2020高考数学--定积分
高考数学复习： 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用
的图形的面积S,正确的是 ( )
A.S= 10 (x-x2)dx C.S= 10 (y2-y)dy
B.S= 10 (x2-x)dx D.S= 10 (y- y )dy
【解析】选A.根据题意,如图所示,阴影部分为曲线 y=x2与y=x所围成的图形,其面积S= 10 (x-x2)dx.
2.(选修2-2P67T7改编)直线y=3x与曲线y=x2围成图形
b a
f(x)dx=_F_(_b_)_-_F_(_a_)_,这个结论叫做微积
分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式.其中F(x)叫做
f(x)的一个原函数.为了方便,常把F(b)-F(a)记成
F(x)|ab ,即
b a
f(x)dx=F(x)
|ab
=F(b)-F(a).
【常用结论】 1.定积分应用的两条常用结论 (1)当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值为正;当曲 边梯形位于x轴下方时,定积分的值为负;当位于x轴上 方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时, 定积分的值为零.
(1)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,则
b a
f(x)dx
= ab f(t)dt.
(
)
(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且恒正,
则 ab f(x)dx>0. ( )
(3)若
b a
f(x)dx<0,那么由y=f(x),x=a,x=b以及x轴
所围成的图形一定在x轴下方. ( )
(4)微积分基本定理中的F(x)是唯一的. ( )
第五节 定积分的概念与微积分基本定理、
【知识梳理】 1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b将区间[a,b]等分成n个
2020年高考数学(理)总复习：导数的简单应用与定积分(解析版)
2020年高考数学（理）总复习：导数的简单应用与定积分题型一 导数的几何意义及导数的运算 【题型要点解析】(1)曲线y ＝f (x )在点x ＝x 0处导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)，由此当f ′(x 0)存在时，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)过P 点的切线方程的切点坐标的求解步骤：①设出切点坐标；①表示出切线方程；①已知点P 在切线上，代入求得切点坐标的横坐标，从而求得切点坐标．(3)①分式函数的求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数；①对数函数的求导，可先化为和、差的形式；①三角函数的求导，先利用三角函数的公式转化为和或差的形式；①复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求导．所谓最里层是指此函数已经可以直接引用基本初等函数导数公式进行求导．例1．函数f (x )＝14 ln x ＋x 2－bx ＋a (b >0，a ①R )的图象在点(b ，f (b ))处的切线的倾斜角为α，则倾斜角α 的取值范围是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,4ππ C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 D.⎪⎭⎫⎝⎛ππ,43 【解析】】 依题意得f ′(x )＝14x ＋2x －b ，f ′(b )＝14b＋b ≥214b ·b ＝1(b >0)，当且仅当14b＝b >0，即b ＝12时取等号，因此有tan α≥1，即π4≤α<π2，即倾斜角α 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,4ππ，选B.【答案】 B例2．若实数a ，b ，c ，d 满足(b ＋a 2－3ln a )2＋(c －d ＋2)2＝0，则(a －c )2＋(b －d )2的最小值为( )A. 2B ．2C ．2 2D ．8【解析】 因为实数a ，b ，c ，d 满足(b ＋a 2－3ln a )2＋(c －d ＋2)2＝0，所以b ＋a 2－3ln a ＝0，设b ＝y ，a ＝x ，则有y ＝3ln x －x 2，由c －d ＋2＝0，设d ＝y ，c ＝x ，则有y ＝x ＋2，所以(a －c )2＋(b －d )2就是曲线y ＝3ln x －x 2与直线y ＝x ＋2之间的最小距离的平方值，对曲线y ＝3ln x －x 2求导：y ′＝3x －2x 与平行y ＝x ＋2平行的切线斜率k ＝1＝3x －2x ，解得x ＝1或x ＝－32(舍去)，把x ＝1代入y ＝3ln x －x 2，解得y ＝－1，即切点(1，－1)，则切点到直线y ＝x ＋2的距离为L ＝|1＋1＋2|2＝22，所以L 2＝8，即(a －c )2＋(b －d )2的最小值为8，故选D.【答案】 D题组训练一 导数的几何意义及导数的运算1．若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln (x ＋1)的切线，则b ＝( )A ．1 B.12C ．1－ln 2D ．1－2ln 2【解析】 对于函数y ＝ln x ＋2，切点为(r ，s )，y ′＝1x ，k ＝1r ，对于函数y ＝ln (x ＋1)，切点为(p ，q )，y ′＝1x ＋1，k ＝1p ＋1，1r ＝1p ＋1①r ＝p ＋1， 斜率k ＝1r ＝1p ＋1＝q －s p －r ＝(ln r ＋2)－ln (p ＋1)r －p ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2r ＝12，p ＝－12，s ＝ln r ＋2＝ln 12＋2＝2－ln 2，s ＝q ＋2代入y ＝2x ＋b,2－ln 2＝2×(12)＋b ，得：b ＝1－ln 2.【答案】 C2．在直角坐标系xOy 中，设P 是双曲线C ：xy ＝1(x >0)上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的切线，且l 交坐标轴于A 、B 两点，则以下结论正确的是( )A ．①OAB 的面积为定值2 B ．①OAB 的面积有最小值为3C ．①OAB 的面积有最大值为4D ．①OAB 的面积的取值范围是[3,4]【解析】 设P 是双曲线xy ＝1上任意一点，其坐标为P (x 0，y 0)，经过P 点的切线方程为y ＝kx ＋b .双曲线化为y ＝1x 形式，y 对x 的导数为y ′＝－1x2，在P 点处导数为－1x 20，切线方程为(y －y 0)＝－1x 20(x －x 0)，令x ＝0，y ＝y 0＋1x 0＝x 0·y 0＋1x 0＝2x 0＝2y 0，(其中x 0·y 0＝1)，则切线在y 轴截距为2y 0，令y ＝0，x ＝2x 0，则切线在x 轴截距为2x 0，设切线与两坐标轴相交于A 、B 两点构成的三角形为OAB .S ①OAB ＝12|OA |·|OB |＝12|2x 0|·|2y 0|＝2|x 0·y 0|＝2，故切线与两坐标轴构成的三角形面积定值为2.【答案】 A题型二 利用导数研究函数的单调性 【题型要点解析】求解或讨论函数单调性有关问题的解题策略讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论． (2)在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论． 【提醒】 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．例1.已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若g (x )＝f (x )＋2x ，在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围．【解】 (1)f ′(x )＝2x －2x，令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1，所以f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)， 单调递减区间是(0,1)．(2)由题意g (x )＝x 2＋a ln x ＋2x ，g ′(x )＝2x ＋a x －2x2，若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x )＝2x －2x 2.①φ(x )在[1，＋∞)上单调递减，①φ(x )max ＝φ(1)＝0， ①a ≥0；若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能． ①实数a 的取值范围为[0，＋∞)．题组训练二 利用导数研究函数的单调性 设函数f (x )＝3x 2＋ax e x(a ①R )．(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围． 【解析】 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝(6x ＋a )e x －(3x 2＋ax )e x(e x )2＝－3x 2＋(6－a )x ＋a e x因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e(x －1)，化简得3x －e y ＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋ae x .令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0，解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366当x <x 1时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数； 当x 1<x <x 2时，g (x )>0，即f ′(x )>0， 故f (x )为增函数；当x >x 2时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数．由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92，故a 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,29 题型三 利用导数研究函数的极值(最值)问题 【题型要点解析】(1)利用导数研究函数的极值的一般思想：①求定义域；①求导数f ′(x )；①解方程f ′(x )＝0，研究极值情况；①确定f ′(x 0)＝0时x 0左右的符号，定极值．(2)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上最大值与最小值的步骤：①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；①将函数y ＝f (x )的极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(3)当极值点和给定的自变量范围关系不明确时，需要分类求解，在求最值时，若极值点的函数值与区间端点的函数值大小不确定时需分类求解．例1.设函数G (x )＝x ln x ＋(1－x )·ln (1－x )．(1)求G (x )的最小值；(2)记G (x )的最小值为c ，已知函数f (x )＝2a ·e x ＋c ＋a ＋1x －2(a ＋1)(a >0)，若对于任意的x ①(0，＋∞)，恒有f (x )≥0成立，求实数a 的取值范围．【解】 (1)由已知得0<x <1，G ′(x )＝ln x －ln (1－x )＝lnx 1－x.令G ′(x )<0，得0<x <12；令G ′(x )>0，得12<x <1，所以G (x )的单调减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0，单调增区间为⎪⎭⎫⎝⎛1,21.从而G (x )min ＝G ⎪⎭⎫⎝⎛21＝ln 12＝－ln 2.(2)由(1)中c ＝－ln 2，得f (x )＝a ·e x＋a ＋1x －2(a ＋1)．所以f ′(x )＝ax 2·e x －(a ＋1)x 2.令g (x )＝ax 2·e x －(a ＋1)，则g ′(x )＝ax (2＋x )e x >0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增， 因为g (0)＝－(a ＋1)，且当x →＋∞时，g (x )>0，所以存在x 0①(0，＋∞)，使g (x 0)＝0，且f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增．因为g (x 0)＝ax 20·e x 0－(a ＋1)＝0，所以ax 20·e x 0＝a ＋1，即a ·e x 0＝a ＋1x 20，因为对于任意的x ①(0，＋∞)，恒有f (x )≥0成立，所以f (x )min ＝f (x 0)＝a ·e x 0＋a ＋1x 0－2(a ＋1)≥0，所以a ＋1x 20＋a ＋1x 0－2(a ＋1)≥0，即1x 20＋1x 0－2≥0，即2x 20－x 0－1≤0， 所以－12≤x 0≤1.因为ax 20·e x 0＝a ＋1，所以x 20·e x 0＝a ＋1a >1.