1.1.3三个正数的算术几何不等式
高中数学·选修4-5(人教版)第一讲几何平均不等式及绝对值三角不等式PPT课件
9
3 .
归纳升华
1．利用三个正数的算术—几何平均不等式常处理下
面两个类型的最值： (1)求函数 y＝ax2＋bx的最小值，其中 ax2＞0，bx＞0.
则
y
＝
ax2
＋
b x
＝
ax2
＋
b 2x
＋
b 2x
≥
3
3
ax2·2bx·2bx
＝
3 2
3 2ab2.当且仅当 ax2＝2bx，即 x＝ 3 2ba时，等号成立．
(1)如果 a，b，c∈R，那么a＋3b＋c≥3 abc.(
)
(2)如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥3 abc，当且仅
当 a＝b 或 b＝c 时，等号成立．( )
(3)如果 a，b，c∈R＋，那么 abc≤a＋3b＋c3，当且 仅当 a＝b＝c 时，等号成立．( )
(4)如果 a1，a2，a3，…，an 都是实数．那么 a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理 3，只有在 a，b，c 都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如 a＝1，b＝－1，c＝－3，
a＋b＋c
3
3
3 ＝－1， abc＝ 3，故(1)不正确．
(2)由定理 3，知等号成立的条件是 a＝b＝c.故(2)不正
确．
(3)由定理 3 知(3)正确． (4)必须 a1，a2，…，an 都是正数，命题才成立． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[知识提炼·梳理] 1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正 数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数．
2. 三个正数的算术——几何平均不等式
∴E2＝1k62 ·sin2θ·cos4θ＝3k22 (2sin2θ)·cos2θ·cos2θ ≤3k22 ·(2sin2θ＋co3s2θ＋cos2θ)3＝1k028， 当且仅当 2sin2θ＝cos2θ 时取等号， 即 tan2θ＝12，tan θ＝ 22时，等号成立． ∴h＝2tan θ＝ 2，即 h＝ 2时，E 最大． 因此选择灯的高度为 2米时，才能使桌子边缘处最亮．
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤12(2x2＋1－3x2＋1－x2)3＝247.
当且仅当 2x2＝1－x2，
即 x＝ 33时等号成立．
∴y≤2
9
3，∴y
的最大值为2 9
3 .
1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑： y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝12·x(2－2x)·(1＋x)≤12 (x＋2－23x＋1＋x)3＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取 “＝”号的条件，显然 x＝2－2x＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也 就是说，这种拼凑法是不正确的． 2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数 学结构，同时也要注意算术－几何平均不等式的使用条件，三个 缺一不可．
用平均不等式求解实际问题 例 3 如图所示，在一张半径是 2 米的 圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道， 灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小； 挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．
由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到 桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点 到光源的距离 r 的平方成反比．
变式训练
若 2a＞b＞0，试求 a＋
4
的最小值．
（2a－b）·b
【解】 a＋2a－4b·b＝2a－2b＋b＋2a－4b·b ＝2a－ 2 b＋b2＋2a－4b·b
1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)
[悟一法]
(1)在解求最值应用题时，先必须确定好目标函数，再用
“平均值不等式”求最值．
(2)在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只
能含一个变量，否则是无法求最值的．
[通一类] 3．制作一个圆柱形的饮料盒，如果容积一定，怎样设计它 的尺寸，才能使所用的材料最少？
解：设圆柱形饮料盒的体积为 V(定值)，底面半径为 r， 高为 h，表面积为 S. V 则 V＝πr h，∴h＝ 2. πr
2 － 3
.
2 － 3
② .
2 1 1 12 故 a2＋b2＋c2＋(a＋b＋ c) ≥3(abc) 3 ＋9(abc)
又 3(abc) ＋9(abc)
2 3
2 － 3
≥2 27＝6 3， ③
所以原不等式成立．
当且仅当 a＝b＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当 3(abc)
2 3
＝9(abc)
的条件是否保持一致．
[通一类] 2．设0<a<1,0<b<1,0<c<1，
13 求证：abc(1－a)(1－b)(1－c)≤( ) . 4 证明：∵0<a<1，∴1－a>0.
a＋1－a 2 1 ∴0<a(1－a)≤[ ]＝ . 2 4 1 1 同理 0<b(1－b)≤ ，0<c(1－c)≤ 4 4 将以上三个不等式相乘得 13 abc(1－a)(1－b)(1－c)≤( ) . 4
2
2V ∴S＝2πr ＋2πrh＝2πr ＋ r
2 2
V V 3 ＝2πr ＋ r ＋ r ≥3 2πV2.
