4弯曲内力
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《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力
x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在
4弯曲内力
a A x
m m F
b B
解： 1、根据平衡条件求支座反力
Fb FAy , L
Fa FBy L
L
m
FAy
A o x
FBy
2、截取m-m截面左段。 剪力 FS——与截面相切的内力 弯矩M —— 截面内的约束力偶
M
m
FAy
FS
m
求解
M
A
o
FAy
x
m
FS
Fb 由 Fy 0, 得到： FS FAy L Fb 由 MO 0, 得到： M FAy x x L
x
DB段
取x截面，右段受力如图。
Q ( x ) q ( 2 .4 x ) RB 19 10 x (1.2 x 2.4 m) 1 2 M ( x ) R A ( 2 . 4 x ) q ( 2 .4 x ) 2 2 (1.2 x 2.4 m) 12 5 x 5( 2 .4 x )
M ( x) dM
F
y
0
FS ( x) q( x)dx [ FS ( x) dFS ] 0
dFS ( x) q( x) dx
由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相
应点处的载荷集度q。
M ( x)
FS ( x)
FS ( x) dFS
C
M ( x) dM
M
1 2 qa 8
注意：必须标明控制
截面上的内力值
(+)
qa 2
M 图
例4-3悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程， 作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的 在截面位置。 解： 取参考坐标系Axy。
m m F
b B
解： 1、根据平衡条件求支座反力
Fb FAy , L
Fa FBy L
L
m
FAy
A o x
FBy
2、截取m-m截面左段。 剪力 FS——与截面相切的内力 弯矩M —— 截面内的约束力偶
M
m
FAy
FS
m
求解
M
A
o
FAy
x
m
FS
Fb 由 Fy 0, 得到： FS FAy L Fb 由 MO 0, 得到： M FAy x x L
x
DB段
取x截面，右段受力如图。
Q ( x ) q ( 2 .4 x ) RB 19 10 x (1.2 x 2.4 m) 1 2 M ( x ) R A ( 2 . 4 x ) q ( 2 .4 x ) 2 2 (1.2 x 2.4 m) 12 5 x 5( 2 .4 x )
M ( x) dM
F
y
0
FS ( x) q( x)dx [ FS ( x) dFS ] 0
dFS ( x) q( x) dx
由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相
应点处的载荷集度q。
M ( x)
FS ( x)
FS ( x) dFS
C
M ( x) dM
M
1 2 qa 8
注意：必须标明控制
截面上的内力值
(+)
qa 2
M 图
例4-3悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程， 作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的 在截面位置。 解： 取参考坐标系Axy。
《材料力学》第四章 弯曲内力
ql FS = R A－qx＝ －qx 2 x qlx qx 2 M = R A x－qx ⋅ ＝ － 2 2 2
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
04弯曲内力
例4-6
a
M
图示简支梁C点受集中力偶作用。
b
A
FAy
x1
M /l
C
l
x2
试写出剪力和弯矩方程，并画 B 出剪力图和弯矩图。 解：1．确定约束力
FBy
FAy＝M / l FBy＝ -M / l
Mb / l
2．写出剪力和弯矩方程
AC
Ma / l
第四章 弯曲内力
CB
0 x1 a M x1 ＝Mx1 / l 0 x1 a FS x2 ＝M / l 0 x2 b M x2 ＝ Mx2 / l 0 x2 b
第四章 弯曲内力
材料力学 第四章 弯曲内力
梁的弯曲是材料力学部分最重要的 内容 弯曲变形是工程构件最常见的基本 变形
第四章
弯曲内力
§4-1
起重机大梁
概 述
第四章
弯曲内力
车削工件
第四章
弯曲内力
