2001年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题及答案
2001年高考.全国卷.文科数学试题及答案
2001年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文史类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页。
第II 卷3至9页。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写 在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin正棱台、圆台的侧面积公式()l c c S +'=21台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、 选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 300tg °405ctg +°的值为 （A ）31+ （B ） 31-（C ）31-- （D ）31+- （2）过点()()1,11,1--B A 、且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是 （A ）()()41322=++-y x （B ）()()41322=-++y x（C ）()()41122=-+-y x （D ）()()41122=+++y x（3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（A ）π3 （B ）π33 （C ）π6 （D ）π9（4）若定义在区间()01，-内的函数()()1log 2+=x x f a 满足0)(>x f ，则a 的取值范围是（A ）（0，21） （B ）（0，21] （C ）（21，+∞） （D ）（0，+∞） (5)已知复数i z 62+= ，则z 1arg 是（A ）6π （B ）611π （C ）3π（D ）35π（6）函数)0(12>+=-x y x 的反函数是（A ）)2,1(,11log 2∈-=x x y （B ）)2,1(,11log 2∈--=x x y （C ）]2,1(,11log 2∈-=x x y （D ）]2,1(,11log 2∈--=x x y（7）若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ，则其离心率为 （A ）43 （B ）32 （C ）21 （D ）41 （8）若40πβα<<<，a =+ααcos sin ，b =+ββcos sin ，则（A ）b a < （B ）b a > （C ）1<ab （D ）2>ab（9）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成的角的大小为（A ）60° （B ）90° （C ）105° （D ）75° （10）设)()(x g x f 、都是单调函数，有如下四个命题： ○1若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增； ○2若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增； ○3若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减； ○4若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减； 其中，正确的命题是（A ）○1○3 （B ）○1○4 （C ） ○2○3 （D ）○2○4（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：○1单向倾斜；○2双向倾斜；○3四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为321P P P 、、.① ② ③若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（A ）123P P P >>（B ）123P P P =>（C ）123P P P >=（D ）123P P P == （12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。
2001年高考数学试题(全国文)及答案1
2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史财经类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式()()[]βαβαβ-++=sin sin 21cos sin a ()()[]βαβαβ--+=sin sin 21sin cos a()()[]βαβαβ-++=cos cos 21cos cos a()()[]βαβαβ--+-=cos cos 21sin sin aS 台侧l c c )(21+'=其中c ′、c 分别表示上、下底面周长， l 表示斜高或母线长 台体的体积公式 V 台体h S S S S )(31+'+'=其中S ′、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) tg300°＋ctg405°的值为( )(A) 31+； (B) 31-； (C) 31--； (D) 31+-。
(2) 过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2 = 0上的圆的方程是( )(A) (x －3)2＋(y ＋1)2 = 4； (B) (x ＋3)2＋(y －1)2 = 4； (C) (x －1)2＋(y －1)2 = 4； (D) (x ＋1)2＋(y ＋1)2 = 4。
(3) 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的面积是( )(A) 3π； (B) π33； (C) 6π； (D) 9π(4) 若定义在区间(－1，0)内的函数f (x ) = log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是 ( )(A)(210，)； (B) ⎥⎦⎤ ⎝⎛210，； (C) (21，＋∞)； (D) (0，＋∞)。
2001年春季高考数学试题及答案(上海)
绝密★启用前2001年普通高等学校春季招生考试（上海卷）数学考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分． 一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题．只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律是零分． 1．函数)0(1)(2≤+=x xx f 的反函数=-)(1x f______．2．若复数z 满足方程1-=i i z （i 是虚数单位），则z=________．3．函数xx y cos 1sin -=的最小正周期为________． 4．二项式6)1(xx +的展开式中常数项的值为________． 5．若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为________．6．圆心在直线x y =上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程为________．7．计算：nn n n )13(lim ++∞→=________． 8．若向量α，β满足||||β-α=β+α，则α与β所成角的大小为________．9．在大小相同的6个球中，2个红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________．（结果用分数表示）10．若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均数的运算，即2baba +=*，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实当选a、b、c都能成立的一个等式可以是_______。
