江西省赣州市石城中学2019-2020学年高一下学期第一次周考数学试卷word版

数学试题一、选择题（本大题共12小题，5分/题，共60分）1．在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55，…中，x 应取( )A ．19B ．20C ．21D ．22答案C 解析a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，∴归纳得a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，∴x ＝8＋13＝21.2．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且336,0S a ==，则公差d 等于（ ）（A ）1- （B ）1 （C ）2- （D ）2 【解析】∵30a =，即120a d +=，∴12a d =-，∴3123110S a a a a a d =++=+++＝12436a d d d d +=-+=-=，∴2d =-．【答案】C3．已知等比数列{}n a ，它的前3项为1,2,4，前n 项和为n S ，则使得127n S =的n 的值是（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【解析】由题意可知等比数列{}n a 的首项为1，公比为2127n S =，则21127n -=，则n=7.【答案】A4．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．64答案A 解析a 1＝S 1＝1，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n≥2)．a 8＝2×8－1＝15。

5．等差数列{}n a 中的a 4，a 2 018是3x 2－12x ＋4＝0的两根，则10112log a ＝( ) A.12 B ．1 C ．－1 D ．－12答案 B 解析因为a 4和a 2 018是3x 2－12x ＋4＝0的两根，所以a 4＋a 2 018＝4.又a 4，a 1 011，a 2 018成等差数列，所以2a 1 011＝a 4＋a 2 008，即a 1 011＝2，所以10112log a ＝1，故选B.6．等差数列{}n a 中，已知11312,0a S =-=，使得0n a <的最大正整数n 为（ ）A.6B.7C.8D.9【解析】由，设公差为d ，则有7161260a a d d =+=-+=，解得2d =，所以122(1)214n a n n =-+-=-，由21407n a n n =-<⇒<，故0n a <的最大正整数为6，选A.【答案】A7．已知等比数列{}n a 中，1234532a a a a a =，且118a =，则7a 的值为（ ）A. 4B. －4C. ±4，故32a =，又811=a ，∴11327a a a ⋅=，解得47=a (负值舍去，因为753,,a a a 同号)．【答案】A8．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”意思是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎儿五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少．若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为( )A ．200B ．300 C.5003 D ．400 答案 B 解析 由题意可知五人分得的鹿肉斤数成等差数列，记为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝500.由等差数列的性质可得5a 3＝500，即a 3＝100，所以a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝300.9．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 2 017等于( )A ．2 017×2 018B ．2 016×2 017C ．2 015×2 016D ．2 017×2 017 答案 B 解析 累加法易知选B.10．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若65911a a =，则119S S ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．12 【答案】A11．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＝12a n －1＋1(n≥2)，则a n ＝( ) A ．2－(12)n －1 B ．(12)n －1－2 C ．2－2n －1 D ．2n －1 答案 A 解析 设a n ＋c ＝12(a n －1＋c)，易得c ＝－2，所以a n －2＝(a 1－2)(12)n －1＝－(12)n －1，所以选A.12．已知(1)log (2)n n a n +=+*()n N ∈．我们把使乘积123n a a a a •••L 为整数的数n 叫做“优数”，则在区间(1,2004)内的所有优数的和为( )A ．1024B ．2003C ．2026D ．2048 【解析】∵23log 3log 42⨯=为整数，此时2n =，234567log 3log 4log 5log 6log 7log 83⨯⨯⨯⨯⨯=为整数，此时6n =，以此类推：在区间(1,2004)内的所有优数为2,6,14,30,…1022， ∴通项公式为122n b b +=-， ∴231026141022(22)(22)+(22)2026++++=-+-+-=L L .【答案】C二、填空题（本大题共4小题，5分/题，共20分）13．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和， 且6531=++a a a ，则=5S ．【解析】因为数列{}n a 是等差数列，所以又，所以，336a = 解得：32a =，【答案】10 14．等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则该数列的前10项之和是__________.【答案】100【解析】依题意可得2215a a a =，即2(1)14d d +=+，解得2d =。

所以15．已知数列{}n a 中，12a =，点1(,)(1n n a a n ->且)n N ∈满足21y x =-，则1210a a a +++=L .【解析】依题意有121(2)n n a a n -=-≥，则展开整理得12n n a a x -=-，对比121(2)n n a a n -=-≥可得1x =，即，而11211a -=-=，所以，故112n n a --=，即121n n a -=+，答案】103316．某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、n 级分形图．则n 级分形图的周长为__________．【答案】1343-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n 【解析】试题分析：这类问题关键是寻找规律，根据分形图的形成规律可知，从n 级分形图得到1n +级分形图时，实际上是每条边三等分后去掉中间一段，然后增加两段，长度变为原来的43，那么周长也变为原来的43，即记n 级分形图的周长为n a ，则有143n n a a +=，13a =，因此143()3n n a -=⋅． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本题满分10分）已知在等差数列{}n a 中，5,1152==a a .（1）求通项公式n a ； （2）求前n 项和n S 的最大值。

