(版)2018年高考数学一轮复习第04章三角函数与解三角形测试题
(浙江版)2018年高考数学复习： 第04章 三角函数与解三角形测试题
第04章 三角函数与解三角形 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【2017浙江台州上期末】已知，则( )A. B. C. D.【答案】C2.【2018河北石家庄二中八月模拟】点)P a 是角660︒终边上一点，则a =( )A. 3-B. 3C. 1-D. 1 【答案】A【解析】因为tan660=，所以3a =⇒=-，应选答案A 。
3．在△ABC 中，若，则△ABC 的形状（ ）A. 直角三角形B. 等腰或直角三角形C. 不能确定D. 等腰三角形 【答案】B【解析】由正弦定理，得，所以，，又因为，所以或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故选A.【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、二倍角的正弦公式及三角形内角和定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 4．【2018广东茂名五大联盟学校9月】的内角的对边分别是，已知，，，则等于( )A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】B5．【2017湖北浠水实验高级中学】若1cos23θ=，则44sin cos θθ+的值为（）A. 1318B. 1118C. 59D. 1【答案】C【解析】221cos23cos sin θθθ=-=.又221cos sin θθ+=.解得222133cos sin θθ==，.()2442222215sin cos 212339cos sin sin cos θθθθθθ+=+-=-⨯⨯=.故选C.6.【2017浙江台州4月调研】在中，内角的对边分别为，已知，，则的面积为（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】根据正弦定理可得，而，整理为：，所以，所以，，解得，因为，所以或 ，当时， ，此时的面积为，当时，，此时的面积为 ,故选C.7．【2018四川成都彭州中学9月】已知函数()2sin (0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A.6π B. 4π C. 3π D. 2π【答案】C再根据五点法作图可得2122ππϕ⋅+=， 0,3πϕπϕ<<∴=，故选C.【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，使解题的关键.求解析时求参数ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点) 时0x ωϕ+=；“第二点”(即图象的“峰点”) 时2x πωϕ+=；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点) 时x ωϕπ+=；“第四点”(即图象的“谷点”) 时32x πωϕ+=；“第五点”时2x ωϕπ+=. 8．【2018广西南宁马山金伦中学开学】为了得到函数的图像，只。
高中数学总复习第04章检测A卷(解析版)
三角函数、解三角形 章节验收测试卷A 卷姓名班级准考证号1．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin cos αα+的值等于( ) A.25−B.45C.35-D.25【答案】A 【解析】因为角α的终边过点()4,3,5P r OP −==， 所以利用三角函数的定义，求得34,cos 55sin αα=−=， 3422cos 2555sin αα∴+=−⨯+=−，故选A.2．将函数()1223f x sin x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭的图象上每一个点向左平移3π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间为（ ）A.,,44k k k Z ππππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦B.3,,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C.2,,36k k k Z ππππ⎡⎤−−∈⎢⎥⎣⎦D.5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】由题意可知平移后的解析式：()1sin 223g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭函数()y g x =的单调递增区间：222232k x k πππππ−≤+≤+解得：5 1212k x k k Z ππππ−≤≤+∈3．若在是减函数，则的最大值是A ．B ．C ．D ．【解析】 因为，所以由得因此，从而的最大值为，选A.4．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A ．B ．C ．D ． 【答案】C 【解析】 由题可知所以由余弦定理所以，故选C.5．已知函数()222cos sin 2f x x x =−+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4【解析】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x −=+−+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max35422f x =+=，故选B. 6．已知4sin cos 3αα−=，则sin 2α=（ ）． A ．79−B ．29− C ．29D ．79【答案】A 【解析】 【详解】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα−−===−−.所以选A.7．下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是 A ．f (x )=│cos 2x │ B ．f (x )=│sin 2x │ C ．f (x )=cos│x │ D ．f (x )= sin│x │【答案】A 【解析】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos 2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递减，排除B ，故选A ．8．设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D 【解析】当[0,2]x π∈时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点， ∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确， 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时， 令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， ∵1229510ω≤<，故③正确． 故选：D ．9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若＝，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为A ．4B ．2C ．3D ．【答案】A 【解析】 ∵在△ABC 中＝，∴，由正弦定理得，∴．又，∴，∵，∴．在△ABC 中，由余弦定理得，∴，当且仅当时等号成立．∴△ABC 的面积.故选A ．10．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =【答案】A 【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A. 11．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D 【解析】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x+π12）=cos （2x+π6）=sin （2x+2π3）的图象，即曲线C 2， 故选：D ．12．锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足22b a ac −=，函数()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−+− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f B 的取值范围是（ ） A.1(,1)2 B.1(,1]2C.D.1(2【答案】A 【解析】22b a ac −=，22222cos b a c ac B a ac ∴=+−=+，2cos c a B a ∴=+，sin 2sin cos sin C A B A ∴=+，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，sin cos sin sin cos sin()A A B A B B A ∴=−=−，三角形ABC 为锐角三角形，A B A ∴=−，2B A ∴=，3C A π∴=−，∴022302202B B B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<−<⎨⎪⎪<<⎪⎩(3B π∴∈，)2π()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−+− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=cos 22sin cos cos(2)sin(2)34432x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−++=−−+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=sin(2)6x π−，所以()sin(2)6f B B π=−,因为252,23266B B πππππ<<∴<−<,所以1()12f B <<. 故选：A13．函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3 【解析】0x π≤≤193666x πππ∴≤+≤由题可知3336262x x ，ππππ+=+=，或5362x ππ+=解得4x ,99ππ=,或79π故有3个零点。
2018版高考数学人教A版理科一轮复习真题演练集训：第四章 三角函数与解三角形 4-4 含答案 精品
真题演练集训1．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15D ．－725答案：D解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4·sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D. 2．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2答案：B解析：解法一：由tan α＝1＋sin βcos β，得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴由sin(α－β)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α，得 α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.解法二：tan α＝1＋sin βcos β＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，∴α＝k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，k ∈Z∴2α－β＝2k π＋π2，k ∈Z .当k ＝0时，满足2α－β＝π2，故选B. 3．已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________. 答案： 2 1解析：由于2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以A ＝2，b ＝1.4．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜2π3，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12 ＝3＋158.课外拓展阅读 给值求角忽视角的范围致误已知α，β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则β＝________.∵0<α<π，cos α＝17，∴sin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437. 又∵sin(α＋β)＝5314，∴cos(α＋β)＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫53142＝－1114. ∴sin β＝sin ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝32. 又∵0<β<π，∴β＝π3或2π3.(1)不能根据题设条件缩小α，β及α＋β的取值范围，在由同角基本关系式求sin(α＋β)时不能正确判断符号，产生两角解．(2)结论处应由cos β的值确定β的取值，由sin β确定结论时易出现两解而造成失误．因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α＝1－cos 2α＝437，故π3<α<π2.又因为0<α＋β<π，sin(α＋β)＝5314<32，所以0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π.由π3<α<π2，知2π3<α＋β<π， 所以cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－1114，所以cos β＝cos＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12，又0<β<π，所以β＝π3.π3答题启示利用三角函数值求角时，要充分结合条件，确定角的取值范围，再选取合适的三角函数进行求值，最后确定角的具体取值．。
2018版高考数学(理)一轮复习文档：第四章三角函数、解三角形4.4含解析
1．y＝A sin(ωx＋φ）的有关概念y＝A sin(ωx ＋φ）(A〉0，ω〉0），x∈R 振幅周期频率相位初相A T＝错误!f＝错误!＝错误!ωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x错误!错误!错误!错误!错误!ωx＋φ0π2π错误!2πy＝A sin（ωx＋φ）0A0－A03.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ) （A>0，ω>0）的图象的步骤如下：【知识拓展】1．由y＝sin ωx到y＝sin（ωx＋φ)(ω>0，φ〉0）的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y＝A sin（ωx＋φ）的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋错误!,k∈Z确定;对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×")(1)y＝sin错误!的图象是由y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位得到的．( √）（2）将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ（φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin（ωx－φ）的图象．（×)（3）利用图象变换作图时“先平移，后伸缩"与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致．( ×)（4)函数y＝A sin（ωx＋φ）的最小正周期为T＝错误!。
( ×) (5）把y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的错误!,所得图象对应的函数解析式为y＝sin 12x。
