水文统计基本原理与方法

81
35
x
1200
P（X ≥ xi）＝ m / n
1000
800 0 20 40 60 80 100 W（%）
某地年降雨量经验频率曲线
3.3 经验频率曲线与理论频率曲线
一、经验频率及其计算公式 2.经验频率计算公式
如果用P（X≥xi）＝m /n 的经验分布曲线估计总体分布 曲线，存在不合理现象。当m＝ n时，最末项的频率为 100%， 样本末项值为总体中的最小值，不符合事实。 水文上用数学期望公式(维泊尔公式)估计频率： 式中： P 为大于等于 xi 的经验 m P ( X ≥xi ) 100% 频率；m为水文变量从大至小 n 1 排列的序号；n为样本容量。
离散型的——用随机变量的分布序列表示，即 P（X=xi）=Pi （i=1,2, … ,n） 其概率分布满足两个条件：0≤Pi≤1，且， ∑Pi =1 连续型的——用随机变量X大于某值xp的概率p表示，即
F(X) =P(X≥xp)=p
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五、随机变量概率分布
水文学习惯研究事件 X>x 的概率及其分布。
例1. 计算均方差并比较它们的离散程度。 序列1：5，10，15 序列2：1，10，19 例2. 计算变差系数（Cv）并比较它们的离散程度。 序列1：5，10，15 序列2 ：995，1000，1005
答案：1：σ1= 4.08 2：X1=10 σ2=7.35 σ1=4.08 σ2=4.08 Cv1=0.48 Cv2=0.0048
对水文随机变量，设有实测系列值：x1,x2,x3,…,xn，则 1.均值
x1 x 2 x n 1 n x xi n n i 1
意义：为系列值分布的中心，表示对象的平均情况， 即总体水平的高低。 2.均方差
i 1
n 意义：表示分布函数的绝对离散程度。均方差越大， 分布函数越分散，其值变化幅度越大；反之，亦然。
37 81
3.3 经验频率曲线与理论频率曲线
二、经验频率曲线 1.经验频率曲线的绘制： 1）将实测水文数据列表，并由大到小，重新排序；
2）根据经验频率公式计算经验频率； 3）以实测水文变量 xi为纵坐标，经验频率 Pi 为横坐标， 在概率格纸(或普通坐标上)上点绘经验频率点，然后用 目估法过经验频率点群绘制一条光滑的曲线； 4）根据工程设计标准，在曲线上查出所对应的水文变 量值。

(x i x)
n
2
f（x）
σ1
σ2 ＞ σ1
σ2
x
均方差对频率曲线的影响
3.变差系数
1 Cv x x

2 ( x x ) i i 1
n
n

2 ( K 1) i i 1
n
n
xi 式中： K i 为模比系数。 x
意义：表示分布函数的相对离散程度。Cv越大， 分布函数越分散；反之，亦然。
3.1 水文统计基本概念
二、事件与随机变量
2.随机变量
随机事件的每次试验结果可用一个变量 X 的数 值来表示，称为随机变量。可分为离散型的和连 续型的随机变量两类。
水文现象中的随机变量指水文特征值，如流量， 降雨量、水位等。
81 8
连续型随机变量——在一定的概率区间内取得任 何值。 自记水位过程 —— Z(t)～t
81 3
水文统计的基本任务
利用所获得的水文、气象资料，研究和分析随 机水文现象（如河川径流）的统计变化规律，并 以此为基础，对其未来的长期变化作出概率意义 下的定量预估，为水利工程的规划、设计、施工 和运行管理提供水文依据。
譬如：某流域修建一个水库，其规模取决于水库运行 期间 ( 未来 100 年 ) 的径流和洪水的大小。但是，未来 100年的径流和洪水有多大？必须做出估计。
设事件A在ｎ次试验中出现了k次，则称
为事件A的频率。
k W ( A) n
当n→∞时，W(A)稳定并趋于概率值，概率论中和实践已严 格证明。水文上，将计算的频率作为概率的近似值。
81 12
3.1 水文统计基本概念
五、随机变量概率分布
随机变量的取值x与其概率P 的对应关系，称为随机变量
的概率分布。
81 24
3.2 统计参数与抽样误差
一、统计参数 概率分布曲线完整地刻画了随机变量的变化规
律。但随机变量特别是水文随机变量，其概率分
布的确定是十分困难的。实际上，我们有时仅需
要知道它的一些数字特征即统计参数就足够了。
水文水利计算中常用离散特征参数 ( 均值、均方 差、变差系数、偏态系数等)。
81 25
P（X ＞ x）
x = 720mm
函数 f(x)＝－F ’(x) ＝ －dF (x)/ dx为概率密度 函数，简称为密度函数或密度曲线。表示随机变量 落入区间的概率与区间长度之比值。
f（ x）
f（x）dx
dx
x
概率密度函数
F ( x) P( X x) f ( x)dx
x

