高三之含参不等式恒成立问题的求解策略
含参不等式恒成立问题的求解策略
含参不等式恒成立问题的求解策略不等式是数学中的基础知识，它涉及到关系的研究，常用于数学等学科的计算。
它的解决方案可以用来帮助解决复杂的问题，或者提出观点并影响结果。
今天，我们将讨论如何解决含参不等式恒成立问题。
首先，让我们来讨论这种问题，即不等式含参恒成立问题，是指一个不等式变量以及一些参考变量满足不等式恒成立（比如x+y<5，当x=3，y=2时恒成立）的问题。
解决这类问题的思路主要有三种，分别是数学解法、程序求解法和证明方法。
1.学解法。
数学解法是常用的解决含参不等式恒成立问题的方法，通常需要先将输入的参数值代入不等式，然后利用求解方程的方法求解问题。
例如，当给定不等式为x+y<5，求解x=3,y=2时恒成立，则可以分别代入x=3和y=2，得到x+y<5，因此恒成立。
2.序求解法。
程序求解法是更加实用的方法，特别是在需要处理大量数据时。
它需要把不等式构造成一个程序，然后通过程序求解。
例如，当给定不等式为x+y<5时，可以用程序编写一段代码，把输入的参数代入不等式，并判断结果是否满足不等式，从而解决问题。
3.明方法。
证明方法是解决含参不等式恒成立的另外一种方法，即通过证明不等式恒成立来解决问题。
证明方法需要对不等式或者相关公式进行证明，以达到满足不等式恒成立的目的。
例如，当给定不等式为x+y<5时，可以通过证明x=3,y=2时，x+y也小于5，从而解决问题。
从以上内容可以看出，解决含参不等式恒成立的问题的策略有三种，分别是数学解法、程序求解法和证明方法。
其中，数学解法是最常用的方法，而程序求解法和证明方法则能够更加实用地解决复杂的问题。
因此在解决含参不等式恒成立问题时，要根据问题的复杂程度选择适当的策略，从而有效解决问题。
综上所述，解决含参不等式恒成立问题的策略有三种，分别是数学解法、程序求解法和证明方法，根据不等式的复杂程度来选择适当的策略，从而有效求解问题。
把握这些解决含参不等式恒成立问题的策略，能够帮助我们有效解决复杂的问题，从而更快提出观点，影响结果。
含参数不等式恒成立问题的解题策略
含参数不等式恒成立问题的解题策略一：分离参数，转化为求函数最值法 例1（2008安徽高考理20）设函数f(x)=1(01)ln x x x x>≠且 ① 求函数f(x)的单调区间②已知12a xx >对任意的x ∈(0,1)成立，求实数a 的取值范围.解：①略，易知f(x)的单调增区间为（0，1e）,单调减区间为（1e，1）和（1，＋∞）③对12a xx >两边取自然对数，得1xln2>alnx 两边同时除以lnx ，分离出参数a ，得a>ln 2ln x x（ln 0x <） 由①知,当0<x<1时，f(x)＝1ln x x 的最大值为f(1e)＝e -∴y=ln 2ln x x的最大值为－e ·ln2 ∴a>-e ·ln2即可保证原式恒成立.所以实数a 的取值范围是（－e ·ln2,+ ∞） 例2：（2008上海理19）已知函数f(x)＝2x -12x ①若f(x)=2 求x 的值②若2t f(2t)+mf(t)≥0对t ∈［1,2］恒成立，求实数m 的取值范围. 解：①略②当t ∈［1,2］时，原不等式等价于22112(2)(2)022t t tt t m -+-≥ 即2t （2t +1)2t 0m +≥对t ∈［1,2］恒成立 ∴m ≥－（22t +1）对t ∈［1,2］恒成立 ∵t ∈［1,2］ ∴-(22t +1) ∈［-17,－5］ ∴m ≥－5所以实数m 的取值范围是［－5，＋∞］二：分离参数，转化为求函数确界法.例3 已知函数f(x)=x 3- 2ax 2+ax+b 在区间（0,1］上单调递增，求实数a 的取值范围.解：依题意知：f ＇(x)=3x 2-ax+a ≥0在区间（0,1］上恒成立. 即a(x-1) ≤3x 2在（0,1］上恒成立. 当x=1时，上式恒成立.当x ≠1时，a ≥231x x -在（0，1）内恒成立（*）设g(x)=2313(1)2(01)11x x x x x ⎡⎤=-++<<⎢⎥--⎣⎦ 显然函数g(x)在（0,1）内不存在最大值，但存在上确界M 上＝0 ∴a ≥0即可保证（*）式恒成立，所以a 的取值范围是［0，＋∞）注：若函数f(x)在开区间（m,n ）内无最大值，但有上确界M 上，则 g(a)>f(x)在（m,n ）内恒成立g(a)≥M 上g(a) ≥ f(x)在（m,n ）内恒成立g(a)≥M 上 若函数f(x)在开区间（m,n ）内无最小值，但有下确界M 下，则g(a)＜f(x)在（m,n ）内恒成立g(a)≤M 下 g(a) ≤ f(x)在（m,n ）内恒成立g(a)≤M 下三:不分离参数，直接求最值法例4.（2008江苏14）设函数f(x)=ax 3-3x+1(x ∈R)，若对于任意x ∈［－1,1］，都有f(x) ≥0成立，求实数a 的值。
含参数不等式的恒成立问题的求解策略
