2020届山西省运城市高三上学期期末调研测试 数学(文)
2020届山西省运城市高三上学期期中调研测试数学(文)试题(解析版)
2020届山西省运城市高三上学期期中调研测试数学（文）试题一、单选题1．集合{}2|230A x x x =--≤，{}|2B x x =>，则A B =I ( )A ．{|2}x x >B ．{|23}x x <≤C ．{|13}x x -≤≤D ．{|23}x x ≤≤【答案】B【解析】由题意先计算出集合A ，然后运用交集运算法则求出结果. 【详解】因为集合{}2|230A x x x =--≤， 则{}|13A x x =-≤≤，{}|,2B x x =>Q则{|23}A B x x ⋂=<≤ 故选B 【点睛】本题考查了交集的运算，求解时需要先解一元二次不等式，然后再计算两个集合的交集，本题较为基础.2．已知α是第三象限角，且3tan 4α=，则sin α=( ) A ．35-B ．35C ．45D ．45-【答案】A【解析】运用同角三角函数关系列出方程组即可求出结果. 【详解】 由3tan 4α=可得sin 3cos 4αα= 联立22sin 3cos 4sin +cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪=⎩，又因为α是第三象限角，解得3sin 5α=-故选A 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的运用，sin tan cos =aa a，22sin +cos 1αα=，能够熟记公式并能灵活运用公式解题，注意角的范围确定三角函数值的符号. 3．“lg lg a b <”是“<a b e e ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先证明充分性，再证明必要性，结合函数的单调性和函数成立的条件进行判定. 【详解】充分性：若lg lg a b <，则0a b <<，可推出<a b e e ，必要性：若<a b e e ，则a b <，但是当0a b <<或0a b <<时，不能推出lg lg a b <， 所以“lg lg a b <”是“<a b e e ”的充分不必要条件., 故选A 【点睛】本题考查了充分不必要条件的判定，解答题目时能够紧扣条件进行判定，解题时当能够举出反例时即可进行判定，本题较为基础.4．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且410393=a a a a ，23a =，则1a =( )A ．B C D ．3【答案】B【解析】结合题意运用等比数列的性质先求出公比，然后再求出1a 的值. 【详解】已知等比数列{}n a 的公比为正数，且410393=a a a a ，23a =，则28722223a q a q a q a q ⋅=⋅化简可得23q =又因为0q >，则q =故21a a q==故选B 【点睛】本题考查了求等比数列的首项，求解过程中能够熟练运用等比数列的性质，需要注意条件中的公比为正数，本题较为基础. 5．设2323-⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，3232⎛⎫= ⎪⎝⎭b ，23log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．b c a << C ．c a b << D ．b a c <<【答案】C【解析】化简a 的值，将其转化为和b 底数相同，然后比较大小，找出中间代换量比较c 的大小.【详解】1222333332223a ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⎢⎥⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎢⎥⎦⎭⎭⎪⎝⎣ 3232⎛⎫= ⎪⎝⎭b ，因为3231,0232><< 1a b ∴<< 2223log log 1,12c c =<=∴< 综上可得c a b << 故选C 【点睛】本题考查了指数对数的大小比较，解答此类题目的方法是运用函数的单调性进行判定，当无法直接比较大小时可以找出中间量，比如0或者1，此类题目是常考题型，需要掌握解题方法.6．已知向量a r ，b r 的夹角23π，||3a =r ，||1b =r ，则||||+⋅-r rr r a b a b 的值( )A．B ．91C ．8D【答案】D【解析】结合已知条件运用向量的数量积运算先求出||a b +rr 的值，再求出||a b -r r 的值，进而计算出结果. 【详解】已知向量a r，b r的夹角23π，||3a =r ，||1b =r ， 则222222||||23231cos 173a b a b a ab b π+=+=++=+⨯⨯⨯+=r r r r r r r r222222||||23231cos 1133a b a b a ab b π-=-=-+=-⨯⨯⨯+=r r r r r r r r则||||71391a b a b +⋅-=⨯=r rr r故选D 【点睛】本题考查了向量数量积的运算，能够熟练运用公式进行计算，计算向量的模时可以采用先平方再开方的方法求解，需要掌握解题方法. 7．函数cos y x x =的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数奇偶性和特定值依次排除即可得解. 【详解】函数cos y x x =为奇函数，故排除B D 、，当x 取很小的正实数时，函数值大于零，故选A. 【点睛】本题考查了函数的图象、奇偶性，属于基础题.8．已知非零向量a r ，b r 满足(3)(75)+⊥-r r r r a b a b ，且||||a b =r r，则a r 与b r 的夹角为( ) A ．23π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】B【解析】结合已知条件，对已知条件进行化简即可求出向量的夹角.【详解】非零向量a r，b r满足(3)(75)+⊥-rrrra b a b ，令a r与b r的夹角为()0θθπ<<故(3)(75)=0a b a b +⋅-r r r r ，即22157160a b b a ⋅=+-r r r r则有22cos 765011a b b a θ+⋅-=r r r r ，又因为||||a b =r r所以22cos 765011a a a a θ+⋅-=r rr r 化简有2216cos 8a a θ=r r解得1cos 23πθθ=∴=， 故选B 【点睛】本题考查了求向量的夹角计算，解题过程中能够熟练运用向量数量积的公式对已知条件进行化简，然后求出结果，本题较为基础.9．将函数())(0)=+<<f x x ϕϕπ的图象向右平移6π个单位后得到函数()y g x =的图象，若函数()y g x =为偶函数，则函数()=y f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为( )A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎡⎢⎣⎦C ．[D ．【答案】B【解析】由已知条件先计算出函数()y g x =的表达式，根据函数()y g x =为偶函数求出ϕ的值，然后代入函数()y f x =中求出其值域. 【详解】函数())(0)=+<<f x x ϕϕπ的图象向右平移6π个单位得到()y g x =的图象，则()26g x x πϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即()23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又因为函数()y g x =为偶函数，则5,,,326k k Z k k Z πππϕπϕπ-+=+∈∴=+∈又因为0ϕπ<<，则56πϕ=5())(0)6f x x πϕπ∴=+<< 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，55112,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦1,,55sin 2126622x x ππ⎡⎡⎤⎛⎫⎛⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎝⎭⎝⎦⎭则函数()y f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为⎡⎢⎣⎦故选B 【点睛】本题考查了三角函数图象的平移，以及求三角函数的值域，需要掌握解题方法，记住平移法则，并能分布求出函数值域，本题较为综合，属于常考题型. 10．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1S B ．19SC ．20SD ．37S【答案】D【解析】由已知条件判断出公差0d <，对20191<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=，当01x ≤≤时，()1xf x e =-.若函数()()g x f x kx =-在[0,4]内恰有2个不同的零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．{}1,113e e -⎛⎤-⎥⎝⎦U B ．1,13-⎛⎤-⎥⎝⎦e e C ．[1,1]-e D ．[1,)-+∞e【答案】A【解析】由已知条件可得函数()f x 是偶函数，周期函数，将零点问题转化为两个函数图象交点问题，画出函数图象，结合图象解答在[0,4]内恰有2个不同的零点的结果 【详解】已知对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=，2T ∴=当01x ≤≤时，()1xf x e =-，且函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以画出函数的图象，如图所示：若函数()()g x f x kx =-在[0,4]内恰有2个不同的零点，又(0)0g =，已有一个交点，则转化为()()g x f x kx =-在(0,4]内恰有1个零点， 即()f x kx =在(0,4]内恰有1个交点，由图可知，当y kx =过点()3,1e -时，131,3e k e k -=-=， 当y kx =与()y f x =相切原点时，()(),01xf x e f ''==，则此时1k =， 当y kx =过点()1,1e -时，1k e =-故实数k 的取值范围是{}1,113e e -⎛⎤- ⎥⎝⎦U . 故选A 【点睛】本题考查了由函数零点个数求参数范围问题，解答过程中运用了数形结合的思想，将其转化为函数交点问题，然后计算满足条件的结果，零点问题是常考题，需要掌握解题方法，本题属于难题.12．设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，且有2()3()'>+xf x x f x ，则3(2019)(2019)(1)0+++-<f x x f 的解集为( )A ．(,2020)-∞-B ．(2020,2019)--C ．(2020,0)-D ．(,2019)-∞-【答案】B【解析】由已知条件构造新函数，运用导数求出新函数的单调性，然后解不等式. 【详解】函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，且有2()3()'>+xf x x f x ， 则有2()3()xf x f x x '-> 令()()()3,,0f x G x x x=∈-∞ 则()3226442()3()()3()10x f x x f x xf x f x x G x x x x x'==>='-->' ()G x ∴在(),0-∞上单调递增 3(2019)(2019)(1)0+++-<f x x f即3(2019)(2019)(1)f x x f +<-+- 20190x +<Q ，()33(2019)(1)(2019)1f x f x +-∴>+- 即()(2019)1G x G +>-2019120190x x +>-⎧∴⎨+<⎩解得20202019x -<<-即3(2019)(2019)(1)0+++-<f x x f 的解集为(2020,2019)-- 故选B 【点睛】本题考查了构造新函数解不等式，本题的难点是如何构造新函数，需要结合已知条件和问题进行探究来构造新函数，多总结此类题目，掌握解题方法.二、填空题13．正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，则{}n a 前5项和为________. 【答案】93【解析】运用等比数列通项公式基本量的计算，先求出首项和公比，然后再运用等比数列前n 项和公式求出前5项和. 【详解】正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，即24222218,90a q a a q a -=-=则有()()()22222118,1190a q a q q -=-+= 代入有221=5,4q q +=又因为0q >，则212,6,3q a a =∴==()553129312S ⨯-∴==-故答案为93 【点睛】本题考查了求等比数列前n 项和等比数列通项公式的运用，需要熟记公式，并能灵活运用公式及等比数列的性质等进行解题，本题较为基础.14．设函数121log (2)1,1()1,12x x x f x x --+<⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，()2(2)log 3-+=f f ________. 【答案】13-【解析】已知分段函数的解析式，分别求出(2)f -和()2log 3f 的值，即可得到结果.【详解】()2241122(2)l 21og 1log 1,211f --⎡⎤⎣⎦-=+=+=--∴+<=-Q22log 3l ,og 21∴>=()22log log 233222log 3l g 321o 211log 3223222f --⎛⎫⎛⎫=====⎪⎭⎝⎭∴⎪⎝ 则()221(2)log 3133f f -+=-+=- 故答案为13- 【点睛】本题考查了求分段函数的值问题，解题时需要判断输入值的大小，本题较为基础. 15．已知，在ABC V 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，4⋅=u u u r u u u r BA CA ，1⋅=u u u r u u u rBE CE ，则||=u u u rDA ________.【答案】2【解析】由中点结合向量知识分别用基底表示出BA u u u r 和CA u u u r ，以及BE u u u r 和CE u u u r，然后结合条件列出方程求解||DA uuu r的值.【详解】因为D 是BC 的中点，所以()()224AB BA CA AC DB AD DC AD AD DB ⋅=⋅=++=-=uu r uu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uu u r()()221BE CE EB EC ED DB ED DC EDDB ⋅=⋅=++=-=uur uur uu r uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uu u rE Q 是AD 的中点22221124ED ED AD AD ===uu u r uu u r uuu r uuu r22224114AD DB AD DB ⎧-=⎪∴⎨⎪-=⎩u u u v u u u v u u u v u u uv ，解得2=4AD uuu r ，则=2AD uuu r 即||2DA =u u u r故答案为2 【点睛】本题考查了运用基底表示向量并运算求解，解答题目时的方法是基底法，需要掌握解题方法，结合题目里的中点等信息进行基底表示，然后运算求解.16．设函数()-=-x x f x e ae （a 为常数）.若()f x 为奇函数，则a =________；若()f x 是[2,2]-上的减函数，则a 的取值范围是________. 【答案】1 41≥-a e 【解析】运用奇函数的定义进行求解参数的值，利用导数结合已知函数的单调性求参数的取值范围. 【详解】（1）若()-=-x xf x e ae 为奇函数则()()xxx x f x e aex e ae f --=-=-+-=-，则1a =（2）若()f x 是[2,2]-上的减函数，则()x xf x e ae -'=--在[2,2]-上小于或者等于零，即0x x e ae ---≤在[2,2]-上恒成立，2x e a --≤，可知2xy e -=-在[2,2]-上单调递增，所以41≥-a e . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，在解答奇偶性的判定或求解参数时运用奇偶性的定义进行求解，在解答函数单调性时可以运用单调性的定义，学习导数后也可以采用导数运算.三、解答题17．已知函数2()sin sin 2cos 332⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x f x x x ππωωω，x ∈R （其中0>ω），若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为2. （1）求()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向左平移12个单位后，得到g()y x =的图象，求(1)(2)(3)(2019)++++…g g g g .【答案】（1）()124⎛⎫=-- ⎪⎝⎭f x x ππ；（2）2019-.【解析】（1）已知函数()f x 的表达式，运用两角和与差的正弦计算公式和二倍角里的降幂公式对函数表达式进行化简，再结合已知条件计算出ω的值，即可求解()f x 的解析式.（2）由已知条件计算出g()y x =的解析式，探究出函数g()x 周期性，即可计算出结果. 【详解】（1）2()sin sin 2cos 332⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x f x x x ππωωωsin cos 114⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭x x x πωωω，∵()y f x =与1y =-的两个相邻交点间的距离为2. ∴4T= ，∴2πω=，所以函数()f x的解析式为()124⎛⎫=-- ⎪⎝⎭f x x ππ；（2）由题可知，()12⎛⎫=-⎪⎝⎭g x x π，(1)1=-g ，(2)1=-g，(3)1=-g ，(4)1=-g ，∵()g x 周期为4，∴(1)(2)(3)(2019)2019++++=-…g g g g . 【点睛】本题考查了运用两角和与差的正弦公式及二倍角的降幂公式进行化简，运用辅助角公式计算结果，需要熟记各公式并能灵活运用，在求解较多数据的和的问题时需要探究函数的周期性，利用周期性解答问题.18．已知数列{}n a 中，12a =，122nn n a a +=+，设2nn na b =. （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析；（2）22n nS n =+. 【解析】（1）运用等差数列的定义进行证明，需要结合条件里的数量关系 （2）运用裂项相消法求数列前n 项的和. 【详解】（1）证明：当2n ≥时，1111122122222-------=-===n n n n n n n n n nn a a a a b b ，11b =，所以{}n b 是以1为首项，12为公差的等差数列 ；（2）由（1）得12n n b +=， 所以114114(1)(2)12+⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n n b b n n n n , 所以11111111244233412222n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭… 【点睛】本题考查了运用定义法证明等差数列以及运用裂项相消法求数列前n 项的和，证明数列是等差数列或者等比数列时通常采用定义法，还可以运用其性质证明，数列求和方法较多，需要掌握公式法、错位相减法、裂项相消法，分组求和法等. 19．在ABC V 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，e ，且满足2cos 2cos +=a C c A bc .（1）求c 的值；（2）若ABC V的外接圆半径3R =，求ABC V 的周长的最大值. 【答案】（1）2；（2）62. 【解析】（1）运用正弦定理将边化为角，然后求出c 的值.（2）运用正弦定理，结合已经计算出c 的值，求出sin C 的值，再运用余弦定理分类讨论两种情况，利用不等式求出周长的最大值. 【详解】（1）对于2cos 2cos +=a C c A bc ，由正弦定理可得，2sin cos 2sin cos 2sin()csin +=+=A C C A A C B ，化简整理得2c =. （2）因为2sin c R C =，所以sin C =，1cos 2=±C .当1cos 2C =时，由余弦定理得， 222222314()3()()()44=+-=+-≥+-+=+a b ab a b ab a b a b a b ，∴2()16+≤a b ，4a b +≤，所以ABC V 的周长6=++≤a b c 当且仅当a b =时等号成立， 当1cos 2C =-时，由余弦定理得 222222134()()()()44=++=+-≥+-+=+a b ab a b ab a b a b a b ，∴216()3+≤a b ，3a b +≤，所以ABC V 的周长23=++≤+a b c 当且仅当a b =时等号成立，故ABC V 周长的最大值为62. