江苏省苏北三市(徐州市、连云港市、宿迁市)2016届高三最后一次模拟考试数学试题(原卷版)
江苏省连云港市、徐州市、宿迁市高考数学三模试卷Word版含解析
江苏省连云港市、徐州市、宿迁市高考数学三模试卷Word版含解析一、填空题（每题5分，满分70分，江答案填在答题纸上）1. 已知集合A={ - 1,1,2} , B={0, 1,2, 7},则集合A U B中元素的个数为 _2. __________________________________________________ 设a, b€ R,=a+bi （i为虚数单位），则b的值为______________________________ .2 23. _____________________________________________________ 在平面直角坐标系xOy中，双曲线——-」=1的离心率是_______________________ .4. 现有三张识字卡片，分别写有中”、国”、梦”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能组成中国梦”的概率是_.5. 如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为_.〔幵始］*门结東6. 已知一组数据3, 6, 9, 8, 4,则该组数据的方差是厂7*^黑7. 已知实数x , y 满足彳x+y>2则］的取值范围是 8. 若函数f （x ） =2sin （2x+® （0v ©<三）的图象过点（0,體），贝U 函数f （x ） 在［0, n 上的单调减区间是1 9•在公比为q 且各项均为正数的等比数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和•若a 1^ ,且S 5=S 2+2，则q 的值为 ____ .10.如图，在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1中，已知AB=AA 1=3,点P 在棱CC 1 上, 则三棱锥P -ABA 1的体积为 ______ .11 •如图，已知正方形ABCD 的边长为2, BC 平行于x 轴，顶点A , B 和C 分 别在函数y i =3log a x ,y 2=2log a x 和y 3=log a x(a > 1)的图象上，则实数a 的值为 ______ yi12 •已知对于任意的 x €(-*, 1)U( 5, +x ),都有 x 2- 2 (a -2) x+a > 0,则实数a 的取值范围是—.13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ： (x+2) 2+ (y - m )2=3，若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且AB=2GO ，贝U 实数m 的取值范围是 14. 已知△ ABC 三个内角A , B, C 的对应边分别为a,「•—取得最大值时，亠的值为二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.)4515. 如图，在△ ABC 中，已知点 D 在边 AB 上, AD=3DB ,cosA 花,cos / ACB=p BC=13.(1) 求cosB 的值;(2) 求CD 的长.兀b ,c ,且 C=16•如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，点E 在棱PC 上(异于 点P , C ),平面ABE 与棱PD 交于点F .(1)求证:AB // EF ；(2)若平面PAD 丄平面ABCD ，求证：AE 丄EF . 分别为A ，B ，过右焦点F 的直线I 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方).(1) 若QF=2FP ,求直线I 的方程；(2) 设直线AP ，BQ 的斜率分别为k 1, k 2,是否存在常数 人使得k 1=Xk? 若 存在，求出入的值；若不存在，请说明理由.18. 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F, G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已AR 1知圆的半径为1m 且笔》丄，设/ EOF H ，透光区域的面积为S.(1) 求S 关于B 的函数关系式，并求出定义域；17.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ： 2 2亍+牛=1的左、右顶点(2) 根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时，求边AB 的长度.19. 已知两个无穷数列｛an ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n , T n , a i =1, S 2=4，对任 意的 n € N *，都有 3S n +1=2S n +S n +2+a n .(1) 求数列｛a n ｝的通项公式；(2) 若｛b n ｝为等差数列，对任意的n € N *，都有S n >T n .证明：a n >b n ；20. 已知函数 f (x ) 少+xlnx (m >0), g (x ) =lnx - 2.(1)当m=1时，求函数f (x )的单调区间;(2) 设函数 h (x ) =f (x )- xg (x )-「，x >0.若函数 y=h (h (x ))的最 小值是斗，求m 的值；(3) 若函数f (x ), g (x )的定义域都是［1, e ］，对于函数f (x )的图象上的 任意一点A ，在函数g (x )的图象上都存在一点B ，使得OA 丄OB ，其中e 是 自然对数的底数，O 为坐标原点，求m 的取值范围.【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题 区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分 •解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.A.选修4-1:几何证明选讲21. 如图，圆O 的弦AB , MN 交于点C ,且A 为弧MN 的中点，点D 在弧BM 上，若/ ACN=3 / ADB ，求/ ADB 的度数.(3)若｛b n ｝为等比数列,b i =a i , b 2=a 2，求满足 =a k (k € N *)的 n 值.C.选修4-4:坐标系与参数方程兀I23. 在极坐标系中，已知点 A （2, 丁），点B 在直线I : p cos+© sin 9 =0< 9 < 2n ）上，当线段AB 最短时，求点B 的极坐标.D.选修4-5:不等式选讲24. 已知 a, b ，c 为正实数，且 a 3+b 3+c 3=a 2b 2c 2，求证：a+b+c > 3「一 . 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .［选修4-4:坐标系与参数方程］ 25. 在平面直角坐标系xOy 中，点F （1，0），直线x= - 1与动直线y=n 的交点 为M ,线段MF 的中垂线与动直线y=n 的交点为P .（I ）求点P 的轨迹r 的方程；（U ）过动点M 作曲线r 的两条切线，切点分别为 A ，B ,求证：/ AMB 的大 小为定值.V i XiJ<22.已知矩阵A= a 3： ，若A j =.2 d .2 _4B.选修4-2 :矩阵与变换求矩阵A 的特征值.[ 选修4-5 ：不等式选讲]26. 已知集合U={1, 2,…，n} (n€ N*, n》2),对于集合U的两个非空子集A, B,若A A B=?,则称(A, B)为集合U的一组互斥子集”记集合U的所有互斥子集”的组数为f (n)(视(A ,B )与(B, A )为同一组互斥子集”.(1)写出 f (2), f (3), f (4)的值；(2)求f(n).2017年江苏省连云港市、徐州市、宿迁市高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题5分，满分70分，江答案填在答题纸上）1 •已知集合A={ - 1, 1, 2} , B={0, 1, 2, 7}，则集合A U B 中元素的个数为 5 .【考点】1D :并集及其运算.【分析】利用并集定义直接求解.【解答】解：•••集合 A={ - 1, 1, 2} , B={0, 1, 2, 7},••• A U B={ - 1, 0, 1, 2, 7},集合A U B 中元素的个数为5.故答案为：5.故答案为：1. 2 2 ■— — =1的离心率是4 3 【考点】KC :双曲线的简单性质. 2 •设 a,b € R,'，l-*i=a+bi （i 为虚数单位），则b 的值为_1 【考点】 A5:复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出. 【解答】a+bi= (1H (1-0(1+13 2.b=1.2i =i. 3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 V7=a+bi （i 为虚数单位）， 解：••• a, b €R ,【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a2、b2的值，由双曲线的几何性质可得c 的值，进而由双曲线的离心率公式计算可得答案.则 a 2=4, b 2=3,则 c=.」一一， 则其离心率e=== J ；a 2 故答案为：千.4 •现有三张识字卡片，分别写有 中”、国”、梦”这三个字•将这三张卡片随 机排序，则能组成 中国梦”的概率是二•--【考点】CC ：列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】将这三张卡片随机排序，基本事件总数为： n =A>6,能组成 中国梦 包含的基本事件个数m=1，由此能求出能组成 中国梦”的概率.【解答】解：现有三张识字卡片，分别写有 中”、国”、梦”这三个字. 将这三张卡片随机排序，基本事件总数为： n=； =6， 能组成 中国梦”包含的基本事件个数 m=1， •••能组成 中国梦”的概率p 亠故答案为：士.【解答】解：根据题意，双曲线的方程为 ?2 X4 35•如图是一个算法的流程图，则输出的 k 的值为 6=1,【考点】EF :程序框图.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序，即可得出 结论.【解答】解：分析流程图所示的顺序知： k=2, 22 - 14+10=0,不满足条件k 2- 7k+10>0,执行循环体； k=3, 32 - 21+10=-2,不满足条件k 2- 7k+10>0,执行循环体； k=4, 42 - 28+10=- 2,不满足条件k 2- 7k+10>0,执行循环体； k=5, 52 - 35+10=0,不满足条件k 2- 7k+10>0,执行循环体； k=6, 62 - 42+10=4,满足条件k 2- 7k+10>0,退出循环，输出k=6. 故答案为：6.6.已知一组数据3, 6, 9, 8, 4,则该组数据的方差是 5.2 .【考点】BC ：极差、方差与标准差.【分析】利用定义求这组数据的平均数和方差即可. 【解答】解：数据3, 6, 9, 8, 4的平均数为：n 11k =「x( 3+6+9+8+4) =6,方差为：s 2#x ［ (3 -6) 2+ (6 -6) 2+ (9 -6) 2+ (8 -6) 2+ (4 - 6) 2］孝 =5.2.故答案为：5.2.【考点】7C ：简单线性规划.7.已知实数x , y 满足*芷｛1，则］的取值范围是【分析】由约束条件作出可行域，再由 的几何意义，即可行域内的动点与定点O (0, 0)连线的斜率求解. O (0, 0)连线的斜率,【解答】解：由约束条件彳尺3作出可行域如图, 卫十丫＞2联立方程组求得A (3,- 1), B (3, 2), 又「厂•-, •••号的取值范围是［弓 寺，自- 故答案为：［ ，刼- 8•若函数 f (x ) =2sin (2x+©) (0v©<— 7 JU )的图象过点(0,回,贝U函数f (X ) 兀 巨’12【考点】H2：正弦函数的图象. 【分析】根据函数f (x )图象过点(0,.；)求出©的值，写出f (x )解析式, 再根据正弦函数的图象与性质求出f (x )在［0, n上的单调减区间. 在［0, n上的单调减区间是_［ 1【或( )也正确】 兀【解答】解：函数f (X ) =2sin (2x+©) (O v ©v ——)的图象过点(0,.；), f (0) =2sin ©二：, sin 7又••• O v ©V兀 .©三丁,令k=o ,得函数f （x ）在［o , n 上的单调减区间是［—,］,19. 在公比为q 且各项均为正数的等比数列｛a n ｝中，S n 为｛a n ｝的前n 项和.若a i =,q且S 5=S 2+2，则q 的值为2— 【考点】89:等比数列的前n 项和.【分析】由 a 1= 2，且 S 5=S 2+2, q >0.可得 a 3+a 4+a 5=aQ化简解出即可得出.z2as+a 4+a5^^q(1+q+q ) =2,/. q 2+q - 1=0, 解得q= ' 故答案为:10. 如图，在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1中，已知 AB=AA 1=3,点P 在棱CC 1上, 则三棱锥P - ABA 1的体积为——.兀~2 兀+2k nC 2x 十解得/. f (x ) =2sin (2x73兀3+2k nC 2x <-- 6 F 兀 +k n< x C— +2k n, k € Z ,+2k n, k €Z ,兀12+k n, k €Z ;故答案为：［12 ' 12 ］【或（ 12 ' 12）也正确】.:_(1 +q+q 2) =2,代入【解答】解：I ai,且 S 5=S 2+2, q >0.1的距离即为△ ABC的高，由此能求出三棱锥P - ABA i【解答】解：•••在正三棱柱ABC -A iB iC i 中，AB=AA i =3,点P 在棱CC i 上, •••点P 到平面ABAi 的距离即为△ ABC的高，即为h=：7〔一 ：,c1 9三棱锥P - ABA i 的体积为：V=i 一.「“ = ；•故答案为：二.ii .如图，已知正方形ABCD 的边长为2, BC 平行于x 轴，顶点A , B 和C 分 别在函数y i =3log a x , y 2=2log a x 和y 3=log a x (a >i )的图象上，则实数 a 的值为yo仁7【考点】4N ：对数函数的图象与性质.【分析】设B (x , 2log a x ),利用BC 平行于x 轴得出C (x 2, 2log a x ),利用AB 垂直于x 轴得出A (x , 3log a x ),则正方形ABCD 的边长从横纵两个角度表示 为log a x=x 2-x=2 ,求出x ,再求a 即可..【解答】解：设 B(x , 2log a x ), ■/ BC 平行于 x 轴,• C(x', 2log a x )即 log a x ' =2l (a g ,的体积.棱台的体积.:.x' =2x二正方形ABCD 边长=| BC| =x2- x=2,解得x=2.