高中数学选修2-2北师大版课件：变化率及导数的概念
数学北师大版高中选修2-2变化率与导数、导数的计算
2．已知某运动物体的位移y(米)与其运动时间t(秒)的函 数关系为：y＝t3＋t. (1)设y＝f(t)，利用导数的定义求f′(t)．
(2)求该物体在t＝2秒时的瞬间速度．
Δt→0
即 f′(t)＝3t2＋1. (2)∵t＝2 秒时的瞬时速度即 f′(2)， ∴瞬间速度为 f′(2)＝3×4＋1＝13 (米/秒)．
[归纳领悟] 根据导数的定义求函数 y＝f(x)在点 x0 处导数的方法： (1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δy fx0＋Δx－fx0 (2)求平均变化率 ＝ ； Δx Δx Δy (3)得导数 f′(x0)＝ lim ，简记作：一差、二比、三极 Δx→0 Δx 限.
一、把脉考情 从近两年的高考试题来看，求导公式和法则，以及导数
的几何意义是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有
解答题，难度中等左右，在考查导数的概念及其运算的基础 上，又注重考查解析几何的相关知识． 预测2012年高考在考查方式和内容上不会有大的变化， 在保持稳定的基础上可能对条件的设置情景进行创新，考查
原函数 f(x)＝logax f(x)＝lnx
导函数 f′(x)＝ 1 xlna f′(x)＝ 1 x
三、导数的运算法则
1．[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ； 2．[f(x)· g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
fx 3．[ ]′＝ f′xgx－f2xg′x (g(x)≠0)． gx [gx]
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上 )) 切线的斜率 点 (x0，f(x0处的 ．(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0) ． 2．函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝
《导数的概念及其几何意义》课件1 (北师大版选修2-2)
y
M
求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤:先利用切线斜率 的定义求出切线的斜率,然后 利用点斜式求切线方程.
j
x
-1 O
1
1 3 8 y x 上一点P ( 2, ) 练习:如图已知曲线 3 3 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 1 3 3 ( x x ) x 1 3 y 3 解： ) y x , y lim (1 lim 3 x 0 x x 0 3 x y 1 y x 2 2 3 3 4 1 3 x x 3 x ( x ) ( x ) lim 3 3 x 0 x 2 1 2 2 2 lim[3 x 3 xx ( x ) ] x . 1 3 x 0
'
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;② 切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 解 : k lim y x 0 Q x (1 x ) 2 1 (1 1) lim 2 x 0 x y = x +1 2x ( x ) 2 lim 2. x 0 x P 因此,切线方程为y-2=2(x-1), x 即y=2x.
3
P
y | x 2 2 2 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
x
-2 -1
O -1 -2
1
2
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
归纳:求切线方程的步骤
（1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
高中数学北师大版选修2-2第2章4《导数的四则运算法则》ppt课件
x·cos
x＋xcos2x＋xsin2x cos2x
1 ＝2sin
2x＋cxocos2sx2x＋xsin2x＝sin2c2oxs＋2x2x.
(3)解法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x ＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝3x2＋12x＋11.
＝3 lim
Δx→0
f2－33ΔΔxx－f2＝3f′(2)＝72.
[正解] 因为f′(x)＝6x2，
所以 lim
Δx→0
f2－3Δx－f2 Δx
＝－3 lim
Δx→0
f2－f3Δ2x－3Δx＝－3f′(2)＝－72.
[点评] 未能把握导数定义中Δy与Δx的严格对应关系，实
际上f′(x)＝ lim
为能借助求导法则和公式求导的形式．
已知函数f(x)＝2x3＋5，
求 lim
Δx→0
f2－3ΔΔxx－f2的值．
[误解一] 因为f′(x)＝6x2，
所以 lim
Δx→0
f2－3ΔΔxx－f2＝f′(2)＝24.
[误解二]
因为f′(x)＝6x2，所以 lim
Δx→0
f2－3Δx－f2 Δx
梳理知识要点
导数的加、 两个函数的和(或差)的导数，等于
导数的 减法法则 这两个函数的导数的和(或差)
加、减法
表达式
[f(x)± g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
导数的 常数与函数 乘、除法 的积的导数
法则：常数与函数的积的导数， 等于常数与函数的导数的积 表达式：[cf(x)]′＝cf′(x)
高中数学第二章变化率与导数2.2导数的概念及其几何意义课件北师大选修2_2
探究一
探究二
探究三
思维辨析
导数的定义 【例1】 如果一个质点由定点A开始运动,在时间t的位移函数为 y=f(t)=t3+3,求t1=4时的导数. 分析:根据函数y=f(x)在点x0处导数的求解步骤即可解题.