（×)(6)若函数y＝A cos（ωx＋φ）的最小正周期为T，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为错误!.（√）1．(教材改编）y＝2sin(错误!x－错误!）的振幅，频率和初相分别为( ）A．2，4π，错误!B．2，错误!，错误!C．2，错误!，－错误!D．2，4π,－错误!答案C解析由题意知A＝2，f＝错误!＝错误!＝错误!，初相为－错误!. 2．（2015·山东）要得到函数y＝sin错误!的图象，只需将函数y＝sin 4x 的图象( )A．向左平移π12个单位B．向右平移错误!个单位C．向左平移错误!个单位D．向右平移错误!个单位答案B解析∵y＝sin错误!＝sin错误!，∴要得到y＝sin错误!的图象,只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移错误!个单位．3．（2016·青岛模拟）将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动错误!个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），所得图象的函数解析式是( ）A．y＝sin（2x－错误!）B．y＝sin（2x－错误!）C．y＝sin（错误!x－错误!）D．y＝sin（错误!x－错误!）答案C解析y＝sin xπ10右移个单位−−−−−→y＝sin（x－错误!)错误!y＝sin(错误!x－错误!）．4．(2016·临沂模拟）已知函数f(x)＝A cos(ωx＋θ）的图象如图所示,f(错误!)＝－错误!,则f(－错误!）＝________。
2018版高考数学(理)一轮复习文档：第四章三角函数、解三角形4.1含解析
1．角的概念(1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内,构成的角的集合是S＝{β｜β＝k·360°＋α，k∈Z｝．(3)象限角:使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2．弧度制（1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0。
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad，1°＝错误!rad,1 rad＝错误!°。
(3）扇形的弧长公式：l＝｜α|·r，扇形的面积公式：S＝错误!lr＝错误!|α|·r2。
3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x,tan α＝错误!(x≠0）．三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin αR＋＋－－cos αR＋－－＋tan α{α|α≠kπ＋错误!，k∈Z}＋－＋－4。
三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P,过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T。
三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线。
【知识拓展】1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．任意角的三角函数的定义（推广）设P（x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝错误!，cos α＝错误!，tan α＝错误!（x≠0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．（×）(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(√）（3）不相等的角终边一定不相同．（×）(4)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√）(5）若α∈(0，错误!)，则tan α>α〉sin α.（√)(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(√)1．角－870°的终边所在的象限是(）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 C解析由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角终边相同,在第三象限．2．(教材改编）已知角α的终边与单位圆的交点为M（错误!，y)，则sin α等于(）A 。
2018版高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2018版高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式真题演练集训 理 新人教A 版1．[2015·新课标全国卷Ⅰ]sin 20°cos 10°－cos 160°·sin 10°＝( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案：D解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°·cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D. 2．[2016·四川卷]cos 2π8－sin 2π8＝________. 答案：22 解析：由二倍角公式，得cos 2 π8－sin 2 π8＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＝22. 3．[2015·四川卷]sin 15°＋sin 75°的值是________． 答案：62解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 15°＋22cos 15° ＝2(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)＝2sin 60°＝2×32＝62. 4．[2015·江苏卷]已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________． 答案：3解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝17－－1＋17－＝3.课外拓展阅读三角恒等变换的综合问题1．三角恒等变换与三角函数性质的综合应用利用三角恒等变换先将三角函数式转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再求其周期、单调区间、最值等，一直是高考的热点．[典例1] [改编题]已知函数f (x )＝2sin ωx －4sin 2ωx 2＋2＋a (其中ω>0，α∈R )，且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间[6,16]上的最大值为4，求a 的值．[解] (1)f (x )＝2sin ωx －4sin 2ωx 2＋2＋a ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋a ， 由题意，知2ω＋π4＝π2，得ω＝π8. 所以最小正周期T ＝2πω＝16. (2)f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4＋a ， 因为x ∈[6,16]，所以π8x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，9π4. 由图象可知(图略)，当π8x ＋π4＝9π4， 即当x ＝16时， f (x )的最大值，由22sin 9π4＋a ＝4，得a ＝2. 2．三角恒等变换与三角形的综合三角恒等变换经常出现在解三角形中，与正弦定理、余弦定理相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等，是高考热点内容．根据所给条件解三角形时，主要有两种途径：(1)利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；(2)利用正弦、余弦定理把边的关系化成角的关系，再用三角恒等变换化简求解．[典例2] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2.(1)求C ；(2)设cos A cos B ＝325，α＋A α＋B cos 2α＝25，求tan α的值．