由已知，AB垂直于x轴，二A (x, 3log a x),正方形ABCD边长=| AB | =3log a x—2log a x=log a x=2，即log a2=2,^ a二.:,故答案为：一.12. 已知对于任意的x €(-x, 1)U( 5, +X),都有x2—2 (a—2) x+a> 0, 则实数a的取值范围是(1, 5].【考点】3W：二次函数的性质.【分析】对△进行讨论，利用二次函数的性质列不等式解出.【解答】解：△ =4 (a-2) 2- 4&=4孑-20a+16=4 (a- 1) (a- 4).(1)若Av O,即1v a v4时，x2- 2 (a-2) x+a>0在R上恒成立，符合题意；(2)若厶=0,即a=1或a=4时，方程x2- 2 (a- 2) x+a>0的解为x工a- 2, 显然当a=1时，不符合题意，当a=4时，符合题意；(3)当厶> 0,即a v 1 或a>4 时，t x2- 2 (a- 2) x+a>0 在(—x, 1) U (5, +x)恒成立，I 25-10(呂-刃+丑>0,解得3v a<5,J<a-2<5又a v 1 或a>4,. 4v a<5.综上，a的范围是(1, 5].故答案为(1, 5].13. 在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x+2) 2+ (y —m) 2=3，若圆C存在以G 为中点的弦AB，且AB=2GO，贝U实数m的取值范围是?.【考点】J9:直线与圆的位置关系.【分析】求出G的轨迹方程，得两圆公共弦，由题意，圆心(- 2, m)到直线L 2 7v二，即可求出实数m的取值范围. 的距离d=【解答】解：设G (x, y),则••• AB=2G0 ,--2一 .，一- - ,；-i . =2 , ■,■ ■-,化简可得x2+y2+2x -2两圆方程相减可得2x - my^-m 2^-=0故答案为？.兀14. 已知△ ABC 三个内角A , B, C 的对应边分别为a, b , c ,且C 〒，c=2.当 厂•「取得最大值时，丄的值为 2+.「；. 【考点】9V ：向量在几何中的应用.【分析】根据正弦定理用A 表示出b ,代入「=2bcosA ，根据三角恒等变换 化简得出当寸爪;取最大值时A 的值，再计算sinA , sinB 得出答案.2兀 ••• B =—3■-A )=2cos A+希sinA ,「•A -- =bccosA=2bcosA=4coWA+ 一 sin2A2由题意，圆心（-2, m ）到直线的距离兀【解答】解：：C=由正弦定理得 sinB "sinCV3 + ” cos2A ) +2 兀in (2A 忖)+2,•/ A+B= §，二 0< A <兀冗322兀亍兀-- * --- ►-厂时，、-取得最大值,此时，B= 兀7K 1212b= - sin (< :；,无解,2TC即A==2+2cos2A+ 一sin2A -1=-L sin2A4=s【分析】(1 )在厶ABC 中，求出sinA=J]—匚口 J 技二瓦•, sin /ACB=】. 可得 cosB= _ cos (A+/ACB ) =s in As in / ACB _ cosAcosB ;(2)在厶ABC 中，由正弦定理得，AB 二子一sin / ACB .在厶BCD 中，由余弦定理得，CD= ；…-:•…4【解答】解：(1)在厶ABC 中，cosA 亍，A €(0，n)，所以 si nA 二！一：一二 二二.112同理可得，si n / ACB 二苕.所以 cosB 二coq n-( A + / ACB )[二-cos (A + / ACB ) sinA=sin 兀 12 兀 兀 3 '4 sinB=sin ( 平啤=2巫 a ginA Vi-TI 故答案为2+ ::. 1 2 X 2 4 二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 4 5 15.如图，在△ ABC 中，已知点 D 在边 AB 上, AD=3DB ,cosA 話,cos / ACB=p BC=13. ) =sin ( V2_ 2 4=si nAsi n / ACB —cosAcos/ ACB二一；二・16.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，点E 在棱PC 上(异于 点P , C )，平面ABE 与棱PD 交于点F .(1) 求证:AB // EF ；(2) 若平面PAD 丄平面ABCD ，求证：AE 丄EF .【考点】LZ :平面与平面垂直的性质.【分析】(1)推导出AB // CD ,从而AB //平面PDC ，由此能证明AB // EF .(2)推导出AB 丄AD ，从而AB 丄平面PAD ，进而AB 丄AF ，由AB // EF ,能证 明AF 丄EF .【解答】证明：(1)因为ABCD 是矩形，所以AB // CD .又因为AB?平面PDC ，CD?平面PDC ，所以AB //平面PDC .又因为AB?平面ABEF ，平面 ABEF G 平面PDC=EF ， BC sinA(2)在厶ABC 中，由正弦定理得， 又 AD=3DB ，所以 DB —" -.在厶BCD 中，由余弦定理得，CD=n 「—AB= sin / ACB=所以AB // EF.(2)因为ABCD是矩形，所以AB丄AD .又因为平面 PAD 丄平面ABCD ，平面PAD G 平面ABCD=AD , AB?平面ABCD ，所以AB 丄平面PAD .又AF?平面PAD ，所以AB 丄AF .又由(1)知AB // EF ,所以AF 丄EF .分别为A ，B ，过右焦点F 的直线I 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方).(1) 若QF=2FP ,求直线I 的方程；(2) 设直线AP ，BQ 的斜率分别为k i , k 2,是否存在常数 入，使得k i =Xk? 若 【分析】(1)由椭圆方程求出a, b ，c ，可得F 的坐标，设P (x i ，y i )，Q (x 2, y 2)，直线I 的方程为x=my+1，代入椭圆方程，求得 P , Q 的纵坐标，再由向量 共线的坐标表示，可得 m 的方程，解方程可得m ,进而得到直线I 的方程；(2)运用韦达定理可得 y 什y 2, y 1y 2, my 1y 2，由 A (- 2, 0), B (2, 0), P (X 1, y 1), Q (X 2, y 2), x 1=my 1+1, x 2=my 2+1,运用直线的斜率公式，化简整理计算可得常数 入的值，即可判断存在. 17.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 2 =1的左、右顶点【考点】KL :直线与椭圆的位置关系.【解答】解：(1)因为a=4, b2=3，所以c= '. i ■ =1, 所以F的坐标为(1, 0),设 P (x i , y i ), Q (X 2, y 2),直线 l 的方程为 x=my+1,=1 ,得(4+3m 2) y 2+6my — 9=0,i8.某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E 为上切点），与左右两边相交（F , G 为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已AR 1知圆的半径为1m 且等》丄,设/ EOF H ,透光区域的面积为S.（1）求S 关于B 的函数关系式,并求出定义域;则y i = ,y 2= 4+3m £ 若 QF=2FP,即 一 =2「,4+3 m 2 -3m-6v 1+n)21 e 丁如6寸i+£ 4+3.rn Z I 203m 2 解得m=故直线I 的方程为— 2y -.皆0.(2) 6m 由(° 知，yi +y2=-「： , yiy2=-g4+3 m 所以 my i y 2=—所以 =二(y i +y 2), (—2 , 0), B (2 , 0), P (x i , y i ), Q (X 2 , y 2), x i =my i +i , X 2=my 2+i , k l% 训叫以呵申敖珥十叫）十知代入椭圆方程则 k 2.&， 2）， S=4S\OFH +4S 阴影 OEF =2S in A B ••• sin £ 0 co+4X 丄 0 =sin2+0 0; 7T —，■: ）； ••• S 关于0的函数关系式为 S=sin2 +2 0, 0€ [+，—）； C(2)由 S 矩形=AD?AB=2 x 2sin 0 =4sin 02sin cos 9 +2 9 cos B4sin 9 =2 T 2sin 9r i d cos ~2~ L •血 -y sin+ 蚯1"，氏[ 2sin 2 9（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好•当该比值最大 【考点】HN :在实际问题中建立三角函数模型. 【分析】（1）过点0作0H 丄FG 于H ，写出透光面积S 关于B 的解析式S ,并 求出B 的取值范围； （2）计算透光区域与矩形窗面的面积比值，构造函数，利用导数判断函数的单 调性， 求出比值最大时对应边 AB 的长度. 【解答】解：（1）过点0作0H 丄FG 于H ,•••/OFH= / EOF=0； 又 OH=OFsi rt) =sin 0 FH=OFcosB =cos ， 时，求边AB 的长度. 兀si FL & -B cus 。
江苏省连云港、徐州、宿迁三市高三数学下学期第三次模
2015年江苏省连云港、徐州、宿迁三市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。
不需写出解答过程。
请把答案写在答题卡的指定位置上。
1．已知复数z=i（3+4i）（i为虚数单位），则z的模为．2．已知集合A={﹣1，3}，B={2，4}，则A∩B= ．3．如图是某市2014年11月份30天的空气污染指数的频率分布直方图．根据国家标准，污染指数在区间[0，51）内，空气质量为优；在区间[51，101）内，空气质量为良；在区间[101，151）内，空气质量为轻微污染；…，由此可知该市11月份空气质量为优或良的天数有天．4．执行如图所示的程序框图，则输出k的值是．5．已知集合A={0，1}，B={2，3，4}，若从A，B中各取一个数，则这两个数之和不小于4的概率为．6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a5=26，S4=28，则a10的值为．7．设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为．8．已知双曲线C的离心率为2，它的一个焦点是抛物线x2=8y的焦点，则双曲线C的标准方程为．9．f（x）=sin（ωx+）（0＜ω＜2），若f（）=1，则函数f（x）的最小正周期为．10．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为．11．如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M，N分别为半径OP，OQ的中点，A为上任意一点，则•的取值范围是．12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1，点A（0，2），若圆C上存在点M，满足MA2+MO2=10，则实数a的取值范围是．13．已知实数x，y满足条件，若不等式m（x2+y2）≤（x+y）2恒成立，则实数m 的最大值是．14．函数f（x）=a x﹣x2（a＞1）有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，计90分。
2016-2017年江苏苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)联考高三上学期数学期末试卷与解析
2016-2017学年江苏省苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）联考高三（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）已知集合A={﹣2，0}，B={﹣2，3}，则A∪B=．2．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z=2i，其中i为虚数单位，则z的模为．3．（5分）某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个分数的方差为．4．（5分）根据如图所示的伪代码，则输出S的值为．5．（5分）从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为．6．（5分）若抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线的右焦点，则实数a的值为．7．（5分）已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为．8．（5分）若函数的最小正周期为，则的值为．9．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2a2+3，S3=2a3+3，则公比q 的值为．10．（5分）已知函数f（x）是定义R在上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣3，则不等式f（x）≤﹣5的解集为．11．（5分）若实数x，y满足，则的最小值为．12．（5分）已知非零向量满足，则与夹角的余弦值为．13．（5分）已知A，B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围为．14．（5分）已知函数，若函数f（x）的图象与直线y=x有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤）15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cosA（bcosC+ccosB）=a．（1）求角A的值；（2）若，求sin（B﹣C）的值．16．（14分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD 为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．求证：（1）直线MN∥平面EBC；（2）直线EA⊥平面EBC．17．（14分）如图，已知A，B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1km处，tan∠BAN=，∠BCN=，现计划铺设一条电缆联通A，B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km、4万元∕km．（1）求A，B两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．（i）当直线PA的斜率为时，求△MFN的外接圆的方程；（ii）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求△PAQ的面积的最大值．19．（16分）已知函数．