解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧=+=+541111d a d a 解得⎩⎨⎧-==2131d a 152)2()1(13)1(1+-=-⋅-+=-+=∴n n d n a a n（2）49)7(14)2(2)1(1322+--=+-=-⋅-+=n n n n n n S n 当7=n 时，n S 有最大值，为497=S18．（本题满分12分）设{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，已知121n n a S +=+.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n H ．【答案】（1）13n n a -=；（2）211=344n n n H -⨯+ 图（1） 图（2） 图（3） ……【解析】（1）121n n a S +=+，-121,(2)n n a S n =+≥， ∴112()2,(2)n n n n n a a S S a n +--=-=≥，∴13,(2)n n a a n +=≥，∴3q =， 对于121n n a S +=+令1,n =可得211213a a a =+=，解得11a =，∴13n n a -=． （2）13n n na n -=⋅，21123333n n H n -=+⋅+⋅++⋅L ①，233323333n n H n =+⋅+⋅++⋅L ② ，①- 19．（本题满分12分）数列{}n a 是递增的等差数列，且661-=+a a ，843=⋅a a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值；（3的前n 项和n T ．【解析】：（1） 由⎩⎨⎧=⋅-=+864361a a a a ⎩⎨⎧=⋅-=+⇒864343a a a a ，得3a 、4a 是方程0862=++x x 的二个根，Θ21-=x ，42-=x ，此等差数列为递增数列，∴43-=a ，24-=a ，公差2=d ，81-=a ．102-=∴n a n（2 ∴20)(54min -===S S S n （3）由0≥n a 得0102≥-n ，解得5≥n ，此数列前四项为负的，第五项为0，从第六项开始为正的．当51≤≤n 且*∈N n 时，当6≥n 且*∈N n 时，4092+-=n n ．⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤+-=∴)6(,409)51(,922n n n n n n T n 20．（本题满分12分）大学生自主创业已成为当代潮流。

长江学院大三学生夏某今年一月初向银行贷款20000元作开店资金，全部用作批发某种商品，银行贷款的年利率为6%，约定一年后一次还清贷款。

已知夏某每月月底获得的利润是该月月初投人资金的15%，每月月底需要交纳个人所得税为该月所获利润的20%，当月房租等其他开支1500元，余款作为资金全部投入批发该商品再经营，如此继续，假定每月月底该商品能全部卖出。

（1）设夏某第n 个月月底余n a 元，第1n +个月月底余1n a +元，写出1a 的值并建立1n a +与n a 的递推关系式；（2）预计年底夏某还清银行贷款后的纯收入。

（参考数据：1.1211≈3.48，1.1212≈3.90，0.1211≈7.43×10﹣11，0.1212≈8.92×10﹣12）【答案】（1）a n+1=1.12a n ﹣1500（n ∈N +，1≤n≤11）（2）20532元【解析】（1）由题意a 1=20000（1+15%）﹣20000×15%×20%﹣1500=20900（元） a n+1=a n （1+15%）﹣a n ×15%×20%﹣1500=1.12a n ﹣1500（n ∈N +，1≤n≤11）（2）令a n+1+λ=1.12（a n +λ），则a n+1=1.12a n +0.12λ，∵a n+1=1.12a n ﹣1500，∴λ=﹣12500 ∴a n+1﹣12500=1.12（a n ﹣12500），∴{a n ﹣12500}是以20900为首项，1.12为公比的等比数列∴a n ﹣12500=（20900﹣12500）×1.12n ﹣1，即a n =8400×1.12n ﹣1+12500∴a 12=8400×1.1211+12500≈41732（元） 又年底偿还银行本利总计20000（1+6%）=21200（元） 故该生还清银行贷款后纯收入41732﹣21200=20532（元）21．（本题满分12分）设正数列}{n a 的前n 项和为n S ，且(1)求数列}{n a 的首项1a ； (2)求数列}{n a 的通项公式；(3)，n T 是数列}{n b 的前n 项和，对所有*N n ∈都成立的最小正整数m ．【答案】(1) 11=a ；(2) 12-=n a n ；(3) 9=m .【解析】(1)当1=n 时，由且11a S =，解得11=a(2)，得2)1(4+=n n a S ① ∴211)1(4+=++n n a S ②②-①得：2211)1()1(44+-+=-++n n n n a a S S ，化简得0)2()(11=--⋅+++n n n n a a a a 又由0>n a ，得01>++n n a a ∴021=--+n n a a ，即21=-+n n a a ∴数列}{n a 是以1为首项，公差为2的等差数列 ∴2)1(1⨯-+=n a a n ，即12-=n a n∴满足条件的最小正整数9=m ．22.（本题满分12分）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S n 2－(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n)＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）<13. 答案 (1)a 1＝2 (2)a n ＝2n (3)略解析 (1)令n ＝1代入得a 1＝2(负值舍去)．(2)由S n 2－(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n)＝0，n ∈N *，得[S n －(n 2＋n)](S n ＋3)＝0. 又已知各项均为正数，故S n ＝n 2＋n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，当n ＝1时，a 1＝2也满足上式，所以a n ＝2n ，n ∈N *.(3)证明：k ∈N *，4k 2＋2k －(3k 2 ＋3k)＝k 2－k ＝k(k －1)≥0，∴4k 2＋2k ≥3k 2＋3k.∴1a k （a k ＋1）＝12k （2k ＋1）＝14k 2＋2k ≤13k 2＋3k ＝13(1k －1k ＋1)．∴1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1） ≤13(11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝13(1－1n ＋1)<13. ∴不等式成立．。