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的运用，解题的关键是运用正弦定理或者余弦定理进行边角的互化，是常考考点，需要熟练掌握公式并能灵活运用.20．已知{}n a 是递增的等差数列，且4a ，6a 是方程27120x x -+=的两个根；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()*22n n S b n N =-∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 【答案】（1）12n n a =+，2n n b =；（2）(1)21=+⨯-nn T n . 【解析】（1）由题意先计算出4a ，6a 的值，运用等差数列基本量计算出首项和公差，进而求出数列{}n a 的通项公式，运用1n n n b S S -=-(2)n ≥求出{}n b 的公比，求出其首项后求出数列的通项公式.（2）运用错位相减法求出数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T 【详解】（1）易得方程27120x x -+=的两根为3，4， 则由题意，得43a =，64a =， 设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ， 则642-=a a d ，∴12d =.从而4133a a d =+=，∴132a =.∴数列{}n a 的通项公式为31(1)1222=+-=+n na n ， ∵22=-n n Sb ，①∴当2n ≥时，1122--=-n n S b ，②①-②得，()()111222222---=-=---=-n n n n n n n b S S b b b b ， ∴12(2)-=≥n n b b n .由①式，令1n =，有11122==-b S b ，解得12b =. ∴{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列，且1222n n n b -=⨯=.（2）由题意及（1）得112(2)22-⎛⎫⋅=+⋅=+⋅⎪⎝⎭nn n n n a b n . ∴02(12)2(22)2(32)2=+⨯++⨯++⨯+…n T 21(1)2(2)2--++⨯++⨯n n n n ， 即01221324252(1)2(2)2--=⨯+⨯+⨯+++⨯++⨯…n n n T n n ，① ∴12312324252(1)2(2)2-=⨯+⨯+⨯+++⨯++⨯…n nn T n n ，② ①-②得，12321322222(2)2---=++++++-+⨯…n n n n T n ∴()12213(2)21(1)221---=+-+⨯=-+-n n n nT n n ，∴(1)21=+⨯-nn T n .【点睛】本题考查了求等差数列和等比数列的通项公式，采用的方法有公式法，还可以运用1n n n a S S -=-(2)n ≥来求解，需要验证当1n =时的情况，本题还考查了求数列的和，运用了错位相减法，还有一些其他解法如裂项相消法，分组求和法等都需要掌握，并能灵活运用.21．已知函数()2()x f x e ax a R =+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）讨论函数()f x 的零点个数.【答案】（1）当0a ≥时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，当0a <时，()f x 在(,ln(2)-∞-a ）上单调递减，在(ln(2),)a -+∞上单调递增；（2）当0a >或2e a =-时，()f x 有1个零点；当2e a <-时，()f x 有2个零点；当02ea -<≤时，()f x 有0个零点.【解析】（1）对函数()f x 求导，分类讨论0a ≥和0a <时的单调性，即可得到结果.（2）0x =不是()f x 的零点，即可分类参量，求解2-=xea x的交点个数问题，对新函数()xe g x x=求导后作图，进而计算出零点个数问题.【详解】（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()2xf x e a '=+，当0a ≥时，()0f x '>所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增， 当0a <时，由()0f x '=得ln(2)x a =-，所以(,ln(2))x a ∈-∞-，()0f x '<，()f x 单调递减，(ln(2),)x a ∈-+∞，()0f x '>，()f x 单调递增 ，综上，当0a ≥时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，当0a <时，()f x 在(,ln(2)-∞-a ）上单调递减，在(ln(2),)a -+∞上单调递增； （2）显然0x =不是()f x 的零点，当0x ≠时，由()20=+=xf x e ax 得2-=xe a x，令()x e g x x=，则2(1)()x e x g x x '-=. 所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，(0,1)上单调递减，(1,)+∞上单调递增，且当x →-∞时，()0g x →，当x 从左边趋近于0时，()→-∞g x ，当x 从右边趋近于0时，()g x →+∞，画出()g x 的图象如图，数形结合知，当20a -<或2-=a e 即0a >或2ea =-时，()f x 有1个零点， 当2->a e 即2ea <-时，()f x 有2个零点， 当02≤-<a e 即02ea -<≤时，()f x 有0个零点. 【点睛】本题考查了运用导数求函数的单调性以及函数零点问题，可以对参数进行分类讨论解答含有参量的题目，注意在分类时不重复，不遗漏，或者采用分离参数的方法求解，注意需要满足分离的条件，本题的解题方法要掌握. 22．设函数1()ln x f x x x+=+. （1）证明函数()f x 存在唯一的极值点； （2）当(0,1)x ∈时，不等式1ln 20(1)++<-xx a x 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）01a <≤.【解析】（1）对函数()f x 求导，运用导数知识证明函数()f x 存在唯一的极值点.（2）将不等式1ln 20(1)++<-xx a x 转化为当0a >，原不等式等价于2(1)ln 01a x x x -->+，构造新函数2(1)()ln (01)1a x g x x x x -=-<<+，运用导数求导后计算出实数a 的取值范围. 【详解】 （1）令21()0x f x x-'==，1x =， x(0,1)1(1,)+∞∴()(1)2==极小值f x f ，故函数()f x 存在唯一的极值点； （2）由题意可知，0a >，则原不等式等价于2(1)ln 01a x x x -->+令2(1)()ln (01)1a x g x x x x -=-<<+，()22(24)1()(1)-+-+'=+x a x g x x x ， ①当01a <≤时，2(24)10x a x +-+≥，()0g x '≤，()g x 在(0,1)上单调递减，()(1)0g x g >=，成立；②当1a >时，0(0,1)x ∃∈，200(24)10+-+=x a x ，使得当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当()0,1x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增， 故当()0,1x x ∈时，()(1)0g x g <=，不成立； 综上所述，01a <≤. 【点睛】本题考查了函数的极值和解不等式，解题的方法是运用导数知识，求导后进行判定极值点问题，在解不等式时，本题进行的转化变形，这里较为关键，然后再运用导数知识求解，合理运用方法求解，多总结，多思考，需要掌握解题方法.。
山西省运城市康杰中学2020年高三数学文期末试题含解析
山西省运城市康杰中学2020年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量，函数则的图象可由的图象经过怎样的变换得到A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度参考答案：B2. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为( )A．B．C．4πD．8π参考答案：B考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：几何体为圆柱挖去一个圆锥，根据三视图可得圆锥与圆柱的底面直径都为4，高都为2，把数据代入圆锥与圆柱的体积公式计算可得答案．解答：解：由三视图知：几何体为圆柱挖去一个圆锥，且圆锥与圆柱的底面直径都为4，高为2，∴几何体的体积V1=π×22×2﹣×π×22×2=，故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．3. 已知命题若命题是真命题，则实数的取值范围（）A． B．［1,4］C．D．参考答案：A4. 若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A5. 春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100 名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：参考答案：C略6. 已知函数，则该函数零点个数为A.4B.3C.2D.1参考答案：B7. 习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12……来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．右图是求大衍数列前n项和的程序框图，执行该程序框图，输入，则输出的S=A．26 B．44 C．68 D．100参考答案：B解析：第一次运行，，,不符合，继续运行，第二次运行，，,不符合，继续运行，第三次运行，，,不符合，继续运行，第四次运行，，,不符合，继续运行，第五次运行，，,不符合，继续运行，第六次运行，，,符合，输出，故选择B.8. 若数列{a n}满足a1=1，且对于任意的n∈N*都有a n+1=a n+n+1，则等于（）A．B．C．D．C【考点】数列的求和．【分析】由所给的式子得a n+1﹣a n=n+1，给n具体值列出n﹣1个式子，再他们加起来，求出a n，再用裂项法求出，然后代入进行求值的值，【解答】由a n+1=a n+n+1得，a n+1﹣a n=n+1，则a2﹣a1=1+1，a3﹣a2=2+1，a4﹣a3=3+1…a n﹣a n﹣1=（n﹣1）+1，以上等式相加，得a n﹣a1=1+2+3+…+（n﹣1）+n﹣1，把a1=1代入上式得，a n=1+2+3+…+（n﹣1）+n==2（）则=2[（1﹣）+（）+…+（）=2（1﹣）=，故答案选：C．【点评】本题主要考察数列的求和、利用累加法求数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的前n项和，这是数列常考的方法，需要熟练掌握，属于中档题．9. 关于的不等式的解是( )A. B.C. D.答案：B10. 已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为的正方形，主视图与左视图是边长为的正三角形，则其全面积是（）A．B．C．D．参考答案：B由题意可知，该几何体为正四棱锥，底面边长为2，侧面斜高为2，所以底面积为，侧面积为，所以表面积为，选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金，第3关收税金，第4关收税金，第5关收税金，5关所收税金之和，恰好1斤重，设这个人原本持金为x，按此规律通过第8关，”则第8关需收税金为x．参考答案：【考点】数列的应用．【分析】第1关收税金： x；第2关收税金：（1﹣）x=x；第3关收税金：（1﹣﹣）x=x；…，可得第8关收税金．【解答】解：第1关收税金： x；第2关收税金：（1﹣）x=x；第3关收税金：（1﹣﹣）x=x；…，可得第8关收税金： x，即x．故答案为：．【点评】本题考查了数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 在中，的内心，若，则动点的轨迹所覆盖的面积为 .参考答案：13. 若函数的图像与的图像关于直线对称，则＝▲．参考答案：1因为函数的图像与的图像关于直线对称，所以由，即，所以，所以。
山西省运城市大上王中学2020年高三数学文期末试卷含解析
山西省运城市大上王中学2020年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则( )A．B． C. D．参考答案：C由已知则故选C.2. 已知,则（）A．B．C．D．参考答案：C略3. 已知集合，，则A. B． C． D．参考答案：C4. 已知||=7，||=3，||=5，则与的夹角为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】把||=7两边平方，整理出两个向量的数量积的值，根据两个向量的夹角的公式，代入两个向量的数量积和两个向量的模长，得到余弦值，根据角的范围得到结果．【解答】解：∵||=7，||=3，||=5，∴2﹣2?+2=9﹣2?+25=49∴?=﹣，∴cos＜，＞===﹣∵＜，＞∈[0，π]∴与的夹角为．故选A．5. 执行如图的程序框图，当输入的n=351时，输出的k=（）A．355 B．354 C．353 D．352参考答案：B①，则，，成立，，；②成立，，；③成立，，；④不成立，所以输出.故选．6. 已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是A. B. C. D.参考答案：B四棱锥如下图所示，7. 已知直线，和平面，且．则“”是“”的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B由，若，则直线可能在平面内，可能，但当，时，可得，故“”是“”的必要不充分条件．故选．8. 高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；概率与统计．【分析】利用捆绑法求出甲乙相邻的基本事件个数，同样利用捆绑法（甲在中间，乙丙可以交换）求出甲乙丙相邻的事件个数，然后利用古典概型的概率计算公式求解．【解答】解：甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，甲，乙相邻的排法种数为（种）．在甲，乙相邻的条件下，甲丙相邻的排法种数为（种）．所以，甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为P=．故选B．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了利用捆绑法求排列数，是基础的计算题．9. 若直线y=a分别与直线y=2x-3，曲线y=e x-x（x≥0）交于点A，B，则|AB|的最小值为（）A. B. C. e D.参考答案：B【分析】设A（x1，a），B（x2，a），建立方程关系用x1表示x2，则|AB|＝x1﹣x2，构造函数求函数的导数，研究函数的最值即可．【详解】作出两个曲线的图象如图，设A（x1，a），B（x2，a），则x1＞x2，则2x1﹣3＝e，即x1（e+3），则|AB|＝（e+3）（﹣3+e3），设f（x）（e x﹣3x+3），x≥0，函数的导数f′（x）（﹣3+e x），由f′（x）＞0得x＞ln3，f（x）为增函数，由f′（x）＜0得0≤x＜ln3，f（x）减函数，即当x＝ln3时，f（x）取得最小值，最小值为f（ln3）（3+3﹣3ln3）＝3ln3，故选：B．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，设出坐标，利用两点间的距离公式，构造函数，求函数的导数，利用导数求函数的最值是解决本题的关键．10. 如果执行下面的程序框图，那么输出的（）Ａ．2550 Ｂ．-2550 Ｃ． 2548 Ｄ．-2552参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为．参考答案：【知识点】函数的图象变换．C4解析：把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y=sin（x+）的图象；再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=sin（x+）的图象；故得到的图象所表示的函数解析式为，故答案为：．【思路点拨】由条件根据函数的图象变换规律，可得结论．12. (几何证明选讲）如图，内接于圆，，直线切圆于点，交于点.若，则的长为 . 参考答案：略13. 下列说法：①“”的否定是“”；②若正数满足，则的最小值为；③命题“函数处有极值，则”的否命题是真命题；④上的奇函数，时的解析式是，则时的解析式为其中正确的说法是______________参考答案：④略14. sin34°sin64°+cos34°sin26°的值是．参考答案：考点：两角和与差的正弦函数．专题：综合题．分析：由46°+26°=90°，利用诱导公式把sin64°变为cos26°，然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出原式的值．解答：解：sin34°sin64°+cos34°sin26°=sin34°sin（90°﹣26°）+cos34°sin26°=sin34°cos26°+cos34°sin26°=sin（34°+26°）=sin60°=．故答案为：点评：此题考查学生灵活运用诱导公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道综合题．15. 平面向量与的夹角为，，则_______.参考答案：略16. 已知函数．若存在实数，，使得的解集恰为，则的取值范围是．参考答案：17. 已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的最小值为．参考答案：4【考点】基本不等式．【专题】计算题；转化思想；综合法．【分析】将x2+2xy+4y2=（x+2y）2﹣2xy=6，那么（x+2y）2=2xy+6，z=x2+4y2=（x+2y）2﹣4xy，利用基本等式的性质，即可求解．【解答】解：由题意x2+2xy+4y2=（x+2y）2﹣2xy=6，那么（x+2y）2=2xy+6，∵（x+2y）2≥4x?2y=8xy，当且仅当x=2y时取等号．则：2xy+6≥8xy解得：xy≤1z=x2+4y2=（x+2y）2﹣4xy≥8xy﹣4yx=4．所以z=x2+4y2的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的变形和灵活的运用能力．属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
山西省运城市2024届高三上学期期末调研测试数学试题含答案解析