f （x）
自记雨量过程 —— P(t)～t
离散型随机变量——在一定的概率区间内取得某
些间断值。
年降雨量X={x1}，X={x2} ，… ，X={xn -1}， X={xn}
年径流量W ={W1}，W ={W2}，… ，W ={Wn -1} ，W={Wn}
81 9
3.1 水文统计基本概念
三、总体、个体与样本
将随机变量所能取值的全体称为总体。总体中的
参数
EX
100 50 25 10 100 50
C
V
C
25 10 100 50
S
n
Cv
25
10
0．1
1
1
2
3
7
50
14
22
126
178
252
390
0．3
0．5 0．7 1．0
3
5 7 10
4
7 10 14
6
10 14 20
10
12 22 23
7
8 9 10
10
11 12 14
15
16 17 20
23
25 27 32
第三章
水文统计基本原理与方法
3.1 水文统计基本概念 3.2 统计参数与抽样误差
3.3 经验频率曲线与理论频率曲线 3.4 水文频率计算方法
3.5 相关分析
81 1
3.1 水文统计基本概念
一、水文统计
水文现象是自然现象的一种，在其发生和演
变过程中，包含着必然性的一面，也包着偶然性
的一面。
必然现象是在一定条件下，必然出现或不出
81 6
3.1 水文统计基本概念
二、事件与随机变量
1.事件
事件是指随机试验的结果。 必然事件：如果可以断定某一事件在试验中必然发生， 称此事件必然事件。 不可能事件：可以断定试验中不会发生的事件称为不可 能事件。 随机事件：某种事件在试验结果中可以发生也可以不发 生，这样的事件就称为随机事件。
81 7
51
41 40 42
72
58 56 60
102
82 80 85
162
130 126 134
由表中可见，当n＝100时，CS的误差在40～126%之间。 水文资料一般都很短（n＜100），按矩法公式算得的CS值， 抽样误差太大。
3.3 经验频率曲线与理论频率曲线
一、经验频率及其计算公式 1.经验频率 用根据水文实测系列 ( 样本 ) 计算出来的 频率分布近似代替总体概率分布，这种意义 上的累积频率称为经验(累积)频率。
现的现象。偶然现象是在一定条件下，可能出现 也可能不出现的现象，也称随机现象。
81 2
随机现象所遵循的规律称为统计规律， 研究统计规律的学科称为概率论，而由随机
现象的一部分试验资料去研究全体现象的数
量特征和规律的学科称为数理统计学。
一些水文现象具有一定的随机性，用数
理统计方法来分析研究这些现象称为水文统 计学。
称 F(X) =P(X≥x)
为随机变量的分布函数，代表随机变量大于
等于某一取值的概率。 其几何图形称为随机变量的概率分布曲线， 也称作水文频率曲线或累积频率曲线。见后图 （b）
81 14
81
15
x
1100
某雨量站的年雨量分布曲线
1000
900
800
700
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
（4 1） 2 3 ）年雨量超过 ）年雨量小于 ） P（ （X X＞ x） =800mm 900mm 0.1 的设计值 的概率 xx （ P ≤ x） = 0.1 的设计值 P（XP ≤800） （ ＞ X x ＞ ） 800 = =1 1） －０ = 0.1= .52=0.48 0.9 P （ X ＞ 900 x = ） 995mm = 0.52 0.2
F（xp）＝P（X＞xp）
xp
x
密度函数
x
F（xP）＝P（X>xP）
x
xP
f（ x ）
பைடு நூலகம்
F（xP）
F（x）
概率密度函数与分布函数关系
3.1 水文统计基本概念
六、累积频率与重现期
1.累积频率
可理解为等量值和超量值累积出现的次数 (m)与总观 测次数(n)之比值，以百分数或小数表示。
m P ( X ≥xi ) 100% n
81 4
水文统计的基本方法和内容
根据已有的资料（样本），进行频率计算，
推求指定频率的水文特征值；
研究水文现象之间的统计关系，应用这种关
系延长、插补水文特征值和作水文预报。
81
5
水文统计对水文资料的要求：
1.可靠性 以实测水文数据为资料，一般可直接应用。
2.一致性
指同一系列水文资料属于同一类型、同一条件下产 生的。如：日平均流量和月平均流量。 3.代表性 水文统计分析是利用已知水文资料推求可能水文情 势，资料实测系列越长，代表性越好。
81 32
皮尔逊Ⅲ型分布参数矩法估计的均方误公式：
X