[解] (1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2， 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22.故C ＝3π4. (2)由题意，得 αsin A －cos αcos A αsin B －cos αcos Bcos 2α＝25， 因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝25， tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝25， tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝25.① 因为C ＝3π4，A ＋B ＝π4， 所以sin(A ＋B )＝22. 因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，即325－sin A sin B ＝22， 解得sin A sin B ＝325－22＝210. 由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4.3．三角恒等变换与向量的综合三角恒等变换与向量的综合问题是高考中经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用．[典例3] 已知△ABC 为锐角三角形，若向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )与向量q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )，是共线向量．(1)求角A ；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B2的最大值． [思路分析] (1)向量共线→三角函数式――→化简得sin 2A 的值→得锐角A (2)化函数为A ωx ＋φ＋b 的形式→根据B 的范围求最值 [解] (1)因为p ，q 共线，所以(2－2sin A )(1＋sin A )＝(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )，则sin 2A ＝34. 又A 为锐角，所以sin A ＝32，则A ＝π3. (2)y ＝2sin 2B ＋cos C －3B2＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－B －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B ＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B ＝32sin 2B －12cos 2B ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋1. 因为B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6， 所以当2B －π6＝π2时，函数y 取得最大值， 解得B ＝π3，y max ＝2.。
2018版高考数学理一轮复习文档：第四章 三角函数、解
1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象的步骤如下：【知识拓展】1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z确定其横坐标．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位得到的．( √ ) (2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( × )(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( × )(4)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2πω.( × )(5)把y ＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( × )(6)若函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )1．(教材改编)y ＝2sin(12x －π3)的振幅，频率和初相分别为( )A ．2,4π，π3B ．2，14π，π3C ．2，14π，－π3D ．2,4π，－π3答案 C解析 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.2．(2015·山东)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位答案 B解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． 3．(2016·青岛模拟)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝sin(2x －π10)B ．y ＝sin(2x －π5)C ．y ＝sin(12x －π10)D ．y ＝sin(12x －π20)答案 C解析 y ＝sin x π10−−−−−→右移个单位 y ＝sin(x －π10)―――――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin(12x －π10)．4．(2016·临沂模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (－π6)＝________.答案 －23解析 由题图知，函数f (x )的周期 T ＝2(11π12－7π12)＝2π3，所以f (－π6)＝f (－π6＋2π3)＝f (π2)＝－23.5．若将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 答案3π8解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝sin[2(x －φ)＋π4]＝sin(2x＋π4－2φ)， 又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝－k π2－π8(k ∈Z )．当k ＝－1时，φ取得最小正值3π8.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 (2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.引申探究在本例(2)中，将f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到g (x )的图象，求g (x )的解析式，并写出g (x )图象的对称中心． 解 由(1)知f (x )＝5sin(2x －π6)，因此g (x )＝5sin[2(x ＋π6)－π6]＝5sin(2x ＋π6)．因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为(k π2－π12，0)，k ∈Z .思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位，得到的函数图象的解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin(2x －π4)D ．y ＝sin(2x ＋π4)答案 A解析 由y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y ＝sin 2x ，再向左平移π4个单位得y ＝sin2(x ＋π4)，即y ＝cos 2x .题型二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)观察图象可知A ＝2且点(0,1)在图象上， ∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6，又∵1112π是函数的一个零点且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)设2x ＋π6＝B ，则函数y ＝2sin B 的对称轴方程为B ＝π2＋k π，k ∈Z ，即2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．