运城市2023-2024学年第一学期期末调研测试高三数学试题考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、单项选择题：本题共8小题，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i12i z =-，则z 等于（）A .1B.C.2D.552.设x ∈R ，则“03x ≤≤”是“02xx ≤-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知e ()1exaxf x =-是奇函数，则=a （）A.2- B.1- C.2D.14.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A ，B ，C 分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（）A.150种B.300种C.720种D.1008种5.设0.814a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.3log 0.2b =，0.3log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.b a c >>C.c a b >>D.b c a>>6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的右顶点，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，且3π4PAQ ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A.B.213C.D.37.已知等差数列{}n a 中，97π12a =，设函数44()cos sin cos 1f x x x x x =---，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前17项和为（）A.51- B.48- C.17- D.08.已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为4的正方形，3PA PB ==，45PAC ∠= ，则直线PD 与平面ABCD 夹角的正弦值为（）A.31717B.21717 C.53D.23二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.关于下列命题中，说法正确的是（）A.若事件A 、B 相互独立，则()()P A B P A =B.数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95的第45百分位数为78C.已知()0.65P A =，()0.32P AB =，则()0.33P AB =D.已知~(0,1)N ξ，若(1)P p ξ≤=，则()1102P p ξ-≤≤=-10.已知函数()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的一个周期为2B.()f x 的定义域是1,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C.()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间[]1,2上单调递增11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是直线1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A.1C P 的最小值为B.PB PC +的最小值为C.三棱锥1B ACP -的体积为83D.以点B 为球心，263为半径的球面与面1AB C 在正方体内的交线长为33π12.已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，与其准线交于点D ，F 为AD 的中点，且6AF =，点M 是抛物线上 BA间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y 轴交于点N ，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点T ，则下列说法正确的是（）A.抛物线焦点F 的坐标为()0,3B.过点N 作抛物线的切线，则切点坐标为33,24⎛⎫± ⎪⎝⎭C.在FMN 中，若MN t MF =，t ∈R ，则tD.2TFAF BF=⋅三、填空题：本题共4小题.13.已知向量(2,1)a =- ，(1,)b λ=，若()a a b ⊥- ，则λ=____________.14.512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为______.15.过原点的动直线l 与圆22410x y x +-+=交于不同的两点A ，B .记线段AB 的中点为P ，则当直线l 绕原点转动时，动点P 的轨迹长度为____________.16.设12,x x 是函数21()e 1,()2xf x ax a =-+∈R 的两个极值点，若213x x ≥，则a 的范围为____________.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos 2b C a c =-.（1）求角B 的大小；（2）若b =，D 为AC 边上的一点，3BD =，且______________，求ABC 的面积．①BD 是B ∠的平分线；②D 为线段AC 的中点.（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.18.已知递增的等比数列{}n a 满足22a =，且1a ，2a ，31a -成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()()112n n n a n b a n ⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前20项和.19.如图，在圆柱体1OO 中，1OA =，12O O =，劣弧11A B 的长为π6，AB 为圆O的直径．（1）在弧AB 上是否存在点C （C ，1B 在平面11OAAO 同侧），使1BC AB ⊥，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；（2）求二面角111A O B B --的余弦值．20.某学校进行趣味投篮比赛，设置了A ，B 两种投篮方案.方案A ：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中得0分；方案B ：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙两位员工参加比赛，选择方案A 投中的概率都为()0001p p <<，选择方案B 投中的概率都为13，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响.（1）若甲选择方案A 投篮，乙选择方案B 投篮，记他们的得分之和为X ，()334P X ≤=，求X 的分布列；（2）若甲、乙两位员工都选择方案A 或都选择方案B 投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为12,A A ，上顶点为B ，且1tan 2A BO ∠=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过2A 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 在第一象限相交于点Q ，与直线1A B 相交于点P ，与y 轴相交于点M ，且223PA MQ QA MP =．求k 的值．22.已知函数2()ln x f x e a x =-，函数ln ()m xg x n x+=+的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（2）若0a ≤，且()f x 在[),e +∞上的最小值为2e e ，证明：当0x >时，()()f x g x ≥.运城市2023-2024学年第一学期期末调研测试高三数学试题考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、单项选择题：本题共8小题，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i12iz=-，则z等于（）A.1B. C.2D.5【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后直接利用复数模的公式求解即可.【详解】结合题意可得：()()()i12ii2i2i12i12i12i555 z+-+-====+ --+，所以55z==.故选：D.2.设x∈R，则“03x≤≤”是“02xx≤-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解分式不等式，求出解集，根据真子集关系得到答案.【详解】()20220x xxx x⎧-≤≤⇒⎨--≠⎩，解得02x≤<，由于02x≤<是03x≤≤的真子集，故03x≤≤是02xx≤-的必要不充分条件.故选：B3.已知e()1exaxf x=-是奇函数，则=a（）A.2-B.1-C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】根据()()f x f x -=-得到方程，求出2a =.【详解】由题意得()()f x f x -=-，即e e1e 1ex x ax ax--=---，所以e e e 11eax x xax ax-=---，故e e ax x x -=，所以ax x x -=，解得2a =.故选：C4.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A ，B ，C 分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（）A.150种B.300种C.720种D.1008种【答案】A 【解析】【分析】分3,1,1和2,2,1两种情况，结合排列组合知识进行求解.【详解】若三个场地分别承担3,1,1个项目，则有3113521322C C C A 60A ⋅=种安排，若三个场地分别承担2,2,1个项目，则有2213531322C C C A 90A ⋅=种安排，综上，不同的安排方法有6090150+=种.故选：A5.设0.814a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.3log 0.2b =，0.3log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >> B.b a c >> C.c a b>> D.b c a>>【答案】D 【解析】【分析】首先将对数式和指数式与临界值比较，再判断大小关系.【详解】 1.61122a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，即102a <<，0.3log 0.21b =>，即1b >，因为20.40.3<，所以20.30.3log 0.4log 0.31>=，即0.31log 0.42>，且0.30.3log 0.4log 0.31<=，则112c <<，所以b c a >>.故选：D6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的右顶点，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，且3π4PAQ ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A.B.213C.D.3【答案】C 【解析】【分析】联立圆与渐近线方程，得到()(),,,P a b Q a b --，进而得到π4OAQ ∠=，利用直线斜率得到方程，求出2b a =，得到离心率.【详解】由题意得，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，(),0A a ，渐近线方程为b y x a=±，联立222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x a =±，不妨令()(),,,P a b Q a b --，故π2OAP ∠=，因为3π4PAQ ∠=，所以3πππ424OAQ ∠=-=，所以0tan 1π4AQ b k a a --===--，解得2b a =，故离心率c e a ===.故选：C7.已知等差数列{}n a 中，97π12a =，设函数44()cos sin 3cos 1f x x x x x =---，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前17项和为（）A.51- B.48- C.17- D.0【答案】C 【解析】【分析】根据三角恒等变换化简()f x 的表达式，判断其图象关于点7π(,1)12-成中心对称，结合等差数列性质可得11721697π2212a a a a a +=+===⨯ ，从而得117216810()()()()()()2f a f a f a f a f a f a +=+==+=- ，由此即可求得答案.【详解】由题意知44()cos sin 3cos 1f x x x x x =---()()2222cos sin cos sin 321x x x x x =+--πcos 23212cos 213x x x ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，当7π12x =时，7ππ2cos 20123⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即()f x 关于点7π(,1)12-成中心对称，由于等差数列{}n a 中，97π12a =，故11721697π2212a a a a a +=+===⨯ ，故117216810()()()()()()2(1)2f a f a f a f a f a f a +=+==+=⨯-=- ，97ππ()2cos 211123f a ⎛⎫=⨯+-=- ⎪⎝⎭，故数列{}n y 的前17项和为1217()()()f a f a f a +++[][][]1172168109()()()()()()()f a f a f a f a f a f a f a =+++++++ 8(2)117=⨯--=-，故选：C8.已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为4的正方形，3PA PB ==，45PAC ∠= ，则直线PD 与平面ABCD 夹角的正弦值为（）A.31717B.21717 C.53D.23【答案】B 【解析】【分析】首先求AC ，再作出PO ⊥平面ABCD ，根据垂直关系，以及等面积转化，确定垂足点O 的位置，以及PO ，再求线面角的正弦值.【详解】如图，由题意可知，AC =PAC △中，根据余弦定理可知293223172PC =+-⨯⨯=，则PC =过点P 作PO ⊥平面ABCD ，OM AB ⊥，连结PM ，ON BC ⊥，连结PN ，因为PO ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PO AB⊥OM PO O = ，且,OM PO ⊂平面POM所以AB ⊥平面POM ，PM ⊂平面POM ，所以AB PM ⊥，又因为3PA PB ==，所以2MA MB ==，同理PN BC ⊥，PBC 中，916171cos 2343PBC +-∠==⨯⨯，则22sin 3PBC ∠=，根据等面积公式，11344232PN ⨯⨯⨯=⨯⨯，所以PN =，3NC ===，OD ==又2ON MB ==，所以2PO ==，则PD ==直线PD 与平面ABCD 夹角的夹角为PDO ∠，sin17PO PDO PD ∠===.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定垂足O 的位置，以及垂直关系的转化.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.关于下列命题中，说法正确的是（）A.若事件A 、B 相互独立，则()()P A B P A =B.数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95的第45百分位数为78C .已知()0.65P A =，()0.32P AB =，则()0.33P AB =D.已知~(0,1)N ξ，若(1)P p ξ≤=，则()1102P p ξ-≤≤=-【答案】AC 【解析】【分析】根据独立事件的乘法公式以及条件概率的概率公式可判断A ；根据百分位数的定义求出第45百分位数判断B ；根据对立事件的概率公式以及条件概率的概率公式可判断C ；根据正态分布的对称性可判断D.【详解】对于A ，若事件A 、B 相互独立，则()()()P AB P A P B =,而()()()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ===，A 正确；对于B ，数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95已为从小到大排列，共10个数，又45%10 4.5⨯=，故第45百分位数为第5个数74，B 错误；对于C ，由于()0.65P A =，()0.32P AB =，故()03232()()06565P BA .P B |A P A .===，则3233()1()16565P B |A P B |A =-=-=，故()()33(|)()0.650.3365P B A P A P AB P BA ====⨯，C 正确；对于D ，由于~(0,1)N ξ，(1)P p ξ≤=，故(1)1P p ξ>=-，故(1)(1)1P P p ξξ<-=>=-，故()11(1)(1)221102P p p P ξξ<-=--≤≤==---，D 错误，故选：AC10.已知函数()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的一个周期为2B.()f x 的定义域是1,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C.()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间[]1,2上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】利用正切函数的图象与性质一一判定选项即可.【详解】对于A ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知其最小正周期π2π2T ==，故A 正确；对于B ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知πππ1π2,Z 2422x k x k k +≠+⇒≠+∈，故B 错误；对于C ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知1πππ2242x x =⇒+=，此时()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确；对于D ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭可知[]ππ3π5π1,2,2444x x ⎡⎤∈⇒+∈⎢⎣⎦，又tan y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，显然3π5π,44⎡⎤⊂⎢⎥⎣⎦π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ACD11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是直线1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A.1C P的最小值为B.PB PC +的最小值为C.三棱锥1B ACP -的体积为83D.以点B 为球心，263为半径的球面与面1AB C 在正方体内的交线长为33π【答案】ABD 【解析】【分析】对于选项A ，即求正三角形的高，判断为正确；对于选项B ，将空间问题平面化即可判定为正确；对于选项C ，去一个特殊点，计算其体积，判断为错误；对于选项D ，先求出球与平面的交线，然后判断有多少在正方体内，求出其长度即可.【详解】对于A ，11C A D为边长为的等边三角形，1C P 的最小值即该等边三角形的高，为3cos302== A正确；对于B，如图，将等边1A BD 绕1A D 旋转到与平面11A DCB 共面，显然()min PB PC BC +=====，故B 正确；对于C，当P 在D 上时，1111148223333B ACP B ACD ACD V V S BB --==⋅⋅=⨯=≠ ，故C 错误；对于D，设点B 到平面1AB C 的距离为d ,11B AB C B ABC V V --= ，111133AB C ABC S d S BB ∴⋅=⋅ ，11222222d ∴⨯=⨯⨯⨯，3d =，以点B 为球心，3为半径的球面与面1AB C 在正方体内的交线是以1AB C V 中心为圆心，233==为半径的圆，如图，圆有一部分在正方体外，233OM =，由A 得133OH h ==，cos 2OH MOH OM ∠==，所以45MOH ∠= ，90MON ∠= ，所以有36090313604-⨯=圆周在正方体内部，其长度为12332ππ433⨯⨯=，故D 对.故选：ABD.12.已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，与其准线交于点D ，F 为AD 的中点，且6AF =，点M 是抛物线上 BA间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y 轴交于点N ，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点T ，则下列说法正确的是（）A.抛物线焦点F 的坐标为()0,3B.过点N 作抛物线的切线，则切点坐标为33,24⎛⎫± ⎪⎝⎭C.