又x 0>0，所以0<x 0≤1，从而x 20·e x 0≤e ，所以1<a ＋1a ≤e ，故a ≥1e －1. 题组训练三 利用导数研究函数的极值(最值)问题已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋ce x (a >0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值． 【解】 (1)f ′(x )＝(2ax ＋b )e x －(ax 2＋bx ＋c )e x (e x )2＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －ce x .令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x >0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a >0，所以当－3<x <0时，g (x )>0，即f ′(x )>0，当x <－3或x >0时，g (x )<0，即f ′(x )<0， 所以f (x )的单调递增区间是(－3,0)， 单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋ce －3＝－e 3，g (0)＝b －c ＝0，g (－3)＝－9a －3(2a －b )＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x .因为f (x )的单调递增区间是(－3,0)， 单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)， 所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者，而f (－5)＝5e －5＝5e 5>5＝f (0)，所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.题型四 定积分 【题型要点解析】(1)求简单定积分最根本的方法就是根据微积分定理找到被积函数的原函数，其一般步骤：①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；①利用定积分的性质把所求定积分化为若干个定积分的和或差；①分别用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )；①利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分的值；①计算所求定积分的值．有些特殊函数可根据其几何意义，求其围成的几何图形的面积，即其对应的定积分．(2)求由函数图象或解析几何中曲线围成的曲边图形的面积，一般转化为定积分的计算与应用，但一定找准积分上限、积分下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决，其一般步骤：①画出图形，确定图形范围；①解方程组求出图形交点范围，确定积分上、下限；①确定被积函数，注意分清函数图象的上、下位置；①计算下积分，求出平面图形的面积．例1．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ①[－1，1)x 2－1，x ①[1，2]，则⎰-21f (x )d x 的值为( )A.π2＋43 B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3 【解析】 ⎰-21f (x )d x ＝⎰-211－x 2d x ＋⎰-21(x 2－1)d x ＝12π×12＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 331⎪⎪⎪21＝π2＋43，故选A.【答案】 A例2．⎰1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-212x x d x ＝________.【解析】⎰1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-212x x d x ＝⎰101－x 2d x ＋⎰112x d x ，⎰112x d x ＝14，⎰11－x 2d x表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14.【答案】π＋14例3．由曲线y ＝x 2＋1，直线y ＝－x ＋3，x 轴正半轴与y 轴正半轴所围成图形的面积为( )A ．3 B.103 C.73D.83【解析】 由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋1y ＝－x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝5(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，结合图形可知，所求的面积为⎰1(x 2＋1)d x ＋12×22＝⎪⎭⎫⎝⎛+x x 331|10＋2＝103，选B. 【答案】 B 题组训练四 定积分1．已知1sin φ＋1cos φ＝22，若φ①⎪⎭⎫⎝⎛2,0π，则⎰-ϕtan 1(x 2－2x )d x ＝( )A.13 B ．－13C.23D ．－23【解析】 依题意，1sin φ＋1cos φ＝22①sin φ＋cos φ＝22sin φcos φ①2sin(φ＋π4)＝2sin2φ，因为φ①(0，π2)，所以φ＝π4，故⎰-ϕtan 1(x 2－2x )d x ＝⎰-ϕtan 1－1(x 2－2x )d x ＝(x 33－x 2)|1－1＝23.选C. 【答案】 C 2．函数y ＝⎰t(sin x ＋cos x sin x )d x 的最大值是________．【解析】 y ＝⎰t(sin x ＋cos x sin x )d x＝⎰t⎪⎭⎫⎝⎛+x x 2sin 21sin d x＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x 2cos 41cos ⎪⎪⎪t 0＝－cos t －14cos 2t ＋54＝－cos t －14(2cos 2 t －1)＋54＝－12(cos t ＋1)2＋2，当cos t ＝－1时，y max ＝2. 【答案】 2 【专题训练】一、选择题1．已知变量a ，b 满足b ＝－12a 2＋3ln a (a >0)，若点Q (m ，n )在直线y ＝2x ＋12上，则(a－m )2＋(b －n )2的最小值为( )A ．9 B.353 C.95D ．3【解析】令y ＝3ln x －12x 2及y ＝2x ＋12，则(a －m )2＋(b －n )2的最小值就是曲线y ＝3ln x－12x 2上一点与直线y ＝2x ＋12的距离的最小值，对函数y ＝3ln x －12x 2求导得：y ′＝3x －x ，与直线y ＝2x ＋12平行的直线斜率为2，令2＝3x －x 得x ＝1或x ＝－3(舍)，则x ＝1，得到点(1，－12)到直线y ＝2x ＋12的距离为355，则(a －m )2＋(b －n )2的最小值为(355)＝95. 【答案】C2．设a ①R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ①R 有大于零的极值点，则( ) A ．a >－3 B ．a <－3 C ．a >－13D ．a <－13【解析】 y ′＝a e ax ＋3＝0在(0，＋∞)上有解，即a e ax ＝－3，①e ax >0，①a <0.又当a <0时，0<e ax <1，要使a e ax ＝－3，则a <－3，故选B.【答案】 B3．已知函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x ，若对于任意的a ①[1,2]，b ①(2,3]，函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，5]C ．[3，＋∞)D ．[5，＋∞)【解析】 ①f (x )＝x 3－tx 2＋3x ，①f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[a ，b ]上恒成立，即不等式3x 2－2tx ＋3≤0在[a ，b ]上恒成立，即有t ≥32⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 1在[a ，b ]上恒成立，而函数y ＝32⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 1在[1,3]上单调递增，由于a ①[1,2]，b ①(2,3]，当b＝3时，函数y ＝32⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 1取得最大值，即y max ＝32⎪⎭⎫ ⎝⎛+313＝5，所以t ≥5，故选D.【答案】 D4．已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋a )(a ①R )有唯一的零点x 0，(e ＝2.718…)则( ) A ．－1<x 0<－12B ．－12<x 0<－14C ．－14<x 0<0D ．0<x 0<12【解析】 函数f (x )＝e x －ln(x ＋a )(a ①R )，则x >－a ，可得f ′(x )＝e x －1x ＋a ，f ″(x )＝e x ＋1(x ＋a )2恒大于0，f ′(x )是增函数，令f ′(x 0)＝0，则e x 0＝1x 0＋a ，有唯一解时，a ＝1e x 0－x 0，代入f (x )可得：f (x 0)＝e x 0－ln(x 0＋a )＝e x 0－ln(1e x 0)＝e x 0＋x 0，由于f (x 0)是增函数，f (－1)≈－0.63，f (－12)≈0.11，所以f (x 0)＝0时，－1<x 0<－12.故选A.【答案】 A5．定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x )>2(x ＋x )f ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，则下列不等式中，一定成立的是( )A ．f (1)>f (2)2>f (3)3B.f (1)2>f (4)3>f (9)4 C ．f (1)<f (2)2<f (3)3D.f (1)2<f (4)3<f (9)4【解析】 ①f (x )>2(x ＋x )f ′(x )， ①f (x )>2x (x ＋1)f ′(x )， ①f (x )12x>(x ＋1)f ′(x )．①f ′(x )(x ＋1)－f (x )12x <0，①(f (x )x ＋1)′<0，设g (x )＝f (x )x ＋1，则函数g (x )在(0，＋∞)上递减， 故g (1)>g (4)>g (9)，①f (1)2>f (4)3>f (9)4.故选B.【答案】 B6．已知函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，若f ′(x )满足f ′(x )－f (x )x －1>0，y ＝f (x )e x 关于直线x ＝1对称，则不等式f (x 2－x )e x 2－x<f (0)的解集是( )A ．(－1,2)B ．(1,2)C ．(－1,0)①(1,2)D ．(－∞，0)①(1，＋∞)【解析】 令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x .①f ′(x )－f (x )x －1>0，当x >1时，f ′(x )－f (x )>0，则g ′(x )>0，①g (x )在(1，＋∞)上单调递增； 当x <1时，f ′(x )－f (x )<0，则g ′(x )<0， ①g (x )在(－∞，1)上单调递减． ①g (0)＝f (0)，①不等式f (x 2－x )e x 2－x <f (0)即为不等式g (x 2－x )<g (0)．①y ＝f (x )ex 关于直线x ＝1对称，①|x 2－x |<2，①0<x 2－x <2，解得－1<x <0或1<x <2，故选C. 【答案】 C7．已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x >0时，xf ′(x )<2f (x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)①(0,1)B ．(－∞，－1)①(1，＋∞)C ．(－1,0)①(1，＋∞)D ．(－1,0)①(0,1)【解析】 根据题意，设函数g (x )＝f (x )x 2(x ≠0)，当x >0时，g ′(x )＝f ′(x )·x －2·f (x )x 3<0，说明函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又f (x )为偶函数，所以g (x )为偶函数，又f (1)＝0，所以g (1)＝0，故g (x )在(－1,0)①(0,1)上的函数值大于零，即f (x )在(－1,0)①(0,1)上的函数值大于零．【答案】D8．定义在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有f (x )<f ′(x )·tan x 成立，则( ) A.3f ⎪⎭⎫⎝⎛4π>2f ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π B ．f (1)<2f ⎪⎭⎫⎝⎛6πsin 1 C.2f ⎪⎭⎫⎝⎛6π>f ⎪⎭⎫⎝⎛4π D.3f ⎪⎭⎫⎝⎛6π<f ⎪⎭⎫⎝⎛3π 【解析】 构造函数F (x )＝f (x )sin x.