（1）解关于x（x∈R）的不等式f（x）≤0；（2）证明：f（x）≥g（x）；（3）是否存在常数a，b，使得f（x）≥ax+b≥g（x）对任意的x＞0恒成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a，（a n+1）（a n+1+1）=6（S n+n），n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若对于∀n∈N*，都有S n≤n（3n+1）成立，求实数a取值范围；（3）当a=2时，将数列{a n}中的部分项按原来的顺序构成数列{b n}，且b1=a2，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{b n}．附加题[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，D为弧BC的中点，E为BC的中点，求证：AB•BC=2AD•BD．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22．已知矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为=，求实数a，b的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l：ρsin（θ﹣）=m（m∈R），圆C的参数方程为（t为参数）．当圆心C到直线l的距离为时，求m的值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．已知a，b，c为正实数，+++27abc的最小值为m，解关于x的不等式|x+l|﹣2x＜m．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．甲、乙、丙分别从A，B，C，D四道题中独立地选做两道题，其中甲必选B 题．（1）求甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率；（2）设随机变量X表示D题被甲、乙、丙选做的次数，求X的概率分布和数学期望E（X）．26．已知等式（1+x）2n﹣1=（1+x）n﹣1（1+x）n．（1）求（1+x）2n﹣1的展开式中含x n的项的系数，并化简：+C+…+；（2）证明：（）2+2（）2+…+n（）2=n．2016-2017学年江苏省苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）联考高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）已知集合A={﹣2，0}，B={﹣2，3}，则A∪B={﹣2，0，3} ．【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={﹣2，0}，B={﹣2，3}，∴A∪B={﹣2，0，3}．故答案为：{﹣2，0，3}．2．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z=2i，其中i为虚数单位，则z的模为．【分析】由（1﹣i）z=2i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1﹣i）z=2i，得=，则z的模为：．故答案为：．3．（5分）某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个分数的方差为14．【分析】求出剩下的4个分数平均数，代入方差公式，求出方差即可．【解答】解：剩下的4个分数是：42，44，46，52，平均数是：46，故方差是：（16+4+0+36）=14，故答案为：14．4．（5分）根据如图所示的伪代码，则输出S的值为20．【分析】根据条件进行模拟计算即可．【解答】解：第一次I=1，满足条件I≤5，I=1+1=2，S=0+2=2，第二次I=2，满足条件I≤5，I=2+1=3，S=2+3=5，第三次I=3，满足条件I≤5，I=3+1=4，S=5+4=9，第四次I=4，满足条件I≤5，I=4+1=5，S=9+5=14，第五次I=5，满足条件I≤5，I=5+1=6，S=14+6=20，第六次I=6不满足条件I≤5，查询终止，输出S=20，故答案为：205．（5分）从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为．【分析】基本事件总数n=，再用列举法求出所取2个数的和能被3整除包含的基本事件个数，由此能求出所取2个数的和能被3整除的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取2个数，基本事件总数n=，所取2个数的和能被3整除包含的基本事件有：（1，2），（1，5），（2，4），（3，6），（4，5），共有5个，∴所取2个数的和能被3整除的概率p=．故答案为：．6．（5分）若抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线的右焦点，则实数a的值为1．【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的右焦点，由题意可得方程，解方程即可得到a的值．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线的右焦点为（，0），由题意可得为=2，解得a=1．故答案为：1．7．（5分）已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为．【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．【解答】解：∵圆锥的底面直径与高都是2，∴母线长为：=，∴圆锥的侧面积为：πrl=．故答案为：．8．（5分）若函数的最小正周期为，则的值为﹣．【分析】利用正弦函数的周期性求得ω，再利用诱导公式求得的值．【解答】解：∵函数的最小正周期为=，∴ω=10，则=sin（10π•﹣）=sin=sin=﹣sin=﹣，故答案为：．9．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2a2+3，S3=2a3+3，则公比q 的值为2．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵S2=2a2+3，S3=2a3+3，∴a1=a1q+3，a1（1+q）=+3，∴q2﹣2q=0，q≠0．则公比q=2．故答案为：2．10．（5分）已知函数f（x）是定义R在上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣3，则不等式f（x）≤﹣5的解集为（﹣∞，﹣3] ．【分析】根据函数奇偶性的性质求出当x＜0的解析式，讨论x＞0，x＜0，x=0，解不等式即可．【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=2x﹣3，∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=2﹣x﹣3，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=2﹣x﹣3=﹣f（x），则f（x）=﹣2﹣x+3，x＜0，当x＞0时，不等式f（x）≤﹣5等价为2x﹣3≤﹣5即2x≤﹣2，无解，不成立；当x＜0时，不等式f（x）≤﹣5等价为﹣2﹣x+3≤﹣5即2﹣x≥8，得﹣x≥3，即x≤﹣3；当x=0时，f（0）=0，不等式f（x）≤﹣5不成立，综上，不等式的解为x≤﹣3．故不等式的解集为（﹣∞，﹣3]．故答案为：（﹣∞，﹣3]．11．（5分）若实数x，y满足，则的最小值为8．【分析】实数x，y满足，可得x=∈，解得y＞3．则=y+3+=y﹣3++6，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵实数x，y满足，∴x=∈，解得y＞3．则=y+3+=y﹣3++6≥+6=8，当且仅当y=4（x=）时取等号．故答案为：8．12．（5分）已知非零向量满足，则与夹角的余弦值为．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理，数形结合求得与夹角的余弦值．【解答】解：非零向量满足，不妨设=1，设与夹角为θ，如图所示：设=，=，=+，则OA=OB=OC=1，设=2=2，则=2﹣，∠ODB即为θ，△OAC和△OBC都是边长等于1的等边三角形．利用余弦定理可得BD==，cosθ==，故答案为：．13．（5分）已知A，B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围为[7，13] ．【分析】求出AB的中点的轨迹方程，即可求出的取值范围．【解答】解：取AB的中点C，则=2||，C的轨迹方程是x2+y2=，|C1C2|=5由题意，||最大值为5+1+=，最小值为5﹣1﹣=．∴的取值范围为[7，13]，故答案为[7，13]．14．（5分）已知函数，若函数f（x）的图象与直线y=x有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为{﹣20，﹣16} ．【分析】因为y=sinx （x＜1）与y=x有1个交点，故只需函数f（x）=x3﹣9x2+25x+a （x≥1）的图象与直线y=x有2个不同的公共点即可，只需g（x）=x3﹣9x2+24x+a （x≥1）与x轴有2个交点即可，【解答】解：因为y=sinx （x＜1）与y=x有1个交点，故只需函数f（x）=x3﹣9x2+25x+a（x≥1）的图象与直线y=x有2个不同的公共点即可，令g（x）=x3﹣9x2+24x+a（x≥1），g′（x）=3x2﹣18x+24=3（x2﹣6x+8）=3（x﹣2）（x﹣4），当x∈（1，2），（4，+∞）时g（x）单调递增，当x∈（2，4）时g（x）单调递减，依题意只需g（x）=x3﹣9x2+24x+a（x≥1）与x轴有2个交点即可，∵g（4）=16+a，g（1）=16+a∴只需g（1）=16+a=0，g（2）=20+a=0，∴a=﹣20或a=﹣16．故答案为{﹣20，﹣16}二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤）15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cosA（bcosC+ccosB）=a．（1）求角A的值；（2）若，求sin（B﹣C）的值．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得2cosAsinA=sinA，结合sinA≠0，可求，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用倍角公式可求sin2B，cos2B，由sin（B﹣C）=sin（2B﹣），利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（1）由正弦定理可知，2cosA（sinBcosC+sinCcosB）=sinA，…（2分）即2cosAsinA=sinA，因为A∈（0，π），所以sinA≠0，所以2cosA=1，即，…（4分）又A∈（0，π），所以．…（6分）（2）因为，B∈（0，π），所以，…（8分）所以，，…（10分）所以=…（12分）==．…（14分）16．（14分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD 为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．求证：（1）直线MN∥平面EBC；（2）直线EA⊥平面EBC．【分析】（1）取BE中点F，连结CF，MF，证明四边形MNCF是平行四边形，所以MN∥CF，即可证明直线MN∥平面EBC；（2）证明BC⊥平面EAB，得到BC⊥EA，又EA⊥EB，BC∩EB=B，EB，BC⊂平面EBC，即可证明直线EA⊥平面EBC．【解答】证明：（1）取BE中点F，连结CF，MF，又M是AE的中点，所以MF=AB，又N是矩形ABCD边CD的中点，所以NC=AB，所以MF平行且等于NC，所以四边形MNCF是平行四边形，…（4分）所以MN∥CF，又MN⊄平面EBC，CF⊂平面EBC，所以MN∥平面EBC．…（7分）（2）在矩形ABCD中，BC⊥AB，又平面EAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面EAB=AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面EAB，…（10分）又EA⊂平面EAB，所以BC⊥EA，又EA⊥EB，BC∩EB=B，EB，BC⊂平面EBC，所以EA⊥平面EBC．…（14分）17．（14分）如图，已知A，B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1km处，tan∠BAN=，∠BCN=，现计划铺设一条电缆联通A，B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km、4万元∕km．（1）求A，B两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？【分析】（1）由tan∠BAN=，∠BCN=，得到|AD|，|DB|、|AB|间的关系，然后利用直角三角形的性质求解；（2）方案①：总铺设费用为5×4=20（万元）．方案②：设∠BPD=θ，则，其中θ0=∠BAN，在Rt△BDP中，，，则总铺设费用为．设，则，，求出函数的极小值，即函数的最小值得答案．【解答】解：（1）过B作MN的垂线，垂足为D，如图示：在Rt△ABD中，，所以，在Rt△BCD中，，所以CD=BD．则，即BD=3，所以CD=3，AD=4，由勾股定理得，（km）．所以A，B两镇间的距离为5km．…（4分）（2）方案①：沿线段AB在水下铺设时，总铺设费用为5×4=20（万元）．…（6分）方案②：设∠BPD=θ，则，其中θ0=∠BAN，在Rt△BDP中，，，所以．则总铺设费用为．…（8分）设，则，令f'（θ）=0，得，列表如下：θf'（θ）﹣0+f（θ）↘极小值↗所以f（θ）的最小值为．所以方案②的总铺设费用最小为（万元），此时．…（12分）而，所以应选择方案②进行铺设，点P选在A的正西方向km处，总铺设费用最低．…（14分）18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．（i）当直线PA的斜率为时，求△MFN的外接圆的方程；（ii）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求△PAQ的面积的最大值．【分析】（1）由题意可知：离心率e==，则a=c，右焦点F到左准线的距离c+=6，即可求得c和a的值，则b2=a2﹣c2=8，即可求得椭圆方程；（2）（i）设直线方程为：y=（x+4），求得M点，即可求得NF的方程和N的坐标，则丨MN丨=6，则以MN为圆心（0，﹣1），半径为3，即x2+（y+1）2=9；（ii）设直线方程为：y=k（x+4），代入椭圆方程，求得P点坐标，求得直线PF 方程，则求得N点坐标，则直线AN：y=﹣﹣，代入椭圆方程，求得M 点坐标，求得丨AM丨，△PAQ的面积S===≤=10．