2 解:∵Δy=f(t1+Δt)-f(t1)=3������1 ·Δt+3t1(Δt)2+(Δt)3,
§2.2 导数的概念及其几何意义
学 习 目 标 思 1.通过实例分析,体会由平 均变化率过渡到瞬时变化 率的过程,了解导数概念建 立的背景. 2.理解瞬时变化率的含义, 并知道瞬时变化率就是导 数. 3.会求函数 f(x)在某一点 x0 处的导数. 4.理解导数的几何意义,并 能利用几何意义解决相关 问题. 5.会求与导数相关的切线 问题.
维 脉 络
1.导数的概念 定义:设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值从f(x0)变到 f(x1),函数值y关于x的平均变化率为
������ ������
=
������(������1 )-������(������0 ) ������1 -������0
=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
������(������0 +������)-������(������0 ) , ������
(2)求平均变化率Δ������ = (3)取极限,得导数
������
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) ; Δ������ ������y f'(x0)= lim ������x. Δ������ →0
1 【做一做2】 函数y=f(x)= ������在x=1处的切线方程为
高中数学选修2-2 北师大版 变化的快慢与变化率 课件 (18张)
������(������1 )-������(������0 ) ������1 -������0
=
率,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
做一做 2
如果某物体作运动方程为 s=2(1-t2)的直线运动(s 的单位:m,t 的单位:s), 那么,物体在 1.2 s 末的瞬时速度为 ( ) A.-4.8 m/s B.-0.8 m/s C.0.88 m/s D.4.8 m/s 解析:������ = -4.8 m/s. 答案:A
Δ��� )-������(������1 ) .我们用它来刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的 ������2 -������1
温馨提示
1.
������ ������
=
������(������2 )-������(������1 ) ������2 -������1 ������ ������
第二章
变化率与导数
§2.1
变化的快慢与变化率
学习目标 思维脉络 1.理解函数在某点的平 均变化率的概念与意义. 2.理解运动物体在某时刻的 瞬时变化率(瞬时速度). 3.会求函数在某点的平均变 化率. 4.能正确地理解平均变化率 与瞬时变化率的区别与联 系.
1
2
1.函数的平均变化率 对一般的函数 y=f(x)来说,当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变 为 f(x2),它的平均变化率为
与 Δx 是相对应的“增量”,即当
Δx=x2-x1 时,Δy=f(x2)-f(x1).
1
2
做一做 1
一物体的运动方程是 s=3+t2,则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速 度为( ) A.0.41 解析:������ = 答案:D
高中数学选修2-2 北师大版 2.1 变化的快慢与变化率 课件(18张)
∴ ������1 = = =4(m/s). Δ������ 1 ∵ Δt=2-0=2,Δs=f(2)-f(0)=14, ∴ ������2 = = Δ������
������ 14 =7(m/s). 2
������ ������
=
������(������0 +Δ������)-������(������0) .而当 Δx 趋于 0 时,平均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化 Δ������
������(������1 )-������(������0 ) ������1 -������0
=
率,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
做一做 2
如果某物体作运动方程为 s=2(1-t2)的直线运动(s 的单位:m,t 的单位:s), 那么,物体在 1.2 s 末的瞬时速度为 ( ) A.-4.8 m/s B.-0.8 m/s C.0.88 m/s D.4.8 m/s 解析:������ = -4.8 m/s. 答案:A
探究一
探究二
探究一平均变化率
变化率就是
������(������2 )-������(������1 ) 的比值,物理上称为平均速度,数学上称为平均变 ������2 -������1
化率,在气球的变化过程中称为膨胀率,其名称虽有差别,但求法一样. 在求平均变化率时,一定要将 Δs=f(t2)-f(t1)与 Δt=t2-t1 对应好.
