多元数量值函数积分的概念和性质

(3) 如果()是一条平面(或空间)的曲线弧段(C ), 那么 f 就是定义在弧段(C )上的二元(或三元)函数, k 就是子弧段的弧长, 于是
V
n
C
f k , k s k f x, y ds lim d 0 k 1
n
n 或 f x, y, z ds lim f k , k , k s k d 0 k 1 C 称为 f 在曲线段(C )上对弧长的曲线积分 , 也称为第
设有一平面薄板在oxy 平面上占有区域 D，其面密度 为 D 上的连续函数 ( x, y ) ，求该平面薄板的质量 m.
y
均匀薄板的质量
面密度 面积
D
o
如何求非均匀薄板的质量呢?
x
（1）分割
将区域 D (即薄板)任意分成 n 个子域： D1 , D 2 , , D n ， 并以 i 表示 D i ( i 1, 2,, n) 的面积.
z
z f ( x, y)
o
x
D
y
平顶柱体的体积计算 体积 = 底面积×高
法
（1）分割 将 区域 D 任意分成 n 个子域： D1 , D2 , , Dn . 并 以 i 表示 Di ( i 1, 2,, n) 的面积. 以每个子域的边界 曲线为准线，作母线平行于 z 轴的柱面，这些柱面把原曲 顶柱体 分成 n 个小曲顶柱体 1 , 2 , , n .
y
（2）近似
( i , i ) D i ( i 1, 2,, n) ，
( i , i )
Di
第 i 块小薄板的质量
m i ( i , i ) i .
D
o
x
（3）求和
整个薄板质量的近似值
m m i ( i , i ) i
D D1 D2
，则 性质 4 若在 D 上 f ( x, y ) 1 ， 且 D 的面积为
d .
D
性质 5 若在 D 上 f ( x, y) g( x, y) ，则
f ( x, y)d g( x, y)d .
D D
推论：
f ( x , y )d
i 1 n
f ( i ,
i ) i .若当各小闭区域 Di 的最大直径 0
时，和式的极限存在，则称此极限为 f ( x , y ) 在闭区域 D 上的二重积分，记作
f ( x, y )d ，即
D
n i 1
f ( i , i ) i f ( x, y)d lim 0
体积的近似值，即 V Vi f ( i , i ) i .
i 1 i 1 n n
（4）取极限
的体积 } ，则曲顶柱体 设 m ax{Di的 直 径
1 i n
V lim f ( i , i ) i .
0 i 1
n
2.平面薄板的质量
一型曲线积分 , 其中(C )称为积分路径.
(4) 如果()为一片曲面( S ), 那么 f 就是定义在( S ) f k , k , k S k f x, y, z dS lim d 0 k 1
n
上的三元函数, k 就是子曲面的面积S k , 于是
S
D D
例 1. 根据定积分的几何意义 求积分的值 :

D
a 2 x 2 y 2 d , D {( x, y ) x 2 y 2 a 2 }.
解:积分区域为圆域 D {( x, y ) x 2 y 2 a 2 }.
被积函数 z a 2 x 2 y 2 表示上半球面,
所以 1 e e
0
x2 y2
e
a2
.
x2 y2
由积分中值定理知 e
D
d e
a2
,
即 ab e
D
x2 y2
d abe .
a2
作
业
习 题 6.1（P.50）
1（1）；
2（1），（4）.
当被积函数大于零时 , 二重积分表示曲顶柱体 的体积 .
当被积函数小于零时 ,二 重 积 分 表 示 曲 顶 柱的 体体 积 的负值 .
在直角坐标系下用平行 于坐标轴的直线网来分 划 区 域 D.
y
D
则面积元素为 d dxdy ,
o
x
故二重积分可写为
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy.