含参数不等式恒成立问题的求解策略一、 分离参数法例1 已知函数a x f x x 421)(++=在(]1,∞-上有意义，试求a 的取值范围。
分析：函数()x f 在(]1,∞-上有意义，等价于0421≥++x x 在区间(]1,∞-上恒成立，这里参数的系数04>x ，故可以分离参数。
【解析】 函数()x f 在(]1,∞-上有意义，等价于0421≥++x x 在区间(]1,∞-上恒成立，即(]1,,2141∞-∈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥x a x x 恒成立，记(),2141⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x g(]1,∞-∈x ，因此问题又等价于()x g a ≥在(]1,∞-∈x 恒成立。
()x g 在(]1,∞-上是增函数，因此()x g 的最大值为()1g ，()x g a ≥在(]1,∞-∈x 上恒成立等价于()()431m ax -==≥g x g a ，于是a 的取值范围为43-≥a 。
【能力提升】()x f a ≥恒成立等价于()()x f a x f a ≤≥;m ax 恒成立等价于()m in x f a ≤。
利用分离参数法求解不等式恒成立问题，前提条件是参数较易从变量中分离出来，基本的解题程序一般分三步：（1）分离参数，得到()x f a ≥（或()x f a ≤）；（2）求函数最值，得到()m x f =m ax （或()n x f =m in ）；（3）极端原理，即m a ≥（或n a ≤），把不等式中恒成立问题转化为求函数最值问题。
二、 主参换位法例2 设不等式()1122->-x m x 对满足2||≤m 的一切实数m ，都成立，求实数x 的取值范围。
【解析】设()()[]2,2,1212-∈-+--=m x m x m f ，则原不等式等价于()0>m f 对一切[]2,2-∈m 恒成立。
由于()m f 是关于m 的一次函数或常值函数，故有⎩⎨⎧>>-,0)2(,0)2(f f 即()()⎪⎩⎪⎨⎧>-+->-+--,01212,0121222x x x x 解得213217+<<-x于是，使原不等式在2||≤m 时恒成立的x 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-213,217。
含参不等式恒成立问题的求解策略
含参不等式恒成立问题的求解策略本文旨在探讨不等式恒成立问题的求解策略。
不等式恒成立问题是一类有参数的约束优化问题，主要包括最小值问题、最大值问题和最优问题。
文中首先对不等式恒成立问题及其特点进行了简要介绍，然后主要从三个方面介绍研究求解不等式恒成立问题的策略，这三个方面分别是构造松弛优化问题、计算非线性规划问题的全局解和结合模拟退火算法构建求解策略。
具体来讲，构造松弛优化问题是通过对不等式恒成立问题的约束条件加以松弛，把形式转换为优化问题。
计算非线性规划问题的全局解，则是采用一类全局优化算法，如模拟退火算法、遗传算法等，以期解决不等式恒成立问题。
最后，结合模拟退火算法构建的求解策略是为了改进模拟退火算法的收敛性，使其能够更有效地解决不等式恒成立问题。
本文所提出的求解策略可以有效解决不等式恒成立问题。
不等式恒成立问题在数学和工程中得到广泛应用，是许多优化问题的重要组成部分。
它的出现深刻改变了优化理论和应用研究的研究方向，是很多复杂问题的突破口。
文中还分析了不等式恒成立问题的解的稳定性，给出了不等式恒成立问题的可行性图解法的一般步骤，以帮助理解不等式恒成立问题的问题特性，并介绍了不等式恒成立问题的求解算法。
本文针对不等式恒成立问题提出了一系列求解策略。
这些策略不仅有助于理解不等式恒成立问题，还有助于求解复杂的不等式恒成立问题。
然而，本文所提出的求解策略还有待进一步完善，未来可以考虑采用多种求解策略，如计算机仿真法、概率论方法、全局优化算法、勒让德方法等，以期获得更好的求解效果。
综上所述，本文探讨了不等式恒成立问题的求解策略。
文中首先介绍了不等式恒成立问题的特点，然后介绍了不等式恒成立问题求解的三种策略，在此基础上，介绍了结合模拟退火算法构建的求解策略。
本文的研究成果可以为不等式恒成立问题的研究提供有效的参考。
含参数不等式恒成立问题的求解策略
＋（ ａ ） ２ 一３ ≤０恒 成立
§
＜ ６在 ∈［一 ， ］ ２ ２ 时恒成立．
ｆ ０
【。 （ａ １ 一ａ２ 一 ） ０ Ａ ＝ ３ 一 ） ４（ａ １≤
ｆ ２ 显然 ｎ ） ａ＜ （ ≠２
由 ［ ２ ］ 一 ＋ ∈÷ ， ， ～ ＋ ＞ 于 ∈ 一， 时， １ ［ ７ 即 １ ２ ］
ｎ ≤Ｏ ）
对 于 二 次 函 数 ＿ ）＝ 厂 （ 似 ＋ ＋ｃ ａ ， （ ≠Ｏ ∈Ｒ） 有 ，
匣 成 立 甘
…
…
匣成 立 甘
ｌ ＞ 对 ∈ 厂 ）０ （ Ｒ恒成立舒｛