在FMN 中，若MN t MF =，t ∈R ，则tD.2TFAF BF=⋅【答案】CD 【解析】【分析】设点,2p D t ⎛⎫-⎪⎝⎭，可得出点A 的坐标，利用抛物线的定义可求得p 的值，可判断A 选项；设切线方程为32y kx =-，将切线方程与抛物线方程联立，由判别式为零求出k 的值，可求得切点的坐标，可判断B 选项；利用抛物线的定义结合B 选项可判断C 选项；证明出AT BT ⊥，FT AB ⊥，结合直角三角形的几何性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，抛物线()220x py p =>的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2py =-，设点,2p D t ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为F 为线段AD 的中点，则3,2p A t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由抛物线的定义可得32622p p AF p =+==，解得3p =，则30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，A 错；对于B 选项，由A 选项可知，抛物线的方程为26x y =，点30,2N ⎛⎫-⎪⎝⎭，若切线的斜率不存在，则该直线与抛物线26x y =相交，且只有一个交点，不合乎题意，所以，切线的斜率存在，设切线的方程为32y kx =-，联立2326y kx x y⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得2690x kx -+=，则236360k ∆=-=，解得1k =±，所以，切点横坐标为33k =±，纵坐标为()2393662k ==，故切点坐标为33,2⎛⎫± ⎪⎝⎭，B 错；对于C 选项，过点M 作ME 与直线32y =-垂直，垂足点为点E ，由抛物线的定义可得FM ME =，1cos MN MN t MFMEMNE===∠，由图可知，当直线MN 与抛物线26x y =相切时，锐角MNE ∠取最大值，此时，t取最大值，由B 选项可知，锐角MNE ∠的最大值为π4，故t的最大值为1πcos 4=，C 对；对于D 选项，设点()11,A x y 、()22,B x y ，若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 与抛物线26x y =只有一个交点，不合乎题意，所以，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为32y kx =+，联立2632x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得2690x kx --=，236360k '∆=+>，由韦达定理可得126x x k +=，129x x =-，对函数26x y =求导得3x y '=，所以，直线AT 的方程为()1113x y y x x -=-，即21136x x x y =-，同理可知，直线BT 的方程为22236x x x y =-，因为1219AT BT x x k k ==-，则AT BT ⊥，联立2112223636x x x y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可得121232362x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即点33,2T k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()3,3FT k =-，而()()()21212121,,AB x x y y x x k x x =--=-- ，所以，()()2121330FT AB k x x k x x ⋅=---=，则FT AB ⊥，所以，90TBF BTF ATF ∠=-∠=∠ ，由tan tan TBF ATF ∠=∠可得TF AF BFTF=，所以，2TFAF BF =⋅，D 对.故选：CD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．三、填空题：本题共4小题.13.已知向量(2,1)a =- ，(1,)b λ=，若()a a b ⊥- ，则λ=____________.【答案】7【解析】【分析】运用平面向量垂直及减法、数乘、数量积坐标运算即可.【详解】因为(2,1)a =- ，(1,)b λ= ，所以(3,1)a b λ-=--，因为()a ab ⊥-，所以()()()()23110a a b λ⋅-=-⨯-+⨯-= ，解得7λ=.故答案为：7.14.512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为______.【答案】80-【解析】【分析】根据通项公式中x 的指数为3，列方程解得1r =，从而可得展开式中3x 的系数.【详解】512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()5521512r r r rr T C x--+=-⋅⋅(0,1,2,3,4,5)r =，令523-=r ，得1r =，所以展开式中3x 的系数为5115(1)2C --⋅⋅=80-.故答案为：80-【点睛】本题考查了根据通项公式求项的系数，属于基础题.15.过原点的动直线l 与圆22410x y x +-+=交于不同的两点A ，B .记线段AB 的中点为P ，则当直线l 绕原点转动时，动点P 的轨迹长度为____________.【答案】4π3【解析】【分析】根据垂径定理结合圆的定义及动直线过定点两圆位置关系确定P 的轨迹为圆弧计算即可.【详解】由题意可知圆22410x y x +-+=的圆心为()2,0C ，半径为r =，根据圆的性质可知CP l ⊥，则OCP △为直角三角形，即P 在以OC 为直径的圆上，设OC 中点为E ，该圆半径为R ，易知1R EC ==，又线段AB 的中点为P ，则P 在圆22410x y x +-+=的内部，如图所示其轨迹即 FCG.因为CF r ===，易得120FEC ∠= ，则120GEC ∠= ，所以 FCG 的弧长为21204π2π3603R ⨯⨯⨯=.故答案为：4π316.设12,x x 是函数21()e 1,()2xf x ax a =-+∈R 的两个极值点，若213x x ≥，则a 的范围为____________.【答案】23,ln 3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【解析】【分析】根据极值点定义可将问题转化为y a =与exy x=有两个不同交点；利用导数可求得单调性，并由此得到()e xg x x=的图象；采用数形结合的方式可确定1201,x x <<<且e a >；假设213x x t ==，由()()12g x g x =可确定3ln 3t =，进而得到()()1223ln 3g x g x ==的值，结合图象可确定a 的取值范围.【详解】由21()e 1,()2xf x ax a =-+∈R ，可得()x f x ax e '=-，因为12,x x 是函数()f x 的两个极值点，所以12,x x 是e 0x ax -=的两根，当0x =时，方程不成立，故12,x x 是exa x=的两根，即y a =与e x y x =的图象有两个交点，令()e ,x g x x =则()()21e xx g x x -'=，当()(),00,1x ∞∈-⋃时，()0g x '<，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，所以()e xg x x =在()(),0,0,1∞-单调递减；在()1,∞+上单调递增.则()e xg x x=图象如下图所示，由图象可知：1201,x x <<<且e a >因为213x x ≥，所以213x x ≥，当213x x =时，不妨令213x x t ==，则13e e 3t tt t=，即13e 3et t =，化简得13e =3ln t =，当213x x =时，()()12ln 3g x g x ====，若213x x ≥，则23ln 3a ≥，即a 的取值范围为23,ln 3∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭.故答案为：,ln 3∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭.【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos 2b C a c =-.（1）求角B 的大小；（2）若b =，D 为AC 边上的一点，3BD =，且______________，求ABC 的面积．①BD 是B ∠的平分线；②D 为线段AC 的中点.（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.【答案】（1）π3B =（2）选①或选②均为【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，然后利用sin Asin()B C =+进行代换，求出1cos 2B =，即可得出答案；（2）若选①：由等面积法得到)ac a c =+，由余弦定理得到2212a c ac +-=，联立求解即可得出答案；若选②：得()12BD BA BC =+，两边平法化简得2236a c ac ++=，由余弦定理得到2212a c ac +-=，联立求解即可得出答案.【小问1详解】由正弦定理知，2sin cos 2sin sin B C A C =-，sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+ ，代入上式得2cos sin sin 0B C C -=，(0,π)C ∈ ，sin 0C ∴>，1cos 2B ∴=，(0,π)B ∈ ，π3B ∴=.【小问2详解】若选①：由BD 平分ABC ∠得：ABC ABD BCD S S S =+△△△，111sin 3sin 3sin 232626πππac a c ∴=⨯+⨯，即)ac a c =+.在ABC 中，由余弦定理得222π2cos3b ac ac =+-，2212a c ac ∴+-=，联立)2212ac a c a c ac ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩，得2()936ac ac -=，解得12ac =，11sin 12222ABC S ac B ∴==⨯⨯=△若选②：得()12BD BA BC =+，()()222211244BD BA BCBA BA BC BC =+=+⋅+，得2236a c ac ++=，在ABC 中，由余弦定理得222π2cos3b ac ac =+-，2212a c ac ∴+-=，联立22223612a c ac a c ac ⎧++=⎨+-=⎩，得12ac =，113sin 12222ABC S ac B ∴==⨯⨯=△18.已知递增的等比数列{}n a 满足22a =，且1a ，2a ，31a -成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()()112n n n a n b a n ⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前20项和.【答案】（1）12n n a -=（2）212323-【解析】【分析】（1）根据等差中项的性质得到13212a a a +-=，然后根据等比数列的通项公式列方程求解即可；（2）利用分组求和的方法计算即可.【小问1详解】设公比为()1q q >，因为1a ，2a ，31a -成等差数列，所以1314a a +-=，所以2250q q+-=，解得2q =或12q =（舍去），所以12n n a -=.【小问2详解】根据题意得()1234192013519246201102b b b b b b a a a a a a a a ++++++=++++-+++++ ()()02418024182222102222=++++-+++++ 101421014-=⨯--212323-=.19.如图，在圆柱体1OO 中，1OA =，12O O =，劣弧11A B 的长为π6，AB 为圆O 的直径．（1）在弧AB 上是否存在点C （C ，1B 在平面11OAAO 同侧），使1BC AB ⊥，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；（2）求二面角111A O B B --的余弦值．【答案】（1）存在，1B C 为圆柱1OO 的母线（2）25117【解析】【分析】（1）1B C 为圆柱1OO 的母线时，证明BC ⊥平面1AB C ，从而得出1BC AB ⊥；（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得二面角111A O B B --的余弦值.【小问1详解】存在，当1B C 为圆柱1OO 的母线时，1BC AB ⊥．证明如下：连接BC ，AC ，1B C ，因为1B C 为圆柱1OO 的母线，所以1B C ⊥平面ABC ，又因为BC ⊂平面ABC ，所以1B C BC ⊥．因为AB 为圆O 的直径，所以BC AC ⊥．又1AC B C C ⋂=，1,AC B C ⊂平面1AB C ，所以BC ⊥平面1AB C ，因为1AB ⊂平面1AB C ，所以1BC AB ⊥．【小问2详解】以O 为原点，OA ，1OO 分别为y ，z 轴，垂直于y ，z 轴的直线为x 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则1(0,1,2)A ，1(0,0,2)O ，(0,1,0)B -，因为劣弧11A B 的长为π6，所以111π6AO B ∠=，113,,222B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则1(0,1,2)O B =--，111,,022O B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．设平面11O BB 的法向量(,,)m x y z =，则111201022O B m y z O B m x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令3x =-，解得y =，32z =-，所以2m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ．因为x 轴垂直平面11A O B ，所以平面11A O B 的一个法向量(1,0,0)n =．所以cos ,17m n 〈〉==- ，又二面角111A O B B --的平面角为锐角，故二面角111A O B B --的余弦值为25117．20.某学校进行趣味投篮比赛，设置了A ，B 两种投篮方案.方案A ：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中得0分；方案B ：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙两位员工参加比赛，选择方案A 投中的概率都为()0001p p <<，选择方案B 投中的概率都为13，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响.（1）若甲选择方案A 投篮，乙选择方案B 投篮，记他们的得分之和为X ，()334P X ≤=，求X 的分布列；（2）若甲、乙两位员工都选择方案A 或都选择方案B 投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？【答案】（1）分布列见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据()334P X ≤=得到方程，求出034p =，求出X 的所有可能值及对应的概率，得到分布列；（2）设甲、乙都选择方案A 投篮，投中次数为1Y ，都选择方案B 投篮，投中次数为2Y ，则()10~2,Y B p ，21~2,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，计算出两种情况下的均值，由不等式，得到相应的结论.【小问1详解】依题意，甲投中的概率为0p ，乙投中的概率为13，于是得013(3)1(5)134P X P X p ≤=-==-=，解得034p =，X 的所有可能值为0，2，3，5，311(0)11436P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，311(2)1432P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，131(3)13412P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，311(5)434P X ==⨯=，所以X 的分布列为：X 0235P161211214【小问2详解】设甲、乙都选择方案A 投篮，投中次数为1Y ，都选择方案B 投篮，投中次数为2Y ，则()10~2,Y B p ，21~2,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则两人都选择方案A 投篮得分和的均值为()12E Y ，都选择方案B 投篮得分和的均值为()23E Y ，则()()100142222E E Y p p Y ==⨯=，()()221333322E Y Y E ==⨯⨯=，若()()1223E Y E Y >，即042p >，解得0112p <<；若()()1223E Y E Y =，即042p =，解得012p =；若()()1223E Y E Y <，即042p <，解得0102p <<.所以当0112p <<时，甲、乙两位同学都选择方案A 投篮，得分之和的均值较大；当012p =时，甲、乙两位同学都选择方案A 或都选择方案B 投篮，得分之和的均值相等；当0102p <<时，甲、乙两位同学都选择方案B 投篮，得分之和的均值较大.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为12,A A ，上顶点为B ，且1tan 2A BO ∠=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过2A 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 在第一象限相交于点Q ，与直线1A B 相交于点P ，与y 轴相交于点M ，且223PA MQ QA MP =．求k 的值．【答案】（1）2214x y +=（2）1-【解析】【分析】（1）根据焦距和角的正切值得到方程，求出21b =，24a =，得到椭圆方程；（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，得到228214Q k x k-=+，再与直线1A B 方程联立，得到2421P kx k +=-，根据题干条件得到方程30P Q Q P x x x x +-=，代入求出答案，舍去不合要求的解.【小问1详解】由题意得2c =c =又1,AO a OB b ==，故1tan 2aA BO b∠==，即2a b =，又222a b c =+，解得21b =，24a =，故椭圆方程为2214x y +=；【小问2详解】直线l 的方程为()2y k x =-，0k <，与2214x y +=联立得()222214161640k x k x k +-+-=，设(),Q Q Q x y ，则22164214Q k x k -=+，解得228214Q k x k -=+，因为点Q 在第一象限，所以2282014Q k x k -=>+，解得214k >，直线1A B 方程为112y x =+，与()2y k x =-联立得2421k x k +=-，故2421P k x k +=-，()2y k x =-中，令0x =得2y k =-，故()0,2M k -，因为223PA MQ QA MP =，所以()()()()20320P Q Q Px x x x--=--，整理得30P Q Q P x x x x +-=，即2222248282243021141421k k k k k k k k +--+⋅+-⋅=-++-，化简得22310k k ++=，解得12k =-或1-，其中12k =-不满足214k >，舍去，1k =-满足要求，故1k =-.22.已知函数2()ln x f x e a x =-，函数ln ()m xg x n x+=+的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（2）若0a ≤，且()f x 在[),e +∞上的最小值为2e e ，证明：当0x >时，()()f x g x ≥.【答案】（1）当0a >时，()f x '存在唯一零点，当0a ≤时，()f x '无零点.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得()f x 的定义域为(0,)+∞，2()2x af x e x'=-，然后分0a ≤和0a >两种情况讨论即可（2）先由条件求出1ln ()2x g x x+=+，然后要证()()f x g x ≥，即证()22ln 1xx e x --≥，令()2()2ln xh x x ex =--，然后利用导数得出min ()1h x =即可【详解】（1）由题意，得()f x 的定义域为(0,)+∞，2()2xa f x e x'=-.显然当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x '无零点.当0a >时，取2()()2xa t x f x e x'==-，则22()40xa t x ex'=+>，即()f x '单调递增，又()0f a '>，2202a aa e a a f e e e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以导函数()f x '存在唯一零点.故当0a >时，()f x '存在唯一零点，当0a ≤时，()f x '无零点.（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 单调递增，所以22min ()()ee f x f e e a e ==-=，所以0a =.因为21ln ()m xg x x --'=，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=，所以1(1)01mg -'==，所以1m =.又1ln1(1)31g n +=+=，所以2n =，所以1ln ()2xg x x+=+.根据题意，要证()()f x g x ≥，即证2ln 12xx e x+≤-，只需证()22ln 1x x e x --≥.令()2()2ln xh x x e x =--，则22121()(21)(21)x x x h x x e x e x x +⎛⎫'=+-=+- ⎪⎝⎭.令21()(0)xF x ex x =->，则221()20x F x e x'=+>，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增.又1404F ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，1202F e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以()F x 有唯一的零点,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭01142.当()00,x x ∈时，()0<F x ，即()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0F x >，即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()2min 000()2ln x h x h x x e x ==--.又因为()00F x =，所以0201ex x =，所以()0000020112ln 1221x h x x x x x e ⎛⎫⎛⎫=--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()f x g x ≥.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点个数，利用导数证明不等式，属于较难题.。