11．关于x的函数)sin()(φ+=xxf有以下命题：（1）对任意的φ，)(x f都是非奇非偶函数；（2）不存在φ，使)(x f既是奇函数，又是偶函数；（3）存在φ，使)(x f是奇函数；（4）对任意的φ，)(x f都不是偶函数。
其中一个假命题的序号是_______。
因为当φ=_______时，该命题的结论不成立。
12．甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为 2.88%。
乙存一年期定期储蓄，年利率为 2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄。
(详细解析)2001年上海高考数学(理科)
2001年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知812,(,1]()log ,(1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩，则满足1()4f x =的x 值为 ___ ．【答案】3【解析】1x ≤时，1()24xf x -==，2x =，不合题意，舍去；1x >时，81()log f x x = 14=，14813x ==，综上可得3x =． 【点评】本题考查分段函数求值问题，属基本题．2．设数列{}n a 的通项为27,n a n n N =-∈，则1215a a a ++⋅⋅⋅+= ____ ． 【答案】153【解析】由270n a n =-≥，解得72n ≥，所以数列的前3项为负数， 则1215123(531)(13523)9121532a a a +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅+=+⨯=．【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的前n 项和的公式化简求值，是一道基础题．3．设P 为双曲线2214x y -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的 轨迹方程是 _____ ． 【答案】2241x y -=【解析】设(,)M x y ，则(2,2)P x y ，代入双曲线方程2214x y -=得2241x y -=，即为所求． 【点评】代入法是圆锥曲线问题的常用方法．4．设集合{}2lg lg(815),,cos 0,2x A x x x x R B x x R ⎧⎫==-∈=>∈⎨⎬⎩⎭||，则A B 的元素 个数为 _____ 个．【解析】由2lg lg(815)x x =-，可得28150x x -+=，∴3x =或5x =，检验知符合题意，∴{}3,5A =，3x =时，cos02x >；5x =时，5cos 02<，∴A B 的元素个数为1个，故答案为1． 【点评】本题考查集合的化简，考查学生的计算能力，属于基础题．5．抛物线2430x y --=的焦点坐标为 ______ ． 【答案】1(0,)4【解析】由2430x y --=得，234()4x y =+，表示顶点在3(0,)4-，开口向上的抛物线，2p =，∴故焦点坐标是1(0,)4．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，求出抛物线的顶点坐标和p 是解题的关键．6．设数列{}n a 是公比为0q >的等比数列，n S 是它的前n 项和，若lim 7n x S →∞=，则此数列的首项1a 的取值范围为 _____ ． 【答案】(0,7)【解析】若该等比数列是一个递增的等比数列，则n S 不会有极限．因此这是一个无穷递缩等比数列．设公比为q ，则01q <<，01q <<．而等比数列前n 项和1(1)1n n a q S q-=-，因此lim 0nx q →∞=，而根据极限的四项运算法则有，1lim 71n x a S q→∞==-，因此17(1)a q =-，解得1(0,7)a ∈． 【点评】本题是中档题，考查等比数列前n 项和的极限问题，注意公比的范围，是解题的关键，考查计算能力．7．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种 _____ 种．（结果用数值表示） 【答案】7【解析】设素菜n 种，则225200(1)40n C C n n ≥⇒-≥，所以n 的最小值为7．【点评】正确应用乘法计数原理，组合数以及不等式运算，n 为最小正整数．8．在2521(425)(1)x x x --+的展开式中，常数项为 _____ ．【解析】由于25200122455521(425)(1)(425)(x x x x C x C x C x x----+=--⋅+⋅+⋅+ 3648485105555)C x C x C x C x ----⋅+⋅+⋅+⋅，故展开式中，常数项为10554(5)15C C +-=．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．9．设sin x α=，且5[,]66ππα∈-，则cos arc x 的取值范围是 _____ ．【答案】2[0,]3π 【解析】由题意可得112x -≤≤，而cos arc x 表示在区间[0,]π上余弦值等于x 的一个角，∴20cos 3arc x π≤≤，故答案为 2[0,]3π．【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，反余弦函数的意义，属于中档题．10．直线122y x =-与曲线sin cos 2x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的交点坐标是 _____ ． 【答案】11(,)22【解析】∵2cos 212sin ϕϕ=-，∴曲线方程化为212y x =-，与直线122y x =-联立，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3272x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，由1sin 1ϕ-≤≤，故3272x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩不合题意，舍去，则直线与曲线的交点坐标为11(,)22． 【点评】此题考查了参数方程与普通方程的转化，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的值域．．，熟练掌握二倍角的余弦函数公式是解本题的关键11．已知两个圆：221x y +=①；22(3)1x y +-=②，则由①式减去②式可得上述两个圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 _____ ．【答案】设圆方程222()()x a y b r -+-=①，222()()x c y d r -+-=②（a c ≠或b d ≠， 则由①—②，得两圆的对称轴方程．【解析】将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广：设圆方程222()()x a y b r -+-=①，222()()x c y d r -+-=②（a c ≠或b d ≠），由①—②，得两圆的对称轴方程．