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆C：+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由离心率e==，则a=c，由右焦点F到左准线的距离c+=6，解得：c=2，则a=4，由b2=a2﹣c2=8，∴椭圆的标准方程为：；（2）（i）由（1）可知：椭圆的左顶点（﹣4，0），F（2，0），设直线方程为：y=（x+4），即y=x+2，则M（0，2），k MF==﹣，则k NF=，直线NF：y=（x﹣2）=x﹣4，则N（0，﹣4），丨MN丨=6，则以MN为圆心（0，﹣1），半径为3，即x2+（y+1）2=9，（ii）设直线方程为：y=k（x+4），∴，整理得：（1+2k2）x2+16k2x+32k2﹣16=0，解得：x1=﹣4，x2=，则y2=，则P（，），∴k MF==﹣k，由M（0，4k），F（2，0），∴k NF=，则NF：y=（x﹣2），则N（0，﹣），则直线AN：y=﹣x﹣，代入椭圆方程：整理得：（1+）x2+x+﹣16=0，解得：x1=﹣4，x2=，则y2=﹣，则Q（，﹣），直线PQ的斜率k PQ=，则直线PQ方程y﹣=（x﹣），点A（﹣4，0）到直线PQ的距离d=，由两点之间的距离公式丨PQ丨=，则△PAQ的面积S，S=丨PQ丨•d=ו==≤=8，当且仅当2丨k丨=，即k=时，取最大值，△PAQ的面积的最大值8．19．（16分）已知函数．（1）解关于x（x∈R）的不等式f（x）≤0；（2）证明：f（x）≥g（x）；（3）是否存在常数a，b，使得f（x）≥ax+b≥g（x）对任意的x＞0恒成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可；（2）设h（x）=f（x）﹣g（x），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，证出结论即可；（3）假设存在，得到对任意的x＞0恒成立，根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（1）当a=0时，，所以f（x）≤0的解集为{0}；当a≠0时，，若a＞0，则f（x）≤0的解集为[0，2ea]；若a＜0，则f（x）≤0的解集为[2ea，0]．综上所述，当a=0时，f（x）≤0的解集为{0}；当a＞0时，f（x）≤0的解集为[0，2ea]；当a＜0时，f（x）≤0的解集为[2ea，0]．…（4分）（2）设，则．令h'（x）=0，得，列表如下：xh'（x）﹣0+h（x）↘极小值↗所以函数h（x）的最小值为，所以，即f（x）≥g（x）．…（8分）（3）假设存在常数a，b使得f（x）≥ax+b≥g（x）对任意的x＞0恒成立，即对任意的x＞0恒成立．而当时，，所以，所以，则，所以恒成立，①当a≤0时，，所以（*）式在（0，+∞）上不恒成立；②当a＞0时，则，即，所以，则．…（12分）令，则，令φ'（x）=0，得，当时，φ'（x）＞0，φ（x）在上单调增；当时，φ'（x）＜0，φ（x）在上单调减．所以φ（x）的最大值．所以恒成立．所以存在，符合题意．…（16分）20．（16分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a，（a n+1）（a n+1+1）=6（S n+n），n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若对于∀n∈N*，都有S n≤n（3n+1）成立，求实数a取值范围；（3）当a=2时，将数列{a n}中的部分项按原来的顺序构成数列{b n}，且b1=a2，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{b n}．【分析】（1）当n=1时，（a1+1）（a2+1）=6（S1+1），故a2=5；当n≥2时，（a n﹣1+1）（a n+1）=6（S n﹣1+n﹣1），可得（a n+1）（a n+1﹣a n﹣1）=6（a n+1），因此a n+1﹣a n﹣1=6，分奇数偶数即可得出．（2）当n为奇数时，，由S n≤n（3n+1）得，恒成立，利用单调性即可得出．当n为偶数时，，由S n ≤n（3n+1）得，a≤3（n+1）恒成立，即可得出．（3）证明：当a=2时，若n为奇数，则a n=3n﹣1，所以a n=3n﹣1．解法1：令等比数列{b n}的公比q=4m（m∈N*），则．设k=m（n﹣1），可得5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+...+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+ (4)﹣1）+2]﹣1，…．因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，可得数列{b n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，进而证明结论．解法2：设，所以公比．因为等比数列{b n}的各项为整数，所以q为整数，取，则q=3m+1，故，由得，，n≥2时，，可得k n 是正整数，因此以数列{b n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，即可证明．【解答】解：（1）当n=1时，（a1+1）（a2+1）=6（S1+1），故a2=5；当n≥2时，（a n﹣1+1）（a n+1）=6（S n﹣1+n﹣1），所以（a n+1）（a n+1+1）﹣（a n﹣1+1）（a n+1）=6（S n+n）﹣6（S n﹣1+n﹣1），即（a n+1）（a n+1﹣a n﹣1）=6（a n+1），又a n＞0，所以a n+1﹣a n﹣1=6，…（3分）所以a2k﹣1=a+6（k﹣1）=6k+a﹣6，a2k=5+6（k﹣1）=6k﹣1，k∈N*，故…（5分）（2）当n为奇数时，，由S n≤n（3n+1）得，恒成立，令，则，所以a≤f（1）=4．…（8分）当n为偶数时，，由S n≤n（3n+1）得，a≤3（n+1）恒成立，所以a≤9．又a1=a＞0，所以实数a的取值范围是（0，4]．…（10分）（3）证明：当a=2时，若n为奇数，则a n=3n﹣1，所以a n=3n﹣1．解法1：令等比数列{b n}的公比q=4m（m∈N*），则．设k=m（n﹣1），因为，所以5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+…+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+…+4k﹣1）+2]﹣1，…（14分）因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，所以数列{b n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{b n}有无数个．…（16分）解法2：设，所以公比．因为等比数列{b n}的各项为整数，所以q为整数，取，则q=3m+1，故，由得，，而当n≥2时，，即，…（14分）又因为k1=2，5m（3m+1）n﹣2都是正整数，所以k n也都是正整数，所以数列{b n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，因为公比q=3m+1（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{b n}有无数个．…（16分）附加题[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，D为弧BC的中点，E为BC的中点，求证：AB•BC=2AD•BD．【分析】证明△ABD∽△BDE，即可证明结论．【解答】证明：因为D为弧BC的中点，所以∠DBC=∠DAB，DC=DB，因为AB为半圆O的直径，所以∠ADB=90°，又E为BC的中点，所以EC=EB，所以DE⊥BC，所以△ABD∽△BDE，所以，所以AB•BC=2AD•BD．…（10分）[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22．已知矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为=，求实数a，b的值．【分析】由条件知，Aα=2α，从而，由此能求出a，b的值．【解答】解：∵矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为a=，∴由条件知，Aα=2α，即，即，…（6分）∴，解得∴a，b的值分别为2，4．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l：ρsin（θ﹣）=m（m∈R），圆C的参数方程为（t为参数）．当圆心C到直线l的距离为时，求m的值．【分析】根据极坐标方程，参数方程与普通方程的关系求出曲线的普通方程，利用点到hi直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：由ρsin（θ﹣）=m得ρsinθcos﹣ρcosθsin=m，即x﹣y+m=0，即直线l的直角坐标方程为x﹣y+m=0，圆C的普通方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，圆心C到直线l的距离，解得m=﹣1或m=﹣5．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．已知a，b，c为正实数，+++27abc的最小值为m，解关于x的不等式|x+l|﹣2x＜m．【分析】根据基本不等式的性质求出m的值，从而解不等式即可．【解答】解：因为a，b，c＞0，所以=，当且仅当时，取“=”，所以m=18．…（6分）所以不等式|x+1|﹣2x＜m即|x+1|＜2x+18，所以﹣2x﹣18＜x+1＜2x+18，解得，所以原不等式的解集为．…（10分）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．甲、乙、丙分别从A，B，C，D四道题中独立地选做两道题，其中甲必选B 题．（1）求甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率；（2）设随机变量X表示D题被甲、乙、丙选做的次数，求X的概率分布和数学期望E（X）．【分析】（1）利用古典概率计算公式、相互独立事件概率计算公式即可得出．（2）利用互斥事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）设“甲选做D题，且乙、丙都不选做D题”为事件E．甲选做D题的概率为，乙，丙不选做D题的概率都是．则．答：甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率为．（2）X的所有可能取值为0，1，2，3．，，，．所以X的概率分布为X0123PX的数学期望．26．已知等式（1+x）2n﹣1=（1+x）n﹣1（1+x）n．（1）求（1+x）2n﹣1的展开式中含x n的项的系数，并化简：+C+…+；（2）证明：（）2+2（）2+…+n（）2=n．【分析】（1）（1+x）2n﹣1的展开式中含x n的项的系数为，由可知，（1+x）n ﹣1（1+x）n的展开式中含x n的项的系数为．即可证明．（2）当k∈N*时，=．即可证明．【解答】（1）解：（1+x）2n﹣1的展开式中含x n的项的系数为，由可知，（1+x）n﹣1（1+x）n的展开式中含x n的项的系数为．所以．（2）证明：当k∈N*时，=．所以=．由（1）知，即，所以．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：lo glo g (0,1)logbab N N b b a =>≠且 【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。
2016届江苏省苏北四市高三数学一模
2016届江苏省苏北四市高三数学一模一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合A=0,a，B=0,1,3，若A∪B=0,1,2,3，则实数a的值为．2. 已知复数z满足z2=−4，若z的虚部大于0，则z=．3. 交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50∽90 km/h的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图（如图所示），则速度在70 km/h以下的汽车有辆．4. 运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为．S←1I←1While I<5 S←S+2End WhilePrint S5. 函数f x=2sinωx+φφ>0的部分图象如图所示，若AB=5，则ω的值为．6. 若随机安排甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天值班的概率为．7. 抛物线y2=4x的焦点到双曲线x216−y29=1渐近线的距离为．8. 已知矩形ABCD的边AB=4，BC=3，若沿对角线AC折叠，使平面DAC⊥平面BAC，则三棱锥D−ABC的体积为．9. 若公比不为1的等比数列a n满足log2a1⋅a2⋯⋯a13=13，等差数列b n满足b7=a7，则b1+b2+⋯⋯+b13的值为．10. 定义在R上的奇函数f x满足当x≥0时，f x=log22+x+a−1x+b（a，b为常数）．若f2=−1，则f−6的值为．11. 已知OA=OB=2，且OA⋅OB=1．若点C满足OA+CB=1，则OC的取值范围是．12. 已知函数f x=2x+cos x,x≥0,x a−x,x<0,若关于x的不等式f x<π的解集为 −∞,π2，则实数a的取值范围是．13. 已知点A0,1，b1,0，C t,0，点D是直线AC上的动点，若AD≤2BD恒成立，则最小正整数t的值为．14. 已知正数a，b，c满足b+c≥a，则bc +ca+b的最小值为．二、解答题（共12小题；共156分）15. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A=35，tan A−B=−12．Ⅰ求tan B的值；Ⅱ若b=5求c．16. 如图，在四棱锥P−ABCD中，已知底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，点E为棱PD的中点．求证：ⅠPB∥平面EACⅡ平面PAD⊥平面ABCD17. 如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45∘C方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线．为方便游客观光，拟过曲线C上某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则曲线C符合函数y=x+42x21≤x≤9模型，设PM=x，修建两条道路PM，PN 的总造价为f x万元．题中所涉及长度单位均为百米．Ⅰ求f x的解析式；Ⅱ当x为多少时，总造价f x最低?并求出最低造价．18. 已知各项均为正数的数列a n的首项a1=1，S n是数列a n的前n项和，且满足：a n S n+1−a n+1S n+a n−a n+1=λa n a n+1λ≠0,n∈N∗．