2020届山西省运城市高三上学期期末数学文试题
山西省运城市2020届高三上学期期末数文一、单选题1．集合{}2|20A x x x =--≤，{}|10B x x =-<，则A B I （ ）A ．{}|1x x <B ．{}|11x x -≤<C ．{}2|x x ≤D ．{}|21x x -≤<【答案】B2．已知复数满足32z i i ⋅=+，则在复平面内复数z 对应的点的坐标是（ ） A ．()2,3- B ．()3,2-C ．()2,3-D ．()2,3【答案】A3．已知2sin 0θθ=，则角θ的值不可能是（ ） A ．210-︒ B ．180-︒C ．210︒D ．240-︒【答案】D4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =【答案】A5．已知向量a r 与b r 的夹角为23π，向量2bc a =+r r r ，||1a =r ，若()2a a b ⊥+rr r ，则||c r （ ）A ．12B C D ．13【答案】B6．设m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，则下列说法中正确的个数为①若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥；②若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则n m ∥③若a α⊥，b β⊥，a b ∥，则αβ∥；④若m α⊥，n m ∥，βn//，则αβ⊥ A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 7．函数()2sin 1x f x ax bx π=-+的部分图象如图所示，若函数()f x 的最大值为32，且其图象关于直线12x =对称，则（ ）A ．43a =-，43b =-B ．43a =，43b = C ．23a =-，23b =D ．2a =，2a =【答案】B8．已知实数a ，b ，c ，m 满足3m a =，13log b m =，log 3m c =，命题p ：若2020m =，则a c b >>；命题q ：若12020m =，则a b c >>，则下列命题中的真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ⌝∧ C ．()p q ∧⌝ D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】C9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为（ ）A ．3 B．2C ．522D ．52【答案】D10．在1815年英国伦敦出版的著名数学科普刊物《男士日记》中刊登了如下问题：设M 为圆内弦AB 的中点，过点M 作弦CD 和EF ，连接CF 和DE 分别交AB 于点P ，Q ，则M 为PQ 的中点.以上问题的图形，像一只在圆中翩翩起舞的蝴蝶，这正是该问题被冠以“蝴蝶定理”的美名的缘由.由于蝴蝶定理意境优美，结论简洁，蕴理深刻，如本图所示，若QMD ∆的外接圆为1O ，PMF ∆的外接圆为2O ，随机向圆1O 内丢一粒豆子，落入QMD ∆内的概率为1P ，随机向圆2O 内丢一粒豆子，落入PMF ∆内的概率为2P ，则（ ）A ．12P P >B ．12P P =C ．12P P <D ．1P 与2P 的大小不能确定【答案】C11．若函数()3|cos()|8f x x ωπ=+（0>ω）在区间[,]64ππ-上单调递减，则实数ω的最大值为（ ） A ．154B ．52C ．12D ．2【答案】C12．设1F 、2F 分别为双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若22123||||||+⋅PF PF a PF 的最大值为13a，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）A．[(0,-⋃ B．(,)-∞-+∞U C．[U D．(,)-∞+∞U【答案】A二、填空题13．若曲线()xf x me n =+在点()()22f ,处的切线方程为22y e x =，则m n +=__________．【答案】222e +14．若抛物线22y px =-（0p >）的准线为圆2240x y x +-=的一条切线，则抛物线的标准方程为__________．【答案】216y x =-15．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，且b ，a ，c 成等差数列，·9AB AC =u u u r u u u r，则a =__________．【答案】16．已知函数()24log ,0432,42x x x f x x -⎧<<⎪=⎨+≥⎪⎩，若方程()0f x m -=有三个不同的实根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则()12123()x x f x x f x +的取值范围为__________． 【答案】12(,)23三、解答题17．春节来临之际，某超市为了确定此次春节年货的进货方案，统计去年春节前后50天年货的日销售量（单位：kg ），得到如图所示的频率分布直方图.（2）先从日销售在[135,145)，[145,155)，[195,205)内的天数中，按分层抽样随机抽取4天进行比较研究，再从中选2天，求这2天的日销售量都在[145,155)内的概率. 【答案】（1）0.014a =，168.6；（2）16P =18．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，332S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令212log ||42n n a b =+，记n T 为数列{}n b 的前n 项和，若500n T ≥-，求正整数n 的最大值. 【答案】（1）112()2n n a -=⨯-；（2）2219．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，//AE CF ，2AE CF =，AE ⊥平面ABCD ，2AB =，60ABC ∠=︒.（1）若点G ，H 分别在EB ，ED 上，且2EG GB =，2EH HD =，证明//GH 平面FBD . （2）若平面EBD ⊥平面FBD ，求平面BFD 把多面体ABCDEF 分成大、小两部分的体积比. 【答案】（1）见解析；（2）5:1 【详解】（1）依题意确定点G ，H 的位置如图所示，连接GH .∵在EBD ∆中，2EG GB =，2EH HD =，∴//GH BD ，又BD ⊂平面FBD ，GH ⊄平面FBD ，∴//GH 平面FBD（2）如图，连接AC 交BD 于点O ，连接EO ，FO .∵底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒∴ABC ∆为等边三角形，1AO CO ==.由AE ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，//AE CF ，易得BE ED =，BF FD =，则EO BD ⊥，FO BD ⊥，∵平面EBD ⊥平面FBD ，平面EBD I 平面FBD BD =，EO BD ⊥ 且EO ⊂平面EBD ，∴EO ⊥平面FBD ，又FO ⊂平面FBD ，∴EO FO ⊥ 设FC x =，2EA x =，由222OE OF EF +=得()22222112x x x +++=+，解得22x =，∴22FC =，2EA =.∵AE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴AE BD ⊥.又BD AC ⊥，AE AC A =I ，AE ，AC ⊂平面EACF .∴BD ⊥平面EACF ，由ABC ∆是边长为2的等边三角形，BD 为菱形ABCD 的对角线，易得3BO OD ==，由对称性可知，2(2)212=223632ABCDEF B EACF V V -+⨯=⨯⨯⨯=多面体四棱锥 又12162313226F BCD V -=⨯⨯⨯⨯=三棱锥 ∴平面BFD 把多面体ABCDEF 分成大小两部分的体积比为66(6):5:166-=20．已知函数()()3113f x x a x =-+，()2ln g x x x =-.（1）求函数()f x 的单调区间和函数()g x 的最值； （2）已知关于x 的不等式()()3123g x f x x x a -≥-++对任意的(0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）(,2]-∞ 【详解】 （1）因为()()3113f x x a x =-+，∴()()2'1f x x a =-+. 当10a +≤，即1a ≤-时，()()2'10f x x a =-+≥恒成立，()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增.当10a +>，即1a >-时，令()'0f x >，则x <x >，()f x 单调递增；令()'0f x <，则x <()f x 单调递减.综上，当1a ≤-时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；当1a >-时，()f x 的单调递增区间为(,-∞，)+∞，单调递减区间为(；因为()2ln g x x x =-，（0x >） 所以22'()1x g x x x-=-=，所以当2x >时，()'0g x >，()g x 单调递增， 当02x <<时，()'0g x <，()g x 单调递减，所以()()min 222ln 2g x g ==-，无最大值. （2）()()3123g x f x x x a -≥-++对任意的(0,1]x ∈恒成立， 即()12ln 0a x x --≥对任意的(0,1]x ∈恒成立.令()()12ln h x a x x =--，(0,1]x ∈，则()22'ax h x a x x-=-=. 当2a ≤时，因为(0,1]x ∈，所以20ax -≤，所以'()0h x ≤，()h x 在区间(0,1]上单调递减.所以min ()(1)0h x h ==，符合题意.当2a >时，令'()0h x <，得20x a <<，令'()0h x >，得21x a<≤， 所以()h x 在区间2(0,)a 上单调递减，在区间2(,1]a上单调递增，所以()()()min 222()(1)2ln22ln 2(2ln )2h x h a a a g g a a a a==--=---=- 由（1）知()()20g g a -<，即min ()0h x <在(2,)a ∈+∞上恒成立，不符合题意. 综上，实数a 的取值范围为(,2]-∞21．已知椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 是椭圆上一点，I 为12PF F ∆的内切圆圆心，11222PIF IF F PIF S S S ∆∆∆=-，且12PF F ∆的周长为6. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点()0,1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若()23OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形OAPB 面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）【详解】（1）∵11222PIF IF F PIF S S S ∆∆∆=-，∴1212||||2||PF PF F F +=，即2a c =① 又∵12PF F ∆的周长为6 ∴1212|||||6PF PF F F ++=，即226a c +=②由①②可得2a =，1c =，则b =∴椭圆方程为22143x y +=（2）设直线AB 的方程为+1y kx =，()11,A x y ，()22,B x y ，则由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立消y 可得，()2234880k x kx ++-=，12212208348·34k x x k x x k ⎧⎪∆>⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩∵()23OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，∴=3OAB OAPB S S ∆四边形∴1223=||234四边形-==+OAPBS xx k 1t =≥ ∴2212t k -=，∴2OAPB S t t==+四边形，又∵12y t t =+在区间[1,)+∞上单调递增，∴3y≥，∴OAPB S ≤四边形∴四边形OAPB 的面积最大值为22．在直角坐标系xOy中，直线l 的参数方程为22x m ty t =-⎧⎪⎨=⎪⎩（0m >，t 为参数），曲线C 的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 与曲线C 交于M ，N 两点.（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；（2）若||MN =(A m ，求||||AM AN +的值.【答案】（1）ρθ=；（2 【详解】（1）因为曲线C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），所以曲线C 的普通方程为(223x y +-=，即220x y +-=.又cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以曲线C 的极坐标方程为ρθ=.（2）由直线l 的参数方程易知，直线l 的普通方程为0x y m +--=. 由（1）知，曲线C 是圆心为(.因为||MN=所以圆心(到直线l2=2= 解得m =m =，将直线l的参数方程22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C的直角坐标方程得22)()322t +=整理得220t +=，则24220∆=-⨯=>. 设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t，12t t +122⋅=t t由于点A在圆外，所以1212||||||||AM AN t t t t +=+=+23．已知函数()()2|1|13f x x x =-+-+. （1）求()()()|g x f x f x =+的最小值； （2）若存在实数0x，使得()()2200|2|9f x m m f x +≤-成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1（2）{}(,11[1)-∞+∞U U 【详解】（1）因为函数()()2|1|133f x x x =-+-+≥， 所以()()()()()()()||||||||3333g x f x f x f x f x f x f x =+-=+-≥+-=当且仅当()()]0f x f x ≥，即()0f x ≤≤，即1x =时取等号， 所以()g x（2()()221=+≥=f x f x，()2f x =，即()3f x =时取等号.·11· 因为存在实数0x，使得()()2200|2|9f x m m f x +≤-成立，所以2|2|1m m -≥得1m ≤或1m =或1m ≥+ 所以m的取值范围是{}(,11[1)-∞+∞U U。
2020届山西省运城市高三上学期期末数学(文)试题
山西省运城市2020届高三上学期期末数学（文）试题一、单选题1．集合{}2|20A x x x =--≤，{}|10B x x =-<，则A B I （ ）A ．{}|1x x <B ．{}|11x x -≤<C ．{}2|x x ≤D ．{}|21x x -≤<【答案】B【解析】先解一元二次不等式求出集合A ，再通过交集的运算，可得到本题答案. 【详解】由220x x --≤，得12x -≤≤，从而{}|12A x x =-≤≤，{}|1=<Q B x x ，{}|11A B x x ∴⋂=-≤<.故选：B 【点睛】本题考查了集合的交集运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题. 2．已知复数满足32z i i ⋅=+，则在复平面内复数z 对应的点的坐标是（ ） A ．()2,3- B ．()3,2-C ．()2,3-D ．()2,3【答案】A【解析】通过复数的除法运算公式求得z ，即可得到本题答案. 【详解】32⋅=+Q z i i ，2232(32)()2323()++⋅---∴====-⋅--i i i i iz i i i i i，所以在复平面内z 对应的点的坐标为(2,3)-. 故选：A 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数在复平面内对应点的坐标，属于基础题.3．已知2sin 0θθ=，则角θ的值不可能是（ ） A ．210-︒ B ．180-︒C ．210︒D ．240-︒【答案】D 【解析】把sin tan cos θθθ=代入等式，逐步化简，可得到本题答案. 【详解】2sin 2sin sin (20θθθθ+=+=+=Qsin 0θ∴=或cos θ=210,180,210θ=-︒-︒︒都满足题意，而240θ=-︒不满足. 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数化简求角的问题.4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =【答案】A【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈ 0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A5．已知向量a r 与b r 的夹角为23π，向量2b c a =+r r r ，||1a =r ，若()2a a b ⊥+rr r ，则||c r （ ）A ．12B C D ．13【答案】B【解析】先由()2aa b ⊥+r r r ，可求得b r ，再根据向量的模的计算公式，即可得到本题答案.【详解】()2⊥+r r r Q a a b ，()02∴⋅+=r u u r r a a b ，即22121cos 0232π⋅+=⋅⋅+=r r r r r r a b a a b a ，代入1a =r ，得1b =r .又2=+r r r Q b c a ，∴==r c2===【点睛】本题主要考查向量垂直的等价条件、数量积以及向量的模的计算.6．设m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，则下列说法中正确的个数为①若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥；②若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则n m ∥ ③若a α⊥，b β⊥，a b ∥，则αβ∥；④若m α⊥，n m ∥，βn//，则αβ⊥ A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据空间中线面关系的性质定理，逐项判断，能得到答案 【详解】对于①，直线m 与n 有可能平行、异面以及相交但不垂直，所以①不正确；对于②，直线m 与n 有可能异面，所以②不正确；对于③，a α⊥，a b ∥，则b α⊥又b β⊥，则αβ∥，所以③正确；对于④，Q m α⊥，//n m ，∴n α⊥，又Q βn//，∴在平面β内必有一条直线l 与n 平行，l α∴⊥，则αβ⊥，所以④正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查空间中线面之间位置关系的判断，属于基础题. 7．函数()2sin1x f x ax bx π=-+的部分图象如图所示，若函数()f x 的最大值为32，且其图象关于直线12x =对称，则（ ）A ．43a =-，43b =-B ．43a =，43b = C ．23a =-，23b =D ．2a =，2a =【答案】B【解析】根据对称轴方程12x =可得式子①，再根据()f x 的最大值为32可得式子②，联立①，②，即可得到本题答案. 【详解】设()sin g x x π=，令()2πππ=+∈x k k Z ，得12=+x k ，所以12x =是()sin g x x π=的一条对称轴，又()2sin 1π=-+Q x f x ax bx 的图象关于直线12x =对称，12x ∴=为2()1=-+h x ax bx 的对称轴，即有221b a =①，另外，当12x =时，()f x 取最大值，所以 1sin 132()1122142π==-+f a b ②，联立①，②得，44,33==a b . 故选：B 【点睛】本题主要考查根据函数图象的性质求参数的取值.8．