【点评】本题考查的知识点是类比推理．．．．，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．在解决类似题目时，一定要注意观察原题特点，找到其特征，再类比写结论．12．据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．左下图表示我国土地沙化总面积在20世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在右下图中图示为_______ ．【答案】【解析】1950﹣1970：土地沙化面积增加了3.2（万平方公里）， 平均沙化面积为：0.32（万平方千米）16=（百平方公里）1970﹣1990：平均沙化面积为：0.21（万平方千米）21=（百平方公里）； 1990﹣2000：平均沙化面积为：0.25（万平方千米）25=（百平方公里）．如上图．【点评】本题主要考查了函数的图象与图想的变化，考查了变量的变化与平均变化的基本概念，考查了识图、作图的能力．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．3a =是直线230ax y a ++=和直线3(1)7x a y a +-=-平行且不重合的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 【答案】C【解析】当3a =时，两直线分别为3290,3240x y x y ++=++=，∴两直线斜率相等，则平行且不重合；若两直线平行且不重合，则23317a aa a=≠---，∴3a =综上所述，3a =是两直线平行且不重合的充要条件．故选C ．【点评】本题以直线为载体，考查四种条件．判定两条直线位置关系的时候，注意到直线一般式系数满足的关系式．14．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =，111,A D b A A c ==．则下列向量中与1B M 相等的向量是A ．1122a b c -++B ．1122a b c ++ C ．1122a b c -+ D ．1122a b c --+【答案】A【解析】由题意可得11112B M B B BM A A BD =+=+111111111111()()22222A AB D c A D A B c b a a b c =+=+-=+-=-++．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．15．已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，且,a b αβ⊥⊥，则下列命题中的假命题是 A ．若//a b ，则//αβ B ．若αβ⊥，则a b ⊥ C ．若,a b 相交，则,αβ相交 D ．若,αβ相交，则,a b 相交 【答案】D 【解析】略．16．用计算器验算函数lg (1)xy x x=>的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是 A ．lg x y x =在(1,)+∞上是单调减函数 B ．lg ,(1,)x y x x =∈+∞的值域为lg3(0,]3 C ．lg ,(1,)x y x x =∈+∞有最小值 D ．lg lim 0,n nn N n→∞=∈ 【答案】D【解析】∵lg (1)x y x x =>的导数lg (1)x y x x =>，221lg lg lg ln10x xe xx y x x ⋅--'==，∴当(1,)x e ∈时，0y '>；当(,)x e ∈+∞时，0y '<． 可得函数在(1,)e 上为增函数，在(,)e +∞为减函数，最大值lg e y e =，值域为lg (0,]ee，由此可得A 、B 、C 三项都不正确．由极限的运算法则，可得1lg 1ln10lim lim lim 01ln10n n n n n n n →∞→∞→∞===，D 项正确．【点评】本题给出关于函数lg (1)xy x x=>的几个结论，要我们找出其中的正确结论，着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的值域求法和极限的运算法则等知识，属于中档题．三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分）已知,,a b c 是ABC ∆中,,A B C ∠∠∠的对边，S 是ABC ∆的面积，若4,5,a b S ===c 的长度．【解】∵1sin 2S ab C =，∴sin 2C =， ......（4分） 于是60C ∠=︒，或120C ∠=︒， ......（6分） 又2222cos c a b ab C =+- ......（8分） 当60C ∠=︒时，222c a b ab =+-，c = ...... （10分） 当120C ∠=︒时，222c a b ab =++，c = ...... （12分）故c【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理等知识解三角形，属于基础试题．18．（本题满分12分）设12,F F 为椭圆22194x y +=的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知12,,P F F 是一个直角三角形的三个顶点，且12PF PF >，求12PF PF 的值． 【解】解法一：由已知得12126,PF PF F F +==......（4分） 根据直角的不同位置，分两种情况：若21PF F ∠为直角，则2221212PF PF F F =+，即2211(6)20PF PF =-+，得12144,33PF PF ==，故1272PF PF =； ......（9分） 若12F PF ∠为直角，则2221212F F PF PF =+，即221120(6)PF PF =+-，得124,2PF PF ==，故122PF PF =．. .....（12分） 解法二：由椭圆的对称性不妨设(,)(0,0)P x y x y >>，则由已知可得12(5,0),(5,0)F F -． ......（4分） 根据直角的不同位置，分两种情况：若21PF F ∠为直角，则4(5,)3P ，于是12144,33PF PF ==，故1272PF PF =；...（9分） 若12F PF ∠为直角，则22194155x y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪+-⎩，解得3545,x y ==，即3545(,)P ， 于是124,2PF PF ==，故122PF PF =．. .....（12分） （说明：两种情况，缺少一种扣3分）．【点评】本题考查椭圆的定义和标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑2PF x ⊥轴时的情况．19．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别是棱,AB BC 上的动点，且AE BF =． （Ⅰ）求证：A F C E ''⊥；（Ⅱ）当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求二面角B EF B '--的大小．（结果用反三角函数表示） 【解】（I ）证明：如图，以O 为原点建立空间直角坐标系． 设AE BF x ==，则(,0,),(,,0),(0,,)A a a F a x a C a a ''-，(,,0)E a x ．∴(,,),(,,)A F x a a C E a x a a ''=--=--．......（4分）∵2()0A F C E xa a x a a ''⋅=-+-+=，∴A F C E ''⊥． ......