Ⅰ若a1，a2，a3成等比数列，求实数λ的值；Ⅱ若λ=12，求S n．19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a +y2b=1a>b>0的离心率e=12，左顶点为A−4,0，过点A作斜率为k k≠0的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k k≠0都有OP⊥EQ?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．Ⅲ若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求AD+AEOM的最小值．20. 已知函数f x=e x13x3−2x2+a+4x−2a−4，其中a∈R，e为自然对数的底数．Ⅰ若函数f x的图象在x=0处的切线与直线x+y=0垂直，求a的值；Ⅱ关于x的不等式f x<−43e x在−∞,2上恒成立，求a的取值范围；Ⅲ讨论函数f x极值点的个数．21. 如图，∠PAQ是直角，圆O与射线AP相切于点T，与射线AQ相交于两点B，C．求证：BT平分∠OBA．22. 已知矩阵A=12−14，求矩阵A的特征值和特征向量．23. 在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ2−8ρsin θ−π3+13=0，已知A1,3π2，B3,3π2，P为圆C上一点，求△PAB面积的最小值．24. 设x，y均为正数，且x>y，求证：2x+1x−2xy+y≥2y+3．25. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AB=AC=1，AA1=2，点P是棱BB1上一点，满足BP=λBB10≤λ≤1．Ⅰ若λ=13，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；Ⅱ若二面角P−A1C−B的正弦值为23，求λ的值．26. 已知数列a n满足a n=3n−2，f n=1a1+1a2+⋯+1a n，g n=f n2−f n−1，n∈N∗．Ⅰ求证：g2>13；Ⅱ求证：当n≥3时，g n>13．答案第一部分1. 22. 2i3. 754. 95. π36. 137. 358. 245【解析】V D−ABC=V B−ACD=13×125×6=245.9. 2610. 4【解析】因为函数f x是定义在R上的奇函数，所以f0=0，即1+b=0，又f2=−1，有2a+b=−1，所以a=0，b=−1，又f6=6a−3+b=−4，所以f−6=4．11. −1,+1【解析】因为OA⋅OB=1，所以OA与OB的夹角为π3，设O x,y，A 2,0，B22,62，C x,y，由OA+CB=1，得322−x2+62−y2=1，记为⊙M，设x2+y2=r2，记为⊙C，当两圆外切时r=6−1，当两圆内切时r=6+1，所以r∈6−1,6+1．12. −2π,+∞【解析】因为函数y=2x+cos x是单调递增函数，又2×π2+cosπ2=π，当a>0时不等式f x<π的解集为 −∞,π2成立；当a≤0时，满足不等式f x<π的解集为 −∞,π2，有a2× a−a2<π，解得a∈ −2π,0，所以满足题意a的取值范围是 −2π,+∞ ．13. 4【解析】由题可得直线AC的方程为y=−1t x+1，设D x0,1−1tx0，由AD≤2BD，得x02+x02t2≤4x0−12+41−1t x02，整理得3x021+1t2−8x01+1t+8≥0，则关于x0的方程满足Δ=641+1t 2−961+1t2≤0，解得t≥2+3或t<2−3，所以AD≤2BD恒成立最小正整数t的值为4．14. −12【解析】因为b+c≥a，所以2b+c≥a+b，又因为正数a，b，c，所以1a+b ≥12b+c，所以b c +ca+b≥c2b+c+bc=12bc+1+122bc+1−12≥2−12.当2bc +12=2时，即bc=2−12且b+c=a时取等号，所以bc+ca+b得最小值为2−12.第二部分15. （1）在锐角三角形ABC中，由sin A=35，得cos A=1−sin2A=45，所以tan A=sin Acos A =34．由tan A−B=tan A−tan B1+tan A⋅tan B =−12，得tan B=2．（2）在锐角三角形ABC中，由tan B=2，得sin B=255，cos B=55，所以sin C=sin A+B=sin A cos B+cos A sin B=11525，由正弦定理bsin B =csin C，得c=b sin Csin B=112．16. （1）连接BD与AC相交于点O，连接OE．因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点．因为E为棱PD中点，所以PB∥OE．因为PB⊄平面EAC，OE⊂平面EAC，所以直线PB∥平面EAC．（2）因为PA⊥平面PDC，CD⊂平面PDC，所以PA⊥CD．因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD．因为PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．因为CD⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD．17. （1）在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为y=x+42x1≤x≤9，PM=x，所以点P坐标为 x,x+42x，直线OB的方程为x−y=0，则点P到直线x−y=0的距离为x−x−42x22=42x22=4x2,又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米．则两条道路总造价为f x=5x+40⋅4x2=5 x+32x21≤x≤9．（2）因为f x=5x+40⋅4x =5 x+32x，所以fʹx=51−64x3=5x3−64x3，令fʹx=0，得x=4，列表如下：所以当x=4时，函数f x有最小值，最小值为f4=54+4=30．当x=4时，总造价最低，最低造价为30万元．18. （1）令n=1，得a2=21+λ．令n=2，得a2S3−a3S2+a2−a3=λa2a3，所以a3=2λ+4λ+12λ+1．由a22=a1a3，得21+λ2=2λ+4λ+12λ+1，因为λ≠0，所以λ=1．（2）当λ=12时，a n S n+1−a n+1S n+a n−a n+1=12a n a n+1，所以S n+1a n+1−S na n+1+1a n+1−1a n=12，即S n+1+1a n+1−S n+1a n=12，所以数列S n+1a n 是以2为首项，公差为12的等差数列，所以S n+1a n =2+n−1⋅12，即S n+1=n2+32a n ⋯⋯①，当n≥2时，S n−1+1=n2+22a n−1 ⋯⋯②，①−②得，a n=n+32a n−n+22a n−1，即n+1a n=n+2a n−1，所以a nn+2=a n−1n+1n≥2，所以a nn+2是首项为13是常数列，所以a n=13n+2．代入①得S n=n2+32a n−1=n2+5n6．19. （1）因为左顶点为A−4,0，所以a=4，又e=12，所以c=2．又因为b2=a2−c2=12，所以椭圆C的标准方程为x 216+y212=1．（2）直线l的方程为y=k x+4，由x216+y212=1,y=k x+4,消元得x216+k x+4212=1．化简得x+44k2+3x+16k2−12=0,所以x1=−4，x2=−16k2+124k+3，当x=−16k 2+124k2+3时，y=k−16k2+124k2+3+4=24k4k2+3，所以D−16k 2+124k2+3,24k4k2+3．因为点P为AD的中点，所以P的坐标为−16k 24k+3,12k4k+3，则k OP=−34kk≠0．直线l的方程为y=k x+4，令x=0，得E点坐标为0,4k，假设存在定点Q m,n m≠0，使得OP⊥EQ，则k OP k EQ=−1，即−34k ⋅n−4km=−1恒成立，所以4m+12k−3n=0恒成立，所以4m+12=0,−3n=0,即m=−3,n=0,因此定点Q的坐标为−3,0．（3）因为OM∥l，所以OM的方程可设为y=kx，由x216+y212=1,y=kx,得M点的横坐标为x=±32，由OM∥l，得AD+AE OM =x D−x A+x E−x Ax M=x D−2x Ax M =−16k2+124k+3+8434k2+3=324k2+3=134k+364k2+3≥22,当且仅当4k2+3=2即k=±32时取等号，所以当k=±32时，AD+AEOM的最小值为22．20. （1）由题意，fʹx=e x13x3−x2+ax−a ，因为f x的图象在x=0处的切线与直线x+y=0垂直，所以fʹ0=1，解得a=−1．（2）法一：由f x<−43e x，得e x13x3−2x2+a+4x−2a−4<−43e x，即x3−6x2+3a+12x−6a−8<0对任意x∈−∞,2恒成立，即6−3x a>x3−6x2+12x−8对任意x∈−∞,2恒成立，因为x<2，所以a>x3−6x2+12x+8=−1x−22,记g x=−13x−22，因为g x在−∞,2上单调递增，且g2=0，所以a≥0，即a的取值范围是0,+∞．法二：由f x<−43e x，得e x13x3−2x2+a+4x−2a−4<−43e x，即x3−6x2+3a+12x−6a−8<0.在−∞,2上恒成立，因为x3−6x2+3a+12x−6a−8<0等价于x−2x2−4x+3a+4<0，①当a≥0时，x2−4x+3a+4=x−22+3a≥0恒成立，所以原不等式的解集为−∞,2，满足题意．②当a<0时，记g x=x2−4x+3a+4，有g2=3a<0，所以方程x2−4x+3a+4必有两个根x1，x2，且x1<2<x2，原不等式等价于x−2x−x1x−x2<0，解集为−∞,x1∪2,x2，与题设矛盾，所以a<0不符合题意．综合①②可知，所求a的取值范围是0,+∞．（3）因为由题意，可得fʹx=e x13x3−x2+ax−a ，所以f x只有一个极值点或有三个极值点．令g x=13x3−x2+ax−a，①若f x有且只有一个极值点，所以函数g x的图象必穿过x轴且只穿过一次，即g x为单调递增函数或者g x极值同号．Ⅰ）当g x为单调递增函数时，gʹx=x2−2x+a≥0在R上恒成立，得a≥1．Ⅱ）当g x极值同号时，设x1，x2为极值点，则g x1g x2≥0，由gʹx=x2−2x+a=0有解，得a<1，且x12−2x1+a=0，x22−2x2+a=0，所以x1+x2=2，x1x2=a .所以g x1=1x13−x12+ax1−a=1x12x1−a−x12+ax1−a=−132x1−a−13ax1+ax1−a=23a−1x1−a,同理，g x2=23a−1x2−a，所以g x1g x2=2a−1x1−a⋅2a−1x2−a≥0,化简得a−12x1x2−a a−1x1+x2+a2≥0，所以a−12a−2a a−1+a2≥0，即a≥0，所以0≤a≤1．所以当a≥0时，f x有且仅有一个极值点；②若f x有三个极值点，函数g x的图象必穿过x轴且穿过三次，同理可得a<0；综上当a≥0时，f x有且仅有一个极值点，当a<0时，f x有三个极值点．21. 连接OT．因为AT是切线，所以OT⊥AP．又因为∠PAQ是直角，即AQ⊥AP，所以AB∥OT，所以∠TBA=∠BTO．又OT=OB，所以∠OTB=∠OBT，所以∠OBT=∠TBA，即BT平分∠OBA．22. 矩阵A的特征多项式为fλ=λ−1−21λ−4=λ2−5λ+6，由fλ=0，解得λ1=2，λ2=3．当λ1=2时，特征方程组为x−2y=0, x−2y=0,故属于特征值λ1=2的一个特征向量α1=21；当λ2=3时，特征方程组为2x−2y=0, x−y=0,故属于特征值λ2=3的一个特征向量α2=11．23. 圆C的直角坐标方程为x2+y2+43x−4y+13=0，即 x+232+y−22=3．又A0,−1，B0,−3，所以AB=2．P到直线AB距离的最小值为23−3=3，所以△PAB面积的最小值为12×2×3=3．24. 因为x>0，y>0，x−y>0，2x+122−2y=2x−y+12=x−y+x−y+1x−y2≥3 x−y2123=3,所以2x+1x2−2xy+y2≥2y+3．25. （1）以A为坐标原点O，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O−xyz．因为AB=AC=1，AA1=2，则A0,0,0，B1,0,0，C0,1,0，A10,0,2，B11,0,2，P1,0,2λ．由λ=13得，CP=1,−1,23，A1B=1,0,−2，A1C=0,1,−2，设平面A1BC的法向量为n1=x1,y1,z1，由n1⋅A1B=0,n1⋅A1C=0,得x1−2z1=0,y1−2z1=0,不妨取z1=1，则x1=y1=2，从而平面A1BC的一个法向量为n1=2,2,1．设直线PC与平面A1BC所成的角为θ，则sinθ=cos CP,n1=CP⋅n1CP⋅n1=2233,所以直线PC与平面A1BC所成的角的正弦值为2233．（2）设平面PA1C的法向量为n2=x2,y2,z2，A1P=1,0,2λ−2，由n2⋅A1C=0,n2⋅A1P=0,得y2−2z2=0,x2+2λ−2z2=0,不妨取z2=1，则x2=2−2λ，y2=2，所以平面PA1C的法向量为n2=2−2λ,2,1．则cos n1,n2=34λ2−+98λ,又因为二面角P−A1C−B的正弦值为23，2=53，化简得λ2+8λ−9=0，解得λ=1或λ=−9（舍去），故λ的值为1．26. （1）由题意知，a n=3n−2，g n=1a n +1a n+1+1a n+2+⋯+1a n2当n=2时，g2=1a2+1a3+1a4=14+17+110=69140>13．（2）用数学归纳法加以证明：①当n=3时，g3=13+14+15+⋯+19=17+110+113+116+119+122+125=17+110+113+116+119+122+125>1+1+1+1+1+1+1=18+316+332>1+3+1>1 ,所以当n=3时，结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即g k>13，则n=k+1时，g k+1=g k+1a k2+1+1a k2+2+⋯+1a k+12−1a k>1+1k2+1+1k2+2+⋯+1k+12−1k>13+2k+13k+12−2−13k−2=13+2k+13k−2−3k+12−23k+12−23k−2=1+3k2−7k−32,由k≥3，可知3k2−7k−3>0，即g k+1>13．所以当n=k+1时，结论也成立．综合①②可得，当n≥3时，g n>13．。
2016届高考模拟试题_江苏省宿迁市三校2016届高三年级学情调研数学试卷附答案