已知实数a ，b ，c ，m 满足3m a =，13log b m =，log 3m c =，命题p ：若2020m =，则a c b >>；命题q ：若12020m =，则a b c >>，则下列命题中的真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】C【解析】先对命题p 和命题q 的真假性做出判断，然后根据真值表判断复合命题的真假，即可得到本题答案. 【详解】当2020m =时，2020120203log 20200,0log 31,31<<<>Q ，a c b ∴>>，所以命题p 是真命题；当12020m =时，12020113202031log 30,log log 2020302020<=>>Q ，b a c ∴>> ，所以命题q 是假命题，q ⌝是真命题，则()p q ∧⌝为真命题. 故选：C 【点睛】本题主要考查复合命题的真假性判断，以及判断指数和对数的大小关系，属于基础题. 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为（ ）A．3B．2C．52D．52【答案】D【解析】先根据三视图画出四棱锥的直观图，设外接球的半径为R，根据勾股定理，可求得本题答案. 【详解】图1中的四棱锥P-ABCD为三视图的直观图，把四棱锥直接画出来如下图2，连AC、BD交于点O1,再连接PO1，易得四棱锥的底面ABCD为矩形，四条侧棱相等，所以PO1垂直与底面ABCD，则四棱锥的外接球的球心必定在1PO连线上的某一处，设外接球球心为点O，连接BO，22,2====Q AB CD AD BC，5====PA PB PC PD，23,O1=3PO1=2，∴=BD B，设外接球的半径为R，则在Rt OBO1∆中，有222 (3)(2)+-=R R，解得524=R.故选：D【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，以及几何体外接球的半径计算，难度适中.10．在1815年英国伦敦出版的著名数学科普刊物《男士日记》中刊登了如下问题：设M为圆内弦AB 的中点，过点M作弦CD和EF，连接CF和DE分别交AB于点P，Q，则M为PQ的中点.以上问题的图形，像一只在圆中翩翩起舞的蝴蝶，这正是该问题被冠以“蝴蝶定理”的美名的缘由.由于蝴蝶定理意境优美，结论简洁，蕴理深刻，如本图所示，若QMD ∆的外接圆为1O ，PMF ∆的外接圆为2O ，随机向圆1O 内丢一粒豆子，落入QMD ∆内的概率为1P ，随机向圆2O 内丢一粒豆子，落入PMF ∆内的概率为2P ，则（ ）A ．12P P >B ．12P P =C ．12P P <D ．1P 与2P 的大小不能确定【答案】C【解析】分别把12,P P 表示出来，然后比较大小，即可得到本题答案. 【详解】设QMD ∆外接圆的半径为1R ，PMF ∆外接圆的半径为2R ，点D 到AB 的距离为1h ，点F 到AB 的距离为2h ，由图可知12h h <.根据正弦定理有，12PM2,2=sin sin =∠∠MQ R R D F ，PM,=∠=∠Q MQ D F ，12∴=R R ，又11221112ππ∆⋅==Q QMD MQ h S P R R ， 22222212ππ∆⋅==PMF PM h S P R R ，12∴<P P 【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，难度适中.11．若函数()3|cos()|8f x x ωπ=+（0>ω）在区间[,]64ππ-上单调递减，则实数ω的最大值为（ ）A ．154B ．52C ．12D ．2【答案】C【解析】先求出函数()3|cos()|8f x x ωπ=+（0>ω）的减区间，进而列出不等式组，确定ω的取值范围，即可求得本题答案. 【详解】()cos =Q f x x 的减区间为2{|,}πππ≤≤+∈k x x k k Z ，令382ππωππ≤+≤+k x k ，得131()()88ππππωω-+≤≤+k x k ，∴()3|cos()|8f x x ωπ=+（0>ω）的减区间为131(){|,}()88ππππωω-+≤≤∈+k x k k x Z ，当0k =时，()f x 的减区间为{|}388ππωω-≤≤x x ，()3|cos()|8f x x ωπ=+（0>ω）在区间[,]64ππ-上单调递减，需满足不等式组48386ππωππω⎧≤⎪⎪⎨-⎪≤-⎪⎩，解得，12ω≤ . 故选：C 【点睛】本题主要考查根据三角函数的单调性确定参数的取值范围，难度适中.12．设1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若22123||||||+⋅PF PF a PF 的最大值为13a，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ） A．[(0,-⋃ B．(,)-∞-+∞U C．[U D．(,)-∞+∞U【答案】A 【解析】根据22123||||||+⋅PF PF a PF 的最大值为13a，先确定12,PF PF 的值，再通过1212+≥PF PF F F ，可求出ba的取值范围，从而可得到本题答案. 【详解】122PF PF a -=Q ，2222222222223334(2)545∴==++⋅++++PF PF a PF a a PF PF a PF a PF aPF22231435=≤=++a a PF a PF ，当且仅当，2224=a PF PF 时，即22PF a =，取最大值13a，此时14PF a =，1212+≥Q PF PF F F ，即有62≥a c ，229∴≥a c ，∴228≥a b ，解得0<<b a ，所以0--<ba. 故选：A 【点睛】本题主要结合基本不等式考查双曲线的渐近线的取值范围，难度适中.二、填空题13．若曲线()xf x me n =+在点()()22f ,处的切线方程为22y e x =，则m n +=__________．【答案】222e +【解析】根据切线方程为22y e x =可得22(2)4(2)2f e f e⎧=⎨'=⎩，解方程组即可得到本题答案. 【详解】()=+Q x f x me n ，()∴'=x f x me ，又()=+Q x f x me n 在(2,(2))f 处的切线方程为22y e x =，22(2)4(2)2f e f e ⎧=∴⎨'=⎩，即222242me n e me e⎧+=⎨=⎩，得222m n e =⎧⎨=⎩，222∴+=+m n e . 故答案为：222e + 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题.14．若抛物线22y px =-（0p >）的准线为圆2240x y x +-=的一条切线，则抛物线的标准方程为__________． 【答案】216y x =-【解析】利用圆心到切线距离等于半径列出等式，即可得到本题答案. 【详解】Q 抛物线的标准方程为22y px =-（0p >），∴其准线方程为2px =，而圆的标准方程为22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，半径2r =，因为2px =是圆的一条切线，所以222-=p ，得0p =（舍去）或8p =，抛物线的标准方程为216y x =-.故答案为：216y x =- 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程和准线方程以及圆的切线，属于基础题. 15．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，且b ，a ，c 成等差数列，·9AB AC =u u u r u u u r，则a =__________．【答案】【解析】由b ，a ，c 成等差数列得2a b c =+①，由·9AB AC =u u u r u u u r，得18=bc ②，再把①②代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得本题答案. 【详解】,,Q b a c 成等差数列，2∴=+a b c ，cos cos 93π⋅=⋅⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r Q AB AC AB AC A bc ，18∴=bc ，22222222cos ()3454∴=+-=+-=+-=-a b c bc A b c bc b c bc a，解得a =. 【点睛】本题主要考查解三角形、等差数列与向量的综合，考查运算求解能力.16．已知函数()24log ,0432,42x x x f x x -⎧<<⎪=⎨+≥⎪⎩，若方程()0f x m -=有三个不同的实根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则()12123()x x f x x f x +的取值范围为__________． 【答案】12(,)23【解析】做出()f x 的图象，根据函数方程之间的关系，确定123,,x x x 的取值范围，结合对数的运算法则进行化简，即可得到本题答案. 【详解】如下图，画出函数()f x 的图象，若方程()0f x m -=有三个不同的实根1x ，2x ，3x ，则必有123014<<<<<x x x ，12()()f x f x =Q ，21222122log log ,log log ∴=-=x x x x ，得121=x x ，所以122()log 10==f x x ，则()()3412123311(2)32-+==+x x x f x x f x f x ， 333344341331124,1,02,22,422223322--->∴-<-∴<<∴<+<∴<<+Q x x x x x .故答案为：12(,)23【点睛】本题主要考查函数的零点问题，数形结合是解决本题的关键.三、解答题17．春节来临之际，某超市为了确定此次春节年货的进货方案，统计去年春节前后50天年货的日销售量（单位：kg ），得到如图所示的频率分布直方图.（2）先从日销售在[135,145)，[145,155)，[195,205)内的天数中，按分层抽样随机抽取4天进行比较研究，再从中选2天，求这2天的日销售量都在[145,155)内的概率. 【答案】（1）0.014a =，168.6；（2）16P =【解析】（1）利用频率和=1，可求得a ；利用平均数的计算公式可求得答案； （2）列举出所有的等可能情况，利用古典概型的概率公式求解. 【详解】（1）由题意得()[0.012220.0020.02]101a a ⨯++++⨯=,所以0.014a =，所以1400.11500.21600.161700.161800.14x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1900.142000.1168.6+⨯+⨯= （2）从日销售量在[135,145)，[145,155)，[195,205)内的天数中，按分层抽样随机抽取4天，则日销售量都在[135,145)内的有1天，可记为A ，在[145,155)内的有2天，可记为B ，C ，在[195,205)内的有1天，可记为D .从中选出2天，有(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),B C ，(),B D ，(),C D ，共6种选法，其中2天的日销售量都在[145,155)内的有(),B C ，共1种选法.则所求概率16P =. 【点睛】本题主要考查频率直方图以及古典概型，属于基础题. 18．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，332S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令212log ||42n n a b =+，记n T 为数列{}n b 的前n 项和，若500n T ≥-，求正整数n 的最大值.【答案】（1）112()2n n a -=⨯-；（2）22【解析】（1）由12a =，332S =可算出等比数列的公比q ，接着即可得到本题答案； （2）化简n b ，写出n T 的表达式，解不等式即可得到本题答案. 【详解】（1）设{}n a 的公比为q .由题意得()21312a q q ++=，又12a =， 所以2104q q ++=，解得12q =-,则{}n a 的通项公式为11112()2n n n a a q --==⨯-； （2）因为2112log ||2422n n a b n =+=-+，∴31(2)122()22nn n T n n --+==-+， 因为500n T ≥-，*n N ∈，所以解得n 的最大值为22. 【点睛】本题主要考查等比数列、等差数列与不等式的综合，难度不大.19．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，//AE CF ，2AE CF =，AE ⊥平面ABCD ，2AB =，60ABC ∠=︒.（1）若点G ，H 分别在EB ，ED 上，且2EG GB =，2EH HD =，证明//GH 平面FBD .（2）若平面EBD ⊥平面FBD ，求平面BFD 把多面体ABCDEF 分成大、小两部分的体积比. 【答案】（1）见解析；（2）5:1【解析】（1）通过对应边成比例得到//GH BD ，从而有//GH 平面FBD ； （2）分别求出多面体ABCDEF 和三棱锥F-BCD 两部分的体积，即可得解. 【详解】（1）依题意确定点G ，H 的位置如图所示，连接GH .∵在EBD ∆中，2EG GB =，2EHHD =，∴//GH BD ，又BD ⊂平面FBD ，GH ⊄平面FBD ，∴//GH 平面FBD（2）如图，连接AC 交BD 于点O ，连接EO ，FO .∵底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒∴ABC ∆为等边三角形，1AO CO ==.由AE ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，//AE CF ，易得BE ED =，BF FD =，则EO BD ⊥，FO BD ⊥，∵平面EBD ⊥平面FBD ，平面EBD I 平面FBD BD =，EO BD ⊥ 且EO ⊂平面EBD ，∴EO ⊥平面FBD ，又FO ⊂平面FBD ，∴EO FO ⊥ 设FC x =，2EA x =，由222OE OF EF +=得()22222112x x x +++=+，解得22x =，∴22FC =，2EA =.∵AE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴AE BD ⊥.又BD AC ⊥，AE AC A =I ，AE ，AC ⊂平面EACF .∴BD ⊥平面EACF ，由ABC ∆是边长为2的等边三角形，BD 为菱形ABCD 的对角线，易得3BO OD ==，由对称性可知，2(2)212=223632ABCDEF B EACF V V -+⨯=⨯⨯⨯=多面体四棱锥 又12162313226F BCD V -=⨯⨯⨯⨯=三棱锥 ∴平面BFD 把多面体ABCDEF 分成大小两部分的体积比为66(6):5:166-=【点睛】本题主要考查空间中直线与平面平行关系的证明、几何体的体积计算等基础知识，考查考生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力. 20．已知函数()()3113f x x a x =-+，()2ln g x x x =-. （1）求函数()f x 的单调区间和函数()g x 的最值； （2）已知关于x 的不等式()()3123g x f x x x a -≥-++对任意的(0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）(,2]-∞【解析】（1）求导后，分1a ≤-和1a >-两种情况考虑()f x 的单调性；利用导数求()g x 的极值即可；（2）()()3123g x f x x x a -≥-++对任意的(0,1]x ∈恒成立，等价于()12ln 0a x x --≥对任意的(0,1]x ∈恒成立，设()()12ln h x a x x =--，利用导数研究()h x 的单调性以及最值，从而可得到结论. 【详解】 （1）因为()()3113f x x a x =-+，∴()()2'1f x x a =-+. 当10a +≤，即1a ≤-时，()()2'10f x x a =-+≥恒成立，()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增.当10a +>，即1a >-时，令()'0f x >，则x <x >()f x 单调递增；令()'0f x <，则x <<()f x 单调递减.综上，当1a ≤-时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；当1a >-时，()f x 的单调递增区间为(,-∞，)+∞，单调递减区间为(；因为()2ln g x x x =-，（0x >） 所以22'()1x g x x x-=-=，所以当2x >时，()'0g x >，()g x 单调递增，当02x <<时，()'0g x <，()g x 单调递减，所以()()min 222ln 2g x g ==-，无最大值. （2）()()3123g x f x x x a -≥-++对任意的(0,1]x ∈恒成立， 即()12ln 0a x x --≥对任意的(0,1]x ∈恒成立. 令()()12ln h x a x x =--，(0,1]x ∈，则()22'ax h x a x x-=-=. 当2a ≤时，因为(0,1]x ∈，所以20ax -≤，所以'()0h x ≤，()h x 在区间(0,1]上单调递减.所以min ()(1)0h x h ==，符合题意.当2a >时，令'()0h x <，得20x a <<，令'()0h x >，得21x a<≤， 所以()h x 在区间2(0,)a上单调递减，在区间2(,1]a 上单调递增，所以()()()min 222()(1)2ln 22ln 2(2ln )2h x h a a a g g a a a a==--=---=-由（1）知()()20g g a -<，即min ()0h x <在(2,)a ∈+∞上恒成立，不符合题意. 综上，实数a 的取值范围为(,2]-∞ 【点睛】本题主要考查利用导数求最值，求含参函数的单调区间以及利用导数研究不等式的恒成立问题.21．已知椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 是椭圆上一点，I 为12PF F ∆的内切圆圆心，11222PIF IF F PIF S S S ∆∆∆=-，且12PF F ∆的周长为6. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点()0,1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若()23OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形OAPB 面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）【解析】（1）因为11222PIF IF F PIF S S S ∆∆∆=-，所以1122||2||||=-PF F F PF ，结合12PF F ∆的周长为6，可算得,a c ，从而可得到本题答案；（2）设直线AB 的方程为+1y kx =，与椭圆方程联立消y ，利用韦达定理，写出1212,x x x x +的表达式，又因为()23OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，所以=3OAB OAPB S S ∆四边形，从而可得到四边形OAPB S 的表达式，逐步化简，求其最大值. 【详解】（1）∵11222PIF IF F PIF S S S ∆∆∆=-，∴1212||||2||PF PF F F +=，即2a c =① 又∵12PF F ∆的周长为6 ∴1212|||||6PF PF F F ++=，即226a c +=②由①②可得2a =，1c =，则b =∴椭圆方程为22143x y +=（2）设直线AB 的方程为+1y kx =，()11,A x y ，()22,B x y ，则由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立消y 可得，()2234880k x kx ++-=，12212208348·34k x x k x x k ⎧⎪∆>⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩∵()23OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，∴=3OAB OAPB S S ∆四边形∴1223=||234四边形-==+OAPBS xx k 1t =≥ ∴2212t k -=，∴2OAPB S t t==+四边形，又∵12y t t =+在区间[1,)+∞上单调递增，∴3y ≥，∴OAPB S ≤四边形∴四边形OAPB 的面积最大值为【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线以及向量的综合应用，直线方程与椭圆方程联立消y ，利用韦达定理是解决本题的关键.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x m ty t=-⎧⎪⎨=⎪⎩（0m >，t 为参数），曲线C 的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 与曲线C 交于M ，N 两点.（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； （2）若||MN =，点(A m ，求||||AM AN +的值.【答案】（1）ρθ=；（2【解析】（1）先把参数方程变为普通方程，再根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，把普通方程变为极坐标方程；（2）把直线的参数方程代入圆的普通方程得到一个关于t 的一元二次方程，根据韦达定理求出12t t +的值，即可得到本题答案. 【详解】（1）因为曲线C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），所以曲线C的普通方程为(223x y +=，即220x y +-=.又cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以曲线C的极坐标方程为ρθ=. （2）由直线l 的参数方程易知，直线l的普通方程为0x y m +-=. 由（1）知，曲线C是圆心为(.因为||MN =，所以圆心(到直线l2==解得m =m =，将直线l的参数方程2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C的直角坐标方程得22))3+=整理得220t +=，则24220∆=-⨯=>. 设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t，12t t +=122⋅=t t由于点A在圆外，所以1212||||||||AM AN t t t t +=+=+=【点睛】本题主要考查把圆的参数方程变为极坐标方程，以及直线方程参数的几何意义. 23．已知函数()()2|1|1f x x x =-+-+. （1）求()()()||g x f x f x =+的最小值； （2）若存在实数0x，使得()()2200|2|9f x m m f x +≤-成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）3；（2）{}(,11[1)-∞+∞U U 【解析】（1）直接利用绝对值不等式可得到本题的答案； （2）若存在实数0x()2200|2|f x m m +≤-成立，设()2()=h x f x ，等价于2min ()|2|≤-h x m m ，通过均值不等式可求得()h x 的最小值，接着解不等式，即可得到本题答案.【详解】（1）因为函数()()2|1|1f x x x =-+-+≥， 所以()()()()()()()||||||g x f x f x f x f x f x f x =+-=+≥+-=当且仅当()()]0f x f x ≥，即()0f x ≤≤，即1x =时取等号，所以()g x（2()()221=+≥=f x f x，当且仅当()()29f x f x =，即()3f x =时取等号.因为存在实数0x ()2200|2|f x m m +≤-成立，所以2|2|1m m -≥得1m ≤或1m =或1m≥所以m 的取值范围是{}(,11[1)-∞+∞U U 【点睛】本题主要考查绝对值不等式以及均值不等式的运用.。