则F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x >0，x ①⎪⎭⎫⎝⎛2,0π， 从而有F (x )＝f (x )sin x 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上为增函数，所以有F ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π<F ⎪⎭⎫⎝⎛3π，3sin36sin 6ππππ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ①3f ⎪⎭⎫⎝⎛6π<f ⎪⎭⎫⎝⎛3π，故选D. 【答案】 D 二、填空题9．已知曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则实数a ＋b 的值为____________．【解析】 因为两个函数的交点为(0，m )，①m ＝a cos0，m ＝02＋b ×0＋1，①m ＝1，a ＝1，①f (x )，g (x )在(0，m )处有公切线，①f ′(0)＝g ′(0)，①－sin 0＝2×0＋b ，①b ＝0，①a ＋b ＝1.【答案】 110．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ①(0，＋∞)时，都有不等式f (x )＋xf ′(x )>0成立，若a ＝40.2f (40.2)，b ＝(log 43)f (log 43)，c ＝⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1614log 1614log f ，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】 根据题意，令g (x )＝xf (x )，则a ＝g (40.2)，b ＝g (log 43)，c ＝g (log 4116)有g (－x )＝(－x )f (－x )＝(－x )[－f (x )]＝xf (x )，则g (x )为偶函数，又由g ′(x )＝(x )′f (x )＋xf ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，又由当x ①(0，＋∞)时，都有不等式f (x )＋xf ′(x )>0成立，则当x ①(0，＋∞)时，有g ′(x )>0，即g (x )在(0，＋∞)上为增函数，分析可得|log 4116|>|40.2|>|log 43|，则有c >a >b ；故答案为：c >a >b .【答案】 c >a >b11．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．【解析】 令f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎪⎭⎫⎝⎛-a x 1＝ln x －2ax ＋1＝0，得ln x ＝2ax －1.因为函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，所以f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，等价于函数y ＝ln x 与y ＝2ax －1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点(0，－1)作y ＝ln x 的切线，设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝1x 0，切线方程为y ＝1x 0x －1.切点在切线y ＝1x 0x－1上，则y 0＝x 0x 0－1＝0，又切点在曲线y ＝ln x 上，则ln x 0＝0，①x 0＝1，即切点为(1,0)，切线方程为y ＝x －1.再由直线y ＝2ax －1与曲线y ＝ln x 有两个交点，知直线y ＝2ax －1位于两直线y ＝0和y ＝x －1之间，其斜率2a 满足0<2a <1，解得实数a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0.【答案】 ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,012．曲线y ＝2sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________．【解析】 令2sin x ＝1，得sin x ＝12，当x ①[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝∫5π6(2sin x －1)d x ＝(－2cos x －x )π6⎪⎪⎪5π6π6＝23－2π3.【答案】 23－2π3三、解答题13．已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x －x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．【解析】 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)， (i)若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递减． (ii)若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝－ln a .当x ①(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0；当x ①(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，－ln a )单调递减，在(－ln a ，＋∞)单调递增．(2)(i)若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．(ii)若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1a ＋ln a .①当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0，故f (x )只有一个零点； ①当a ①(1，＋∞)时，由于1－1a ＋ln a >0，即f (－ln a )>0，故f (x )没有零点；①当a ①(0,1)时，1－1a＋ln a <0，即f (－ln a )<0.又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2＋2>0，故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点．设正整数n 0满足n 0>ln (3a －1)，则f (n 0)＝e n 0(a e n 0＋a －2)－n 0>e n 0－n 0>2r 0－n 0>0.由于ln (3a －1)>－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点．综上，a 的取值范围为(0,1)．14．已知函数f (x )＝e ax (其中e ＝2.71828…)，g (x )＝f (x )x .(1)若g (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)当a ＝12时，求函数g (x )在[m ，m ＋1](m >0)上的最小值．【解析】 (1)由题意得g (x )＝f (x )x ＝eaxx在[1，＋∞)上是增函数，故'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x e ax ＝e ax (ax －1)x 2≥0在[1，＋∞)上恒成立，即ax －1≥0在[1，＋∞)恒成立，a ≥1x 在x ①[1，＋∞)上恒成立，而1x ≤1，①a ≥1； (2)当a ＝12时，g (x )＝e x 2x ，g ′(x )＝e x 2(x2－1)x 2，当x >2时，g ′(x )>0，g (x )在[2，＋∞)递增， 当x <2且x ≠0时，g ′(x )<0，即g (x )在(0,2)，(－∞，0)递减，又m >0，①m ＋1>1，故当m ≥2时，g (x )在[m ，m ＋1]上递增，此时，g (x )min ＝g (m )＝e m2m ，当1<m <2时，g (x )在[m,2]递减，在[2，m ＋1]递增，此时，g (x )min ＝g (2)＝e2，当0<m ≤1时，m ＋1≤2，g (x )在[m ，m ＋1]递减，此时，g (x )min ＝g (m ＋1)＝e m ＋12m ＋1，综上，当0<m ≤1时，g (x )min ＝g (m ＋1)＝e m ＋12m ＋1，当1<m<2时，g(x)min＝g(2)＝e2，m≥2时，g(x)min＝g(m)＝e m 2 m.。
(最新实用)2020年高考理科数学之高频考点解密06 定积分与微积分基本定理(解析版)
解密06 定积分与微积分基本定理考点1 定积分的计算题组一 用牛顿—莱布尼茨公式求定积分 调研1e11d x x=⎰A ．1-B ．0C ．1D ．e【答案】C【解析】因为()1ln x x'=，所以e e111d ln |1x x x ==⎰．故选C ．【名师点睛】本题主要考查了定积分的运算，定积分的题目往往先求出被积函数的原函数或者利用其几何意义，属于基础题．先求出被积函数1x 的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可． 调研2 已知()21f x x =+，若()()1d f x x f a =⎰，则a 的值为A ．12-B ．2-C ．12D ．1【答案】C 【解析】因为()()1d f x x f a =⎰，所以()210|21xx a +=+，所以221a =+，解得12a =．故选C ． 【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力．直接利用微积分基本原理化简()()1d f x x f a =⎰即得a 的值．调研3 若函数()1f x x x=+，则()e 1d f x x =⎰______________．【答案】2e 12+ 【解析】()1f x x x =+Q ，则()2e e 2e 11111e 1d d ln |22f x x x x x x x +⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰．【名师点睛】本题主要考查微积分基本定理求函数的定积分，意在考查对基本定理的掌握与应用，属于简单题．调研4 已知函数1(10)()πcos (0)2x x f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则π21()d f x x -=⎰______________．【答案】32【解析】πππ200222101113()d (1)d cos d ()|sin |1222x f x x x x x x x x ---=++=++=+=⎰⎰⎰．☆技巧点拨☆1．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； （2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； （3）分别用求导公式找到一个相应的原函数； （4）利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值； （5）计算原始定积分的值． 2．分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加．题组二 用定积分的几何意义求定积分 调研5 计算333(cos )d x x x -=⎰______________．【答案】0【解析】因为3cos y x x =为奇函数， 所以333(cos )d 0x x x -=⎰．调研6 已知函数()f x 为偶函数，且6()d 8f x x =⎰，则66()d f x x -=⎰______________．【答案】16【解析】因为函数()f x 为偶函数， 所以666()d 2()d 16f x x f x x -==⎰⎰．调研7．【答案】4π调研8 已知函数()(]sin ,π,00,1x x f x x ⎧∈-⎪=∈，则()1πd f x x -=⎰______________．【答案】π24-【解析】()10ππd sin d f x x x x x--=+⎰⎰⎰，0ππsin d cos |2x x x --=-=-⎰，x ⎰的几何意义是以原点为圆心，半径为1的圆的面积的14， 故01π,4x =⎰()1ππd 24f x x -∴=-⎰．☆技巧点拨☆1．求定积分的三种方法（1）利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强； （2）利用微积分基本定理求定积分；（3）利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如，定积分x ⎰的几何意义是求单位圆面积的14，所以0π=4x ⎰．2．奇偶函数的定积分（1）若奇函数y =f (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则()d 0aa f x x -=⎰；（2）若偶函数y =g (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则0()d 2()d aaag x x g x x -=⎰⎰．考点2 定积分的应用题组一 利用定积分求平面图形的面积调研1 如图，抛物线的方程为21y x =-，则图中阴影部分的面积可表示为A ．220()1d x x -⎰ B ．|220()1d x x -⎰|C ．