第三章4水文频率计算方法
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3.水文计算中的数理统计法
方框图
累计频率曲线
某水文站一年的日平均水 位
同理:
概率分布
f (x)
概率密度函数
F (x) P ( X x)
x
f ( x ) dx
x2
P ( x1 X x 2 ) F ( x 2 ) F ( x1 )
f ( x ) dx
x1
§3-3 经验频率曲线
在工程设计中．往往需要知道某一指定频率P
T p
枯水: 它们的频率＞50％，重现期为
T
1 1 p
50 例如频率为2％的洪水流量,其重现期 为 2% ,这就是说等于和大于该值流量的重现期是平均50年 一遇;又例如枯水流量P＝90％，则 1
T
1
T
1 90%
10
这就是说等于和小于该值流量的重现期是平均10年一 遇。以上所说的重现期，一定要在很长的年代里才能 正确。也就是在很长的年代里，出现时间上间隔的平 均年数，不是固定周期。百年一遇的洪水流量并不意 味着每一百年正好出现一次，实际上，也许会出现几 次，也许一次都不会出现，仅是在很长的年代里，平 均100年可能出现一次而已。频率与重现期的关系还 可从表3—l所列的关系加以说明．
三、重现期
指等于和大于(或等于和小于)某水文特征值平均多少 年可能出现一次，所以又称呼它为多少年一遇。频 率与重现期的关系相当于频率与周期的关系。 由于水文特征值并不具备严格的周期循环，重现期 仅是在很长年代里的平均情况，也就是说平均多少 年出现一次，绝不能说，正好多少年一定出现一次。 重现期并非周期，对于洪水和枯水重现期有不同的 表示方法 。 洪水:它们的频率P<50%，重现期T就是频率P的倒 数，即 1
《水文频率计算》课件
计算方法分类
参数法
基于概率分布函数（如正态分布、皮 尔逊分布等）拟合水文数据，通过参 数估计和检验确定分布参数。
非参数法
不假定水文数据的概率分布，而是通 过数据驱动的方法（如核密度估计、 最近邻插值等）对水文数据进行概率 密度估计。
计算步骤与流程
数据收集与整理
收集历史水文数据，并进行数据清洗和整理 ，确保数据质量和完整性。
雨量站
通过雨量站收集降雨数据，包 括降雨量、降雨强度等。
水文站
水文站监测河流、湖泊等水体 的水位、流量、流速等数据。
地下水观测井
观测地下水位和水质数据。
遥感技术
利用卫星遥感技术获取大范围 的水文数据。
数据整理与预处理
01
数据筛选
剔除异常值和不合理数据，确保数 据质量。
数据插值
对缺失数据进行插值处理，以获得 完整的时间序列数据。
水资源管理
02
利用软件对水文数据进行处理和分析，为水资源管理提供科学
依据。
农业灌溉
03
利用软件对农田灌溉用水量进行监测和分析，合理安排灌溉计
划，提高灌溉效率。
THANKS 感谢观看
确定概率分布
根据数据特征选择合适的概率分布函数。
参数估计
利用历史数据估计概率分布函数的参数。
拟合检验
对拟合的分布进行统计检验，确保符合所选概率分 布。
计算频率
根据拟合的分布计算不同重现期（或概率）下的 水文值。
结果应用
将计算结果应用于实际工作，如洪水预警、水资源规划 等。
02 水文数据收集与整理
数据来源与采集
通过比较不同频率曲线，可以分析不同地区或不同时间尺度下水 文数据的统计特征和变化规律，为水资源管理和决策提供依据。
水文频率计算适线法
。
从图中可以看出，正偏情况下，当Cs愈大：
图
(1) 均值（即图中k=1）对应的频率愈小，频率曲线的中部愈向左偏
4 -
(2) 上段愈陡，下段愈平缓
6
-
3
偏
态
系
数
c
s
对
频
率
曲
线
的
影
响
2020/11/12
6
图 偏态系数Cs对频率曲线的影响
2020/11/12
7
2020/11/12
8
[例] 矩法和权函数法统计参数估计结果比较
19
2、是非题 2.1 水文频率计算中配线时，增大Cv可以使频率曲线变陡。
2.2 给经验频率点据选配一条理论频率曲线，目的之一是便于频率曲线的 外延。
2.3 某水文变量频率曲线，当 Cs不变，增加Cv值时，则该线呈反时针方向 转动。
2.4 某水文变量频率曲线， 当 Cv不变，增大Cs值时，则该线两端上抬， 中部下降。
4.6 水文频率计算适线法
内容提要 目估适线法 优化适线法
学习要求 1. 掌握目估适线法的作法和基本步骤 2. 掌握统计参数的变化对频率曲线的影响 3. 了解优化适线法的基本原理和作法
1
适线法(或称配线法)是以经验频率点据为基础, 在一定的适线准则下, 求解 与经验点据拟合最优的理论频率曲线的统计参数，并以此来估计水文要素总 体的统计规律 适线法是我国估计水文频率曲线统计参数的主要方法 适线法主要有两大类, 即目估适线法和优化适线法
-3.2
10.24
