上海市松江区2020届高三数学上学期期末质量监控试题(含解析)

上海市松江区2018届高三期末质量监控（一模）
数学试卷
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1.设集合，，则________
【答案】
【解析】
【分析】
化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．
【详解】集合A={x|x＞1}，B={x|x（x﹣3）＜0}={x|0＜x＜3}，
∴则A∩B={x|1＜x＜3}．
故答案为．
【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、分式不等式求解等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.若复数满足，则________
【答案】1
【解析】
因为，所以，所以.
3.已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，且点在函数
的图像上，则实数________
【答案】2
【解析】
【分析】
由题意可知函数y=f（x）与函数y=a x（a＞0且a≠1）互为反函数，求出y=a x的反函数，再将（4，2）代入可得答案．
【详解】∵函数y=f（x）的图象与函数y=a x（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，
∴函数y=f（x）与函数y=a x（a＞0且a≠1）互为反函数，
由y=a x（a＞0且a≠1），得x=log a y，
则f（x）=log a x，
∵点P（4，2）在函数y=f（x）的图象上
由f（4）=2，得log a4=2，
解得：a=2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了反函数的求法，考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，是基础题.
4.等差数列{a n}的前10项和为30，则________
【答案】12
【解析】
【分析】
利用等差数列的前n项和公式即可得到a1+a10=6．由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7，进而可得答案．
【详解】∵等差数列{a n}的前10项和为30，∴，解得a1+a10=6．
由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7，
∴a1+a4+a7+a10=2（a1+a10）=2×6=12．
∴a1+a4+a7+a10=12．
故答案为12．
【点睛】熟练掌握等差数列的前n项和公式、等差数列的性质是解题的关键．
5.若增广矩阵为的线性方程组无解，则实数的值为________
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据增广矩阵是，该方程组无解，可得且，从而可求实数m的值．
【详解】∵增广矩阵是，该方程组无解，
∴且，
∴m2﹣1=0且2m﹣m（m+1）≠0，
∴m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查增广矩阵中的运算．考查行列式，解答的关键是二元线性方程组的增广矩阵的意义．
6.双曲线的焦点到它的渐近线的距离为_________________；
【答案】1
【解析】
试题分析：由双曲线方程可知，则，即，所以焦点为
，渐近线为。

所以焦点到渐近线的距离为。

考点：1双曲线的基本性质；2点到线的距离。

7.平面向量，，满足，，，则向量与夹角为__________．
【答案】
【解析】
设向量与夹角为.
.
解得，所以.
故答案为为：.
8.在中,内角所对应的边分别为，若，，则的面积为_________.
【答案】
【解析】
分析：由，，利用余弦定理可得，结合三角形的面积公式进行求解即
可.
详解：因为，，
所以由余弦定理得：
，即，
因此的面积为，
故答案为.
点睛：本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
9.若，则图像上关于原点对称的点共有________对
【答案】4
【解析】
【分析】
要求函数图象上关于坐标原点对称，则有f（﹣x）=﹣f（x），转化为方程根的个数，再用数形结合法求解．
【详解】当x0时，函数f（x）=，又因为f（x）=为奇函数，
关于原点对称的图象仍为y=sin x，x＞0，
由题意图像上关于原点对称的点的个数转化为y=sinx与y=在上的交点个数问题，
作出函数的图象如图：
当x=11时，y==1，而y=sin3π=0，
由图象可知两个图象的交点有4个，
故答案为：4．
【点睛】本题主要通过分段函
数来考查函数奇偶性的应用，同时还考查了作图和数形结合的能力．
10.已知、、是单位圆上三个互不相同的点，若，则的最小值是________
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得，点A在BC的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点A（0，1），
点B（x1，y1），则点C（﹣x1，y1），1，且﹣1≤y1＜1．根据22y1，再利用二次函数的性质求得它的最小值．
【详解】由题意可得，点A在BC的垂直平分线上，以单位圆
的圆心为原点建立如图坐标系，则单位圆的圆心为O（0，0），
点A（0，1），点B（x1，y1），则点C（﹣x1，y1），
﹣1≤y1＜1．
∴（x1，y1﹣1），（﹣x1，y1﹣1），1．
∴2y1+1=﹣（1）2y1+1
=22y1，
∴当y1时，取得最小值为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查两个向量的数量积公式，考查了
二次函数的性质与最值，属于中档题．
11.已知向量，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当
时，则称有序实数对为点的广义坐标，若点、的广义坐标分别为、
，对于下列命题：
① 线段、的中点的广义坐标为；
② A、两点间的距离为；
③ 向量平行于向量的充要条件是；
④ 向量垂直于向量的充要条件是.
其中的真命题是________（请写出所有真命题的序号）
【答案】①③
【解析】
【分析】
根据点、的广义坐标分别为、，，，利用向量的运算公式分别计算①②③④，得出结论.
【详解】点、的广义坐标分别为、，，，
对于①，线段、的中点设为M，根据=（）=
中点的广义坐标为,故①正确.
对于②，∵（x2﹣x1），
A、两点间的距离为，
故②不一定正确.
对于③，向量平行于向量，则，即（）=t,，故③正确.
对于④，向量垂直于向量，则=0，，故④不一定正确.
故答案为①③.
【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.已知函数的定义域为，且和对任意的都成立，若当
时，的值域为，则当时，函数的值域为________
【答案】
【解析】
【分析】
由条件可知，可得，通过换元令，得到，得到时，
，从而得到当时，的值域为，再根据递推关系推出当时的
值域及时的值域，依此类推可知，当时，的值域为，从而求得当时，的值域，再根据，求得时的值域，取并集即可. 【详解】解：令，则有，即
当时，，又，∴
即当时，的值域为
∴当时，的值域为，
，
∴当时，的值域为，时，的值域为，。