22||1d x x -⎰D ．1222011d 1)d (()xx x x -+-⎰⎰【答案】C【解析】由图形可知阴影部分的面积为1222011d 1)d (()x x x x -+-⎰⎰，而21220||(1)d 1d x x x x -=-+⎰⎰221()1d x x -⎰，故选C ．调研2 如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为 A ．21π- B ．2π C ．22πD ．221π-【答案】A【解析】∵π×1=πS =矩形，()ππ00sin d cos |cos πcos02x x x =-=--=⎰，π2S ∴=-阴影，∴豆子落在图中阴影部分的概率为π221ππ-=-． 故选A ．【名师点睛】本题考查几何概率的求解，属于基础题，难度不大，正确求面积是关键．分别求出矩形和阴影部分的面积，即可求出豆子落在图中阴影部分的概率．调研3 求由曲线y =2y x =-+及y 轴所围成的图形的面积错误的为A ．40(2x x -⎰ B ．0x ⎰C ．222(2)d y y y ---⎰D ．22(4)d y y --⎰【答案】C【解析】曲线y =2y x =-+及y 轴所围成的图形如下图中阴影部分所示：则阴影部分的面积可表示为4(2x x -+⎰，可知A 正确；根据对称性可知2402(2)d (2)d x x x x -=-⎰⎰，所以阴影部分的面积可表示为4[0(x x -=⎰⎰，可知B 正确；同理，根据对称性可知，阴影部分的面积可表示为022(4)d y y --⎰，可知D 正确；故选C ．调研4 若从区间[0,2]内随机取两个数，则这两个数之积大于2的概率为______________．【答案】1ln22- 【解析】设这两个数为,x y ，则,[0,2]x y ∈，且2xy >， 令2xy =，则2y x=，则可作出如下图所示图象，要使2xy >，则(,)x y 必须在曲线2y x=的上方， 则阴影部分的面积为221142ln 2(22ln1)222(2)d (222)ln ln x x x x =---=--=-⎰，则所求概率22ln 21ln 2222P --=⨯=．☆技巧点拨☆利用定积分求平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考查方向，多以选择题、填空题的形式考查．难度一般不大，属中低档题型．常见的题型及其解法如下： 1．利用定积分求平面图形面积的步骤 ①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．注意：当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． 2．知图形的面积求参数求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值． 3．与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算．题组二 定积分的物理意义调研5 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面【答案】A【解析】由图可知，曲线v 甲，直线0t t =和t 轴所围成图形的面积大于曲线v 乙，直线0t t =和t 轴所围成图形的面积，则在t 0时刻，甲车在乙车前面，故C 错误； 同理，在t 1时刻，甲车在乙车前面，故A 正确，D 错误；t 1时刻后，甲车会领先乙车一小段时间，但从两曲线的趋势可知某时刻乙车会超过甲车，故B 错误． 故选A ．调研6 一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m )作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )作的功为ABCD ．【答案】C【解析】由于()F x 与位移方向成30︒角，如图：F 在位移方向上的分力cos30F F ︒='⋅，所以()()22223211115cos30d 5d 5|2233W x x x x x x ︒⎫=-⋅=-=-=⎪⎝⎭⎰⎰ 故选C ．【名师点睛】本题体现了数形结合的思想方法．由物理学知识知，变力()F x 所作的功对应“位移—力”，只要求()2215cos30d W x x ︒=-⋅⎰，进而计算可得答案．☆技巧点拨☆利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．1．（九师联盟2020届高三上学期10月质量检测）计算213(1)d x x+⎰的值为 A ．ln21+ B ．2ln 21+ C ．3ln23+D ．3ln21+【答案】D【分析】直接利用微积分基本原理计算求值得解． 【解析】213(1)d x x+⎰21(3ln )(3ln 22)(3ln11)3ln 21x x =+=+-+=+， 故选D ．【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力．2．（重庆市第一中学2019-2020学年高三上学期摸底考试）若函数()f x 在R 上可导，32()3f x x x =-，则2()d f x x =⎰A ．2B ．4C ．2-D ．4-【答案】D 【解析】22232430001()d (3)d ()4844f x x x x x x x =-=-=-=-⎰⎰，故选D ．3．（重庆市南开中学2019-2020学年高三上学期第二次教学质量检测）e11(1)d x x -⎰的值为A ．e 2-B ．eC ．e 1+D ．e 1-【答案】A 【解析】ee e e 1e111111(1)d 1d d ln e 110e 2x x x x x x x -=-=-=--+=-⎰⎰⎰， 故选A ．4．（福建省华安一中、龙海二中2019-2020学年高三上学期第一次联考）已知12(1)d a xx =-⎰，2log 3b =，cos6c π=，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c << B ．c a b << C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】C【解析】由题可得12(1)d a x x =-=⎰（13x 3﹣x ）101|3=-1203=-<， b ＝log 23>log 22=1，cos 6c π=(0,1)=， 所以a ＜c ＜b ， 故选C ．5．（湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2019-2020学年高三上学期10月联考）若ln 2a =，125b -=，201cos d 2c x x π=⎰，则a ，b ，c 的大小关系A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】D【分析】由定积分的运算可得c =1sin 2x |20π=11(sin sin 0)222π-=，再由以e 为底的对数函数的单调性可得1ln 2ln 2a =>=，再由以12y x -=的单调性可得11221542b --=<=，比较即可得解．【解析】由题可得201cos d 2c x x π==⎰1sin 2x |20π11(sin sin 0)222π=-=，又11221542b --=<=，1ln 22a =>=，所以b c a <<， 故选D ．【名师点睛】本题考查了定积分的运算、对数值比较大小，指数幂比较大小，重点考查了不等关系，属中档题．6．（江西省抚州市临川第一中学等2019-2020学年高三上学期第一次联考）设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ，若2()2ln 2g x x bx kx =--在[1,)+∞上的单调递减，则实数k 的取值范围是 A ．[0,)+∞ B ．(0,)+∞ C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞【答案】A【分析】由定积分可以求出b ，2()2ln 2g x x bx kx =--在[1,)+∞上的单调递减可转化为()0g'x ≤在[1,)+∞上恒成立，由此即可求解．【解析】由题意可得6601cos d sin 2|b x x x ππ===⎰， 所以2()2ln g x x x kx =--，因为2()2ln g x x x kx =--在[1,)+∞上的单调递减，所以222()0x kx g x x--+'=≤在[1,)+∞上恒成立，即2()220h x x kx =--+≤在[1,)+∞上恒成立，只需14(1)0h -≤⎪⎨⎪≤⎩即可，解得0k ≥，所以实数k 的取值范围是[0,)+∞．故选A ．【名师点睛】本题主要考查了利用定积分求面积，函数的单调性与导数的关系，不等式的恒成立问题，属于中档题．7．（湖北省百校大联盟高三上学期10月联考）4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为 A ．16 BC ．13D ．23【答案】C【分析】先计算图象交点，再利用定积分计算面积． 【解析】如图所示：由2y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩0,0,x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩，根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为13123200211)d ()333x x x x =-=⎰，故选C ．8．（安徽省合肥一中2019-2020学年9月高三阶段性检测）(sin x x -π=⎰A ．34πB ．324π+C ．24-D ．2【答案】C【解析】由题可得000(sin sin d x x x x x -π-π+=+⎰⎰⎰，易得sin d x x -π⎰()0cos |2x -π=-=-，x ⎰是半径为π的圆的面积的四分之一，为34π，所以0(sin x x -π=⎰324π-，故选C ．9．（安徽省蚌埠市2019-2020学年高三上学期9月第一次教学质量检查）定积分232sin )d x x x-+⎰的值是 A ．π B ．2π C ．2π+2cos2D ．π+2cos2【答案】B【分析】根据定积分的性质，将定积分232sin )d x x x -+⎰可以展开为2x -+⎰22322(sin )d d x x x x ---+⎰⎰，利用定积分的运算，分别求出定积分值．【解析】由题可得222233222sin )d (sin )d d x x x x x x x x ----+=+-+⎰⎰⎰⎰，易得2x -⎰表示以()0,0为圆心，2为半径12圆的面积，所以21422x -=⨯π=π⎰，易得sin y x =-与3y x =都是奇函数，所以22322(sin )d d 000x x x x ---+=+=⎰⎰，所以232sin )d 2x x x -+=π⎰．故选B ．【名师点睛】本题考查定积分的性质，学生应熟练掌握定积分的运算法则和几何意义，属于中档题．10．（安徽省全国示范高中名校2019-2020学年高三上学期9月月考）由曲线22y x x =-+与直线y x =围成的封闭图形的面积为______________． 【答案】16【分析】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为(0,0)，(1,1)，结合图像可知围成的封闭图形的面积．【解析】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为(0,0)，(1,1)， 如图：结合图像可知围成的封闭图形的面积为1123200111(2)d ()326x x x x x x -+-=-+=⎰．11．（2019年河北唐山市区县高三上学期第一次段考）若211(2)d 3ln 2mx x x+=+⎰，则实数m 的值为______________． 【答案】1【分析】先找出12mx x +的原函数，然后根据定积分运算法则，两边进行计算即可求出实数m 的值． 【解析】由于22112(ln )1(|(ln 24)(ln1)ln 32)d 2mx x xx mx m m m =+=+-+=++⎰，所以3ln 23ln 2m +=+，解得1m =．12．（安徽省皖南八校2019-2020学年高三上学期第一次联考）若1214()d 3a x x --=⎰，则a =______________．【答案】1【分析】根据定积分的运算，得到1231111()d ()|3a x x ax x ---=-⎰，代入即可求解． 【解析】由1231111114()d ()|()()3333a x x ax x a a ---=-=---+=⎰，解得1a =．【名师点睛】本题主要考查了定积分的计算，其中解答中求得被积函数的原函数，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．13．（湖南省师大附中2019-2020学年高三上学期10月月考）定积分x =⎰______________．【答案】4π【解析】令0)y y =≥，则（x -1）2+y 2＝1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，其面积为π，所以0x ⎰表示半径为1的四分之一圆的面积，如下图所示，所以x =⎰4π．【名师点睛】本题考查定积分的几何意义，准确转化为图形的面积是解决问题的关键，属基础题． 14．（2019年河北省石家庄市二模）已知230d x x n =⎰，则(1)n x y ++展开式中2x y 的系数为______________．【答案】12【分析】由题意求定积分得到n 的值，再根据乘方的意义，排列组合数的计算公式，求出展开式中2x y的系数． 