山西省运城市2020届高三调研测试 数学（文）
运城市2020年高三调研测试数学(文)试卷2020.4本试题满分150分，考试时间120分钟。
答案一律写在答题卡上。
注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.答题时使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{－2，0，2，3}，集合B ＝{x|－2≤x ≤0}，则A ∩B ＝A.{2，3}B.{－2}C.(－2，0)D.{－2，0}2.已知复数z 满足(2－i)·z ＝2i －1，其中i 是虚数单位，则此复数z 的虚部为A.1B.35C.53D.5 3.某学校美术室收藏有4幅国画，其中山水画、花鸟画各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为 A.56 B.45 C.34 D.234.若a ＝log 2.10.6，b ＝2.10.6，c ＝log 253，则a ，b ，c 的大小关系是 A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c5.古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少?”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要A.6天B.7天C.8天D.9天6.在△ABC 中，若点D 满足3CD DB =，点M 为线段AC 中点，则MD ＝ A.3144AB AC - B.1136AB AC - C.2133AB AC - D.3144AB AC +7.已知函数f(x)＝sin(ωx＋6π)(ω>0)的图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为2π，为了得到函数g(x)＝sin ωx 的图象，只需将y ＝f(x)的图象A.向左平移6π个单位长度 B.向右平移6π个单位长度 C.向左平移12π个单位长度 D.向右平移12π个单位长度 8.若变量x 、y 满足约束条件30200x y x y y +⎧-≤-≥≥⎪⎨⎪⎩，则z ＝4x －3y 的最小值为A.0B.－1C.－2D.－39.执行如图所示的程序框图，若输入的n 等于9，则输出S 的值为A.89B.910C.1011D.111210.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于A.34πB.32πC.17πD.172π11.设双曲线C：22 221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为60°的直线与y轴交于点A，与双曲线的右支交于点B，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是A.3B.2＋3C.2D.2＋112.已知函数()22410xe xf xx x x⎧>⎪=⎨-++≤⎪⎩，，(e为自然对数的底数)，若函数g(x)＝f(x)＋kx恰好有两个零点，则实数k等于A.－2eB.eC.－eD.2e第II卷(非选择题)注意事项：第II卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
2020-2021学年山西省运城市高三(上)期末数学试卷(文科)
2020-2021学年山西省运城市高三（上）期末数学试卷（文科）一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|y＝ln（1﹣x）}，N＝{x|0＜x＜2}，则M∩N＝（）A．（0，+∞）B．（1，2）C．（0，1）D．∅2．（5分）复数z在复平面内对应的点是（0，1），则复数＝（）A．B．C．D．3．（5分）抛物线y＝﹣2x2的准线方程是（）A．B．C．D．4．（5分）甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中两台机床每天生产出的次品数分别是：甲0421302201乙2112121011、分别表示甲乙两组数据的平均数，S1、S2分别表示甲乙两组数据的方差，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．5．（5分）已知，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c6．（5分）在某歌唱比赛决赛前，要从实力相当的甲、乙、丙、丁4位选手中选取一位与评委进行同台热身演唱，当4位选手被询问是谁与评委同台热身演唱时，甲说：“是丁与评委进行同台热身演唱．”乙说：“是丁或甲与评委进行同台热身演唱．”丙说：“是我与评委进行同台热身演唱．”丁说：“不是甲或乙与评委进行同台热身演唱．”若这4位选手中只有2位选手说的是真话，则与评委进行同台热身演唱的选手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．（5分）已知直线y＝kx﹣2上存在点P，满足过P点作圆x2+y2﹣4x﹣2y+4＝0的两条切线，切点分别为A，B，且∠APB＝60°（）A．B．﹣1C．1D．8．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为3，M为边AB上靠近B的三等分点，过M且垂直于直线BD1的平面被正方体所截的截面面积为（）A．B．C．D．9．（5分）在平行四边形ABCD中，A＝，AB＝3，若＝，则＝（）A．4B．﹣2C．D．10．（5分）已知是函数的一个极大值点（x）＝t在上有且只有一个实根（）A．B．C．D．11．（5分）已知等比数列{a n}满足a5＝16，a4﹣a3＝4，若b n＝na n，S n是数列{b n}的前n项和，且∀n∈N+，不等式S n﹣mb n≤1恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[1，+∞）B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．[4，+∞）12．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，以OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，若线段MF1交双曲线于点P，且|PF2|＝5|PF1|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若x，y满足约束条件则z＝5x+2y的最大值为．14．（5分）曲线f（x）＝e x+2x+1在点（0，f（0））处的切线方程为．15．（5分）若等差数列{a n}的前n项和为S n，S4＝52，a4+a7＝50，则a10a11＝．16．（5分）若正四棱锥P﹣ABCD的底面边长和高均为8，M为侧棱P A的中点，则四棱锥M﹣ABCD外接球的表面积为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）某市教育局为指导学生适应高中的学习和生活、选择适合自己的高考科目，定期举办高中生涯规划讲座．市教科院为了了解高中生喜欢高中生涯规划讲座是否与性别有关，在该市随机抽取100名高中生进行了问卷调查喜欢高中生涯规划讲座不喜欢高中生涯规划讲座合计男生10女生20合计已知从这100名学生中随机抽取到喜欢高中生涯规划讲座的学生概率为0.7．（1）根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为喜欢高中生涯规划讲座与性别有关？（2）从上述男生中用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生抽取2人，求恰好抽到2名喜欢高中生涯规划讲座的男生的概率．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（1）求C；（2）若△ABC 的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值．19．（12分）已知矩形ABCD 所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，M是半圆弧上异于C，l为平面AMD与平面BMC的交线．（1）证明：l∥AD；（2）若CD＝2AD＝2MC＝2，求B到平面ADM的距离．20．（12分）已知函数f（x）＝lnx+2﹣ax．（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．21．（12分）已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，F为椭圆C 的右焦点，E与F关于直线y＝x对称，过的直线交椭圆C于两点M，N（异于A，B两点）．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：直线AM与BN的交点P在一条定直线上．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1：y2＝4x，曲线C2的参数方程为（α为参数，m＞0），点P是C2上一点，其极坐标为．设射线l：θ＝θ0（ρ≥0，0＜θ0＜）与曲线C1交于O，A两点，与曲线C2交于O，B两点．（1）求m的值，并写出曲线C2的极坐标方程；（2）求+|OB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣2|，a∈R．（1）当a＝0时，求不等式f（x）＜4的解集；（2）若不等式f（x）≤3﹣|x﹣1|对于x∈[1，2]恒成立2020-2021学年山西省运城市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|y＝ln（1﹣x）}，N＝{x|0＜x＜2}，则M∩N＝（）A．（0，+∞）B．（1，2）C．（0，1）D．∅【分析】可求出集合M，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵M＝{x|x＜1}，N＝{x|0＜x＜4}，∴M∩N＝（0，1）．故选：C．【点评】本题考查了对数函数的定义域，描述法和区间的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）复数z在复平面内对应的点是（0，1），则复数＝（）A．B．C．D．【分析】根据复数z在复平面内对应的点得到z＝i，再计算复数的值．【解答】解：复数z在复平面内对应的点是（0，1），所以复数＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查了复数的定义与运算问题，是基础题．3．（5分）抛物线y＝﹣2x2的准线方程是（）A．B．C．D．【分析】先把其转化为标准形式，再结合其准线的结论即可求出结果．【解答】解：∵y＝﹣2x2；∴x6＝﹣y；∴8p＝⇒＝．又因为焦点在Y轴上，所以其准线方程为y＝．故选：D．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质，解决抛物线准线问题的关键在于先转化为标准形式，再判断焦点所在位置．4．（5分）甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中两台机床每天生产出的次品数分别是：甲0421302201乙2112121011、分别表示甲乙两组数据的平均数，S1、S2分别表示甲乙两组数据的方差，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．【分析】求出，，再由表中数据得甲中的数据比乙中的数据分散，能得到＞，S1＞S2．【解答】解：由题意得：＝（4+4+2+2+3+0+8+2+0+3）＝1.5．＝（2+8+1+2+5+2+1+2+1+1）＝5.2．由表中数据得甲中的数据比乙中的数据分散，∴＞，S1＞S2．故选：C．【点评】本题考查两组数据的平均数、方差的比较，考查平均数计算公式、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（5分）已知，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵＝＜a＝20202020＝7，b＝＜＝，c＝＞20200＝8，∴c＞a＞b．故选：B．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）在某歌唱比赛决赛前，要从实力相当的甲、乙、丙、丁4位选手中选取一位与评委进行同台热身演唱，当4位选手被询问是谁与评委同台热身演唱时，甲说：“是丁与评委进行同台热身演唱．”乙说：“是丁或甲与评委进行同台热身演唱．”丙说：“是我与评委进行同台热身演唱．”丁说：“不是甲或乙与评委进行同台热身演唱．”若这4位选手中只有2位选手说的是真话，则与评委进行同台热身演唱的选手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】分别假设是选手甲、乙、丙、丁与评委进行同台热身演唱，然后判断有几位选手说的是正确的，即可得到答案．【解答】解：假设是选手甲与评委进行同台热身演唱，则只有乙说的是正确的，故选项A 错误；假设是选手乙与评委进行同台热身演唱，则没有选手说的是正确的，故选项B错误；假设是选手丙与评委进行同台热身演唱，则丙，符合题意；假设是选手丁与评委进行同台热身演唱，则甲、乙，不符合题意．故选：C．【点评】本题选取生活中的真实情境作为载体，考查了简单的合情推理的应用，培养学生学会有逻辑的思考问题的能力，属于基础题．7．（5分）已知直线y＝kx﹣2上存在点P，满足过P点作圆x2+y2﹣4x﹣2y+4＝0的两条切线，切点分别为A，B，且∠APB＝60°（）A．B．﹣1C．1D．【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再求出满足与圆有两条切线，使∠APB＝60°的P到已知圆心的距离，由点到直线的距离公式列式求解．【解答】解：由x2+y2﹣7x﹣2y+4＝4，得（x﹣2）2+（y﹣4）2＝1，则圆心坐标为C（7，1），如图，∵∠APB＝60°，∴∠APC＝30°，∴PC＝2，即P在以C（7，1）为圆心，又点P在直线y＝kx﹣2上，∴，解得k，即实数k的最小值为，故选：D．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查化归与转化、数形结合的思想，考查运算求解能力，是中档题．8．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为3，M为边AB上靠近B的三等分点，过M且垂直于直线BD1的平面被正方体所截的截面面积为（）A．B．C．D．【分析】利用正方体的几何性质可得BD1⊥平面AB1C，从而得到过M且垂直于直线BD1的平面∥平面AB1C，利用平面截正方体所得截面的面积，求解即可得到答案．【解答】解：直线BD1是正方体ABCD﹣A1B4C1D1的体对角线，所以BD8⊥平面AB1C，因为过点M的平面α与直线BD1垂直，所以平面α∥平面AB5C，因为M为边AB上靠近B的三等分点，所以平面α截正方体所得截面的面积，因为正方体ABCD﹣A1B1C7D1的边长为3，所以，所以过M且垂直于直线BD1的平面被正方体所截的截面面积为．故选：A．【点评】本题主要考查了几何体截面的面积，以及正方体的性质，解题的关键是得到过M且垂直于直线BD1的平面被正方体所得截面的面积，属于中档题．9．（5分）在平行四边形ABCD中，A＝，AB＝3，若＝，则＝（）A．4B．﹣2C．D．【分析】画出图形，根据即可得出，进而得出，并且，从而代入进行数量积的运算即可．【解答】解：如图，∵，∴，∴，∴，且，，AB＝3，∴＝＝＝﹣2．故选：B．【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量加法和数乘的几何意义，向量的数量积运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．10．（5分）已知是函数的一个极大值点（x）＝t在上有且只有一个实根（）A．B．C．D．【分析】由已知利用正弦函数的性质可得2×+φ＝2kπ+，k∈Z，结合|φ|＜，可求φ的值，由题意可求2x﹣∈[﹣，]，可得f（x）＝2sin（2x﹣）∈[﹣，2]，要函数y＝f（x）的图象和直线y＝t只有一个交点，利用正弦函数的图象和性质即可求解．【解答】解：因为是函数，所以2×+φ＝2kπ+，解得φ＝6kπ﹣，因为|φ|＜，所以φ＝﹣，可得f（x）＝2sin（2x﹣），因为x∈[0，]，可得3x﹣，]，可得f（x）＝2sin（2x﹣，6]，为方程f（x）＝t在上有且只有一个实根，故函数y＝f（x）的图象和直线y＝t只有一个交点，∴t＝5，或﹣，解得实数t的取值范围是．故选：D．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，方程根的存在性以及个数判断，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．11．（5分）已知等比数列{a n}满足a5＝16，a4﹣a3＝4，若b n＝na n，S n是数列{b n}的前n项和，且∀n∈N+，不等式S n﹣mb n≤1恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[1，+∞）B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．[4，+∞）【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由等比数列的通项公式解方程可得首项和公比，得到a n，b n，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得S n，再由参数分离和不等式的性质可得所求范围．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由a5＝16，a4﹣a8＝4，可得a1q2＝16，a1q3﹣a2q2＝4，解得a7＝1，q＝2，则a n＝5n﹣1，b n＝n•2n﹣8，可得S n＝1•26+2•28+3•27+…+n•2n﹣1，7S n＝1•2+7•22+3•23+…+n•4n，两式相减可得﹣S n＝1+27+22+…+4n﹣1﹣n•2n＝﹣n•2n，化简可得S n＝（n﹣1）•8n+1，∀n∈N+，不等式S n﹣mb n≤1恒成立，即（n﹣8）•2n+1﹣mn•4n﹣1≤1，即m≥，由＜2，则m的取值范围是[2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和、不等式恒成立问题解法，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．12．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，以OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，若线段MF1交双曲线于点P，且|PF2|＝5|PF1|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由双曲线的定义可推出|PF1|＝，|PF2|＝，利用点到直线的距离公式求得|MF1|＝b，在Rt△F1MO中，cos∠MF1F2＝，在△PF1F2中，由余弦定理可推出cos∠MF1F2＝，再结合c2＝a2+b2和e＝，即可得解．