高三数学总复习综合专题数列求和(学生版)

数列求和
概述：先分析数列通项的结构特征，再利用数列通项揭示的规律来求数列的前n 项和，即求和抓通项。

1、直接（或转化）由等差数列、等比数列的求和公式求和
思路：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

①等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=； ②等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q
q a q na S n n n ；
③)1(211+==∑=n n k S n
k n ； ④)12)(1(6112++==∑=n n n k S n
k n ； ⑤21
3)]1(21[+==∑=n n k S n
k n 。

2、逆序相加法
思路：把数列正着写和倒着写再相加。

（即等差数列求和公式的推导过程的推广） 例1：设函数2
22)(+=x x x f 的图象上有两点),(),,(211121y x P y x P ，若)(2121OP OP OP +=，且点P 的横坐标为2
1。

（1）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
（2）若;
求,),()3()2()1(*n n S N n n n f n f n f n f S ∈+⋯+++=
3、错位相减法
思路：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则求{}n n b a 的前n 项和n S 可用错位相减法。

例2：在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。

4、裂项相消法 思路：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。

一般地，数列{}n a 为等差数列，且公差不为
0，首项也不为0，∑∑∑=++==+-⋅=-=n i i i i i n i n i i i a a d a a d a a 111111)11(1)11(11。

常见的通项分解（裂项）如下：
①)11(1)(1k
n n k k n n a n +-⋅=+=，（当1≠k 时，通项裂项后求和是隔项相消的，注意观察剩余项） 1
11)1(1+-=+=n n n n a n ；（通项裂项后求和是逐项相消的，剩余的是所裂项的首项和末项） ②)1
21121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n ； ③])
2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++=n n n n n n n a n 等。

例3：求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11
,,321
,211
n n 的前n 项和。

补充练习：已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点，其导函数为26)('-=x x f ，数列{}n a 的前n 项
和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图象上。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整 数m 。

5、并项求和法
思路：将摆动数列相邻两项（或若干项）合并成一项（或一组得到一个新数列，再利用直接法求这个
新数列的和。

一般来说，摆动数列求和的基本模型是i n
i i a ∑=-1
)1(。

当这个摆动数列是正负或负正相间时，要对n 为奇数或偶数进行分类讨论；当这个摆动数列是正正负负或负负正正或正负正负或负正负正相间时，要对*
,34,24,14,4N k k n k n k n k n ∈-=-=-==顺次进行分类讨论。

注：一个数列，若从第2项起，有些项大于其前一项，有些项小于其前一项，这样的数列叫摆动数列。

例4：求212222)1(...4321n S n n ⋅-++-+-=-。

例5：在数列{}n a 与{}n b 中，11a =，14b =，数列{}n a 的前n 项和n S 满足1(3)0n n nS n S +-+=，且12n a +为n b 与1n b +的等比中项，*N n ∈。

（1）求2a ，2b 的值；
（2）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；
（3）设1212(1)(1)(1)n a
a a n n T
b b b n =-+-++-∈*N …，，*N n ∈，证明223n T n n <，≥，3≥n 。

6、分组求和法
思路：将既非等差，也非等比的数列适当拆分为几个等差、等比或常见数列，然后分别求和，再将其合并。

例6：数列{}n a 的前n 项和12-=n n a S ，数列}{n b 满)(,311*+∈+==N n b a b b n n n 。

（1）证明数列{}n a 为等比数列；
（2）求数列}{n b 的前n 项和n T 。

综合习题：
1、计算
（1）2)(1(61)(212)1()...321(1
1211++=+=+=++++∑∑∑∑====n n n i i i i i n i n i n
i n i ； （2）12)111(2)111(2)1(2...3211111+=+-=+-=+=++++∑∑∑===n n n i i i i i n i n i n i 。

2、求)23...1212(...)765()53(1-++++-+++++++=n n n S 。

3、求
1
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++。

4、已知数列{}n a 满足∑∞=+-+++=1
1))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值。