思维升华 求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)解析式的步骤 (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2. (2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求φ，常用方法如下：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.(2016·太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则y ＝f (x ＋π6)取得最小值时x 的集合为( )A ．{x |x ＝k π－π6，k ∈Z }B ．{x |x ＝k π－π3，k ∈Z }C ．{x |x ＝2k π－π6，k ∈Z }D ．{x |x ＝2k π－π3，k ∈Z }答案 B解析 根据所给图象，周期T ＝4×(7π12－π3)＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图象经过点(7π12，0)，代入有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z )，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，∴f (x ＋π6)＝sin(2x ＋π6)，当2x ＋π6＝－π2＋2k π (k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f (x ＋π6)取得最小值．题型三 三角函数图象性质的应用 命题点1 三角函数模型的应用例3 (2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10答案 C解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.命题点2 函数零点(方程根)问题例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________． 答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为 m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π， ∴题目条件可转化为m2＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π有两个不同的实数根． ∴y ＝m2和y ＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m 2的范围为(－1，－12)，故m 的取值范围是(－2，－1)． 引申探究例4中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________． 答案 [－2,1)解析 由例4知，m2的范围是⎣⎡⎭⎫－1，12， ∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1)． 命题点3 图象与性质的综合应用例5 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，由－π2≤φ<π2，得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.综上，ω＝2，φ＝－π6.(2)由(1)知f (x )＝3sin(2x －π6)，当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )最大值＝3；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )最小值＝－32.思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．已知函数f (x )＝cos(3x ＋π3)，其中x ∈[π6，m ]，若f (x )的值域是[－1，－32]，则m 的取值范围是__________． 答案 [2π9，5π18]解析 画出函数的图象．由x ∈[π6，m ]，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f (π6)＝cos 5π6＝－32且f (2π9)＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是[－1，－32]，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈[2π9，5π18]．4．三角函数图象与性质的综合问题典例 (12分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期；(2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．规范解答解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [3分]＝2sin(x ＋π3)，[5分]于是T ＝2π1＝2π.[6分](2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π6)，[8分]∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(x ＋π6)∈[－12，1]，[10分]∴g (x )＝2sin(x ＋π6)∈[－1,2]．[11分]故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤： 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式； 第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2·(sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·ba 2＋b 2)； 第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质； 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．1．为了得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，可将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移5π6个单位长度B ．向右平移5π6个单位长度C ．向左平移5π12个单位长度D ．向右平移5π12个单位长度答案 C解析 由题意，得y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin 2(x ＋5π12)，则它是由y ＝sin 2x 向左平移5π12个单位得到的，故选C. 2．若f (x )＝sin(2x ＋φ)＋b ，对任意实数x 都有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝f (－x )，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－1，则实数b 的值为( ) A ．－2或0 B ．0或1 C ．±1 D ．±2答案 A解析 由f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝f (－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z .当直线x ＝π6经过最高点时，φ＝π6；当直线x ＝π6经过最低点时，φ＝－56π.若f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋b ，由f ⎝⎛⎭⎫23π＝－1，得b ＝0；若f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －56π＋b ，由f ⎝⎛⎭⎫23π＝－1，得b ＝－2.所以b ＝－2或b ＝0.3．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．π D ．2π 答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)．由2sin(ωx ＋π6)＝1，得sin(ωx ＋π6)＝12，∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋56π(k ∈Z )．