n
2n 1 3 2 cs 4 3 2 CS 2C V C S 4
绝 对 误 差

Cv
Cv 2n
6
2 1 2cv
Cs
n
(1
3 5 2 4 CS CS 2 16
81 33
样本参数的均方误（相对误差，%）
均值出现的机会大
Cs ＞ 0
Cs＝0
Cs ＜ 0
Cs 对密度曲线的影响
3.2 统计参数与抽样误差
二、抽样误差
用一个样本的统计参数来估计总体的统计参数 是存在误差的，称之为抽样误差。这种误差是由 于从总体中随机抽取的样本与总体有差异而引起 的。 样本抽样误差的均方值称为均方误，是衡量抽 样误差的大小的常用指标。
81 21
一般设计频率P<50%
当研究暴雨洪水问题时, P（X＞x）是
暴雨洪水事件发生的频率，其重现期为
1 T P(X x )
例如，当暴雨或洪水频率为1%时，重 现期T＝100年，称此暴雨为百年一遇的暴
雨或洪水。
81 22
一般设计频率P>50%
当研究枯水问题时，P（X≤x）是枯水 频率，而P（X ＞x）称为保证率,其重现期
实际工程规划和设计并不需要知道等于某一特征值的 频率，而需要知道大于或等于某一特征值的频率，此即累 积频率。
81 20
3.1 水文统计基本概念
六、累积频率与重现期
2.重现期 频率比较抽象，为便于理解，常采用重现期。
所谓重现期是指在许多试验中，某一事件重复出现
的时间间隔的平均数。在水文中，重现期用字母 T 表 示，一般以年为单位。 在江河水利工程水文计算中，重现期是频率的倒数。
1 1 T P(X x ) 1 P(X x )
例如，对于P（X ＞x）＝ 80％枯水流量，
重现期T＝5年，称此为五年一遇的枯水流量, 或称为保证率为80％的流量。
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所谓百年一遇的暴雨或洪水，是指
大于或等于这样的暴雨或洪水在长时期
内平均100年发生一次，而不能认为每隔 100年必然遇上一次。
一个单体称作个体。总体是所有个体的集合。从总体
中随机抽取一部分个体称为样本。样本所含个体的数 目称为样本容量(大小)。 水文变量的总体是指自古迄今以至未来的水文系列， 现有的水文观测系列可以当作总体的一个样本。
81 10
3.1 水文统计基本概念
四、概率与频率 1.概率
随机事件 A 在试验结果中可能出现也可能不出现，但其 出现可能性的大小的数量标准就是概率。
X2=1000
4.偏态系数 Cs
3 ( x x ) i i 1
n
n 3

3 ( K 1) i i 1 3 nCv
n
意义：表示分布函数的对称程度。
Cs=0——分布函数对称；随机变量大于均值与小于
均值出现机会相等 Cs>0——分布函数正偏；随机变量大于均值比小于 均值出现的机会小 Cs<0——分布函数负偏；随机变量大于均值比小于
古典概率表达式
k P ( A) n
古典概率满足“随机等可能，独立同分布”。 古典概率通常又叫事前概率，是指当随机事件中各种可能发 生的结果及其出现的次数都可以由演绎或外推法得知，而无 需经过任何统计试验即可计算各种可能发生结果的概率。
81 11
3.1 水文统计基本概念
四、概率与频率 2.频率
水文事件不属古典概型事件，只能通过试验来估算概率。