-6-
Δ������ Δ������ =-4.8-2Δt,当 Δt→0 时, →-4.8,即 t=1.2 Δ������ Δ������
s 时的瞬时速度为
§1
变化的快慢与变化率
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北师大版高数选修2-2第1讲：变化率与导数
变化率与导数____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；2、理解导数的几何意义；一、变化率问题：知识导入：问题1 气球膨胀率将班内同学平均分成4组，每组发一只气球，各有一位同学负责将气球吹起，其他同学观察气球在吹起过程中的变化，并做好准备回答以下问题：（1）气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？（2）你认为膨胀速度与哪些量有关系？（3）球的体积公式是什么？有哪些基本量？（4）结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题？总结：可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是334)(rrVπ=⏹如果将半径r表示为体积V的函数,那么343)(πVVr=分析: 343)(πVVr=，⑴当V从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dmrr≈-气球的平均膨胀率为)/(62.01)0()1(Ldmrr≈--⑵当V从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dmrr≈-气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(Ldmrr≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．hto思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )=-4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．1、平均变化率：1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212思考：观察函数f (x )的图象平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么?直线AB 的斜率二、导数的概念：1、瞬时变化率：从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()limlimx x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-三、导数的几何意义：1、平均变化率与割线的斜率、瞬时变化率与切线的斜率： （一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？ 们发现,当点n P 沿着曲我x 1x 2Oyy =f (x )f (x 1) f (x 2) △x = x 2-x 1 △y =f (x 2)-f (x 1)x图3.1-2线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？⑵切线PT 的斜率k 为多少？ 容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.（2）曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. 2、导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率， 即 0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.类型一：求函数的平均变化率例1、求221y x =+在0x 到0x x +∆之间的平均变化率，并求01x =，12x ∆=时平均变化率的值.思路点拨: 求函数的平均变化率，要紧扣定义式00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆进行操作. 解析：当变量从0x 变到0x x +∆时，函数的平均变化率为220000()()[2()1][21]f x x f x x x x x x+∆-+∆+-+=∆∆042x x =+∆ 当01x =，12x ∆=时，平均变化率的值为：141252⨯+⨯=. 总结升华：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，只要求出平均变化率的表达式，其他就迎刃而解.举一反三：【变式1】求函数y=5x 2+6在区间[2，2+x ∆]内的平均变化率。
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义课件 北师大版选
提示：在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lx im 0f(x0－ 或－ xf )′－ x (xf0)=x0
lim
f
x
f
x0
.
xx0 x－x0
28
【类题·通】
求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)求平均变化率 yf(x0x)fx0.
47
(1)求直线l1，l2的方程. (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
48
【思维·引】1.设出切点的坐标，利用导数在切点处的 导数值即为切线的斜率求解. 2.(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出 两直线的方程；(2)解方程组求出两直线的交点坐标， 利用三角形的面积公式求解.
36
【解析】将x=1代入曲线C的方程得y=1，即切点
P(1，1).
因为f′(1)=
limy＝ lim(1x)313
x x 0
x 0
x
＝ lim3x3(x)2(x)3
x 0
x
=
l
xi[m30 +3Δx+(Δx)2]=3，
37
所以切线方程为y-1=3(x-1)， 即3x-y-2=0.
38
【素养·探】 求曲线在某点处的切线方程通常应用的数学核心素养 是数学运算，一般要根据导数的定义求出函数的导数， 即所求切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求切 线的方程. 本典例中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
59
2.面积问题三类型 (1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类 问题，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计 算.
