列中各个值相对于均值的离散程度。 例：甲系列：10、30、50 x甲 x乙 30 乙系列：1、30、59
x1 x2 ... xn 1 n x xi n n i 1
（3-6）
第三节 随机变量及其频率分布
均方差的计算公式为
第二节 概率、频率、重现期
(二)概率 1、定义：概率就是用来描述某一随机事件发生可能性大小的 数量指标。 2、随机事件的概率计算公式
式中 P（A）—在一定条件下随机事件A发生的概率； n —在试验中所有可能出现的结果总数； m—在试验中属于事件A的结果数。 ∵ 0≤m≤n ∴0≤ P（A）≤1 P（A）=0 不可能事件 ； P（A）=1 必然事件
2 2 2
甲 乙
例：甲1系列 5 、20、35 乙1系列
甲 乙 15
1 1
1985、2000、2015
第三节 随机变量及其频率分布
2、变差系数CV（离差系数） 可比较均值不等的系列的离散程度，计算公式为
1 CV x x
( xi x)
i 1
n
2
n 1
(ki 1) 2
第三章
水文统计的基本方法
第一节 概 述
第一节 概 述
教学内容： 一、水文现象的统计规律 二、水文统计及其任务 教学要求： 了解水文现象的统计规律及水文统计的任 务。
第一节 概 述
一、水文现象的统计规律 水文现象是一种自然现象，它具有必然性的一面，也具 有偶然性的一面。偶然现象也称随机现象；偶然现象仍然是 有规律的，一般称为统计规律。 二 、水文统计及其任务 数学中研究随机现象统计规律的学科称为概率论, 而由 随机现象的一部分试验资料去研究总体现象的数字特征和规 律的学科称为数理统计学。概率论与数理统计学应用到水文 分析与计算上则称为水文统计。 水文统计的任务就是研究和分析水文随机现象的统计变化 特性。并以此为基础对水文现象未来可能的长期变化作出在 概率意义下的定量预估，以满足工程规划、设计、施工以及 运营期间的需要。
概率，即P（X≤xi）。后面二者可以相互转换，水文统计中常用
X ≥xi 的概率及其分布。另外，在水文上遇到的都是样本资料， 通常要用样本的频率分布规律去估计总体的概率分布规律，所以
重点研究随机变量X ≥xi的频率分布。
【例3-1 】已知某雨量站1935～1998年共64年的年降水量，如表3-2所示，试分析该样
第三节 随机变量及其频率分布
二、随机变量的频率分布 1、离散型随机变量的概率分布 随机变量各个取值与其概率之间的一一对应关系，称为 随机变量概率分布或分布律。 离散型随机变量X的概率分布可表示为 P（X=xi)=pi( i=1,2…) (3-5) 也可用表格或图来表示。 离散型随机变量及其概率分布表
CS
( xi x)
i 1 3
n
3
(n 3) x CV
3
(ki 1)3
i 1
n
(n 3)CV
序号
年降水量 (组距 ⊿x=100mm ) ②
各组出现次 数 (次)
累积出现次 数 (次)
各组出现频 率 pi(%) ⑤
累积频率 p(%)
4/6 4
①
③
④
⑥
1 2 3 4 5 6 7 8
900~999 800~899 700~799 600~699 500~599 400~499 300~399 200~299 总计
第三章 水文统计的基本方法
第二节 概率、频率、重现期
第二节 概率、频率、重现期
教学内容： 一、概率 二、频率 三、重现期 教学要求： 掌握概率、频率和重现期的概念；掌握频率 和概率的联系和区别；掌握频率和重现期的关系。
第二节 概率、频率、重现期
一 、概率 （一）随机试验与随机事件 1、随机试验
式中：T——重现期，年； P——频率，％。
第二节 概率、频率、重现期
例：P=0.1% P=5% 则 则 T=1000年 T=20年 千年一遇的洪水 二十年一遇的洪水
（2）在研究枯水问题时，一般设计频率P＞50％，则
1 T 1 P
例：P=75% P=80% P=20% 则 则 则 T=4年 T=5年 T=5年 四年一遇的枯水 五年一遇的枯水 五年一遇的洪水
（2）做随机实验三次，分别测得流量为5.1m3/s、16m3/s、21m3/s。
P ( A) m 1 n 3