令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝56π，∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (x ∈R ，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈(－π6，π3)且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( )A.12 B.32C.22D ．1答案 B解析 观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将(－π6，0)代入上式得sin(－π3＋φ)＝0，由|φ|<π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin(2x ＋π3)．函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，∴x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin(2×π6＋π3)＝32.故选B.5．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－32B ．－12C.12 D.32答案 A解析 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3的图象， 因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32. 6．(2016·太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 D ．关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称答案 B解析 由题意知2πω＝π，∴ω＝2；又由f (x )的图象向右平移π3个单位后得到y ＝sin[2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－23π，此时关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A 、C 错误； 当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．7．(2016·全国丙卷)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到． 答案2π3解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到．8.(2017·长春质检)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________．答案34解析 由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f (16)＝12cos π6＝34.9．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．答案π2解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2.10.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安．答案 －5解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT ＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．∵图象过点⎝⎛⎭⎫1300，10， ∴10sin(100π×1300＋φ)＝10，∴sin(π3＋φ)＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又∵0<φ<π2，∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6， 当t ＝1100秒时，I ＝－5安．11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象过点P (π12，0)，图象上与点P 最近的一个最高点是Q (π3，5)．(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的递增区间．解 (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4(π3－π12)＝π，∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P (π12，0)，∴5sin(π6＋φ)＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴y ＝5sin(2x －π6)．(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的递增区间为[k π－π6，k π＋π3] (k ∈Z )．12．已知函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x ·cos x －32. (1)求函数f (x )的最小正周期T 和函数f (x )的单调递增区间； (2)若函数f (x )的对称中心为(x,0)，求x ∈[0,2π)的所有x 的和． 解 (1)由题意得f (x )＝sin(2x ＋π3)，∴T ＝2π2＝π，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z .可得函数f (x )的单调递增区间为[－5π12＋k π，π12＋k π]，k ∈Z .(2)令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，可得x ＝－π6＋k π2，k ∈Z .∵x ∈[0,2π)，∴k 可取1,2,3,4. ∴所有满足条件的x 的和为2π6＋5π6＋8π6＋11π6＝13π3. *13.(2016·潍坊模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝[f (x －π12)]2，求函数g (x )在x ∈[－π6，π3]上的最大值，并确定此时x 的值．解 (1)由题图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3，∴ω＝32. 又f (－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π4＋φ)＝0，∴sin(φ－π4)＝0，∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4，∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin(32x ＋π4)．(2)由(1)可得f (x －π12)＝2sin[32(x －π12)＋π4]＝2sin(32x ＋π8)，∴g (x )＝[f (x －π12)]2＝4×1－cos (3x ＋π4)2＝2－2cos(3x ＋π4)，∵x ∈[－π6，π3]，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )max ＝4.。
2018版高考数学(理)一轮复习文档：第四章三角函数、解三角形4.3含解析
