教案第3章第7节

N-1 n =0 N −1 n =0
Ω0 = 2π F0
− jk Ω0 nT 2π nk N
X ( jk Ω0 ) ≈ T ∑ x ( nT )e = T ∑ x ( n )e
Ω = k Ω0
−j
Ω0T = 2π F0 / f s = 2π / N
= T ⋅ DFT [ x ( n )] 1 Ωs jΩnT d Ω → Ω0 x ( nT ) = X ( jΩ ) e d Ω 2π ∫0 N −1 ∞ 1 N −1 jk Ω0nT ∫−∞ d Ω → ∑ Ω0 ≈ ∑ X ( jk Ω0 )e ⋅ Ω0 k =0 2π k =0 2π j nk 1 1 N −1 ⋅ N ⋅ = f s ∑ X ( jk Ω0 )e N N N k =0 = 1/ T ⋅ IDFT [ X ( jk Ω0 )]
∞
−∞
dt →
∞
n =−∞
∑T
− jΩnT
∞
X ( jΩ ) = ∫ x ( t ) e
dt ≈
n =−∞
∑ x(nT )e
⋅T
2）将 x ( n ) 截短成有限长序列 t = 0 ~ T0，N 个时域抽样点
X ( jΩ) ≈ T ∑ x ( nT )e − jΩnT
n =0
N-1
3）频域抽样：一个周期分N段，采样间隔 F0 ，时域周期延拓， 周期为 T0 = 1/ F0
x ( n )为周期序列，周期N = 14
∴抽样点数至少为14点
或者因为频率分量分别为500、 、 600 700Hz
得 F0 = 100Hz
N = f s / F0 = 1400 /100 = 14 ∴ 最小记录点数N = 14
ω = ΩT = 2π f / f s ω = 2π k / N
f = fs * k / N
七 、用DFT对模拟信号作频谱分析
信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换
T − 时域采样间隔 f s − 时域采样频率 T0 − 信号记录长度 F0 − （频率分辨率）频域采样间隔 N − 采样点数 f h − 信号最高频率
fs ≥ 2 fh f s = 1/ T T0 = 1/ F0
f s = NF0 T0 = NT
频谱泄漏
对时域截短，使频谱变宽拖尾，称为泄漏
改善方法：
1）增加x(n)长度
2）缓慢截短
栅栏效应
DFT只计算离散点（基频F0的整数倍处）的频谱， 而不是连续函数
改善方法： 增加频域抽样点数N（时域补零），使谱线更密
频率分辨率
F0 = 1/ T0
提高频率分辨率方法： 增加信号实际记录长度 补零并不能提高频率分辨率
2）频域截断：长度正好等于一个周期
x ( nT ) ≈ ∑ X ( jk Ω0 )e
k =0
N −1
jk Ω0 nT
2π nk N
= ∑ X ( jk Ω0 )e
k =0
N −1
j
2π nk N
1 =N⋅ N
∑ X ( jk Ω )e
k =0 0
N −1
j
= N ⋅ IDFS [ X ( jk Ω0 )]
近似逼近： X ( jk Ω0 ) ≈ 1 ⋅ DFS [ x ( n )]
N
x ( n ) ≈ N ⋅ IDFS [ X ( jk Ω0 )]
频率响应的混叠失真及参数的选择
时域抽样：f s ≥ 2 f h 频域抽样：F0 = 1/ T0
T0 f s N= = T F0
信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾
解： 1）最小记录长度：
1 1 T0 ≥ = = 0.1s F0 10
2）最大抽样间隔 （f s > 2 f h
f s = 1/ T）
1 1 T< = = 0. ms 125 3 2 f h 2 × 4 × 10 3）最小记录点数
2 f h 2 × 4 × 103 = = 800 N> 10 F0
取N = 2 m = 210 = 1024 > 800
1-14 有一调幅信号
xa ( t ) = 1 + cos ( 2π × 100t ) cos ( 2π × 600t )
用DFT做频谱分析，要求能分辨 xa ( t ) 的 所有频率分量，问 (1)抽样频率应为多少赫兹（Hz）? (2)抽样时间间隔应为多少秒（Sec）? (3)抽样点数应为多少点？ (4)若用 f s = 3kHz 频率抽样，抽样数据为512 点，做频谱分析，求 X ( k ) = DFT [ x ( n )] ， 512点，并粗略画出 X ( k ) 的幅频特 性 X ( k ) ，标出主要点的坐标值。
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
对连续时间非周期信号的DFT逼近过程 1）时域抽样 2）时域截断 3）频域抽样
近似逼近： X ( jk Ω0 ) ≈ T ⋅ DFT [ x(n)]
dt → T
N −1
∫
T0
0
dt → ∑ T
n =0 − jk Ω0 nT
N −1
1 X ( jk Ω0 ) ≈ ∑ x ( nT )e T0 n =0 2π N −1 − j nk 1 = ∑ x ( n )e N N n =0 1 = ⋅ DFS [ x ( n )] N
⋅T
Ω0T = 2π / N T0 = NT
解：
xa ( t ) = 1 + cos ( 2π × 100t ) cos ( 2π × 600t )
= cos ( 2π × 600t ) 1 1 + cos ( 2π × 700t ) + cos ( 2π × 500t ) 2 2
（1）抽样频率应为
f s ≥ 2 × 700 = 1400 Hz
T0 f s N= = T F0
对连续时间非周期信)e − jΩt dt
−∞ ∞ ∞
1 x (t ) = 2π
∫
−∞
X ( j Ω ) e jΩ t d Ω
1）将 x (t ) 在 t 轴上等间隔（T）分段
t → nT
dt → T
∞ −∞
∫
− j Ωt
t0 = Th / 2
1 1 fh = = Th 2t0
例：有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数 必须是2的整数幂，假设没有采用任何的数据处理 措施，已给条件为：
1）频率分辨率 ≤ 10 Hz 2）信号最高频率 ≤ 4kHz
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x”，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
（2）抽样时间间隔应为
1 1 = 0.00072 Sec = 0.72ms T≤ = f s 1400
（3）x ( n ) = xa (t )
t = nT
6 1 7 1 5 = cos 2π × n + cos 2π × n + cos 2π × n 14 2 14 2 14
T0 f s N= = T F0
要增加信号最高频率f h ↑ 则f s ↑
当N 给定 F0必 ↑ ，即分辨率 ↓
1 要提高频率分辨率，即F0 ↓ 则T0 = ↑ F0 当N 给定 则T ↑ f s ↓ 要不产生混叠，f h必 ↓
同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采 样点数N。
信号最高频率f h的确定
1 x(n) ≈ IDFT [ X ( jk Ω0 )] T
对连续时间周期信号的DFS逼近
1 X ( jk Ω0 ) = T0
x (t ) =
k =−∞
∫
T0
0
x (t )e
− jk Ω0t
dt
∑
∞
X ( jk Ω0 ) e jk Ω0t
1）将 x (t ) 在 t 轴上等间隔（T）分段
t → nT