Ｌ ＜０ Ａ
ｒ ＜０ ０
（ ＜ 对 ∈Ｒ恒 ） ０
成立甘 ｛
．
Ｌ ＜０ Ａ
例 ３ 已知 二 次 函数 ＿ ） 足 Ｌ ２ ０ ： 厂 满 厂 （ （一 ）＝ ， 且 ３ ５ （ ≤２ ＋ ＋７对 一 切 实 数 都成 立． ＋ ≤厂 ） ７ （ ） － 一１ 的值 ；２ 求 ＿ ） １求 厂 （ ） （ ） 厂 的解 析式 ． （
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含参不等式 的求解是 高考 、 竞赛 中的热点 问题 ， 而这类 习题 中含参数不 等式恒 成立 的问题 ， 方法 灵活多 样 ， 不 少 令 同学望而生畏 ， 束手无策． 本文将结 合实例 ， 谈谈这 类习题 的
常 见求 解 策 略 ． １ 利 用 一 次 函数 的 性 质 ．
ｆ 成甘 ≥ 恒立 ＞， 一。。０ —Ｉ３＞，得÷＜ ＜ ㈩…噎立 ｆ 成骨 ０即１ｌ；＞且１３ｇ ｏ解 Ⅱ 沤 ｇ 。Ⅱ
ｍ）＜ ０
ｎ ）＜０
２ 利 用二 次 函 数 的 判 别 式 ．
含参不等式恒成立问题的求解策略
含参不等式恒成立问题的求解策略摘要：含参不等式恒成立的求解问题一直是高中数学教学的难点，综合性较强，该部分知识的得分率较低，基于此，笔者以实例的角度出发，提出几点相关求解的建议，希望能够帮助学生更深刻的理解该问题.关键词：不等式；含参；恒成立；策略含参不等式在给定范围内永远成立的问题称之为恒成立问题，具体表述为：对，有恒成立，其中函数或含有参数.在课改之后，作为选修内容的不等式修订为必修一的内容，可以看出新课改后对不等式知识模块的重视，然而在实际教学过程中发现，含参不等式恒成立问题是学生学习的难点，为了解决这一问题，笔者提出两步走策略：第一步：解题思想对于含有参不等式恒成立问题，首先需要对原不等式进行变形，整理为两类：一类是参数分离，另一类是参数混合；对于前者而言，主导思想考虑最值为切入点，对于后者而言，最值、导数与图像为切入点.第二步：解题方法1分参法分参法是学生使用较为频繁的方法之一，具体方法为：通过变形将原不等式进行参数分离，得到形如或的形式，将其等价为或，即通过寻找函数的最值，来确定参数的取值范围.例1 对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.分析参数为一次函数系数，首先可以对不等式进行参数分离，参数在等号一侧，另一侧为复合函数，还以与导数相结合，确定复合函数的范围.解由于，不等式恒成立，所以当时，不等式恒成立，即恒成立.令，对函数进行求导，可知函数在处取到最大值，即，故实数的取值范围为 .例2 对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.分析由于不等式中参数为幂函数的形式，所以采用“取对数”的方式进行分参.解不等式两边同时取对数，得到，由于，所以，进行分离参数得，恒成立，即恒成立.令，对函数进行求导，可知函数在处取到最大值，即，故实数的取值范围为 .例 3 函数，若不等式恒成立，求实数的取值范围.分析不等式参数为二次函数二次项系数，且为单系数，容易进行分参，采用分参法，且含有对数函数，所以的范围为 .解由于，不等式恒成立，所以当时，不等式恒成立，即恒成立.令，对函数进行求导，再令，对函数进行求导得，又因为当时，函数为零，所以函数在区间内恒大于零，内恒小于零，所以函数在处，取到最大值，即，故实数的取值范围为 .通过例1、例2、例3可以感受到使用分离参数解决含参不等式恒成立问题是一种便捷的方法，当把握了分参取最值的思想，就能够有正确的解题思路.分参后对于函数求值域是求解的关键，所以需要掌握求值域的方法；例1与例2在解题过程中，用到了一次求导，但例3则是典型的二次求导，并结合了零点的确认；对比例1和例2可以看出，当不等式中参数为幂函数时，可以采用等号两边同时取对数的方式.2构造函数构造函数法是解决恒成立问题的另一种常用方法，当参数不容易分离时，经常选择这种方法.具体方法为：通过移项、合并等变形将原不等式进行整理，得到形如的形式，构造新的函数，等价为讨论的最值，即或，即通过寻找函数的最值，来确定参数的取值范围.例4 当且时，不等式恒成立，试求出的取值范围.分析试想使用分参的方法，新得到的函数由两个分式函数组成，每个函数含有对数，进行求导相对而言稍微复杂，变换思路采用构造函数的方式，寻找某些式子恒正或恒负，进而简化函数.解通过对不等式整理得，再进行通分变形得到，由于的正负可以根据的取值范围进行确定，所以令，对函数进行求导得 .接下来对参数进行分类讨论：当，在上，，函数单调递增，所以，与题意不相符.当，函数有零点（），根据根与系数的关系可得，函数在上单调递增，，与题意不相符.当，在上，恒成立，所以函数在上单调递减，且，符合题意.综上所述，参数的取值范围为 .从例4可以看出，变形后新构成的函数正负的讨论与导数单调性、零点以及二次函数根的分布有密切关系，所以掌握好这些知识点将是解决此类不等式恒成立问题的关键.