【解析】因为23d x x ⎰24044x n ===，则4( 1)(1)n x y x y ++=++，它表示4个因式(1)x y ++的乘积，故其中有2个因式取x ，一个因式取y ，剩下的一个因式取1，可得2x y 的项．故展开式中2x y 的系数211421C C C 12⋅⋅=．【名师点睛】本题主要考查求定积分，乘方的意义，排列组合数的计算公式，属于中档题．15．（河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期二调）如图，阴影部分是由曲线22y x =和2x +23y =及x 轴围成的封闭图形，则阴影部分的面积为______________．【答案】28π-【分析】首先求出曲线的交点，然后求直线y =与22y x =围成的面积1S ，利用扇形的面积公式，求得扇形AOB 的面积2S ，则阴影部分的面积为21S S S =-，计算即可求得结果．【解析】曲线22y x =和圆223x y +=的在第一象限的交点为3()22A ， 则直线OA的方程为y =，如图，则2231232d (2)2324838S x x x x =-=-=⨯-⨯=， 又扇形AOB 圆心角为3απ=， 则扇形AOB 的面积221132232S r αππ==⨯⨯=，所以阴影部分的面积2128S S S π=-=-． 【名师点睛】本题考查了利用定积分求阴影部分的面积，关键是利用定积分正确表示对应的面积，属中档题．16．（广东省佛山市第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考）如图，曲线2y x =与2y x =-的图象所围成的阴影部分面积为______________．【答案】92【分析】由于2y x =不是函数，不方便直接用定积分求面积，可先将整个图像关于y x =作对称变换得到2y x =与2y x =+，再根据定积分的方法求解即可．【解析】将曲线2y x =与2y x =-作关于y x =的对称图象，得到2y x =与2y x =+，求出2y x =与2y x =+交点坐标分别为(1,1)-与(2,4)，故所求面积表达式为221(2)x x dx -+-⎰，易得原函数23()223x x F x x =+-，故所求面积为232322(1)(1)9(2)(1)(22)(2(1))23232F F ----=+⨯--+⨯--=，即阴影部分面积为92．【名师点睛】对于不方便直接用定积分求面积的问题，可以找寻与之面积相等的图像进行求解．本题中的抛物线焦点在x 轴上不易求解，故转换到y 轴上．1．【2014年高考山东卷理数】直线34x y x y ==与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为A ．22B ．24C ．2D ．4【答案】D【解析】由已知得，23242001(4)d (2)|44S x x x x x =-=-=⎰， 故选D ．2．【2014年高考湖北卷理数】若函数()f x 、()g x 满足11()()d 0f x g x x -=⎰，则称()f x 、()g x 为区间]1,1[-上的一组正交函数，给出三组函数： ①1()sin2f x x =，1()cos 2g x x =； ②()1f x x =+，()1g x x =-；③()f x x =，2()g x x =．其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【答案】C【解析】对于①：1111111111(sin cos )d (sin )d (cos )|02222x x x x x x ---⋅==-=⎰⎰，则()f x 、()g x 为区间]1,1[-上的正交函数；对于②：1123111114(1)(1)d (1)d ()|33x x x x x x x ---+-=-=-=-⎰⎰， 则()f x 、()g x 不为区间]1,1[-上的正交函数； 对于③：1341111d |04x x x --==⎰，则()f x 、()g x 为区间]1,1[-上的正交函数． 所以满足条件的正交函数有2组， 故选C ．3．【2015年高考湖南卷理数】2(1)d x x -=⎰______________．【答案】0 【解析】2220011(1)d ()|42022x x x x -=-=⨯-=⎰． 4．【2015年高考天津卷理数】曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为______________．【答案】16【解析】由题意可得封闭图形的面积为122310011111()d ()|23236x x x x x -=-=-=⎰． 5．【2015年高考山东卷理数】执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为______________．【答案】116【解析】开始n =1，T =1，因为1<3，所以11212001131d 1|11222T x x x =+=+=+⨯=⎰，n =1+1=2； 因为2<3，所以13130023313111d |1223236T x x x =+=+=+⨯=⎰，n =2+1=3．因为3<3不成立，所以输出T ，即输出的T 的值为116．6．【2015年高考福建卷理数】如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f (x )=x 2．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于______________．【答案】512【解析】依题意知点D 的坐标为(1，4)，所以矩形ABCD 的面积S =1×4=4， 阴影部分的面积S 阴影=3222111754d 44333| x x x =-=--=⎰， 根据几何概型的概率计算公式得，所求的概率P =553412S S ==阴影． 7．【2015年高考陕西卷理数】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为______________．【答案】1.2【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=， 设抛物线的方程为22x py =(0p >)，因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =， 所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()53235355222240(2)d (2)(255)[255]257575753x x x x ---=-=⨯-⨯-⨯--⨯-=⎰， 故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=，所以答案为1.2．。
2020年高考数学复习：定积分问题
定积分问题[题型分析·高考展望] 定积分在理科高考中，也是重点考查内容.主要考查定积分的计算和利用定积分求不规则图形的面积，题目难度不大，多为中低档题目，常以选择题、填空题的形式考查，掌握定积分的计算公式，会求各种类型的曲边图形的面积是本节重点.常考题型精析题型一 定积分的计算例1 (1)(2014·陕西)定积分ʃ10(2x ＋e x )d x 的值为( )A.e ＋2B.e ＋1C.eD.e －1(2)(2014·江西)若f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，则ʃ10f (x )d x 等于( )A.－1B.－13C.13D.1点评 (1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解；(2)对有关函数图象和圆的定积分问题可以利用定积分的几何意义求解.变式训练1 (1)设f (x )＝⎩⎨⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈(1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( )A.34 B.45 C.56D.不存在(2)若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( )A.－1B.0C.1D.2题型二 利用定积分求曲边梯形的面积例2 (1)(2014·山东)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A.2 2B.4 2C.2D.4(2)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43 B.2 C.83D.1623(3)由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(如图中的阴影部分所示)的面积是( )A.1B.π4 C.223D.22－2点评 求曲边多边形面积的步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形. (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限. (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和. (4)计算定积分.变式训练2 (2015·陕西)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________.高考题型精练1.已知自由落体运动的速率v ＝gt ，则落体运动从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.gt 203 B.gt 20 C.gt 202D.gt 2062.(2015·广州模拟)若2π⎰(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A.－1B.1C.－ 3D. 33.由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B.1 C.32D. 34.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝ʃ30(1＋2x )d x ，S 20＝17，则S 30为( ) A.15 B.20 C.25D.305.(2015·德州模拟)图中阴影部分的面积是( )A.16B.18C.20D.226.(2015·北京朝阳区模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈[1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( ) A.43 B.54 C.65D.767.(2014·湖南)已知函数f (x )＝sin(x －φ)，且230π⎰f (x )d x ＝0，则函数f (x )的图象的一条对称轴是( ) A.x ＝5π6B.x ＝7π12C.x ＝π3D.x ＝π68.设n ＝20π⎰4sin x d x ，则二项式(x －1x)n 的展开式的常数项是( )A.12B.6C.4D.19.曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为________.10.(2015·青岛模拟)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________.11.(2015·福建)如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于______.12.求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积.答案精析第16练 定积分问题常考题型精析 例1 (1)C (2)B解析 (1)ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝e.故选C.(2)∵f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ， ∴ʃ10f (x )d x ＝(13x 3＋2x ʃ10f (x )d x )|10 ＝13＋2ʃ10f (x )d x ，∴ʃ10f (x )d x ＝－13. 变式训练1 (1)C (2)A解析 (1)ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x＝13x 3|10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2|21 ＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56. (2)根据定积分的几何意义知，定积分ʃm －2－x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x 的图象与x 轴及直线x ＝－2，x ＝m 所围成图形的面积，y ＝－x 2－2x 是一个半径为1的半圆，其面积等于π2，而ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，即在区间[－2，m ]上该函数图象应为14个圆，于是得m ＝－1，故选A.例2 (1)D (2)C (3)D解析 (1)令4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝±2，∴S ＝ʃ20(4x －x 3)＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x 2－x 4420＝8－4＝4，故选D. (2)∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图象和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S ＝4－2ʃ20x 24d x ＝⎪⎪4－2·x 31220＝4－43＝83.