-0.007
0.02
11
641.5
-24.9 620.01 -0.057
1.42
20105水文统计频率分布与计算
则可导出：
xN axn l
N a n l
xN 1ja1xj N naj inl1xi
C v1 x N 1 1 ja 1xjx2N n lai n l 1xix2
式中，xj 特大洪水，j＝1，2，…，a；xi 一般洪水i＝ℓ＋1，ℓ
＋2，…，n。 由于Cs属于高阶矩，直接计算的误差较大，故一般参考附近地
1867 1852 1832 1921
1921
1949 1903
1949
1832
1903
N2=141
1935
N1=70
n=33
1972
10
解：据调查从1832～1972年，有调查期N2＝141年
1867年
独立样本法
统一样本法
PM21
1 0.0071 1411
1852年 1832年
PM22
2 0.0141 1411
同独立样本法
PM23
3 0.0 1411
2
1
1
1921年
PM24
14 0.0 411 Nhomakorabea2
82
11
据调查期从1903～1972，有调查期N1＝70年
独立样本法
统一样本法
1921年 已被抽到上面排序
1949年
2
PM12 0.0282(10.028)2
PM12
0.0282 701
21 0.042
7011
其中 ,PMa
a N1
7
Q(m3/s)
a项特大洪水 M=1,2,...,a
实测期内特大洪水，l 项
PM
PMa
... ...
实测一般洪水，n – l 项 m = l + 1, l + 2, ..., n
3.水文计算中的数理统计法
T p
枯水: 它们的频率＞50％，重现期为
T
1 1 p
50 例如频率为2％的洪水流量,其重现期 为 2% ,这就是说等于和大于该值流量的重现期是平均50年 一遇;又例如枯水流量P＝90％，则 1
T
1
T
1 90%
10
这就是说等于和小于该值流量的重现期是平均10年一 遇。以上所说的重现期，一定要在很长的年代里才能 正确。也就是在很长的年代里，出现时间上间隔的平 均年数，不是固定周期。百年一遇的洪水流量并不意 味着每一百年正好出现一次，实际上，也许会出现几 次，也许一次都不会出现，仅是在很长的年代里，平 均100年可能出现一次而已。频率与重现期的关系还 可从表3—l所列的关系加以说明．
当事件A在一系列重复的独立试验中,出现次数m与试 验总次数n之比值，在水文现象中称之为该事件A在 这一系列试验中出现的频率。设以n代表试验的总次 数，m代表事件A出现的次数，则事件A出现的频率 m P ( A) 为 n 与机率计算公式(3.1) 完全相同，意义上有所不同。 区别: 机率是随机事件在客观上实际出现的可能程度，是 事件固有的客观性质，不随人们试验的情况和次数 而变动，是一个常数,是理论值； 频率是利用有限的试验结果推求出的一个经验值， 将随试验次数的多少而变动，当试验次数达到无限 多时，才能稳定到一个常数即等于理论值—机率。
解：根据上述资料情况．可按三个连序系列来计算。 甲、1935—1972年(32)中．由于与洪水大小天关的原因而 缺测的除外，余下的33年资料可看作一个随机样本，系列 各项按大小排位后，各项经验频率按公式(3－6)估算。n＝ m m P 32，m＝1、2、……33。 33 1 34 乙、1903～1972年(70)系列．只有为首的1921，1949， 1903年三次洪水，按公式（3－9）估算．N＝70, M M P M=1、2、3。 70 1 71 丙、1832～1972年(141)系列，只计算为首的1867、1932、 1921年三次洪水，按公式(3－9)估算．N=141,
枯水: 它们的频率＞50％，重现期为
T
1 1 p
50 例如频率为2％的洪水流量,其重现期 为 2% ,这就是说等于和大于该值流量的重现期是平均50年 一遇;又例如枯水流量P＝90％，则 1
T
1
T
1 90%
10
这就是说等于和小于该值流量的重现期是平均10年一 遇。以上所说的重现期，一定要在很长的年代里才能 正确。也就是在很长的年代里，出现时间上间隔的平 均年数，不是固定周期。百年一遇的洪水流量并不意 味着每一百年正好出现一次，实际上，也许会出现几 次，也许一次都不会出现，仅是在很长的年代里，平 均100年可能出现一次而已。频率与重现期的关系还 可从表3—l所列的关系加以说明．
当事件A在一系列重复的独立试验中,出现次数m与试 验总次数n之比值，在水文现象中称之为该事件A在 这一系列试验中出现的频率。设以n代表试验的总次 数，m代表事件A出现的次数，则事件A出现的频率 m P ( A) 为 n 与机率计算公式(3.1) 完全相同，意义上有所不同。 区别: 机率是随机事件在客观上实际出现的可能程度，是 事件固有的客观性质，不随人们试验的情况和次数 而变动，是一个常数,是理论值； 频率是利用有限的试验结果推求出的一个经验值， 将随试验次数的多少而变动，当试验次数达到无限 多时，才能稳定到一个常数即等于理论值—机率。