（6分） （II ）记,BF x BE y ==，则x y a +=， 三棱锥B BEF '-的体积2311()66224a x y V xya a +=≤=， 当且仅当2ax y ==时，等号成立． 因此，三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，2aBF BE ==．......（10分） 过B 作BD EF ⊥交EF 于D ，连B D '，可知B D EF '⊥． ∴B DB '∠是二面角B EF B '--的平面角． 在直角三角形BEF 中，直角边2aBE BF ==，BD 是斜边上的高，∴,tan 4B B BD a B DB BD''=∠==， 故二面角B EF B '--的大小为tan arc ......（14分）【点评】本题考查线线垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查三棱锥的体积，考查基本不等式的运用，属于中档题． 20．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分．对任意一个非零复数z ，定义集合{}21,n z M w w z n N -==∈|． （Ⅰ）设α是方程1x x+=的一个根．试用列举法表示集合M α，若在M α中任取两个数，求其和为零的概率P ；（Ⅱ）设复数z M ω∈，求证：z M M ω⊆．【解】（Ⅰ）∵α是方程210x +=的根，∴1)i α=+或2)i α=-． ......（2分）当1)i α=+时，∵222111111(),n n n i i ααααα-===，∴1111111,,,(1),(1),(1),)2222i i M i i i i ααααα⎫⎧⎫--⎪==+---+-⎨⎬⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭．当2)2i α=-时，∵22i α=-，∴21222211,,,ii M M αααααα⎧⎫--==⎨⎬⎩⎭．因此，不论α取哪一个值，集合M α是不变的，即),(1),),(1)2222M i i i i α⎫⎪=+---+-⎬⎪⎪⎩⎭． ......（8分）于是，24213P C ==． ......（10分） （Ⅱ）证明：∵z M ω∈，∴存在m N ∈，使得2(1)m z ω-=．......（12分）于是对任意2(1)(21)(21),n m n n N z ω---∈=，由于(21)(21)m n --是正奇数，21n z M ω-∈，所以z M M ω⊆．......（14分）【点评】本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，等可能事件的概率求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 21．（本题满分16分）本题有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（Ⅰ）试规定(0)f 的值，并解释其实际意义；（Ⅱ）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质； （Ⅲ）设21()1f x x=+．现有(0)a a >单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由．【解】（Ⅰ）(0)1f =，表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样．......（2分） （Ⅱ）函数()f x 应该满足的条件和具有的性质是：1(0)1,(1)2f f ==， 在[0,)+∞上()f x 单调递减，且0()1f x <≤． ......（8分）（Ⅲ）设仅清洗一次，残留在农药量为1211f a =+， 清洗两次后，残留的农药量为22222116[](4)1()2f a a ==++， ......（12分）则2212222222116(8)1(4)(1)(4)a a f f a a a a --=-=++++． 于是，当22a >时，12f f >；当22a =时，12f f =；当022a <<时，12f f <． 因此，当22a >时，清洗两次后残留在农药量较少； 当22a =时，两种清洗方法具有相同的效果；当022a <<时，一次清洗残留的农药量较少． ......（16分）【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解示及比较法比较大小等，属于基础题．考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数的知识解决实际问题的能力． 22．（本题满分18分）本题有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．对任意函数(),f x x D ∈，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下： ①输入数据0x D ∈，经数列发生器输出10()x f x =；②若1x D ∉，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输入端，再输出21()x f x =，并依此规律继续下去，现定义42()1x f x x -=+． （Ⅰ）若输入04965x =，则由数列发生器产生数列{}n x ．请写出数列{}n x 的所有项；数据0x 的（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始值；（Ⅲ）若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x 满足；对任意正整数n ，均有1n n x x +<，求0x 的取值范围．【解】（Ⅰ）∵()f x 的定义域(,1)(1,)D =-∞--+∞，∴数列{}n x 只有三项：123111,,1195x x x ===-． ......（3分） （Ⅱ）∵42()1x f x x x -==+，即2320x x -+=，∴1x =，或2x =． 即当01x =或2时，1421n n n n x x x x +-==+．故当01x =时，1n x =；word 格式-可编辑-感谢下载支持当02x =时，2()n x n N =∈． ......（9分） （Ⅲ）解不等式421x x x -<+，得1x <-或12x <<． 要使12x x <，则11x <-或112x <<． ......（12分） 对于函数426()411x f x x x -==-++， 若11x <-，则21322()4,()x f x x f x x =>=<． ......（15分） 当112x <<时，21()x f x x =>，且212x <<， 依此类推，可得数列{}n x 的所有项均满足1()n n x x n N +>∈． 综上所述，1(1,2)x ∈．由10()x f x =，得0(1,2)x ∈．. .....（18分）【点评】本题考查数列与函数的综合，考查新定义，考查学生的计算能力，属于中档题．。
普通高等学校春季招生考试数学试题