例5 当，不等式恒成立，求实数的取值范围.分析选择构造函数，由于考虑到例4对参数分类讨论存在不符合题意的情况，所以考虑采用缩参的方法将探讨的范围缩小，减少讨论的情况.解对不等式整理得，令，对函数进行求导得 .由于，且不等式恒成立，所以存在，满足，即，将参数的范围缩小为 .接下来，对参数的范围进行验证.当时，有成立，那么，结合经典不等式，可以得 .综上所述，实数的取值范围为 .在例5中，通过构造函数求参数方程，在求解的过程中，使用了缩参的思想，以及借用了经典不等式.结合例4、例5可以看出，构造函数的方法求参数方程，重点在于对复杂函数的分析能力.以上两种方法是解决含参不等式主观题目的常用方法，对于有些题目而言，两种方法都可以求解，但是在计算过程中，有所差异，那么应该如何选择恰当的方法，可以参考“端点效应”，即对于，不等式恒成立，确定参数范围的问题，分为两种情况：当时，满足，则选择构造函数方法，反之选择分离参数.需要强调的是，端点效应仅仅作为解决问题的参考，并不强制使用某一种方法。
求解含参不等式恒成立问题的几个“妙招”
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三招搞定高考题含参不等式恒成立问题
三招搞定高考题含参不等式恒成立问题已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题是中学数学的重要内容之一，是函数、方程、不等式交汇处一个较为活跃的知识点。
这类问题以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式等内容，综合性强，思想方法深刻，能力要求较高，因而成为近几年高考试题中的热点。
为了对含参不等式恒成立问题的解题方法有较全面的认识，本文以2010年高考试题的解法为例，对此类问题的解题策略作归纳和提炼，供大家参考。
一分离参数，转化为求函数的最值对于变量和参数可分离的不等式，可将参数分离出来，先求出含变量一边的式子的最值，再由此推出参数的取值范围。
例1（2010年全国卷1理）已知函数（Ⅰ）若，求的取值范围（Ⅱ）证明:解析：（Ⅰ），由得，令，于是，问题化为求函数的最大值。
，当时，；当时，。
当时，有最大值，（Ⅱ）略。
评析：含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：（1）恒成立；（2）恒成立；（3）恒成立。
（4）恒成立。
二分离参数，转化为求函数的确界如果分离参数后相应的函数不存在最值，为了能够利用分离参数思想解决含参不等式恒成立问题，我们利用如下的函数确界的概念：函数的上确界为，记作；函数的下确界为，记作。
于是，有如下结论：（1）若无最大值，而有上确界，这时要使恒成立，只需。
（2）若无最小值，而有下确界，这时要使恒成立，只需。
例2（2010年湖南卷理）已知函数，对任意的，恒有（Ⅰ）证明：当时，（Ⅱ）若对满足题设条件的任意，，不等式恒成立，求的最小值。
解析：（Ⅰ）略。
（Ⅱ）由即恒成立，得从而，等号当且仅当，即时成立（1）当时，，令，则，则因为函数（）的最大值不存在，但易知其上确界为（2）当时，或0，，从而恒成立综合（1）（2）得的最小值为例3（2010年全国卷Ⅱ理）设函数（Ⅰ）若，求的单调区间。
（Ⅱ）若时，，求的取值范围。
解析：（Ⅱ）由对所有的成立，可得（1）当时，；（2）当时，，设，问题转化为求的最小值或下确界。
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2012届高三体艺特长生之含参不等式恒成立问题的求解策略（17）“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。
另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。
本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。
一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。
一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ; 2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.00⎩⎨⎧<∆<⇔a 例1．已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有04)1(22<--=∆a a 解得311>-<a a 或。
所以实数a 的取值范围为),31()1,(+∞--∞ 。
若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。