f k , k k f x, y d f M d lim d 0 k 1

n
称为 f 在区域( )上的二重积分, 其中 k , k 是点M k 的直角坐标, ( )是二重积分的积分域, d 称为面积 微元.
(2) 如果()是三维空间的闭区域(V ), 那么 f 就是 定义在(V )上的三元函数, k 就是子区域的体积Vk , 于是 f k , k , k Vk f x, y, z dV lim d 0 k 1 称为 f 在区域(V )上的三重积分, 其中 k , k , k 为点 M k的直角坐标, (V )是三重积分的积分域, dV 称为体 积微元.
f M k k .
k 1
n
如果不论()怎样划分, 点M k 在( k )中怎样选取,
当所有( k )的直径的最大值d 0时上述和式都趋于 元函数 f 在 ( )上的积分. 在不致混淆的情况下,也简称 为函数 f 在 ( )上的积分. 记作
同一常数, 那末, 称函数 f 在()上可积. 且称此常数为多

f M d g M d


(2)

f M d f d
l
(3) 若 l f M L, M , 则
4.中值定理 设 f C , 则在()上至少存在一

f M d L
其中()称为积分域, f 称为被积函数, f d称为被 积式或积分微元.
(1) 如果()是 xOy 平面上的区域( ), 那么 f 就是

f M k k f M d lim d 0 k 1
n
定义在( )上的二元函数, k 就是子区域的面积 k , 于是
f ( x , y )d
D
f ( , ) .
例 2．估计二重积分 I e
D
x2 y2
d 的值，其中
x2 y2 D ( x , y ) 1(0 b a ). 2 2 a b
解：区域D 的面积 πab ，因为0 x 2 y 2 a 2 ，
i 1 i 1 n n
（4）取极限
设 max { Di 的 直 径} ，则整个薄板的质量
1 i n
m lim ( i , i ) i .
0 i 1
n
9.1.2 二重积分的概念
定义 设 f ( x , y ) 是有界闭区域 D R 2 上的有界 函数.将 D 任意分成 n 个小闭区域： Di (i 1, 2,, n) ， 并以 i 表示 Di 的面积. ( i , i ) Di ，作和式
（2）近似
( i , i ) Di ( i 1, 2,, n) ， i 的体积 Vi f ( i , i ) i ( i 1, 2,, n) .
z
o
x
D

y
( i ,i )
Di
Vi f ( i , i ) i
（3）求和 将 n 个小平顶柱体的体积相加，得到原曲顶柱体
D D
f ( x , y ) d .
性质 6 若 M 和 m 分别为 f ( x , y ) 在有界闭区域 D 上的
最大值和最小值， 为 D 的面积，则
m
f ( x, y)d M .
D
性质 7 （二重积分中值定理）
设 f ( x, y) 在 有 界 闭 区 域 D 上连续 , 记 为 D的面积 , 则在D 上至少存在一点 ( , ), 使 得
[ f ( x, y) g( x, y)]d f ( x, y)d g( x, y)d .
D D D
性质 3 若 D1 D2 D ，且 D1 与 D2 无公共内点 ，则
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
由二重积分的定义，曲顶柱体的体积就是柱体的 高 f ( x , y ) 0 在底面区域 D 上的二重积分，即
V
f ( x, y)d .
D
非均匀分布的平面薄板的质量，就是它的面密度
( x , y ) 在薄板所占有的区域 D 上的二重积分，即
m
( x, y)d .
D
二重积分的几何意义
称为 f 在曲面( S )上对面积的曲面积分 , 也称为第一型 曲面积分.
1.3 积分存在的条件和性质
1.线性性质
(1) (2)

kf M d k f M d,

k为一常数


f M g M d f M d g M d
z
由定积分的几何意义知

D
1 4 3 a x y d πa 2 3
2 2 2
2 3 πa . 3
O
y
x
9.1.2 二重积分的性质
性质 1 kf ( x, y )d 重积分都存在 k f ( x, y )d .（k 为常数）. 假设以下所涉及到的二
D D
性质 2
D

D