2
3 V V 即当 2πr2＝ r ，r＝ 时表面积最小． 2π 此时 h＝2r. 3 V 3 V 即饮料盒的底面半径为 r＝ ，高为 2 时，用料 2π 2π 最省．
新人教A版高二数学选修4-5第一章不等式 1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式_1
∴3x＋4y＋5z＝2×6＝12. ∴3 3 3x·4y·5z≤3x＋4y＋5z＝12.
∴(xyz)max＝1165. 答案：1165
当且仅当 x＝43，y＝1，z＝45时等号成立．
课时作业
人教A版数学·选修4-5
复习成功的关键在于
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01 抓思维训练
02 勤于方法总结
03 善于提炼观点
2．已知 x，y∈R＋且 x2y＝4，试求 x＋y 的最小值及达到最小值时 x、y 的值．
解析：∵x，y∈R＋且 x2y＝4，∴x＋y＝12x＋12x＋y≥3 3 14x2y＝3 3 14×4＝3， 当且仅当x2＝x2＝y 时等号成立． 又∵x2y＝4. ∴当 x＝2，y＝1 时，x＋y 取最小值 3.
1．已知 a，b，c∈R＋，证明：a12＋b12＋c12(a＋b＋c)2≥27.
证明：因为 a，b，c∈R＋，所以 a＋b＋c≥33 abc>0.
所以(a＋b＋c)2≥93 a2b2c2. 又a12＋b12＋c12≥3 3 a2b12c2>0，
所以a12＋b12＋c12(a＋b＋c)2≥3 3
13 a2b2c2·9
探究三 平均不等式的实际应用 [例 3] 如图所示，在一张半径是 2 米的圆桌的正中央上空挂一盏 电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得 太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一 点处的亮度 E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦 成正比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即 E＝ksirn2 θ， 这里 k 是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度 h，才能 使桌子边缘处最亮？
因构造定值时拆分不合理致误
三个正数的算术-几何平均不等式
3
3时,y 取最小值 2 ×
2
33
3
= 2 9.
错解 2:∵x>0,
3
1 2
∴y=x2 + + ≥3·
1 2
3
3
2 · · = 3 2,y 的最小值为 3 2.
题型一
题型二
题型三
题型四
3
错因分析:错解 1 中不能保证两正数 x2与 的积为定值,此
3
时 2 3为变量,不能说当 x=
2
题型一
题型二
题型三
题型四
解:∵y=x(1-x2),
1
2
2
2
2
2
2
2
∴y =x (1-x ) =2x (1-x )(1-x )·.
2
∵2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,
1 22 +1-2 +1-2
2
∴y ≤2
3
3
=
4
.
27
3
当且仅当 2x2=1-x2,即 x= 3 时,等号成立.
2 3
3.三个正数的算术-几何平均不等式
学习目标：
1.了解三个正数的算术-几何平均不等式.
2.会应用三个正数的算术-几何平均不等式解决简单问题.
1.三个正数或三个以上正数的算术-几何平均不等式的应用条件
剖析:“一正”:不论是三个数或者 n 个数的算术-几何平均不等式,
3
都要求是正数,否则不等式是不成立的.如 a+b+c≥3 abc, 取a=b=3
≤32 ·
3
3
=
2
,
3.三个正数的算术-几何平均不等式
桦甸市第四中学 新课讲解
定理3 若a, b.c R , 那么 a b c 3 abc, 3
当且仅当a b c时，等号成立。
表述:三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.
桦甸市第四中学 新课讲解
推广 如果 a1, a2 , , an R , n 1且n N* 则：
解：设剪去的小正方形的边长为x
x
则其容积为 : V x(a 2 x)2 ,(0 x a ) 2
V 1 4x (a 2x)(a 2x) 4
1 [4x (a 2x) (a 2x)]3 2a3
4
3
27
当且仅当4 x
a
2x,
x
a 6
时,Vmax
22
x x 1 x
4( 2 2
)3
4
3
27
当 x 2
1
x,即x
2 时, 3
ymax
4. 27
构造三个数相加等于定值.
桦甸市第四中学
桦甸市第四中学
例３将一块边长为a的正方形铁皮,剪去四个角(四个
全等的正方形),作成一个无盖的铁盒,要使其容积最 大,剪去的小正方形的边长为多少?最大容积是多少?