解：根据上述资料情况．可按三个连序系列来计算。 甲、1935—1972年(32)中．由于与洪水大小天关的原因而 缺测的除外，余下的33年资料可看作一个随机样本，系列 各项按大小排位后，各项经验频率按公式(3－6)估算。n＝ m m P 32，m＝1、2、……33。 33 1 34 乙、1903～1972年(70)系列．只有为首的1921，1949， 1903年三次洪水，按公式（3－9）估算．N＝70, M M P M=1、2、3。 70 1 71 丙、1832～1972年(141)系列，只计算为首的1867、1932、 1921年三次洪水，按公式(3－9)估算．N=141,
洪水频率计算(规范方法)
附录A 洪水频率计算A1 洪水频率曲线统计参数的估计和确定A1.1 参数估计法A1。
1。
1 矩法。
对于n 年连序系列,可采用下列公式计算各统计参数: 均值∑==ni i X n X 11 （A1）均方差 ∑=--=ni i X X n S 12)(11或 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑∑==n i n i i i X n X n S 1212)(111 （A2) 变差系数XSC v =（A3)偏态系数3313)2)(1()(vni i s C X n n X X n C ---=∑=或3313112132)2)(1()(23vn i ni i ni i ni i i s CX n n n X X X n X n C --+⋅-=∑∑∑∑==== （A4）式中 X i ——系列变量(i=1,…，n)； n ——系列项数。
对于不连序系列，其统计参数的计算与连序系列的计算公式有所不同.如果在迄今的N 年中已查明有a 个特大洪水(其中有l 个发生在n 年实测或插补系列中）,假定（n-l ）年系列的均值和均方差与除去特大洪水后的（N-a ）年系列的相等，即l n a n l n a N S S X X ----==,,可推导出统计参数的计算公式如下：)(111∑∑+==--+=nl i i a j j X l n a N X N X （A5）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+--=∑∑++==n l i i a j jv X X l n a N X X N XC 1212)()(111 （A6）331313)2)(1()()(vn l i ia j j s C X N N X X l n a N X X N C --⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=∑∑+== (A7) 式中 X j ——特大洪水变量（j=1,…，a)；X i ——实测洪水变量(i=l +1，…,n ）。
A1.1.2 概率权重矩法.概率权重矩定义为⎰=10)(dF x xF M j j j=0，1，2,… （A8）皮尔逊Ⅲ型频率曲线的三个统计参数不能用概率权重矩的显式表达。
水文统计介绍
P-III型曲线的特点： 一端有限另一端无限的不对称单峰正偏曲线
f(x)
皮尔逊Ⅲ 型概率密度曲线
a0 M0(x)
Me(x)
xP
P f ( x)dx
xP
x
在水文计算中，一般要求出指定概率P所相应的随
机变量的取值xP，即求出的 xP满足下列等式：
P
P( X
xP )
xP
(
)
(
x
a0
)
1
e
(
x
因此，由给定的CS 及P，从P-III型曲线离均系数 值表，查出P ，再由下式求：
xP (PCV 1)x
xP即为指定概率 P 所相应的随机变量的取值。这是 水文统计分析中要求计算的一个量
如求频率P=1/100（水文学常称为百年一遇）时的径 流量QP=0.01。
【算例】
已知: 某地年平均降雨量 x =1000 mm, CV =0.5, CS =1.0,若年降雨量符合P - III型分布 试求：P=1% 的年降雨量。
其反映年降雨量(Xx)的经验频率P(Xx)和x的关系。随
着样本容量n的增加，频率P就非常接近于概率，而该经 验分布曲线就非常接近于总体的分布曲线。
三、理论曲线线型
1．正态分布
x
式中， x ：均值（平均数）；
：均方差（标准差）。 许多随机变量如水文测量误差、抽样误差 等一般服从正态分布。
正态分布曲线的特点：
料中出现大于或等于某一值 x 的次数。
注意：样本的每一项的经验频率用公式P=m/n进