例2．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。
解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立；当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。
综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。
二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）a x f >)(恒成立m in )(x f a <⇔2）a x f <)(恒成立m ax )(x f a >⇔例3．已知x x x x g a x x x f 4042)(,287)(232-+=--=，当]3,3[-∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围。
解：设c x x x x g x f x F -++-=-=1232)()()(23，则由题可知0)(≤x F 对任意]3,3[-∈x 恒成立令01266)(2'=++-=x x x F ，得21=-=x x 或而,20)2(,7)1(a F a F -=-=-,9)3(,45)3(a F a F -=-=-∴045)(m ax ≤-=a x F∴45≥a 即实数a 的取值范围为),45[+∞。
例4．函数),1[,2)(2+∞∈++=x xa x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
解：若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，即对),1[+∞∈x ，02)(2>++=xa x x x f 恒成立， 考虑到不等式的分母),1[+∞∈x ，只需022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立而得而抛物线a x x x g ++=2)(2在),1[+∞∈x 的最小值03)1()(m in >+==a g x g 得3->a 注：本题还可将)(x f 变形为2)(++=xa x x f ，讨论其单调性从而求出)(x f 最小值。
三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。
这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。
一般地有：1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立m ax )()(x f a g >⇔2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立m ax )()(x f a g <⇔实际上，上题就可利用此法解决。
略解：022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立，只要x x a 22-->在),1[+∞∈x 时恒成立。
而易求得二次函数x x x h 2)(2--=在),1[+∞上的最大值为3-，所以3->a 。
例5．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
解： 将问题转化为xx x a 24-<对]4,0(∈x 恒成立。
令xx x x g 24)(-=，则m in )(x g a <由144)(2-=-=x x x x x g 可知)(x g 在]4,0(上为减函数，故0)4()(m in ==g x g ∴0<a 即a 的取值范围为)0,(-∞。
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例6．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。
分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，但若把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2>+-+-x x a x 在]1,1[-∈a 上恒成立的问题。
解：令44)2()(2+-+-=x x a x a f ，则原问题转化为0)(>a f 恒成立（]1,1[-∈a ）。
当2=x 时，可得0)(=a f ，不合题意。
当2≠x 时，应有⎩⎨⎧>->0)1(0)1(f f 解之得31><x x 或。
故x 的取值范围为),3()1,(+∞-∞ 。
注：一般地，一次函数)0()(≠+=k b kx x f 在],[βα上恒有0)(>x f 的充要条件为⎩⎨⎧>>0)(0)(βαf f 。