所以
（x+y+z）3 27
xyz，
即（x+y+z）3 27xyz
当且仅当x y z时等号成立
桦甸市第四中学
例２ 当0 x 1时,求函数y x2 (1 x)的最大值.
解 0 x 1, 1 x 0,
:
y x2(1 x) 4 x x (1 x)
高中数学 1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式课件 新人教A版选修45
1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
栏 目 链 接
1．会用三项的平均值不等式证明一些简单问题．
2．能够利用三项的平均值不等式求一些特定函数的 最值，从而学会解决简单的应用问题．
栏 目 链 接
1．三个正数的算术—几何平均不等式．
(1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正数的算
___几__何___平均数．
思考 2 若 x＞0，则x3＋x3＋x3＋2x73 ___≥___4.
栏 目 链 接
题型一 利用定理3证明不等式
例 1 设 a，b，c∈R＋，求证：(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥9.
分析：观察式子的结构，通过变形转化来证明．
证明：：∵a，b，c∈R＋，
∴a＋b＋c≥33 abc，1a＋1b＋1c≥33 abc －1，两不等式相乘，
有：(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥33 abc×33 abc －1＝9. ∴(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥9. 当且仅当 a＝b＝c＝0 时，等号成立．
点评：不等式的证明方法比较多．关键是从式子的 结构入手进行分析．多联想定理3的形式以便用好它．
变式 训练
1．已知 a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9. 证明：∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c≥33 abc.又 a＋b＋c＝1，∴3 abc
解析：y2＝14sin4θcos2θ＝18×2sin2θ sin2θ cos2θ
≤81sin2θ＋sin32θ＋2 cos2θ3＝217. 当且仅当 sin2 θ＝2cos2θ＝2－2sin2θ.
即
sin
Hale Waihona Puke θ＝36时取等号，此时
人教版高中数学选修4-51.1.3《三个正数的算术-几何平均不等式》练习及答案
1．1.3 三个正数的算术 —几何均匀不等式1．会用三 的均匀 不等式 明一些 ． 2．能 利用三 的均匀 不等式求一些特定函数的最 ，进而学会解决 的 用．1．三个正数的算 — 几何均匀 不等式．＋a 1＋a 2＋a 33(1)假如 a 1，a 2，a 3∈ R ，叫做 3 个正数的算 均匀数，a 1a 2a 3叫做 三个正数的 ________．答案 : 几何均匀数(2)三个正数基本不等式：a 1＋ a 2＋ a 3≥ 3＝ a ＝ a ，等号建立． 3 a 1a 2a 3.当且 当 a 1 23言表述：三个正数的________均匀数不小于它 的 ________均匀数．答案: 算 几何思虑 1若已知 a 1 ＝3，a 2＝ 9，a 3＝27，a 1＋a 2＋ a 3＝ ________， 3a 1a 2a 3＝ ________．3a 1＋a 2＋ a 33a 1 a 2 a 3.有：3________答案:13 9 >2． n 个正数的算 — 几何均匀不等式．(1)假如 a 1， a 2 ，⋯， a n ∈ R ＋， n ＞ 1 且 n ∈ N *，a 1＋a 2＋⋯ ＋a n叫做 n 个正数的算 n均匀数，na 1a 2⋯ a n 叫做 n 个正数的 ________．答案 : 几何均匀数a 1＋ a 2＋ ⋯ ＋a n n*＋，1≤ i ≤ n)．当且 当 a 1＝(2)基本不等式：n ≥a 1a 2⋯ a n (n ∈ N ，a i ∈ Ra 2＝ ⋯ ＝ a n 等号建立．言表述： n 个正数的 ________均匀数不小于它 的________均匀数．