行计算，当m=n时，P=100%，说明样本的最末项 为总体的最小值，这是不合理的。故必须进行修 正，常采用下面的公式进行计算：
经验频率的计算公式： P m n1
水文频率计算上机
示例：水文频率计算中采用的海森机率格纸是一种特殊的坐标系统,其纵坐标为均匀分格的常规数学坐标,横坐标与频率值(下侧概率)的标准正态分布分位数有关。
由于标准正态分布分位数在P=50%处为零,而海森机率格纸在P=0.01%时的横坐标值为零,因此海森机率格纸横坐标值计算公式可表示为:LP=-U0.01%+UP式中,LP为海森机率格纸中频率P对应的横坐标值;UP为频率P对应的标准正态分布分位数;U0.01%为频率P=0.01%对应的标准正态分布分位数。
标准正态分布分位数可以用Excel软件中的内置函数NORMSINV(P)直接计算,结果的精度可达到±3×10-7。
函数NORMSINV为返回累积标准正态分布对应的自变量,该函数的详细说明和用法可参考Excel软件的帮助。
一、海森机率格纸纵向网格线的绘制海森机率格纸的横向网格线为均匀分布,可直接由Excel软件的图表功能自动生成,而纵向网格线不能直接由Excel软件的图表功能自动生成,因为海森机率格纸要求的纵向网格线是不均匀的。
纵向网格线的绘制可以通过向图表中添加一个系列的XY散点图来完成,下面以某站流量频率计算用海森机率格纸的绘制为例进行介绍,具体方法如下:1、设置纵坐标的最大值与最小值(如图1所示)新建Excel工作簿,将工作表“Sheet3”重命名为“流量机率格纸数据点”。
在本工作表D2单元格中输入“1800”,设置纵坐标最大值为1800,在D3单元格中输入“0”,设置纵坐标最小值为0。
注意:针对不同的研究对象,应选择合适的纵坐标最大值。
2、计算海森机率格纸中频率P对应的横坐标值LP(如图1所示)图1(1)在“流量机率格纸数据点”工作表A6、A7单元格中分别输入“0.01”,在A8、A9单元格中分别输入“0.02”……,依此类推,在A列后续单元格中输入海森机率格纸纵向网格线对应的频率值,直至最后在A234、A235单元格中分别输入“99.99”。
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Kp
(Kp -1)
(Kp -1)2
P = m / (n+1)
(%)
理论频率曲线计算表
项 P%
Cv/Cs
目 Xp= x (1+Cvφp)
0.01
0.1 1 5 10 … 95 99 99.9
1 2 3
p
Xp=x (1+Cvφp)
p
Xp= (1+Cvφp)
x
p
例题
【例题3.3—目估适线法】
求：最大洪峰流量Q1% = ？
(3-28)
End
（3-22）
参数计算公式
1 x3 3 x1 x 1 3
x1 x3 Cv 1 x3 3 x1
（3-23）
（3-24）
x1 x3 2 x2 1 3 2 2 =S 偏度系数 x1 x3 1 3 （3-25）
S f (Cs , P)
S表
附录C P-III曲线三点法 S 与 Cs 关系表
P368
P = 5 ~ 50 ~ 95%
S 0 0.1 0 0 0.364 1 2 3 4 … … 5 6 7 8 0.29 0.65 9 0.327 0.687 … … … … … … … … … … … …
0.2 0.3
0.4 0.5
0.723 …
2.101
1.635 1.529
1.101
0.635 0.53
1.2119
0.4032 0.2803
1.353
1.336 1.116
0.354
0.336 0.116
0.1251
0.1129 0.0135
1.108
1.063 1.055
0.108
0.064 0.055
0.0115
0.0040 0.0030
p
m 100% n 1
(8)
1
27500
3.704
1966
1967 1968
10900
15400 10500
1969
1970 1971
18600
11400 9800
1972
1973 1974
27500
7620 23900
1975
12100
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
23900 18600 17400 15400 15200 12700 12600 12100 12000 11400
… …
… … … … … …
… … … … … …
… 1.217
… …
… … … … … …
… … … … … …
1.01 …
… …
1.042 …
… …
0.6
0.7 0.8 0.9
2.133
2.529 3.009 3.714
… … …
… … … … … … … … …
…
… … …
… … …
… … … … … … … … …