(3)方法一 由sin x ＝cos x (x ∈(0，π2))，得x ＝π4.故所求阴影部分的面积S ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2 (sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x ) ⎪⎪⎪π2 π4＝sin π4＋cos π4－sin 0－cos 0＋[(－cos π2－sin π2)－(－cos π4－sin π4)]＝22－2.故选D.方法二 由sin x ＝cos x (x ∈(0，π2))，得x ＝π4.根据图象的对称性，可知所求阴影部分的面积 S ＝2⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x＝2(sin x ＋cos x ) ⎪⎪⎪⎪π4＝2(sin π4＋cos π4－sin 0－cos 0)＝22－2. 故选D. 变式训练2 1.2解析 由题意可知最大流量的比即为横截面面积的比，建立以抛物线顶点为原点的直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为y ＝ax 2，将点(5,2)代入抛物线方程得a ＝225，故抛物线方程为y ＝225x 2，抛物线的横截面面积为S 1＝2⎠⎛05⎝⎛⎭⎫2－225x 2dx ＝2⎝⎛⎭⎫2x －275x 3⎪⎪⎪50＝403(m 2)， 而原梯形下底为10－2tan 45°×2＝6(m )，故原梯形面积为S 2＝12(10＋6)×2＝16，S 2S 1＝16403＝1.2. 高考题型精练1.C [由题意，可知所走路程为00d t t ⎰v ＝00d t gt t ⎰＝12gt 2⎪⎪⎪t 00＝12gt 20.] 2.A [⎠⎜⎛0π2(sin x －a cos x )d x ＝(－cos x －a sin x )⎪⎪⎪⎪π20＝－a ＋1＝2，a ＝－1.]3.D [⎠⎜⎜⎛-π3π3cos x d x=sin x ⎪⎪⎪π3—π3＝sin π3－sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝ 3.] 4.A [由已知得S 10＝ʃ30(1＋2x )d x ＝12，据等差数列性质可得S 10＝12，S 20－S 10＝5，S 30－S 20＝S 30－17亦成等差数列， 故有12＋S 30－17＝10⇒S 30＝15.] 5.B[S ＝ʃ4－2⎝⎛⎭⎫y ＋4－y 22d y ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫y 22＋4y －y 364－2＝18.] 6.A [根据定积分的运算法则，由题意，可知ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11x d x ＝13x 3|10＋ln x |e1＝13＋1＝43.]7.A [∵⎠⎜⎛02π3sin(x －φ)d x ＝－cos(x －φ)⎪⎪⎪⎪2π30＝0，∴－cos(2π3－φ)＋cos φ＝0.∴cos(2π3－φ)－cos φ＝0.∴32sin φ－32cos φ＝0. ∴3sin(φ－π3)＝0.∴φ－π3＝k 1π(k 1∈Z ).∴φ＝k 1π＋π3(k 1∈Z ).∴f (x )＝sin(x －k 1π－π3)(k 1∈Z ).由x －k 1π－π3＝k 2π＋π2(k 1，k 2∈Z )得x ＝(k 1＋k 2)π＋56π(k 1，k 2∈Z )，∴f (x )的对称轴方程为x ＝(k 1＋k 2)π＋56π(k 1，k 2∈Z ).故x ＝5π6为函数f (x )的一条对称轴.]8.B [由定积分得n ＝－4cos x ⎪⎪⎪⎪π2＝4，二项式的通项公式为T k ＋1＝C k 4x 4－k(－1x)k ＝C k 4(－1)k x4－2k ， 由4－2k ＝0，得k ＝2，所以常数项为T 3＝C 24(－1)2＝6，故选B.]9.32－ln 2 解析 S ＝ʃ21(x －1x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－lnx21＝32－ln 2. 10.－1解析 由曲线在原点处与x 轴相切，可得f ′(0)＝b ＝0， 此时f (x )＝－x 3＋ax 2＝x 2(a －x )，据定积分知阴影部分面积－ʃ0a (－x 3＋ax 2)d x ＝112， 解得a ＝－1. 11.512解析 由题意知，阴影部分的面积 ʃ21(4－x 2)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫4x －13x 321＝53， ∴所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.12.解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x得交点B (3，－1).故所求面积S ＝ʃ10⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝321202136x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －13x 231 ＝23＋16＋43＝136.。
导数与定积分知识汇总
高考数学----导数、定积分知识清单一 、导数的概念●（一）导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量△x ，那么函数y 相应地有增量△y=f （x 0+△x ）－f （x 0），比值△y△x叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+△x 之间的平均变化率，即△y △x = f （x 0+△x ）－f （x 0）△x 。
如果当0→∆x 时，△y△x 有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y’ | x = x0即f ‘（x 0）=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果x y∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（例如：函数y = |x|在x = 0处得左极限与右极限不相等，所以函数y = |x|在x = 0处不存在极限，所以在x = 0处不可导）（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： ① 求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；② 求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；③ 取极限，得导数f ’(x 0)=x yx ∆∆→∆0lim。
●（二）导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率xx f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)(0000'切。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0 = f ’（x 0）（x －x 0）。
2020年高考数学(理)函数与导数 专题16 定积分(解析版)
函数与导数16 导数及其应用 定积分一、具体目标：(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． (2)了解微积分基本定理的含义． 考点透析：1.以定积分与微积分基本定理的简单应用—计算为主；2.在计算面积方面的应用.3.备考重点：(1) 掌握微积分基本定理；(2) 会应用微积分基本定理解决简单的面积计算. 二、知识概述：1. 定积分的概念与微积分基本定理 1．定积分的概念 在()baf x dx ⎰中，,a b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[]a b ，叫做积分区间，()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式． 2．定积分的性质 (1) ()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰ (k 为常数)；(2) 12[()()]ba f x f x dx ±=⎰12()()bbaaf x dx f x dx ±⎰⎰；(3)()()()bc b aacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰ (其中a <c <b )．3．微积分基本定理：一般地，如果()f x 是在区间[]a b ，上的连续函数，且()()F x f x '＝，那么【考点讲解】()()()dx baF f x b F a =⎰-，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中()F x 叫做()f x 的一个原函数．为了方便，常把()()F b a F -记作()ba F x ，即()()()dx ()bba af x F x b F a F ==⎰-．2．定积分的几何意义（1）由直线x=a ，x=b a b <（），x 轴及一条曲线()y f x =(()0)f x ≥围成的曲边梯形的面积 ()baS f x dx =⎰，若'()()F X f x =，则(-S F b F =）（a). （2）推广：由直线x=a ，x=b a b <（），()y f x =和y=g(x ）（()f x >g(x ））围成的平面图形的面积为[()()]baS f x g x dx =-⎰.3．定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x . 4.温馨提示：1）运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分． 2）利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．1. 【2019优选题】若222 21231111,,,xS x dx S dx S e dxx===⎰⎰⎰则123,,S S S的大小关系为（）A．123S S S<<B．213S S S<<C．231S S S<<D．321S S S<<【解析】3221127133xS x dx===⎰，22121ln ln21S dx xx===⎰，223121x xS e dx e e e===-⎰．显然213S S S<<，故选B．【答案】B2．【2019优选题】如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．14B．15C．16D．17【解析】∵31221211)()326S x x dx x x-=-=⎰阴影=（,正方形的面积为1，∴P=16．【答案】C3．【2018优选题】由曲线y x=，直线2y x=-及y轴所围成的图形的面积为（）A．103B．4 C．163D．6【解析】用定积分求解342422116(2)(2)323x x dx x x x-+=-+=⎰，选C.【答案】C【真题分析】4．【2017优选题】1(2)xex dx +⎰等于（ ）A ．1B ．1e -C ．eD ．1e + 【解析】1(2)x e x dx +⎰210()x e x e =+=，选C ．【答案】C 5．【2017优选题】421dx x⎰等于（ ） A ．2ln2- B ．2ln 2 C ．ln 2- D ．ln 2【解析】∵1(ln )x x '=，∴421dx x ⎰=4ln ln 4ln 2ln 22x =-=．【答案】D6.【2015福建】如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内 随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．【解析】由已知得阴影部分面积为221754433x dx -=-=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于553412=．【答案】5127.【2019优选题】如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______．【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等，∴1100=2()22|2x x S e e dx e e -=-=⎰阴，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率为22=S S e阴正． 【答案】22e8.【2019优选题】若29,T x dx T =⎰则常数的值为 ． 【解析】393330302=⇒===⎰T T x dx x TT． 【答案】39.【2019优选题】计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________．【解析】31211111(sin )cos |cos1cos1333x x x dx x --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰112333=+=． 【答案】2310.【2016优选题】设0>a ，若曲线x y =与直线0,==y a x 所围成封闭图形的面积为2a ，则=a ．【解析】a a x dx x S a a====⎰232303232，解得49=a ． 