普通高等学校春季招生测试数学试题本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部．第一卷1至2页．第二卷3至8页．共150分．测试时间120分钟．第一卷〔选择题 共60分〕考前须知：1.答第一卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、测试科目用铅笔涂写在做题卡上．2.每题选出答案后,用铅笔把做题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用像皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上．3.测试结束,监考人将本试卷和做题卡一并收回．参考公式： 正棱台、圆台的侧面积公式 三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= l c c S )'(21+=台侧)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= 其中'c 、c 分别表示上、下底面周长,l 表示斜高或母线长)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++= 球体的体积公式 334R V π=球)]cos()[cos(21sin sin β-α-β+α-=βα 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分．在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的．〔1〕集体{}5,4,3,2,1=M 的子集个数是 〔A 〕32〔B 〕31 〔C 〕16 〔D 〕15〔2〕函数)10()(≠>=a a a x f x且对于任意的实数y x ,都有 〔A 〕)()()(y f x f xy f = 〔B 〕)()()(y f x f xy f +=〔C 〕)()()(y f x f y x f =+〔D 〕)()()(y f x f y x f +=+〔3〕=++∞→1222lim n n n n n C C〔A 〕0 〔B 〕2 〔C 〕21 〔D 〕41 〔4〕函数)1(1≤--=x x y 的反函数是 〔A 〕)01(12≤≤--=x x y 〔B 〕)10(12≤≤-=x x y〔C 〕)0(12≤-=x x y〔D 〕)10(12≤≤-=x x y〔5〕1F 、2F 是椭圆191622=+y x 的两焦点,过点2F 的直线交椭圆于点A 、B ,假设5||=AB ,那么=+||||11BF AF〔A 〕11〔B 〕10〔C 〕9〔D 〕16〔6〕设动点P 在直线1=x 上,O 为坐标原点．以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰OPQ Rt ∆,那么动点Q 的轨迹是〔A 〕圆〔B 〕两条平行直线 〔C 〕抛物线 〔D 〕双曲线〔7〕x x f 26log )(=,那么)8(f 等于〔A 〕34 〔B 〕8 〔C 〕18 〔D 〕21 〔8〕假设A 、B 是锐角ABC ∆的两个内角,那么点)cos sin ,sin (cos A B A B P --在〔A 〕第一象限〔B 〕第二象限〔C 〕第三象限〔D 〕第四象限〔9〕如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角〔圆锥轴截面中两条母线的夹角〕是〔A 〕︒30〔B 〕︒45〔C 〕︒60〔D 〕︒90〔10〕假设b a ,为实数,且2=+b a ,那么ba33+的最小值是〔A 〕18〔B 〕6〔C 〕32〔D 〕432〔11〕右图是正方体的平面展开图．在这个正方体．．．中, ①ED BM 与平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成︒60角④DM 与BN 垂直以上四个命题中,正确命题的序号是 〔A 〕①②③ 〔B 〕②④〔C 〕③④〔D 〕②③④〔12〕根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量n S 〔万件〕近似地满足)12,,2,1)(521(902 =--=n n n nS n 按此预测,在本年度内,需求量超过1.5万件的月份是〔A 〕5月、6月〔B 〕6月、7月〔C 〕7月、8月〔D 〕8月、9月第二卷〔非选择题共90分〕考前须知： 1.第二卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2.答卷前将密封线内的工程填写清楚．二、填空题：本大题共4小题,每题4分,共16分．把答案填在题中横线上． 〔13〕球内接正方体的外表积为S ,那么球体积等于_______________．〔14〕椭圆4422=+y x 长轴上一个顶点为A ,以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形,该三角形的面积是_______________．〔15〕αγβα(1sin sin sin 222=++、β、γ均为锐角〕,那么γβαcos cos cos 的最大值等于____________________．〔16〕m 、n 是直线, α、β、γ是平面,给出以下命题：① 假设m n m ⊥=⋂⊥,,βαβα,那么βα⊥⊥n n 或； ②假设α∥β,γβγα⋂=⋂,m ,那么m ∥n ；③假设m 不垂直于α,那么m 不可能垂直于α内的无数条直线； ④假设m =⋂βα,n ∥m ,且βα⊄⊄n n ,,那么n ∥n 且α∥β．其中正确的命题的序号是_______________〔注：把你认为正确的命题的序号都．填上〕 三、解做题：本大题共6小题,共74分．解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤． 〔17〕方程022=++n mx x 有实根,且2、m 、n 为等差数列的前三项．求该等差数列公差d 的取值范围．〔18〕设函数)0()(>>++=b a bx ax x f ,求)(x f 的单调区间,并证实)(x f 在其单调区间上的单调性．〔19〕)1(17≠∈=z C z z 且．〔Ⅰ〕证实0165432=++++++z z z z z z ； 〔Ⅱ〕设z 的辐角为α,求ααα4cos 2cos cos ++的值．〔20〕VC 是ABC ∆所在平面的一条斜线,点N 是V 在平面ABC 上的射影,且N 位于ABC ∆的高CD 上．AB VC a AB 与,=之间的距离为VC M h ∈,． 〔Ⅰ〕证实∠MDC 是二面角M –AB –C 的平面角； 〔Ⅱ〕当∠MDC =∠CVN 时,证实VC AMB 平面⊥； 〔Ⅲ〕假设∠MDC =∠CVN =)20(πθθ<<,求四面体MABC 的体积．〔21〕某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入本钱为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求,方案提升产品档次,适度增加投入本钱．假设每辆车投入本钱增加的比例为)10(<<x x ,那么出厂价相应提升的比例为0.75x ,同时预计年销售量增加的比例为0.6x ．年利润=〔出厂价–投入本钱〕⨯年销售量． 〔Ⅰ〕写出本年度预计的年利润y 与投入本钱增加的比例x 的关系式；〔Ⅱ〕为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入本钱增加的比例x 应在什么范围内？〔22〕抛物线)0(22>=p px y ．过动点M 〔a ,0〕且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ．〔Ⅰ〕假设a p AB 求,2||≤的取值范围；〔Ⅱ〕假设线段AB 的垂直平分线交AB 于点Q ,交x 轴于点N ,试求MNQ Rt ∆的面积．普通高等学校春季招生测试数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和水平,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细那么．