答案 : 算 几何思虑 2若 x ＞ 0，x x x ＋ 27＋＋ x 3 ______4.3 3 3答案:≥一 层 练 习1．函数 y ＝ x 2(1－ 5x) 0≤ x ≤1的最大值是 ()5 2 4 5 A ． 4 B.15C.675 D.2答案:C9 )2．若 x>0，则 4x ＋2的最小值是 (xA ．9B ．3 3 36C ． 13D ．不存在答案:B3．已知∈R＋，则 a ＋ b ＋ cb ＋c ＋ a≥ ________．b c aa b c答案:9＋，且 a ＋ b ＝ 3，则 ab 2的最大值是 ________．4．设 a ， b ∈ R 答案:4二 层 练 习225．若实数 x ， y 知足 xy ＞ 0，且 x y ＝ 2 ，则 xy ＋ x 的最小值是 ( )C ．3D ． 4答案:C6．设 a ＞ b ＞ 0，则 a 2＋ 1＋1的最小值是 ( )ab a （ a － b ）A ．1B ．2C ．3D ． 4分析：把 a 2＋ 1＋1 变形为 ab ＋ 1＋ a(a －b)＋ 1，即可利用三个正数ab a （ a －b ） aba （ a －b ） 的算术 — 几何均匀不等式求其最小值．∵a ＞b ＞ 0，∴ a 2＋ 1＋1＝ a 2－ ab ＋ ab ＋ 1aba （ a －b ） ab＋ 1 ＝ ab ＋ 1＋ a(a ＋ b)＋ 1≥2＋ 2＝ 4，当且仅当 a （ a － b ） ab a （a ＋ b ）ab ＝1，2， b －2时，取 “＝”号．应选D.即 a ＝ a （a － b ）＝ 1，27．若数列 { a n } 的通项公式是 a n ＝ 3 n ，则该数列中的最大项是()n ＋128A ．第 4项B ．第 6项C ．第 7项D ．第 8项分析： a n ＝n＝1＝ 13128 64 64n ＋ 1282 ＋2n n n ＋＋nn3n 2×64×64＝ 48，当且仅当n 2＝64，即 n ＝ 4 时，等号建立，∴ a n∵ n 2＋ 64＋64≥ 3n nnnn≤ 1，该数列的最大项是第4 项．应选 A.48答案： A48．求函数 y ＝ 3x ＋x 2(x>0)的最值是 ________． 分析：∵ x>0 ，43x3x4 3 3x 3x43x3x43932∴ y ＝ 3x ＋ x 2＝ 2 ＋ 2 ＋ x 2≥ 3 2 × 2 × x 2＝ 3 9. 当且仅当 2＝ 2 ＝ x 2，即 x ＝ 3 时取 符号．39时，函数 y 的最小值为 33∴当 x ＝29.39．已知正数 a ， b 知足 ab 2 ＝1，则 a ＋b 的最小值是 ________． 分析：由于 a ，b 是正数， ab 2＝ 1，b b 3 ab 2 3 3 因此 a ＋ b ＝ a ＋ 2＋ 2≥ 34 ＝2 2.故 a ＋b 的最小值是3 32，2ab 2＝ 1，a ＝ 1 3当且仅当b2 2，即时取到最小值．a ＝ 2，b ＝3210．已知 a ， b ， c 为正数，求证：222(a ＋ b ＋ c)(a ＋ b ＋ c ) ≥9abc.证明：∵ a ， b ，c 为正数，3 222≥ 3 3 2 2 2∴ a ＋ b ＋ c ≥3 abc ， a ＋b＋c a b c2223 3 2 2 2 ＝ 9 3 2 2 2∴ (a ＋ b ＋ c)( a＋ b ＋ c ) ≥3abc ×3 a b c abc × a b c .222∴ (a ＋ b ＋ c)( a ＋ b ＋ c ) ≥9abc ，三211 ． θ 角 ， y ＝ sin θ · cos θ 的 最 大是________________________________________________________________________ ．剖析：本 的目 函数 构，故 各因子和 定 ，要特 注意sin 2θ ＋ cos 2θ＝ 1 的 用．分析：∵ y 2＝ sin 2θ cos 2θ cos 2θ＝ 1× 2sin 2θ (1－ sin 2θ) ·(1－ sin 2θ ) 21 2 3 ＝ 4≤ ( ) .2 3 27当且 当 2sin223取等号．θ ＝ 1－ sin θ ，即 sin θ ＝ 32 3 ∴ymax＝ 9.12．已知＋，有不等式 x ＋1≥ 2， x ＋42x ＋ x ＋42x ∈Rxx＝2 2 x ≥ 3，⋯，受此启 ，能够推行ax ＋ n ≥ n ＋ 1， a ＝ ________．