宿迁市三校2016届高三年级学情调研卷 数 学 2015.09注意事项：1．本试卷共3页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期为 ▲ ． 2．已知复数z ＝11＋i，其中i 是虚数单位，则|z |＝ ▲ ．3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取 ▲ 名学生． 4．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加 学校会议，则甲被选中的概率是 ▲ ． 5．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(0，－1)．若(a ＋λb )⊥a ， 则实数λ＝ ▲ ．6．右图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ▲ ．7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ ．8．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是 ▲ ． 9．设f (x )＝x 2－3x ＋a ．若函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．已知a ＋2c ＝2b ，sin B ＝2sin C ，则cos A ＝ ▲ ．11．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ， x ≥1，－x ＋3a ，x ＜1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为 ▲ ．（第6题图）12．记数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S n ＝2(a 1＋a n )(n ≥2，n ∈N *)，则S n ＝ ▲ ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0，点A ，B 在圆C 上，且AB ＝23，则|OA →＋OB →|的最大值是 ▲ ．14．已知函数f (x )＝x －1－(e －1)ln x ，其中e 为自然对数的底，则满足f (e x )＜0的x 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(π2，－2)．（1）求φ的值；（2）若f (α2)＝65，－π2＜α＜0，求sin(2α－π6)的值．16．（本小题满分14分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 1的中点． （1）求证：MN ∥平面AA 1C 1C ；（2）若CC 1＝CB 1，CA ＝CB ，平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，求证：AB 平面CMN ．A 1ABC B 1C 1MN（第16题图）17．（本小题满分14分）已知{a n}是等差数列，其前n项的和为S n，{b n}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝21，S4＋b4＝30．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．18．（本小题满分16分）给定椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，称圆C1：x2＋y2＝a2＋b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为32，且经过点(0，1)．（1）求实数a，b的值；（2）若过点P(0，m)(m＞0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为22，求实数m的值．19．（本小题满分16分）如图（示意），公路AM 、AN 围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tan α＝－2．在该块土地中P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM ，AN 的距离分别为3km ，5km ．现要过点P 修建一条直线公路BC ，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B 点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．20．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝ax 3＋|x －a |，a ∈R ．（1）若a ＝－1，求函数y ＝f (x ) (x ∈[0，＋∞))的图象在x ＝1处的切线方程； （2）若g (x )＝x 4，试讨论方程f (x )＝g (x )的实数解的个数；（3）当a ＞0时，若对于任意的x 1∈[a ，a ＋2]，都存在x 2∈[a ＋2，＋∞)，使得f (x 1)f (x 2)＝1024，求满足条件的正整数a 的取值的集合．·AMNP（第19题图）αCB宿迁市三校2016届高三年级学情调研卷数学附加题 2015.09注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答．题卡．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，P A 是圆O 的切线，A 为切点，PO 与圆O 交于点B 、C ，AQ OP ，垂足为Q ．若P A ＝4，PC ＝2，求AQ 的长．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤2b 13属于特征值 的一个特征向量为α＝⎣⎡⎦⎤ 1－1 ．（1）求实数b ， 的值；（2）若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下，得到的曲线为C ：x 2＋2y 2＝2，求曲线C 的方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数 )，圆C的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．若点P 是圆C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．（第21题A 图）BD ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：(ax ＋by )(bx ＋ay )≥xy ．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BC ＝2，CC 1＝5，E 是棱CC 1上不同于端点的点，且CE →＝λCC 1→． （1） 当∠BEA 1为钝角时，求实数λ的取值范围；（2） 若λ＝25，记二面角B 1－A 1B －E 的的大小为θ，求|cos θ|．23．某商店为了吸引顾客，设计了一个摸球小游戏，顾客从装有1个红球，1个白球，3个黑球的袋中一次随机的摸2个球，设计奖励方式如下表：（1）某顾客在一次摸球中获得奖励X 元，求X 的概率分布表与数学期望； （2）某顾客参与两次摸球，求他能中奖的概率．（第22题图）ABCDEA 1B 1C 1D 1宿迁市三校2016届高三年级学情调研卷数学参考答案及评分标准 2015.09说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．π 2．22 3．32 4．125．5 6．35 7．2 8． 3 9．(0，94] 10．2411．[12，＋∞) 12．2－2n －1 13．8 14．(0，1)二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）解：（1）因为函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(π2，－2)，所以f (π2)＝2sin(π＋φ)＝－2，即sin φ＝1． …………………………………………… 4分 因为0＜φ＜2π，所以φ＝π2． …………………………………………… 6分（2）由（1）得，f (x )＝2cos2x ． ………………………………………… 8分因为f (α2)＝65，所以cos α＝35．又因为－π2＜α＜0，所以sin α＝－45． …………………………………… 10分所以sin2α＝2sin αcos α＝－2425，cos2α＝2cos 2α－1＝－725．…………………… 12分从而sin(2α－π6)＝sin2αcos π6－cos2αsin π6＝7－24350． …………………… 14分16．（本小题满分14分）证明：（1）取A 1C 1的中点P ，连接AP ，NP ．因为C 1N ＝NB 1，C 1P ＝P A 1，所以NP ∥A 1B 1，NP ＝12A 1B 1． …………………… 2分在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ． 故NP ∥AB ，且NP ＝12AB ．因为M 为AB 的中点，所以AM ＝12AB ．所以NP ＝AM ，且NP ∥AM ． 所以四边形AMNP 为平行四边形．所以MN ∥AP ． ……………………………………… 4分 因为AP ⊂平面AA 1C 1C ，MN ⊄平面AA 1C 1C ，所以MN ∥平面AA 1C 1C ． ……………………………………………… 6分 （2）因为CA ＝CB ，M 为AB 的中点，所以CM ⊥AB ． …………………………… 8分因为CC 1＝CB 1，N 为B 1C 1的中点，所以CN ⊥B 1C 1． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ∥B 1C 1，所以CN ⊥BC ．因为平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，平面CC 1B 1B ∩平面ABC ＝BC ．CN ⊂平面CC 1B 1B ， 所以CN ⊥平面ABC ． …………………………………… 10分 因为AB ⊂平面ABC ，所以CN ⊥AB ． …………………………………… 12分 因为CM ⊂平面CMN ，CN ⊂平面CMN ，CM ∩CN ＝C ，所以AB ⊥平面CMN ． …………………………………… 14分 17．（本小题满分14分）解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d ．……………………………… 3分由条件a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30，得方程组⎩⎨⎧2＋3d ＋2q 3＝21，8＋6d ＋2q 3＝30，解得⎩⎨⎧d ＝1，q ＝2．所以a n ＝n ＋1，b n ＝2n ，n ∈N*． ……………………………… 7分 （2）由题意知，c n ＝(n ＋1)×2n ．记T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ． 则T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n ×2n－1＋(n ＋1)×2n ，A 1ABCB 1C 1MN（第16题图）P2 T n ＝ 2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ＋ (n ＋1)2n ＋1，所以－T n ＝2×2＋(22＋23＋…＋2n )－(n ＋1)×2n ＋1， …………………………… 11分即T n ＝n ·2n ＋1，n ∈N*． ……………………………… 14分18．（本小题满分16分） 解：（1）记椭圆C 的半焦距为c ．由题意，得b ＝1，c a ＝32，c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1． ……………………………………………… 4分 （2）由（1）知，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，圆C 1的方程为x 2＋y 2＝5．显然直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0．…………………………………… 6分 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，故方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1 （*） 有且只有一组解． 由（*）得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0． 从而△＝(8km )2－4(1＋4k 2)( 4m 2－4)＝0．化简，得m 2＝1＋4k 2．① ………………………………………… 10分 因为直线l 被圆x 2＋y 2＝5所截得的弦长为22， 所以圆心到直线l 的距离d ＝5－2＝3． 即|m |k 2＋1＝3． ② ……………………………………… 14分由①②，解得k 2＝2，m 2＝9．因为m ＞0，所以m ＝3． ……………………………………… 16分 19．（本小题满分16分） 解：（方法一）如图1，以A 为原点，AB 为x因为tan α＝－2，故直线AN 的方程是y ＝－2x ． 设点P (x 0，y 0)．因为点P 到AM 的距离为3，故y 0＝3． 由P 到直线AN 的距离为5，得∣2x 0＋y 0∣5＝5，解得x 0＝1或x 0＝－4(舍去)， 所以点P (1，3)． ……………………………… 4分 显然直线BC 的斜率存在．设直线BC 的方程为y －3＝k (x －1)，k ∈(－2，0)． 令y ＝0得x B ＝1－3k． ……………………………… 6分由⎩⎨⎧y －3＝k (x －1)，y ＝－2x解得y C ＝6－2k k ＋2． ……………………………… 8分设△ABC 的面积为S ，则S ＝12⋅x B ⋅y C ＝－k 2＋6k －9k 2＋2k ＝－1＋8k －9k 2＋2k ． …………… 10分 由S '＝－2(4k ＋3)(k －3)(k 2＋2k )2＝0得k ＝－34或k ＝3． 当－2＜k ＜－34时，S '＜0，S 单调递减；当－34＜k ＜0时，S '＞0，S 单调递增．… 13分所以当k ＝－34时，即AB ＝5时，S 取极小值，也为最小值15．答：当AB ＝5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km 2．…………… 16分 （方法二）如图1，以A 为原点，AB 为x 轴，建立平面直角坐标系． 因为tan α＝－2，故直线AN 的方程是y ＝－2x ． 设点P (x 0，y 0)．因为点P 到AM 的距离为3，故y 0＝3． 由P 到直线AN 的距离为5， 得∣2x 0＋y 0∣5＝5，解得x 0＝1或x 0＝－4(舍去)， 所以点P (1，3)． ……………………………… 4分 显然直线BC 的斜率存在．设直线BC 的方程为y －3＝k (x －1)，k ∈(－2，0)． 令y ＝0得x B ＝1－3k． ……………………………… 6分由⎩⎨⎧y －3＝k (x －1)，y ＝－2x解得y C ＝6－2k k ＋2． ……………………………… 8分设△ABC 的面积为S ，则S ＝12⋅x B ⋅y C ＝－k 2＋6k －9k 2＋2k ＝－1＋8k －9k 2＋2k ． …………… 10分 令8k －9＝t ，则t ∈(－25，－9)，从而k ＝t ＋98．