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
第四章
弯曲内力
第四章
弯曲内力
二、基本概念
1.弯曲变形(Deflection) （1） 受力特征 外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线. （2） 变形特征 变形前为直线的轴线,变形后成为曲线. 2.梁 (Beam)
第四章
弯曲内力
平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
第四章 弯曲内力
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model) （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
集中力(concentrated force)
4-弯曲内力解析
B
B
P
a a
P
a
B
a
A
P 2
A l
B
R
A
R
B
P 2
b R P l
A
a R P l
B
A l
B
m2
A
l
a B
P
R
A
m l
R
B
m l
a R P l
A
R PR
B
A
第二节 梁的剪力和弯矩
一、截面法过程：截取、替代、平衡 F a
A B
弯曲内力
x
C
M
FS
F
F M
FB
y
B
计算简图
约束反力
FA A MA
q0
MR FRx
FRy
固定铰支座和可动铰支座
固定铰 支座 可动铰 支座
计算简图 约束反力
FRy FR
FRx
3.作用在梁上的荷载可分为:
F1 M
弯曲内力
(a)集中荷载
集中力
q(x)
集中力偶
q
(b)分布荷载
任意分布荷载 均布荷载
4.静定梁—仅用静力平衡方程即可求得反力的梁。(判断方法略) (a)悬臂梁 (b)简支梁
C
1m
D
K
3m
Me=5kN· m B
1m
MA 50kN A E FAx FAy
0.5m
FCy' C FCx' D
3
M
q =20kN/m
C
0
Me=5kN· m
C FCx
M
C
0 20 10 3 2.5 5 10 FBy 5 0 FBy 29kN
第4章 弯曲内力
§4.3 剪力、弯矩方程及剪力图和弯矩图
一、剪力方程和弯矩方程
在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截
面的位置而变化。
M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A
E
C
F
B
D
1m 1m
2m
1m 1m
因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即
FQ FQ (x), M M (x)
称为剪力方程和弯矩方程
x
AB段:
a
B a
Cx
FQ (x) 0 (0 x a)M (x) m a (0 x a)BC段:
m=Pa P
FQ (x) P (a x 2a) M (x) m P(x a)
A
xB a
a
2Pa Px (a x 2a)
2、作梁的剪力图和弯矩图
3、求
FQ
和M
max
max
第四章 弯曲内力
目录
§4-1 平面弯曲的概念和梁的计算简图
§4.1.1 平面 弯曲的概念
起重机大梁
q
P
A
B
工程实际中的弯曲问题
P
P
P
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
受力特点：在构件的纵向对称平面内，受 到垂直于梁的轴线的力或力偶作用，使构 件的轴线在此平面内弯曲为曲线，这样的 弯曲称为平面弯曲。
内力偶M是与横截面垂直的内力系的合
力偶矩，有使梁产生弯曲的趋势，故称 力偶矩M弯矩。
4.2.3 剪力与弯矩正负号规定
同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。
剪力Q ：截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为 顺时针转向时，剪力为正；反之为负。 概括 为“左段下右段上，剪力为正”。
第四章 弯曲内力
（3）画剪力图和弯矩图
(a x l )
Pb l
M max Pab l
x
FS max
例5
画出图示梁的FS图和M图。
y
A
RA
（1）先求出约束反力： 解：
a
x
C x
M
b
（2）剪力方程和弯矩方程：
M RA l
M RB l
B
x
l
RB
M l Ma l
AC段： FS M FS1 ( x) RA (0 x a ) l Mx M 1 ( x) R A x (0 x a ) l CB段： M (a x l ) M FS 2 ( x) RA l M M 2 ( x) R A x M xM l (a x l )