xa x xx an ＋ 1 x nan分析：∵ x ＋ x n ＝ n ＋ n ⋯＋ n , s do4(n 个 ))＋ x n ≥ (n ＋ 1) × nn× x n ＝ n ＋ 1，∴ a ＝ n .答案： n n13．已知 a ， b ， c均 正数， 明： a 2＋ b 2＋ c 2＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 2a ，b ，c a b c≥ 6 3，并确立何 ，等号建立．明：因 a ，b ， c 均 正数，由均 不等式得2＋ b 2＋ c 2≥ 3(abc) 23a，①1＋ 1＋1≥ 3(abc)－ 1，a b c3因此 1 1 ＋1 22＋ b c ≥ 9(abc)－ .②a32 2 211 1222故 a ＋ b ＋ c ＋ a ＋ b ＋ c ≥ 3(abc)3 ＋ 9(abc)－ 3.22又 3(abc)3＋ 9(abc)－3≥ 2 27＝ 6 3，③ 因此原不等式建立．当且仅当 a ＝ b ＝ c 时，①式和②式等号建立．2当且仅当 3(abc)3＝ 9(abc)－23时，③式等号建立．1故当且仅当 a ＝b ＝ c ＝ 34时，原不等式等号建立．3 m 14．请你设计一个帐篷，的正六棱锥 (以下列图所示它下部的形状是高为)．试问当帐篷的极点1 m 的正六棱柱， 上部的形状是侧棱长为 O 究竟面中心 O 1 的距离为多少时，帐篷的体积最大为多少？剖析：利用正六棱锥的体积公式列关系式， 而后利用算术－几何均匀不等式求最值，也可求导求最值．分析：设 OO 1为 x m ，则 1＜ x ＜ 4.由题设可得正六棱锥底面边长为32－（ x － 1） 2＝26× 32 2＝ 3 328＋ 2x －x ，于是底面正六边形的面积为× (8＋2x － x )2(8＋ 2x － x )，帐篷的4体 积为3 3 21＝3 (4－ x)( x ＋ 2)(x ＋ 2) ＝ 3(8－ 2x)( x ＋ 2)(x ＋ V(x)＝ 2(8＋ 2x － x ) ·（ x －1）＋ 1 2 4 33 （8－ 2x ）＋（ x ＋ 2）＋（ x ＋ 2） 3＝ 3 ×64 ＝16 3.2) ≤ 3 44 当且仅当 8－ 2x ＝x ＋ 2，即 x ＝ 2 时取等号．故当帐篷的极点O 究竟面中心 O 1 的距离为2 m 时帐篷的体积最大，其值为163 m 2 .1．三个正数或三个以上正数的不等式的用条件．(1)一“正”：不是三个数的或许n 个数的算—几何均匀不等式，都要求是正数，否不等式是不建立的，如 a＋b＋ c≥ 3 3abc，取 a＝ b＝－ 2，c＝ 2 a＋ b＋ c＝－ 2，而 33abc ＝6，然－ 2≥6不建立．(2)二“定”：包括两求最：一是已知n个正数的和定 (即 a1＋ a2＋⋯＋ a n 定 )，求其 a1· a2·⋯· a n的最大；二是已知a1· a2·⋯· a n定，求其和 a1＋a2＋⋯＋ a n的最小．(3)三“相等”：取“＝”的条件是 a1＝ a2＝⋯＝ a n，不可以不过一部分相等．2．重要不等式 a2＋ b2≥2ab 与 a3＋ b3＋ c3≥ 3ab c 的运用条件不一，前者a， b∈R，后者 a， b， c∈ R＋，要注意区．3．注意算—几何均匀不等式中的形与拼集方法．。
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1 V = ⋅ 4 x ⋅ (a − 2 x ) ⋅ (a − 2 x ) 4
4、错解分析
3 求函数y = 2 x + , ( x > 0)的最小值. x
2
解:
3 2 1 2 2 1 3 2x2 ⋅ ⋅ y = 2x + = 2x + + ≥ 3 = 33 4 x x x x x
2
y min = 33 4
解: Q 0 < x < 1, ∴1 − x > 0,
2
x x y = x (1 − x ) = 4 ⋅ ⋅ (1 − x ) 2 2 x x + +1− x 4 3 2 2 ≤ 4( ) = 3 27 x 2 4 ∴当 = 1 − x ,即x = 时, ymax = . 2 3 27
构造三个数相加等于定值.
1 2 2 2 ⋅ 2x (1− x )(1− x ) 2
构造三个数相加等于定值.