【答案】9411.【2015陕西理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．【解析】考点为1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =（0p >），因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=，所以答案应填：1.2． 【答案】1.212.【2019优选题】（1）已知函数3()=f x x x -，其图象记为曲线C ．（i ）求函数()f x 的单调区间；（ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111(,())P x f x 处的切线交于另一点222(,())P x f x ，曲线C 与其在点222(,())P x f x 处的切线交于另一点333(,())P x f x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值； （2）对于一般的三次函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠，请给出类似于（1）（ii ）的正确命题，并予以证明．【解析】（1）（i ）由3()=f x x x -得2()=31f x x '-=333()()33x x+-， 当3(,)3x ∈-∞-和33+∞（，）时，()>0f x '；O xy当3(,3x ∈-3)3时，()<0f x '， 因此，()f x 的单调递增区间为3(,)3-∞-和33+∞（，），单调递减区间为3(,3-3)3． （ii ）曲线C 与其在点1P 处的切线方程为231111=(31)()+,y x x x x x ---即2311y=(31)2,x x x --由23113(31)2=y x x x y x x⎧=--⎪⎨-⎪⎩得3=x x -2311(31)2x x x --，即211()+2)=0x x x x -（，解得1121=2,2x x x x x x =-=-或故，进而有 1123234111127(3+2)=4x x S x x x x dx x -=-⎰，用2x 代替1x ，重复上述计算过程，可得 322x x =-和42227=4S x ，又2120x x =-≠，所以4212716=0,4S x ⨯≠因此有121=16S S ．（Ⅱ）记函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠的图象为曲线C '，类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题为：若对任意不等式3ba-的实数1x ，曲线C '与其在点111(,())P x g x 处的切线交于另一点222(,())P x g x ，曲线C 与其在点222(,())P x g x 处的切线交于另一点333(,())P x g x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值． 证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线=()y g x 的对称中心(3b g a -(，))3ba-平移至坐标原点，因而不妨设3()(0)g x ax hx x =+≠，类似（i ）（ii ）的计算可得41127=4S x ，4212716=0,4S x ⨯≠故121=16S S ．1.设20lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = ．【解析】因为10x =>，所以(1)lg10f ==，又因为230()3af x x t dt x a =+=+⎰，所以3(0)f a =，所以31a =，1a =．【答案】12.20(1)x dx ⎰-= .【解析】本题考点是定积分的计算. 试题分析：0)21()1(2220=-=-⎰x x dx x 【答案】0.3.曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . 【解析】本题考点定积分几何意义与定积分运算.在同一坐标系内作出两个函数的图象，解议程组2y x y x⎧=⎨=⎩得两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)，由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积()1122300111236S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.21.510.50.511.522.543211234【答案】16【模拟考场】4. 计算：ʃ313＋2x －x 2 d x ＝________.【解析】由定积分的几何意义知，ʃ313＋2x －x 2 d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x ＝1，x ＝3，y ＝0围成的图形的面积，∴ʃ313＋2x －x 2d x ＝14×π×4＝π. 【答案】π5.由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭平面图形的面积为______． 【解析】 由xy ＝1，y ＝3可得交点坐标为(13，3)．由xy ＝1，y ＝x 可得交点坐标为(1,1)，由y ＝x ，y ＝3得交点坐标为(3,3)，由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成图形的面积为：1312311113311(3)d (3)d (3ln )|(3)|2x x x x x x x x -+-=-+-⎰⎰＝(3－1－ln 3)＋(9－92－3＋12)＝4－ln 3. 【答案】4－ln 36. .二项式()0633>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ax 的展开式的第二项的系数为23-，则⎰-a dx x 22的值为__________．【解析】二项式()0633>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ax 的展开式的通项公式()2221322363x a ax C T -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=． ∵第二项的系数为23-，∴23232-=-a ，∴a 2=1，a ＞0，解得a =1．当a =1时，则322=⎰-a dx x .【答案】37.若ʃ10(2x ＋λ)d x ＝2(λ∈R )，则λ等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．－1【解析】 (1)ʃ10(2x ＋λ)d x ＝(x 2＋λx )|10＝1＋λ＝2，所以λ＝1.【答案】B8.定积分ʃ2－2|x 2－2x |d x 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 【解析】ʃ2－2|x 2－2x |d x ＝ʃ0－2(x 2－2x )d x ＋ʃ20(2x －x 2)d x ＝(x 33－x 2)|0－2＋(x 2－x 33)|20＝83＋4＋4－83＝8. 【答案】D9.定积分ʃ309－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π【解析】由定积分的几何意义知ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故ʃ309－x 2d x ＝π·324＝94π，故选C. 【答案】C10.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2【解析】 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离S ＝ʃ40(7－3t ＋251＋t)d t ＝[7t －32t 2＋25ln(1＋t )]|40＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5. 【答案】 C 11.若π20(sin cos )d 2x a x x ⎰－＝，则实数a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－ 3 D. 3 【解析】 ππ220(sin cos )d (cos sin )|⎰－＝－－x a x x x a x ＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2，∴a ＝－1.【答案】A12.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则()dx x f ⎰20等于( ) A.34 B.45 C.56 D.67【解析】()dx x f ⎰20＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x ＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21＝13＋(4－12×4)－(2－12)＝56. 【答案】C13.一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动， 则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 J C.433J D ．2 3 J 【解析】()()dx x dx x F 2212152330cos -=⎰⎰ο＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=233153x x ｜21＝433，∴F (x )做的功为433 J. 【答案】C 14.若4222π=--⎰-dx x x m，则m ＝________. 【解析】根据定积分的几何意义ʃm －2－x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y ＝0围成的图形的面积，又ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m ＝－1. 【解析】－1。
2020年高考课标版高考理科数学 3.3 定积分与微积分基本定理
x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上
积分值的相反数.
3.定积分的性质
(1) bakf(x)dx=k ba f(x)dx; (2) ba [f1(x)±f2(x)]dx= ba f1(x)dx± ba f2(x)dx; (3) baf(x)dx= ca f(x)dx+ bc f(x)dx(其中a<c<b).
的面积是
.
解题导引
解析
由
y
x3
3x,
得交点的坐标分别为(0,0),(2,2),(-2,-2),作出草图如图.
y x
2
可知曲线y=x3-3x和直线y=x围成图形的面积S=2 0[x
(x3
2
3x)]dx=2 0 (4x-
x3)dx=2
2x2
1 4
x4
解析 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故对x积分时,积分上限是1, 下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形
的面积S= 10 (x-x2)dx 同理可知对y积分时,S= 10 ( y -y)dy .
答案 B
方法技巧
方法 利用定积分求图形面积的方法
1,∴a,b,c的大小关系是c<b<a,故选D.
答案 D
考向二 定积分的几何意义
例2 (2018安徽淮南一模,4)求曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的
面积S,正确的是 ( )
A.S= 10 (x2-x)dx C.S= 10 (y2-y)dy
高考定积分知识点总结
高考定积分知识点总结定积分是高等数学中的重要内容之一，也是高考数学考试中常见的题型。
本文将对高考中常见的定积分知识点进行总结和归纳，以帮助同学们更好地准备考试。
一、定积分的基本概念定积分是对一个区间上的函数进行求和的过程。
区间可以是有限区间，也可以是无限区间。
定积分的计算可以看作是曲线下的面积，也可以理解为函数的反导数。
二、定积分的性质定积分具有一些重要的性质，包括线性性质、区间可加性、保号性等。
这些性质在定积分的计算和性质分析中起到了重要作用。
三、定积分的计算方法在高考中，求定积分通常通过几种基本的计算方法来完成，包括换元法、分部积分法、定积分的性质等。
不同的计算方法适用于不同的函数和题目类型，需要根据具体情况选择合适的方法。
四、定积分的应用定积分在数学中有广泛的应用。
在高考中，常见的应用包括计算面积、求曲线的弧长、求平均值等。
理解和掌握这些应用可以帮助我们更好地解决与定积分相关的题目。
五、典型题目解析以下是一些高考中常见的定积分题目及其解析，供同学们参考和练习：例题一：计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx解析：根据定积分的计算公式，我们有∫(0 to 1) x^2 dx = [x^3/3] (0 to 1) = 1/3例题二：计算不定积分∫(2 to 5) (2x+1) dx解析：根据定积分的计算公式，我们有∫(2 to 5) (2x+1) dx = [x^2+x] (2 to 5) = (5^2+5) - (2^2+2) = 24例题三：求函数f(x)=2x在区间[0，3]上的平均值。