二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继局部的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继局部的给分,但不得超过该局部正确解容许得分数的一半；如果后继局部的解答有较严重的错误,就不再给分．三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：此题考查根本知识和根本运算．每题5分,总分值60分． 〔1〕A 〔2〕C 〔3〕D 〔4〕C 〔5〕A 〔6〕B 〔7〕D〔8〕B〔9〕C〔10〕B〔11〕C〔12〕C二、填空题：此题考查根本知识和根本运算．每题4分,总分值16分． 〔13〕π242SS 〔14〕2516 〔15〕692〔16〕②④三、解做题〔17〕本小题主要考查等差数列,一元二次方程与不等式的根本知识．考查综合运用数学根底知识的水平．总分值12分． 解：依题意,有d n d m 22,2+=+=, ……2分由方程有实根,得0242≥⨯-n m ,即 0)22(8)2(2≥+-+d d , ……6分整理,得012122≥--d d ,……8分解得 346346+≥-≤d d 或,∴ ),346[]346,(+∞+⋃--∞∈d ．……12分〔18〕本小题主要考查函数的根本性质,考查推理水平．总分值12分． 解：函数bx ax x f ++=)(的定义域为),(),(+∞-⋃--∞b b ． ),()(b x f --∞在内是减函数),()(+∞-b x f 在内也是减函数．……4分证实),()(+∞-b x f 在内是减函数． 取21,x x ),(+∞-∈b ,且21x x <,那么 b x ax b x a x x f x f ++-++=-221121)()())(())((2112b x b x x x b a ++--=,……6分∵ 0))((,0,02112>++>->-b x b x x x b a , ∴ 0)()(21>-x f x f , 即),()(+∞-b x f 在内是减函数．……9分 同理可证),()(b x f --∞在内是减函数．……12分〔19〕本小题考查复数的根本概念和运算．总分值12分． 解：〔Ⅰ〕由 )1(65432z z z z z z z ++++++ 765432z z z z z z z ++++++=654321z z z z z z ++++++=,得0)1)(1(65432=++++++-z z z z z z z ． ……4分由于 1≠z ,所以 0165432=++++++z z z z z z ． ……6分〔Ⅱ〕由于1||,17==z z 可知,所以 1=⋅z z ,而17=z ,所以16=⋅z z ,z z =6,同理3452,z z z z ==, 65342z z z z z z ++=++．由〔Ⅰ〕知 165342-=+++++z z z z z z , 即 14242-=+++++z z z z z z , 所以 42z z z ++的实部为21-, ……8分而z 的辐角为α时,复数42z z z ++的实部为 ααα4cos 2cos cos ++, 所以 214cos 2cos cos -=++ααα ……12分〔20〕本小题考查运用直线与直线、直线与平面的根本性质证实线面关系的水平．总分值12分． 〔Ⅰ〕证实：由,ABC AB CD N ABC VN AB CD 平面平面⊂∈⊥⊥,,,, ∴AB VN ⊥．∴VNC AB 平面⊥．……2分又V 、M 、N 、D 都在VNC 所在平面内,所以,DM 与VN 必相交,且CD AB DM AB ⊥⊥,, ∴∠MDC 为二面角C AB M --的平面角．……4分〔Ⅱ〕证实：由,∠MDC =∠CVN ,在DMC VNC ∆∆与中, ∠NCV =∠MCD , 又∵∠VNC =︒90, ∴∠DMC =∠VNC =︒90． 故有VC AB VC DM ⊥⊥又,, ……6分 ∴AMB VC 平面⊥．……8分〔Ⅲ〕解：由〔Ⅰ〕、〔Ⅱ〕,VC M AB D VC MD AB MD ∈∈⊥⊥,,,且,∴h MD =． 又∵∠θ=MDC ． 在MDC Rt ∆中,θtg h CM ⋅=．……10分ABM C MABC V V -=三棱锥四面体ah tg h S CM ABM 213131⋅⋅=⋅=∆θθtg ah 261=． ……12分〔21〕本小题主要考查建立函数关系、运用不等式的性质和解法等数学知识解决实际问题的水平．总分值12分．解：〔Ⅰ〕由题意得)10)(6.01(1000)]1(1)75.01(2.1[<<+⨯+⨯-+⨯=x x x x y ,……4分 整理得 )10(20020602<<++-=x x x y ．……6分〔Ⅱ〕要保证本年度的利润比上年度有所增加,必须⎩⎨⎧<<>⨯--.10,01000)12.1(x y即 ⎩⎨⎧<<>+-.10,020602x x x……9分解不等式得 310<<x ． 答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入本钱增加的比例x 应满足33.00<<x ．……12分〔22〕本小题考查直线与抛物线的根本概念及位置关系,考查运用解析几何的方法解决数学问题的水平．总分值14分． 解：〔Ⅰ〕直线l 的方程为：a x y -=,将 px y a x y 22=-=代入, 得 0)(222=++-a x p a x ．……2分设直线l 与抛物线两个不同交点的坐标为),(11y x A 、),(22y x B ,那么 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>-+.),(2,04)(42212122a x x p a x x a p a (4)分又a x y a x y -=-=2211,, ∴ 221221)()(||y y x x AB -+-= ]4)[(221221x x x x -+=)2(8a p p +=．……6分∵ 0)2(8,2||0>+≤<a p p p AB , ∴ p a p p 2)2(80≤+<． 解得 42pa p -≤<-． ……8分〔Ⅱ〕设),(33y x Q ,由中点坐标公式,得p a x x x +=+=2213,p a x a x y y y =-+-=+=2)()(221213． ……10分∴ 22222)0()(||p p a p a QM =-+-+=． 又 MNQ ∆为等腰直角三角形, ∴ 22||21p QM S MNQ ==∆． ……14分。
上海春考卷
2001年上海春考卷2001年普通高等学校招生全国统一考试(上海春考卷)数学考生注意:1.答卷前～考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚～并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有道试题～满分分～考试时间分钟.一、填空题(本大题满分分)本大题共有题，只要求直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分) 124482,1,,,xx111、函数的反函数. ，，，，fx,x，1x,0，，fx,，，2、若复数满足(是虚数单位)，则的值为. zi,i,11,iizzsinx3、函数的最小正周期为. y,2,1,cosx61,,4、二项式的展开式中常数项的值为. 20x，,,x,,22xy5、若双曲线的一个顶点坐标为，焦距为，则它的标准方程为,,1. 10，，3,091622xy,，,,1116、圆心在直线上且与轴相切于点的圆的方程为. y,x，，1,0x，，，，nn3，,,2elim7、计算: ,,,n,,n1，,,,,,,,,,,,，,,,,,8、若非零向量满足，则与所成角的大小为. ,90:,,,,9、在大小相同的个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意取出个，则所选的个球中至少有1个红球的 3364概率是.(结果用分数表示) 5a，b10、若记号“*”表示求两个实数与的算术平均数的运算，即*=，则两边均含有运算符号“*” bbaa2abcbac,，,,，和“”，且对任意个实数、、均成立的一个等式可以是.(本题解答不唯一) 3b，ac，，，，11、关于函数有以下命题: ，，，，fx,sinx，,x对任意的,，都是非奇非偶函数; ，，fx不存在,，使既是奇函数又是偶函数; ，，fx存在，使是奇函数; ,，，fx对任意的，都不是偶函数; ,，，fxkkZ,, 其中一个假命题的序号是，因为当时，该命题的结论不成立. ,,，，%12、甲、乙两人于同一天分别携款万元到银行储蓄.甲存五年期定期储蓄，年利率为，乙存一年期定期储蓄，年利率为%，并在每年到期时将本息和续存一年期定期储蓄.按规定每次记息时，储户须交纳利息的20%1作为利息税，则甲与乙所得的本息之和的差为元.(假定利率五年内保持不变。