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sin x,x∈[0，2π]的图象中,五个关键点是：（0，0），(错误!,1),（π，0),(错误!，－1)，（2π,0)．余弦函数y＝cos x，x∈［0，2π］的图象中，五个关键点是：(0，1)，（错误!，0)，(π，－1),(错误!，0)，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域R R ｛x｜x∈R 且x≠错误!＋kπ，k∈Z}值域[－1,1］[－1,1]R【知识拓展】1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是错误!个周期．（2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．奇偶性若f(x)＝A sin（ωx＋φ）(A，ω≠0），则(1)f（x)为偶函数的充要条件是φ＝错误!＋kπ(k∈Z）；（2）f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．（×)(2)常数函数f(x)＝a是周期函数,它没有最小正周期．（√）(3）正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．（×）（4)已知y＝k sin x＋1，x∈R,则y的最大值为k＋1.（×)（5)y＝sin ｜x|是偶函数．( √)(6)若sin x>错误!，则x>错误!.（×)1．函数f（x）＝cos（2x－错误!)的最小正周期是( ）A.错误!B．πC．2π D．4π答案B解析最小正周期为T＝错误!＝错误!＝π.故选B.2．（教材改编）函数f(x）＝3sin(2x－错误!)在区间［0，错误!］上的值域为( ）A．［－错误!，错误!] B．[－错误!，3]C．［－错误!，错误!］D．[－错误!，3]答案B解析当x∈［0，错误!］时,2x－错误!∈［－错误!，错误!]，sin（2x－错误!）∈［－错误!，1],故3sin(2x－错误!）∈[－错误!，3]，即f（x)的值域为［－32，3]．3．函数y＝tan 2x的定义域是（) A。
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第04章 三角函数与解三角形第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【2017浙江台州上期末】已知，则( )A. B. C. D.【答案】C2.【2018河北石家庄二中八月模拟】点)P a 是角660︒终边上一点，则a = ( )A. 3-B. 3C. 1-D. 1 【答案】A【解析】因为tan660=，所以3a =⇒=-，应选答案A 。
3．在△ABC 中，若，则△ABC 的形状（ ）A. 直角三角形B. 等腰或直角三角形C. 不能确定D. 等腰三角形 【答案】B【解析】由正弦定理，得，所以，，又因为，所以或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故选A.【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、二倍角的正弦公式及三角形内角和定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.4．【2018广东茂名五大联盟学校9月】的内角的对边分别是，已知，，，则等于( )A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】B5．【2017湖北浠水实验高级中学】若1cos23θ=，则44sin cos θθ+的值为（） A.1318 B. 1118 C. 59D. 1 【答案】C【解析】221cos23cos sin θθθ=-=.又221cos sin θθ+=. 解得222133cos sin θθ==，. ()2442222215sin cos 212339cos sin sin cos θθθθθθ+=+-=-⨯⨯=.故选C.6.【2017浙江台州4月调研】在中，内角的对边分别为，已知，，则的面积为（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】根据正弦定理可得，而，整理为：，所以，所以，，解得，因为，所以或 ，当时， ，此时的面积为，当时，，此时的面积为 ,故选C.7．【2018四川成都彭州中学9月】已知函数()2sin (0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A.6π B. 4π C. 3π D. 2π【答案】C再根据五点法作图可得2122ππϕ⋅+=，0,3πϕπϕ<<∴=，故选C.【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，使解题的关键.求解析时求参数ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点) 时0x ωϕ+=；“第二点”(即图象的“峰点”) 时2x πωϕ+=；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点) 时x ωϕπ+=；“第四点”(即图象的“谷点”) 时32x πωϕ+=；“第五点”时2x ωϕπ+=. 8．【2018广西南宁马山金伦中学开学】为了得到函数的图像，只要把函数上的所有点（ ）A. 向左平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度C. 向左平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度【答案】B【解析】设x x ϕ→+，则()2,555x x πππϕϕ++=-=-，向右平行移动个单位长度，选B.9．已知角α终边上一点P 的坐标为(),3a a （0a ≠），则cos sin sin cos αααα-+的值是（ ）A. 2B. -2C. 12D. 12- 【答案】D10．【2018黑龙江大庆中学开学】已知θ为锐角，且cos 12πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5c o s 12πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.412 C. 3 D. 3-【答案】C【解析】由已知得55cos cos cos sin sin cos sin sin cos 1212121212πππππθθθθθ⎛⎫+=-=-= ⎪⎝⎭5sin 12πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ； θ为锐角， 5cos 12πθ⎛⎫∴-=⎪⎝⎭，故选C. 11．【2018云南玉溪第一中学第一次月考】函数()cos (0)6f x wx w π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π内的值域为⎡-⎢⎣⎦，则w 的取值范围是A. 35,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 53,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D. 55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】函数()cos 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭， 0x π≤≤， 1cos 62x πω⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则1166x πππω≤+≤，解得5365ω≤≤，选D.12．【2018广东广州海珠区综合测试（一）】设函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A. ()f x 的一个周期为π-B. ()y f x =的图像关于直线23x π=对称 C. 2f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为3x π=-D. ()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 【答案】D【解析】()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的周期为T=k π,所以A 对第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【2017浙江温州中学11月模拟】在ABC ∆中，已知2AB =，1cos 3B =，若3BC =，AC的长为__________；若点D 为AC 中点，且BD =sin A 的值为__________【答案】3，3. 【解析】试题分析：由余弦定理可知：3AC ==；222224||||4||22||1722||2||||9244BC AC BC BC BA BC BC BD BC AC +-++⋅⋅⋅+⋅⋅=⇒=⇒-=，又∵224||||1cos 322||BC AC B BC +-==⋅⋅，联立方程，从而可知||3||3BC AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴sin sin 3A B ==，故填：3，3. 14．【2017浙江丽水下学期测试】已知()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为__________； 6f π⎛⎫=⎪⎝⎭__________． 