0 x3
x
M ( x) P(4 x) 3(4 x) 3 x 4
（3）作剪力和弯矩图；
x
3kN m
dM ( x) 2 2x 0 dx
当 x 1m 时
M | x1m 1kN m
—— 极值点
§4. 5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
图示简支梁，建立如图坐标系。 约定： 分布力q向上为正，向下为负。
M | x 0 0
—— 斜直线 1 2 M | x l ql 2 —— 二次抛物线
x
ql 2 2
FS
max
ql
M
max
ql 2 2
例4
画出图示梁的FS图和M图。
y
（1）先求出约束反力： 解：
a
A
P
C x l
Pb l Pa l
Pab l
材料力学4弯曲内力
平面曲线仍与外力共面。
目录
§4-2 受弯杆件的简化
计算简图：
分析梁的内力、变形都在计算简图上进行。梁的简化包括：
1、构件几何形状的简化 将梁简化为杆，用轴线表示。
2、支座的简化 活动铰支座
固定铰支座
固定端
3、载荷的简化
集中载荷 分布载荷（常见的为均布载荷） 集中力偶
目录
工程实例——受弯构件的力学简图
P
( a< x2 < l )
ab l 2
1 Mmax 4 Pl
观察：集中力作用点、无载荷
M
( x2
)
FB
(l
x2 )
a l
P(l
x2 )
3)作Fs、M 图
( a ≤x2≤ l )
作用的梁段剪力图、弯矩图的形态
Fs
max
a l
1 qa 2
M1
—
右侧
qa
a 2
＋FB0
Fs2 左侧
＋FA
—
qa ＋ FB
qa
Fs2 qa
M2 — qa a 1 qa2
右侧
右侧
22
Fs P横向外力 左上、右下，外力为正
一侧
力的集大中小力；作弯用矩点相的等左。、右所邻以M截，O＝面不为一上截考侧面的m虑的剪O集形(力中P心不力) 相作左等用外顺，力点右(相逆的偶差(剪上) 矩集凹力为弯中。正曲)
车削工件
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
火车轮轴
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
目录
常见受弯构件的横截 面都有竖直对称轴 y
纵向对称面：
轴线x 和竖直对称 轴y 所确定的平面。
目录
§4-2 受弯杆件的简化
计算简图：
分析梁的内力、变形都在计算简图上进行。梁的简化包括：
1、构件几何形状的简化 将梁简化为杆，用轴线表示。
2、支座的简化 活动铰支座
固定铰支座
固定端
3、载荷的简化
集中载荷 分布载荷（常见的为均布载荷） 集中力偶
目录
工程实例——受弯构件的力学简图
P
( a< x2 < l )
ab l 2
1 Mmax 4 Pl
观察：集中力作用点、无载荷
M
( x2
)
FB
(l
x2 )
a l
P(l
x2 )
3)作Fs、M 图
( a ≤x2≤ l )
作用的梁段剪力图、弯矩图的形态
Fs
max
a l
1 qa 2
M1
—
右侧
qa
a 2
＋FB0
Fs2 左侧
＋FA
—
qa ＋ FB
qa
Fs2 qa
M2 — qa a 1 qa2
右侧
右侧
22
Fs P横向外力 左上、右下，外力为正
一侧
力的集大中小力；作弯用矩点相的等左。、右所邻以M截，O＝面不为一上截考侧面的m虑的剪O集形(力中P心不力) 相作左等用外顺，力点右(相逆的偶差(剪上) 矩集凹力为弯中。正曲)
车削工件
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
火车轮轴
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
目录
常见受弯构件的横截 面都有竖直对称轴 y
纵向对称面：
轴线x 和竖直对称 轴y 所确定的平面。
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x1
x2
x2
M( x )
M(x)+dM(x)
q(x)
M ( x2 ) M ( x1 ) FS ( x)dx
x1
第四章 弯曲内力
二、积分关系
对于[x1 , x2] 区间
FS ( x2 ) FS ( x1 ) q( x)dx
x1
x2
M ( x2 ) M ( x1 ) FS ( x)dx
q
第四章 弯曲内力
qa
FS2 qa / 3
FRB
C
2a
a
B2 M qa qax2 / 3 x2 2
FRA
FS
5qa/3
x
5a / 3
qa/3 x qa2
M
25qa2/18
4qa2/3
第四章 弯曲内力
总结FS、M 图的基本画法：
1、用静力学平衡方程求解出支座反力
2、研究FS、M 的分段情况
第四章 弯曲内力