例３将一块边长为a的正方形铁皮,剪去四个角(四个 全等的正方形),作成一个无盖的铁盒,要使其容积最大, 剪去的小正方形的边长为多少?最大容积是多少? x 解：设剪去的小正方形的边长为x 则其容积为 : V = x ( a − 2 x )2 , (0 < x < a ) 2
2
(错解 原因是取不到等号 错解:原因是取不到等号 错解 原因是取不到等号)
3 3 3 2 正解: y = 2x + = 2x + + x 2x 2x 3 3 9 3 3 = 3 36 3 2x2 ⋅ ≥3 ⋅ =3 2x 2x 2 2
3 3 33 当 仅 2x = , x = 且 当 时 ymin = , 36. 2x 2 2
8
k≥4
+
引理：如果a, b, c ∈ R , 那么a + b + c ≥ 3abc
3 3 3
+
证明：a3 + b3 + c3 − 3abc
3 3
等号当且仅a=b=c时成立．
2 3
= (a + b) − 3a b − 3ab + c − 3abc = (a + b)3 + c3 − 3a3b − 3ab2 − 3abc (a + b)2 − (a + b)c + c2 − 3ab(a + b + c) = (a + b + c) a2 + 2ab + b2 − ac − bc + c2 − 3ab = (a + b + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) 1 (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ 0, = (a + b + c) 2
( 2)当0 < x < 1时,求函数y = x (1 − x 2 )的最大值.
解: Q 0 < x < 1, ∴1 − x > 0,
2
y = x (1− x )
2 2
2 2=
1 2x2 + 1 − x2 + 1 − x2 3 4 ≤ ( ) = 2 3 27 3 2 2 , ∴ 2x = 1 − x ,即 = 当 x 时 3 4 2 2 y max = , ymax = 3. 27 9
* +
对于 n 个正数 a1, a2 , a3,Lan， 它们的算术 平均值不小于它们的几何平均值， 平均值不小于它们的几何平均值，
a1 + a2 + a3 +L+ an n ≥ a1a2a3 Lan 即 n
时取等号.) (当且仅当 a1 = a2 = a3 =L= an 时取等号.)
3、例题研究
2
5、问题研究
求证:在表面积一定的长方体中,以正方体 的体积最大.
x z y
1.已知 a > 0, b > 0 , 2a + 3b = 10 ,
6、课外作业
2 5 则 3b + 2a 的最大值是____. 2.已知 x > 0 ， y > 0 ，且 x + 2 y = 1 ， 1 1 3+ 2 2 则 u = + 的最小值是______________。 x y x2 + 8 ( x > 1) 的最小值为______. 3.函数 y = x −1 4. 现有两个定值电阻， 串联后等效电阻值为 R， 并联后等效电阻值为 r，若 R = k ⋅ r ,则实数 k 的 取值范围是_____.
a+b+c 3 ) ( 2)a + b + c为定值时 abc ≤ ( 3 当且仅当a = b = c时,等号成立.
Hale Waihona Puke 推广 如果 a1 , a2 ,L , an ∈ R , n > 1且n ∈ N 则： a1 + a 2 + L + a n 叫做这n个正数的算术平均数。 个正数的算术平均数 叫做这 个正数的算术平均数。 n n a a L a 叫做这 个正数的几何平均数 个正数的几何平均数 1 2 n 叫做这n个正数的几何平均数。
a − 2x
a
即 剪 的 当 去 1 4 x + ( a − 2 x ) + ( a − 2 x ) 3 2a 小 方 边 正 形 ≤ [ ] = a 4 3 27 长 时铁 为 , 6 2a 3 a 合 最 容 的 大 当且仅当 x = a − 2 x , x = 时,Vmax = 4 3 6 27 2a 积 是 . 27
选修4-5
Ch2不等式和绝对值不等式
§1.1.3三个正数的算术几何不等式
兰溪三中 叶勇钧
1、思考 基本不等式给出了两个整数的算术平均数与 几何平均数的关系，这个不等式能否推广呢?例 如,对于3个正数,会有怎样的不等式成立呢?
类比、猜想： a +b +c 3 ≥ abc, 若a, bc ∈R , 那么 . 3 当且仅当a = b = c时，等号成立。
例1、已知x，y，z ∈ R ，
+ 3 求证：（x+y+z） ≥ 27 xyz。 x+ y+z 3 证明：因为 ≥ xyz >0， 3 3 （x+y+z） 所以
27 3 即（x+y+z） ≥ 27xyz
> xyz，
例２(1)当0 < x < 1时,求函数y = x (1 − x )的最大值. ２
2
2、三个正数的算术几何不等式 定理3 定理
a+b+c 3 若a, b.c ∈ R , 那么 ≥ abc , 3 当且仅当a = b = c时，等号成立。
+
表述:三个正数的算术平均不小于它们的几何平均. 推论:
(1)abc为定值时
a + b + c ≥ 3 abc
3
当且仅当a = b = c时,等号成立.