【解答】解：由双曲线的定义知，|PF2|﹣|PF1|＝4a，∵|PF2|＝5|PF7|，∴|PF1|＝，|PF6|＝，∵点M在以OF2为直径的圆上，∴∠F1MO＝90°，∴焦点F1（﹣c，8）到渐近线y＝﹣1|＝＝b，在Rt△F1MO中，cos∠MF1F7＝＝，在△PF8F2中，由余弦定理知1F6＝＝＝，∴＝，化简得2c5﹣3a2＝ab，∴5（a2+b2）﹣8a2＝ab，解得b＝a或b＝﹣2a（舍），∴e＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义与几何性质，还涉及点到直线的距离公式、余弦定理等，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若x，y满足约束条件则z＝5x+2y的最大值为21．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（7，化目标函数z＝5x+2y为y＝，由图可知，当直线y＝过A时．故答案为：21．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．14．（5分）曲线f（x）＝e x+2x+1在点（0，f（0））处的切线方程为y＝3x+2．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再求出f（0）的值，利用直线方程的斜截式得答案．【解答】解：由f（x）＝e x+2x+1，得f′（x）＝e x+8，∴f′（0）＝e0+2＝4，由f（0）＝2，由直线方程的斜截式可得，曲线f（x）＝e x+2x+5在点（0，f（0））处的切线方程为y＝3x+2．故答案为：y＝3x+2．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．15．（5分）若等差数列{a n}的前n项和为S n，S4＝52，a4+a7＝50，则a10a11＝2021．【分析】设出等差数列的公差，由已知得到关于首项a1和公差d的方程，然后求出a n的通项公式，再求出a10a11的值．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由S4＝52，a4+a7＝50，得，解得a1＝7，d＝5n＝4n+3，所以a10a11＝43×47＝2021；故答案为：2021．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）若正四棱锥P﹣ABCD的底面边长和高均为8，M为侧棱P A的中点，则四棱锥M﹣ABCD外接球的表面积为132π．【分析】由题意画出图形，把四棱锥M﹣ABCD的外接球转化为正四棱台MNEF﹣ABCD 的外接球求解．【解答】解：如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，设MNEF为四棱锥的中截面，则四棱锥M﹣ABCD的外接球，即为正四棱台MNEF﹣ABCD的外接球，设正方形ABCD的中心为O1，正方形MNEF的中心为O2，连接O5O2，则O1O5＝4，，，设正四棱台外接球的球心为O，OO1＝h，由OM＝OA，可得，解得：h＝2．∴，则四棱锥M﹣ABCD外接球的表面积为4π×33＝132π．故答案为：132π．【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查化归与转化、数形结合的思想，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）某市教育局为指导学生适应高中的学习和生活、选择适合自己的高考科目，定期举办高中生涯规划讲座．市教科院为了了解高中生喜欢高中生涯规划讲座是否与性别有关，在该市随机抽取100名高中生进行了问卷调查喜欢高中生涯规划讲座不喜欢高中生涯规划讲座合计男生10女生20合计已知从这100名学生中随机抽取到喜欢高中生涯规划讲座的学生概率为0.7．（1）根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为喜欢高中生涯规划讲座与性别有关？（2）从上述男生中用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生抽取2人，求恰好抽到2名喜欢高中生涯规划讲座的男生的概率．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（1）完成列联表，再利用公式K2＝求值，从而查表可得；（2）由分层抽样及题意列举基本事件共有15种情况，恰好抽到2名喜欢高中生涯规划讲座的男生的事件有共10种，从而由古典概型求概率．【解答】解：（1）由100×0.7＝70及已知数据得，补全的8×2列联表如下：喜欢高中生涯规划讲不喜欢高中生涯规划合计座讲座男生501060女生202040合计7030100，所以有99%的把握认为喜欢高中生涯规划讲座与性别有关．（2）由分层抽样知，抽取的6人中，不喜欢高中生涯规划讲座的男生有6人，记5名喜欢高中生涯规划讲座的男生为a，b，c，d，e，1名不喜欢高中生涯规划讲座的男生为A，则从这4名学生抽取2人的所有基本事件为ab，ac，ae，bc，be，cd，cA，dA，共15种，其中，恰好抽到2名喜欢高中生涯规划讲座的男生的事件有ab，ad，bc，be，ce，共10种，所以恰好抽到6名喜欢高中生涯规划讲座的男生的概率．【点评】本题考查了独立性检验与古典概型的概率求法，属于中档题．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（1）求C；（2）若△ABC的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合A∈（0，π），C∈（0，π），可求tan C的值，进而可求C的值；（2）由题意利用三角形的面积公式可求ab的值，进而根据余弦定理，基本不等式即可求解BD的最小值．【解答】解：（1）由正弦定理得，即，故，而A∈（0，π），所以sin A≠0，所以，即，所以．（2）由题意知，得ab＝20，在△BCD中，由余弦定理得，当且仅当且ab＝20，即，所以BD的最小值为．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（12分）已知矩形ABCD所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，M是半圆弧上异于C，l为平面AMD与平面BMC的交线．（1）证明：l∥AD；（2）若CD＝2AD＝2MC＝2，求B到平面ADM的距离．【分析】（1）推导出AD∥BC，从而AD∥平面BMC，再由AD⊂平面ADM，平面ADM ∩平面BMC＝l，能证明l∥AD．（2）过点M作MH⊥CD于H，则MH⊥平面ABCD．设B到平面ADM的距离为h，由V M﹣ADB＝V B﹣ADM，能求出B到平面ADM的距离．【解答】解：（1）证明：由题设知，AD∥BC，∵AD⊄平面BMC，BC⊂平面BMC，∴AD∥平面BMC，又AD⊂平面ADM，平面ADM∩平面BMC＝l，∴l∥AD．（2）过点M作MH⊥CD于H，∵平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD，∴MH⊥平面ABCD．又∵AD⊥CD，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面CMD，∴AD⊥DM．∵M为上异于C，且DC为直径．∵DC＝2MC＝2，∴，，，．设B到平面ADM的距离为h，∵V M﹣ADB＝V B﹣ADM，∴，解得h＝1，∴B到平面ADM的距离为5．【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）已知函数f（x）＝lnx+2﹣ax．（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）对f（x）求导，利用导数与单调性的关系即可求解；（2）求出f（x）的导函数，对a分类讨论，利用导数求函数的最大值，由f（x）有两个零点，可得f（x）的最大值大于0，即可求解．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx+2﹣x，，当x∈（0，1）时，f（x）在（2；当x∈（1，+∞）时，f（x）在（1．（2），当a≤0时，f'（x）＞7，不合题意；当a＞0时，，f'（x）＞0，，f'（x）＜6，∴，令5﹣lna＞0，得0＜a＜e，，，所以当a∈（0，e）时．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（12分）已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，F为椭圆C 的右焦点，E与F关于直线y＝x对称，过的直线交椭圆C于两点M，N（异于A，B两点）．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：直线AM与BN的交点P在一条定直线上．【分析】（1）利用已知条件推出，b＝c，结合三角形的面积，转化求解a，b，得到椭圆方程．（2）设直线x＝ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2）由得（t2+2）y2+2ty﹣3＝0，利用韦达定理，结合椭圆的对称性可知，交点必在一条垂直于x轴的直线上，求解直线AM，直线BN，然后证明求解即可．【解答】（1）解：E为椭圆C的上顶点，F为椭圆C的右焦点，可得b＝c，△AEF的面积为（6分）得，（4分）椭圆C的方程为．（5分）（2）证明：由题可知，直线MN与x轴不重合，M（x7，y1），N（x2，y2）（6分）由，得（t2+2）y2+2ty﹣8＝0，∴，，（5分）由椭圆的对称性可知，交点必在一条垂直于x轴的直线上直线，即，①（4分）直线，即，②（10分）联立①②得：，（11分）直线AM与BN的交点P在定直线x＝4上．（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1：y2＝4x，曲线C2的参数方程为（α为参数，m＞0），点P是C2上一点，其极坐标为．设射线l：θ＝θ0（ρ≥0，0＜θ0＜）与曲线C1交于O，A两点，与曲线C2交于O，B两点．（1）求m的值，并写出曲线C2的极坐标方程；（2）求+|OB|的最小值．【分析】（1）求出P的直角坐标为（1，1），将曲线C2的参数方程化为普通方程，通过P在C2上，解得m，得到曲线C2的普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，然后化为极坐标方程．（2）曲线C1化为极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，设A的极坐标为（ρ1，θ0），B的极坐标为（ρ2，θ0），求出的表达式，利用基本不等式求解最小值即可．【解答】解：（1）P的直角坐标为（1，1）将曲线C6的参数方程化为普通方程（x﹣m）2+y2＝3，（2分）因为P在C2上，所以（5﹣m）2+1＝2，解得m＝1所以曲线C2的普通方程为（x﹣5）2+y2＝2．由x＝ρcosθ，x2+y2＝ρ6得，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（7分）（2）曲线C1化为极坐标方程为ρsin2θ＝5cosθ，（6分）设A的极坐标为（ρ1，θ7），B的极坐标为（ρ2，θ0），所以．＝＝，当且仅当．（9分）所以的最小值为．【点评】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化和基本不等式求解最值，考查计算能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣2|，a∈R．（1）当a＝0时，求不等式f（x）＜4的解集；（2）若不等式f（x）≤3﹣|x﹣1|对于x∈[1，2]恒成立【分析】（1）将a＝0代入f（x）中，然后利用零点分段法解不等式f（x）＜4即可；（2）由不等式f（x）≤3﹣|x﹣1|对于x∈[1，2]恒成立，可得a﹣2≤2x≤a+2对x∈[1，2]恒成立，然后求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝0时，函数f（x）＝|2x|+|x﹣4|，当x＜0时，f（x）＝﹣3x+2＜4，∴；当0≤x＜2时，f（x）＝x+7＜4，∴0≤x＜2；当x≥2时，f（x）＝3x﹣3＜4，∴x∈∅；综上，不等式的解集为．（2）由f（x）≤3﹣|x﹣3|，可得|2x﹣a|+|x﹣2|≤4﹣|x﹣1|∵不等式f（x）≤3﹣|x﹣2|对于x∈[1，2]恒成立，∴|2x﹣a|≤2对x∈[1，7]恒成立，即a﹣2≤2x≤a+4对x∈[1，2]恒成立，∴a﹣5≤2且a+2≥2，解得2≤a≤4．故实数a的取值范围是[8，4]．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
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运城市2019－2020学年度第一学期期末调研测试
高三数学(文)试卷
本试题满分150分，考试时间120分钟。
答案一律写在答题卡上。
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.答题时使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合A ＝{x|x 2
－x －2≤0}，B ＝{x|x －1<0}，则A ∩B
A.{x|x<1}
B.{x|－1≤x<1}
C.{x|x ≤2}
D.{x|－2≤x<1} 2.已知复数z 满足z ·i ＝3＋2i ，则在复平面内复数z 对应的点的坐标是 A.(2，－3) B.(－3，2) C.(－2，3) D.(2，3)
3.已知2sin tan θ＝0，则角θ的值不可能．．．是 A.－210° B.－180° C.210° D.－240°
4.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是 A.y ＝x 3
B.y ＝ln
1x
C.y ＝2|x|
D.y ＝cosx 5.已知向量a r 与b r 的夹角为23
π
，向量c r ＝a r ＋2b r ，|a r |＝1，若a r ⊥(b r ＋2a r
)，则|c r |
A.
12 B.2 C.3 D.1
3
6.设m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，则下列说法中正确的个数为 ①若a ⊥β，m ⊂a ，n ⊂β，则m ⊥n ； ②若α//β，m ⊂a ，n ⊂β，则n//m ③若a ⊥α，b ⊥β，a//b ，则α//β； ④若m ⊥α，n//m ，n//β，则α⊥β A.1 B.2 C.3 D.4，
7.函数f(x)＝2
sin 1x ax bx π-+的部分图象如图所示，若函数f(x)的最大值为32，且其图象关于直线x ＝1
2
对称，则
A.a ＝－
43，b ＝－43 B.a ＝43，b ＝43 C.a ＝－23，b ＝2
3
D.a ＝2，b ＝1 8.已知实数a ，b ，c ，m 满足a ＝3m
，b ＝13
log m ，c ＝log m 3，命题p ：若m ＝2020，则a>c>b ；命题q ：若1
2020
m =
，则a>b>c ，则下列命题中的真命题的是
A.p ∧q
B.(⌝p)∧q
C.p ∧(⌝q)
D.(⌝p)∧(⌝q) 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为
A.3
B.2
C.
522 D.52
4
10.在1815年英国伦敦出版的著名数学科普刊物《男士日记》中刊登了如下问题：设M 为圆内弦AB 的中点，过点M 作弦CD 和EF ，连接CF 和DE 分别交AB 于点P ，Q ，则M 为PQ 的中点以上问题的图形，像一只在圆中翩翩起舞的蝴蝶，这正是该问题被冠以“蝴蝶定理”的美名的缘由。
由于蝴蝶定理意境优美，结论简洁，蕴理深刻，200年来引无数中外数学爱好者为之驻足，使得这只翩翩起舞的蝴蝶栖息不定，变化多端。
如．本图所示．．．．
，若△QMD 的外接圆为圆O 1，△PMF 的外接圆为圆O 2，随机向圆O 1内丢一粒豆子，落入△QMD 内的概率为P 1，随机向圆O 2内丢一粒豆子，落入△PMF 内的概率为P 2，则
A.P 1>P 2
B.P 1＝P 2
C. 1P<P 2
D.P 1与P 2的大小不能确定 11.若函数f(x)＝|cos(ωx ＋38π)|(ω>0)在区间[－6π ，4
π
]上单调递减，则实数ω的最大值为 A.
154 B.52 C.1
2
D.2
12.设F1、F2分别为双曲线
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的左、右焦点，
P为双曲线右支上一点。
若2
2
12
3PF
PF a PF
+⋅
的最大值为
1
3a
，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是
A.[－22，0)∪(0，22]
B.(－∞，－22]∪[22，＋∞)
C.[－2，0)∪(0，2]
D.(－∞，－2]∪[2，＋∞)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若曲线f(x)＝me x＋n在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2e2x，则n＋m＝。
14.若抛物线y＝－2px(p>0)的准线为圆x2＋y2－4x＝0的一条切线，则抛物线的标准方程为。
15.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知A＝
3
π
，且b，a，c成等差数列，AB AC
⋅
u u u r u u u r ＝9，则a＝。
16.已知函数f(x)＝
2
4
log,04
3
2,4
2
x
x x
x
-
⎧<<
⎪
⎨
+≥
⎪
⎩
，若方程f(x)－m＝0有三个不同的实根x1，x2，x3，且x1<x2<x3，
则12
12
3
()
()
x x
f x x
f x
+的取值范围为。
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分
17.(12分)春节来临之际，某超市为了确定此次春节年货的进货方案，统计去年春节前后50天年货的日销量(单位：kg)，得到如图所示的频率分布直方图。
(1)求这50天超市日销量x的平均数；(视频率为概率，以各组区间的中点值代表该组的值)
(2)先从日销量在[135，145)，[145，155)，[195，205)内的天数中，按分层抽样随机抽取4天进行比较研究，再从中选2天，求这2天的日销量都在[145，155)内的概率。
18.(12分)记S n为等比数列{a n}的前n项和，已知a1＝2，S3＝
3
2。
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝2
1
2log 42
n a +，记T n 为数列{b n }的前n 项和，若T n ≥－500，求正整数n 的最大值。
19.(12分)如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，AE//CF ，AE ＝2CF ，AE ⊥平面ABCD ，AB ＝2，∠ABC ＝60°。
(1)若点G ，H 分别在EB ，ED 上，且EG ＝2GB ，EH ＝2HD ，证明GH//平面FBD 。
(2)若平面EBD ⊥平面FBD ，求平面BFD 把多面体ABCDEF 分成大、小两部分的体积比。
20.(12分)已知函数f(x)＝
3
1(1)3
x a x -+，g(x)＝x －2lnx 。
(1)求函数f(x)的单调区间和函数g(x)的最值； (2)已知关于x 的不等式g(x)－f(x)≥－
13
x 3
＋2x ＋a 对任意的x ∈(0，1]恒成立，求实数a 的取值范围。
21.(12分)已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上一点，I 为△PF 1F 2
的内切圆圆心，1PIF S ∆＝1222IF F PIF S S ∆∆-，且△PF 1F 2的周长为6。
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知过点(0，1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若23()OQ OA OB =+u u u r u u u r u u u r
，求四边形OAQB 面积的最大
值。
(注意：第二小问答案中的P 改为Q)
(二)选考题：共10分。
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232x m t
y t =-⎧⎪⎨=⎪⎩(m>0，t 为参数)，曲线C 的参数方程为
333x y α
α
⎧=⎪⎨
=⎪⎩(α为参数)，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点。
(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； (2)若|MN|2，点A(m 3，求|AM|＋|AN|的值。
23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知函数f(x)＝|x －1|＋(x －1)2
＋
33。
(1)求
g(x)＝f(x)＋|f(x)－
3
3
|的最小值； (2)若存在实数x 0，使得220023
()29()
f x m m f x +≤-成立，求实数m 的取值范围。