第四章 弯曲内力
第四章 弯曲内力
§4. 1 弯曲的概念和实例
工程问题中，有很多杆件是承受弯曲变形的。
第四章 弯曲内力
第四章 弯曲内力
第四章 弯曲内力
受力特点：外力或外力偶矢量垂直于杆件的轴线 变形特点：轴线由直线变为曲线
以弯曲变形为主的杆件 —— 称为梁
第四章 弯曲内力
§4.2 受弯杆件的简化
一、支座的几种基本形式
① 固定铰支座
② 可动铰支座
第四章 弯曲内力 ③ 固定端
第四章 弯曲内力
二、静定梁的基本形式
悬臂梁
第四章 弯曲内力
简支梁
外伸梁
第四章 弯曲内力 ① 悬臂梁
② 简支梁
静 定 梁
③ 外伸梁
第四章 弯曲内力
§4.3 剪力和弯矩
y A
a
F1
F2 m
F3
FS (-)
使梁段逆时针转动的剪力为负
第四章 弯曲内力
# 弯矩
m m m
m
M
M
(+) 使梁段上表面“凹”下去 的弯矩为正
(-) 使梁段上表面“凸”上去 的弯矩为负
第四章 弯曲内力
例1 悬臂梁 AB, 求 1-1 和 2-2截面上的剪力和弯矩。
解： (1) 约束反力
F 0 M 0
y A
第四章 弯曲内力
(3) 2-2 截面
F
y
0,
FRA F FS2 0
FS2 FRA F 2 F
MA
A
Me1=Fa
1
1 a 2 2
2F
B
M
FRA
O
F
a
Me2=4Fa
0, M A FRA a M e1 M 2 0
M 2 FRAa M A M e1 2Fa
FRB
a
约束反力
M M
A
0 0
FRB 3a 2qa a qa 2 0 FRA 5qa / 3 ()
FRB qa / 3 ()
B
分段：
AC、CB两段 （均布载荷终点） M1 FRA x1 qx12 / 2 5qa / 3 x1 qx12 / 2
分段：
Me FS1 FRA l M
AC、CB两段 M1 FRA x1 e x1 l （集中力偶作用点）
Me FS2 FRB l Me M 2 FRB x2 x2 l
a
A
Me
第四章 弯曲内力 b
FRA FS
x1 l
C
B
x2
FRB
B
Me FS1 l Me FS2 l
FS1 FRA qx1 5qa / 3 qx1
第四章 弯曲内力 2
q
A
C
qa
x2
B
FRA
2a
a
FRB
FS2 FRB qa / 3
M 2 FRB x2 qa 2 qa 2 qax2 / 3
FS1 5qa / 3 qx1
A M1 5qa / 3 x1 qx12 / 2
(0 x l )
x
ql /2
l
FRB
FS (0) ql / 2 FS (l ) ql / 2
x ql /2
q
第四章 弯曲内力 B
x M ( x) FRA x qx 2 ql qx 2 x 2 2
(0 x l ) M (0) 0, M (l ) 0
MA Me1=Fa
M2 FS2 （设正法）
FRA
F
第四章 弯曲内力
计算指定截面的剪力和弯矩法则： 任一截面的剪力 FS = S[ 截面一侧横向力的代数值]
左上右下为正，反之为负
S[ 截面一侧外力对截面形心之矩的代数值]
左顺右逆为正，反之为负
任一截面的弯矩 M =
第四章 弯曲内力
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
dM ( x) FS ( x) dx
第四章 弯曲内力
一、微分关系
dFS ( x) q ( x) dx
dM ( x) FS ( x) dx
d 2 M ( x) q ( x) 2 dx
二、积分关系
y
O q=q(x) dx
dFS ( x) q ( x) dx
dM ( x) FS ( x) dx
x
(0 x1 a)
(0 x2 b)
(0 x1 a)
(0 x2 b)
M
abF/l
集中力作用处弯矩图发生折曲
第四章 弯曲内力
④:
A
a x1 l
Me C
b
B
x2
FRA
FRB
Me FRA l Me FRB l
(0 x1 a) (0 x1 a)
(0 x2 b) (0 x2 b)
20kN
C
40kN m
A
q 10kN/m
第四章 弯曲内力
B
FRA
1m 4m
FRB
解： 1、解支座反力
FR A 35kN ( ) FRB 25kN ( )
2、研究分段 两段CA、AB段
3、图形的形态和段端值计算
C+0
FS 20
CA段 平直线
斜直线
A-0 20
分段端点通常为：
# 集中力或集中力偶的作用处
# 分布载荷的起始和终点处
3、根据分段情况，选择任意截面，写该截面的FS、 M方程，（既可选用左侧的外力，也可选择右侧 的外力）
第四章 弯曲内力
总结FS、M 图的基本画法：
4、按写出的FS、M 方程，画FS、M 图 （ M 图画在构件受拉侧） 5、检查FS、M 图的正确性
B
x
FRA
x
a F1
m FRB
FS (x) M (x)
可知：梁的横截面上应有