2001年春招高考数学试题及解答
2001年春招高考数学试题及解答
佚名
【期刊名称】《中学数学教学》
【年(卷),期】2001(000)002
【摘要】@@ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
【总页数】5页(P20-24)
【正文语种】中文
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3.2001年春、夏高考数学试题评析与透视 [J], 邹明;张忠尧
4.2001年春、夏高考数学试题评析与透视 [J], 邹明;郭忠涛
5.1998高考数学试题部分选择题、填空题解答及部分解答题不同于标准答案的解法 [J], 童诗翁
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2001年普通高校招生全国统一考试数学试题及解答
2001年普通高校招生全国统一考试数学试题及解答
佚名
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】2001(000)008
【摘要】@@ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
【总页数】2页(P47-封底)
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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1.2002年普通高校招生全国统一考试数学试题及解答 [J],
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2001年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分．一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数x x x f (1)(2+=≤)0的反函数=-)(1x f．2．若复数z 满足方程1-=i i z （i 是虚数单位），则z = ．3．函数x xy cos 1sin -=的最小正周期为4．二项式6)1(xx +的展开式中常数项的值为5．若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为 6．圆心在直线y=x 上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程为7．计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→nn n n 13lim8．若非零向量→α、→β满足|→→+βα|=|→→-βα|，则→α与→β所成角的大小为9．在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有一个红球的概率是 （结果用分数表示）10．若记号“*” 表示求两个实数a 与b 的算术平均数的运算，即a *b 2ba +=，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是11．关于x 的函数)sin()(φ+=x x f 有以下命题： （1）对任意的)(,x f φ都是非奇非偶函数； （2）不存在,φ使)(x f 既是奇函数，又是偶函数； （3）存在,φ使)(x f 是奇函数； （4）对任意的,φ)(x f 都不是偶函数．其中一个假命题的序号是 ．因为当φ= 时，该命题的结论不成立．12．甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄．甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%．乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为 元．（假定利率五年内保持不变．结果精确到1分）二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．若a 、b 为实数，则a >b >0是22b a >的 （ ）(A) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件(B) 充要条件(D) 既非充分条件也非必要条件14．若直线x =1的倾斜角为α，则α （ ）(A) 等于0(B) 等于4π(C) 等于2π (D) 不存在15．若有平面α与β，且l P P l ∉∈⊥=,,,αβαβα ，则下列命题中的假命题（ ）(A) 过点P 且垂直于α的直线平行于β (B) 过点P 且垂直于l 的平面垂直于β (C) 过点P 且垂直于β的直线在α内 (D) 过点P 且垂直于l 的直线在α内16．若数列{}n a 前8项的值各异，且n n a a =+8对任意的N ∈n 都成立，则下列数列中可取遍{}n a 前8项值的数列为（ ）(A) {}12+k a (B) {}13+k a(C) {}14+k a(D) {}16+k a三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（本题满分12分）已知R 为全集，A =)3(log |{21x x -≥}2-，B =25|{+x x ≥}1，求B A ． 18．（本题满分12分）已知)24(tan 12sin sin 22παπααα<<=++k ，试用k 表示ααcos sin -的值． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分． 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为h 米，盖子边长为a 米．（1）求a 关于h 的函数解析式；（2）设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值． （求解本题时，不计容器的厚度）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分． 在长方体ABCD －A1B1C1D1中，点E 、F 分别在B B1、DD1上，且AE ⊥A1B ，AF ⊥A1D ． （1）求证：A1C ⊥平面AEF ；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等．试根据上述定理，在AB =4，AD =3，AA 1=5时，求平面AEF 与平面D1B1BD 所成角的大小．（用反三角函数值表示）21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分7分．已知椭圆C 的方程为1222=+y x ，点),(b a P 的坐标满足222b a +≤1．过点P 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点．