解析：函数的平均值可以通过定积分来计算，平均值=1/(b-a) * ∫(a to b) f(x) dx = 1/(3-0) * ∫(0 to 3) 2x d x = 1/3 * [x^2] (0 to 3) = 1/3 * (3^2-0^2) = 3通过以上例题解析，我们可以看到定积分的计算方法和应用的具体过程，希望同学们通过练习更加熟练掌握这些知识点。
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第25炼 定积分一、基础知识1、相关术语：对于定积分()baf x dx ⎰（1）,:a b 称为积分上下限，其中a b ≥ （2）()f x ：称为被积函数（3）dx ：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例如：()2bax tx dx +⎰中的被积函数为()2f x x tx =+，而()2bax tx dt +⎰的被积函数为()2f t xt x =+2、定积分()baf x dx ⎰的几何意义：表示函数()f x 与x 轴，,x a x b ==围成的面积（x 轴上方部分为正，x 轴下方部分为负）和，所以只有当()f x 图像在[],a b 完全位于x 轴上方时，()baf x dx ⎰才表示面积。
()baf x dx ⎰可表示数()f x 与x 轴，,x a x b ==围成的面积的总和，但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解 3、定积分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有2种：（1）微积分基本定理：如果()f x 是区间[],a b 上的连续函数，并且()()'F x f x =，那么()()()()|bb aaf x dx F x F b F a ==-⎰使用微积分基本定理，关键是能够找到以()f x 为导函数的原函数()F x 。
所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心：()f x C = ()'0f x = ()f x x α= ()'1f x x αα-=()sin f x x = ()'c o s f x x = ()cos f x x = ()'s i n f x x =- ()x f x a = ()'ln x f x a a = ()x f x e = ()'xf x e= ()log a f x x = ()'1ln f x x a =()ln f x x = ()'1f x x= ① 寻找原函数通常可以“先猜再调”，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数，例如：()3f x x =，则判断属于幂函数类型，原函数应含4x ，但()'434xx=，而()3f x x =，所以原函数为()414F x x C =+（C 为常数） ② 如果只是求原函数，则要在表达式后面加上常数C ，例如()2fx x =，则()2F x x C=+，但在使用微积分基本定理时，会发现()()F b F a -计算时会消去C ，所以求定积分时，()F x 不需加上常数。
（2）利用定积分的几何含义：若被积函数找不到原函数，但定积分所对应的曲边梯形面积易于求解，则可通过求曲边梯形的面积求定积分。
但要注意曲边梯形若位于x 轴的下方，则面积与所求定积分互为相反数。
4、定积分的运算性质：假设()(),bbaaf x dxg x dx ⎰⎰存在（1）()()bbaakf x dx k f x dx =⎰⎰作用：求定积分时可将()f x 的系数放在定积分外面，不参与定积分的求解，从而简化()f x 的复杂程度 （2）()()()()bb baa a f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰作用：可将被积函数拆成一个个初等函数的和，从而便于寻找原函数并求出定积分，例如()222222111111x x dx x dx xdx dx ++=++⎰⎰⎰⎰（3）()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰，其中a c b <<作用：当被积函数含绝对值，或者是分段函数时，可利用此公式将所求定积分按区间进行拆分，分别求解。
5、若()f x 具备奇偶性，且积分限关于原点对称，则可利用奇偶性简化定积分的计算 （1）若()f x 为奇函数，则()()00aa f x dx a -=>⎰（2）若()f x 为偶函数，则()()()00aaaf x dx f x dx a -=>⎰⎰6、利用定积分求曲面梯形面积的步骤： （1）通过作图确定所求面积的区域（2）确定围成区域中上，下曲线对应的函数()(),f x g x （3）若[],x a b ∈时，始终有()()f x g x ≥，则该处面积为()()baf xg x dx -⎡⎤⎣⎦⎰7、有的曲面梯形面积需用多个定积分的和进行表示。
需分段通常有两种情况（1）构成曲面梯形的函数发生变化（2）构成曲面梯形的函数上下位置发生变化，若要面积与定积分的值一致，则被积函数要写成“上方曲线的函数-下方曲线函数”的形式。
所以即使构成曲面梯形的函数不变，但上下位置发生过变化，则也需将两部分分开来写。
二、典型例题：例1：已知函数()()21,101x x f x x ⎧+-≤≤⎪=<≤，则()11f x dx -=⎰（ ）A. 3812π-B. 3412π+C. 44π+ D. 3412π-思路：()f x 在[](]1,0,0,1-的解析式不同，所以求定积分时要“依不同而分段”：()()10121101f x dx x dx --=++⎰⎰⎰，而()()022011111133x dx x --+=+=⎰，对于0x ⎰无法找到原函数，从而考虑其几何意义：()2210y x y y =⇒+=>，⎰为单位圆面积的14，即04π=⎰，所以()111433412f x dx ππ-+=+=⎰答案：B小炼有话说：（1）若被积函数在不同区间解析式不同时，则要考虑将定积分按不同区间进行拆分（2运用面积求得定积分，但是要注意判定与定积分符号是否与面积相同例2：4cos2cos sin xdx x xπ=+⎰（ ）A.)21- B.1C. 1D. 2-思路：被积函数无法直接找到原函数，但是可以进行化简。
()22cos2cos sin =cos sin cos sin cos sin x x xf x x x x x x x-==-++，所以：()()440cos sin sin cos |1x x dx x x ππ-=+=⎰答案：C例3：设()2xf x =，则()44f x dx -=⎰________思路：本题可以通过对x 的符号进行分类讨论，将()f x 写成分段函数，再将定积分拆分为两段分别求解，但若观察到()f x 为偶函数，则可利用对称性得：()44440230222ln 2ln 2xxf x dx dx -==⋅=⎰⎰ 答案：30ln 2例4：已知()22316xk dx +=⎰，则k =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 思路：先按部就班求解定积分，再解出关于k 的方程即可： 解：()()22320382xk dx x kx k +=+=+⎰8216k ∴+=解得4k =答案：D例5：由曲线2x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数）和2y x =+围成的封闭图形的面积等于___________ 思路：所给曲线为参数方程，考虑化为普通方程为2y x =，作出两个曲线图像，可得两个交点的横坐标为1,2x x =-=，结合图象可得：()222321-111922|232S x x dx x x x -⎛⎫=+-=+-= ⎪⎝⎭⎰ 答案：92例6：设()[](]2,0,11,1,x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩（其中e 为自然对数的底数），则()y f x =的图像与0,x x e ==以及x 轴所围成的图形的面积为___________思路：作出图像可得()f x 恒在x 轴的上方，则面积可用定积分表示，但由于两个区间的函数不同，所以要拆成两个定积分：123101011114ln 1333eeS x dx dx x x x =+=+=+=⎰⎰答案：43例7：曲线2y x=与直线1,4y x x =-=所围成的封闭图形的面积为（ ） A. 2ln2 B. 2ln2- C. 4ln2- D. 42ln2- 思路：作出图像观察可得：所围成的区域上方曲线为1y x =-，下方为2y x=，自变量的取值范围为,E F ，其中2:21y E x x y x ⎧=⎪⇒=⎨⎪=-⎩，()4,0F ，所以所求面积为424222112ln 42ln 22S x dx x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰答案：D例8：如图所示，正弦曲线sin y x =，余弦曲线cos y x =与两直线0,x x π==所围成的阴影部分的面积为（ ） A. 1 B.C. 2D.思路：观察到两部分阴影区域，函数的上下位置不同，所以考虑面积用两段定积分表示，在[]0,π中，sin y x =与cos y x =的交点横坐标为4x π=，所以0,4π⎛⎫⎪⎝⎭时，余弦函数位于上方，()410cos sin S x x dx π=-⎰，在,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭处，正弦函数位于上方，()24sin cos S x x dx ππ=-⎰ 所以()()41204cos sin sin cos S S S x x dx x x dx πππ=+=-+-=⎰⎰答案：D小炼有话说：（1）在求曲线围成的面积时，可遵循被积函数始终“上-下”的原则，如果函数发生变化或上下位置改变时，则可以将面积分割为若干段，分别求定积分即可（2）本题还可以采用“填补法”，观察到左边较小阴影部分与x π=右侧部分中心对称，所以面积相同，从而可将较小阴影部分填补至x π=右侧。
新的阴影部分始终sin y x =位于上方，可求得阴影部分位于5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以()544sin cos S x x dx ππ=-=⎰ 例9：已知a b <，若函数()(),f x g x 满足()()bbaaf x dxg x dx =⎰⎰，则称()(),f x g x 为区间[],a b 上的一组“等积分”函数，给出四组函数：① ()()2,1f x x g x x ==+ ② ()()sin ,cos f x x g x x ==③ ()()234f xg x x π==④ 函数()(),f x g x 分别是定义在[]1,1-上的奇函数且积分值存在 其中为区间[]1,1-上的“等积分”函数的组数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4思路：按照“等积分”的定义，只需计算出两个函数在[]1,1-处的积分，再判断是否相等即可。
解：①()111210110124422f x dx x dx xdx x --===⋅=⎰⎰⎰()()11211111122g x dx x dx x x ---⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰()()1111f x dxg x dx --∴=⎰⎰ 所以①为“等积分”② ()f x 为奇函数，()g x 为偶函数()110f x dx -∴=⎰()1111011c o s 2c o s 2s i n 2s i n 1g x d x x d x x d x x --====⎰⎰⎰③ 由几何含义可得：()11112f x dx π--==⎰⎰()11231111311442g x dx x dx x πππ---===⎰⎰ ()()1111f x dxg x dx --∴=⎰⎰所以③为一组“等积分”函数 ④ 因为()(),f x g x 为奇函数，所以()()11110f x dx g x dx --∴==⎰⎰④为一组“等积分”函数综上所述，①③④为“等积分”函数 答案：C例10：已知函数()1x f x e =-，直线12:1,:1tl x l y e ==-（t 为常数，且01t ≤≤），直线12,l l 与函数()f x 的图像围成的封闭图形如图中阴影所示，当t 变化时阴影部分的面积的最小值为___________ 思路：可解得()f x 与直线2l 的交点为(),1t t e -，从而用t 可表示出阴影部分面积：()()()11201111tt x x tt S S S e e dx e e dx ⎡⎤⎡⎤=+=---+---⎣⎦⎣⎦⎰⎰，化简后可得：()231t t S t te e e =-++，再通过导数分析()S t 单调性即可求出()S t 的最小值 解：()f x 与2l 的交点为：()111t x t f x e e e =-⇒-=-，解得：x t =所以阴影面积()()()11201111tt x x tt S S S e e dx e e dx ⎡⎤⎡⎤=+=---+---⎣⎦⎣⎦⎰⎰()()1ttxx t tee dx e e dx =-+-⎰⎰()()10231t xtx t t tt e x e e e x te e e =-+-=-++设()231ttS t te e e =-++，则()()'221tttS t te e e t =-=-()S t ∴在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递增())2min1112S t S e ⎛⎫∴==-+= ⎪⎝⎭答案：)21-小炼有话说：（1）本题是定积分与导数综合的一道题目，在处理时要理解定积分和导数所起到的作用：定积分用于处理面积，而需要求最值时，非常规函数可用导数解出单调性，从而求最小值。