【答案】 π【解析】()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴f(x)的最小正周期22T ππ==， 22sin 22sin 6633f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故函数()f x 的最小正周期为π；6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭15．已知02x π-<<， 1sin cos 5x x +=，则24sin cos cos x x x -的值为__________． 【答案】6425-222224sin cos cos 41644sin cos cos x 125x x x tanx x x x sin cos x tan x ---===-++ 故答案为： 6425-16．【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆：，点，，记射线与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的坐标为__________． 【答案】【解析】设射线OB 与轴正半轴的夹角为，有已知有，所以 ，且 ，C 点坐标为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．【2018湖北武汉部分学校起点】已知函数（为常数）（1）求的单调递增区间；（2）若在上有最小值1，求的值.【答案】(1)，；(2).【解析】试题分析：（1），∴，∴单调增区间为，（2）时，∴当时，最小值为∴.18．【2018黑龙江省大庆中学开学】已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos ;B（2）若90B =，且a 求ABC ∆的面积． 【答案】（1）14；（2）1由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-== （2）由（1）知22b ac =因为90B =，由勾股定理得222a c b += 故222a c ac +=，得c a = 所以的面积为1.19．【2018湖北武汉部分学校起点】在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，满足cos2cos22cos cos 066A B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求角A 的值；（2）若b =b a ≤，求a 的取值范围. 【答案】(1) 3A π=；(2) )a ∈.得2222312sin 2sin 2cos sin 044B A B B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭化简得sin A =又三角形ABC 为锐角三角形，故3A π=.（2）∵b a =≤，∴c a ≥，∴32C ππ≤<，63B ππ<≤由正弦定理得：sin sin a bA B=即：=32sin a B =由1sin 2B ⎛∈ ⎝⎦知)a ∈. 20．【2017浙江丽水下学期测试】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,abc ，已知ABC ∆的面积()2212S a b c ⎡⎤=--⎣⎦．（1）求sin A 与cos A 的值； （2）设baλ=，若tan 2C =，求λ的值.【答案】（1）45{ 35sinA cosA ==（2）λ= 【解析】试题分析：(1)由题意结合面积公式可得sin 2cos 2A A +=，结合同角三角函数基本关系可得43sin ,cos 55A A ==. (2)利用两角和差正余弦公式结合正弦定理可得sin sin 2b B a A λ===试题解析：（2）易得sin C =cos C =， ()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=所以sin sin b B a A λ===21．【2017 “超级全能生”浙江3月联考】已知()()sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><满足()2f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，若其图像向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数．（1）求()f x 的解析式；（2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()2cos cos c a B b A -=，求()f A 的取值范围．【答案】（1）()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;（2）(]0,1. 【解析】试题分析：（1）由条件()2f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得周期，由周期求ω；由图像变换的函数为奇函数得ϕ的等量关系，由2πϕ<，解出ϕ；（2）由正弦定理将边角关系()2cos cos c a B b A -=转化为角的关系，解出B ；由锐角条件解出A 取值范围；根据()f A 函数关系式，结合正弦函数性质确定()f A 的取值范围．为奇函数，则有3k πϕπ+=， k Z ∈，而2πϕ<， 则有3πϕ=-，从而()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）()2cos cos c a B b A -=，由正弦定理得： ()2sin cos sin sin C B A B C =+=， ∵0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 0C ≠， ∴1cos 2B =，∴3B π= ∵ABC ∆是锐角三角形， 232C A ππ=-<， ∴62A ππ<<，∴20233A ππ<-<， ∴(]sin 20,13A π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， ∴()(]sin 20,13f A A π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.22．【2018辽宁庄河市高级中学开学】已知3x π=是函数()sin2cos2f x m x x =-的图象的一条对称轴.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）设ABC ∆中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2f B =，且b =2c a -的取值范围.【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）⎛ ⎝ 【解析】试题分析：20,36A A ππ⎛⎛⎫⎛⎫∈⇒-∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，即可求出结果. 试题解析：（1）3x π=是函数()sin2cos2f x m x x =-的一条对称轴3f π⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭或m ⇒=()2sin 26f x x π⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭ ⇒增区间： (),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （2）()2f B = sin 2163B B ππ⎛⎫⇒-=⇒= ⎪⎝⎭又b = 2sin ,2sin 2sin 3a A c C A π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭2sin sin(+236c a A A A ππ⎛⎫⇒-=-- ⎪⎝⎭ 210,,sin ,1366262A A A πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈⇒-∈-⇒-∈- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6A π⎛⎛⎫⇒-∈ ⎪ ⎝⎭⎝，即2c a ⎛⇒-∈ ⎝。