四、数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。
我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1）⇔>)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象上方；2）⇔<)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象下上方。
例7．设x x x f 4)(2--= , a x x g -+=134)(,若恒有)()(x g x f ≤成立,求实数a 的取值范围.分析：在同一直角坐标系中作出)(x f 及)(x g如图所示，)(x f 的图象是半圆(4)2(22=++y y x)(x g 的图象是平行的直线系03334=-+-a y x 。
要使)()(x g x f ≤恒成立，则圆心)0,2(-到直线03334=-+-a y x 的距离满足 25338≥-+-=a d 解得355≥-≤a a 或（舍去) 是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。
巩固练习：1、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。
解：根据题意得：21a x x+->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立， 设()23f x x x =-+，则()23924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 当2x =时，()max 2f x = 所以2a >2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。
解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：221t a a t +-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()21t f t t +=在(]0,2t ∈上的最小值即可。
()22211111124t f t t t t t +⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322a ∴-<< 3、若[]2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。
解：设()23f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。
（1） 当22a -<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 73a ∴≤又4a >所以a 不存在；（2） 当222a -≤≤即：44a -≤≤时，()2min 3024a a f x f a ⎛⎫=-=--≥ ⎪⎝⎭62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤（3） 当22a -> 即：4a <-时，()()m i n 270f x f a ==+≥ 7a ∴≥-又4a <-74a ∴-≤<-综上所得：72a -≤≤4、若不等式()2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。
解：设()()()2121f m m x x =---，对满足2m ≤的m ，()0f m <恒成立， ()()()()()()2221210202021210x x f f x x ⎧----<-<⎧⎪⎪∴∴⎨⎨<---<⎪⎪⎩⎩x <<5、若不等式23log 0a x x -<在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内恒成立，求实数a 的取值范围。
解：由题意知：23log a x x <在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内恒成立， 在同一坐标系内，分别作出函数23y x =和log a y x = 观察两函数图象，当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若1a >函数log a y x =的图象显然在函数23y x =图象的下方，所以不成立；当01a <<时，由图可知，log a y x =的图象必须过点11,33⎛⎫⎪⎝⎭或在这个点的上方，则，11log 33a ≥ 127a ∴≥ 1127a ∴>≥ 综上得：1127a >≥。