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1．求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量 Δx＝x2－x1. 第二步，求函数值的增量 Δy＝f(x2)－f(x1)． Δy fx2－fx1 第三步，求平均变化率Δx＝ . x2－x1 2．求平均变化率的一个关注点 fx0＋Δx－fx0 求点 x0 附近的平均变化率，可用 的形式． Δx
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(2)习惯上用 Δx 表示 x2－x1，即 Δx＝________，可把 Δx 看作是相对于 x1 的 一个“增量”，可用 x1＋Δx 代替 x2；类似地，Δy＝________.于是，平均变化率 可表示为________．
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2．平均变化率的几何意义 设 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线 y＝f(x)上任意不同的两点，函数 y＝f(x) Δy fx2－fx1 fx1＋Δx－fx1 的平均变化率Δx＝ ＝ 为割线 AB 的______，如图 111 Δ x x2－x1 所示．
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【解析】 (1)由导数的定义知， 函数在 x＝x0 处的导数只与 x0 有关， 故正确． (2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误． (3)在导数的定义中，Δy 可以为零，故错误．
【答案】 (1)√ (2)× (3)×
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2．函数 f(x)＝x2 在 x＝1 处的瞬时变化率是________．
Δ y y 2 －y 1 (3)对山坡的上、下两点 A，B 中，Δx＝ 可以近似刻画山坡的陡峭程 x 2 －x 1 度．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√
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教材整理 2
瞬时速度、导数的概念
阅读教材 P4～P6“例 1”以上部分，完成下列问题． 1．瞬时速度 (1)物体在__________的速度称为瞬时速度．
【解析】 ∵f(x)＝x2.∴在 x＝1 处的瞬时变化率是 f1＋Δx－f1 Δy lim ＝Δ lim Δx→0 Δx x→0 Δx 1＋Δx2－12 ＝Δ lim x→0 Δx ＝Δ lim (2＋Δx)＝2. x→0
【答案】 2
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[小组合作型]
求函数的平均变化率
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[基础· 初探]
教材整理 1
函数的平均变化率
阅读教材 P2～P4“思考”以上部分，完成下列问题． 1．函数的平均变化率 (1)对于函数 y＝f(x)，给定自变量的两个值 x1，x2，当自变量 x 从 x1 变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，我们把式子____________称为函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率．
【答案】 1.(1)某一时刻 (2)极限 2．f′(x0)或 y′|x＝x0 fx0＋Δx－fx0 Δx
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数值与 Δx 值的正、负无关．( ) )
(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．( (3)在导数的定义中，Δx，Δy 都不可能为零．( )
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(2)一般地，设物体的运动规律是 s＝s(t)，则物体在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内 Δs st0＋Δt－st0 Δs 的平均速度为 Δt ＝ .如果 Δt 无限趋近于 0 时， Δt Δt 无限趋近于某个常 Δs 数 v，我们就说当 Δt 趋向于 0 时， Δt 的________是 v，这时 v 就是物体在时刻 t st0＋Δt－st0 Δs ＝t0 时的瞬时速度，即瞬时速度 v＝Δ lim ＝Δ lim . t →0 Δt t →0 Δt
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1 f2－f1 2＋2－1＋1 (2)自变量 x 从 1 变到 2 时， 函数 f(x)的平均变化率为 ＝ 1 2－1 1 ＝2； 自变量 x 从 3 变到 5 时，函数 f(x)的平均变化率为 1 1 f5－f3 5＋5－3＋3 14 ＝ ＝15. 2 5－3 1 14 1 因为2<15， 所以函数 f(x)＝x＋x 在自变量 x 从 3 变到 5 时函数值变化得较快．
阶 段 三
学 业 分 层 测 评
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1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程， 了解导数概念的实际背景． 2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点) 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点) 4．理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)
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2．导数的定义 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是 fx0＋Δx－fx0 Δy lim ＝Δ lim ，我们称它为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数， Δx→0 Δx x→0 Δx Δy 记作____________________，即 f′(x0)＝Δ lim ＝Δ lim _________. x→0 Δx x→0
图 111
fx2－fx1 【答案】 1.(1) (2)x2－x1 x2－x1
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Δy f(x2)－f(x1) Δx 2.斜率
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由 Δx＝x2－x1，知 Δx 可以为 0.( )
(2)Δy＝f(x2)－f(x1)是 Δx＝x2－x1 相应的改变量，Δy 的值可正，可负，也可 为零，因此平均变化率可正，可负，可为零．( )
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【精彩点拨】 (1)由 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋0.1)－f(2)可得． Δy (2) 求Δx＝x2－x1 → 求Δy＝fx2－fx1 → 计算Δx
【自主解答】 (1)Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】 B
(1)已知函数 y＝f(x)＝x2＋1， 则在 x＝2， Δx＝0.1 时， Δy 的值为( )
【导学号：62952001】 A．0.40 C．0.43 B．0.41 D．0.44
1 (2)已知函数 f(x)＝x＋ x，分别计算 f(x)在自变量 x 从 1 变到 2 和从 3 变到 5 时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．