因此S ＝－1＋t (t ＋98)2＋2×t ＋98＝－1＋64t t 2＋34t ＋225＝－1＋6434＋t ＋225t ．……… 13分因为当t ∈(－25，－9)时，t ＋225t∈(－34，－30]， 当且仅当t ＝－15时，此时AB ＝5，34＋t ＋225t 的最大值为4．从而S 有最小值为15．答：当AB ＝5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km 2．…………… 16分 （方法三）如图2，过点P 作PE ⊥AM ，PF ⊥AN ，垂足为E 、F ，连接P A ．设AB ＝x ，AC ＝y ． 因为P 到AM ，AN 的距离分别为3，5， 即PE ＝3，PF ＝5．由S △ABC ＝S △ABP ＋S △APC＝12⋅x ⋅3＋12⋅y ⋅ 5 ＝12(3x ＋5y )． ① …… 4分 因为tan α＝－2，所以sin α＝25． 所以S △ABC ＝12⋅x ⋅y ⋅ 25． ② ……………………………………… 8分由①②可得12⋅x ⋅y ⋅ 25＝12(3x ＋5y )．即35x ＋5y ＝2xy ． ③ ………………………………………10分 因为35x ＋5y ≥2155xy ，所以 2xy ≥2155xy ．解得xy ≥155． ………………………………………13分 当且仅当35x ＝5y 取“＝”，结合③解得x ＝5，y ＝35． 所以S △ABC ＝12⋅x ⋅y ⋅ 25有最小值15．答：当AB ＝5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km 2．…………… 16分 20．（本小题满分16分）解：（1）当a ＝－1，x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝－x 3＋x ＋1，从而f ′(x )＝－3x 2＋1．当x ＝1时，f (1)＝1，f ′(1)＝－2，所以函数y ＝f (x ) (x ∈[0，＋∞))的图象在x ＝1处的切线方程为y －1＝－2(x －1)， 即2x ＋y －3＝0． ………………………………………………… 3分 （2）f (x )＝g (x )即为ax 3＋|x －a |＝x 4．所以x 4－ax 3＝|x －a |，从而x 3(x －a )＝|x －a |．此方程等价于x ＝a 或⎩⎨⎧x ＞a ，x ＝1或⎩⎨⎧x ＜a ，x ＝－1． (6)分·AMNP B C（第19题图2）E F所以当a ≥1时，方程f (x )＝g (x )有两个不同的解a ，－1； 当－1＜a ＜1时，方程f (x )＝g (x )有三个不同的解a ，－1，1；当a ≤－1时，方程f (x )＝g (x )有两个不同的解a ，1． ………………………… 9分 （3）当a ＞0，x ∈(a ，＋∞)时，f (x )＝ax 3＋x －a ，f ′(x )＝3ax 2＋1＞0，所以函数f (x )在(a ，＋∞)上是增函数，且f (x )＞f (a )＝a 4＞0．所以当x ∈[a ，a ＋2]时，f (x )∈[f (a )，f (a ＋2)]，1024f (x )∈[1024f (a ＋2)，1024f (a )]，当x ∈[a ＋2，＋∞)时，f (x )∈[ f (a ＋2)，＋∞)． ………………………………… 11分 因为对任意的x 1∈[a ，a ＋2]，都存在x 2∈[a ＋2，＋∞)，使得f (x 1)f (x 2)＝1024， 所以[1024f (a ＋2)，1024f (a )]⊆[ f (a ＋2)，＋∞)． ……………………………………… 13分从而1024f (a ＋2)≥f (a ＋2)．所以f 2(a ＋2)≤1024，即f (a ＋2)≤32，也即a (a ＋2)3＋2≤32． 因为a ＞0，显然a ＝1满足，而a ≥2时，均不满足．所以满足条件的正整数a 的取值的集合为{1}． ……………………………… 16分宿迁市三校2016届高三年级学情调研卷数学附加题参考答案及评分标准 2015.09说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连接AO ．设圆O 的半径为r ．因为P A 是圆O 的切线，PBC 是圆O 的割线，所以P A 2＝PC ·PB ．……………………………… 3分因为P A ＝4，PC ＝2，所以42＝2×(2＋2r )，解得r ＝3．……………… 5分 所以PO ＝PC ＋CO ＝2＋3＝5，AO ＝r ＝3． 由P A 是圆O 的切线得P A ⊥AO ，故在Rt △APO 中， 因为AQ ⊥PO ，由面积法可知，12×AQ ×PO ＝12×AP ×AO ，即AQ ＝AP ×AO PO ＝4×35＝125． …………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换 解：（1）因为矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤2b 13属于特征值 的一个特征向量为α＝⎣⎡⎦⎤ 1－1，所以⎣⎡⎦⎤2b 13⎣⎡⎦⎤ 1－1＝ ⎣⎡⎦⎤ 1－1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－b －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ － ． ……………………… 3分 从而⎩⎨⎧2－b ＝ ，－2＝－ ．解得b ＝0， ＝2． ………………………… 5分（第21题A 图）（2）由（1）知，A ＝⎣⎡⎦⎤2013．设曲线C 上任一点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用后变为曲线C 上一点P (x 0，y 0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤2013⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x x ＋3y ，从而⎩⎨⎧x 0＝2x ，y 0＝x ＋3y ．…………………………… 7分因为点P 在曲线C 上，所以x 02＋2y 02＝2，即(2x )2＋2(x ＋3y )2＝2， 从而3x 2＋6xy ＋9y 2＝1．所以曲线C 的方程为3x 2＋6xy ＋9y 2＝1． ……………………………… 10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：（方法一）直线l 的普通方程为x －3y ＋3＝0． …………………………………… 3分 因为点P 在圆C 上，故设P (3＋cos θ，sin θ)， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|3＋cos θ－3sin θ＋3|12＋(－3)2＝|23－2sin(θ－π6)|2． …………………… 7分 所以d min ＝3－1．即点P 到直线l 的距离的最小值为3－1． ……………………………… 10分 (方法二)直线l 的普通方程为x －3y ＋3＝0． ……………………………… 3分 圆C 的圆心坐标为(3，0)，半径为1． 从而圆心C 到直线l 的距离为d ＝|3－0＋3|12＋(－3)2＝3． ………………………… 6分所以点P 到直线l 的距离的最小值为3－1． ………………………… 10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，所以(ax ＋by )(bx ＋ay )＝abx 2＋(a 2＋b 2)xy ＋aby 2＝ab (x 2＋y 2)＋(a 2＋b 2)xy …………………………… 3分 ≥ab 2xy ＋(a 2＋b 2)xy ……………………………… 8分 ＝(a ＋b )2xy ＝xy即(ax ＋by )(bx ＋ay )≥xy 成立． ……………………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设，知B (2，3，0)，A 1(2，0，5)，C (0，3，0)，C 1(0，3因为CE →＝λCC 1→，所以E (0，3，5λ)．从而EB →＝(2，0，－5λ)，EA 1→＝(2，－3，5－5λ)．…… 2分 当∠BEA 1为钝角时，cos ∠BEA 1＜0， 所以EB →·EA 1→＜0，即2×2－5λ(5－5λ)＜0， 解得15＜λ＜45．即实数λ的取值范围是(15，45)． …………………………………… 5分（2）当λ＝25时，EB →＝(2，0，－2)，EA 1→＝(2，－3，3)．设平面BEA 1的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EB →＝0，n 1·EA 1→＝0 得⎩⎨⎧2x －2z ＝0，2x －3y ＋3z ＝0，取x ＝1，得y ＝53，z ＝1，所以平面BEA 1的一个法向量为n 1＝(1，53，1)． ………………………………… 7分易知，平面BA 1B 1的一个法向量为n 2＝(1，0，0)．因为cos< n 1，n 2>＝n 1·n 2| n 1|·| n 2|＝1439＝34343，（第22题图）从而|cos θ|＝34343． …………………………………… 10分23．解：（1）因为P (X ＝10)＝1C 25＝110，P (X ＝5)＝C 13C 25＝310，P (X ＝2)＝C 23C 25＝310，P (X ＝0) ＝C 13C 25＝310，所以X 的概率分布表为：…………………………… 4分从而E (X )＝10 110＋5 310＋2 310＋0 310＝3.1元 …………………………… 6分（2）记该顾客一次摸球中奖为事件A ，由（1）知，P (A )＝710，从而他两次摸球中至少有一次中奖的概率P ＝1－[1－P (A )]2＝91100．答：他两次摸球中至少有一次中奖的概率为91100． …………………………… 10分．。
2016届江苏省连云港市高三一模全市统考模拟数学试卷
2016届江苏省连云港市高三一模全市统考模拟数学试卷班级________________姓名__________________1．如果1a bi -+与-b i +互为共轭复数（,a b ∈R ，i 为虚数单位），则||a bi +=．2．以下伪代码，若使这个算法执行的是－1＋3－5＋7－9的计算结果，则a 的初始值x ＝________． 3．"23""5"x y x y ≠≠+≠或是的______________条件. 4．如左下图，在边长为a 的正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，现沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个三棱锥，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合点记为G ，则点G 到平面SEF 的距离为___________． 5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数3614,,2a a ==则45a a +=． 6．已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同则此双曲线的渐近线方程为．7．已知函数()22,1,22,1,x x f x x x -⎧≤-=⎨+>-⎩则不等式()2f x ≥的解集为．8．设k ＞0，若关于x 的不等式4121kx x +≥-在（1，+∞）上恒成立，则k 的最小值为． 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b ．ccos cos C B=，则B 的大小为. 10．如图，圆O 内接∆ABC 中，M 是BC 的中点，3AC =.若4AO AM ⋅= ，则AB =.11．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623=⨯，所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)(133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为．12．设21F F ，分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆上存在一点P ，使得12123||||2,||||,2PF PF b PF PF ab -=⋅=则椭圆的离心率为． 13．设3211(x)232f x ax bx c =+++，当()0,1x ∈取得极大值，当()1,2x ∈取得极小值，则21b a --的取值范围是． 14．已知P 是直线3480x y ++=上的动点，,PA PB 是圆222210x y x y +--+=的两条切线，,A B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为．15．如图在平面直角坐标系xOy 中点,,A B C 均在单位圆上已知点A 在第一象限的横坐标是3,5点B 在第二象限点()1,0.C（1）设,COA θ∠=求sin 2θ的值；（2）若AOB ∆为正三角形求点B 的坐标16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且PB PD =．（1）求证：BD PC ⊥；（2）若平面PBC 与平面PAD 的交线为l ，求证：//BC l ．。
2016年江苏苏北四市高三三模数学试卷