第二节 概率、频率、重现期
2、频率和概率的区别和联系 区别：概率是抽象数．是个理论值；频率是具体数，是个经验值。 联系：频率随实验次数的增多而逐渐稳定．并趋近于概率。
表3-1 掷币实验出现正面的频率 实验者 蒲丰 （Buffon) 皮尔逊 （K.Pearson) 皮尔逊 （K.Pearson） 掷硬币次数 4040 12000 24000 正面出现的次数 2048 6019 12014 正面出现的频率 0.5069 0.5016 0.5005 频率越 接近概 率0.5
本系列的频率分布规律。 表3-2 某站年降水量
年降水量 年份 年降水量 年份
（单位：mm）
年降水量 年份 年降水量 年份 年降水量
年份
1935 1936 1937
476 486 905
1948 1949 1950
285 528 583
1961 1962 1963
549 702 563
1974 1975 1976
①可以在相同的条件下重复进行； ②每次试验的可能结果不止一个，并且能事先知道实验
所有可能出现的结果或范围；
③每次试验之前无法确定究竟哪种结果会出现。
2、随机事件 随机试验中所有可能出现或不可能出现的事情，称之 为事件。
第二节 概率、频率、重现期
事件按照其发生的可能性大小分为三类：
（1）必然事件。即在一定条件下肯定会发生的事件。 （2）不可能事件。即在一定条件下肯定不会发生的事 件。 （3）随机事件。即在一定的条件情况下有可能发生， 也有可能不发生的事件。
1 3 5 12 23 12 5 3 64
1 4 9 21 44 56 61 64
1.6 + 4.7 7.8 18.7 36 18.7 7.8 4.7 100
1.6 6.3 14.1 32.8 68.8 87.5 95.3 100
1.6 4.7 7.8 18.7 36 18.7 7.8 4.7
23 64
第二节 概率、频率、重现期
三、重现期 1、定义：所谓重现期，是指某随机事件在长期过程中 平均是多少年比现一次，称为“多少年一遇”，用字 母T表示。 2、根据研究问题的性质不同，频率P与重现期T的关系 有两种表示方法 ： （1）在研究暴雨洪水问题时，一般设计频率P＜50％， 则: 1 （年） T
P
m P ( A) n
（3-1）
第二节 概率、频率、重现期
例：箱子里有黄球4个，白球1个，每次摸到白球的概率为 1 / 5
简单随 机事件
… … …
3
5 0
… 2 … 0 … 5
… … …
Байду номын сангаас
2/5
0
1
例：某条河流某断面的流量出现大于等于20m3/s的概率为
复杂随 机事件 不知道
n=？
第二节 概率、频率、重现期
i 1
n
n 1
（3-8）
xi k 式中，ki为模比系数， i 。 x 代入以上公式得
CV甲1 15 15 0.75 CV乙1 0.0075 20 2000
第三节 随机变量及其频率分布
(三)偏差系数Cs（偏态系数） 反映系列中各值在均值两侧分布是否对称或不对称（偏 态）程度的一个参数，计算式为:
1200
年降雨量x(mm)
1000 800 600 400 200 0 0 20 40 60 80
根据表3-3中 ②、⑥栏绘 成，简称频 率曲线。
100 120 累积频率p(%)
图3-2 某站年降水量累积频率分布图
第三节 随机变量及其频率分布
三、随机变量的统计参数 (一)算术平均数 x 表示样本系列的平均情况，反映系列总体水平的高低。
( xi x) 2
i 1 n
n 1
（3-7） 说明该两系 列各值相对 均值的离散 程度相同吗？
代入以上公式得
2 2 2 （10 30） 30 30） 50 30） （ （ 甲 20 3 1
乙
（1 30） 30 30） 59 30） （ （ 29 3 1
第三节
随机变量及其频率分布
教学内容： 一、随机变量 二、随机变量的频率分布 三、随机变量的统计参数 四、抽样误差 教学要求： 了解随机变量及其分类；掌握频率曲线、随机变量统 计参数的含义和计算方法；对抽样误差的定义和计算公 式有一定的了解。
第三节 随机变量及其频率分布