FRA
竖向力 FS(x)
力偶 M(x)
剪力 弯矩
第四章 弯曲内力 计算指定截面的剪力和弯矩 a F1
FS (x) M (x)
O
研究左侧梁段的平衡
F
y
0
FRA F1 FS ( x) 0
FRA
x
如果研究右侧 梁段的平衡， 相信会给出同 样的结果！
(0 x1 a)
集中力偶作用处剪力图没有变化
(0 x2 b)
Me /l
Me x1 x M1 l
Meb /l
(0 x1 a)
Me M2 x2 x l
(0 x2 b)
集中力偶作用处弯矩图发生突变
M
Mea /l
第四章 弯曲内力
例2
A
q
qa 2
B
x1
2a
C
FRA
第四章 弯曲内力
d 2 M ( x) q ( x) 2 dx
对于[x1 , x2] 区间
x x
FS(x) C
x2
x1
dFS ( x) q( x)dx
x1
x2
x2
FS ( x2 ) FS ( x1 ) q( x)dx
x1
FS(x)+ dFS(x)
x2
x1
dM ( x) FS ( x)dx
4、在FS = 0 的截面处，M图有极值，极值的数值可用（无 集中力偶）一侧FS图的面积计算。
20kN
C
40kN m
A
q 10kN/m
第四章 弯曲内力
B
D
35kN
FS
1m
15kN
25kN
4m
2.5m
x
20kN
25kN 20kN· m
MD
M
20kN· m
31.25kN· m
x 1 25kN 2.5m 2 31.25kNm
FS FS ( x) M M ( x)
(剪力方程、弯矩方程）
表示剪力和弯矩沿梁轴变化规律的图形称为剪力图和 弯矩图。
学习剪力、弯矩图的画法
4个基本的剪力、弯矩图
第四章 弯曲内力 ①: F
m
任意截面m- m
FS ( x) F
B
(0 x l ) (0 x l )
A FS
（DB区间FS图面积）
第四章 弯曲内力
§4.6
直接画剪力、弯矩图
（清楚全梁的受力情况）
步骤： 1、计算支反力
2、研究FS 、M图的分段情况
x2
x2
M( x )
M(x)+dM(x)
q(x)
M ( x2 ) M ( x1 ) FS ( x)dx
x1
第四章 弯曲内力
二、积分关系
对于[x1 , x2] 区间
FS ( x2 ) FS ( x1 ) q( x)dx
x1
x2
M ( x2 ) M ( x1 ) FS ( x)dx
q
第四章 弯曲内力
qa
FS2 qa / 3
FRB
C
2a
a
B2 M qa qax2 / 3 x2 2
FRA
FS
5qa/3
x
5a / 3
qa/3 x qa2
M
25qa2/18
4qa2/3
第四章 弯曲内力
总结FS、M 图的基本画法：
1、用静力学平衡方程求解出支座反力
2、研究FS、M 的分段情况
第四章 弯曲内力
第四章 弯曲内力
第四章 弯曲内力
§4. 1 弯曲的概念和实例
工程问题中，有很多杆件是承受弯曲变形的。
第四章 弯曲内力
第四章 弯曲内力
第四章 弯曲内力
受力特点：外力或外力偶矢量垂直于杆件的轴线 变形特点：轴线由直线变为曲线
以弯曲变形为主的杆件 —— 称为梁
第四章 弯曲内力
§4.2 受弯杆件的简化
一、支座的几种基本形式
① 固定铰支座
② 可动铰支座
第四章 弯曲内力 ③ 固定端
第四章 弯曲内力
二、静定梁的基本形式
悬臂梁
第四章 弯曲内力
简支梁
外伸梁
第四章 弯曲内力 ① 悬臂梁
② 简支梁
静 定 梁
③ 外伸梁
第四章 弯曲内力
§4.3 剪力和弯矩
y A
a
F1
F2 m
F3
FS (-)
使梁段逆时针转动的剪力为负
第四章 弯曲内力
# 弯矩
m m m
m
M
M
(+) 使梁段上表面“凹”下去 的弯矩为正
(-) 使梁段上表面“凸”上去 的弯矩为负
第四章 弯曲内力
例1 悬臂梁 AB, 求 1-1 和 2-2截面上的剪力和弯矩。
解： (1) 约束反力
F 0 M 0
y A
第四章 弯曲内力
(3) 2-2 截面
F
y
0,
FRA F FS2 0
FS2 FRA F 2 F
MA
A
Me1=Fa
1
1 a 2 2
2F
B
M
FRA
O
F
a
Me2=4Fa
0, M A FRA a M e1 M 2 0
M 2 FRAa M A M e1 2Fa
FRB
a
约束反力
M M
A
0 0
FRB 3a 2qa a qa 2 0 FRA 5qa / 3 ()
FRB qa / 3 ()
B
分段：
AC、CB两段 （均布载荷终点） M1 FRA x1 qx12 / 2 5qa / 3 x1 qx12 / 2
分段：
Me FS1 FRA l M
AC、CB两段 M1 FRA x1 e x1 l （集中力偶作用点）
Me FS2 FRB l Me M 2 FRB x2 x2 l
a
A
Me
第四章 弯曲内力 b
FRA FS