2016年江苏苏北四市高三三模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合，，那么 ______．2. 已知复数满足，那么复数的共轭复数是______．3. 如图是一次摄影大赛上位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图，记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为分，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的）无法看清，若记分员计算无误，则数字应该是______．4. 甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”的游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出“手心（白）”、“手背（黑）”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两个人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负．则在一次游戏中甲胜出的概率是______．5. 执行如图所示的流程图，则输出的的值为______．6. 已知为抛物线的焦点，该抛物线上位于第一象限的点到其准线的距离为，那么直线的斜率为______．7. 已知公差为的等差数列的前项和为，若，则的值为______．8. 已知圆锥的母线长为，侧面积为，那么此圆锥的体积为______ ．9. 若实数，满足约束条件则的最大值为______．10. 已知函数和函数的图象交于，，三点，那么的面积为______．11. 若，分别是曲线与直线上的动点，则线段的最小值是______．12. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中，是互相垂直的单位向量，且，那么的最大值为______．13. 已知对满足的任意正实数，，都有，那么实数的取值范围为______．14. 已知经过点的两个圆，都与直线，相切，那么这两个圆的圆心距 ______．二、解答题（共6小题；共78分）15. 如图，在梯形中，已知，，，，．（1）求的长；（2）求的面积．16. 如图，在直三棱柱中，已知，，，分别为，，的中点．（1）求证：平面平面；（2）求证： 平面．17. 在平面直角坐标系中，已知点在椭圆上，点到椭圆的两个焦点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）若，是椭圆上的两点，且四边形是平行四边形，求点，的坐标．18. 经市场调查，某商品每吨的价格为百元时，该商品的月供给量为万吨，；月需求量为万吨，．当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．（1）若，问：商品的价格为多少时，该商品的月销量额最大?（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格．若该商品的均衡价格不低于每吨百元，求实数的取值范围．19. 已知函数，．（1）求函数的极值；（2）在区间上，对于任意的，总存在两个不同的，，使得，求实数的取值范围．20. 在数列中，已知，，．（1）求数列的通项公式；（2）求满足的正整数的值；（3）设数列的前项和为，问：是否存在正整数，，使得?若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.第二部分15. （1）因为，所以，，所以．在中，由正弦定理得．（2）因为，所以．在中，由余弦定理知，得，解得．所以．16. （1）因为直三棱柱，所以底面．因为底面，所以．又因为为的中点，且，所以．因为，平面，平面，所以平面．又因为平面，所以平面平面．（2）如图，取的中点，连接，，，．，分别为为，的中点，所以且，故，且，所以四边形为平行四边形，所以．又平面，平面，所以 平面．因为，分别为，的中点，所以．又，分别为，的中点，所以，所以．又平面，平面，所以 平面．因为，所以平面 平面．因为平面，所以 平面．17. （1）由题意知，，解得，，所以椭圆的方程为．（2）设，，则的中点坐标为，的中点坐标为．因为四边形是平行四边形，所以即因为，是椭圆上的两点，所以解得或由得由得所以点，或，．18. （1）若，由，得，解得．因为，所以．设该商品的月销售额为，则．当时，；当时，，即．由，得，所以在上是单调增函数，在上是单调减函数，当时，有最大值．答：若，商品的每吨价格定为百元时，月销售额最大．（2）设，因为，所以在区间上是单调增函数．若该商品的均衡价格不低于每吨百元，即函数在区间上有零点，所以即解得．答：若该商品的均衡价格不低于每吨百元，则实数的取值范围是．19. （1）因为，所以．令，得．当时，，是单调增函数；当时，，是单调减函数．所以在时取得极大值，无极小值．（2）由（1）知当时，单调递增；当时，单调递减．又因为，，，所以当时，函数的值域为．当时，在上单调，不合题意；当时，，，故必须满足，所以．所以，，当变化时，，的变化情况如下表：极小值，，所以对任意给定的，在区间上总存在两个不同的，，使得，当且仅当满足下列条件即令，，，由，得．当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．所以对任意的，有，即对任意的恒成立．由，解得．综上所述，当时，对于任意给定的，在区间上总存在两个不同的，，使得．20. （1）由题意，数列的奇数项是以为首项、为公差的等差数列；偶数项是以为首项、为公比的等比数列．所以对任意正整数，，．所以数列的通项公式为．（2）①当为奇数时，由，得，所以．令，由，可知在上是增函数，所以，所以当且仅当时，满足，即．②当为偶数时，由，得，即，上式左边为奇数，右边为偶数，因此不成立．综上，满足的正整数的值只有．（3）．假设存在正整数，，使得，则，所以，（）从而，所以．又，所以．①当时，（）式左边大于，右边等于，不成立．②当时，（）式左边等于，所以，，所以．③当时，（）式可化为，则存在，，使得，，且，从而，所以，，所以，，于是，．综上可知，符合条件的正整数对只有两对，且为，．。
江苏省徐州市、宿迁市、连云港市2016届高三第三次模拟考试(三模) 数学 图片版含答案
宿迁市高三年级第三次模拟考试数学参考答案与评分标准一、填空题1．{}1,3 2．13i - 3．1 4．145．3 6．437．1798．96π 9．49410．3π4 11．91717 12．2+113．17(,]4-∞ 14．954二、解答题15．（1）因为tan 2ADC ∠=-，所以255sin ,cos 55ADC ADC ∠=∠=-． (2)分所以πsin sin()4ACD ADC ∠=π-∠-πsin()4ADC =∠+ππsin cos cos sin 44ADC ADC =∠⋅+∠⋅1010=， ……………………………………6分在△ADC中，由正弦定理得sin 5sin AD DACCD ACD⋅∠==∠． …………………8分（2）因为ADBC， 所以25cos cos 5BCD ADC ∠=-∠=． ………………10分在△BDC 中，由余弦定理2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅⋅∠,得22350BC BC --=，解得7BC =， ……………………………………12分 所以112575sin 757225BCDSBCD ∆=⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=. …………………14分16．（1)因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1BB ⊥底面ABC ,因为AM ⊂底面ABC ，所以1BB AM ⊥, ……………………………2分又因为M 为BC 中点,且AB AC =,所以AM BC ⊥． 又111111,,,BB BC B BB BB C C BC BB C C =⊂⊂平面平面 所以AM ⊥平面11BB C C ． ………………………………………………4分 PA 1C 1B1D又因为AM ⊂平面APM ，所以平面APM ⊥平面11BB C C ．…………6分（2)取11C B 中点D ，连结1A D ,DN ，DM ，1B C 。
由于D ,M 分别为11C B ,CB 的中点, 所以1//DM CC 且1DM CC = 故1//DM AA 且1DM AA =。
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一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.
1.已知集合{|21,}A x x k k Z ==+∈，{|05}B x x =<<，则A B =I .
2.已知复数z 满足(3)10i z i +=（其中i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数是 .
3.如图是一次射影大赛上7位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x ）无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是 .
4.甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出“手心（白）”、“手背（黑）”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负，则一次游戏中甲胜出的概率是 .
5.执行如图所示的流程图，则输出k 的值为 .
6.已知点F 为抛物线2
4y x =的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的
斜率为 .
7.已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若533S S =，则53
a a 的值为 . 8.已知圆锥的母线长为10cm ，侧面积为260cm π，则此圆锥的体积为 3cm .
9.若实数,x y 满足约束条件1300x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩
，则|3410|x y --的最大值为 .
10.已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1()tan 2
g x x =
的图象交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为 . 11.若点,P Q 分别是曲线4x y x +=
与直线40x y +=上的动点，则线段PQ 长的最小值 . 12.已知,,a b c r r r 是同一平面内的三个向量，其中,a b r r 是互相垂直的单位向量，
且())1a c c -∙-=r r r ，则||c r 的最大值为 .
13.已知对满足42x y xy ++=的任意正实数,x y ，都有22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值
范围为 .
14.已知经过点3(1,)2P 的两个圆12,C C 都与直线11:2
l y x =
，2:2l y x =相切，则这两圆的圆心距12C C 等于 . 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分14分）
如图，在梯形ABCD 中，已知//AD BC ，1AD =
，BD =4CAD π∠=
，tan 2ADC ∠=-.
求：（1）CD 的长；
（2）BCD ∆的面积
.
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC =，,,M N P 分别为11,,BC CC BB 的中点，求证：
（1）平面AMP ⊥平面11BB C C ；
（2）1//A N 平面AMP .
17.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知点3(1,)2
P 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，P 到椭圆C 的两个焦点的距离之和为4.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若点,M N 是椭圆C 上的两点，且四边形POMN 是平行四边形，求点,M N 的坐标.
18.（本小题满分16分）
经市场调查，某商品每吨的价格为(114)x x <<百元时，该商品的月供给量为1y 万吨，
217(0)2y ax a a a =+->；月需求量为2y 万吨，22111224112
y x x =--+. 当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.
（1）若17
a =，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？ （2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a 的
取值范围.
已知函数()x ex f x e
=，()2ln g x ax x a =--（,a R e ∈为自然对数的底数）. （1）求()f x 的极值；
（2）在区间(0,]e 上，对于任意的0x ，总存在两个不同的12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求a 的
取值范围.
20.（本小题满分16分）
在数列{}n a 中，已知121,2a a ==，2
2,213,2n n n a n k a a n k
++=-⎧=⎨=⎩*()k N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求满足122n n n a a a ++=+的正整数n 的值；
（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，问是否存在正整数,m n ，使得221n n S mS -=？若存在，求出所有
的正整数对(,)m n ；若不存在，请说明理由. 附加题
21.A 【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分10分）
如图，AB 是圆O 的直径，弦,BD CA 的延长线相交于点E ，过E 作BA 的延长线的垂线，垂足为F ，求证：2AB BE BD AE AC =∙-∙
.
21.B 【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）
已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量53a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，计算5A a . 21.C 【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）
在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=
∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2sin 1cos 2x y αα=⎧⎨=-⎩
（α为参数），求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标. 21.D 【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）
已知,a b R ∈，a b e >>（其中e 是自然对数的底数），求证：a b b a >.
22.（本小题满分10分）
已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同. 某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球. 若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖. 每次摸球结束后将球放回原箱中.
（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；
（2）若连续摸奖2次，求获奖次数X 的分布列及数学期望()E X .
23.（本小题满分10分）
在集合{1,2,3,4,,2}A n =中，任取(,,*)m m n m n N ≤∈个元素构成集合m A . 若m A 的所有元素之和为偶数，则称m A 为A 的偶子集，其个数记为()f m ；m A 的所有元素之和为奇数，则称m A 为A 的奇子集，其个数记为()g m . 令()()()F m f m g m =-.
（1）当2n =时，求(1),(2),(3)F F F 的值；
（2）求()F m .
：。