求：（1）点Q 的轨迹方程；（2）点Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数．22．（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分13分． 已知{}n a 是首项为2，公比为21的等比数列，n S 为它的前n 项和． （1）用n S 表示1+n S ；（2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+cS cS k k 成立．2001年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题参考解答一、填空题1．x x (1--≥)1． 2．1-i 3．2π． 4．20． 5．116922=-y x ． 6．1)1()1(22=-+-y x ． 7．2e ． 8．︒90． 9．54． 10．),(*)()(c a b a bc a ++=+),*()*()*(c b c a c b a +=+,*)(*)(*)()(*b c a a c b c b a c b a +=+=+=+ c a b c b a +=+)*()*(等．≤411．（1），)(Z ∈k k π；（1），)(2Z ∈+k k ππ；（4），)(2Z ∈+k k ππ等．（两个空格全填对时才能得分．其中k 也可以写成任何整数）12．219.01．二、选择题13．A ． 14．C ． 15．D ． 16．B ．三、解答题17．[解]由已知)3(log 21x -≥4log 21．由⎩⎨⎧>--,033x x 解得-1≤x ＜3．所以1|{-=x A ≤}3<x ．由25+x ≥1，解得-2＜x ≤3．所以2|{-=x B ＜x ≤}3． 于是 x x x A 或1|{-<=≥}3，故}312|{=-<<-=x x x B A 或 ．18．[解]因为αααααcos sin 2tan 12sin sin 22=++，所以ααcos sin 2=k ． 因而k -=-=-1cos sin 21)cos (sin 2αααα． 又24παπ<<，于是0cos sin >-αα．因此k -=-1cos sin αα．19．[解]（1）设'h 为正四棱锥的斜高．由已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⋅+,'41,2'2142222h a h a h a解得 )0(112>+=h h a ．（2）)0()1(33122>+==h h hha V ．易得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=h h V 131．因为h h 1+≥212=⋅hh ，所以V ≤61．等式当且仅当h h 1=，即1=h 时取得． 故当1=h 米时，V 有最大值，V 的最大值为61立方米． 20．[证]（1）因为B A CB 1平面⊥，所以C A 1在平面B A 1上的射影为B A 1． 由B A 1AE ⊥，B A AE 1平面⊂，得C A 1AE ⊥． 同理可证C A 1AF ⊥．因为C A 1AF ⊥，C A 1AE ⊥， 所以C A 1AEF 平面⊥．[解]（2）过A 作BD 的垂线交G CD 于．因为AG D D ⊥1，所以BD B D AG 11平面⊥． 设C A AG 1与所成的角为α，则α即为平面AEF 与平面BD B D 11所成的角． 由已知，计算得49=DG ． 如图建立直角坐标系，则得点),0,3,4(),5,0,0(),0,3,49(),0,0,0(1C A G A}5,3,4{},0,3,49{-==．因为与A 1所成的角为α， 所以25212||||cos 11=⋅=C A AG α， 25212arccos=α． 由定理知，平面AEF 与平面BD B D 11所成角的大小为25212arccos． 21．[解]（1）设点A 、B 的坐标分别为),(11y x A 、),(22y x B ，点Q 的坐标为),(y x Q ． 当21x x ≠时，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为b a x k y +-=)(．由已知12,1222222121=+=+y x y x ， ①b a x k y b a x k y +-=+-=)(,)(2211， ②由①得0))((21))((21212121=-++-+y y y y x x x x ， ③ 由②得b ak x x k y y 22)(2121+-+=+， ④ 由③、④及21212121,2,2x x y y k y y y x x x --=+=+=，得点Q 的坐标满足方程 02222=--+by ax y x ． ⑤当21x x =时，k 不存在，此时l 平行于y 轴，因此AB 的中点Q 一定落在x 轴上，即Q 的坐标为（0,a ）．显然点Q 的坐标满足方程⑤．综上所述，Q 的坐标满足方程 02222=--+by ax y x ． 设方程⑤所表示的曲线为L ，则由⎪⎩⎪⎨⎧=+=--+,12,0222222y x by ax y x 得 024)2(2222=-+-+b ax x b a ． 因为)12(8222-+=∆b a b ，由已知222b a +≤1，所以当222b a +=1时，0=∆，曲线L 与椭圆C 有且只有一个交点),(b a P ．当222b a +＜1时，0<∆，曲线L 与椭圆C 没有交点．因为（0，0）在椭圆C 内，又在曲线L 上，所以曲线L 在椭圆C 内．故点Q 的轨迹方程为02222=--+by ax y x ．（2）由⎩⎨⎧==--+,0,02222x by ax y x 解得曲线L 与y 轴交于点)0,0(、),0(b ．由⎩⎨⎧==--+,0,02222y by ax y x 解得曲线L 与x 轴交于点)0,0(、)0,(a ．当0,0==b a ，即点),(b a P 为原点时，)0,(a 、),0(b 与)0,0(重合，曲线L 与坐标轴只有一个交点)0,0(．当0=a ，且||0b <≤2，即点),(b a P 不在椭圆C 外且在除去原点的y 轴上时，点)0,(a 与)0,0(重合，曲线L 与坐标轴有两个交点),0(b 与)0,0(．同理，当0=b ，且||0a <≤1，即点),(b a P 不在椭圆C 外且在除去原点的x 轴上时，曲线L 与坐标轴有两个交点)0,(a 与)0,0(．当||0a <<1,且||0b <)1(22a -<，即点),(b a P 在椭圆C 内且不在坐标轴上，曲线L与坐标轴有三个交点)0,(a 、),0(b 与)0,0(．22．[解]（1）由)211(4n n S -=，得∈+=-=++n S S n n n (221)211(411N )． （2）要使21>--+c S c S K K ，只要K K S c S c ---)223(＜0．因为)211(4k k S -=＜4，所以)(0212)223(N ∈>-=--k S S S k k k ，故只要 )(223N ∈<<-k S c S k k ．①因为k k S S >+1（N ∈k ），所以 223-k S ≥12231=-S ，又4<k S ，故要使①成立，c 只能取2或3．当2=c 时，因为Ｓ１＝２，所以当k ＝１时，k S c <不成立，从而①不成立．因为2232-S c >=25，由N)∈<+k s s k k (1,得 2232231-<-+k k S S ， 所以当k ≥２时，223-k S c >，从而①不成立．当3=c 时，因为21=S ，32=S ，所以当2,1=k 时，k S c <不成立，从而①不成立．因为2233-S c >=413，又 2232231-<-+k k S S ， 所以当k ≥3时，2233-S c >，从而①不成立．故不存在自然数c 、k ，使21>--+cS cS K K 成立．。