x1 l
C
B
x2
FRB
B
Me FS1 l Me FS2 l
FS1 FRA qx1 5qa / 3 qx1
第四章 弯曲内力 2
q
A
C
qa
x2
B
FRA
2a
a
FRB
FS2 FRB qa / 3
M 2 FRB x2 qa 2 qa 2 qax2 / 3
FS1 5qa / 3 qx1
A M1 5qa / 3 x1 qx12 / 2
(0 x l )
x
ql /2
l
FRB
FS (0) ql / 2 FS (l ) ql / 2
x ql /2
q
第四章 弯曲内力 B
x M ( x) FRA x qx 2 ql qx 2 x 2 2
(0 x l ) M (0) 0, M (l ) 0
MA Me1=Fa
M2 FS2 （设正法）
FRA
F
第四章 弯曲内力
计算指定截面的剪力和弯矩法则： 任一截面的剪力 FS = S[ 截面一侧横向力的代数值]
左上右下为正，反之为负
S[ 截面一侧外力对截面形心之矩的代数值]
左顺右逆为正，反之为负
任一截面的弯矩 M =
第四章 弯曲内力
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
dM ( x) FS ( x) dx
第四章 弯曲内力
一、微分关系
dFS ( x) q ( x) dx
dM ( x) FS ( x) dx
d 2 M ( x) q ( x) 2 dx
二、积分关系
y
O q=q(x) dx
dFS ( x) q ( x) dx
dM ( x) FS ( x) dx
x
(0 x1 a)
(0 x2 b)
(0 x1 a)
(0 x2 b)
M
abF/l
集中力作用处弯矩图发生折曲
第四章 弯曲内力
④:
A
a x1 l
Me C
b
B
x2
FRA
FRB
Me FRA l Me FRB l
(0 x1 a) (0 x1 a)
(0 x2 b) (0 x2 b)
20kN
C
40kN m
A
q 10kN/m
第四章 弯曲内力
B
FRA
1m 4m
FRB
解： 1、解支座反力
FR A 35kN ( ) FRB 25kN ( )
2、研究分段 两段CA、AB段
3、图形的形态和段端值计算
C+0
FS 20
CA段 平直线
斜直线
A-0 20
分段端点通常为：
# 集中力或集中力偶的作用处
# 分布载荷的起始和终点处
3、根据分段情况，选择任意截面，写该截面的FS、 M方程，（既可选用左侧的外力，也可选择右侧 的外力）
第四章 弯曲内力
总结FS、M 图的基本画法：
4、按写出的FS、M 方程，画FS、M 图 （ M 图画在构件受拉侧） 5、检查FS、M 图的正确性
B
x
FRA
x
a F1
m FRB
FS (x) M (x)
可知：梁的横截面上应有
FRA
竖向力 FS(x)
力偶 M(x)
剪力 弯矩
第四章 弯曲内力 计算指定截面的剪力和弯矩 a F1
FS (x) M (x)
O
研究左侧梁段的平衡
F
y
0
FRA F1 FS ( x) 0
FRA
x
如果研究右侧 梁段的平衡， 相信会给出同 样的结果！
(0 x1 a)
集中力偶作用处剪力图没有变化
(0 x2 b)
Me /l
Me x1 x M1 l
Meb /l
(0 x1 a)
Me M2 x2 x l
(0 x2 b)
集中力偶作用处弯矩图发生突变
M
Mea /l
第四章 弯曲内力
例2
A
q
qa 2
B
x1
2a
C
FRA
第四章 弯曲内力
d 2 M ( x) q ( x) 2 dx
对于[x1 , x2] 区间
x x
FS(x) C
x2
x1
dFS ( x) q( x)dx
x1
x2
x2
FS ( x2 ) FS ( x1 ) q( x)dx
x1
FS(x)+ dFS(x)
x2
x1
dM ( x) FS ( x)dx
4、在FS = 0 的截面处，M图有极值，极值的数值可用（无 集中力偶）一侧FS图的面积计算。
20kN
C
40kN m
A
q 10kN/m
第四章 弯曲内力
B
D
35kN
FS
1m
15kN
25kN
4m
2.5m
x
20kN
25kN 20kN· m
MD
M
20kN· m
31.25kN· m
x 1 25kN 2.5m 2 31.25kNm
FS FS ( x) M M ( x)
(剪力方程、弯矩方程）
表示剪力和弯矩沿梁轴变化规律的图形称为剪力图和 弯矩图。
学习剪力、弯矩图的画法
4个基本的剪力、弯矩图
第四章 弯曲内力 ①: F
m
任意截面m- m
FS ( x) F
B
(0 x l ) (0 x l )
A FS
（DB区间FS图面积）
第四章 弯曲内力
§4.6
直接画剪力、弯矩图
（清楚全梁的受力情况）
步骤： 1、计算支反力
2、研究FS 、M图的分段情况