1.002
0.002
4.4E-06
7.407 11.11 14.81 18.52 22.22 25.93 29.63 33.33 37.04 40.74
1976
1977 1978 1979 1980
12700
12000 17400 8830 12600
12
13 14 15 16
10900
10500 10500 9800 9800
1
1. 目估适线法
绘制经验累积频率点据
确定样本统计参数的初值 选定线型, 绘制理论曲线 适线，调参 推求设计频率对应的设计值 误差计算
步骤— 表格
√ 实际计算水文频率时，通过制表完成上述的步骤 。
经验频率及统计参数计算表 m (序号/频数) X (实测值) 递 减 排 序 合计 n 0.00
理论线 表
三点法
Cv
(K
i
1)
2
3. 三点法 目估一条与经验频率点据呈最佳的配合线（理论线） 线上选定三点，则有：
x1 x (1 C v 1 ) x 2 x (1 C v 2 ) x x (1 C ) v 3 3
三点的取法： 或 或 或 1～50～99% 3～50～97% 5～50～95% 10～50～90%
Q50% Q95% 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 95 频率P(％) 99
优化法
2. 优化适线法
最小二乘估计法：
S ( ) {[ xi f ( Pi , )]2 }
i 1
n
(3-26)
ˆ) min S ( ) S (
(3-27)
S 0
1986
1987 1988 1989 1990 总计
6770
6010 5800 8500 5100 295780
22
23 24 25 26 —
6010
5800 5100 4830 4080 295780
0.528
0.510 0.448 0.424 0.358
-0.47
-0.49 -0.55 -0.58 -0.64
0.958
0.923 0.923 0.861 0.861
-0.04
-0.08 -0.08 -0.14 -0.14
0.0017
0.0059 0.0059 0.0192 0.0192
44.44
48.15 51.85 55.56 59.26
1981
1982 1983 1984 1985
4080
10500 15200 4830 7940
Q1% = 31114 m3/s
Q1% = 30450 m3/s
（经验法初估参数 ）
（三点法初估参数）
计算表 题 P66
年份 (1) 1965
最大流量
Q(m3/s) (2) 9800
序号 m (3)
递减排序
模比系数
Q(m3/s) (4)
Ki (5) 2.417
Ki－1 (6) 1.417
(Ki－1)2 (7) 2.0088
17
18 19 20 21
8830
8500 7940 7620 6770
ห้องสมุดไป่ตู้
0.776
0.747 0.698 0.669 0.595
-0.22
-0.25 -0.3 -0.33 -0.4
0.0501
0.0639 0.0912 0.1090 0.1639
62.96
66.67 70.37 74.07 77.78
…
… … …
…
… … …
求参步骤
√ 三点法估求参数步骤：
① 据(3-25)式左端计算得S值，且已知P1,P2,P3,查
附录C,求得参数Cs； ② 据Cs查附录B,得φ
p1、φ p2，代入(3-23)、
(3-24)式,求得 x , Cv , C 。s
适线法
二. 适线法
以经验频率点数据为基础，给它选配一条拟合最 佳的频率曲线[理论曲线]。 1 目估适线法 2 优化适线法
1 n x xi n i 1 n 1 3 Cs初值： ( K 1 ) i Cs 3 Cs = 3.5 Cv 设计暴雨量 (n 3)C v 设计最大流量 Cv < 0.5， Cs = (3~4)Cv
Cv >0.5， Cs = (2~3)Cv 设计年径流量及年降水量 Cs = 2Cv
一. 统计参数初估方法
1 2 3
4 5
矩法 经验关系法 三点法
权函数法 概率权重矩法
矩法
1.矩法 依据实测系列计算三个统计参数： x , Cv , C s
1 x n Cv Cs
x
i 1
n
i
n 1 3 ( K i 1) ( n 3)C v
3
(K
i
1)
2
经验法
2. 经验关系法
0.2225
0.2402 0.3043 0.3311 0.4113 6.2145
81.48
85.19 88.89 92.59 96.3 —
图
26.00
0.00
28000
经验点
（m 3/s) 年最大洪峰流量Q
24000 20000 16000 12000 8000 4000 0.1 1
Q5%
矩法配线 经验法 三点法配线